三角函数的复习题 Microsoft Word 文档

专题复习：三角函数的综合应用题编(推荐时间：推荐时间：7070分钟分钟) )1． 设函数f (x )＝a ·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)1)，，b ＝(cos x ，3sin 2x )，x ∈R .(1)(1)若函数若函数f (x )＝1－3，且x ∈ëêéûúù－π3，π3，求x 的值；的值；(2)(2)求函数求函数y ＝f (x )的单调增区间，的单调增区间，并在给出的坐标系中画出并在给出的坐标系中画出y ＝f (x )在区间[0[0，，π]上的图象．上的图象．解 (1)(1)依题设得依题设得f (x )＝2cos 22x ＋3sin 2x ＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin èçæø÷ö2x＋π6＋1.由2sin èçæø÷ö2x ＋π6＋1＝1－3，得sin èçæø÷ö2x ＋π6＝－32.∵－π3≤x ≤π3，∴－π2≤2x ＋π6≤5π6， ∴2x ＋π6＝－π3，即x ＝－π4. (2)(2)当－当－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π(k ∈Z )， 即－π3＋k π≤x ≤π6＋k π(k ∈Z )时，函数y ＝f (x )单调递增，即函数y ＝f (x )的单调增区间为ëêéûúù－π3＋k π，π6＋k π(k ∈Z )，x 0 π6 π3 π2 2π3 5π6 π y232－122． 已知向量a ＝(cosx ＋3sin x ，3sin x )，b ＝(cos x －3sin x ，2cos x )，函数f (x )＝a ·b －cos 2x . (1)(1)求函数求函数f (x )的值域；的值域；(2)(2)若若f (θ)＝15，θ∈ëêéûúùπ6，π3，求sin 2θ的值．的值．解 (1)f (x )＝a ·b －cos 2x＝(cos x ＋3sin x )(cos x －3sin x )＋3sin x ·2cos x －cos 2x ＝cos 2x －3sin 2x ＋23sin x cos x －cos 2x ＝cos 2x －sin 2x －2sin 2x ＋23sin x cos x －cos 2x ＝cos 2x ＋3sin 2x －1 ＝2sin èçæø÷ö2x ＋π6－1，f (x )的值域为的值域为[[－3,1]3,1]．．(2)(2)由由(1)(1)知知f (θ)＝2sin èçæø÷ö2θ＋π6－1，由题设2sin èçæø÷ö2θ＋π6－1＝15，即sin èçæø÷ö2θ＋π6＝35，∵θ∈ëêéûúùπ6，π3，∴，∴22θ＋π6∈ëêéûúùπ2，5π6， ∴cos èçæø÷ö2θ＋π6＝－45，∴sin 2θ＝sin ëêéûúùèçæø÷ö2θ＋π6－π6＝sin èçæø÷ö2θ＋π6cos π6－cos èçæø÷ö2θ＋π6sinπ6＝35×32－èçæø÷ö－45×12＝33＋410.3． 已知向量m ＝èçæø÷ösin A ，12与n ＝(3(3，，sin A ＋3cos A )共线，其中A 是△ABC的内角．的内角．(1)(1)求角求角A 的大小；的大小；(2)(2)若若BC ＝2，求△ABC 面积S 的最大值．的最大值．解 (1)(1)∵∵m ∥n ，∴，∴sin sin A ·(sin A ＋3cos A )－32＝0.∴1－cos 2A 2＋32sin 2A －32＝0， 即32sin 2A －12cos 2A ＝1， 即sin èçæø÷ö2A －π6＝1.∵A ∈(0(0，，π)，∴，∴22A －π6∈èçæø÷ö－π6，11π6. 故2A －π6＝π2，A ＝π3. (2)(2)∵∵BC ＝2，由余弦定理得b 22＋c 22－bc ＝4，又b 22＋c 22≥2bc ，∴bc ≤4(4(当且仅当当且仅当b ＝c 时等号成立时等号成立))， 从而S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ≤34×4＝ 3.即△ABC 面积S 的最大值为 3.4． 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 已知cos A －3cos C cos B＝3c －ab . (1)(1)求求sin Csin A的值；的值；(2)(2)若若B 为钝角，b ＝1010，求，求a 的取值范围．的取值范围． 解 (1)(1)由正弦定理，设由正弦定理，设asin A ＝bsin B ＝csin C＝k ，则3c －a b ＝3k sin C －k sin A k sin B ＝3sin C －sin Asin B ， 所以cos A －3cos C cos B ＝3sin C －sin Asin B，即(cos A －3cos C )sin B ＝(3sin C －sin A )cos B ， 化简可得sin(A ＋B )＝3sin(B ＋C )． 又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝3sin A ， 因此sin Csin A＝3. (2)(2)由由sin C sin A ＝3得c ＝3a . 由题意知îíìa ＋c >ba 2＋c 2<b2，又b ＝1010，所以，所以52<a <10.5． 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)èçæø÷ö其中x ∈R ，A >0>0，，ω>0>0，－，－π2<φ<π2的部分图象如图所示．图象如图所示．(1)(1)求函数求函数f (x )的解析式；的解析式；(2)(2)已知函数已知函数f (x )的图象上的三点M ，N ，P 的横坐标分别为－的横坐标分别为－1,1,51,1,5，，求sin ∠MNP 的值．的值．解 (1)(1)由图可知，由图可知，A ＝1，最小正周期T ＝4×2＝8. 由T ＝2πω＝8，得ω＝π4.又f (1)(1)＝＝sin èçæø÷öπ4＋φ＝1，且－π2<φ<π2，所以π4＋φ＝π2，解得φ＝π4. 所以f (x )＝sin èçæø÷öπ4x ＋π4. (2)(2)因为因为f (－1)1)＝＝0，f (1)(1)＝＝1，f (5)(5)＝＝sin èçæø÷ö5π4＋π4＝－＝－11， 所以M (－1,0)1,0)，，N (1,1)(1,1)，，P (5(5，－，－1)1)．．所以所以||MN |＝5，|PN |＝2020，，|MP |＝37. 由余弦定理得由余弦定理得cos cos∠∠MNP ＝5＋2020－－3725×20＝－35. 因为∠MNP ∈(0(0，，π)， 所以sin sin∠∠MNP ＝45.6． 已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cosx ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，其中0<α<x <π. (1)(1)若若α＝π4，求函数f (x )＝b ·c 的最小值及相应x 的值；的值； (2)(2)若若a 与b 的夹角为π3，且a ⊥c ，求tan 2α的值．的值．解 (1)(1)∵∵b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，α＝π4， ∴f (x )＝b ·c ＝cos x sin x ＋2cos x sin α＋sin x cos x ＋2sin x cos α＝2sin x cos x ＋2(sin x ＋cos x )．令t ＝sin x ＋cos x èçæø÷öπ4<x <π，则2sin x cos x ＝t 2－1，且－，且－1<1<t < 2.则y ＝t 2＋2t －1＝èçæø÷öt ＋222－32，－，－1<1<t <2，∴t ＝－22时，y min ＝－32，此时sin x ＋cos x ＝－22，即2sin èçæø÷öx ＋π4＝－22，∵π4<x <π，∴π2<x ＋π4<54π， ∴x ＋π4＝76π，∴x ＝11π12. ∴函数f (x )的最小值为－32，相应x 的值为11π12.的夹角为，cos＝a·b＝＝π.ø÷ö＋π3＋∴52sin 2＋32cos 2＝－35.。

