可测函数的定义及简单性质1

1.5 可测集与可测函数1.5.1 可测集与可测函数定义1.5.1 设X 是基本空间，R 是X 上的σ-代数，且E X E ∈=R， 则称(,)X R 是可测空间(measurable space)，R 中的元素E 是(,)X R 上的可测集(measurable set)。

特别地，当1X =R ，=R L 时，称1(,)R L 是Lebsgue 可测空间；Lebsgue 可测空间上的可测集称为Lebsgue 可测集；当1X =R ，()==0R S R B 时，称1(,)R B 是Borel 可测空间；Borel 可测空间上的可测集（即：Borel 集）称为Borel 可测集.注 定义可测空间、可测集时，严格地说，并不要求在σ-代数R 上已经具有某个测度，即把可测空间、可测集的概念本质上当作集合论范畴的概念，这已是通行的看法。

定义1.5.2 设(,)X R 是可测空间，E X ⊂，f 是定义在E 上的有限实函数。

若对一切实数c ，集(){(),}E c f x c f x x E ≤=≤∈都是(,)X R 上的可测集（即：()E c f ≤∈R ），则称f 是E 上关于R 的可测的函数，简称E 上的可测函数(measurable function)。

特别地，当1(,)(,)X =R R L 时，称f 是E 上关于L 的Lebsgue 可测函数； 当1(,)(,)X =R R B 时，称f 是E 上关于B 的Borel 可测函数。

定理1.5.1 设(,)X R 是可测空间，f 是定义在E X ⊂上的有限实函数。

则f 是E 上的可测函数的充分必要条件是：对任意实数,c d ，集()E c f d ≤<是可测集。

证 设f 是可测函数，由于()()()E c f d E c f E d f ≤<=≤-≤，而()E c f ≤和()E d f ≤都是可测集，所以()E c f d ≤<是可测集。

borel 可测函数引言在数学中，可测函数是一个重要的概念。

而在可测函数的理论中，Borel 可测函数则是一个特殊的概念，起到了重要的作用。

本文将对 Borel 可测函数进行全面、详细、完整且深入地探讨。

一、可测函数的定义可测函数最早起源于测度论的研究。

假设给定一个测度空间（X, Σ, μ），其中X 是一个非空集合，Σ 是 X 的一个σ-代数，μ 是定义在Σ 上的一个测度。

那么一个函数f : X → ℝ（或者是f : X → ℂ）被称为可测函数，如果对于任意的实数 a，有集合{x ∈ X : f(x) > a} 在σ-代数Σ 中。

换句话说，可测函数是一个这样的函数，其反像集在给定的σ-代数中。

二、Borel 可测函数的概念Borel 可测函数是可测函数的一种特殊情况，其定义如下：如果一个函数 f : X → ℝ（或者是 f : X → ℂ）的每一个实数 a 的反像集{x ∈ X : f(x) > a} 都属于所给测度空间的Borel σ-代数，那么这个函数被称为 Borel 可测函数。

三、Borel 可测函数的性质Borel 可测函数有许多重要的性质，下面将介绍其中的一些性质。

1. Borel 可测函数的基本性质Borel 可测函数的一个重要性质是：任意两个 Borel 可测函数的和、差、积、商（当分母不为零时）仍然是 Borel 可测函数。

这个性质可以从 Borel 可测函数的定义中直接推导出来，并且在实际应用中非常有用。

2. 可测函数的逼近性质对于一个 Borel 可测函数，可以用简单函数逼近它。

简单函数是指一个形式为有限个指示函数之和的函数形式。

具体而言，对于一个 Borel 可测函数 f : X → ℝ，可以找到一个递增的简单函数序列{φ_n}，使得它们逐点收敛到 f。

3. Borel 可测函数的连续性性质Borel 可测函数在某些情况下具有连续性。

例如，如果 f 是一个定义在闭区间 [a, b] 上的 Borel 可测函数，且对于该区间上的任意一个点 x，存在一个开邻域 U_x，使得 f 在 U_x 上连续，那么 f 在区间 [a, b] 上是连续的。

