三角函数复习题(含答案)

高二数学专题复习三角函数练习题（含答案）一、选择题（每题5分，共75分）1.若α是第三象限角，则 2所在的象限是（）A.第一或第二象限；B.第三或第四象限；C.第一或第三象限；D.第二或第四象限．）2.（3.（）4.()5.（）6.将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得的图象向右平移 12个单位长度，得到函数的图象，则（）7.已知函数f（x）＝Atan（ωx+φ）y＝f（x）的部分图象如图，则f（）＝（）8.=（）9.在中，则是（）A.等腰三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形10.已知函数的图象如图所示，则φ的值是（）11.已知sinα+cosα=2，则tanα=（）12.已知sin（﹣x）=cos（x﹣），则tan（x﹣）等于（）13.在中，分别是角的对边，且（）14.已知角在第四象限内，（）15.（）二、解答题(共15题，共75分)16.已知中，角，，所对的边分别为，，，满足，且。

（1）求角的大小；（2）点在线段的延长线上，且，若，求的面积.17.函数的部分图像如图所示，把函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像.（1）当x∈R时，求函数的单调递增区间；（2）对于，是否总存在唯一的实数，使得成立？若存在，求出实数m的值或取值范围；若不存在，说明理由18.已知中，内角，，所对的边分别为，，，且满足.。

（1）求角的大小；（2）设是边上的高，且求面积的最小值.19.（1）求函数的单调递减区间；（2）求实数的取值范围.20.在中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，．（1）求A；（2）若的面积为，点D 在线段AC 上，且，求BD的最小值．参考答案一、选择题第1题第2题第3题第4题第5题DBACB二、解答题第16题（1）将sinA =3sinB 代入33sinAsinB -cosBcisC=12得：sinBsinC -cosBcisC=12-cos （B +C ）=12第6题第7题第8题第9题第10题CBDCA第11题第12题第13题第14题第15题DBDDB-cos（π-A）=12A= 3（2）将A= 3，a=3b，c=2代入a²=b²+c²-2bccos A，得（b+2）（b-1）=0所以：b=1S△ABC=3+34第17题（1）单调递增区间：-512 + ≤ ≤ +112 （2）当m∈（1，3]时,使得成立。

一、解答题1．sin30°+tan60°−cos45°+tan30°．2．计算：－12016－2tan 60°＋（－）0－.3．计算:2sin30°+3cos60°﹣4tan45°．4．计算： ()222sin30-°()0π33--+-． 5．计算: 2sin30tan60cos60tan45︒-︒+︒-︒．6．计算：｜﹣3|+（π﹣2017）0﹣2sin30°+（13）﹣1． 7．计算： ()0222cos30tan60 3.14π--︒+︒+-。

8．计算: 2212sin458tan 60-+︒-+︒．9．计算： 2sin30°2cos45-°8+．10．计算：（1）22sin 60cos 60︒+︒； （2)()24cos45tan6081︒+︒---． 11．计算： ()()103sin4513cos30tan6012-+-+⋅--． 12．求值：+2sin30°－tan60°— tan 45°13．计算：（sin30°﹣1）2﹣×sin45°+tan60°×cos30°． 14．(1）sin 230°+cos 230°+tan30°tan60° （2）o o o o 45cos 30sin 245sin 45tan -15．计算：﹣4﹣tan60°+|﹣2｜．16．计算：﹣2sin30°+（﹣）﹣1﹣3tan60°+（1﹣）0+．17．（2015秋•合肥期末）计算：tan 260°﹣2sin30°﹣cos45°． 18．计算:2cos30°－tan45°－()21tan 60+︒． 19．（本题满分6分） 计算:121292cos603-⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭ 20．(本题5分)计算：3－12+2sin60°+11()321．计算： ()1013tan3023122-⎛⎫︒+--+- ⎪⎝⎭． 22．计算：∣–5∣+3sin30°–（–6）2+（tan45°）–123．（6分)计算: ()()2122sin303tan45--+︒--+︒． 24．计算：()1021cos 603sin 60tan302π-⎛⎫-︒+--︒︒ ⎪⎝⎭（6分)25．计算：2sin45°－tan60°·cos30°．26．计算：()1012sin 60320152-⎛⎫-+︒---- ⎪⎝⎭． 27．计算：︒+︒⋅︒-45sin 260cos 30tan 8．28．计算： ()()12015011sin30 3.142π-⎛⎫-+--+ ⎪⎝⎭． 29．计算：．30．计算：32sin 45330cos602︒︒+︒+-． 31．计算:2sin 603tan 302tan 60cos 45︒+︒-︒⋅︒32．计算：cos30sin602sin 45tan 45︒︒+︒•︒－ ．33．计算 ：23tan60sin 453tan 45cos60︒-︒-︒+︒．34．计算:27-3sin60°—cos30°+2tan45°．35．计算:()201273tan3033π-⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭ 36．计算20140+121-⎪⎭⎫ ⎝⎛−2sin45°+tan60°． 37．计算:tan30°cos30°+sin 260°— sin 245°tan45° 38．计算：（π﹣3）0+﹣(﹣1）2017﹣2sin30° 39．计算：﹣12016﹣（π﹣3）0+2cos30°﹣2tan45°•tan60°． 40．计算：（1)+|sin60°﹣1｜+tan45°(2）tan 260°+4sin30°cos45°41．计算：(1）（﹣1）2017﹣2﹣1+sin30°+（π﹣314）0； （2）cos 245°+sin60°tan45°+sin 230．42．计算：。

高三复习——三角函数练习题（附详细解答过程）一、选择题1．下列命题中正确的是（ ）(A) 第一象限角必是锐角 (B) 终边相同的角相等 (C) 相等的角终边必相同 (D) 不相等的角其终边必不相同 2．若tan110,a =则cot 20的值是（ ） (A) a - (B) a (C)1a (D) 1a- 3．cos24°cos36°-cos66°cos54°的值等于( ) (A) 0 (B)21 (C) 23 (D) -214．已知角α终边上一点()a a P 43-，，则下列关系中一定正确的是（ ） (A) 54sin -=α (B)53cos =α(C)34tan =α (D) 43cot -=α5．在ΔABC 中,“A>30º”是“sinA>21”的（ ）(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件6．已知3sin(),45x π-=则sin 2x 的值为 （ ）(A) 1925 (B)1625 (C)1425 (D) 7257．在△ABC 中，如果sin A =2sin C cos B .那么这个三角形是( ) (A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)等腰三角形 (D)等边三角形8．tan θ和tan(4π-θ)是方程x 2+px +q =0的两根，则p 、q 之间的关系是( ) (A)p +q +1=0 (B)p -q -1=0 (C)p +q -1=0 (D) p -q +1=09．已知θ是第三象限角，若95cos sin 44=+θθ，那么θ2sin 等于（ ）(A)32 (B) 322- (C) 322 (D) 32-10．设2132tan131cos50cos6sin 6,,,221tan 13a b c -=-==+则有（ ） (A)a b c >> (B)a b c << (C) b c a << (D) a c b <<11．定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期是π，且当]2,0[π∈x 时，x x f sin )(=，则)35(πf 的值为（ ） (A) 21-(B)23 (C) 23- (D) 21 12．在锐角三角形ABC 中，下列式子成立的是（ ）(A) 0cos sin log cos >B A C (B)0cos cos log sin >B AC(C)0sin sin log sin >B A C (D) 0sin cos log sin >BAC二、填空题13．在角集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z ,43k k M ππαα，终边位于π4-到π2-之间的角为_______14．设扇形的周长为8cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 15．已知,32cos sin -=-βα32sin cos -=-βα，则=+)sin(βα 16．设角35,6απ=-则222sin()cos()cos()1sin sin()cos ()παπαπααπαπα+--+++--+的值等于______________.17．已知21)4tan(=+απ，（1）求αtan 的值；（2）求αα2cos 1cos 2sin 2+-a 的值。

一、解答题1．sin30°+tan60°−cos45°+tan30°．2．计算：－12016－2tan 60°＋(－)0－.3．计算：2sin30°+3cos60°﹣4tan45°．4．计算： ()222sin30-°()0π33--+-． 5．计算： 2sin30tan60cos60tan45︒-︒+︒-︒．6．计算：|﹣3|+（π﹣2017）0﹣2sin30°+（13）﹣1． 7．计算： ()0222cos30tan60 3.14π--︒+︒+-.8．计算： 2212sin458tan 60-+︒-+︒．9．计算： 2sin30°2cos45-°8+．10．计算：（1）22sin 60cos 60︒+︒； （2）()24cos45tan6081︒+︒---． 11．计算： ()()103sin4513cos30tan6012-+-+⋅--． 12．求值：+2sin30°－tan60°- tan 45° 13．计算：（sin30°﹣1）2﹣×sin45°+tan60°×cos30°． 14．（1）sin 230°+cos 230°+tan30°tan60° （2）o o o o 45cos 30sin 245sin 45tan -15．计算：﹣4﹣tan60°+|﹣2|．16．计算：﹣2sin30°+（﹣）﹣1﹣3tan60°+（1﹣）0+．17．（2015秋•合肥期末）计算：tan 260°﹣2sin30°﹣cos45°．18．计算：2cos30°－tan45°－()21tan 60+︒． 19．（本题满分6分） 计算：121292cos603-⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭ 20．（本题5分）计算：3－12+2sin60°+11()321．计算： ()1013tan3023122-⎛⎫︒+--+- ⎪⎝⎭． 22．计算：∣–5∣+3sin30°–（–6）2+（tan45°）–123．（6分）计算: ()()2122sin303tan45--+︒--+︒． 24．计算：()1021cos 603sin 60tan 302π-⎛⎫-︒+--︒︒ ⎪⎝⎭（6分）25．计算：2sin45°－tan60°·cos30°．26．计算：()1012sin 60320152-⎛⎫-+︒---- ⎪⎝⎭． 27．计算：︒+︒⋅︒-45sin 260cos 30tan 8．28．计算： ()()12015011sin30 3.142π-⎛⎫-+--+ ⎪⎝⎭． 29．计算：．30．计算：32sin 453cos602︒︒+︒+-．31．计算：2sin603tan302tan60cos45︒+︒-︒⋅︒32．计算：cos30sin602sin 45tan 45︒︒+︒•︒－ ．33．计算 ：23tan 60sin 453tan 45cos 60︒-︒-︒+︒． 34．计算：27-3sin60°-cos30°+2tan45°．35．计算：()201273tan 3033π-⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭ 36．计算20140+121-⎪⎭⎫ ⎝⎛−2sin45°+tan60°． 37．计算：tan30°cos30°+sin 260°- sin 245°tan45°38．计算：（π﹣3）0+﹣（﹣1）2017﹣2sin30°39．计算：﹣12016﹣（π﹣3）0+2cos30°﹣2tan45°•tan60°．40．计算：（1）+|sin60°﹣1|+tan45°（2）tan 260°+4sin30°cos45°41．计算：（1）（﹣1）2017﹣2﹣1+sin30°+（π﹣314）0；（2）cos 245°+sin60°tan45°+sin 230．42．计算：.43．．44．计算：2sin 30°－3tan 45°·sin 45°＋4cos 60°. 45．计算： ()103116220073tan6033π-⎛⎫⎛⎫+÷-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 46．