2.3.1双曲线及其标准方程

2.3 双曲线2.3.1 双曲线及其标准方程问题导学一、双曲线的定义活动与探究1若点F1(－c,0)，F2(c,0)(c＞0且为常数)为两个不同的定点，且动点M满足|MF1|－|MF2|＝2a(2a≥0且a为常数)．求动点M的轨迹．迁移与应用1．动点P到点M(1,0)及点N(3,0)的距离之差为2，则点P的轨迹是( )．A．双曲线 B．双曲线的一支C．两条射线 D．一条射线2．已知两定点F1(－5,0)，F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，则当a＝3和5时，P点的轨迹分别是( )．A．双曲线和一条直线B．双曲线和一条射线C．双曲线的一支和一条射线D．双曲线的一支和一条直线根据双曲线的定义判断动点轨迹时，一定要注意双曲线的定义中的各个条件，不要一看到动点到两个定点的距离之差的绝对值是常数，就认为其轨迹是双曲线，还要看该常数是否小于两个已知定点之间的距离且大于零，否则就不是双曲线．二、双曲线标准方程的理解活动与探究2讨论x225－k ＋y2k －9＝1表示何种曲线？迁移与应用1．已知方程x21＋k －y21－k＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( )．A ．－1＜k ＜1B ．k ＞0C ．k ≥0D ．k ＞1或k ＜－12．已知x 21－k －y 2|k |－3＝－1，当k 为何值时：①方程表示双曲线；②表示焦点在x 轴上的双曲线；③表示焦点在y 轴上的双曲线．1．对于方程x 2m＋y 2n＝1，当mn ＜0时表示双曲线．进一步，当m ＞0，n ＜0时表示焦点在x 轴上的双曲线；当m ＜0，n ＞0时表示焦点在y 轴上的双曲线．2．对于方程x 2m －y 2n＝1，则当mn ＞0时表示双曲线．且当m ＞0，n ＞0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m ＜0，n ＜0时表示焦点在y 轴上的双曲线．3．已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值的要求，建立不等式(组)求解参数的取值范围．三、求双曲线的标准方程活动与探究3求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线过点(3，－42)和⎝ ⎛⎭⎪⎫94，5； (2)与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)．迁移与应用1．过点(1,1)且b a＝2的双曲线的标准方程是( )． A ．x 212－y 2＝1 B ．y 212－x 2＝1C ．x 2－y 212＝1 D ．x 212－y 2＝1或y 212－x 2＝12．若双曲线以椭圆x 216＋y 29＝1的两个顶点为焦点，且经过椭圆的两个焦点，则双曲线的标准方程为__________．1．双曲线标准方程的求解方法是“先定型，后计算”．所谓“定型”，是指确定类型，也就是确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴，从而设出相应的标准方程的形式；所谓“计算”，是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2的值，最后写出双曲线的标准方程．2．在求双曲线的方程时，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax 2＋By 2＝1(AB ＜0)．3．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共焦点的双曲线的标准方程可设为x 2a 2－λ－y 2b 2＋λ＝1(－b 2＜λ＜a 2)．四、双曲线定义的应用活动与探究4已知双曲线x2a2－y 2b2＝1，P 为双曲线上除x 轴上之外的一点且∠F 1PF 2＝θ，求△PF 1F 2的面积．迁移与应用1．已知F 1，F 2是双曲线x24－y 2＝1的两个焦点，P 是双曲线上一点，且∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积是( )．A ．1B ．52C ．2D ． 52．已知圆M 1：(x ＋4)2＋y 2＝25，圆M 2：x 2＋(y －3)2＝1，一动圆P 与这两个圆都外切，试求动圆圆心P 的轨迹．双曲线上一点P 与双曲线的两个焦点F 1，F 2构成的三角形称之为焦点三角形，其中|PF 1|，|PF 2|和|F 1F 2|为三角形的三边，解决与这个三角形有关的问题要充分利用双曲线的定义和三角形的边角关系、正弦定理、余弦定理．