2.3.1 双曲线及其标准方程

课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
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预习引导
2.双曲线的标准方程
焦点在 x 轴上 标准方程 焦点坐标 a,b,c 的关系
x2 a2
焦点在 y 轴上
y2 a2
− 2=1(a>0,b>0)
b
y2
− 2=1(a>0,b>0)
b
x2
(± c,0) c2=a2+b2
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问题导学
当堂检测
这两点与椭圆的定义有本质的不同,若|PF1|-|PF2|=2a<|F1F2|,点 P 的轨迹仅为双曲线焦点 F2 这一侧的一支,若|PF2|-|PF1|=2a<|F1F2|,点 P 的轨迹仅为双曲线焦点 F1 这一侧的一支,而双曲线是由两个分支组成 的,故定义中应为“差的绝对值”.
B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:B 解析:根据双曲线的定义,乙⇒ 甲,但甲 乙,只有当 0<2a<|F1F2|时, 其轨迹才是双曲线.
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根据双曲线的定义判断动点轨迹时,一定要注意双曲线的定义中 的各个条件,不要一看到动点到两个定点的距离之差的绝对值是常数 , 就认为其轨迹是双曲线,还要看该常数是否小于两个已知定点之间的 距离且大于零,否则就不是双曲线.
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2.3 双曲线2．3.1 双曲线及其标准方程整体设计教材分析“双曲线及其标准方程”是在讲完了“圆的方程”“椭圆及其标准方程”之后，学习的又一类圆锥曲线知识，也是中学解析几何的学习中最重要的内容之一，它在社会生产、日常生活和科学技术等领域有着广泛的应用，也是大纲中明确要求学生必须熟练掌握的重要内容．双曲线的定义、标准方程与椭圆类似，教科书的处理方法也相仿，也就是说，本小节在数学思想和方法上没有新内容，因此，这一小节的教学可以参照第2.2.1节进行．教学中要着重对比椭圆与双曲线的相同点和不同点，特别是它们的不同点．课时分配本节内容分两课时完成．第1课时讲解双曲线的定义，要求学生类比椭圆标准方程的推导过程推导双曲线的标准方程；第2课时讲解运用双曲线的定义及其标准方程解题．第1课时教学目标知识与技能使学生掌握双曲线的定义，理解双曲线标准方程的推导过程，能根据条件确定双曲线的标准方程．过程与方法在与椭圆的类比中，掌握双曲线的标准方程的推导方法，增强合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力；培养学生运用类比、数形结合思想解决问题的能力．情感、态度与价值观发挥类比的作用，与椭圆形成对比，激发学生学习数学的兴趣，提高学生的审美情趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神，通过引入b2，使方程形式更对称、简洁，无疑会让学生感到数学的特殊魅力，增强学生学习数学的浓厚兴趣．重点难点教学重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程．教学难点：双曲线标准方程的推导.教学过程复习引入1．椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．2.椭圆的标准方程(1)焦点在x 轴x 2a 2＋y 2b 2＝1，(a>b>0)； (2)焦点在y 轴y 2a 2＋x 2b 2＝1，(a>b>0)． 3．a 、b 、c 之间有何种关系？a 2＝c 2＋b 2.探究新知探究：如果把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会发生什么变化？用几何画板演示拉链的轨迹：(A) (B)活动成果：以上两条曲线合起来叫做双曲线，每一条叫做双曲线的一支．下面请同学们思考以下问题：设问：①定点与动点不在同一平面内，能否得到双曲线？②两条曲线中到“两定点的距离的差”有什么关系？③这个常数是否会大于或等于两定点间的距离？(几何画板演示当常数等于|F 1F 2|及常数大于|F 1F 2|时的点的轨迹，帮助学生理解)请学生回答：1.不能．指出必须“在平面内”．2．到两定点的距离的差的绝对值相等，否则只表示双曲线的一支，且到两定点的距离的差的绝对值为一个常数，即||MF 1|－|MF 2||＝2a.3．应小于两定点间距离且大于零．当常数等于|F 1F 2|时，轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线；当常数大于|F 1F 2|时，无轨迹．活动设计：小组讨论，实验演示，通过提出问题，让学生讨论问题，并尝试解决问题．让学生了解双曲线的前提条件，并培养学生的全面思考能力．感受曲线，解读演示得到的图形是双曲线(一部分)．提出问题：类比椭圆的定义，给出双曲线的定义．活动设计：学生先独立思考，教师加以引导，与椭圆有一个类比，允许学生自愿合作、讨论、交流．学情预测：学生的回答可能不全面、不准确，我们可以用几何画板演示学生的回答，让他们发现问题，然后不断补充、纠正，趋于完善．活动成果：师生共同概括出双曲线的定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．(在归纳定义时强调定义要满足三个条件：在平面内、任意一点到两个定点的距离的差的绝对值等于常数、常数小于|F 1F 2|且大于零)下面我们类比椭圆方程的推导，选择适当的坐标系，建立双曲线方程．为今后通过方程研究双曲线的性质做好准备．提出问题：求椭圆方程的步骤是什么？。