三角函数专题复习练习题一．解答题（共25小题）1．（2015•惠州模拟）已知，（Ⅰ）求tanx的值；（Ⅱ）求的值．2．（2015•惠州模拟）设函数f（x）=cosx+sinx+1（1）求函数f（x）的值域和函数的单调递增区间；（2）当f（a）=，且＜α＜时，求sin（2α+）的值．3．（2014•江西）已知函数f（x）=（a+2cos2x）cos（2x+θ）为奇函数，且f（）=0，其中a∈R，θ∈（0，π）．（1）求a，θ的值；（2）若f（）=﹣，α∈（，π），求sin（α+）的值．4．（2014•福建）已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣．（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．5．（2014•天津）已知函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在闭区间[﹣，]上的最大值和最小值．6．（2014•江西）已知函数f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），其中a∈R，θ∈（﹣，）（1）当a=，θ=时，求f（x）在区间[0，π]上的最大值与最小值；（2）若f（）=0，f（π）=1，求a，θ的值．7．（2014•荆州模拟）已知函数f（x）=（1）求函数f（x）的定义域；（2）当x∈[﹣]时，求f（x）的值域；（3）若f（x）=，且x∈[]，求cos2x的值．8．（2014•安徽模拟）设函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx﹣1（x∈R）．（1）求函数f（x）的最小正周期；9．（2014•甘肃二模）已知函数f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）已知f（a）=3，且α∈（0，），求α的值．10．（2014•和平区三模）函数f（x）=2cosxsin（x﹣A）+sinA，（x∈R）在x=处取得最大值，且A∈[0，π]．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．11．（2014•赤峰模拟）已知函数f（x）=2sinxcosx+2sin2x﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当x∈[﹣，]时，求函数f（x）的最大值．12．（2014•房山区一模）已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos（π﹣2x）．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[，]上的取值范围．13．（2014•奉贤区一模）已知函数f（x）=sin cos+cos2．（1）求方程f（x）=0的解集；（2）当x，求函数y=f（x）的值域．14．（2014•安徽模拟）已知函数f（x）=4sinxcos（x﹣）﹣1（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）当x∈[﹣π，]时，求函数f（x）的取值范围．15．（2014•虹口区二模）已知函数y=f（x）=2sinxcos+2cos2x+a（x∈R），其中a为常数．（1）求函数y=f（x）的周期；（2）如果y=f（x）的最小值为0，求a的值，并求此时f（x）的最大值及图象的对称轴方程．16．（2014•益阳模拟）已知函数f（x）=2sinxcosx﹣sin（﹣2x），x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小值，并求出相应的x值的集合；（Ⅱ）求f（x）的单调递减区间．17．（2014•朝阳区一模）已知函数f（x）=2sin（π﹣x）•cosx+sin2x﹣cos2x，x∈R．（Ⅰ）求f（）的值及函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在[0，π]上的单调减区间．18．（2014•四川二模）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x+2sinxcosx．（2）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin（A+B）=2sin（B+C），=，求A以及f（B）的值．19．（2014•山东）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．20．（2014•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=，cos2A﹣cos2B=sinAcosA ﹣sinBcosB．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若sinA=，求△ABC的面积．21．（2014•顺义区二模）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x的图象过点（，0）．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及最大值．22．（2014•江西模拟）已知向量=（cos（x﹣），sin（x﹣）），=（cos（x﹣），sin（x+）），f（x）=2•﹣1．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在区间[﹣，]上的值域．23．（2014•南昌模拟）已知向量=（sin，1），=（cos，cos2）．记f（x）=•．（Ⅰ）若f（x）=，求cos（﹣x）的值；（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，若f（A）=，试判断△ABC 的形状．24．（2012•黑龙江）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为；求b，c．25．（2011•山东）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，b=2，求△ABC的面积S．三角函数专题复习练习题参考答案与试题解析）由，∴=由（=cotx+1=．cosx+x+））+2k x+，，解得﹣≤﹣+2k），得），∵＜，∴＜），））+××=（=2x+，（sin﹣，，，∴）cos+cos=，且，∴，）﹣（）﹣=．）﹣=sin2x+cos2x=）﹣2x+≤，≤，（sinx））的最小正周期==，]，]，则[，]当﹣时，即）取到最小值是：时，即时，）取到最大值是：，，最小值为=x+x+sinx+cosx sinx=﹣sinx+（﹣﹣，]﹣），（﹣，（=﹣．，可得﹣﹣×，﹣．综上可得，所求的．）由题意，或，）∈，]﹣]]，得﹣=[∈]）﹣+）cos﹣﹣sin=sinxcosxsin2x2x+T=，∴，∴∴x+2﹣+1=2x+）T== +2k2x+≤，即﹣+k+k，2x+））∵，∴，．x=×﹣+，A=．），），]﹣，上的最大值和最小值分别为1=）∴T=，]∈，）]）cos2x=﹣T==﹣≤+，即﹣+k≤﹣+k[，]，∴﹣≤≤﹣≤[，]，cos（sin cos）cos=0=k++cos tan=，，（，sinx+（x++]x+[，]x+[[]）﹣+sinxsin）﹣1=2sin2x）T=﹣，，]∈，y=1+cos2x+sin2x+a=2sin）T==2x+=k++（+（=满足．cos2x=））×﹣=sin）2k∈上的单调减区间x+2sinxcosx=cos2x+2x+ ]）[，2x+﹣）sinC=，，∵，∴=，sinB=，∴B=B=B=（舍去），∴×）cosA=，∴=B=A+．∴A+，=，∴•×=3，B=A+∴，=sinAcosB+cosAsinB=×）×=S=a××=，B=sinBcosB∴﹣sin2A sin2Bcos2B=﹣=2，∴A+B=C=．sinA=，C=＜＞cosA=．由正弦定理可得，，即，∴．sinA=﹣（﹣×=×sin2x的图象过点（，∴sin﹣cos）=，最大值为•﹣）））﹣函数的最小正周期为﹣]∈，]，向量=∵，∴，∴∴∴cosB=∵，∴∴或A=或C=∴acosC+asinCsinAcosC+sinAsinCsinAcosC+sinAsinC=sinB+sinC=sin∴）由）由正弦定理设===2cosB=①）可知=S=acsinB=。