计算：(－1)2 019－()－3＋(cos 68°)0＋|3－8sin 60°|47．计算：(1)；(2)．48．计算：(1)sin45°·cos45°＋tan60°·sin60°；(2)sin30°－tan245°＋tan230°－cos60°. 49．计算：二、填空题5012﹣tan30°+（π﹣4）0112-⎛⎫- ⎪⎝⎭=_____．参考答案1．【解析】【分析】分别代入各特殊角的三角函数值，然后进行计算即可得.【详解】sin30°+tan60°−cos45°+tan30°==×+-+=.【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握各特殊角的三角函数值是解题的关键.2．－4.【解析】分析:先根据乘方运算法则,特殊三角函数值,零指数幂,二次根式乘法法则逆用进行计算,然后再进行实数加减运算.详解: －12016－2tan60°＋(－)0－,原式＝－1－2×＋1－2,＝－4.点睛:本题主要考查乘方运算法则,特殊三角函数值,零指数幂,二次根式乘法法则,解决本题的关键是要熟练掌握实数相关运算法则.3．﹣1.5.【解析】试题分析：把30°的正弦值、60°的余弦值、45°的正切值代入进行计算即可. 试题解析：2sin30°+3cos60°﹣4tan45° =11234122⨯+⨯-⨯ =1.5.4【解析】试题分析：分别根据二次根式的性质，特殊角的三角函数值，0指数幂及绝对值的性质计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．试题解析：解：原式＝12212-⨯-点睛：本题考查的是二次根式的性质，特殊角的三角函数值，0指数幂及绝对值的性质，熟知以上运算法则是解答此题的关键．5．12【解析】试题分析：将特殊角的三角函数值代入求解即可．试题解析：解：原式= 112122⨯- 12=． 6．6【解析】试题分析：按顺序依次先进行绝对值化简、0次幂计算、特殊角三角函数值、负指数幂计算，然后再按运算顺序进行计算即可.试题解析：原式=3+1-212⨯+3=3+1﹣1+3=6． 7．54【解析】试题分析：原式利用特殊角的三角函数值，以及零指数幂法则计算即可得到结果． 试题解析：2-2-2cos30°+tan60°+(π-3.14)01214=- =548．2【解析】试题分析：先进行绝对值、二次根式的化简，特殊角的三角函数值，然后再按运算顺序进行计算即可.试题解析：原式123132+-==.9． 1+【解析】试题分析：代入30°角的正弦函数值、45°角的余弦函数值，再按二次根式的相关运算法则计算即可. 试题解析：原式 = 12222⨯-⨯+= 1= 1.10．（1）1；（2）．【解析】试题分析：（1）直接利用特殊角的三角函数值代入化简求出答案；（2）直接利用特殊角的三角函数值代入化简求出答案．试题解析：（1）原式=22312+（）（）=1； （2）原式=24322131⨯+--=-. 11．1．【解析】试题分析：利用三角函数，分母有理化，绝对值性质计算.试题解析：()()103sin4513cos30tan6012-+-+⋅-- =1+13-+3331⨯+-=1+13++32+31-=1. 12．【解析】先得出式子中的特殊角的三角函数值，再按实数溶合运算顺序进行计算即可.解：原式＝13．【解析】试题分析：此题涉及有理数的乘方、特殊角的三角函数值的求法，在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果即可．解：（sin30°﹣1）2﹣×sin45°+tan60°×cos30°=1﹣×+× =1﹣1+ =【点评】此题主要考查了实数的综合运算能力，解决此类题目的关键是熟练掌握有理数的乘方、特殊角的三角函数值的运算．14．（1）2；（2）0.【解析】试题分析：根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案. 试题解析：（1）sin 230°+cos 230°+tan30°tan60° =22133()(3223++ =1+1=2；（2）原式=212 122⨯-⨯⨯=0.考点：特殊角的三角函数值．15．2﹣2．【解析】试题分析：原式前两项化为最简二次根式，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．解：原式=2﹣4×﹣+2﹣=2﹣2．考点：实数的运算；特殊角的三角函数值．16．﹣3﹣．【解析】试题分析：直接利用特殊角的三角函数值以及负指数幂的性质以及零指数幂的性质、二次根式的性质化简进而求出答案．解：原式=﹣2×﹣3﹣3+1+2=﹣3﹣．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．17．1【解析】试题分析：将特殊角的三角函数值代入求解．解：原式=（）2﹣2×﹣×=3﹣1﹣1=1．考点：特殊角的三角函数值．18．-2.【解析】试题分析：分别计算特殊角三角函数值和算术平方根，然后再计算加减法.试题解析：原式=21|1-+11=-2.考点：实数的混合运算.19．1．【解析】试题分析：按照实数的运算法则依次计算．试题解析：原式=1432311312-+-⨯+=--+=．考点：1．特殊角的三角函数值；2．有理数的乘方；3．零指数幂；4．负指数幂．20．3.【解析】试题分析：本题首先将各式分别进行计算，然后根据实数的计算法则进行计算.试题解析：原式×2－考点：实数、三角函数的计算21．331- 【解析】试题分析：先计算三角函数值，零指数，负指数，开方再按照实数的运算计算即可. 试题解析：原式=331223⨯+-+=3123-+=331-. 考点：三角函数值，零指数，负指数，开方.视频22．32 【解析】试题分析：分别求值再进行加减运算试题解析：原式=5+32-6+1=32考点：1.特殊角的三角函数2.实数的运算233【解析】试题分析：先计算绝对值，三角函数，零指数，负指数，平方再按照实数的运算计算即可.试题解析： (()2122sin303tan45--+︒-+︒ 33考点：三角函数，实数的运算.24．214. 【解析】试题分析：任何不是零的数的零次幂都是1，1p pa a .试题解析：原式=2－21()2+13=2－14+1－12=214. 考点：实数的计算、三角函数的计算.25．21- 【解析】试题分析：sin45°=2；tan60°cos30°. 试题解析：原式＝233222⨯-⨯＝123-＝21-． 考点：二次根式的计算、锐角三角函数的计算.26．－3.【解析】试题分析：sin60°=2；任何非零的数的零次幂为1，33；11()2=－2.试题解析：原式=－－1=－3.考点：实数的计算.27．6323-． 【解析】 试题分析：原式=222213322⨯+⨯-=6323-． 考点：实数的运算．28．12． 【解析】试题分析：原式11122=-+-+ 12=． 考点：实数的运算．视频29．2．【解析】试题分析：原式==2．考点：实数的运算．3021．【解析】 试题分析：原式=23132322++21．考点：实数的运算．31．236【解析】试题分析：此题主要考查了特殊角的三角函数值得代入求值问题，因此把相应的特殊角的三角函数值代入即可.试题解析：解：原式=2322+= 考点：特殊角的三角函数32．【解析】试题分析：原式21== 考点：实数的运算．33．0．【解析】 试题分析：原式211322332+⨯-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=213213+--=0=． 考点：实数的运算． 34．1．【解析】试题分析：将tan45°=1，代入，然后化简合并即可得出答案．试题解析：原式=2×32﹣1+2×32=3﹣1+3=23﹣1． 考点：特殊角的三角函数值．35．2310+【解析】试题分析：根据二次根式、特殊角三角函数值、零次幂、负整数指数幂的意义进行计算即可. 试题解析：21273tan 30(3)()3π--︒+-︒+ 333319=-⨯++ 2310=+考点: 实数的混合运算.36．23+.【解析】试题分析：根据零次幂、负整数指数幂、特殊三角函数值的意义进行计算即可. 试题解析:0112014()2sin 45tan 602-+-︒+︒ 21223=+-⨯+ 23=+考点: 1.零次幂,2.负整数指数幂,3特殊三角函数值.37．【解析】【分析】根据特殊三角函数值即可求解.【详解】原式==【点睛】本题考查了特殊的三角函数值,属于简单题,熟记特殊三角函数值是解题关键.38．3【解析】【分析】本题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简等考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【详解】解：（π﹣3）0+﹣（﹣1）2017﹣2sin30°=1+2﹣（﹣1）﹣2×=3+1﹣1=3【点睛】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解题关键是熟练掌握零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简、绝对值等考点的运算．39．﹣2﹣．【解析】【分析】原式利用乘方的意义，特殊角的三角函数值，以及零指数幂法则计算即可得到结果．【详解】原式=﹣1﹣1+﹣2=﹣2﹣．【点睛】本题考查了实数的运算法则，负指数的性质，特殊角是三角函数，熟练特殊角是三角函数是解题的关键．40．(1)4-;(2)3+【解析】【分析】（1）原式利用绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值；（2）原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值．【详解】（1）原式=2+1﹣+1=4﹣；（2）原式=3+4××=3+．【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．41．（1）0；（2）．【解析】【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质和负指数幂的性质分别化简得出答案；（2）直接利用特殊角的三角函数值化简得出答案．【详解】（1）（﹣1）2017﹣2﹣1+sin30°+（π﹣314）0；=﹣1﹣++1=0；（2）cos245°+sin60°tan45°+sin230=（）2+×1+（）2=++=．【点睛】本题考查了实数运算，掌握实数运算是解题的关键．42．.【解析】分析：代入45°角的正弦函数值，结合“零指数幂的意义”和“负整数指数幂的意义”进行计算即可.详解：原式===.点睛：熟记45°角的正弦函数值、及（为正整数）是正确解答本题的关键.43．【解析】【分析】根据：分别代入计算．【详解】原式．【点睛】考查了特殊角的三角函数值，解答此类题目的关键是熟记特殊角是三角函数值.44．3－【分析】把60°，30°，45°的正弦，余弦，正切的值代入计算即可．【详解】解：原式＝2×－3×1×＋4×＝1－＋2＝3－【点睛】 本题主要考查特殊角的三角函数值和零指数幂的知识点，牢记特殊角的三角函数值是解答的关键．45．-1.【解析】分析：代入60°角的正切函数值，结合“负指数幂的意义”、“零指数幂的意义”和实数的相关运算法则计算即可.详解：原式=()3168133+÷-+-⨯=3213-+-=1-。

第五章：三角函数重点题型复习题型一任意角、角度制与弧度制的概念【例1】下列说法中错误的是（）A．弧度制下，角与实数之间建立了一一对应关系B．1度的角是周角的1360，1弧度的角是周角的12πC．根据弧度的定义，180︒一定等于π弧度D．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关【答案】D【解析】依据弧度的意义可知A正确；1度的角是周角的1360，1弧度的角是周角的12π，B正确；根据弧度的定义，180︒一定等于π弧度，C正确；根据角度制与弧度制的定义可知，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长和半径的比值有关，所以D错误．故选：D．【变式1-1】下列说法正确的是（）A．弧度的圆心角所对的弧长等于半径B．大圆中弧度的圆心角比小圆中弧度的圆心角大C．所有圆心角为弧度的角所对的弧长都相等D．用弧度表示的角都是正角【答案】A【解析】对于A，根据弧度的定义知，“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”，故A正确；对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B 错误；对于C，不在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是不等的，故C错误；对于D，用弧度表示的角也可以不是正角，故D错误．【变式1-2】下列说法正确的是（）A．终边相同的角相等B．相等的角终边相同C．小于90︒的角是锐角D．第一象限的角是正角【答案】B【解析】终边相同的角相差周角的整数倍，A不正确；相等的角终边一定相同；所以B正确；小于90︒的角是锐角可以是负角，C错；第一象限的角是正角，也可以是负角，D错误．故选：B.【变式1-3】下列说法正确的是（）A．锐角是第一象限角B．第二象限角是钝角C．第一象限角是锐角D．第四象限角是负角【答案】A【解析】锐角大于0︒而小于90︒，是第一象限角，但第一象限角不都是锐角，第二象限角不都是钝角，第四象限角有正角有负角．只有A 正确．故选：A ．题型二 求终边相同的角【例2】下列各角中，与425-终边相同的是（ ） A ．65 B ．115 C ．245 D ．