(1) 焦点在x轴上时,
x2 a2

y2 b2
1(a
0，b 0)
焦点F1(c,0), F2(c,0)
(2) 焦点在y轴上时,
y2 a2

x2 b2
1(a
0，b 0)
焦点F1(0,c), F2(0,c)
y
M
F1 O F2 x
y M
F2
x
O
F1
例1. 已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)，双曲线
y2 x2 a2 b2 1
双曲线的标准方程的再认识：
（1）双曲线的标准方程形式是: 左边是两个分式的差，两个 分式的分子是x2、y2，分母都是正数；右边是1；
（2）在双曲线的标准方程中,被减分式的分母为a2，减分式的 分母为b2;若被减分式所含的未知数为x(y)，则焦点在 x(y)轴上.
练习:
已知双曲线的方程为：16x2-9y2+144 = 0 , (1) a =___4__，b =___3____，c =___5____， 两焦点坐标为：_(0_,_-_5)_,__(0_,_5_) ; (2)若双曲线上一点P到一个焦点的距离为2, 则点P到另一个焦点的距离等于__1_0___，
例1 . 已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)，双曲线
解: 如图所示，取直线AB为x轴, 线段AB的垂直平分线为
y轴, 建立直角平分线.
设爆炸点P的坐标为(x,y),则
y
P
PA PB 340 2 680 所以,爆炸点P的轨迹是以A、B 为焦点的双曲线的右支.点的轨迹方程为
x2
y2

1( x 0)
115600 44400

2.3.1双曲线及其标准方程
复习与问题
1、椭圆的定义是什么？
平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常 数（大于 大于 |F1F2| ）的点的轨迹叫做椭圆。
M M
F1
F2
思考
问题1 到平面上两定点
F1，F2的距离之差为非零 常数的点的轨迹是什么?
P= P= {M {M ||| |MF |MF ||| MF | MF | |=2 2a } 11 2|2= P= {M ||MF | -F | MF 2| =－2a } 平面内与两个定点 F1 ， 的距离的差的绝对值等于常
因此，在应用定义时，首先要考查 2a与2c的大小
பைடு நூலகம்
.
双曲线的标准方程
1. 建系设点. 以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1F2的 垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系 焦点F1,F2的坐标分别为F1(-c,0),F2(c,0) 设M(x,y) 2.找几何条件． |MF1| - |MF2|=±2a 3.点坐标带入列出方程
x y y F
y
M M
1
o o o
F11 F
x x
x F 2
y
x
x
问题1：双曲线的标准方程与椭圆的标准 方程之间的区别与联系？ 椭 定义 方程 圆 双曲线
||MF1|－|MF2||=2a
x2 y 2 2 1(a 0, b 0) 2 a b y 2 x2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
x2 y 2 1 所求双曲线的方程为： 9 16
例题分析
例1. 已知 F1 (5, 0), F2 (5, 0) , 动点 P 到 F 1、F2 的 距离之差的绝对值为6，求点 P 的轨迹方程. 所求轨迹的方程为：

焦点在 x 轴上
焦点在 y 轴上
定义 方程
| | MF1 | － | MF2 | | = 2a ( 2a ＜| F1F2
|)
x2 y2 a2 b2 1(a, b o)
x2 y2 b2 a2 1(a, b o)
图象
y
. .B
A1 o A x B1
y
. B.
A1 o A x B1
2
2
(x c)2 y2 2a (x c)2 y2
cx a 2 a (x c)2 y 2
(c2 a 2 )x2 a 2 y 2 a 2 (c2 a 2 )
令c2 a2 b2
x2 a2

y2 b2
1(a

0, b
∴可设双曲线方程为:
x2 a2

y2 b2
1
(a>0,b>0).
∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b2=52－32=16.
所以点 P 的轨迹方程为 x2 y2 1 ( x ≥ 3) . 9 16
小结
1.双曲线定义及标准方程
2.焦点位置的确定方法 3.求双曲线标准方程关键（定位，定量）
例 1. 已 知 两 定 点 F1(5, 0) , F2(5, 0) , 动 点 P 满 足
PF1 PF2 6 , 求动点 P 的轨迹方程.
解：∵ F1F2 10 >6, PF1 PF2 6
∴ 由双曲线的定义可知，点 P 的轨迹是一条双曲线, ∵焦点为 F1(5, 0), F2(5, 0)
双曲线中， c 2 = a 2 + b 2。
椭圆的标准方程中，哪个二次项的分母大， 焦点就在哪个相应的轴上；

