可测函数及其性质(最新版)

可测函数的应用一、什么是可测函数可测函数是指定义在测度空间上的函数，其预像集合在该空间的σ代数中可测。

简单来说，就是对于任意一个可测集合，其原像也是可测的。

二、可测函数的性质1. 可测函数的线性组合仍然是可测函数。

2. 可测函数的积仍然是可测函数。

3. 可测函数的极限仍然是可测函数。

4. 可测函数在任意一个区间上都有界。

5. 可测函数可以用简单函数逼近。

三、可测函数在实际应用中的作用1. 概率论中的应用在概率论中，随机变量就是一种特殊的实值映射。

而随机变量是否为可测变量则决定了它是否能够作为概率空间上的一个有效对象。

因此，可测性质成了概率论中非常重要的一部分。

2. 实现数学分析中的应用在实现数学分析中，通过研究不同类别之间映射关系，可以发现很多问题都可以转化为对于某个特定区域内是否存在某种特定类型映射来进行研究。

而这个问题的解决，就需要通过可测函数来实现。

3. 图像处理中的应用在图像处理中，可测函数可以用来描述图像的灰度变化。

而对于一张图像的分析，则可以通过对其灰度分布进行可测函数分析来实现。

四、可测函数在实际问题中的具体应用1. 可测函数在信号处理中的应用在信号处理领域中，可测函数被广泛应用于模拟信号和数字信号之间的转换。

通过将模拟信号转换成数字信号，并对其进行可测性分析，可以得到更精确和稳定的数字信号。

2. 可测函数在金融风险评估中的应用在金融风险评估领域中，可测函数被广泛应用于不同类别之间风险程度的比较。

通过对不同类别之间映射关系进行可测性分析，可以得到更准确和稳定的风险评估结果。

3. 可测函数在遥感图像处理中的应用遥感图像是一种非常特殊和复杂的图像类型。

而对于遥感图像进行处理，则需要先将其转化为数字信号，并通过对其灰度分布进行可测性分析来实现。

五、结语综上所述，可测函数是一种非常重要的数学概念，其在实际应用中具有广泛的应用前景。

通过对可测函数的深入研究和分析，可以为各个领域的问题提供更准确和稳定的解决方案。

可测函数（一）可测函数的定义1、在可测函数定义的学习过程中，对于可测函数的表示：∀a∈R, 有{x |f(x) > a}可测，则f(x) 可测；用简单间函数列来表示：有简单函数列{φn},满足limφn = f (x) , 则f(x)可测；由鲁津定理得用连续函数逼近可测函数；n→∞通过本章可测函数的学习，要把这三种关系透彻理解、掌握。

2、简单函数的引入对于学习讨论可测函数、L积分都有重要的意义。

简单函数是常量函数、分段函数的进一步扩展。

通过简单函数，对可测函数及L 积分的讨论从简到繁、从特殊到一般过渡；要证明某个命题对于可测函数（或其一部分）成立，可先证明该命题对简单函数成立，再由极限过程过渡到一般可测函数。

3、可测函数列的等价条件。

（二）可测函数列的收敛性由L测度建立的L积分理论中，零测度集不影响函数的可积性和积分值。

实变函数中的L积分与数学分析中的R积分，有一个很重要的不同点，就是命题的成立引入了“几乎处处”的概念。

对于可测函数列的三种强度不等的收敛定义：几乎一致收敛、几乎处处收敛、依测度收敛，要理解其意义与作用及相互关系。

可测函数列{f n (x) }处处收敛与依测度收敛虽然有很大区别，但仍有密切联系，主要表现在于：（1）处收敛的函数列可能不是依测度收敛，依测度收敛的函数列仍右能不是处处收敛。

(x) }几乎处处收敛（2）若{f n (x) }依测度收敛f(x)，则必有子列{f ni于f (x)。

（3）几乎一致收敛函数列{f n(x)}一定依测度收敛于同一函数；反之，若{fn (x) }依测度收敛于f(x)，则存在子列几乎一致收敛函数f(x) 。

（三）函数可测与连续的关系——鲁津定理区间上的连续函数、单调函数、简单函数都是可测函数，所以可测函数类比连续函数类更广。

鲁津定理给出了连续函数与可测函数的关系，表明用连续函数可以“逼近”可测函数，从而用我们比较熟悉的连续函数去把握比较抽象的可测函数，在某些情况下可以适当地把可测函数转换为连续函数。