295 【答案】D【解析】与425-终边相同的角为()360425Z k k ⋅-∈，当1k =时，36042536042565k ⋅-=-=-， 当2k =时，3604252360425295k ⋅-=⨯-=， 所以，295的终边与425-的终边相同．故选：D.【变式2-1】与525-角的终边相同的角可表示为（ ） A ．525360k k Z -⋅∈（） B ．185360k k Z +⋅∈（） C ．195360k k Z +⋅∈（） D ．195360k k Z -+⋅∈（） 【答案】C【解析】525=1952360--⨯，所以525-角的终边与195角的终边相同，所以与525-角的终边相同的角可表示为195360k k Z +⋅∈（）.故选：C【变式2-2】若角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，则集合{|}42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈，中的角α的终边在单位圆中的位置(阴影部分)是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】当k 取偶数时，2,k n n Z =∈，2π2π,n Z 42n n ππα+≤≤+∈，故角的终边在第一象限. 当k 取奇数时，21,k n n Z =+∈，532π2π,n Z 42n n ππα+≤≤+∈， 故角的终边在第三象限.故选：C.【变式2-3】如图，写出终边落在阴影部分的角的集合.（1） （2）【答案】（1）322,Z 4k k k παπαππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭；（2）3,Z 44k k k ππβπβπ⎧⎫+≤<+∈⎨⎬⎩⎭【解析】（1）由题图可知，终边落在阴影部分的角的集合为322,Z 4k k k παπαππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭. （2）由题图可知，终边落在阴影部分的角的集合为35722,Z 22,Z 4444k k k k k k ππππβπβπβπβπ⎧⎫⎧⎫+≤<+∈⋃+≤<+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭ 3,Z 44k k k ππβπβπ⎧⎫=+≤<+∈⎨⎬⎩⎭.题型三 确定n 分角与n 倍角的象限【例3】若α是第二象限的角，则2α是（ ） A ．第一或第三象限角 B ．第一或第四象限角C ．第二或第三象限角D ．第二或第四象限角 【答案】A【解析】α是第二象限角，222k k παπππ∴∈++（，）k Z ∈，，422k k k Z αππππ∴∈++∈（，），， 当2,k n n =∈Z 时，42222n n n Z αππππ∴∈++∈（，），，2α在第一象限；当21,k n n Z =+∈时，5342222n n n Z παπππ∴∈++∈（，），，2α在第三象限； 2α∴是第一或三象限角．故选：A ．【变式3-1】若α是钝角，则2α-是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 【答案】D【解析】90180α︒<<︒，45902α︒<<︒，90452α-︒<-<-︒,2α-在第四象限.故选：D【变式3-2】（多选）若α是第二象限的角，则3α的终边所在位置可能是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】ABD【解析】α是第二象限的角，则222k k ππαππ+<<+，k Z ∈，2236333k k ππαππ+<<<，k Z ∈， 当3,k n n Z =∈时，3α是第一象限角，当31,k n n Z =+∈时，3α是第二象限角，当32,k n n Z =+∈时，3α是第四象限角，故选：ABD ．【变式3-3】（多选）若α是第三象限的角，则1802α-可能是（ ）A ．第一象限的角B ．第二象限的角C ．第三象限的角D ．第四象限的角 【答案】AC【解析】由于α是第三象限的角，故180360270360,k k kZ α，所以90180135180,2k k k Z α+⋅<<+⋅∈，所以4518018090180,2k k k Z α-⋅<-<-⋅∈.当k 为偶数时，1802α-为第一象限角； 当k 为奇数时，1802α-为第三象限角.所以1802α-可能是第一象限角，也可能是第三象限角. 故选：AC.【变式3-4】2θ的终边在第三象限，则θ的终边可能在（ ） A ．第一、三象限 B ．第二、四象限C ．第一、二象限或y 轴非负半轴D ．第三、四象限或y 轴非正半轴 【答案】C【解析】由于2θ的终边在第三象限，则()32222k k k Z θππππ+<<+∈， 所以，()2434k k k Z ππθππ+<<+∈，因此，θ的终边可能在第一、二象限或y 轴非负半轴.故选：C.题型四 扇形的弧长、面积计算【例4】已知弧长为3π的弧所对的圆心角为6π，则该弧所在的扇形面积为（ ）A 3πB ．1π3C ．2π3 D ．4π3【答案】B【解析】依题意，扇形的半径为π32π6=，所以扇形面积为1ππ2233⋅⋅=.故选：B【变式4-1】已知某扇形的周长是6cm ，面积是22cm ，则该扇形的圆心角的弧度数为（ ）A ．1B ．4C ．1或4D ．1或5 【答案】C【解析】设扇形的弧长为l ，半径为r ，所以26122r l rl +=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得22l r =⎧⎨=⎩或41l r =⎧⎨=⎩， 所以圆心角的弧度数是1lrα==或4.故选：C【变式4-2】如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧AD 长度是1l ，弧BC 长度是2l ，几何图形ABCD 面积为1S ，扇形BOC 面积为2S ，若122ll =，则12S S =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】设AOD θ∠=，1OAr =，2OB r =，∴11l r θ=⨯，22l r θ=⨯，而122l l =，∴122r r =，即B 是OA 的中点，()22211221322S r r r θθ=-=，22212S r θ=，123S S ∴=.故选：C【变式4-3】已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为()0L α>． （1）已知扇形的周长为10cm ，面积是24cm ，求扇形的圆心角；（2）若扇形周长为20cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积．【答案】（1）12；（2）S 取得最大值25，此时2α=【解析】（1）由题意得2210142R R R αα+=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩，解得18R α=⎧⎨=⎩(舍去)，412R α=⎧⎪⎨=⎪⎩． 所以扇形圆心角12． （2）由已知得，220l R +=．所以()2112021022S lR R R R R ==-=-()2525R =--+，所以当5R =时，S 取得最大值25，21252R α⨯⨯=,解得2α=. 当扇形的圆心角α为2多少弧度时，这个扇形的面积最大为25.题型五 sina 、cosa 、tana 知一求二【例5】若α为第三象限角，且1sin 3α=-，则cos α=（ ） A 22 B ．2 C 2 D ．22【答案】D【解析】由题意，22122cos 1sin 13αα⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭.故选：D【变式5-1】若12cos 13α=，且α为第四象限角，则tan α的值为（ ） A ．125 B ．125- C ．512 D ．512-【答案】D 【解析】由于12cos 13α=，且α为第四象限角， 所以25sin 1cos 13αα=-=-， sin 5tan cos 12ααα==-.故选：D【变式5-2】已知()7sin cos 0π13ααα+=<<，则tan α=（ ） A ．125-B ．512- C ．512 D ．125 【答案】A【解析】因为()7sin cos 0π13ααα+=<<，22sin cos 1αα+=， 则可解得125sin ,cos 1313αα==-，所以sin 12tan cos 5ααα==-.故选：A.【变式5-3】已知1tan 2θ=-，0θπ<<，则sin θ=（ ） A ．5 B 5 C ．25 D 25【答案】B 【解析】由sin 1tan cos 2θθθ==-，得cos 2sin θθ=-，结合22sin cos 1θθ+=可得21sin 5θ=，因为0θπ<<，所以5sin θ=.故选：B题型六 正、余弦齐次式的应用【例6】若tan 2θ=，则sin 2cos cos 3sin θθθθ+=-（ ）A ．45- B ．43- C ．45 D ．43【答案】A 【解析】sin 2cos tan 2224cos 3sin 13tan 1325θθθθθθ+++===----⨯，故选：A ．【变式6-1】已知tan 2θ=，则22sin sin cos 2cos θθθθ+-=（ ） A ．45 B ．45- C ．1 D ．35【答案】A【解析】因为tan 2θ=，则cos 0θ≠，原式2222222222sin sin cos 2cos sin sin cos 2cos cos sin cos sin cos cos θθθθθθθθθθθθθθ+-+=+-+= 22tan tan 24224tan 1415θθθ+-+-===++.故选：A.【变式6-2】已知lgsin lgcos lg 2x x -=，则lgsin lgcos x x +=____________.（可用对数符号作答） 【答案】2lg 5【解析】∵lgsin lg cos lg tan lg 2cos x x x x-===，∴tan 2x =， 又222sin cos tan 2sin cos sin cos tan 15x x x x x x x x ===++，2lgsin lg cos lg(sin cos )lg 5x x x x +==.故答案为：2lg 5【变式6-3】已知,,3sin cos 522ππααα⎛⎫∈--= ⎪⎝⎭tan α=__________．【答案】2【解析】因为3sin cos 50αα-=>，所以0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又因为2(3sin cos )5αα-=， 所以229sin 6sin cos cos 5αααα-+=，所以22229sin 6sin cos cos 5cos sin αααααα-+=+， 所以229tan 6tan 151tan ααα-+=+，即22tan 3tan 20αα--=， 所以tan 2α=或1tan 2α=-（舍）． 故答案为：2.题型七 sinacosa 、sina ±cosa 知一求二【例7】已知1sin cos 3αα-=-，则sin cos αα=（ ） A ．49 B ．49- C ．23 D ．23- 【答案】A【解析】()21sin cos 12sin cos 9αααα-=-=，解得：4sin cos 9αα=.故选：A【变式7-1】设0πα<<，1sin cos 2αα+=，则cos sin αα-=（ ） A ．12 B ．12± C ．7 D ．7【答案】C【解析】因为1sin cos 2αα+=，所以()21sin cos 4αα+=，32sin cos 4αα=-，sin α与cos α异号．而已知0πα<<，所以sin 0α>，cos 0α<．因为()237cos sin 12sin cos 144αααα-=-=+=，所以取7cos sin αα-=．故选：C.【变式7-2】已知α是三角形的一个内角，且2sin cos 3αα+=，则这个三角形的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．不等腰的直角三角形D ．等腰直角三角形【答案】B【解析】由α(0,)π∈，将2sin cos 3αα+=两边平方得42sin cos 109αα=-<，而sin 0cos 0αα>∴<，，故α为钝角.故选：B.【变式7-3】已知关于x 的方程)22310x x m -+=的两个根为sin θ，cos θ，()0,2θπ∈，求：（1）sin cos 11tan 1tan θθθθ+--的值；（2）方程的两根及此时θ的值． 【答案】（131+；（2312，6πθ=或3π【解析】（1）22sin cos sin cos 31sin cos 11tan sin cos sin cos 1tan θθθθθθθθθθθθ++=+=+---+-（2）由（1）得sin cos 2m θθ=， 所以()222423sin cos sin cos 2sin cos 1m θθθθθθ++=++=+=3m ， 所以方程23231)0x x -+=312， 又因为()0,2θπ∈，所以3sin 1cos 2θθ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，此时3πθ=；或1sin 23cos θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，此时6πθ=．题型八 利用诱导公式求值化简【例8】cos 225︒的值为（ ） A ．3B ．