注：P点到两焦点的距 离之差用2a(a>0)表示。
三、将几何条件化为 代数条件。
根据两点的间的距离公式得：
四、化简
代数式化简得：
因为三角形F2PF1的两边之 差必小于第三边，所以 2a<2c, a<c, a2<c2, c2-a2>0 于是令：c2-a2=b2 代入上式得：b2x2-a2y2=a2b2
立体几何课件
2.2.1 双曲线的 定义及标准方程
1、求曲线方程的步骤
一、建立坐标系，设动点的坐标； 二、找出动点满足的几何条件； 三、将几何条件化为代数条件； 四、化简，得所求方程。
2、椭圆的定义
到平面上两定点F1，F2的距离之和（大于 |F1F2|）为常数的点的轨迹
3、椭圆的标准方程有几类？
C2=a2+b2
思考 如果双曲线的焦点在y轴上，焦点的
方程是怎样？
C2=a2+b2
双曲线的标准方程
C2=a2+b2
图像1 图像2
[练习一] 判断下列各双曲线方程焦点所 在的坐标轴；求a、b、c各为多少？
[练习二]写出双曲线的标准方程
1、已知a=3,b=4焦点在x轴上，双曲线的
标准方程为
。
2、已知a=3,4焦点在y轴上，双曲线的
[两类]
[思考]
到平面上两定点F1，F2的距离之差（小于 |F1F2|）为常量的点的轨迹是什么样的图 形?
看图
双曲线标准方程的推导
一、建立坐标系；设动 点为P(x,y)
注：设两焦点之间的距离 为2c(c>0), 即焦点F1(c,0),F2(-c,0)
二、根据双曲线的定 义找出P点满足的几 何条件。
返回
[布置作业]

将点(3 2，2)代入得 k＝4， x2 y2 ∴所求双曲线方程为12－ 8 ＝1.
研一研· 问题探究、课堂更高效
2.3.1
小结
(1) 双曲线标准方程的求解方法是 “ 先定型，后计
算”． 先看焦点所在的坐标轴是 x 轴还是 y 轴，从而设出 相应的标准方程． (2)在求双曲线的方程时，若不知道焦点的位置，则进行讨 论，或可直接设双曲线的方程为 Ax2＋By2＝1 (AB<0)． x2 y2 (3)与双曲线 2－ 2＝1 共焦点的双曲线的标准方程可设为 a b x2 y2 2 2 － ＝ 1( － b < λ < a )． a2－ λ b2＋ λ
点建立平面直角坐标系． (2)设点：设 M(x，y)是双曲线上任意一点，且双曲线的 焦点坐标为 F1(－c,0)，F2(c,0)． (3)列式：由|MF1|－|MF2|＝± 2a， 可得 x＋c2＋y2－ x－c2＋y2＝± 2a. 令 c2－a2＝b2，得双曲线的标准方程为 x2 y2 － ＝1 (a>0，b>0)． a2 b2 ① (4)化简： 移项， 平方后可得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)．
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2.3.1
问题 4 已知点 P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列 各条件下点 P 的轨迹是什么图形？ (1)| x＋52＋y2－ x－52＋y2|＝6； (2) x＋42＋y2－ x－42＋y2＝6.
解 (1)∵| x＋52＋y2－ x－52＋y2|表示点 P(x，y) 到两定点 F1(－5,0)、F2(5,0)的距离之差的绝对值， |F1F2|＝10，∴||PF1|－|PF2||＝6<|F1F2|， 故点 P 的轨迹是双曲线．

o
x
因 为 PA PB 340 2 680 0,所 以 x 0.
因此炮弹爆炸点的轨迹（双曲线）的方程为
x2 y2 1( x 0). 115 600 44 400
【举一反三】 1.若在A,B两地同时听到炮弹爆炸声,则炮弹爆炸点 的轨迹是什么? 解: 爆炸点的轨迹是线段AB的垂直平分线.
X
离的和等于常数（大于｜F1F2｜）的点的轨迹叫做椭圆.
问题2：如果把椭圆定义中的“距离之和”改为“距
离之差”，那么点的轨迹是怎样的曲线？
即“平面内与两个定点F1，F2的距离的差等于非零常
数的点的轨迹 ”是什么？
看图分析动点M满足的条件： ①如图(A)，
|MF1|-|MF2|=|F2F| =2a. ②如图(B)，
解:
如图所示，建立直角坐标系xOy,使A，B两点在x
轴上，并且坐标原点O与线段AB的中点重合.
设爆炸点P的坐标为(x,y)，则
PA PB 340 2 680，
y
A
P B
即 2a=680，a=340. 又 AB 800，
所以 2c=800,c=400,
b2 c 2 a 2 44 400，
3.列式 由定义可知，双曲线就是集合： P= {M
|||MF1
| - | MF2|| = 2a },
即
( x c )2 y 2 ( x c )2 y 2 2a .
2
4.化简 代数式化简得：(c 2 a 2) x 2 a 2 y a 2(c 2 a 2)，
两 边 同 除 以 a 2 ( c 2 a 2 ), 得
x2 y2 2 1. 2 2 a c a