第三章 三角函数与解三角形第1讲 弧度制与任意角的三角函数1．tan 25π6的值为( )A ．－33 B.33C. 3 D ．－32．已知cos θ·tan θ<0，那么角θ是( ) A ．第一或其次象限角 B ．其次或第三象限角 C ．第三或第四象限角 D ．第一或第四象限角3．已知角α终边上一点P (－4a,3a )(a <0)，则sin α的值为( ) A.35 B ．－35 C.45 D ．－454．若角α的终边经过点P (1，m )，且tan α＝－2，则sin α＝( )A.55 B ．－55 C.2 55 D ．－2 555．已知点P ⎝⎛⎭⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( ) A.π4 B.3π4 C.5π4 D.7π46．(2022年新课标Ⅰ)若tan α>0，则( ) A ．sin α>0 B ．cos α>0 C ．sin2α>0 D ．cos2α>07．已知两角α，β之差为1°，其和为1弧度，则α，β的大小分别为( ) A.π90和π180B ．28°和27°C ．0.505和0.495 D.180＋π360和180－π3608．(2021年广东肇庆二模)若角α的终边上有一点P (－4，a )，且sin α·cos α＝1225，则a ＝( )A ．3B ．±3 C.163或3 D ．－163或－39．(2021年广东惠州二模)集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )A B C D10．推断下列各式的符号：(1)tan125°·sin278°； (2)cos 7π12tan 23π12sin 11π12.11．(1)已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形圆心角的弧度数；(2)已知扇形的周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？第2讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式1．(2021年河北石家庄二模)tan(－1410°)的值为( )A.33 B ．－33 C. 3 D ．－32．(2021年湖北黄冈一模)sin2021°的值属于区间( )A.⎝⎛⎭⎫－12，0B.⎝⎛⎭⎫－1，－12C.⎝⎛⎭⎫12，1D.⎝⎛⎭⎫0，12 3．下列关系式中，正确的是( ) A ．sin11°<cos10°<sin168° B ．sin168°<sin11°<cos10° C ．sin11°<sin168°<cos10° D ．sin168°<cos10°<sin11°4．已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则sin2α＝( )A ．－1B ．－22C.22D ．1 5．若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α的值为( )A ．0 B.34C ．1 D.546．(2021年四川资阳一模)下列不等式成立的是( )A ．tan ⎝⎛⎭⎫9π8>tan ⎝⎛⎭⎫π6B ．sin ⎝⎛⎭⎫－3π10>sin ⎝⎛⎭⎫－π5C ．sin π18>sin π10D ．cos ⎝⎛⎭⎫－7π4>cos ⎝⎛⎭⎫－23π5 7．已知α是第三象限角，sin α＝－13，则tan α＝________.8．(2021年四川)设sin2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan2α的值是________．9．已知tan α＝2，求： (1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α； (2)4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α.10．(2021年广东揭阳一模)已知函数f (x )＝1－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4cos x.(1)求函数f (x )的定义域；(2)设α是第四象限角，且tan α＝－43，求f (α)的值．第3讲 三角函数的图象与性质1．(2022年陕西)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6的最小正周期是( ) A.π2B ．πC ．2πD ．4π 2．(2021年北京丰台二模)下列四个函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x ＝π12对称的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 3．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2(x ∈R )，下列结论错误的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数 C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称 D ．函数f (x )是奇函数4．已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝( )A.π4B.π3C.π2D.3π45．函数y ＝|tan x |cos x ⎝⎛⎭⎫0≤x <3π2，且x ≠π2的图象是( )A BC D6．(2021年广东肇庆二模)已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6 [A >0，ω>0，x ∈(－∞，＋∞)]的最小正周期为2，且f (0)＝3，则函数f (3)＝( )A ．－ 3 B. 3 C ．－2 D ．27．(2022年江苏)已知函数y ＝cos x 与函数y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ＝________.8．(2022年大纲)函数y ＝cos2x ＋2sin x 的最大值为________．9．在下列函数中：①y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫x －π3；②y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －5π6；③y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6；④y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3；⑤y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －73π. 关于直线x ＝5π6对称的函数是________(填序号)．10．(2022年北京)函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的部分图象如图X3­3­1. (1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，－π12上的最大值和最小值．图X3­3­111．是否存在实数a ，使得函数y ＝sin 2x ＋a cos x ＋58a －32在闭区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值是1？若存在，求出对应的a 值；若不存在，试说明理由．第4讲 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象1．(2022年四川)为了得到函数y ＝sin(x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象上的全部点( ) A ．向左平行移动1个单位长度 B ．向右平行移动1个单位长度 C ．向左平行移动π个单位长度 D ．向右平行移动π个单位长度2．(2021年广东珠海一模)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象可由函数y ＝sin2x 的图象( ) A ．向左平移π8个单位长度而得到B ．向右平移π8个单位长度而得到C ．向左平移π4个单位长度而得到D ．向右平移π4个单位长度而得到3．函数y ＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图X3­4­1，则( )图X3­4­1A ．ω＝π2，φ＝π4B ．ω＝π3，φ＝π6C ．ω＝π4，φ＝π4D ．ω＝π4，φ＝5π44．(2021年广东东莞一模)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3 (ω>0)的图象的两相邻对称轴之间的距离为π2，要得到y ＝f (x )的图象，只须把函数y ＝sin ωx 的图象( )A ．向右平移π3个单位B ．向右平移π6个单位C ．向左平移π3个单位D ．向左平移π6个单位5．将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位后，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象，则φ＝( ) A.π6 B.5π6 C.7π6 D.11π66．(2021年广东肇庆一模)已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6[A >0，ω>0，x ∈(－∞，＋∞)]的最小正周期为π，且f (0)＝3，则函数y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最小值是( ) A ．－ 6 B ．－2 3 C ．－3 D ．2 37．(2021年江西)设f (x )＝3sin3x ＋cos3x ，若对任意实数x 都有|f (x )|≤a ，则实数a 的取值范围是________．8．(2021年北京西城一模)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，其中x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，a .当a ＝π3时，f (x )的值域是__________；若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则a 的取值范围是__________．9．(2021年广东广州一模)已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6 (A >0，ω>0)的图象在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x 0,2)和⎝⎛⎭⎫x 0＋π2，－2. (1)求函数f (x )的解析式；(2)求sin ⎝⎛⎭⎫x 0＋π4的值．10．(2021年安徽)设函数f (x )＝sin x ＋sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. (1)求f (x )的最小值，并求使f (x )取得最小值的x 的集合；(2)不画图，说明函数y ＝f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变化得到．第5讲 两角和与差及二倍角的三角函数公式1．(河南豫南九校2021届质检)已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，则sin2x ＝( ) A.325 B.725C.925D.18252．(2021年新课标Ⅱ)已知sin2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A.16 B.13 C.12 D.233．设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两个根，则tan(α＋β)的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．34．若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin2α的值为( )A.103B.53C.23D ．－2 5．(2021年广东广州一模)已知函数f (x )＝2sin2x ，为了得到函数g (x )＝sin2x ＋cos2x 的图象，只要将函数f (x )＝2sin2x 的图象( )A ．向右平移π4个单位长度B ．向左平移π4个单位长度C ．向右平移π8个单位长度D ．向左平移π8个单位长度6．若cos x cos y ＋sin x sin y ＝13，则cos(2x －2y )＝________.7．(2022年新课标Ⅱ)函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________．8．(2022年山东)函数y ＝32sin2x ＋cos 2x 的最小正周期为________．9．(2022年江苏)已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55. (1)求sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α的值．10．(2022年福建)已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )．(1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．第6讲 简洁的三角恒等变换1．(2021年江西)若sin α2＝33，则cos α＝( )A ．－23B ．－13C.13D.232．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α＝( ) A.22 B.33 C. 2 D.33．(2022年浙江)为了得到函数y ＝sin3x ＋cos3x 的图象，可以将函数y ＝2cos3x 的图象( )A ．向右平移π12个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π12个单位长度D ．向左平移π4个单位长度4．已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( )A ．－1B ．－22C.22D ．1 5.sin47°－sin17°cos30°cos17°＝( )A ．－32B ．－12C.12D.326．(2021年湖北)将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π12B.π6C.π3D.5π67．函数y ＝2sin x －cos x 的最大值为________．8．(2021年江西)函数y ＝sin2x ＋2 3sin 2x 的最小正周期T 为________．9．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝16，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin4α的值．第7讲 正弦定理和余弦定理1．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的外形是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．不能确定2．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，a ＝2，b ＝3，则sin Asin (A ＋C )＝( )A.23B.32C ．－23D ．－323．(2021年广东深圳一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A ＝60°，a ＝3，b ＋c ＝3，则△ABC 的面积为( )A.34B.32 C.3 D ．24．(广西百所示范性中学2021届高三第一次大联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，则B ＝( )A.π4B.π3C.π6D.π25．(2021年湖南)在锐角三角形ABC 中，角A ，B 所对边的长分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则A ＝( ) A.π3 B.π4 C.π6 D.π126．(2021年新课标Ⅰ)已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos2A ＋cos2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．57．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a ＝2，B ＝π6，c ＝2 3，则b ＝________.8．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则sin B ＝________.9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若cos B cos C －sin B sin C ＝12.(1)求角A ；(2)若a ＝2 3，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．10．(2022年安徽)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，△ABC 的面积为2，求cos A 与a 的值．第8讲 解三角形应用举例1．某人向正东方向走x km 后，顺时针转150°，然后朝新方向走3 km ，结果他离动身点恰好 3 km ，那么x ＝( )A. 3 B ．2 3 C ．2 3或 3 D ．32．两座灯塔A 和B 与海洋观看站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观看站C 的北偏东20°的方向，灯塔B 在观看站C 的南偏东40°的方向，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )A ．a km B.2a km C ．2a km D.3a km3．如图X3­8­1，一艘海轮从A 处动身，以40海里/时的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B 处．在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观看灯塔，其方向是东偏南20°，在B 处观看灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( )A ．10 2海里B ．10 3海里C ．20 2海里D ．20 3海里图X3­8­1 图X3­8­24．有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则此时的斜坡长为( ) A ．1 B ．2sin10°C ．2cos10°D ．cos20°5．(2021年广东茂名二模)如图X3­8­2，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A ，B 两点的距离为( )A ．50 3 mB ．50 2 mC ．25 2 m D.25 22m6．(2022年广东)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件7．(2021年广东肇庆二模)某日，某渔政船在东海某海疆巡航护渔，已知该船正以30(3－1)海里/时的速度向正北方向航行，该船在点A 处发觉北偏东30°方向的海面上有一个小岛，连续航行20分钟到达点B ，此时发觉该小岛在北偏东45°方向上．若该船向北连续航行，船与小岛的最短距离是( )A ．6海里B ．8海里C ．10海里D ．12海里8．如图X3­8­3，一缉私艇发觉在方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)45°方向、距离15海里的海面上有一走私船正以25海里/时的速度沿方位角为105°的方向逃跑．若缉私艇的速度为35海里/时，缉私艇沿方位角为45°＋α的方向追去，若要在最短时间内追上该走私船．(1)求α的正弦值；(2)求缉私艇追上走私船所需的时间．图X3­8­39．(2022年北京)如图X3­8­4，在△ABC 中，B ＝π3，AB ＝8，点D 在边BC 上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．图X3­8­4第三章 三角函数与解三角形第1讲 弧度制与任意角的三角函数1．B 2.C3．B 解析：∵a <0，∴r ＝(－4a )2＋(3a )2＝－5a ，∴sin α＝3a r ＝－35.故选B.4．D 解析：由三角函数的定义，得tan α＝m ＝－2，∴r ＝5，sin α＝－25＝－2 55.故选D.5．D 解析：由sin 3π4>0，cos 3π4<0知，角θ是第四象限的角．∵tan θ＝cos3π4sin 3π4＝－1，θ∈[0,2π)，∴θ＝7π4.6．C 解析：tan α＝sin αcos α>0，而sin2α＝2sin αcos α>0.故选C.7．D 解析：由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝1，α－β＝π180，解得⎩⎨⎧α＝180＋π360，β＝180－π360.8．D 解析：由于角α的终边上有一点P (－4，a )，依据三角函数的定义知，sin α＝a16＋a 2，cos α＝－416＋a 2，所以sin α·cos α＝－4a 16＋a 2＝1225，即3a 2＋25a ＋48＝0.解得a ＝－3或a ＝－163.故选D. 9．C 解析：分k ＝2m ，k ＝2m ＋1(m ∈Z )两种状况争辩可得结果． 10．解：(1)∵125°，278°角分别为其次、四象限角， ∴tan125°＜0，sin278°＜0. 因此tan125°·sin278°＞0.(2)∵π2＜7π12＜π，3π2<23π12<2π，π2<11π12<π，∴cos 7π12＜0，tan 23π12＜0，sin 11π12＞0.因此cos 7π12tan 23π12sin 11π12>0.11．解：设扇形半径为R ，圆心角为θ，所对的弧长为l .(1)依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧12θR 2＝4，θR ＋2R ＝10，∴2θ2－17θ＋8＝0，解得θ＝8或12.∵8>2π，舍去，∴θ＝12rad.(2)扇形的周长为40，即θR ＋2R ＝40， S ＝12lR ＝12θR 2＝14θR ·2R ≤14⎝⎛⎭⎫θR ＋2R 22＝100. 当且仅当θR ＝2R ，即R ＝10，θ＝2时，扇形面积取得最大值，最大值为100.第2讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式1．A 解析：tan(－1410°)＝tan(－180°×8＋30°)＝tan30°＝33. 2．B 解析：sin2021°＝sin(5×360°＋213°)＝sin213°＝sin(180°＋33°)＝－sin33°<－12.故选B.3．C 解析：∵sin168°＝sin(180°－12°)＝sin12°，cos10°＝cos(90°－80°)＝sin80°.由于正弦函数y ＝sin x 在区间[0°，90°]上为递增函数，因此sin11°<sin12°<sin80°，即sin11°<sin168°<cos10°.4．A 解析：∵sin α－cos α＝2，∴(sin α－cos α)2＝2.