2C 2D 3【答案】B【解析】()2cos 225cos 18045cos 452︒=︒+︒=-︒=-．故选：B【变式8-1】若3cos 5α=，则3sin 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．35 B ．35C ．45D ．45-【答案】B【解析】33sin cos 25παα⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭.故选：B【变式8-2】已知()tan 2πα+=，则()()sin sin 23cos 2cos 2παπαπαπα⎛⎫++- ⎪⎝⎭=⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭______． 【答案】34【解析】由题意得：∵()tan tan 2παα+==，∴()()sin sin cos sin tan 1323sin 2cos tan 24cos 2cos 2παπααααπααααπα⎛⎫++- ⎪++⎝⎭===++⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭．【变式8-3】已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点()3,4P -.（1）求cos()cos 2ππαα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的值；（2）求sin()cos sin()tan()2cos(2)sin cos()tan()2πααπαπαππααπαπα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭⎛⎫-++- ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）15-；（2）6427【解析】（1）∵角α的终边经过点()3,4P -，∴223cos 5(3)4α==--+，224sin 5(3)4α=-+， ∴341cos()cos cos sin 2555ππαααα⎛⎫-++=--=-=- ⎪⎝⎭.（2）由（1）知：3cos 5α=-，4sin 5α， ∴4tan 3α=-，∴sin()cos sin()tan()2cos(2)sin cos()tan()2πααπαπαππααπαπα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭⎛⎫-++- ⎪⎝⎭sin sin sin tan cos cos (cos )(tan )αααααααα-=-- 33464tan 327α⎛⎫=-=--=⎪⎝⎭.题型九 解三角函数不等式【例9】试求关于x 的不等式13sin x <≤【答案】|2263x k x k ππππ⎧+<≤+⎨⎩或2522,36k x k k Z ππππ⎫+≤<+∈⎬⎭. 【解析】作出正弦函数y ＝sin x 在[0，2π]上的图象，作出直线y ＝12和y 3如图所示．由图可知，在[0，2π]上当6π<x ≤3π或23π≤x <56π时，不等式12<sin x 3成立，所以原不等式的解集为|2263x k x k ππππ⎧+<≤+⎨⎩或2522,36k x k k Z ππππ⎫+≤<+∈⎬⎭.【变式9-1】求不等式2sin 1()12x -≤在[0,2]xπ的解集．【答案】3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】因函数1()2xy =在R 上单调递减，则22sin sin 0221112()1()()sin 0222x x x -≤⇔≤⇔-≥， 即2sin x ≥作出函数sin y x =在区间[0,2]π上的图象，如图：观察图形知：[0,2]x π，由2sin x ≥344ππ≤≤x ，所以不等式2sin 1()12x ≤在[0,2]xπ的解集为3[,]44ππ.【变式9-2】函数 1tan y x =+ 的定义域是 . 【答案】[,),42k k k Z ππππ-+∈ 【解析】由函数 1tan y x =+，则1tan 0x +≥，即tan 1x ≥-，解得,42k x k k Z ππππ-≤<+∈，所以函数的定义域是[,),42k k k Z ππππ-+∈，故答案为：[,),42k k k Z ππππ-+∈【变式9-3】已知[0,π]α∈，若sin cos 0αα->，则α的取值范围是_______. 【答案】π3π(,)44【解析】由题，当π[0,]2α∈时，原不等式可化为sin cos αα>，解得ππ42α<≤，当ππ2α<≤时，由原不等式可得tan 1α<-，解得π3π24α<<， 综上π3π(,)44α∈.题型十 三角函数的性质及应用【例10】数sin(2)4y x π=-的单调减区间是（ ）A ．3[,],(Z)88k k k ππππ-+∈ B ．3[2,2],(Z)88k k k ππππ-+∈ C ．37[2,2],(Z)88k k k ππππ++∈ D ．37[,],(Z)88k k k ππππ++∈ 【答案】A【解析】sin 2sin 244y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，要求函数sin(2)4y x π=-的单调减区间，即求函数sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调增区间.令222,Z 242k x k k πππππ-+≤-≤+∈，所以3,Z 88k x k k ππππ-+≤≤+∈.故选：A.【变式10-1】设函数()sin 2f x x =，x ∈R ，若[)0,θπ∈，函数()f x θ+是偶函数，则θ的值为（ ） A ．12π或1112π B ．6π或56π C ．4π或34π D ．3π或23π【答案】C【解析】因为()()sin 22f x x θθ+=+是偶函数，所以22k πθπ=+，k Z ∈.ππ,Z 4k k θ∴=+∈， 又[)0,θπ∈，所以4πθ=或34πθ=.故选：C.【变式10-2】已知函数()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，且()()f m x f m x +=-，34m ππ≤≤，则m =______．【答案】134π【解析】()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令()42x k k πππ+=+∈Z ，得()4x k k ππ=+∈Z ， 又()()f m x f m x +=-，所以函数()f x 的图象关于直线x m =对称，即()4m k k ππ=+∈Z ．因为34m ππ≤≤，所以()344k k ππππ≤+≤∈Z ，()111544k k ≤≤∈Z ， 所以3k =，所以13344m πππ=+=． 故答案为：134π【变式10-3】若函数()()()tan 0f x x πωω=+>的图象的相邻两支截直线1y =所得的线段长为3π，则12f π⎛⎫= ⎪⎝⎭______．【答案】1【解析】因为()()()tan tan 0f x x x πωωω=+=>，且函数()f x 的图象的相邻两支截直线1y =所得的线段长为3π，所以，函数()f x 的最小正周期3T ππω==，所以3ω=，则()tan3f x x =， 因此，tan 1124f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭.题型十一 三角函数值域的求法【例11】函数1π()2sin()23f x x =+在区间[0,]π的值域为（ ） A ．[12，1] B ．[13 C ．[1，2] D ．32]【答案】C【解析】当[0,]x π∈时，1ππ5π,2336x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1π1sin(),1232x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，[]1,2y ∈，故选：C【变式11-1】函数2cos sin 1y x x =+-的值域为（ ）A ．11[,]44-B ．1[0,]4C ．1[2,]4-D ．1[1,]4- 【答案】C【解析】函数222cos sin 11sin sin 1sin sin y x x x x x x =+-=-+-=-+，设sin t x =，11t -≤≤，则()2f t t t =-+， 由二次函数的图像及性质可知2124t t -≤-+≤，所以cos 2sin 1y x x =+-的值域为1[2,]4-，故选：C.【变式11-2】函数ππ5πtan ,,6612y x x ⎛⎫⎛⎫=-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域为（ ）A ．()3,1-B ．3⎛- ⎝⎭C ．(,3(1,)-∞-+∞D 3⎫⎪⎪⎝⎭【答案】A 【解析】设π6z x =-,因为π5π,612x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以ππ,34z ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭， 因为正切函数tan y z =在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上为单调递增函数，且tan 3tan 134ππ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，,所以()tan 3,1z ∈-．∴函数ππ5πtan ,,6612y x x ⎛⎫⎛⎫=-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域为()3,1-，故选：A ．【变式11-3】函数()22tan 5tan 2f x x x =-+-，,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的值域为______．【答案】[]9,1-【解析】因为,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以[]tan 1,1x ∈-，()2592tan 48f x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，则当tan 1x =时，()max 1f x =， 当tan 1x =-时，()min 9f x =-， 所以函数()f x 的值域为[]9,1-.故答案为：[]9,1-.题型十二 三角恒等变换求角与求值【例12】已知π2sin 33α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．19- B ．19C ．45D 45【答案】A【解析】因为π2sin 33α⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以2ππππ81cos 2cos[2()π]cos[2()]2sin 11333399αααα⎛⎫⎛⎫+=-+=--=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选：A.【变式12-1】已知251cos tan()3ααβ-=-，,αβ均为锐角，则β=A ．512π B ．3π C ．4π D ．6π【答案】C【解析】因为α为锐角，且25cos α=， 所以25sin 1cos αα=-=sin 1tan cos 2ααα==， 于是11()tan tan()23tan tan[()]1111tan tan()1()23ααββααβααβ----=--===+-+-，又β为锐角，所以4πβ=.故选：C.【变式12-2】求下列各式的值． （1）cos75︒； （2）7cos 12π； （3）()cos 165-︒； （4）61cos()12π-【答案】（162-（226-（3）62+；（4）26+【解析】（1）()232162cos 75cos 4530cos 45cos30sin 45sin 302-︒=︒+︒=︒︒-︒︒==（2）7212326coscos cos cos sin sin 124343432πππππππ-⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭（3）()()cos 165cos 18s 015co 15︒-︒-︒+︒==-()232162cos 4530cos 45cos30sin 45sin 302+=-︒-︒=-︒︒-︒︒==（4）6161cos()cos cos(5)cos 12121212πππππ-==+=- 212326cos cos cos sin sin 344343222ππππππ+⎛⎫=--=--=--= ⎪⎝⎭【变式12-3】求下列各式的值： （1）234cos coscos cos 9999ππππ； （2）21sin 352cos10cos80︒-︒⋅︒；（3）()sin 5013︒︒. 