第16页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
(2)如图，在△ABC 中，已知|AB|＝4 2，且三内角 A，B，C 满足 2sinA＋sinC＝2sinB，建立适当的坐标系，求顶点 C 的轨迹 方程．
【思路分析】 建立坐标系后利用正弦定理与双曲线的定义确 定轨迹方程．
第17页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
第2页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
(1)距离之差的绝对值．若没有“绝对值”，则动点的轨迹是 双曲线的一支．当|MF1|－|MF2|＝2a 时，曲线仅表示焦点 F2 所对 应的一支；当|MF1|－|MF2|＝－2a 时，曲线仅表示焦点 F1 所对应 的一支．
(2)0＜2a＜|F1F2|.当 2a＝|F1F2|时，则动点的轨迹是以 F1，F2 为端点的两条射线；当 2a＞|F1F2|时，动点轨迹不存在；当 2a＝0 时，动点的轨迹是线段 F1F2 的中垂线．
第13页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
【解析】 (1)∵| （x＋5）2＋y2－ （x－5）2＋y2|表示点 P(x，y)到两定点 F1(－5，0)、F2(5，0)的距离之差的绝对值，|F1F2| ＝10，
∴||PF1|－|PF2||＝6<|F1F2|， 故点 P 的轨迹是双曲线． (2)∵ （x＋4）2＋y2－ （x－4）2＋y2表示点 P(x，y)到两 定点 F1(－4，0)、F2(4，0)的距离之差，|F1F2|＝8，∴|PF1|－|PF2| ＝6<|F1F2|，故点 P 的轨迹是双曲线的右支．
(2)若“常数大于|F1F2|”，此时动点轨迹不存在． (3)若“常数为 0”，此时动点轨迹为线段 F1F2 的垂直平分线．
第12页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1

5.（2010·厦门高二检测）经过双曲线 x2 -y2 =1 的左焦点，
3
且与直线x+y=0垂直的直线方程是________. 【解析】由双曲线方程可知a= 3,b=1, ∴c= 3+=12, ∴左焦点为（-2，0）, 又∵直线与x+y=0垂直,∴斜率k=1. ∴所求方程为y=x+2，即x-y+2=0. 答案：x-y+2=0
三、解答题（6题12分，7题13分，共25分） 6.已知椭圆x2+2y2=32的左、右两个焦点分别为F1，F2，动点P 满足|PF1|-|PF2|=4. 求动点P的轨迹E的方程.
【解析】由椭圆的方程可化为
x2 32
+
1y得62 =|1F1F2|=2c=
=8,
2 32-16
|PF1|-|PF2|=4<8. ∴动点P的轨迹E是以F1（-4，0），F2（4，0）为焦点， 2a=4,a=2的双曲线的右支，
∴a=1,b= 2,得c=
2
a2 +b2 = 12 +( 2 )2 = 6 , 22
∴它的右焦点坐标为 ( 6,,故0)C正确.
2
2.（2010·豫东高二检测）若双曲线
x2 m2 -4
-
y2 m+1
=1的焦点在y
轴上，则m的取值范围是( )
（A）（-2，2）
（B）（-2，-1）
（C）（1，2）
（D）（-1，2）
答案：x2 - y2(=x1≥2)
45
45
4.（15分）如图，圆x2+y2=4与x轴相交于 A、B两点，以AB为焦点，坐标轴为对称 轴的双曲线与圆在x轴上方相交于C、D两 点，当梯形ABCD的周长最大时，求此双 曲线方程.