答案：课前·预习导学 【预习导引】1．差的绝对值 两个定点 两焦点间的距离预习交流1 提示：①定义中要求是与两个定点的距离的差的绝对值等于常数，而不是与两个定点的距离的差等于常数，否则，轨迹将只是双曲线的某一支，而不是完整的双曲线．②定义中的常数应满足：大于零且小于|F 1F 2|． 若常数等于零，则轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线；若常数等于|F 1F 2|，则轨迹为以F 1，F 2为端点的两条射线；若常数大于|F 1F 2|，则轨迹不存在．预习交流2 提示：给定一个双曲线的标准方程，判定它代表的双曲线的焦点的位置时，应根据x 2和y 2的系数的正负来确定．如果x 2项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；如果y 2项的系数是正的，那么焦点在y 轴上．双曲线的标准方程中的a 和b 之间没有确定的大小关系，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点所在的坐标轴．课堂·合作探究 【问题导学】活动与探究1 思路分析：要紧扣双曲线的定义，注意题目中的两个字母c ，a 的关系，根据不同的大小关系分类讨论．解：若2a ＞2c ＞0，则点M 的轨迹不存在．若2a ＝2c ＞0，则点M 的轨迹是以点F 2为端点，且与x 轴正方向同向的射线，方程为y ＝0(x ≥c )．若0＜2a ＜2c ，则点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的右支，其方程为x 2a 2－y 2c 2－a2＝1(x ≥a )．若2a ＝0，则点M 的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线，方程为x ＝0． 迁移与应用 1．D 解析：依题意|PM |－|PN |＝2＝|MN |， 所以点P 的轨迹不是双曲线，而是一条射线．2．C 解析：当a ＝3时，|PF 1|－|PF 2|＝6＜|F 1F 2|， 所以P 点轨迹是双曲线的一支；当a ＝5时，|PF 1|－|PF 2|＝10＝|F 1F 2|， 所以P 点轨迹是以F 2为起点的一条射线．活动与探究2 思路分析：根据所给方程，依据25－k 与k －9的符号及大小，确定方程所表示的曲线．解：由题意可知k ≠25且k ≠9．当k ＞25时，有25－k ＜0，k －9＞0，所给方程表示焦点在y 轴上的双曲线； 当k ＜9时，有25－k ＞0，k －9＜0，所给方程表示焦点在x 轴上的双曲线；当9＜k ＜17时，25－k ＞0，k －9＞0且25－k ＞k －9，所给方程表示焦点在x 轴上的椭圆；当17＜k ＜25时，25－k ＞0，k －9＞0且k －9＞25－k ，所给方程表示焦点在y 轴上的椭圆；当k ＝17时，25－k ＝k －9＝8，所给方程表示以原点为圆心，22为半径的圆．迁移与应用 1．A 解析：方程x 21＋k －y 21－k＝1表示双曲线，则(1＋k )(1－k )＞0， ∴(k ＋1)(k －1)＜0，∴－1＜k ＜1． 2．解：①若方程表示双曲线， 则有⎩⎪⎨⎪⎧1－k >0，|k |－3>0或⎩⎪⎨⎪⎧1－k <0，|k |－3<0.解得k ＜－3或1＜k ＜3；②若方程表示焦点在x 轴上的双曲线，则1＜k ＜3； ③若方程表示焦点在y 轴上的双曲线，则k ＜－3．活动与探究3 思路分析：可先设出双曲线的标准方程，再构造关于a ，b 的方程组，求得a ，b ，从而求得双曲线的标准方程．注意平方关系c 2＝a 2＋b 2的运用．解：(1)由已知，可设所求双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧32a 2－9b 2＝1，25a 2－8116b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16，b 2＝9，∴双曲线的方程为y 216－x 29＝1．(2)解法一：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1．由题意知c ＝25．∵双曲线过点(32，2)，∴(32)2a 2－4b2＝1． 又∵a 2＋b 2＝(25)2，∴a 2＝12，b 2＝8． 故所求双曲线的方程为x 212－y 28＝1．解法二：设双曲线方程为x 216－k －y 24＋k＝1(－4＜k ＜16)， 将点(32，2)代入得k ＝4，∴所求双曲线的方程为x 212－y 28＝1．