关于一类广义非线性拟变分不等式

大庆石油学院学报第31卷第1期2007年2月JOURNAL OF DAOING PETROLEUM INSTITUTEVol.31No.1Feb.2007收稿日期：20060908；审稿人：刘成仁；编辑：任志平基金项目：国家自然科学基金项目（10272034）作者简介：樊 涛（1981-），女，博士生，主要从事本构理论及变分原理方面的研究.几何非线性非保守系统弹性力学广义拟变分原理樊 涛1，梁立孚1，周利剑2（1.哈尔滨工程大学建筑工程学院，黑龙江哈尔滨 150001； 2.大庆石油学院土木建筑工程学院，黑龙江大庆 163318）摘 要：非线性非保守系统弹性力学的广义变分原理不仅在有限元法和其它近似计算方法中得到广泛应用，而且可以方便地求得非线性非保守系统弹性力学问题的精确解.按照广义力和广义位移之间的对应关系，将几何非线性非保守系统弹性力学中的基本方程乘上相应的虚量，然后积分并代数相加，并考虑到体积力和面积力均为伴生力，建立了几何非线性非保守系统弹性力学中的三类变量的广义拟变分原理，进而将其退化为两类变量的广义拟变分原理和经典拟变分原理.关 键 词：几何非线性；非保守系统；弹性力学；拟变分原理中图分类号：O34 文献标识码：A 文章编号：10001891（2007）01012006各种自然现象和过程（含力学现象）通常由一组数理方程（偏微分方程、积分-微分方程或积分方程）及初边值条件描述，但人们通过长期的探索研究，发现这些现象和过程常常使系统的某一整体量（泛函）取驻值或极值，因而又可以用相应的变分原理描述.变分原理既体现了数学形式上的简洁优美，又体现了物理内容上的丰富深刻，更具有工程应用上的价值，代表了数学与物理的交融与贯通，以及理论与实用的结合与统一.特别是自20世纪60年代起，有限元法的兴起与蓬勃发展，使作为其主要理论基础的变分原理又重新焕发了青春，取得了长足的发展［1-6］.但是，关于非线性系统和非保守系统变分原理的研究较少.非线性系统方面，BUFLER H 提出了放松连续性要求的非线弹性广义变分原理［7］；OGDEN R W 也在非线弹性变分原理方面作了研究［8］；钱伟长建立了几何非线性理论最小位能原理、余能原理和2种广义变分原理［9］；郭仲衡建立了非线性弹性理论变分原理的统一理论［10］；梁立孚利用“凑合法”推导了有限位移理论的各级变分原理［11］；郑泉水提出了非线性弹性理论的泛变分原理［12］.非保守系统方面，以Leipholz 为代表，提出广义自共轭的概念，建立了广义的Hamilton 原理，给出了著名的Leipholz 杆模型；刘殿魁等提出了弹性非保守系统的一般拟变分原理［13］；黄玉盈建立了非保守系统自激振动的拟固有频率变分原理［14］；梁立孚等建立了非保守系统两类变量的广义拟变分原理，并应用第一类两类变量广义拟余能原理，给出同时求解一个典型的伴生力非保守系统的内力和变形两类变量的计算方法［15］.非保守系统变分原理，一是建立非保守系统的广义变分原理困难，二是应用非保守系统的广义变分原理解决实际科学和工程问题困难.拟采用文献［15，16］的方法，建立几何非线性非保守系统弹性力学中的三类变量的广义拟变分原理，进而将其退化为两类变量的广义拟变分原理和经典拟变分原理.1 三类变量的广义拟变分原理给出几何非线性弹性力学的基本方程，其中平衡条件为［（!I]+U I ，]）S ]K ］，K + F I=0，在V 中，（!I ，]+U I ，]）S ]K N K - P I=0，在S "上{，（a ）（b ）·021·几何条件为E JK -l 2U J ，K -l 2U K ，J -l2U I ，J U I ，K =0，在V 中，U I - U I =0，在S U 上{，（c ）（c ）本构方程为S JK =D JKMN E MN ，在V 中，（e ）或E JK =C JKMN S MN ，在V 中，（f ）式中：!IJ 为Kroncker 符号；S JK 为Kirchhoff 应力张量分量；E JK 为Green 应变张量分量；U I 为初始构形中的位移分量； F I为体力分量； P I为面力分量；D JKMN为几何非线性时Lagrange 描述下的弹性系数张量分量；CJKMN为几何非线性时Lagrange 描述下的柔度系数张量分量；N K 为法向矢量分量；“，”为对空间坐标变量的导数；S "为力边界；S U 为位移边界；V 为空间域.根据广义力和广义位移的对应关系，将式（a ~e ）乘上相应的虚量，然后积分并代数相加，可得皿V｛［（!IJ+U I ，J ）S JK ］，K + F I ｝!U I +（E JK -l 2U J ，K -l 2U K ，J -l 2U I ，J U I ，K ）!S ()JK c V +皿V（S JK-D JKMN E MN ）!E JK c V -lS "［（!IJ +U I ，J ）S JK N K - P I］!U I c S +lS U（U I- U I ）!［（!IJ +U I ，J）S JK N K ］c S =0.（l ）利用S JK 的对称性，并应用散度定理，得-l2皿V（U J ，K +U K ，J +U I ，J U I ，K ）!S JK c V =-皿V!IJ+U I ，J ）U I ，K!S JK -l2U I ，J U I ，K !S []JK c V =皿V-U I ，K!［（!IJ+U I ，J）S JK］+U I ，K S JK !U I ，J+l2U I ，J U I ，K !S {}JK c V =-皿V｛U I!［（!IJ+U I ，J ）S JK ］｝，K c V +皿VU I!