2.3.1 双曲线及其标准方程
核心必知
1．预习教材，问题导入
(1)观察教材，思考下列问题：
①在点 M 移动的过程中，|MF1|－|MF2|的值发生变化吗？
提示： 不变.|MF1|－|MF2|＝|FF2|
．
②动点 M 的轨迹是什么？
提示： 双曲线 ．
(2)利用教材所建立的坐标系，类比椭圆标准方程的
类题·通法
(2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首 先要注意定义中的条件||PF1|-| PF2|| ＝2a的应用；其 次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式 等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些 变形技巧的应用．
练一练 2．已知双曲线x92－1y62 ＝1 的左、右焦点分别是 F1、F2， 若双曲线上一点 P 使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2 的面积．
练一练
3．如图所示，已知定圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，定圆F2： (x－5)2＋y2＝42，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆 圆心M的轨迹方程．
解：圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，圆心F1(－5，0)，半径r1＝1； 圆F2：(x－5)2＋y2＝42，圆心F2(5，0)，半径r2＝4. 设动圆M的半径为R，
(2)双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在 x 轴上 焦点位置 焦点在 x 轴上
a，b，c 的 关系
焦点在 y 轴上 焦点在 y 轴上
c2＝a2＋b2
问题思考
(1)双曲线的定义中强调平面内动点到两定点的距离差 的绝对值为常数，若没有绝对值，则动点的轨迹是什么？ 提示： 双曲线的一支 ．
(2)在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F1F2|”，那么 “常数等于|F1F2|”，“常数大于|F1F2|”或“常数为0”时， 动点的轨迹是什么？ 提示：①如果定义中常数等于|F1F2|，此时动点的轨迹 是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)． ②如果定义中常数大于|F1F2|，此时动点轨迹不存在． ③如果定义中常数为0，此时动点轨迹为线段F1F2的垂 直平分线．

y
探 究
这两个定点F1、F2叫做 双曲线的焦点，两焦点 间的距离叫做双曲线的 焦距（2c）
M
O
F1
F2
x
思 考
你还记得求椭圆方程时如何建立直角坐标 系吗？那么求双曲线方程怎样建系？
解：如图建立直角坐标系,则F1(-c,0)，F2(c,0).设M(x,y) ||MF1|-|MF2||=2a. 是双曲线上任意一点，则：
东莞市樟木头中学 李鸿艳
目标 重点 难点
掌握双曲线的定义和标准方 程，以及标准方程的推导； 培养学生分析、归纳、推理 等能力
双曲线的定义和双曲线的标准方 程 在与椭圆的类比中获得双曲线的 知识，从而培养学生分析、归纳、 推理等能力
观察动画 ，类比椭圆定义，总结双曲 线定义 平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值(2a) 等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线。
A O B
x
x2 y2 所以爆炸点的轨迹方程为： 1 ( x 0) 115600 44400
注意
从实际问题中建立数学模型。
x2 y 2 1、已知椭圆的方程为 1，以此椭圆的顶点为焦点 9 16 的双曲线过度椭圆的顶点，求此双曲线的的标准方程. 2、求下列动圆的圆心M的轨迹方程： ①与⊙C:(x+2)2+y2=2内切，且过点(2,0)； ②与⊙C1:x2 +(y-1)2=1和⊙C2:x2 +(y-1)2=4都外切； ③与⊙C1: (x+3)2+y2=9外切，且与⊙C2: (x-3)2+y2=1内 切．
解析：这表面上看是圆的相切问题，实际上是双 曲线的定义问题．具体解：设动圆M的半径为r， 消参法求解．
双曲线的
x2 y 2 2 1(a 0, b 0) 2 a b

叫做双曲线。 记：
F 焦距为 2c(c 0)，那么 焦点
F1(c,0), F2 (c,0)
1
常数=2a, F1F2 =2c
又设点 M 与 F1, F2 的差的
绝对值等于常数 2a 。
y
M
o F2 x
MF1 MF2 2a
即 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
化简得 (c2-a2) x2-a2y2=a2(c2-a2)
记：
常数=2a, F1F2 =2c 2、若常数2a=0,轨迹是什么?
垂直平分线
3、若2a= F1F2 轨迹是什么？ 两条射线
25 9
的一个交点为P，F1是椭圆 的左焦点， 求 PF1 。
(2)焦点在 y 轴上
c2 a2 b2
◆小结： ◆作业：习题2．３：1、２
Hale Waihona Puke 1、定义：使 x轴经过两焦点 F1, F2 ，y
平面内与两定点F1， F2的距离的差的绝对
轴为线段F1, F2 的垂直平分线。
值等于常数（小于
F1F2 ）的点的轨迹 设 M (x, y)是双曲线上任一点，
1、定义：
平面内与两定点F1，
x F2的距离的差的绝对 使
值等于常数（小于
轴经过两焦点 F1, F2 ，y
F1F2 ）的点的轨迹 轴为线段F1, F2 的垂直平分线。
叫做双曲线。
F 2、双曲线的标准方程 设 M (x, y)是双曲线上任一点， 1
(1)焦点在 x 轴上
焦距为 2c(c 0)，那么 焦点
2、双曲线的标准方程
(1)焦点在 x 轴上
思考：如果A，B两处同时听到爆炸声， 那么爆炸点在什么曲线上？为什么？
(2)焦点在 y 轴上