【答案】（1）116；（2）1-；（3）1 【解析】（1）234124cos coscos cos cos cos cos 99992999πππππππ= 242248sincoscoscos 4sin cos cos119999999228sin 8sin99πππππππππ=⋅=⋅ 448sin 2sincos sin sin11111999992222168sin 8sin 8sin 8sin 9999ππππππππππ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⋅=⋅=⋅=⋅=. （2）()()2211sin 352sin 35122cos10cos80cos10cos 9080︒-︒-=︒⋅︒︒⋅︒-︒()2112sin 352cos10sin10--︒=︒⋅︒()cos 7020cos 70sin 2012cos10sin10sin 20sin 20-︒-︒-︒-︒====-︒⋅︒︒︒（3）()sin10sin 5013sin 5013cos10︒⎛︒+︒=︒ ︒⎝132cos102cos103sin10sin 50sin 50cos10⎛⎫︒︒ ⎪︒+︒⎝⎭==︒⋅︒()2cos 60102sin 50cos50sin 50cos10cos10︒-︒︒︒=︒⋅=︒︒()sin 9010sin100cos101cos10cos10cos10︒+︒︒︒====︒︒︒题型十三 三角函数图象变换及应用【例13】要得到函数π3sin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，需（ ）A ．将函数3sin π5y x =⎛⎫+ ⎪⎝⎭图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）B ．将函数π3sin 10y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C ．将函数3sin 2y x =图像上所有点向左平移π5个单位长度 D ．将函数3sin 2y x =图像上所有点向左平移π10个单位长度 【答案】D【解析】对于A ，将3sin π5y x =⎛⎫+ ⎪⎝⎭图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到1π3sin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，错误；对于B ，将π3sin 10y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到1π3sin 210y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，错误；对于C ，将3sin 2y x =图像上所有点向左平移π5个单位长度后， 得到2π3sin 25y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像，错误； 对于D ，将3sin 2y x =图像上所有点向左平移π10个单位长度后， 得到π3sin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，正确.故选:D.【变式13-1】为得到函数cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 24y x π⎛⎫=--⎪⎝⎭图象上所有的点（ ） A ．向左平移712π个单位长度 B ．向右平移712π个单位长度 C ．向左平移724π个单位长度 D ．向右平移724π个单位长度 【答案】D【解析】因为sin 2sin 2cos 24424y x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，将其图象上所有的点向右平移724π个单位长度， 得到函数7cos 2cos 22443πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭y x x 的图象.A ，B ，C 都不满足.故选：D【变式13-2】将函数sin y x =的图象上所有的点向右平行移动π4个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（ ）A ．πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．πsin 28y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．1πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．1πsin 28y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动π4个单位长度，得sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是1sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．故选：C ．【变式13-3】已知函数()()sin 20f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移4π个单位长度后，若所得图像与原图像重合，则ω的最小值等于（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8 【答案】B【解析】()()sin 20f x x ωω=>,()f x ∴的周期为22T ππωω==,将()y f x =的图像向右平移4π个单位长度后，所得图像与原图像重合，∴4π是周期的整数倍，∴Z 4k k πωπ=∈，，Z 4,k k ω=∈∴，0ω>，ω∴的最小值等于4.故选：B【变式13-4】已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>≤ ⎪⎝⎭的图像如图.（1）根据图像，求()f x 的表达式及严格增区间； （2）将函数()y f x =的图像向右平移4π个单位长度得到曲线C ，把C 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到()g x 的图像，且关于x 的方程()0g x m -=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，求m 的取值范围.【答案】（1）()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，增区间为5πππ,π,1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）[-1,2]. 【解析】（1）根据函数()sin()(00||)2f x A x A πωϕωϕ=+>>，，的图象，可得1A =，124312πππω⋅=-，所以2ω=，()sin(2)f x x ϕ=+， 由五点法作图，可得2122ππϕ⨯+=，3πϕ∴=，故()sin(2)3f x x π=+，令222232k x k πππππ-++，求得51212k x k ππππ-++，k ∈Z ，()f x 的单调递增区间5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．（2）将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位长度得到曲线:sin 26C y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，把C 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到()2sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象， 由()0g x m -=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，即2sin 26m x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解， 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以[]2sin(2)1,26x π-∈-，所以m 的取值范围为[]1,2-．题型十四 三角函数实际应用【例14】阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置．深圳第一高楼平安金融中心的阻尼器减震装置，是亚洲最大的阻尼器，被称为“镇楼神器”．由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移s （cm ）和时间t （s ）的函数关系式为()2sin s t ωϕ=+，其中0>ω，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为()0022s s -<<的时间分别为1t ，2t ，3t ，且312t t -=，则ω=（ ） A ．2π B ．π C ．32πD ．2π 【答案】B【解析】由正弦型函数的性质，函数示意图如下：所以312T t t =-=，则22πω=，可得ωπ=.故选：B【变式14-1】某游乐场的摩天轮示意图如图所示，已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为24T =分钟.在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1~12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离h （单位：米）与时间t （单位：分）的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t 分钟，则1号座舱与地面的距离h 与时间t 的函数关系()h t 的解析式为___________；【答案】()()30sin32012h t t t π=+≥ 【解析】设函数解析式为：()sin()h t A t b ωϕ=++，因为最小正周期24T =，所以212T ππω==， h 的最大值为62，最小值为2，所以622302A -==， 摩天轮正中心离地面32米，所以32b =， 当0=t 时，32h =，所以30sin 3232+=ϕ，0ϕ=. 所以解析式为：()()30sin 32012h t t t π=+≥. 故答案为：()()30sin32012h t t t π=+≥.【变式14-2】某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系：()[)()103sin,0,241212f t t t t ππ=-∈．（1）求实验室这一天上午8时的温度； （2）求实验室这一天的最大温差． 【答案】（1）10℃；；（2）4℃． 【解析】（1）()888103sin 1212f ππ=-22103sin 33ππ=-13103102⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.故实验室上午8时的温度为10℃． （2）()103sin1212f t t t ππ=-31102sin 12212t t ππ⎫=-+⎪⎪⎝⎭102sin 123t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为024t ≤<，所以731233t ππππ≤+<，1sin 1123t ππ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭． 当=2t 时，sin 1123t ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；当=14t 时，sin 1123t ππ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，故()[]8,12f t ∈，于是()f t 在[)0,24上取得最大值12，取得最小值8． 故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃．【变式14-3】某港口的水深y (单位：m )是时间t (024t ≤≤，单位：h )的函数，下面是该港口的水深数据：/h t0 3 6 9 12 15 18 21 24/m y 10 13 9.9 7 10 13 9.9 710一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5m 时就是安全的． （1）若有以下几个函数模型：()sin y at b y A t K ωφ=+=++，，你认为哪个模型可以更好地刻画y 与t 之间的对应关系？请说明理由，并求出该拟合模型的函数解析式；（2）如果船的吃水深度（船底与水面的距离）为7m ，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？【答案】（1）()sin y A t K ωφ=++函数模型更好，函数解析式为3sin10(024).6y t t π=+（2）当15t ≤≤与1317t ≤≤时，船能够安全进港，停留的时间最多不能超过16h .【解析】（1）()sin y A t K ωφ=++函数模型更好地刻画y 与t 之间的对应关系.根据上述数据描出的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数()sin y A t K ωφ=++的图像.从拟合曲线知，函数()sin y A t K ωφ=++在一个周期内由最大变到最小需9-3=6(h)，此为半个周期，∴函数的最小正周期为12，因此212,6ππωω==.又当0=t 时，10y =；当3t =时max 13y =，10,13103,0K A φ∴==-==，∴所求函数的表达式为3sin10(024).6y t t π=+（2）由于船的吃水深度为7m ，船底与海底的距离不少于4.5m ，故在船舶航行时，水深y 应大于或等于7+4.5=11.5(m ).令3sin1011.56y t π=+,可得15sin ,22(),62666tk t k k ππππππ∴++∈Z 121125()k t k k ∴++∈Z取0k = ，则15t ≤≤ ；取1k =，则1317t ≤≤； 取2k =时，2529t ≤≤（不符合题意，舍去).∴ 当15t ≤≤与1317t ≤≤时，船能够安全进港，船舶要在一天之内在港口停留时间最长，就应从凌晨1时进港， 而下午的17时离港，在港内停留的时间最长为16h .。