第四章 可测函数（总授课时数 14学时）由于建立积分的需要，我们还必须引进一类重要的函数——Lebesgue 可测函数，并讨 论其性质和结构.§1 可测函数及其性质教学目的 本节将给出可测函数的定义并讨论其基本性质教学要点 可测函数有若干等价的定义. 它是一类范围广泛的函数, 并且有很好的运算封闭性. 可测函数可以用简单函数逼近, 这是可测函数的构造性特征.本节难点 可测函数与简单函数的关系. 授课时数 4学时——————————————————————————————1可测函数定义定义：设()f x 是可测集E 上的实函数(可取±∞)，若[],f a a R E >∀∈可测，则称()f x 是E 上的可测函数.2可测函数的性质性质1 零集上的任何函数都是可测函数。

注：称外测度为0的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集 性质2 简单函数是可测函数若1ni i E E ==⋃ (i E 可测且两两不交），()f x 在每个i E 上取常值i c ，则称()f x 是E 上的简单函数；1()()i ni E i f x c x χ==∑ 其中1()0i iE ix E x x E E χ∈⎧=⎨∈-⎩ 注：Dirichlet 函数是简单函数性质3 可测集E 上的连续函数()f x 必为可测函数 设()f x 为E 上有限实函数，称()f x 在0x E ∈处连续00(,)((),)0,0,()x f x f O E O δεεδ∀>∃>⋂⊂若使得对比：设()f x 为(),a b 上有限实函数，0()(,)f x x a b ∈在处连续0lim ()()x x f x f x →=若000,0,|||()()|x x f x f x εδδε∀>∃>-<-<即当时，有00(,)((),)0,0,()x f x x O f x O δεεδ∀>∃>∈∈即当时，有 00(,)((),)0,0,()x f x f O O δεεδ∀>∃>⊂即使得()f x 在0[,]x a b ∈处连续(对闭区间端点则用左或右连续)证明：任取[]x E f a ∈>, 则()f x a >,由连续性假设知， 对(),0,x f x a εδ=-∃>使得(,)((),)()(,)x x f x f O E O a δε⋂⊂⊂+∞即(,)[]x x f a O E E δ>⋂⊂.令[](,)x f a x x E G O δ>∈=⋃则G 为开集，当然为可测集，且另外[][](,)(,)[]()()x x f a f a x x f a x E x E G E O E O E E δδ>>>∈∈⋂=⋃⋂=⋃⋂⊂所以[][](,)()x f a f a x x E E O E G E δ>>∈⊂⋃⋂=⋂，故[]f a E G E >=⋂为可测集性质4 R 中的可测子集E 上的单调函数()f x 必为可测函数。