例3、已知A,B两地相距800m，在A地听
到炮弹爆炸声比B在地晚2s，且声速为 340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程.
x y 练习：若 1 表 m2 5m 示双曲线，求实数m的取值范围。
2
2
x y 例3：已知双曲线 1 9 16 的左、右焦点为F1，F2，点P 在双曲线上，∠F1PF2=60°， 求△F1PF2的面积。
一、复习回顾：
1、椭圆的第一定义
2、椭圆的标准方程 思考： 若改为“到两定点的距离差为 常数”，这样的点的轨迹怎样？方 程又怎样？
思考：|MF1| 和|MF2|哪个 大？
平面内与两个定点F1、F2的距离的差的 绝对值是常数 （2a，a＞0且小于|F1F2|） 的点的轨迹
二、双曲线的定义
平面内与两个定点F1、F2的距离的差的 绝对值是常数（2a，a＞0且小于|F1F2|） 的点的轨迹叫做双曲线． 这两个定点叫做双曲线的焦点，
2
2
两个焦点的距离|F1F2|叫做双曲线的焦距。
定义 图象
MF1 MF2 2a， 0 2a F1F2
方程
x y 2 1 1 2 a b
2
2
焦点 a.b.c的 关系
F c,0
F 0, c
2
c a b
2 2
谁正谁是 a
思考： 1）当2a=|F1F2|时，动点M的轨迹是什么？ 动点M的轨迹是分别以点F1、F2为端点， 方向指向F1F2外侧的两条射线． 2）当2a>|F1F2|时，动点M的轨迹是什么？ 动点M的轨迹不存在. 3）若常数2a=0,轨迹是什么? 线段F1F2的垂直平分线
（4）定义中绝对值去掉有什么 变化？
（5）双曲线和椭圆有何不同之处？

文档从互联网中收集，已重新修正排版，word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。

1如有帮助欢迎下载支持2.3.1 双曲线及其标准方程富源县第六中学 董云【学习目标】 1．记住双曲线的定义及标准方程的形式； 2．会求给定条件下的双曲线的标准方程．【学习重点】双曲线的定义与标准方程的形式.【学习难点】双曲线标准方程的推导与化简【使用说明及学法指导】带着教材助读设置的问题，阅读并探究课本4845-P P 的内容（15min ），完成学案自主学习部分（15min ）.将预习中不能解决的问题标记出来，并写到后面“我的疑问”处.自主学习一、教材助读问题1：椭圆定义与双曲线定义的区别是什么？问题2：分别写出焦点在x 轴上、y 轴上的双曲线的标准方程.已知方程，如何判断焦点的位置？ 问题3：点P 是双曲线上任意一点，1F 、2F 为其焦点，你能得到怎样的关系式？二、自学检测1.已知)0,2()0,2(-N M 、，动点P 满足PM -PN =2，则动点P 的轨迹是 ，轨迹方程为 . 2.已知双曲线116-922=y x ，则a = ，b =，c = ，交点坐标为 和合作探究基础知识梳理1.定义：我们把 叫做双曲线,而这个常数通常用a 2表示，这两个定点21,F F 叫做双曲线的两个焦点之间的距离叫做双曲线的 ，通常用 c 2（0>c）表示，双曲线用集合表示为：定义中几个关键词：“平面内”、“距离的差的绝对值”、“常数小于21F F ”注：如果的系数是正时，那么焦点在轴上；2如果2y 的系数是正时，那么焦点在y 轴上.探究一求下列双曲线的标准方程： （1）10,14==+c b a（2）经过两点(7,A --，B ．规律方法总结： 探究二点,A B 的坐标分别是(5,0)-，(5,0)，直线AM ，BM 相交于点M ，且它们斜率之积是49，试求点M 的轨迹方程式，并由点M 的轨迹方程判断轨迹的形状．规律方法总结：探究三反馈练习1. 双曲线的两焦点坐标是)0,3(1F ，)0,3(2-F 42=b ，则双曲线的标准方程是( ) A.x 25－y 24＝1 B.y 25－x 24＝1C.x 23－y 22＝1D.x 29－y 216＝1 2. 椭圆14222=+a y x 与双曲线12-22=y a x 有相同的焦点，则a 的值是( ) A.12 B ．1或－2 C ．1或12D ．1 3. 已知双曲线的焦点在x 轴上，且9=+c a ，3=b ，则它的标准方程是________．4.已知双曲线221169x y -=的左支上一点P到左焦点的距离为10，则点P 到右焦点的距离为5.求与椭圆152522=+y x 有共同焦点且过点（2,23）的双曲线的标准方程。