∴sin2α＝－1.故选A.5．B 解析：分子、分母同时除以cos α，得2tan α－1tan α＋2＝4－12＋2＝34.6．D 解析：cos ⎝⎛⎭⎫－7π4＝cos π4>0，cos ⎝⎛⎭⎫－23π5＝cos 3π5<0.故选D. 7.24 解析：sin α＝－13，cos α＝－2 23，tan α＝12 2＝24. 8.3 解析：sin2α＝2sin αcos α＝－sin α，cos α＝－12，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则α＝2π3，tan2α＝tan 4π3＝tan π3＝ 3. 9．解：(1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝2tan α－34tan α－9＝2×2－34×2－9＝－1.(2)4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2αsin 2α＋cos 2α＝4tan 2α－3tan α－5tan 2α＋1＝4×4－3×2－54＋1＝1.10．解：(1)函数f (x )要有意义，需满足cos x ≠0，解得x ≠π2＋k π，k ∈Z ，即函数f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z .(2)∵f (x )＝1－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4cos x ＝1－2⎝⎛⎭⎫22sin2x －22cos2x cos x ＝1＋cos2x －sin2xcos x＝2cos 2x －2sin x cos x cos x＝2(cos x －sin x )，由tan α＝－43，得sin α＝－43cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos 2α＝925.∵α是第四象限的角，∴cos α＝35，sin α＝－45.∴f (α)＝2(cos α－sin α)＝145.第3讲 三角函数的图象与性质1．B 解析：由周期公式T ＝2πω，又ω＝2，所以函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6的周期T ＝2π2＝π.故选B. 2．C 解析：将x ＝π12代入选项A ，B ，C ，D 中，只有选项C 取得最大值y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＋π3＝sin π2＝1，所以关于直线x ＝π12对称，且T ＝2π2＝π.3．D 解析：由函数的f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－cos x (x ∈R )，可得函数f (x )是偶函数．故选D. 4．A 解析：由题设知，T ＝2×⎝⎛⎭⎫5π4－π4＝2π，∴ω＝2πT ＝1.∴π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )．∴φ＝k π＋π4(k ∈Z )．∵0<φ<π，∴φ＝π4.故选A.5．C 解析：方法一：y ＝|sin x |·cos x|cos x |，分类争辩．方法二：y ＝|tan x |cos x 的符号与cos x 相同．故选C.6．A 解析：由f (0)＝A 2＝3，得A ＝2 3，ω＝2π2＝π⇒f (x )＝2 3sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6⇒f (3)＝2 3sin ⎝⎛⎭⎫3π＋π6＝－ 3.7.π6 解析：依题意，得cos π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝12，又φ∈[0，π)，则2π3＋φ∈⎣⎡⎦⎤2π3，5π3.∴2π3＋φ＝5π6，φ＝π6. 8.32 解析：y ＝cos2x ＋2sin x ＝－2sin 2x ＋2sin x ＋1＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －122＋32，所以当sin x ＝12时，原函数取得最大值为32.9．①⑤ 解析：∵y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫5π6－π3＝4sin π2＝4，y 取最大值，∴x ＝5π6为它的一个对称轴．又∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫5π6－7π3＝－sin 3π2＝1，∴x ＝5π6是对称轴．10．解：(1)f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.由图象知，y 0＝f (x )max ＝3,2x 0＋π6＝π2＋2k π，解得x 0＝π6＋k π，k ∈Z ，取k ＝1，x 0＝76π.(2)由于x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，－π12，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－5π6，0， 于是当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0；当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3.11．解：y ＝－⎝⎛⎭⎫cos x －12a 2＋a 24＋58a －12，当0≤x ≤π2时，0≤cos x ≤1.令t ＝cos x ，则0≤t ≤1.∴y ＝－⎝⎛⎭⎫t －12a 2＋a 24＋58a －12，0≤t ≤1.若0≤a 2≤1，即0≤a ≤2，则当t ＝a 2，即cos x ＝a2时，y max ＝a 24＋58a －12＝1，解得a ＝32或a ＝－4(舍去)．若a2＜0，即a ＜0，则当t ＝0，即cos x ＝0时， y max ＝58a －12＝1，解得a ＝125(舍去)．若a2＞1，即a ＞2，则当t ＝1，即cos x ＝1时， y max ＝a ＋58a －32＝1，解得a ＝2013(舍去)．综上所述，存在a ＝32符合题意．第4讲 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象1．A 2.A3．C 解析：∵T 4＝3－1＝2，∴T ＝8，∴ω＝2πT ＝π4.令π4×1＋φ＝π2，得φ＝π4，∴故选C.4．D 解析：两相邻对称轴之间的距离为T 2＝π2，T ＝π，ω＝2，要得到f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只需把f (x )＝sin2x 的图象向左平移π6个单位．5．D 解析：由函数y ＝sin x 向左平移φ个单位得到y ＝sin(x ＋φ)的图象．由条件知，函数y ＝sin(x ＋φ)可化为函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，比较个各选项，只有y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋11π6＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6. 6．C 解析：A ＝2 3，ω＝2⇒f (x )＝2 3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，由－π4≤x ≤π4⇒－π3≤2x ＋π6≤2π3，得[f (x )]min ＝2 3sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－3. 7．[2，＋∞) 解析：f (x )＝3sin3x ＋cos3x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6，|f (x )|max ＝2，∴a ≥2. 8.⎣⎡⎦⎤－12，1 ⎣⎡⎦⎤π6，π2 解析：当a ＝π3时，x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3，2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1；若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，π2≤2a ＋π6≤7π6，π6≤a ≤π2. 9．解：(1)由题意，可得A ＝2，T 2＝⎝⎛⎭⎫x 0＋π2－x 0＝π2.∴T ＝π. 由2πω＝π，得ω＝2. ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)∵ 点(x 0,2)是函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6在y 轴右侧的第一个最高点， ∴ 2x 0＋π6＝π2.∴ x 0＝π6.∴sin ⎝⎛⎭⎫x 0＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π6＋π4 ＝sin π6cos π4＋cos π6sin π4＝12×22＋32×22 ＝2＋64.10．解：(1)f (x )＝sin x ＋sin x cos π3＋cos x sin π3＝sin x ＋12sin x ＋32cos x＝32sin x ＋32cos x ＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫322sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. 当sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝－1时，f (x )min ＝－3，此时x ＋π6＝3π2＋2k π，∴x ＝4π3＋2k π(k ∈Z )．∴f (x )的最小值为－3，此时x 的集合为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝4π3＋2k π，k ∈Z .(2)将函数y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，然后将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象上的点的纵坐标变为原来的3倍，得f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6.第5讲 两角和与差及二倍角的三角函数公式1．B 解析：由sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝sin π4cos x －cos π4sin x ＝22×(cos x －sin x )＝35，两边平方，得12(1－2cos x ·sin x )＝925，1－sin2x ＝1825，sin2x ＝725.2．A 解析：∵sin2α＝23，∴cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12×⎣⎡⎦⎤1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝12(1－sin2α)＝12×⎝⎛⎭⎫1－23＝16. 3．A 解析：∵tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两个根，∴tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝2，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝31－2＝－3.故选A. 4．A5．D 解析：g (x )＝sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，将函数f (x )＝2sin2x 的图象向左平移π8个单位长度即可．6．－79 解析：∵cos(x －y )＝cos x cos y ＋sin x sin y ＝13，∴cos(2x －2y )＝2cos 2(x －y )－1＝29－1＝－79.7．1 解析：f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x ＝sin x cos φ＋cos x sin φ－2cos x sin φ＝sin x cos φ－cos x sin φ＝sin(x －φ)，最大值为1.8．π 解析：y ＝32sin2x ＋cos 2x ＝32sin2x ＋1＋cos2x 2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12，其最小正周期为T ＝2π2＝π. 9．解：(1)由于α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－2 55.故sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α ＝22×⎝⎛⎭⎫－2 55＋22×55＝－1010. (2)由(1)，得sin2α＝2sin αcos α＝－45，cos2α＝2cos 2α－1＝35.所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α＝cos 5π6cos2α＋sin 5π6sin2α ＝－32×35＋12×⎝⎛⎭⎫－45＝－3 3＋410.10．解：f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )＝2cos x sin x ＋2cos 2x＝sin2x ＋cos2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1. (1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2cos 5π4⎝⎛⎭⎫sin 5π4＋cos 5π4 ＝2×⎝⎛⎭⎫－22⎝⎛⎭⎫－22－22＝2.(2)函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.若f (x )单调递增，则2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z . 第6讲 简洁的三角恒等变换1．C2．D 解析：sin 2α＋cos2α＝sin 2α＋cos 2α－sin 2α＝cos 2α＝14.∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos α＝12，sin α＝32.∴tan α＝ 3. 3．A 解析：由于y ＝sin3x ＋cos3x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4，所以将函数y ＝2cos3x 的图象向右平移π12个单位长度，得函数y ＝2cos3⎝⎛⎭⎫x －π12＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4.故选A. 4．A 解析：方法一：∵sin α－cos α＝2，∴2sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝ 2.∴sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝1.∵α∈(0，π)，∴α＝3π4.∴tan α＝－1.方法二：∵sin α－cos α＝2，∴(sin α－cos α)2＝2.∴sin2α＝－1.∵α∈(0，π)，∴2α∈(0,2π)，∴2α＝3π2.∴α＝3π4.∴tan α＝－1.故选A.5．C 解析：sin47°－sin17°cos30°cos17°＝sin (30°＋17°)－sin17°cos30°cos17°＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°－sin17°cos30°cos17°＝sin30°cos17°cos17°＝12.6．B 解析：y ＝3cos x ＋sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π6，向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，m 的最小值是π6.7.5 解析：y ＝2sin x －cos x ＝5sin(x ＋φ)，其中tan φ＝－12，∴最大值为 5.8．π 解析：y ＝sin2x ＋2 3sin 2x ＝sin2x ＋2 3×1－cos2x 2＝sin2x －3cos2x ＋3＝2⎝⎛⎭⎫12sin2x －32cos2x ＋3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3，∴T ＝2π2＝π. 9．解：∵sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝16， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13. ∴sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13.∴cos2α＝13. 又∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴2α∈(π，2π)．∴sin2α＝－1－cos 22α＝－1－⎝⎛⎭⎫132＝－2 23.∴sin4α＝2sin2αcos2α＝2×⎝⎛⎭⎫－2 23×13＝－4 29.第7讲 正弦定理和余弦定理1．A 解析：由正弦定理，得a 2＋b 2<c 2.由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab<0，所以C 是钝角，故选A.2．B 解析：sin A sin (A ＋C )＝sin A sin B ＝a b ＝23.故选A.3．B 4.B5．A 解析：由2a sin B ＝3b ，得2sin A sin B ＝3sin B ，sin A ＝32，A ＝π3或2π3(舍去)． 6．D 解析：23cos 2A ＋cos2A ＝25cos 2A －1＝0，cos A ＝15或cos A ＝－15(舍去)，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A,49＝b 2＋36－12b ×15，5b 2－12b －65＝0，解得b ＝5或b ＝－135(舍去)．7．2 解析：由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝4，∴b ＝2. 8.154 解析：由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－2×1×2×14＝4，则c ＝2，即B ＝C ，故sin B ＝1－⎝⎛⎭⎫142＝154. 9．解：(1)∵cos B cos C －sin B sin C ＝12，即cos(B ＋C )＝12，∴B ＋C ＝60°.从而A ＝120°.(2)由余弦定理，得b 2＋c 2＋bc ＝a 2＝12，① 又b ＋c ＝4，∴b 2＋c 2＋2bc ＝16.② 由①②，得bc ＝4，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×32＝ 3.10．解：由三角形的面积公式，得 12bc sin A ＝12×3×1×sin A ＝ 2.∴sin A ＝2 23. ∵sin 2A ＋cos 2A ＝1，∴cos A ＝±1－sin 2A ＝±13.当cos A ＝13时，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝9＋1－2×3×1×13＝8，∴a ＝2 2；当cos A ＝－13时，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝9＋1＋2×3×1×13＝12，∴a ＝2 3.第8讲 解三角形应用举例1．C 解析：如图D63，在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝3，∠ABC ＝30°. 由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC ， ∴3＝x 2＋9－6x ·cos30°，解得x ＝3或2 3.图D63 图D642．D 解析：如图D64，依题意，得∠ACB ＝120°.由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos120°＝a 2＋a 2－2a 2·⎝⎛⎭⎫－12＝3a 2，∴AB ＝3a .故选D. 3．A 解析：在△ABC 中，∠BAC ＝50°－20°＝30°，∠ABC ＝40°＋65°＝105°，AB ＝40×0.5＝20(海里)，则∠ACB ＝45°.由正弦定理，得BC sin30°＝20sin45°，解得BC ＝10 2.故选A.4．C 解析：如图D65，BD ＝1，∠DBC ＝20°，∠DAC ＝10°.在△ABD 中，由正弦定理，得1sin10°＝ADsin160°.解得AD ＝2cos10°.图D65 图D665．B 解析：由于∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，所以∠ABC ＝30°.所以依据正弦定理可知，ACsin ∠ABC＝AB sin ∠ACB，即50sin30°＝ABsin45°，解得AB ＝50 2 m ．故选B.6．A 解析：由正弦定理，得a sin A ＝bsin B＝2R (其中R 为△ABC 外接圆的半径)，则a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，a ≤b ⇔2R sin A ≤2R sin B ⇔sin A ≤sin B ，因此“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的充要条件．故选A.7．C 解析：如图D66，∠DAC ＝30°，∠DBC ＝45°，AB ＝30(3－1)×13＝10×(3－1)，设CD ＝h ，则DA ＝3h ，DB ＝h .由AB ＝DA －DB ＝(3－1)h ＝10(3－1)，得h ＝10. 8．解：(1)设缉私艇追上走私船所需的时间为t 小时，则有|BC |＝25t ，|AB |＝35t ，且∠CAB ＝α，∠ACB ＝45°＋(180°－105°)＝120°，依据正弦定理，得|BC |sin α＝|AB |sin120°，即25t sin α＝35t 32.∴sin α＝5 314.(2)在△ABC 中，由余弦定理，得|AB |2＝|AC |2＋|BC |2－2|AC ||BC |cos ∠ACB ， 即(35t )2＝152＋(25t )2－2×15×25t ×cos120°，即8t 2－5t －3＝0.解得t ＝1或t ＝－38(舍去)．答：缉私艇追上走私船需要1小时．9．解：(1)在△ADC 中，∵cos ∠ADC ＝17，∴sin ∠ADC ＝4 37.∴sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠ABD ) ＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B ＝4 37×12－17×32＝3 314.(2)在△ABD 中，由正弦定理，得BD ＝AB ×sin ∠BAD sin ∠ADB ＝8×3 3144 37＝3. 在△ABC 中，由余弦定理，得 AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ×cos B ＝82＋52－2×8×5×12＝49， ∴AC ＝7.。