［（!IJ+U I ，J）S JK］，K+U I ，K S JK !U I ，J+l2U I ，J U I ，K !S {}JKc V =-l S "+S UU I!［（!IJ+U I ，J）S JK N K ］c S +皿VU I!［!IJ+U I ，J ）S JK ］，K +U I ，K S JK !U I ，J+l2U I ，J U I ，K !S {}JK c V .（2）将式（2）代入式（l ），得皿V｛U I!［（!IJ+U I ，J ）S JK ］，K +［（!IJ +U I ，J ）S JK ］，K !U I +U I ，K S JK !U I ，J+l2U I ，J U I ，K !S JK +E JK !S JK +S JK !E JK -D JKMN E MN !E JK + F I !U I ｝c V -lS "｛（!IJ +U I ，J）S JK N K !U I +U I !［（!IJ +U I ，J ）S JK N K ］- P I !U I｝c S -l S UU I !［（!IJ+U I ，J）S JK N K ］c S =0.（3）式（3）可进一步表示为!皿V｛［（!IJ +U I ，J ）S JK ］，K U I+l 2U I ，J U I ，K S JK +E JK S JK -l2D JKMN E JK E MN+ F I U I ｝c V -!l S "［（!IJ +U I ，J ）S JK N K - P I ］U I c S -!lS UU I ［（!IJ +U I ，J）S JK N K ］c S -皿VU I! F Ic V -l S "U I! PIc S =0.（4）将式（4）简记为·l 2l ·第l 期 樊 涛等：几何非线性非保守系统弹性力学广义拟变分原理!"3-!O -!P =0，（5）式中："3=皿V ｛［（!IJ +U I ，J ）S JK ］，K U I + F I U I +l 2D JKMN E JK E MN ｝d V -lS#［（!IJ +U I ，J ）S JK N K - P I ］U I d S -l S UU I ［（!IJ+U I ，J）S JK N K ］d S ；!O =皿VU I! FId V ；!P =l S #U I! P Id S .如果应用Green 定理，得皿V［（!IJ+U I ，J ）S JK ］，K!U I d V =l S #+S U（!IJ+U I ，J ）S JK N K !U I d S -皿V（!IJ +U I ，J ）S JK !U I ，Kd V =l S #+S U（!IJ+U I ，J）S JK N K !U I d S -皿VS JK !l 2U J ，K+l 2U K ，J +l2U I ，J U I ，()K d V .（6）将式（6）代入式（l ），并改变泛函中各项的符号，可得皿V［S JK !l 2U J ，K +l 2U K ，J +l 2U I ，J U I ，()K +l 2U J ，K+l 2U K ，J +l2U I ，J U I ，()K !S JK -E JK !S JK -S JK !E JK +D JKMN E MN !E JK - F I !U I］d V -l S #PI!U Id S -l S U｛（!IJ+U I ，J ）S JK N K !U I +U I !［（!IJ +U I ，J ）S JK N K ］- U I !［（!IJ +U I ，J）S JK N K ］｝d S =0.（7）式（7）可进一步表示为!｛皿V l 2D JKMN E JK E MN -S JK E JK -l 2U J ，K -l 2U K ，J _l 2U I ，J U I ，()K - F I U []I d V -l S #P IU Id S -lS U（UI- U I ）（!IJ +U I ，J）S JKN Kd S ｝+皿VU I! F Id V +l S #U I! P Id S =0.（8）将式（8）简记为!$3+!O +!P =0，（9）式中：$3=皿Vl 2D JKMN E JK E MN -S JK E JK -l 2U J ，K -l 2U K ，J -l 2U I ，J U I ，()K - F I U []I d V -l S #P IU Id S -lS U（UI-U I ）（!IJ +U I ，J ）S JK N K d S .这里将式（5）称为几何非线性非保守系统弹性力学三类变量的广义拟余能原理，将式（9）称为几何非线性非保守系统弹性力学三类变量的广义拟势能原理.由式（5）和式（9）可得"3+$3=0.（l0）无论是对保守系统，还是对非保守系统，式（l0）均成立.2 三类变量的广义拟变分原理的退化令式（4）精确满足式（f ），经整理可将式（4）退化为!皿Vl 2C JKMNS JK S MN +［（!IJ +U I ，J ）S JK ］，K U I+l 2U I ，J U I ，K S JK + F I !U {}I d V -!lS #［（!IJ+U I ，J ）S JK N K - P I ］U I d S -!lS UU I ［（!IJ +U I ，J）S JK N K ］d S -皿VU I! F Id V -l S #U I! PId S =0.（ll ）·22l ·大 庆 石 油 学 院 学 报 第3l 卷 2007年将式（11）简记为!"21-!O -!P =0，（12）式中："21=皿V 12C JKMNS JK S MN +［（!IJ +U I ，J ）S JK ］，K U I + F I U I +12U I ，J U I ，K S {}JK d V -lS #［（!IJ +U I ，J ）S JK N K - P I］U Id S -l S UU I［（!IJ+U I ，J）S JK N K ］d S .