可测函数的正部和负部
首先，让我们考虑一个可测函数f: X → R，其中X是一个测度空间，R是实数集。

函数f的正部记作f^+，负部记作f^-。

正部和负部可以通过以下方式定义：
f^+(x) = max{f(x), 0}，。

f^-(x) = max{-f(x), 0}。

换句话说，正部是函数f在每个点上的正值部分，负部是函数f在每个点上的负值部分。

如果f(x)大于等于0，则f^+(x)等于
f(x)，而f^-(x)等于0；如果f(x)小于0，则f^-(x)等于-f(x)，而f^+(x)等于0。

从测度的角度来看，如果f是可测函数，那么它的正部和负部也是可测函数。

这意味着对于任何实数a，集合{x | f^+(x) > a}和{x | f^-(x) > a}都是可测集。

这个性质在测度论和实分析中非常重要。

另外，正部和负部还有一个重要的性质，即对于任何可测函数
f，我们有f = f^+ f^-，并且|f| = f^+ + f^-。

这些性质在处理
可测函数的积分和绝对收敛性时非常有用。

从应用的角度来看，正部和负部也在实际问题中发挥着重要作用。

例如，在概率论中，正部和负部可以用来描述随机变量的性质；在信号处理中，它们可以用来分离信号的正负部分以及分析信号的
特征。

总之，可测函数的正部和负部是在测度空间上定义的重要概念，它们有着丰富的数学性质和广泛的应用价值。

通过深入理解和研究
正部和负部，我们可以更好地理解可测函数的性质和在实际问题中
的应用。

第四章 可测函数（总授课时数 14学时）由于建立积分的需要，我们还必须引进一类重要的函数——Lebesgue 可测函数，并讨 论其性质和结构.§1 可测函数及其性质教学目的 本节将给出可测函数的定义并讨论其基本性质教学要点 可测函数有若干等价的定义. 它是一类范围广泛的函数, 并且有很好的运算封闭性. 可测函数可以用简单函数逼近, 这是可测函数的构造性特征.本节难点 可测函数与简单函数的关系. 授课时数 4学时——————————————————————————————1可测函数定义定义：设()f x 是可测集E 上的实函数(可取±∞)，若[],f a a R E >∀∈可测，则称()f x 是E 上的可测函数.2可测函数的性质性质1 零集上的任何函数都是可测函数。

注：称外测度为0的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集 性质2 简单函数是可测函数若1ni i E E ==⋃ (i E 可测且两两不交），()f x 在每个i E 上取常值i c ，则称()f x 是E 上的简单函数；1()()i ni E i f x c x χ==∑ 其中1()0i iE i x E x x E E χ∈⎧=⎨∈-⎩注：Dirichlet 函数是简单函数性质3 可测集E 上的连续函数()f x 必为可测函数 设()f x 为E 上有限实函数，称()f x 在0x E ∈处连续00(,)((),)0,0,()x f x f O E O δεεδ∀>∃>⋂⊂若使得对比：设()f x 为(),a b 上有限实函数，0()(,)f x x a b ∈在处连续0lim ()()x x f x f x →=若000,0,|||()()|x x f x f x εδδε∀>∃>-<-<即当时，有 00(,)((),)0,0,()x f x x O f x O δεεδ∀>∃>∈∈即当时，有 00(,)((),)0,0,()x f x f O O δεεδ∀>∃>⊂即使得()f x 在0[,]x a b ∈处连续(对闭区间端点则用左或右连续)证明：任取[]x E f a ∈>, 则()f x a >,由连续性假设知， 对(),0,x f x a εδ=-∃>使得(,)((),)()(,)x x f x f O E O a δε⋂⊂⊂+∞即(,)[]x x f a O E E δ>⋂⊂.令[](,)x f a x x E G O δ>∈=⋃则G 为开集，当然为可测集，且另外[][](,)(,)[]()()x x f a f a x x f a x E x E G E O E O E E δδ>>>∈∈⋂=⋃⋂=⋃⋂⊂所以[][](,)()x f a f a x x E E O E G E δ>>∈⊂⋃⋂=⋂，故[]f a E G E >=⋂为可测集性质4 R 中的可测子集E 上的单调函数()f x 必为可测函数。

ＳＣＩＥＮＣＥ＆ＴＥＯＨＮＯＬＯＧＹ　ｌＮＦＯＲＭＡＴｌ０Ｎ　可测函数的性质　

王一　（甘肃省渭源县第二中学　甘肃定西　７４８２０　１）　

科技教育　

摘要：可潮函数是从测度观点来研究函数时所必爆要考虑的一类函数。它一方面包含大家熟悉的连续函数作为特例，另一方面又在应用　上和理论上具有足够的广泛性。文章从可澍函数的定义入手，给出简单函数的定义，还有提了几个常见的简单函数，在此基础上将讨论可　测函数的性质，比如任何非负可测函数都可以用单调递增简单函数逐点逼近，对于一般的可测函数来说也可以利用遂点逼近法，可测函数　的收敛性。逐步进入可测函数的主要应用一积分领域。　关键词：可测函数　简单函数　可测函数的逼近　可测函数的性质　中图分类号ＩＯ１　７４．１　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７２－３７９１（２０１４）ｌＯ（ｂ）－Ｏ１　３８－－０２　