三角函数复习题1．若tan α＞0，则( )A ．sin α＞0B ．cos α＞0C ．sin 2α＞0D ．cos 2α＞0 [解析] C 因为sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α>0，所以选C.2． 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－35 C.35 D.45[解析] B 方法一：在角θ终边上任取一点P (a ，2a )(a ≠0)，则r 2＝||OP 2＝a 2＋(2a )2＝5a 2，∴cos 2θ＝a 25a 2＝15，∴cos 2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35. 方法二：tan θ＝2a a ＝2，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35.3.若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A.125 B ．－125 C.512 D ．－512[解析] D 因为α为第四象限角，所以cos α＝1－sin 2α＝1213，tan α＝sin αcos α＝－512.4.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx ，x ≤0，f （x －1）＋1，x >0，则f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 [解析] C 因为f ⎝⎛⎭⎫43＝f ⎝⎛⎭⎫13＋1＝f ⎝⎛⎭⎫－23＋2＝ cos ⎝⎛⎭⎫－23π＋2＝cos 23π＋2＝－cos π3＋2＝32， ⎝⎛⎭⎫－43＝cos ⎝⎛⎭⎫－4π3＝cos ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝－cos π3＝－12，所以f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43＝1.5.在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③[解析] A 函数y ＝cos|2x |＝cos 2x ，其最小正周期为π，①正确；函数y ＝cos x 位于x 轴上方的图像不变，将位于x 轴下方的图像对称地翻转至x 轴上方，即可得到y ＝|cos x |的图像，所以其最小正周期也为π，②正确；函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的最小正周期为π，③正确；函数y＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的最小正周期为π2，④不正确．6.已知ω>0，0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ＝( )A.π4B.π3C.π2D.3π4[解析] A 由题意，函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫5π4－π4＝2π，又ω>0，所以ω＝2πT ＝1.故f (x )＝sin ()x ＋φ.故⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋φ＝－1， ①或⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋φ＝1， ②由①得φ＝2k π＋π4()k ∈Z ；由②得φ＝2k π－3π4()k ∈Z . 又已知0<φ<π，所以由①得φ＝π4；②无解．综上，φ＝π4.故选A.7.设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，则( )A ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增，其图像关于直线x ＝π4对称B ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增，其图像关于直线x ＝π2对称C ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减，其图像关于直线x ＝π4对称D ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减，其图像关于直线x ＝π2对称[解析] D f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x ，所以y ＝f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内单调递减，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2cos π＝－2是最小值．所以函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝π2对称．8.函数y ＝sin x 2的图像是( )[解析] D 设y ＝f (x )＝sin x 2，则f (－x )＝sin(－x )2＝sin x 2＝f (x )，故f (x )为偶函数，A ，C 不符合．f π2＝sin π22＝sin π24<1，则B 不符合，故选D.9.下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( )A ．y ＝sin2x ＋π2B ．y ＝cos2x ＋π2 C ．y ＝sin 2x ＋cos 2x D ．y ＝sin x ＋cos x[解析] B 选项A ，B ，C 中的函数的最小正周期都是π，选项D 中，y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最小正周期是2π，故排除D.选项A 中，y ＝cos 2x 是偶函数；选项B 中，y ＝－sin 2x 为奇函数；选项C 中，y ＝2sin2x ＋π4是非奇非偶函数．10.定义在区间[0，3π]上的函数y ＝sin 2x 的图像与y ＝cos x 的图像的交点个数是________． [解析] 方法一：令sin 2x ＝cos x ，即2sin x cos x ＝ cos x ，解得cos x ＝0或sin x ＝12，即x ＝k π＋π2或x ＝2k π＋π6或x ＝2k π＋56π(k ∈Z )，又x ∈[0，3π]，故x ＝π2，3π2，5π2或x ＝π6，5π6，13π6，17π6，共7个解，故两个函数的图像有7个交点． 11.若函数f (x )＝cos 2x ＋a sin x 在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2上是减函数，则a 的取值范围是 ( )A ．(2，4)B ．(－∞，2]C ．(－∞，4]D ．[4，＋∞) [解析] B f (x )＝cos 2x ＋a sin x ＝1－2sin 2x ＋a sin x ，令t ＝sin x ，由x ∈⎝⎛⎭⎫π6，π2得t ∈⎝⎛⎭⎫12，1，依题意有g (t )＝－2t 2＋at ＋1在⎝⎛⎭⎫12，1上是减函数，所以a 4≤12，即a ≤2.故选B. 12. 若tan θ＝－13，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－15 C.15 D.45D [解析] cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝1－191＋19＝45.13.将函数y ＝2sin(2x ＋π6)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为( )A ．y ＝2sin(2x ＋π4)B ．y ＝2sin(2x ＋π3)C ．y ＝2sin(2x －π4)D ．y ＝2sin(2x －π3)D [解析] 函数y ＝2sin(2x ＋π6)的周期为2π2＝π，将函数 y ＝2sin(2x ＋π6)的图像向右平移14个周期，即平移π4个单位，所得图像对应的函数为y ＝2sin[2(x －π4)＋π6]＝2sin(2x －π3). 14． 函数y ＝sin x －3cos x 的图像可由函数y ＝2sin x 的图像至少向右平移________个单位长度得到． 14.π3 [解析] 函数y ＝sin x －3cos x ＝2sin （x －π3）的图像可由函数y ＝2sin x 的图像至少向右平移π3个单位长度得到．15． 已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0)，则A ＝________，b ＝________．15.2 1 [解析] 2cos 2x ＋sin 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin （2x ＋π4）＋1，故A ＝2，b＝1.16.若函数f (x )＝4sin x ＋a cos x 的最大值为5，则常数a ＝________．±3 [解析] 根据题意得f (x )＝16＋a 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝a4，故函数f (x )的最大值为16＋a 2，则16＋a 2＝5，解得a ＝±3.17.为了得到函数y ＝sin(x ＋π3)的图像，只需把函数y ＝sin x 的图像上所有的点( )A ．向左平行移动π3个单位长度B ．向右平行移动π3个单位长度C ．向上平行移动π3个单位长度D ．向下平行移动π3个单位长度A [解析] 根据“左加右减”的原则，要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图像，只需把y ＝sin x 的图像向左平移π3个单位长度．18要得到函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像，只需将函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像( )A. 向左平移π2个单位长度B. 向右平移π2个单位长度C. 向左平移π4个单位长度D. 向右平移π4个单位长度C [解析] 易知f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6， 故把g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向左平移π4个单位长度，就可得到f (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像．19． 设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)把y ＝f (x )的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图像向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图像，求g （π6）的值．解：(1)f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2＝23sin 2x －(1－2sin x cos x )＝3(1－cos2x )＋sin 2x －1＝sin 2x －3cos 2x ＋3－1＝2sin （2x －π3）＋3－1.由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间是[k π－π12，k π＋5π12](k ∈Z )或（k π－π12，k π＋5π12）(k ∈Z )．(2)由(1)知f (x )＝2sin （2x －π3）＋3－1，把y ＝f (x )的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝2sin （x －π3）＋3－1的图像，再把得到的图像向左平移π3个单位，得到y ＝2sin x ＋3－1的图像， 即g (x )＝2sin x ＋3－1，所以g （π6）＝2sin π6＋3－1＝ 3.20.已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)求f (x )的单调递增区间．解：(1)因为f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＝sin 2ωx ＋cos 2ωx＝2sin(2ωx ＋π4)，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝πω.依题意，πω＝π，解得ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝2sin(2x ＋π4).函数y ＝sin x 的单调递增区间为[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )，由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间为[k π－3π8，k π＋π8](k ∈Z )．。