令式（8）精确满足式（f ），经整理可将式（8）退化为!｛皿VS JK12U J ，K+12U K ，J+12U I ，J U I ，()K -12C JKMN S JK S MN- F I U []I d V -l S #PIU Id S -lS U（U I- U I）（!IJ+U I ，J）S JKN K d S ｝+皿VU I! F Id V +l S #U I! PId S =0.（13）将式（13）简记为!$21+!O +!P =0，（14）式中：$21=皿VS JK12U J ，K+12U K ，J +12U I ，J U I ，()K -12C JKMN S JK S MN - F I U []I d V -l S #P I U I d S -lS U （U I - U ）（!IJ +U I ，J）S JK N K d S .式（12）和式（14）是以Kirchhoff 应力张量和位移为变量的、几何非线性非保守系统弹性力学两类变量的不完全广义拟变分原理.这里将式（12）称为几何非线性非保守系统弹性力学第一类两类变量的广义拟余能原理，将式（14）称为几何非线性非保守系统弹性力学第一类两类变量的广义拟势能原理.由式（12）和式（14）可得"21+$21=0.（15）无论是对保守系统，还是对非保守系统，式（15）均成立.如果令式（4）精确满足式（e ），经整理可将式（4）退化为!皿V12D JKMNE JK E MN +［（!IJ +U I ，J ）D JKMN E MN ］，K U I+12U I ，J U I ，K D JKMN E MN + F I U {}I d V -!lS #［（!IJ+U I ，J ）D JKMN E MN N K - P I ］U I d S -!lS UU I ［（!IJ +U I ，J）D JKMN E MN N K ］d S -皿VU I! F Id V -l S #U I! PId S =0.（16）将式（16）简记为!"22-!O -!P =0，（17）式中："22=皿V｛12D JKMNE JK E MN +［（!IJ +U I ，J ）D JKMN E MN ］，K U I +F I U I +12U I ，J U I ，K D JKMN E MN ｝d V -lS#［（!IJ +U I ，J ）D JKMN E MN N K - P I］U I d S -l S UU I ［（!IJ+U I ，J）D JKMN E MN N K ］d S .令式（8）精确满足式（e ），经整理可将式（8）退化为!｛皿VDJKMNE MN 12U J ，K +12U K ，J +12U I ，J U I ，()K -12D JKMN E JK E MN - F I U []I d V -l S #P IU Id S -lS U（U I- U I ）（!IJ +U I ，J）D JKMN E MN N K d S ｝+皿VU I! FId V +l S #U I! PId S =0.（18）将式（18）简记为·321·第1期 樊 涛等：几何非线性非保守系统弹性力学广义拟变分原理!"22+!O +!P =0，（19）式中："22=皿VDJKMN E MN 12U J ，K +12U K ，J +12U I ，J U I ，()K -12D JKMN E JK E MN - F I U []I d V -l S #P IU Id S -lS U（UI-U I ）（!IJ +U I ，J）D JKMN E MN N K d S .式（17）和式（19）是以Green 应变张量和位移为变量的、几何非线性非保守系统弹性力学两类变量的不完全广义拟变分原理.这里将式（17）称为几何非线性非保守系统弹性力学第二类两类变量的广义拟余能原理，将式（19）称为几何非线性非保守系统弹性力学第二类两类变量的广义拟势能原理.由式（17）和式（19）可得$22+"22=0.（20）无论是对保守系统，还是对非保守系统，式（20）均成立.令式（4）精确满足式（a ），（b ），（f ），经整理可将式（4）退化为!皿V12C JKMN S JK S MN+12U I ，J U I ，K S ()JK d V -l S UU I （!IJ+U I ，J）S JK N K d []S -皿VU I! F Id V -l S #U I! P Id S =0.（21）将式（21）简记为!$1-!O -!P =0，（22）式中：$1=皿V12CJKMN S JK S MN+12U I ，J U I ，K S ()JK d V -lS UU I （!IJ +U I ，J ）S JK N K d S .式（22）的先决条件为式（a ），（b ），其为几何非线性非保守系统的拟余能原理.令式（8）精确满足式（c ）和式（d ），可将式（8）退化为!皿V12D JKMNE JK E MN -F I U ()Id V -l S #PIU Id []S +皿VU I! FId V +l S #U I! P Id S =0.（23）将式（23）简记为!"1+!O +!P =0，（24）式中："1=皿V12DJKMNE JK E MN -F I U ()Id V -l S #PIU Id S .式（24）的先决条件为式（c ），（d ），其为几何非线性非保守系统的拟势能原理.参考文献：［1］ ODEN J T ，REDDY J N.Variationai method in theoreticai mechanics ［M ］.New York ：Springer-Veriag ，1983.