迁移与应用 1．D 解析：由于b a＝2， ∴b 2＝2a 2．当焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 22a 2＝1，将点(1,1)代入，得a 2＝12．此时双曲线方程为x 212－y 2＝1．同理求得焦点在y 轴上时，双曲线方程为y 212－x 2＝1．2．x 27－y 29＝1 解析：椭圆x 216＋y 29＝1的焦点在x 轴上，且a ＝4，b ＝3，c ＝7，所以焦点为(±7，0)，顶点为(±4,0)．于是双曲线经过点(±7，0)，焦点为(±4,0)，于是a ′＝7，c ′＝4，所以b ′2＝9，所以双曲线的标准方程为x 27－y 29＝1．活动与探究4 思路分析：在焦点三角形中，充分利用双曲线的定义和三角形的边角关系、余弦定理、正弦定理来求解．解：由面积公式知12PF F S ∆＝12|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2，首先用余弦定理求出|PF 1|·|PF 2|的值，因为cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|－|PF 2|)2－|F 1F 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2－4c 2＋2|PF 1|·|PF 2|2|PF 1|·|PF 2|＝－4b 2＋2|PF 1|·|PF 2|2|PF 1|·|PF 2|＝－2b 2|PF 1|·|PF 2|＋1．∴|PF 1|·|PF 2|＝2b21－cos ∠F 1PF 2，从而得12PF F S ∆＝b 2cot θ2(θ＝∠F 1PF 2)．迁移与应用 1．A 解析：解法一：设|PF 1|＝d 1，|PF 2|＝d 2， 由双曲线的定义可知|d 1－d 2|＝4．又∠F 1PF 2＝90°，于是有d 21＋d 22＝|F 1F 2|2＝20，因此，12F PF S ∆＝12d 1d 2＝14(d 21＋d 22－|d 1－d 2|2)＝1．解法二：由x 24－y 2＝1，知|F 1F 2|＝25． 设P 点的纵坐标为y P ，由于∠F 1PF 2＝90°，则P 在以|F 1F 2|为直径的圆上，即在x 2＋y 2＝5上．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝5，x 2－4y 2＝4，消去x 得|y P |＝55． 故△F 1PF 2的面积S ＝12|F 1F 2|·|y P |＝1．2．解：设动圆的半径是R ，则由题意知⎩⎪⎨⎪⎧|PM 1|＝R ＋5，|PM 2|＝R ＋1，两式相减得|PM 1|－|PM 2|＝4＜|M 1M 2|＝5，所以动圆圆心P 的轨迹是以点M 1(－4,0)，M 2(0,3)为焦点的双曲线中靠近焦点M 2(0,3)的一支．当堂检测1．已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)在满足下列条件的平面内，动点P 的轨迹为双曲线的是( )．A ．||PF 1|－|PF 2||＝3B ．||PF 1|－|PF 2||＝4C ．||PF 1|－|PF 2||＝5D ．|PF 1|2－|PF 2|2＝±4答案：A 解析：根据双曲线定义知P 到F 1，F 2的距离之差的绝对值要小于|F 1F 2|．2．k ＞1，则关于x ，y 的方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是( )． A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在y 轴上的双曲线 D ．焦点在x 轴上的双曲线答案：C 解析：原方程可化为222=111y x k k--+， ∵k ＞1，∴k 2－1＞0,1＋k ＞0．∴方程所表示的曲线为焦点在y 轴上的双曲线．3．设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两焦点的距离差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为( )．A ．x 242－y 232＝1B ．x 2132－y 252＝1 C ．x 232－y 242＝1 D ．x 2132－y 2122＝1答案：A 解析：在椭圆C 1中，由226,5,13a c a =⎧⎪⎨=⎪⎩得13,5.a c =⎧⎨=⎩椭圆C 1的焦点F 1(－5,0)，F 2(5,0)，曲线C 2是以F 1，F 2为焦点，实轴长为8的双曲线，故C 2的标准方程为2222=143x y -．