§2.3.1 双曲线及其标准方程学习目标1．理解双曲线的概念和双曲线的标准方程的推倒过程，掌握双曲线方程标准式。

2．会根据已知条件求双曲线的标准方程。

重点：双曲线的定义和标准方程。

a 难点：双曲线方程的推倒。

a 学习过程 一：知识回顾复习1：椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？复习2：在椭圆的标准方程22221x y a b+=中，,,a b c 有何关系？若5,3a b ==，则?c =写出符合条件的椭圆方程．二：自主学习新知1：双曲线的定义把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？平面内与两定点12,F F 的距离的差的 等于常数(小于12F F )的点的轨迹叫做双曲线。

两定点12,F F 叫做双曲线的 ，两焦点间的距离12F F 叫做双曲线的 ． 反思：设常数为2a ，为什么2a <12F F ？2a =12F F 时，轨迹是 2a >12F F 时，轨迹是20a =时，轨迹是_____________________练一练：已知(2,0),(2,0),4M N PM PN --= 则动点P 的轨迹是（ ）（A ）双曲线 (B) 双曲线左边一支 （C ）一条射线 （D ）双曲线边一支新知2：双曲线的标准方程： 1.双曲线标准方程的推导： （1）建系 （2）设点 （3）限制条件 （4）列式（5）化简方程 22222221,(0,0,)x y a b c a b a b-=>>=+（焦点在x 轴）其焦点坐标为1(,0)F c -，2(,0)F c ．思考：若焦点在y 轴，标准方程又如何？探究1：如何由双曲线的标准方程来判断它的焦点是在x 轴上还是在y 轴上？判断：221169x y -=与221169y x -=的焦点位置？ 结论：探究2：方程221x y m n+=，当参数,m n 的取值怎样时，方程分别表示焦点在x 轴上与焦点在y 轴上双曲线？ 针对训练：1.求a=4，b=3，焦点在x 轴上双曲线方程2.双曲线12322=-y x 的焦点坐标是（ ）A 、（0,5±） B 、（5,0±）C 、（0,1±） D 、（1,0±） 3.已知方程22121x y m m -=++表示双曲线，则m 的取值范围是三：典型例题例1已知双曲线的两焦点为1(5,0)F -，2(5,0)F ，双曲线上任意点到12,F F 的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．针对训练：1.求适合下列条件的双曲线的标准方程 （1）焦点为（0，-6），（0，6），且经过点（2，-5)。