高考三角函数问题专题复习一、三角函数基础题1、已知角α的终边通过点P(-3,4),则sinα+cosα+t an α= ( )A.1523-B.1517-C.151-D.15172、π617sin = ( )A.21 B.23- C.21- D.23-3、x y 2sin 21=的最小正周期是 ( ) A.2πB.πC.2πD. 4π 4、设tan α=2，且sin α＜0，则cos α的值等于 ( ) A.55 B.51- C.55- D.51 5、y=cos 2(2x)的最小正周期是 ( )A .2πB. πC.4πD.8π 6、命题甲：sin x=1，命题乙：x=2π，则 ( )A.甲是乙充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充分必要条件D.甲不是乙的必要条件也不是乙的充分条件 7、命题甲：A=B ，命题乙：sinA=sinB,则 ( ) A.甲不是乙的必要条件也不是乙的充分条件 B.甲是乙的充分必要条件C.甲是乙的必要条件但不是充分条件D.甲是乙的充分条件但不是必要条件 8、函数y=sin x 在区间________上是增函数. ( ) A.[0,π] B.[π,2π] C.]25,23[ππ D .]87,85[ππ 9、函数)43tan(π+=x y 的最小正周期为 ( )A.3πB.πC.32π D.3π10、设角α的终边通过点P （-5，12），则cot α+sin α等于 ( ) A.137 B.-137 C.15679 D.- 1567911、函数y=cos3x -3sin3x 的最小正周期和最大值分别是 ( )A.32π, 1 B.32π, 2 C.2π, 2 D.2π, 1 12、若23cos ],2,[-=∈x x ππ ,则x 等于 ( ) A.67π B.34π C.35π D.611π 13、已知57cos sin ,51cos sin =-=+αααα，则tan α等于 ( )A.34-B.-43C.1D.- 114、150cos = ( )A.21 B.23 C.﹣21 D. ﹣2315、在△ABC 中，AB=3，AC=2，BC=1，则sin A 等于 ( )A.0B.1C.23 D.2116、在]2,0[π上满足sinx≤-0.5的x 的取值范围是区间 ( ) A.[0,6π] B.[6π,65π] C.]67,65[ππ D .]611,67[ππ17、使等式cosx=a -2有意义的a 的取值范围是区间 ( )A .[0，2] B.[1，3] C.[0，1] D.[2，3]18、=-+-)690sin(495tan )585cos( ( )A .22 B.32C.32-D.219、如果51cos sin =+x x ，且0≤x<π，那么tanx= ( ) A .34- B.43- C.43 D.3420、要得到)62sin(π-=x y 的图象，只需将函数y=sin2x 的图象 ( )A .向右平行移动3π个单位 B.向右平行移动6π个单位C.向右平行移动12π个单位 D.向左平行移动12π个单位 21、已知πα 0，53cos =α，那么=+)sin(πα ( )A .-1 B.53- C.54 D.54-22、tan165°-tan285°= ( )A .32- B.31+ C.32 D.32+23、函数y=2sin2xcos2x 是 ( )A .周期为2π的奇函数 B.周期为2π的偶函数 C.周期为4π的奇函数 D.周期为4π的偶函数24、在△ABC 中，已知∠BAC=120o ，AB=3，BC=7，则AC=____________.25、在△ABC 中，AB=3，BC=5，AC=7，则cosB=________.26、在△ABC 中，已知AB=2，BC=3，CA=4，则cosA=____ ______.27、函数y=x x cos sin 3+的值域是___ ______. 28、函数y=sinx-3cosx 的最小正周期是___________. 29、设38πα-=，则与α终边相同的最小正角是_________. 30、cos 2398o +cos 2232o =___________. 31、函数tan(3)4y x π=+的最小正周期是 .二、三角函数式的变换及其应用32、015tan 115tan 1-+= ( ) A.3- B.33 C.3 D.33- 33、已知=-=θθπθπθθsin cos ,24,81cos sin 那么且 ( ) A .23 B.23- C.43 D.43-34、当=+∈≠xx x x ，Z k k x co s 3co s si n 3si n )(2时π ( ) A .-2cos2x B.2cos2x C.4cos2x D.-4cos2x 35、=++-)67sin()67sin(θπθπ ( ) A .23B.θcosC.θcos -D.θ2cos 3 36、已知=--==)tan(,21tan ,3tan βαβα则 ( ) A .-7 B.7 C.-5 D.137、=+2280cos 1( )A .cos14° B.sin50° C.cos50° D.cos140° 38、如果=-=+=ββααβα那么且是锐角,1411)cos(,734sin ,， ( ) A .3π B.4π C.6π D.8π39、如果=++-x x x sin 1sin 1,20那么π( )A .2cosx B.2sinx C.2sin 2x D.2cos 2x40、当=--=+)tan 1)(tan 1(43βαπβα，时 ( )A .21 B.31C.1D.2 41、在△ABC 中，已知cosAcosB=sinAsinB ，那么△ABC 是 ( ) A .直角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.不等边锐角三角形42、在△ABC 中，已知cosA=135，cosB=53，那么cosC= ( ) A .6563- B.6563 C.6533- D.653343、已知sin α.+cos α.=53,则sin2α.=_______.44、函数y=2cosx -cos2x 的最大值是___ _____. 45、如果51cos sin =+αα (0＜α＜π＝，那么tg α的值是____ ____.46、设0＜α＜2π，则2cos2sin sin 1ααα--等于______ __________.三、三角函数综合题47、在ABC 中，已知∠A=45o ，∠B=30o ,AB=2,求AC.48、在ABC 中，已知∠A=60o ，且BC=2AB ，求sinC.49、设函数θθθθθcos sin 25cos sin 2)(++=f , ]2,0[πθ∈，(Ⅰ)求)12(πf ; (Ⅱ)求函数f(θ)的最小值.50、已知sin α=54，α是锐角，求1)28(cos 22--απ的值。