4．双曲线x 225－y 29＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为( )．A ．22或2B ．7C ．22D ．2答案：A 解析：a 2＝25，所以a ＝5,2a ＝10，由双曲线的定义知双曲线上的点到两焦点距离差的绝对值为10，故到另一焦点的距离为22或2．5．求与双曲线x 216－y 24＝1有相同焦点，且经过点P (32，2)的双曲线的标准方程．答案：解：方法1：双曲线22=1164x y -的焦点为(±0)， 由题意设所求双曲线方程为2222=1x y a b-．由题意知2222220,184 1.c a b a b ⎧=+=⎪⎨-=⎪⎩即得a 2＝12，a 2＝30(舍)， ∴b 2＝c 2－a 2＝8．∴双曲线标准方程为22=1128x y -． 方法2：由题意可设所求双曲线方程为221164x y λλ-=-+(－4＜λ＜16)．∵双曲线过点P(2)，∴1841164λλ-=-+．∴λ＝4或λ＝－14(舍)．∴所求双曲线方程为22=1128x y -．11。

〖人教版高中数学选修2—1〗第二章 圆锥曲线与方程三．双曲线§2．3．1 双曲线及其标准方程第2课时 双曲线及其标准方程（2） 教学过程一．双曲线中焦点三角形性质【例1】⑴（2012年全国大纲卷文科）已知1F ，2F 为双曲线C ：222x y -=的左，右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠= （ ） A ．14B ．35C ．34D ．45⑵设1F 、2F 为双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足︒=∠9021PF F ，则△21PF F 的面积是 ．点评：双曲线中焦点三角形及解题策略⑴焦点三角形：双曲线上的动点P 与两焦点1F 、2F 构成的三角形（三点不共线）称为焦点三角形；⑵解题策略：①焦点三角形的定义——122PF PF a -=；②正弦定理、余弦定理——利用正弦定理，余弦定理建立联系； ③三角形的面积公式——12a S ah =．一般地，双曲线22221x y a b-=(00)a b >>，上一点M 与两焦点1F 、2F 构成△21MF F ，若α=∠21MF F ，则 △21MF F 的面积2cot2S b α=．二．求双曲线的标准方程1．利用定义法求双曲线的标准方程【例2】 已知动圆M 恒过定点()2, 0B -，且与定圆C ：()2224x y -+=相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．【变式】1．若将题中条件变为圆M 与圆C 相切，则动点M 的轨迹方程是什么？2．已知()1,0A -，B 是⊙F ：()2211x y -+=上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，则点P 的轨迹方程是 ．2．利用待定系数法求双曲线的标准方程【例3】 ⑴以椭圆2214x y +=的焦点为焦点，且过点(2, 1)Q 的双曲线方程是 （ ）A ．2212x y -=；B ．2214x y -=；C ．2214y x -=；D ．2212y x -=．⑵与双曲线141622=-y x有相同焦点，且经过点()2的双曲线方程是 ．点评：对于与椭圆12222=+by a x (0>>b a )共焦点的双曲线系，可设为22221x y a k k b-=--（22b k a <<）； 对于与双曲线12222=-by a x (0,0>>b a )共焦点的双曲线系，可设为22221x y a k b k-=-+（22b k a -<<）．【同步训练】经过点2,3A ⎛⎝⎭、(3, B -的双曲线的标准方程 ．点评：⑴求双曲线的标准方程，最基本的方法是待定系数法，步骤是： ①定位置——确定焦点的位置（在x 轴上还是在y 轴）；②设方程——根据焦点位置，设出双曲线的标准方程（位置不确定时，需讨论）；③求系数——根据已知条件，确定a 、b 的关系（必要时，利用222c a b =+）,求出a 、b ． 在双曲线的标准方程中，1F 、2F 的位置是双曲线的定位条件；参数a 、b 确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件．⑵当双曲线的焦点位置确定时，标准方程可设为:12222=-b y a x (0,0>>b a )或12222=-bx a y )0,0(>>b a ； 当双曲线的焦点位置不确定时，标准方程可设为:()2210x y mn m n+=<或()2210mx ny mn +=<． 