绝密★启用前三角函数图象与性质第I 卷（选择题）一、选择题1.0cos15-的值为 （ ）A.4B.4-C.4D.42.函数cos y x =的一个单调减区间是A ．ππ⎛⎫- ⎪44⎝⎭，B ．π⎛⎫ ⎪4⎝⎭0，C ．π⎛⎫π ⎪2⎝⎭， D ． ()ππ，23.已知函数x x f y sin )(⋅=的一部分图象（如右图所示），则函数)(x f 可以是（ ）.A x sin 2 .B x cos 2 .C x sin 2- .D x cos 2- 4.下列函数中，是奇函数且周期为2π的是 A ．sin 2y x π=（2-） B ．cos 2y x π=（2-）C ．sin 2y x π=+（4） D ．cos 2y x π=+（4） 5.将函数()2cos 2f x x =的图象向右平移4π个单位，再向下平移2个单位，则平移后得到图象的解析式是（ ） A ．2sin 22y x =- B ．2cos 22y x =- C ．2cos 22y x =+D ．2sin 22y x =+6.函数x x y cos 4sin 3+-=的最小值为 （ ）3.4.5.7.----D C B A）8.函数]),0[)(26sin(2π∈-=x x y 为增函数的区间是( )A 、]3,0[πB 、]127,12[ππC 、]65,3[ππD 、],65[ππ9.函数)62sin(2π-=x y 的图像 ( )A.关于原点成中心对称B. 关于y 轴成轴对称C. 关于点⎪⎭⎫⎝⎛012，π成中心对称 D. 关于直线12π=x 成轴对称10.函数)(x f =)sin(ϕω+x ∈x (R ))20(πϕω<>,的部分图像如图所示，如果)3,6(,21ππ-∈x x ，且)()(21x f x f =，则=+)(21x x f ( )A ．21B ．22C ．23D ．111.已知()sin (1)(1)33f x x x ππ⎡⎤⎡⎤=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则(1)(2)(2011)(2012)f f f f ++++=Ａ．0 Ｃ．1 Ｄ．12.函数sin()y x ϕ=+的图像关于原点对称，则ϕ的一个取值是A ．2πB ．4π-C ．πD ．32π第II 卷（非选择题）二、填空题13.函数x x y sin 2+=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的值域为 .14.函数)22sin(π+=x y 的对称轴是________，对称中心是___________.15.(文) 函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+=2,0,cos 3sin πx x x y 的最小值是__________16.当(0,)2x π∈时，函数sin y x x =的值域为___▲____.三、解答题17.(12分)已知函数[]πππ2,2,321sin -∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x y(1)求最小正周期.(2)求函数的单调递增区间.18.（本题满分12分）已知函数2()cos cos f x x x x ωωω=+，R x ∈，0>ω.（1）求函数)(x f 的值域； （2）若函数)(x f 的最小正周期为2π，则当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，求)(x f 的单调递减区间.19.（本小题满分12分）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,0,02A πωϕ>>-<<）的相邻对称轴之间的距离为2π，且该函数图象的一个最高点为5(,4)12π． （1）求函数()f x 的解析式和单调增区间；（2）若ππ[]42x ∈，，求函数()f x 的最大值和最小值．20.（本小题满分12分）已知函数2()2cossin 12xf x x =+-（1）求函数()f x 的最小正周期和值域；（2）若 3,24x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且1()5f x =，求sin x 的值.21.(本小题满分12分)设函数)3sin(5)(πω+=x x f ，0ω＞，(),x ∈-∞+∞，且以π为最小正周期． (Ⅰ)求()0f ；(Ⅱ)求()f x 的解析式； (Ⅲ)已知3)122(=+παf ，求sin α的值．ks5u22.（本小题满分14分）已知sin 2().sin xf x x x=+（I ）求()f x 的周期，并求()0,x π∈时的单调增区间. （II ）在△ABC 中，c b a 、、分别是角A ，B ，C 所对的边，若3π=A ，且3=a ，求⋅的最大值.试卷答案1.B2.B3.D4.D5.A42cos 22cos 2()2cos(2)2sin 242y x y x y x x πππ=→=-==-=向右平移个单位22sin 22x −−−−−−→-向下平移个单位，故选择A 。

2025年高考数学一轮复习-三角函数的图象与性质-专项训练基础巩固练1.函数f(x)=tanπ 2的最小正周期是()A.2πB.4πC.2D.42.函数f(x)=sin2 在0()A.1B.-1 D.[0,1]3.若tan2=a,tan3=b,tan5=c,则()A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.c<a<b4.已知函数f(x)=x5+tan x-3,且f(-m)=-2,则f(m)=()A.-4B.-1C.1D.45.(多选题)已知f(x)=cos2x-sin2x,则()A.f(x)是偶函数B.f(x)的最小正周期是πC.f(x)0D.f(x)在06.(多选题)设函数f(x)=cos 则下列结论正确的有()A.y=f(x)的一个周期为2πB.y=f(x)的图象关于直线x=83π对称C.y=f(x+π)的一个零点为x=π6D.y=f(x)π上单调递减7.函数y=f(x)=sin2x,x∈-π6.8.若函数f(x)=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)为奇函数,则φ=.9.已知函数f(x)=A sin +A>0,ω>0)的最小值为-2,最小正周期为π.(1)求实数A,ω的值;(2)当x∈0,求函数f(x)的值域.综合提升练10.下列坐标所表示的点不是函数y=tan3 ()000011.已知函数f(x)=sin +ω>0)在区间0,但无最小值,则ω的取值范围是()12.已知函数f(x)=+ω>0)的图象的两个相邻对称中心之间的距离为π4,则ω=()A.2B.4C.8D.1613.(多选题)已知函数f(x)=sin|x|+|sin x|,则下列结论正确的有()A.f(x)是偶函数B.f(x)π上单调递增C.f(x)在[-π,π]上有4个零点D.f(x)的最大值为214.若函数f(x)=sin(x+φ)+cos x的最大值为2,则常数φ的一个取值为.15.已知函数f(x)=4sinωx sin +1(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值及f(x)的增区间;(2)求f(x)图象的对称中心.创新应用练16.已知f(x)=sinωx-3cosωx,ω>0,若函数f(x)0对称,且函数f(x)在0调,则ω的值为()A.4B.3C.2D.117.若x=π8是函数f(x)=2sin x∈R)的一个零点,且0<ω<10,则函数f(x)的最小正周期为.18.已知函数f(x)=a2cos2 2+sin +b.(1)若a=-1,求函数f(x)的增区间;(2)当x∈[0,π]时,函数f(x)的值域是[5,8],求a,b的值.参考答案1.C2.A3.D4.A5.ABC6.ABC7.18.±π29.解(1)由题意知A=2,2π =π,解得ω=2.故A=2,ω=2.(2)由(1)知f(x)=2sin2因为x∈0所以2x+π3∈所以sin2 -21,所以2sin2 +∈-3,2,所以函数f(x)的值域为-3,210.C11.A12.B13.AD14 π2(答案不唯一)15.解(1)f(x)=4sinωx·12sinωx-1=2sin2ωx+23sinωx·cosωx-1=1-cos2ωx+3sin2ωx-1=3sin2ωx-cos2ωx=2sin2∵函数的最小正周期为π, 2π2 =π,∴ω=1,∴f(x)=2sin2令-π2+2kπ≤2x-π6≤π2+2kπ,k∈Z,解得-π6+kπ≤x≤π3+kπ,k∈Z,∴f(x)的增区间为-π6+kπ,π3+kπ(k∈Z).(2)令2x-π6=kπ,k∈Z,解得x=π12+ π2,k∈Z,∴f(x)+ π2,0,k∈Z.16.D17.π18.解f(x)=a(1+cos x+sin x)+b=2asin +(1)当a=-1时,f(x)=-2sin 1,由2kπ+π2≤x+π4≤2kπ+3π2(k∈Z),得2kπ+π4≤x≤2kπ+5π4(k∈Z),∴函数f(x)的增区间为2kπ+π4,2kπ+5π4(k∈Z).(2)∵0≤x≤π, π4≤x+π4≤5π4,∴≤sin +≤1.依题意知a≠0,①当a>0时,2 + + =8,=5,∴a=32-3,b=5;②当a<0时, =8,2 + + =5,∴a=3-32,b=8.综上所述,a=32-3,b=5或a=3-32,b=8.。

1．tan x =2，求sin x ，cos x 的值． 解：因为2cos sin tan ==xxx ，又sin 2x ＋cos 2x =1， 联立得⎩⎨⎧=+=，1cos sin cos 2sin 22x x xx 解这个方程组得.55cos 552sin ,55cos 552sin ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==x x x x2．求)330cos()150sin()690tan()480sin()210cos()120tan(----的值．解：原式)30360cos()150sin()30720tan()120360sin()30180cos()180120tan(o--+---++-= .3330cos )150sin (30tan )120sin )(30cos (60tan -=---=3．假设,2cos sin cos sin =+-xx xx ，求sin x cos x 的值．解：法一：因为,2cos sin cos sin =+-xx xx所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )，得到sin x =－3cos x ，又sin 2x ＋cos 2x =1，联立方程组，解得，，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==1010cos 10103sin 1010cos 10103sin x x x x 所以⋅-=103cos sin x x 法二：因为,2cos sin cos sin =+-xx xx所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )， 所以(sin x －cos x )2=4(sin x ＋cos x )2， 所以1－2sin x cos x =4＋8sin x cos x ， 所以有⋅-=103cos sin x x 4．求证：tan 2x ·sin 2x =tan 2x －sin 2x ．证明：法一：右边＝tan 2x －sin 2x =tan 2x －(tan 2x ·cos 2x )=tan 2x (1－cos 2x )=tan 2x ·sin 2x ，问题得证． 法二：左边=tan 2x ·sin 2x =tan 2x (1－cos 2x )=tan 2x －tan 2x ·cos 2x =tan 2x －sin 2x ，问题得证．5．求函数)6π2sin(2+=x y 在区间[0，2π ]上的值域． 解：因为0≤x ≤2π，所以,6π76π26π,π20≤+≤≤≤x x 由正弦函数的图象， 得到],1,21[)6π2sin(-∈+x所以y ∈[－1，2]． 6．求以下函数的值域．(1)y ＝sin 2x －cos x +2； (2)y ＝2sin x cos x －(sin x ＋cos x )． 解：(1)y =sin 2x －cos x ＋2＝1－cos 2x －cos x ＋2=－(cos 2x ＋cos x )＋3，令t =cos x ，那么,413)21(413)21(3)(],1,1[222++-=++-=++-=-∈t t t t y t利用二次函数的图象得到].413,1[∈y (2)y ＝2sin x cos x －(sin x ＋cos x )=(sin x ＋cos x )2－1－(sin x ＋cos x )，令t =sin x ＋cos x 2=，)4πsin(+x ，那么]2,2[-∈t 那么，,12--=t t y 利用二次函数的图象得到].21,45[+-∈y 7．