高考数学-三角函数专题复习三角函数专题考点例题解析】考点1.求值1、求sin330°、tan690°、sin585°的值。

解：利用三角函数的周期性和对称性，可得：sin330°=sin(360°-30°)=sin30°=1/2tan690°=tan(720°-30°)=tan30°=1/√3sin585°=sin(540°+45°)=sin45°=√2/22、已知角α为第三象限角，求sin(α+π/2)的值。

解：由于α为第三象限角，所以sinα<0，cosα<0.又因为sin(α+π/2)=cosα，所以sin(α+π/2)<0.3、已知sinθ+cosθ=5/3，cosθ-sinθ=2，求sin2θ的值。

解：将sinθ+cosθ和cosθ-sinθ相加，可得cosθ+cosθ=5/3+2=11/3，即cosθ=11/6.将cosθ-sinθ和sinθ+cosθ相减，可得2sinθ=-1/6，即sinθ=-1/12.代入sin2θ=2sinθcosθ的公式，可得sin2θ=-11/72.4、已知si n(π/4-α)=2/√5，求cosα的值。

解：sin(π/4-α)=sinπ/4cosα-cosπ/4sinα=2/√5，代入cosπ/4=√2/2和sinπ/4=√2/2，可得cosα=1/√10.5、已知f(cosx)=cos3x，求f(sin30°)的值。

解：将x=π/6代入f(cosx)=cos3x，可得f(cosπ/6)=cos(3π/6)=cosπ=-1.又因为sin30°=cosπ/6，所以f(sin30°)=-1.6、已知tanα=15π/22，求cos(π/2-α)的值。

解：tanα=15π/22，所以α为第三象限角，cos(π/2-α)=sinα>0.由tanα=sinα/cosα，可得cosα=15/√466，代入sin^2α+cos^2α=1，可得sinα=7/√466，最终可得cos(π/2-α)=7/15.7、已知tan(π/4+x)=2tan(π/4-x)，求cos2x的值。

1.已知 tanx=2,求 sinx , cosx 的值.解： 因为 tan x = Sin X =2，又 sin 2x + cos 2x=1 , cosxsin x = 2cosx联立得丿2 2 ，sin x +cos x =1sin x -cosx _2 sin x cosx所以 sinx — cosx=2(sinx + cosx),22得到sinx= — 3cosx ,又sin x + cos x=1，联立方程组，解得3+10sin,COSX = -〒0- C ——3 所以 sin xcosx — 10法二：因为叱叱=2,sin x cosx所以 sinx — cosx=2(sinx + cosx),所以(sinx — cosx)2=4(sinx + cosx)2, 所以 1 — 2sin xcosx=4 + 8sin xcosx ,3所以有 sinxcosx — ■10求证：tan 2x sin 2x=tan 2x — sin 2x . I.F , [ ]22 2 22 2 2 22证明：法一：右边=tan' x — sin x=tan x — (tan x cos x)=tan x(1 — cos x)=tan x sin x , 法二：左边 =ta n 2x sin 2x=ta n 2x(1 — cos 2x)=ta n 2x — ta n 2x cos 2 x=ta n 2x — si n 2x ,问题得证.sinx =2.5解这个方程组得cosx =245sin x = --------- i 靠 cosx I 5tan(-120)cos(210)sin(-480)2 .求——tan(-690 ') sin(-150 丨 cos(330 )的值.解：原式tan( -120 180 )cos(18030 )sin( -360 -120 )o~tan(-720 30o )sin(-150 )cos(360 -30 )tan 60 (-cos30 )(-sin 120) 弋 3 tan30(—sin150 )cos303.卄 sin x - cosx右sin x cosx=2,,求 sinxcosx 的值. 解：法一：因为 3110 sinx 10- 尿，cosx4.问题得证.3 x =84[0 2兀]0x2 f(x)x1如sin(2 ■ 6)[-?，1], y [1 2]2(1)y sin x cosx+2(1)y=si n 2x t=cosx t(2)y 2sin xcosx[- 2, 2]cosx 2 [-1,1],2 cos x cosx (2)y 2sin xcosx (sinx2= (cos 2x cosx) 3 cosx)一 (t 2t) 3-(t 丄)2213 +— 4(sinx cosx)=(s in xy =t 2 -t -1,y=As in( + )( (6 0)(2, 2) 匚=4T=164、2 = . 2 sin(- 2)84f(x)=cos x f(x) 一 sinxcosx)20)© =一842sinxcosx sin x(si nx cosx) t=sinxcosx= 42 sin((2「2)..y _2 sin(_ x ).48 4()xwy f(x)42222f(x)=cos x 2sinxcosx sin4x (cos x sin x)(cos x sin x)_ 2= (cos x -sin x) -sin 2x =cos2x -sin 2xsin2x-2x) - - 2 sin(2x -；))x 可Og](2x--)%-丄]4 4 4x=0 f(x)tan - 21 cos 日 +sin 日cos ： -sin -2 si n 2°—si n B . cos 日+2cos 2 &1 + si n 日 (1)cos ，Sinn _ cos^ cos 日 +si ne . sin 日1 ------ cos ：-1十¥ =」—2逅;1 - tan v 1_22 2sinsin rcos v 2cos r2 2sin sin vcos v 2 cos 二2 2sin cos 二2 si nr sin 二 22=COS d COSdsin -彳1cos 二说明：利用齐次式的结构特点(如果不具备，通过构造的办法得到) 程简化。