称为双曲线的次标准方程．3．与双曲线有关的轨迹问题【例4】 如图，设A ，B 的坐标分别为()2, 0-和()2, 0，直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是12，求点M 的轨迹方程．【变式】1．（01年上海市）设P 为双曲线2214x y -=上一动点，O 为坐标原点，M为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程是 ．点评：问题⑴和⑵是双曲线的另一种表示形式，问题⑴中求轨迹方程使用的是直接法，问题⑵是相关点法．三．小结1．求双曲线的标准方程的最基本方法是待定系数法，由于双曲线的标准方程只含有两个参数a 、b ，因此只须要找出两个独立的条件.2．双曲线的定义是双曲线的最根本的几何性质，应熟练应用双曲线的定义来解题．。

绝密★启用前2.3.1双曲线及其标准方程一、选择题1．【题文】双曲线x y 222-=8的焦点坐标是（ ）A.()23,0± B.()0,23± C.()2,0± D.()0,2±2．【题文】若双曲线22:1916x y E -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于 （ ）A ．11B ．9C ．5D ．33．【题文】下列曲线中焦点坐标为()1,0-的是（ ）A ．223312x y -=B ．2214x y +=C ．22143x y -= D ．22123x y +=4．【题文】若双曲线22149x y -=上一点P 到左焦点的距离是3，则点P 到右焦点的距离为 （ ）A ．4B ．5C ．6D ．75．【题文】过双曲线228x y -=的左焦点1F 有一条弦PQ 交左支于P 、Q 点，若7PQ =，2F 是双曲线的右焦点，则△2PF Q 的周长是（ ）A ．28B ．1482-C ．1482+D ．826．【题文】椭圆2214x y +=与双曲线2212x y -=有相同的焦点1F 、2F ，P 是这两条曲线的一个交点，则△12F PF 的面积是（ ）A ．4B ．2C ．1D ．127．【题文】过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点1F ，作圆222x y a +=的切线交双曲线右支于点P ，切点为T ，若1PF 的中点M 在第一象限，则以下结论正确的是（ ）A ．b a MO MT -=-B ．b a MO MT ->-C ．b a MO MT -<-D ．b a MO MT -=+8．【题文】已知点P 为双曲线()222210,0x y a b a b -=>>右支上一点，12,F F 分别为双曲线的左，右焦点，且212b F F a=，I 为三角形12PF F 的内心，若1212IPF IPF IF F S SSλ=+成立，则λ的值为（ ）A ．1222+ B ．231- C ．21- D ．21+二、填空题9．【题文】设m 为常数，若点()5,0F 是双曲线2219x y m-=的一个焦点，则m = ．10．【题文】已知双曲线221x y -=，点1F ，2F 为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若12PF PF ⊥，则12PF PF +=_______．11．【题文】若动圆M 与圆1C ：()224+2x+y =外切，且与圆2C ：()224+2x y -=内切，则动圆圆心M 的轨迹方程________．三、解答题12．【题文】求以椭圆22185x y +=的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程．13．【题文】已知命题p ：方程22122x y m m -=-表示焦点在x 轴上的双曲线.命题q ：曲线()2231y x m x =+-+与x 轴交于不同的两点，若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求实数m 的取值范围.14．【题文】已知()12,0F -，()22,0F ，点P 满足122PF PF -=，记点P 的轨迹为E . （1）求轨迹E 的方程；（2）若直线l 过点2F 且与轨迹E 交于P 、Q 两点，无论直线l 绕点2F 怎样转动，在x 轴上总存在定点(),0M m ，使MP MQ ⊥恒成立，求实数m 的值.2.3.1双曲线及其标准方程参考答案及解析1.