实变函数论的核心内容是建立在可测　函数类上的Ｌｅｂｅｓｇｕｅ积分理论，而可测函数　是借助于测度论定义的。因此，三者关系能　体现出可测函数是实变函数论的基本概　念，理解与掌握它是学好Ｌｅｂｅｓｇｕｅ积分理论　的关键。由于通常将一般可测函数的Ｌ积分　定义为它的正部与负部两个非负可测函数　Ｌ积分的差（要求其中至少一个积分值有　限），因此研究非负可测函数Ｌ积分的定义　具有重要意义。该文将研究非负可测函数Ｌ　积分的定义方法，文中可测集与可测函数　均指Ｌ可测集与Ｌ可测函数。　

１可测函数的定义　１．１可测函数　（１）定义：设厂（　）是定义在可测集　Ｅ　ｃ　Ｒｎ的实函数，如果对于任何有限实数　ａ，Ｅ［ｆ＞ａ］都是可测集，则称ｆ（ｘ）为定　义在Ｅ上的可测函数　（２）定理：设ｆ（ｘ）是定义在可测集　上　的实函数，下列任一条件都是ｆ（ｘ）在Ｅ上　可测的充要件：（１）对任何有限实数以，　Ｅ［ｆ≥ａ】都可测；（２）对任何有限实数ａ，　Ｅ［ｆ＜ｎ］都可测；（３）对任何有限实数ａ，　Ｅ［ｆ≤ａ】都可测；（４）对任何有限实数　口，ｂ（ａ＜ｂ），Ｅ［ａ≤ｆ＜ｂ］都可测。　例如，区间［　，ｂ１上的连续函数及单调　函数都是可测函数。　１．２简单函数　定义：设ｆ（ｘ）的定义域Ｅ可分为有限　．　．　个互不相交的可测集Ｅｌ，Ｅ２…Ｅｓ，Ｅ　Ｕ　，　ｉ＝１　使ｆ（ｘ）在每个Ｅ上都等于某常数Ｃ　，则　ｌ厂（　）为简单函数。　例如，在区间［０，１】上的狄利克雷函数便　是一简单函数。　２可测函数的性质　２．１基本性质　（ｔ）性质１：若＿厂（　）是Ｅ上的可测函数，　Ｅ。ｃ　Ｅ，Ｅ。可测，则ｆ（ｘ）限制在巨上也是　可测函数；反之，若Ｅ　，＿厂（　）限制在　上是可测函数，则Ｓ（ｘ）在Ｅ上也是可测　函数。　巨［，）　】＝　ｒ）　］ｒ、巨　，）　］　［１，＞　］　引理：设ｆ（ｘ）与ｇ（　）为Ｅ上的可测函　数，则Ｅｌｆ＞ｇ］与Ｅ［ｆ　ｇ］都是可测集。　（２）性质２：设／（　），ｇ（ｘ）在Ｅ上可测，则　下列函数（假定它们在　上有定义）也在Ｅ　上可测：　①＿厂（　）＋ｇ（　）｝②１　ｆ（ｘ）ｊ；③１／ｆ（ｘ）；④　ｌ厂（　）．ｇ（　）ｌ⑤　（ｘ）　ｉｎｆ　（　）与　（　）　ｕｐ／＝　（　）　都在　上可测。　（３）性质３：｛　（ｘ）｝是Ｅ上一列可测函　数，则Ｆ（　）＝ｌｉｍＡ（ｘ），Ｇ（ｘ）＝ｌｉｍｆ，，（ｘ），也在　Ｅ上可测，特别当Ｆ（　）＝ｌｉｍＡ（ｘ）存在时，　它也在Ｅ上可测。　证明（略）。　例：Ｒ　上的可微函数／（ｘ）的导函数　ｆ’《Ｘ）是可测函数。　注意：函数列收敛与函数列收敛于厂　之间的不同。　（４）性质４：Ｒ中的可测子集Ｅ上的单调函　数必厂　）为可测函数。　定义：（几乎处处成立）设　是一个与集　合Ｅ的点Ｘ有关的命题，如果存在Ｅ的子　集　，适合ｍＭ＜５，使得２ｔ＂在Ｅ＼Ｍ上　恒成立，也就是说，Ｅ＼Ｅ［７ｔ＂成立】＝零测度　集，则我们称　在Ｅ上几乎处处成立，或　说　ａ．ｅ．于Ｅ成立。　２．２可测函数的收敛性关系与区别　定义：（依测度收敛）设｛　｝是Ｅ　ｃ　上的一列ａ．ｅ．有限的可测函数，若有Ｅ上ａ．　ｅ．有限的可测函数ｆ（ｘ）满足下列关系：对　任一盯＞０有ｌｉｍｍＥ［Ｉｆ．一ｆｌ≥　】＝０，则称函数