［2］ WASHIZU K.Variationai method in eiasticity and piastisity ［M ］.New York ：Pergamon Press ，1982.［3］ 胡海昌.弹性力学的变分原理及其应用［M ］.北京：科学出版社，1981.［4］ 钱伟长.变分法和有限元［M ］.北京：科学出版社，1980.［5］ ABOBCK/7H ，AIPEEB H ，IEPylA A .BapIaIIO lpI IIl T OpII lp -IOCTI I T OpII O OJO K［M ］.MaCKBa ：HAyKA ，1978.［6］ 郭仲衡.非线性弹性理论［M ］.北京：科学出版社，1980.［7］ BUFLER H.Generaiized variationai principies with reiaxed continuity reguirements for certain noniinear probiems with an appiication to noniin-·421·大 庆 石 油 学 院 学 报 第31卷 2007年ear eiasticity［J］.Computer Methods in Appiied Mechanics and Engineering，1979，19（2）：235-255.［8］OGDEN R W.A note on variationai theorems in noniinear eiastostatics［J］.Math.Proc.Camb.Phii.Soc.，1975（77）：609-615.［9］钱伟长.大位移非线性弹性理论的变分原理和广义变分原理［J］.应用力学和数学，1988，9（1）：1-11.［10］郭仲衡.非线性弹性理论变分原理的统一理论［J］.应用数学和力学，1980，1（1）：11-29.［11］梁立孚，章梓茂.推导弹性力学变分原理的一种凑合法（续）［J］.哈尔滨船舶工程学院学报，1985，6（4）：1-12.［12］郑泉水.非线性弹性理论的泛变分原理［J］.应用数学和力学，1984，5（2）：205-216.［13］刘殿魁，张其浩.弹性理论中非保守问题的一般拟变分原理［J］.力学学报，1981（6）：562-570.［14］黄玉盈，王武久.弹性非保守系统的拟固有频率变分原理及其应用［J］.固体力学学报，1987（2）：127-136.［15］梁立孚，刘殿魁，宋海燕.非保守系统的两类变量的广义拟变分原理［J］.中国科学（G辑），2005，35（2）：201-212.［16］梁立孚，胡海昌.一般力学中三类变量的广义变分原理［J］.中国科学（A辑），2000，30（12）：（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（1130-1135.（上接第119页）式中：!2=121-!+"2!2+"!+!#$其中式（16）和式（18）是分式形式的椭圆函数解，是其它方法没有得到过的$式（9），（10），（11），（13），（15），（16），（18）是常微分方程式（4）的所有可能的解$把相应的具体参数代入解的表达式中，即可写出2+1维Bousenisg方程式（1）的精确行波解$2 结束语利用3阶多项式完全判别系统，求得了2+1维Bousenisg方程的大量精确行波解，其中包括有理函数型解、三角函数周期解、Jacobi椭圆函数双周期解，这些解中有一些是从未得到过的.更重要的是，式（4）的全部精确解得以求出.参考文献：［1］范恩贵，张鸿庆.非线性耦合标量场方程的精确解［J］.物理学报，1998，47（7）：1064-1070.［2］闫振亚，张鸿庆.一类非线性演化方程的显式行波解［J］.物理学报，1999，48（1）：1-5.［3］王心宜，越南.耦合标量场论中的新孤子解［J］.物理学报，1991，40（3）：359-364.［4］WANG X Y，XU B C，TAYLOR P L.Exact soiiton soiutions for a ciass of coupied fieids eguation［J］.Phys Lett A，1993，173（1）：30-32.［5］王明亮，白雪.齐次平衡原则与BTs［J］.兰州大学学报，2000，36（3）：12-17.［6］关伟，张鸿庆.求解非线性方程的双曲函数法［J］.高校应用数学学报（A辑），2001，16（2）：163-168.［7］李志斌，张善卿.非线性波方程准确孤立波解的符号计算［J］.数学物理学报，1997，17（1）：81-89.［8］张鸿庆，范恩贵.2+1维kadom tsev-petviashviii方程的Backiund变换和精确解［J］.大连理工大学学报，1997，37（6）：624-626.［9］刘成仕，杜兴华.耦合Kiein-Gordon-Schrodinger方程的新的精确解［J］.物理学报，2005，54（3）：1039-1044.［10］LIU Cheng-shi.Traveiing wave soiutions of tripie Sine-Gordon eguation［J］.Chinese Physics Letters，2004，21（12）：2369-2371.［11］ZHENG C L，CHEN L .A generaiized mapping approach and new traveiing wave soiutions to（2+1）-dimensionai Bousenisg eguation.［J］.Commu.in Theor.Phys.，2004，41（5）：671-674.·521·第1期樊涛等：几何非线性非保守系统弹性力学广义拟变分原理。