【答案】A【解析】双曲线方程整理为222221,4,8,12,2348x ya b c c-=∴==∴=∴=，焦点为()23,0±，故选A.考点：双曲线方程及性质.【题型】选择题 【难度】较易 2. 【答案】B【解析】由双曲线定义得1226PF PF a -==，即236PF -=，解得29PF =， 故选B ．考点：双曲线的标准方程和定义． 【题型】选择题 【难度】较易 3. 【答案】A【解析】双曲线223312x y -=中，223a =，213b =，故2221c a b =+=，焦点为()1,0±，符合题意；椭圆2214x y +=中，焦点为()3,0±，不符合题意；双曲线22143x y -=中，焦点为()7,0±，不符合题意；椭圆22123x y +=中，焦点为()0,1±，不符合题意.故选A.考点：椭圆与双曲线的焦点坐标. 【题型】选择题 【难度】较易 4. 【答案】D【解析】由双曲线方程可知2224,9,13,2,3,13a b c a b c ==∴=∴===，P 到左焦点的距离是3，所以P 在左支上且11223,4,34,PF PF PF PF =∴-=∴-=27PF ∴=.考点：双曲线定义及方程. 【题型】选择题 【难度】较易 5. 【答案】C【解析】由双曲线方程可知22a b ==，884c =+=，根据双曲线的定义， 得2142PF PF -=，2142QF QF -=，∴2142PF PF =+，2142QF QF =+，相加可得221182PF QF PF QF +=++， ∵117PF QF PQ +==，∴22782PF QF +=+，因此△2PF Q 的 周长2278271482PF QF PQ =++=++=+，故选C ．考点：双曲线的定义． 【题型】选择题 【难度】一般 6. 【答案】C【解析】联立两方程得22221,41,2x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 解得33y =，由题意可知1223F F =，所以121323123F PF S =⨯⨯=△.考点：焦点三角形的面积. 【题型】选择题 【难度】一般 7. 【答案】A【解析】连接OT ，则1OT PF ⊥，在1FTO △中，1TF b =．连接2PF ， 在12PF F △中，O 、M 分别是12F F 、1PF 的中点，所以212OM PF =， ()()21121111122222MO MT PF PF TF PF PF b a b b a ⎛⎫∴-=--=-+=-+=- ⎪⎝⎭，故 选A ．考点：双曲线的定义，直线与圆相切． 【题型】选择题 【难度】较难 8. 【答案】C【解析】设△12PF F 的内切圆半径为r ，由双曲线的定义得12122,2PF PF a F F c -==，1112IPF SPF r =⋅，2212IPF S PF r =⋅，12122IF F S c r cr =⋅⋅=.由题意得：121122PF r PF r cr λ⋅=⋅+，∴122PF PF a c c λ-==，又2122b F F c a==， ∴222c a ac -=，∴21acλ==-，故选C ． 考点：双曲线定义的应用. 【题型】选择题 【难度】较难 9. 【答案】16【解析】由点()5,0F 是双曲线2219x y m -=的一个焦点及222c a b =+可得，259m =+，解得16m =．考点：双曲线的标准方程． 【题型】填空题 【难度】较易 10. 【答案】23【解析】设点P 在双曲线的右支上，因为12PF PF ⊥，所以()2221222PF PF =+，又因为122PF PF -=，所以()2124PF PF -=，可得1224PF PF ⋅=， 则()222121212212PF PF PF PF PF PF +=++⋅=，所以1223PF PF +=. 考点：双曲线定义的应用. 【题型】填空题 【难度】一般11. 【答案】()2212214x y x -=≥ 【解析】设动圆M 的半径为r ，则由已知1+2MC r =，22MC r =-， ∴1222MC MC -=．又()14,0C -，()24,0C ，∴128C C =．∴1222C C <．根据双曲线的定义知，点M 的轨迹是以()14,0C -、()24,0C 为焦点的双曲线的右支．∵2a =，4c =，∴22214b c a =-=，∴点M 的轨迹方程是()2212214x y x -=≥．考点：求轨迹方程. 【题型】填空题 【难度】一般12. 