1．tan x =2，求sin x ，cos x 的值． 解：因为2cos sin tan ==xxx ，又sin 2x ＋cos 2x =1， 联立得⎩⎨⎧=+=，1cos sin cos 2sin 22x x xx 解这个方程组得.55cos 552sin ,55cos 552sin ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==x x x x2．求)330cos()150sin()690tan()480sin()210cos()120tan(----的值．解：原式)30360cos()150sin()30720tan()120360sin()30180cos()180120tan(o--+---++-= .3330cos )150sin (30tan )120sin )(30cos (60tan -=---=3．假设,2cos sin cos sin =+-xx xx ，求sin x cos x 的值．解：法一：因为,2cos sin cos sin =+-xx xx所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )，得到sin x =－3cos x ，又sin 2x ＋cos 2x =1，联立方程组，解得，，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==1010cos 10103sin 1010cos 10103sin x x x x 所以⋅-=103cos sin x x 法二：因为,2cos sin cos sin =+-xx xx所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )， 所以(sin x －cos x )2=4(sin x ＋cos x )2， 所以1－2sin x cos x =4＋8sin x cos x ， 所以有⋅-=103cos sin x x 4．求证：tan 2x ·sin 2x =tan 2x －sin 2x ．证明：法一：右边＝tan 2x －sin 2x =tan 2x －(tan 2x ·cos 2x )=tan 2x (1－cos 2x )=tan 2x ·sin 2x ，问题得证． 法二：左边=tan 2x ·sin 2x =tan 2x (1－cos 2x )=tan 2x －tan 2x ·cos 2x =tan 2x －sin 2x ，问题得证．5．求函数)6π2sin(2+=x y 在区间[0，2π ]上的值域． 解：因为0≤x ≤2π，所以,6π76π26π,π20≤+≤≤≤x x 由正弦函数的图象， 得到],1,21[)6π2sin(-∈+x所以y ∈[－1，2]． 6．求以下函数的值域．(1)y ＝sin 2x －cos x +2； (2)y ＝2sin x cos x －(sin x ＋cos x )． 解：(1)y =sin 2x －cos x ＋2＝1－cos 2x －cos x ＋2=－(cos 2x ＋cos x )＋3，令t =cos x ，那么,413)21(413)21(3)(],1,1[222++-=++-=++-=-∈t t t t y t利用二次函数的图象得到].413,1[∈y (2)y ＝2sin x cos x －(sin x ＋cos x )=(sin x ＋cos x )2－1－(sin x ＋cos x )，令t =sin x ＋cos x 2=，)4πsin(+x ，那么]2,2[-∈t 那么，,12--=t t y 利用二次函数的图象得到].21,45[+-∈y 7．假设函数y =A sin(ωx +φ)(ω＞0，φ＞0)的图象的一个最高点为)2,2(，它到其相邻的最低点之间的图象与x 轴交于(6，0)，求这个函数的一个解析式．解：由最高点为)2,2(，得到2=A ，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与x 轴交点的间隔是41个周期，这样求得44=T ，T =16，所以⋅=8πω又由)28πsin(22ϕ+⨯=，得到可以取).4π8πsin(2.4π+=∴=x y ϕ8．函数f (x )=cos 4x －2sin x cos x －sin 4x ．(Ⅰ)求f (x )的最小正周期； (Ⅱ)假设],2π,0[∈x 求f (x )的最大值、最小值． 数xxy cos 3sin 1--=的值域．解：(Ⅰ)因为f (x )=cos 4x －2sin x cos x －sin4x ＝(cos 2x －sin 2x )(cos 2x ＋sin 2x )－sin2x )4π2sin(2)24πsin(22sin 2cos 2sin )sin (cos 22--=-=-=--=x x x x x x x所以最小正周期为π．(Ⅱ)假设]2π,0[∈x ，那么]4π3,4π[)4π2(-∈-x ，所以当x =0时，f (x )取最大值为;1)4πsin(2=--当8π3=x 时，f (x )取最小值为.2-1． 2tan =θ，求〔1〕θθθθsin cos sin cos -+；〔2〕θθθθ22cos 2cos .sin sin +-的值.解：〔1〕2232121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=-+=++θθθθθθθθθθ； (2) θ+θθ+θθ-θ=θ+θθ-θ222222cos sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin sin324122221cos sin 2cos sin cos sin 2222-=++-=+θθ+θθ-θθ=.说明：利用齐次式的结构特点〔如果不具备，通过构造的方法得到〕，进行弦、切互化，就会使解题过程简化。

………………………………………………………………………………………………时间：45分钟 基础组1．[2016·冀州中学期中]已知角α的终边过点P (－a ，－3a )，a ≠0，则sin α＝( )A.31010或1010B.31010C.1010或－1010D.31010或－31010 答案D解析 当a >0时，角α的终边过点(－1，－3)，利用三角函数的定义可得sin α＝－31010；当a <0时，角α的终边过点(1,3)，利用三角函数的定义可得sin α＝31010.故选D.2.[2016·衡水中学仿真]若sin α＋cos α＝713(0<α<π)，则tan α等于( )点击观看解答视频A ．－13B.125 C ．－125D.13 答案C解析 由sin α＋cos α＝713，两边平方得1＋2sin αcos α＝49169，∴2sin αcos α＝－120169， 又2sin αcos α<0,0<α<π. ∴π2<α<π.∴sin α－cos α>0.∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝289169， ∴sin α－cos α＝1713. 由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝713，sin α－cos α＝1713，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝1213，cos α＝－513，∴tan α＝－125.3．[2016·枣强中学预测]设集合M ＝{ x | x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z }，N ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪x ＝k 4·180°＋45°，k ∈Z⎭⎬⎫，那么( ) A ．M ＝N B ．M ⊆N C ．N ⊆M D ．M ∩N ＝∅ 答案B解析 M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ＝⎩⎨⎧x | x ＝2k 4·⎭⎬⎫ 180°＋45°，k ∈Z ，故当集合N 中的k 为偶数时，M ＝N ，当k 为奇数时，在集合M 中不存在，故M ⊆N .4．[2016·冀州中学一轮检测]已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边在直线2x －y ＝0上，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＋cos (π－θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin (π－θ)＝( )A ．－2B ．2C ．0 D.23 答案B解析 由角θ的终边在直线2x －y ＝0上，可得tan θ＝2，原式＝－cos θ－cos θcos θ－sin θ＝－21－tan θ＝2.5．[2016·武邑中学一轮检测]已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( )A ．－1B ．－22 C.22D ．1 答案A解析 解法一：由sin α－cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2， α∈(0，π)，解得α＝3π4，∴tan α＝tan 3π4＝－1.解法二：由sin α－cos α＝2及sin 2α＋cos 2α＝1，得(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝2，即2sin αcos α＝－1<0，故tan α<0，且2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝－1，解得tan α＝－1(正值舍)． 6．[2016·武邑中学月考]已知角x 的终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，则角x 的最小正值为( )A.5π6B.5π3C.11π6D.2π3 答案B解析 ∵sin 5π6＝12，cos 5π6＝－32，∴角x 的终边经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，tan x ＝－3，∴x ＝2k π＋53π，k ∈Z ，∴角x 的最小正值为5π3.7.[2016·衡水中学热身]已知函数f (x )＝sin x －cos x ，且f ′(x )＝2f (x )，则tan2x 的值是( )点击观看解答视频A ．－43B.43 C ．－34D.34 答案C解析 因为f (x )＝sin x －cos x ，所以f ′(x )＝cos x ＋sin x ，于是有cos x ＋sin x ＝2(sin x －cos x )，整理得sin x ＝3cos x ，所以tan x ＝3，因此tan2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝2×31－32＝－34，故选C. 8．[2016·衡水二中期中]已知sin(π－α)＝log 814，且α∈⎝⎛⎭⎪⎫－π2，0，则tan(2π－α)的值为( )A ．－255 B.255 C ．±255 D.52 答案B解析 sin(π－α)＝sin α＝log 814＝－23，又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则cos α＝1－sin 2α＝53，所以tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝255.9．[2016·武邑中学预测]在三角形ABC 中，若sin A ＋cos A ＝15，则tan A ＝( )A.34B ．－43 C ．－34D ．±43 答案B解析 解法一：因为sin A ＋cos A ＝15，所以(sin A ＋cos A )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152，所以1＋2sin A cos A ＝125，所以sin A cos A ＝－1225.又A ∈(0，π)，所以sin A >0，cos A <0.因为sin A ＋cos A ＝15，sin A cos A ＝－1225，所以sin A ，cos A 是一元二次方程x 2－15x －1225＝0的两个根，解方程得sin A ＝45，cos A ＝－35，所以tan A ＝－43.故选B. 解法二：由解法一，得sin A >0，cos A <0，又sin A ＋cos A ＝15>0，所以|sin A |>|cos A |，所以π2<A <3π4，所以tan A <－1，故选B.10．[2016·枣强中学模拟]已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α1＋1tan 2α＝________.答案0解析 原式＝cos αsin 2α＋cos 2αcos 2α＋sin αsin 2α＋cos 2αsin 2α＝cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|，因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|＝－1＋1＝0，即原式等于0.11.[2016·武邑中学猜题]设f (α)＝2sin (π＋α)cos (π－α)－cos (π＋α)1＋sin 2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α≠－12，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝________.点击观看解答视频答案 3解析 ∵f (α)＝(－2sin α)(－cos α)＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α ＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α(1＋2sin α)sin α(1＋2sin α)＝1tan α， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎪⎫－4π＋π6 ＝1tan π6＝ 3. 能力组12.[2016·冀州中学仿真]已知扇形的面积为3π16，半径为1，则该扇形的圆心角的弧度数是( )A.3π16B.3π8C.3π4D.3π2 答案B解析 S 扇＝12|α|r 2＝12|α|×1＝3π16，所以|α|＝3π8.13．[2016·武邑中学预测]已知sin(3π－α)＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α，则sin αcos α等于( )A ．－25B.25 C.25或－25D ．－15 答案A解析 因为sin(3π－α)＝sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α， 所以sin α＝－2cos α，所以tan α＝－2， 所以sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－25. 14．[2016·衡水二中模拟]已知α∈(0，π)且sin α＋cos α＝m (0<m <1)，则cos α－sin α的值( )A ．为正B ．为负C ．为零D ．为正或负 答案B解析 若0<α<π2，如图所示，在单位圆中，P (cos α，sin α)，OM ＝cos α，MP ＝sin α，所以sin α＋cos α＝MP ＋OM >OP ＝1.若α＝π2，则sin α＋cos α＝1.由已知0<m <1，故α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α－sin α<0，故选B.15．[2016·枣强中学期末]△ABC是锐角三角形，若角θ终边上一点P的坐标为(sin A－cos B，cos A－sin C)，则sinθ|sinθ|＋cosθ|cosθ|＋tanθ|tanθ|的值是()A．1 B．－1C．3 D．4答案B解析因为△ABC是锐角三角形，所以A＋B>90°，即A>90°－B，则sin A>sin(90°－B)＝cos B，sin A－cos B>0，同理cos A－sin C<0，所以点P在第四象限，sinθ|sinθ|＋cosθ|cosθ|＋tanθ|tanθ|＝－1＋1－1＝－1，故选B.。