变分不等式的一些求解方法及其应用
变分不等式是指当一个不等式的右端是一个可变的函数时，可以用变分不等式来研究这个函数的最大值或最小值。

它是一种重要的数学工具，可用于解决许多复杂的优化问题。

一般来说，变分不等式的求解方法可以分为两大类：一类是利用函数的极值，另一类是利用凸函数的性质。

利用函数极值的求解方法比较常见，它主要是利用变分不等式的右端函数的极值点来求解变分不等式。

另一种求解方法是利用凸函数的性质，即使用凸函数的拉格朗日乘子技术来求解变分不等式，这一类方法可以求解更复杂的变分不等式。

变分不等式的应用非常广泛，可以用来解决许多复杂的优化问题。

例如，可以用变分不等式来求解最优化问题，最小化损失函数，最大化收益函数等。

此外，变分不等式还可以用于方程组的求解，比如求解热力学系统的状态方程，求解结构力学问题的弹性方程等。

总之，变分不等式是一种重要的数学工具，它可以用来解决许多复杂的优化问题，广泛应用于热力学、力学、经济学等领域。

Hilbert空间中g-框架新的不等式
朱凤娟;黄永东
【期刊名称】《宁夏大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2016(037)003
【摘要】G-框架是经典框架概念的发展与延拓,借助算子理论和范数性质,建立了Hilbert空间中g-框架和Parseval g-框架的一些新的不等式,这些结论在结构和形式上异于已有不等式.
【总页数】4页(P253-256)
【作者】朱凤娟;黄永东
【作者单位】北方民族大学数学与信息科学学院,宁夏银川 750021;北方民族大学数学与信息科学学院,宁夏银川 750021
【正文语种】中文
【中图分类】O174.2
【相关文献】
1.Hilbert C*-模中g-框架的新的等式和不等式 [J], 相中启;张慧慧
2.Hilbert空间中一类新广义非线性变分不等式组问题 [J], 罗静;隆建军
3.Hilbert空间中的g-框架 [J], 程令营;陶常利
4.Hilbert空间中框架不等式的新形式 [J], 相中启;袁邓彬;张慧慧
5.Hilbert空间中一类新的随机集值隐拟变分不等式 [J], 周武;宋建成
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