【答案】22135x y -= 【解析】由椭圆的方程为22185x y +=可知8,5a b ==，则3c =，又因为双曲线 以椭圆22185x y +=的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点，所以双曲线中 3,8,5a c b ===，则双曲线的方程为221.35x y -= 考点：双曲线的标准方程. 【题型】解答题 【难度】较易 13. 【答案】522m <≤或12m < 【解析】若命题p 为真，则2m >；若命题q 为真，则52m >或12m <，∵p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，∴,p q 一真一假，若p 真q 假，则522m <≤；若p 假q 真，则12m <.∴实数m 的取值范围为522m <≤或12m <.考点：双曲线的标准方程，二次函数的图像，简易逻辑关系. 【题型】解答题 【难度】一般14. 【答案】（1）()22113y x x -=≥ （2）1- 【解析】（1）由12122PF PF FF -=<知，点P 的轨迹E 是以1F 、2F 为焦点的双曲线右支，22,22,3c a b ==∴=，故轨迹E 的方程为()22113y x x -=≥. （2）当直线l 的斜率存在时，设直线方程为()()()11222,,,,y k x P x y Q x y =-，与双曲线方程联立消去y 得()222234430k x k x k --++=，22122212230,0,40,3430,3k k x x k k x x k ⎧-≠⎪∆>⎪⎪∴⎨+=>-⎪⎪+⎪⋅=>-⎩解得23k >， ()()()()()()21212121222MP MQ x m x m y y x m x m k x x ⋅=--+=--+--()()()22221212124k x x k m x x m k =+-++++ ()()()()22222222222143423454.333k k k k m m k m k m k k k +++-+=-++=+--- ,0MP MQ MP MQ ⊥∴⋅=，()()22231450m k m m ∴-+--=对任意的23k >恒成立，2210,450,m m m ⎧-=⎪∴⎨--=⎪⎩解得 1.m =- ∴当1m =-时，MP MQ ⊥.当直线l 的斜率不存在时，由()()2,3,2,3P Q -及()1,0M -知结论也成立， 综上，当1m =-时，MP MQ ⊥.考点：圆锥曲线的轨迹问题及双曲线的标准方程. 【题型】解答题 【难度】较难。

2. 3.1双曲线及其标准方程课前预习学案一．预习目标：了解双曲线的定义及焦点、焦距的意义。

二．预习内容：平面内与两定点 1F , 2F 的距离的差的绝对值等于常数(小于|21F F |)的点的轨迹叫做-------。

两定点1F , 2F 叫做双曲线的_________ ，两焦点间的距离|21F F |叫做双曲线的________ ．疑惑点疑惑内容课内探究学案一.学习目标：掌握双曲线的标准方程及其特点；会求简单的双曲线的标准方程。

学习重难点：双曲线的定义的理解和标准方程的特点 二.学习过程：问题 1：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？如图 2-23，定点1F , 2F 是两个按钉，MN 是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M 移动时，|1MF | - |2MF | 是常数，这样就画出一条曲线；由 |2MF | - |1MF | 是同一常数，可以画出另一支．新知 1：双曲线的定义：平面内与两定点 1F , 2F 的距离的差的绝对值等于常数(小于|21F F |)的点的轨迹叫做双曲线。

两定点1F , 2F 叫做双曲线的_________ ， 两焦点间的距离|21F F |叫做双曲线的________ ． 反思：设常数为2a ，为什么2a < |21F F | ？ 2a = |21F F |时，轨迹是__________ ； 2a > |21F F | 时，轨迹____________ ．试一试：点 A ( 1,0) ， B (-1 ,0) ，若 |AC | - |BC | = 1 ，则点C 的轨迹是__________ ．新知 2：双曲线的标准方程：12222=-by a x ,(a> 0,b> 0,222b a c+= )（焦点在x 轴）其焦点坐标为 1F(- c ,0) ， 2F (c ,0) ．思考：若焦点在 y 轴，标准方程又如何？三.反思总结：1.双曲线定义中需要注意的条件：22c a >2.双曲线方程的特点（注意与椭圆对比、区分）：2x 、2y 的系数符号相反，若2x 的系数为正，则焦点在x 轴上，反之则在y 轴上。