假设函数y =A sin(ωx +φ)(ω＞0，φ＞0)的图象的一个最高点为)2,2(，它到其相邻的最低点之间的图象与x 轴交于(6，0)，求这个函数的一个解析式．解：由最高点为)2,2(，得到2=A ，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与x 轴交点的间隔是41个周期，这样求得44=T ，T =16，所以⋅=8πω又由)28πsin(22ϕ+⨯=，得到可以取).4π8πsin(2.4π+=∴=x y ϕ8．函数f (x )=cos 4x －2sin x cos x －sin 4x ．(Ⅰ)求f (x )的最小正周期； (Ⅱ)假设],2π,0[∈x 求f (x )的最大值、最小值． 数xxy cos 3sin 1--=的值域．解：(Ⅰ)因为f (x )=cos 4x －2sin x cos x －sin4x ＝(cos 2x －sin 2x )(cos 2x ＋sin 2x )－sin2x )4π2sin(2)24πsin(22sin 2cos 2sin )sin (cos 22--=-=-=--=x x x x x x x所以最小正周期为π．(Ⅱ)假设]2π,0[∈x ，那么]4π3,4π[)4π2(-∈-x ，所以当x =0时，f (x )取最大值为;1)4πsin(2=--当8π3=x 时，f (x )取最小值为.2-1． 2tan =θ，求〔1〕θθθθsin cos sin cos -+；〔2〕θθθθ22cos 2cos .sin sin +-的值.解：〔1〕2232121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=-+=++θθθθθθθθθθ； (2) θ+θθ+θθ-θ=θ+θθ-θ222222cos sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin sin324122221cos sin 2cos sin cos sin 2222-=++-=+θθ+θθ-θθ=.说明：利用齐次式的结构特点〔如果不具备，通过构造的方法得到〕，进行弦、切互化，就会使解题过程简化。

2023届高考复习数学专项（三角函数）好题练习1.下列结论正确的是()7冗A.-是第三象限角6冗B. 若圆心角为—的扇形的弧长为亢，则该扇形而积为—-3冗32 C.若角a 的终边过点P(—3,4),则cos a =--35D.若角a 为锐角，则角2a 为钝角12.已知0E (0,冗），sin0+cos 0 =—，则下列结论正确的是(5、丿A.0E (子］3B. c o s 0 =--3 . 7 C.ta n 0=—一D.sm0-co s 0=-453.对千函数f(x )={sinx,sinx :e::; cosx，下列四个结论正确的是(cosx smx > cosx ，、丿A./(x)是以冗为周期的函数B.当且仅当X =冗+k 兀(kEZ)时，f(x)取得最小伯-1冗,c .f(x)图象的对称轴为直线X=-+k 冗(kEZ)4冗D.当且仅当2k 冗<x<-+2k 兀(kEZ)时，0< f(x )�—-✓2224.记函数f(x )= sin (2x —f)的图象为G,则下列结论正确的是（）A. 函数f (x)的最小正周期为1CB.函数f (x )在区间[——,—冗5冗12 12]上单调递增冗C.直线x=-一是图象G 的一条对称轴12冗D .将函数y =si n 2.x的图象向右平移—个单位长度，得到图象G ·35．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下列说法错误的是（ ）A ．函数()y f x =的图象关于直线6x π=-对称B ．函数()y f x =的图象关于点5,012π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C ．函数()y f x =在2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．该图象对应的函数解析式为()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭．6．关于函数()sin sin f x x x =+有下述四个结论，其中正确的结论是（ ） A ．f (x )是偶函数B ．f (x )在区间（2π,π）单调递增C ．f (x )在[,]-ππ有4个零点D ．f (x )的最大值为27．已知函数 f (x ) = sin(ωx +φ)(ω> 0)的图象经过点1,32π⎛⎫ ⎪⎝⎭，且在区间,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则 ω , φ 可能的取值为 （ ） A ．ω = 2, φ = 6π-B ．ω = 2, φ =2π-C ．ω = 6, φ =6πD ．ω = 6, φ =56π 8．下列结论正确的是（ ） A ．''sin10315sin16430> B ．sin 508sin144> C ．34cos()cos()109ππ->- D ．4447cos(cos()910ππ> 9．下列命题中，真命题的是（ ）A ．sin y x =的图象与sin y x =的图象关于y 轴对称B ．()cos y x =-的图象与cos y x =的图象相同C ．sin y x =的图象与()sin y x =-的图象关于x 轴对称D ．cos y x =的图象与()cos y x =-的图象相同10．有下列四种变换方式：①向左平移4π个单位长度，再将横坐标变为原来的12（纵坐标不变）；②横坐标变为原来的12（纵坐标不变），再向左平移8π个单位长度；③横坐标变为原来的12（纵坐标不变），再向左平移4π个单位长度；④向左平移8π个单位长度，再将横坐标变为原来的12（纵坐标不变）. 其中能将正弦函数sin y x =的图象变为sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的是（）A ．①B ．②C ．③D ．④1.下列结论正确的是()7冗A .-是第三象限角6答案解析冗B. 若圆心角为—的扇形的弧长为亢，则该扇形而积为—-3冗C.若角a 的终边过点P(—3,4),则cos a =--35D. 若角a 为锐角，则角2a 为钝角【参考答案】BC【答窊解析】根据角的定义，可判断选项A 是否正确；由扇形的而积公式，判断选项B 是否正确；根据三角函数定义，判断选项C是否正确；根据角的范围，判断选项D是否正确7冗5冗选项A:-终边与—－相同，为第二象限角，所以A 不正确；66 冗选项B:设扇形的半径为r ,一r=冗，:.r = 3,3 3冗扇形面积为-x 3x冗＝一－，所以B正确；2 2选项C:角a的终边过点P (-3,4),根据三角函数定义，3cos a = -—，所以C正确；5冗选项D:角a ,为锐角时，O<a<-,O<a <冗，所以D不正确2 故选BC2.已知0E (0, 冗）, sin0+cos0 =—，则下列结论正确的是（）A.BE(沪］3B.cos0二一53C.tan0=--7D.sin0-cos0=-【参考答案】ABD 【答案解析】根据所给条件，利用同角三角函数的基本关系计绊可得1解：·:sin 0 + c os 0 =—(j)5()221sin cos 5θθ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭即221sin 2sin cos cos 25θθθθ++= 242sin cos 25θθ∴=- (0,)θπ∈sin 0θ∴>，cos 0θ<,2πθπ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭()249sin cos 12sin cos 25θθθθ∴-=-= 7sin cos 5θθ∴-=② ①加②得4sin 5θ= ①减②得3cos 5θ=-4sin 45tan 3cos 35θθθ∴===--综上可得，正确的有ABD 故选：ABD3．对于函数sin ,sin cos ()cos ,sin cos x x xf x x x x ≤⎧=⎨>⎩，下列四个结论正确的是（ ）A ．()f x 是以π为周期的函数B ．当且仅当()x k k ππ=+∈Z 时，()f x 取得最小值-1C ．()f x 图象的对称轴为直线()4x k k ππ=+∈ZD ．当且仅当22()2k x k k πππ<<+∈Z时，0()2f x <≤【参考答案】CD【答案解析】求得()f x 的最小正周期为2π，画出()f x 在一个周期内的图象，通过图象可得对称轴、最小值和最大值，即可判断正确参考答案．解：函数sin ,sin cos ()cos ,sin cos x x xf x x x x ⎧=⎨>⎩…的最小正周期为2π，画出()f x 在一个周期内的图象， 可得当52244k x k ππππ++剟，k Z ∈时， ()cos f x x =，当592244k x k ππππ+<+…，k Z ∈时， ()sin f x x =，可得()f x 的对称轴方程为4x k ππ=+，k Z ∈，当2x k ππ=+或322x k ππ=+，k Z ∈时，()f x 取得最小值1-； 当且仅当22()2k x k k Z πππ<<+∈时，()0f x >，()f x的最大值为(42f π=，可得0()2f x <…，综上可得，正确的有CD ． 故选：CD ．4．记函数()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象为G ，则下列结论正确的是（ ） A ．函数f （x ）的最小正周期为π B ．函数f （x ）在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．直线12x π=-是图象G 的一条对称轴D ．将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移3π个单位长度，得到图象G【参考答案】ABC【答案解析】根据三角函数的图像与性质，对选项逐一分析，由此得出正确选项. 函数()f x 的最小正周期为2ππ2=，故A 选项正确. 由πππ2232x -≤-≤，解得π5π1212x -≤≤，所以函数f （x ）在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故B 选项正确. 由于ππππsin 2sin 1121232f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以直线12x π=-是图象G 的一条对称轴，故C 选项正确.sin 2y x =向右平移π3得到π2πsin 2sin 233y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故D 选项错误.故选：ABC5．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下列说法错误的是（ ）A ．函数()y f x =的图象关于直线6x π=-对称B ．函数()y f x =的图象关于点5,012π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C ．函数()y f x =在2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．该图象对应的函数答案解析式为()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 【参考答案】ABC【答案解析】先根据图象求振幅、周期，解得A ω，，再根据最值点求ϕ，最后根据三角函数性质判断选择.由函数的图象可得2A =，由124312πππω⋅=-，0>ω,得2ω=． 再由最值得22122k ππϕπ⨯+=+，k Z ∈，又2πϕ<，得3πϕ=，得函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故选项D 正确.当6x π=-时，()0f x =，不是最值，故A 不成立；当512x π=-时，()2f x =-，不等于零，故B 不成立；3+22+2232k x k πππππ≤+≤得7++1212k x k ππππ≤≤，k Z ∈，故C 不成立； 故选：ABC ．6．关于函数()sin sin f x x x =+有下述四个结论，其中正确的结论是（ ） A ．f (x )是偶函数B ．f (x )在区间（2π,π）单调递增C ．f (x )在[,]-ππ有4个零点D ．f (x )的最大值为2【参考答案】AD【答案解析】根据绝对值的意义，结合三角函数的图象和性质逐一进行判断即可． 解：f （﹣x ）＝sin|﹣x |+|sin （﹣x ）|＝sin|x |+|sin x |＝f （x ）则函数f （x ）是偶函数， 故A 正确； 当x ∈（2π，π）时，sin|x |＝sin x ，|sin x |＝sin x ，则f （x ）＝sin x +sin x ＝2sin x 为减函数，故B 错误；当0≤x ≤π时，f （x ）＝sin|x |+|sin x |＝sin x +sin x ＝2sin x ，由f （x ）＝0得2sin x ＝0得x ＝0或x ＝π，由f （x ）是偶函数，得在[﹣π，0）上还有一个零点x ＝﹣π，即函数f （x ）在[﹣π，π]有3个零点，故C 错误；当sin|x |＝1，|sin x |＝1时，f （x ）取得最大值2，故D 正确， 故选AD7．已知函数 f (x ) = sin(ωx +φ)(ω> 0)的图象经过点1,32π⎛⎫ ⎪⎝⎭，且在区间,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则 ω , φ 可能的取值为 （ ） A ．