正射影和三垂线定理

预备知识(1)正射影的定义:(如图1所示)从平面外一点P 向平面α引垂线，垂足为P '，则点P '叫做点P 在平面α上的正射影，简称为射影。

同时把线段PP '叫作点P 与平面α的垂线段。

图1(2)点到平面距离定义:一点到它在一个平面上的正射影的距离叫作这点到这个平面的距离，也即点与平面间垂线段的长度。

(3) 四面体的体积公式13V Sh = 其中V 表示四面体体积，S 、h 分别表示四面体的一个底面的面积及该底面所对应的高。

(4)直线与平面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。

(5)三垂线定理:在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线也垂直。

(6)二面角及二面角大小:平面内的一条直线l 把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。

图2所示为平面α与平面β所成的二面角，记作二面角l αβ--，其中l 为二面角的棱。

如图在棱l 上任取一点O ，过点O 分别在平面α及平面β上作l 的垂线OA 、OB ，则把平面角AOB ∠叫作二面角l αβ--的平面角，AOB ∠的大小称为二面角l αβ--的大小。

在很多时候为了简便叙述，也把AOB∠称作α与平面β所成的二面角。

图21、定义法求点到平面距离(直接法)定义法求点到平面距离是根据点到平面的定义直接作出或者寻找出点与平面间的垂线段，进而根据平面几何的知识计算垂线段长度而求得点与平面距离的一种常用方法。

定义法求点到平面距离的关键在于找出或作出垂线段，而垂线段是由所给点及其在平面射影间线段，应而这种方法往往在很多时候需要找出或作出点在平面的射影。

以下几条结论常常作为寻找射影点的依据:(1)两平面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们交线的直线垂直于另一个平面。

P
EB O
A

C
F
如图，在空间四边形ABCD中, PA⊥面ABC, AC⊥BC,
若A在PB、PC上的射影分别是E、F，
P
求证：EF⊥PB
E
F
A
B
C
补充作业：
1.点P在△ABC的射影为O，
A
且PA、PB、PC两两垂直，
P
C O
求证：O为△ABC的垂心
BH
2.平面α 内有一个正六边形，
它的中心是O，边长为2cm，
P
O为斜足; PA是平面α
的垂线, A为垂足; AO
α
o A
a
是PO在平面α内的射影.
如果a α, a⊥AO，
思考a与PO的位置关
系如何？
三垂线定理
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个
平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线
垂直。 PA⊥α
aα
①
PA⊥a
AO⊥a
②

a⊥平面PAO
P PO 平面PAO
B C
三垂线定理
例3、如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，连结BD1，
AC，CB1，B1A，求证：BD1⊥平面AB1C
证明：连结BD，连结A1B
∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD
D1
C1
又DD1⊥平面ABCD
A1
B1
∴BD是斜线D1B在平面ABCD上的
射影
∵AC在平面AC内，∴BD1⊥AC
例4、一段笔直的道路旁有一条河，河对岸有电塔AB， 高15m，只有测角器和皮尺作测量工具，不过河怎样求出 电塔顶A与道路的距离？ 解：在道边取一点C，使BC与道边所成水平角等于90°，

思考：
a 如果把定理中的条a⊥AO与结 论a⊥PO互换，命题是否成立？
三垂线定理的逆定理： 为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能
在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条 斜线垂直，那么它也和这条斜线在这个平面内的 射影垂直。
三垂线定理
(1)若a是平面α的斜线、直线b垂直于a在平面
α内的射影，则a⊥b。
( ×)
(2)若a是平面α的斜线，b是平面α内的直线，
且b垂直于a在β内的射影，则a⊥b。
( ×)
强调：1°四线是相对同一个平面而言
2°定理的关键找“平面”这个参照学。
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
P a
Ao α
用法：
∵PA⊥α， a α，
AO是斜线PO在平面 α内的射影， a⊥PO ∴ a⊥AO
说明：三垂线定理及其逆定理是证明线线垂
直的重要方法。
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例题分析： 1、判定下列命题是否正确
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
复习提问：
1。直线与平面垂直的定义。 2。直线与平面垂直的判定定理。 3。证明线面垂直的方法。 4。证明线线垂直的方法。
一、射影的概念 为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能

D
C
A
B
同理:BA1是斜线BD1在平面ABB1A1上的射影 , AB1 ⊥ BD1 而AC ∩AB1 =A ∴BD1⊥平面AB1C
例3.道路旁有一条河，彼岸有电塔AB，高15m，只有测角 器和皮尺作测量工具，不过河能否求出电塔顶A与道路的 距离？(测角器只能测水平面角) 解：在道路边取一点C，使BC与道边所成水平角等于90°，
且b垂直于a在β内的射影，则a⊥b。
( ×)
强调：1°四线是对同一个平面而言.
2°定理的关键找“平面的垂线”.
三、知识运用
例1. 如图,PD⊥平面ABC,AC=BC,D为AB的中点,求 证AB⊥PC.
证明: ∵ PD⊥平面ABC,
∴ DC为PC在平面的射影,
而△ABC为等腰三角形, A
D为AB的中点,
A
B
90°
C
45° ●D
例4.如图,长方体 ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2 2 ,
AA1= 3, E,F分别为AB和AD的中点,求平面A1EF
和平面ABCD所成二面角的大小?
解: 连接BD,AC,AC交EF于G, 连接A1G
D
1
C1
∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD, A1 而E,F为AB和AD中点, ∴EF∥BD, ∴ EF⊥AC
P C
D

B
∴ AB ⊥ CD
∴ AB ⊥PC
例2.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，连结 BD1，AC，CB1，B1A，求证：BD1⊥平面AB1C
证明：连结BD、 A1B
D1
∵DD1⊥平面ABCD
A1
∴BD是斜线D1B在平面ABCD上的射影