第三章 可测函数为了引进新的积分，我们还需要引进一类重要的函数即可测集上的可测函数，这类函数一方面与数学分析中的连续函数有着密切的联系，另一方面比连续函数更为广泛、应用价值更大.这里我们需要强调，今后所提到的函数都是指定义在n R 中某点集上的单值实函数，且允许它的值可以取±∞（±∞也称为非正常实数，通常的实数称为有限实数或实数）.另外，我们规定：(+∞)+（+∞）=+∞，（-∞）+（-∞）=-∞，对于任意实数a ，总有a +(+∞)=(+∞)+a =+∞，a +(-∞)=-∞，对于b >0，c <0，b ·(±∞)=±∞，c ·(±∞)= ∞，(±∞)·（±∞）=+∞， （+∞）·（-∞）=（-∞）·（+∞）=-∞，0·（±∞）=（±∞）·0=0， 对∞≠b ，o b =∞，对o c ≠，∞=oc， 但（+∞）-（+∞），（±∞）+（ ∞），（-∞）-（-∞）均无意义.§1 可测函数的定义及简单性质可测函数的定义方法很多，本节，我们将采用从简单到复杂的方法定义可测函数，即先给出简单的可测函数，然后分析这些函数的测度特性从而归纳出一般可测函数的定义.一、可测函数的定义及等价定义1．简单函数定义1 设E n R ⊂为一个可测集，)(x f 为定义在E 上的实函数，如果 （1）E = mi i E 1=，其中i E 为两两不交的可测集，（2）在每个i E 上)(x f =i c ，即)(x f = ⎩⎨⎧1C C m1E x E x m ∈∈ ，亦即∑==m i E i x c x f i 1)()(χ，其中)(x i E χ表示i E 的特征函数，则称)(x f 为E 上的简单函数.显然)(x D =⎩⎨⎧01 上的无理点为上的有理点为]1,0[]1,0[x x 及 )sgn(x =⎪⎩⎪⎨⎧-10100<=>x x x 均为其定义域上的简单函数.注 只有当可测集E 的分解为有限不交可测分解，且在每个小可测集上)(x f 的取值为常数时，)(x f 才是E 上的简单函数.可以证明，可测集E 上的两个简单函数)(),(x g x f 的和、差及乘积仍为E 上的简单函数，且当0)(≠x g 时，)()(x g x f 也是E 上的简单函数。

第四章 可测函数（总授课时数 14学时）由于建立积分的需要，我们还必须引进一类重要的函数——Lebesgue 可测函数，并讨 论其性质和结构.§1 可测函数及其性质教学目的 本节将给出可测函数的定义并讨论其基本性质教学要点 可测函数有若干等价的定义. 它是一类范围广泛的函数, 并且有很好的运算封闭性. 可测函数可以用简单函数逼近, 这是可测函数的构造性特征.本节难点 可测函数与简单函数的关系. 授课时数 4学时——————————————————————————————1可测函数定义定义：设()f x 是可测集E 上的实函数(可取±∞)，若[],f a a R E >∀∈可测，则称()f x 是E 上的可测函数.2可测函数的性质性质1 零集上的任何函数都是可测函数。

注：称外测度为0的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集 性质2 简单函数是可测函数若1ni i E E ==⋃ (i E 可测且两两不交），()f x 在每个i E 上取常值i c ，则称()f x 是E 上的简单函数；1()()i ni E i f x c x χ==∑ 其中1()0i iE i x E x x E E χ∈⎧=⎨∈-⎩注：Dirichlet 函数是简单函数性质3 可测集E 上的连续函数()f x 必为可测函数 设()f x 为E 上有限实函数，称()f x 在0x E ∈处连续00(,)((),)0,0,()x f x f O E O δεεδ∀>∃>⋂⊂若使得对比：设()f x 为(),a b 上有限实函数，0()(,)f x x a b ∈在处连续0lim ()()x x f x f x →=若000,0,|||()()|x x f x f x εδδε∀>∃>-<-<即当时，有 00(,)((),)0,0,()x f x x O f x O δεεδ∀>∃>∈∈即当时，有 00(,)((),)0,0,()x f x f O O δεεδ∀>∃>⊂即使得()f x 在0[,]x a b ∈处连续(对闭区间端点则用左或右连续)证明：任取[]x E f a ∈>, 则()f x a >,由连续性假设知， 对(),0,x f x a εδ=-∃>使得(,)((),)()(,)x x f x f O E O a δε⋂⊂⊂+∞即(,)[]x x f a O E E δ>⋂⊂.令[](,)x f a x x E G O δ>∈=⋃则G 为开集，当然为可测集，且另外[][](,)(,)[]()()x x f a f a x x f a x E x E G E O E O E E δδ>>>∈∈⋂=⋃⋂=⋃⋂⊂所以[][](,)()x f a f a x x E E O E G E δ>>∈⊂⋃⋂=⋂，故[]f a E G E >=⋂为可测集性质4 R 中的可测子集E 上的单调函数()f x 必为可测函数。