§2.3双曲线2．3.1双曲线及其标准方程学习目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单问题．知识点一双曲线的定义1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹．2．定义的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a,0<2a<|F1F2|}．3．焦点：两个定点F1，F2.4．焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|.知识点二双曲线标准方程焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)焦点(－c,0)，(c,0)(0，－c)，(0，c)a，b，c的关系c2＝a2＋b21．平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．() 2．平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．()3．平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．() 4．在双曲线标准方程中，a，b，c之间的关系与椭圆中a，b，c之间的关系相同．()题型一 求双曲线的标准方程例1 根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)a ＝4，经过点A ⎝⎛⎭⎫1，－4103；(2)焦点在x 轴上，经过点P (4，－2)和点Q (26，22)； (3)过点P ⎝⎛⎭⎫3，154，Q ⎝⎛⎭⎫－163，5且焦点在坐标轴上．反思感悟 求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程，然后用待定系数法求出a ，b 的值．若焦点位置不确定，可按焦点在x 轴和y 轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂．若双曲线过两定点，可设其方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，通过解方程组即可确定m ，n ，避免了讨论，从而简化求解过程．跟踪训练1 求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－5,0)，(5,0)，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8； (2)以椭圆x 28＋y 25＝1长轴的端点为焦点，且经过点(3，10)．题型二 双曲线定义的应用命题角度1 双曲线中的焦点三角形问题 例2 若F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离； (2)如图，若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2的面积． 引申探究将本例(2)中的条件“|PF 1|·|PF 2|＝32”改为“∠F 1PF 2＝60°”，求△F 1PF 2的面积．反思感悟 求双曲线中焦点三角形面积的方法 (1)方法一：①根据双曲线的定义求出||PF 1|－|PF 2||＝2a ；②利用余弦定理表示出|PF 1|，|PF 2|，|F 1F 2|之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出|PF 1|·|PF 2|的值； ④利用公式12PF F S △＝12×|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2求得面积．(2)方法二：利用公式12PF F S △＝12×|F 1F 2|×|y P |(y P 为P 点的纵坐标)求得面积．跟踪训练2 已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为________．命题角度2 利用定义确定与双曲线有关的轨迹方程例3 在△ABC 中，已知|AB |＝42，A (－22，0)，B (22，0)，且内角A ，B ，C 满足sin B －sin A ＝12sin C ，求顶点C 的轨迹方程．反思感悟(1)求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：①列出等量关系，化简得到方程；②寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程．(2)求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：①双曲线的焦点所在的坐标轴；②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．跟踪训练3 如图所示，已知定圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，定圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，动圆M 与定圆F 1，F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．双曲线在生活中的应用典例 “神舟”九号飞船返回仓顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回仓预计到达区域安排了三个救援中心(记A ，B ，C )，A 在B 的正东方向，相距6千米，C 在B 的北偏西30°方向，相距4千米，P 为航天员着陆点．某一时刻，A 接收到P 的求救信号，由于B ，C 两地比A 距P 远，在此4秒后，B ，C 两个救援中心才同时接收到这一信号．已知该信号的传播速度为1千米/秒，求在A 处发现P 的方位角．[素养评析] 利用双曲线解决实际问题的基本步骤如下：(1)建立适当的坐标系； (2)求出双曲线的标准方程；(3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题． 注意：①解答与双曲线有关的应用问题时，除要准确把握题意，了解一些实际问题的相关概念，同时还要注意双曲线的定义及性质的灵活应用．②实际应用问题要注意其实际意义以及在该意义下隐藏着的变量范围.1．已知F 1(－8,3)，F 2(2,3)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝10，则P 点的轨迹是( )A ．双曲线B ．双曲线的一支C ．直线D ．一条射线2．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值为( )A ．1B ．1或－2C ．1或12D.123．过点(1,1)，且ba＝2的双曲线的标准方程是( )A.x 212－y 2＝1 B.y 212－x 2＝1 C ．x 2－y 212＝1 D.x 212－y 2＝1或y 212－x 2＝1 4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，F 1，F 2为其两个焦点，若过焦点F 1的直线与双曲线的同一支相交，且所得弦长|AB |＝m ，则△ABF 2的周长为( )A ．4aB ．4a －mC ．4a ＋2mD ．4a －2m5．经过点P (－3,27)和Q (－62，－7)，且焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是________________．1．双曲线定义中||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)不要漏了绝对值符号，当2a ＝|F 1F 2|时表示两条射线．2．在双曲线的标准方程中，a >b 不一定成立．要注意与椭圆中a ，b ，c 的区别．在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.3．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出关于a ，b ，c 的方程组．如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx 2＋ny 2＝1(mn <0)的形式求解．一、选择题1．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫22，0 B.⎝⎛⎭⎫62，0 C.⎝⎛⎭⎫52，0 D ．(3，0) 2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，若|PF 1|－|PF 2|＝b ，且双曲线的焦距为25，则该双曲线的方程为( )A.x 24－y 2＝1 B.x 23－y 22＝1 C ．x 2－y 24＝1 D.x 22－y 23＝1 3．已知双曲线x 2a －3＋y 22－a＝1，焦点在y 轴上，若焦距为4，则a 等于( )A.32 B ．5 C ．7 D.124．已知双曲线x 24－y 25＝1上一点P 到左焦点F 1的距离为10，则PF 1的中点N 到坐标原点O 的距离为( )A ．3或7B ．6或14C ．3D ．75．“mn <0”是方程“mx 2＋ny 2＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知平面内两定点A (－5,0)，B (5,0)，动点M 满足|MA |－|MB |＝6，则点M 的轨迹方程是( )A.x 216－y 29＝1 B.x 216－y 29＝1(x ≥4) C.x 29－y 216＝1 D.x 29－y 216＝1(x ≥3) 7．动圆与圆x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹是( )A ．双曲线的一支B ．圆C ．椭圆D ．双曲线8．若双曲线x 2n －y 2＝1(n >1)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且满足|PF 1|＋|PF 2|＝2n ＋2，则△PF 1F 2的面积为( )A ．1 B.12 C ．2 D ．4二、填空题9．以椭圆x 23＋y 24＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的标准方程是________．10．若曲线C ：mx 2＋(2－m )y 2＝1是焦点在x 轴上的双曲线，则m 的取值范围为________．11．焦点在x 轴上的双曲线经过点P (42，－3)，且Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直，则此双曲线的标准方程为______________． 三、解答题12．已知与双曲线x 216－y 29＝1共焦点的双曲线过点P ⎝⎛⎭⎫－52，－6，求该双曲线的标准方程．13．已知双曲线x 216－y 24＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2.(1)若点M 在双曲线上，且MF 1→·MF 2→＝0，求M 点到x 轴的距离；(2)若双曲线C 与已知双曲线有相同焦点，且过点(32，2)，求双曲线C 的方程．14．已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( )A.13B.12C.23D.3215．已知△OFQ 的面积为26，且OF →·FQ →＝m ，其中O 为坐标原点． (1)设6<m <46，求OF →与FQ →的夹角θ的正切值的取值范围；(2)设以O 为中心，F 为其中一个焦点的双曲线经过点Q ，如图所示，|OF →|＝c ，m ＝⎝⎛⎭⎫64－1c 2，当|OQ →|取得最小值时，求此双曲线的标准方程．。