ω = 2, φ = 6π-B ．ω = 2, φ =2π-C ．ω = 6, φ =6πD ．ω = 6, φ =56π 【参考答案】BC【答案解析】将各选项,ωϕ代入答案解析式,逐项判断是否过点1,32π⎛⎫⎪⎝⎭,再计算出正弦函数的单调区间,判断函数在区间(,)126ππ上是否单调,即可得解.对于A,()sin(26f x x π=-,2()sin(sin 13362f ππππ=-==,图像不过点1,32π⎛⎫ ⎪⎝⎭,不合题意; 对于B, ()sin(2)2f x x π=-,21(sin()sin 33262f ππππ=-==图像过点1,32π⎛⎫ ⎪⎝⎭, 令22,2()222x k k k Z πππππ⎡⎤-∈-++∈⎢⎥⎣⎦,解得,()2x k k k Z πππ⎡⎤∈+∈⎢⎥⎣⎦, 所以()sin(22f x x π=-在区间(,126ππ上单调递增;对于C, ()sin(66f x x π=+,1()sin(2)sin 3662f ππππ=+==图像过点1,32π⎛⎫ ⎪⎝⎭, 令62,2()622x k k k Z πππππ⎡⎤+∈-++∈⎢⎥⎣⎦,解得11,()93183x k k k Z ππππ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦, 令362,2()622x k k k Z πππππ⎡⎤+∈++∈⎢⎥⎣⎦,解得141,()183183x k k k Z ππππ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦, 所以()sin(66f x x π=+在区间(,126ππ上单调递减;对于D, 5()sin(6)6f x x π=+,551()sin(2sin3662f ππππ=+==图像过点1,32π⎛⎫⎪⎝⎭, 令562,2()622x k k k Z πππππ⎡⎤+∈-++∈⎢⎥⎣⎦,解得211,()93183x k k k Z ππππ⎡⎤∈-+-+∈⎢⎥⎣⎦, 当51,,918k x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦所以5()sin(6)6f x x π=+在区间(,126ππ上不是单调函数,不合题意.故选:BC8．下列结论正确的是（ ） A ．''sin10315sin16430> B ．sin 508sin144> C ．34cos()cos()109ππ->- D ．4447cos(cos()910ππ> 【参考答案】AC【答案解析】利用诱导公式与正余弦函数的单调性分析即可. 对A,因为正弦函数在区间2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上为减函数,且''901031516430180︒<<<︒ , 故''sin10315sin16430> ,故A 正确.对B,因为sin 508sin(360148)sin148=+= ,且正弦函数在区间2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数,故sin148sin144< ,即sin 508sin144< ,故B 错误.对C,因为余弦函数为偶函数,且在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦为减函数,且34109ππ<,故34cos cos 109ππ>, 故34cos(cos(109ππ->-,故C 正确. 对D, 4488cos(cos(4cos 999ππππ=+=,4777cos(cos(4)cos 101010ππππ=+=.因为782109ππππ<<<,故87cos cos 910ππ<,故4447cos()cos()910ππ<.故D 错误. 故选：AC9．下列命题中，真命题的是（ ）A ．sin y x =的图象与sin y x =的图象关于y 轴对称B ．()cos y x =-的图象与cos y x =的图象相同C ．sin y x =的图象与()sin y x =-的图象关于x 轴对称D ．cos y x =的图象与()cos y x =-的图象相同【参考答案】BD【答案解析】利用正弦曲线和余弦曲线以及正余弦函数的奇偶性，借助图象变换，逐个判断，即可得出结论.对于A ，sin y x =是偶函数，而sin y x =为奇函数，故sin y x =与sin y x =的图象不关于y 轴对称，故A 错误；对于B ，()cos cos ,cos cos y x x y x x =-===，即其图象相同，故B 正确；对于C ，当0x <时，()sin sin x y x =-=，即两图象相同，故C 错误；对于D ，()cos cos y x x =-=，故这两个函数图象相同，故D 正确，故选：BD.10．有下列四种变换方式：①向左平移4π个单位长度，再将横坐标变为原来的12（纵坐标不变）； ②横坐标变为原来的12（纵坐标不变），再向左平移8π个单位长度； ③横坐标变为原来的12（纵坐标不变），再向左平移4π个单位长度； ④向左平移8π个单位长度，再将横坐标变为原来的12（纵坐标不变）. 其中能将正弦函数sin y x =的图象变为sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象的是（ ） A ．①B ．②C ．③D ．④ 【参考答案】AB 【答案解析】根据函数()sin y A ωx φ=+ 的图象变换规律，一一判断，即可得到结论．①向左平移4π个单位长度，再将横坐标变为原来的12（纵坐标不变），则正弦函数sin y x =的图象变为sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象； ②横坐标变为原来的12（纵坐标不变），再向左平移8π个单位长度，则正弦函数sin y x =的图象变为sin 2sin 284y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象； ③横坐标变为原来的12（纵坐标不变），再向左平移4π个单位长度，则正弦函数sin y x =的图象变为sin 2sin 242y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象； ④向左平移8π个单位长度，再将横坐标变为原来的12（纵坐标不变），则正弦函数sin y x =的图象变为sin 28y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，因此①和②符合题意， 故选AB .。

中考数学复习《锐角三角函数》专项练习题-附带有答案一、选择题1．已知α是锐角，若sinα=12，则α的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°2．如图，在Rt△ABC中，BC＝3，斜边AC＝5，则下列等式正确的是（）A．sinC＝35B．cosC＝43C．tanA＝34D．sinA＝453．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= 513，则tanB的值为（）A．1213B．512C．1312D．1254．如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：2，堤高BC=4m，则坡面AB的长度是（）mA．8 B．16 C．4√5D．4√35．如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sin∠A的值为（）A．12B．√1010C．√55D．2√556．如图，点A到点C的距离为100米，要测量河对岸B点到河岸AD的距离.小明在A点测得B在北偏东60°的方向上，在C点测得B在北偏东30°的方向上，则B点到河岸AD的距离为（）A．100米B．50米C．200√33米D．50√3米7．图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC .若 AB=BC=1，∠AOB=α，则 OC2的值为（）A．sin2α+1B．1sin2α+1C．cos2α+1D．1cos2α+18．如图所示，正方形ABCD中AB=4，点E为BC中点，BF⊥AE于点G，交CD边于点F，连接DG，则DG长为（）A．95√5B．4 C．165D．85√5二、填空题9．已知∠A是锐角tanA=√32，则sinA=.10．平放在地面上的直角三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示，量得∠A为54°，∠B 为36°，边AB的长为2m，BC边上露出部分BD的长为0.9m，则铁板BC边被掩埋部分CD的长是m.（参考数据：sin54°≈0.8，cos54°≈0.6，tan54°≈1.4）.11．如图，在⊙O中，弦AB的长为12√3，圆心到弦AB的距离为6，则∠BOC的度数为.12．如图，△ABC的顶点B、C的坐标分别是(1，0)、(0，√3)，且∠ABC=90°，∠A=30°，则顶点A的坐标是.13．如图，正方形AFEB和正方形BEDC的边长相等，点A、B、C在同一条直线上．连接AD、BD，那么cos ∠ADB的值为．三、解答题14．计算：2sin30°+cos30°•tan60°.15．先化简，再求值：xx2−1÷(1−1x+1)，其中x=√2sin45°+2tan60°.16．为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动.如图，在一个坡度（或坡比）i＝1：2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD.测得古树底端C到山脚点A的距离AC＝26米，在距山脚点A水平距离6米的点E处，测得古树顶端D的仰角∠AED＝48°（古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直），则古树CD的高度约为多少米？（参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）17．今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力.如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB 由A 向B 移动，已知点C 为一海港，在A 处测得C 港在北偏东45°方向上，在B 处测得C 港在北偏西60°方向上，且 AB =400+400√3 千米，以台风中心为圆心，周围600千米以内为受影响区域.（1）海港C 受台风影响吗？为什么？（2）若台风中心的移动速度为20千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？（结果保留整数，参考数据 √2≈1.41 √3≈1.73 √5≈2.24 ）18．如图所示，已知BC 是⊙O 的直径，A 、D 是⊙O 上的两点，连接AD 、AC 、CD ，线段AD 与直径BC 相交于点E.（1）若∠ACB ＝60°，求sin∠ADC 的值.（2）当CD ⌢=12AC ⌢时 ①若CE =√2，BC⋅CE AB =2求∠COD 的度数.②若CD ＝1，CB ＝4求线段CE 的长.参考答案1．A2．C3．D4．C5．C6．D7．B8．B9．√217 10．0.711．60°12．(4，√3)13．3√101014．解：原式＝2× 12 + √32× √3 ＝1+ 32＝ 5215．解： x x 2−1÷(1−1x+1)=x (x+1)(x−1)÷x+1−1x+1 =x (x+1)(x−1)⋅x+1x=1x −1 当x =√2sin45°+2tan60°=√2×√22+2×√3=1+2√3时 1x −1=11+2√3−1=12√3=√36原式=√36. 16．解：延长DC 交EA 的延长线于点F ，则CF ⊥EF∵山坡AC上坡度i＝1：2.4∴令CF＝km，则AF＝2.4km在Rt△ACF中，由勾股定理得CF2+AF2＝AC2∴k2+（2.4k）2＝262解得k＝10∴AF＝24m，CF＝10m∴EF＝30m在Rt△DEF中，tanE＝DFEF∴DF＝EF•tanE＝30×tan48°＝30×1.11＝33.3（m）∴CD＝DF﹣CF＝23.3m因此，古树CD的高度约为23.3m.17．（1）解：如下图，过点C作CH⊥AB交AB于点H设CH=x在Rt△ACH中在Rt△BCH中∴AB=(√3+1)x=400+400√3∴x=400，∴CH=400∵400<600，海港C受台风影响（2）解：如下图，以CP=600千米为半径画弧交AB于P、Q两点，此时台风在PQ之间时，海港受到影响在 Rt △PCH 中∴PH =√CP 2−CH 2=200√5∴PQ =2PH =400√5则时间： t =400√520=20√5≈45 （小时）答：台风影响该海港持续的时间有45小时.18．（1）解：∵BC 是⊙O 的直径∴∠BAC ＝90°∵∠ACB ＝60°∴∠B ＝30°∵AC ⌢＝AC ⌢∴∠ADC ＝∠B ＝30°∴sin∠ADC ＝sin30°=12所以sin∠ADC 的值为12；（2）解：①∵CE =√2 BC⋅CE AB =2∴BC AB =√2∵∠BAC ＝90°∴cos∠B ＝AB BC =√22∴∠B ＝45°∵CD ⌢＝12AC ⌢∴∠CAD ＝12∠B ＝22.5°∴∠COD ＝2∠CAD ＝45°即∠COD 的度数为45°；②∵CD ⌢＝12AC ⌢∵∠ADC＝∠COD，∠OCD＝∠DCE ∴△OCD∽△DCE∴CDOC =CECD∵BC＝4∴OC＝2∴12=CE1∴CE＝12∴线段CE的长为12.。