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广义非凸变分不等式解的存在性与投影算法闻道君;陈义安【摘要】本文运用Banach压缩映象原理和投影技巧研究一类新的广义非凸变分不等式问题解的存在唯一性,并在非凸集上建立一个逼近广义非凸变分不等式解的三步投影算法,在一定条件下证明了该投影算法所产生的迭代序列的收敛性.%In this article, a new general nonconvex variational inequality is introduced and considered, and the existence and uniqueness of solution of the variational inequality problems is studied with Banach contraction principle and projection technique. A three-step projection method is established for solving the general nonconvex variational inequality, and the convergence of the projection method is discussed under suitable conditions.【期刊名称】《数学杂志》【年(卷),期】2012(032)003【总页数】6页(P475-480)【关键词】广义非凸变分不等式;近似正规锥;不动点;投影算法【作者】闻道君;陈义安【作者单位】重庆工商大学数学与统计学院,重庆400067;重庆工商大学数学与统计学院,重庆400067【正文语种】中文【中图分类】O177.91变分不等式理论在现代非线性分析中具有非常重要的作用,被广泛应用于经济决策、动力系统、优化理论和算子理论等领域.近年来,变分不等式问题已经被许多作者深入研究,出现了混合变分不等式、拟变分不等式和随机变分不等式等各种推广形式,并获得了一系列很好的结果[1−6].因此,讨论各种变分不等式问题解的存在性和有效数值解法有着重要的理论意义和实用价值.目前,变分不等式问题的数值解法主要包括投影技巧、预解算子技巧和辅助原理方法,其中投影方法具有重要作用.然而,求解变分不等式问题的各种投影算法,几乎关于所有收敛性分析的结论都是建立在凸集上的,这是因为投影算子在凸集上具有的一些性质可能在更为一般的非凸集上不再成立.例如,在Hilbert空间中投影算子在闭凸集上是非扩张的,然而,非扩张映象在凸集上和在非凸集上的性质却大不相同.如果非扩张映象在一个非空闭凸集上的不动点集是非空的,则该不动点集一定是闭凸集,就可以在该不动点集上研究投影问题;而非扩张映象在一个非凸集上的不动点集却不一定是凸的,一般也就不能相应地考虑投影问题.另一方面,在一致凸Banach空间中的有界闭凸集上的非扩张映象有不动点,在非凸集合上,该结论却不一定成立,等等.最近,文献[7,8]基于非线性凸分析和非光滑分析的观点,给出了一致近似正规集(非凸集)的定义.在此基础上,Noor[5,9]引入了一类非凸变分不等式问题:设T为一非线性算子,Kr为Hilbert空间H 中的一非凸子集,求u∈Kr,使得建立了求解非凸变分不等式问题(1.1)的投影算法,并在算子T具有强单调性的条件下证明了相应迭代序列的收敛性.本文将进一步研究广义非凸变分不等式问题:设T,g为非线性算子,Kr为Hilbert空间H 的一非凸子集,求u∈Kr,使得运用(1.2)式与不动点问题的等价性(引理3.1),定义一个求解广义非凸变分不等式问题的三步投影算法:对给定的u0∈Kr和常数ρ＞0,由下式计算{un}:其中αn,βn,γn∈(0,1),且PKr表示H 在非凸集Kr上的投影.本文的目的是在Hilbert空间中,将投影算法推广到广义非凸变分不等式问题,并且在收敛分析中将对算子T的限制条件从强单调减弱到松弛余强制,所得的结果改进并推广了文献[5,6,9]中相应的结论.设H 是一个实Hilbert空间,其内积和范数分别表示为〈·,·〉和‖·‖,K 是H 中的一个非空凸集.首先,我们介绍一些文献[7,8]中的基本概念和结论.设u为Hilbert空间H中的一点,以dK(u)=infv∈K‖v-u‖ 表示H 到K 的距离,称设Kr为H 的一个非空子集,对给定的常数r∈(0,∞],如果Kr的每一个非零近似正规锥(u)都可以表示为一个r-球,即对任意u∈Kr和0/=ξ∈(u),满足则称Kr为一致r-近似正规集.从文献[7,8]可知,一致近似正规集包含p-凸集,H 中的C1,1子流形(可能包含边界)等类型的凸集和非凸集合.如果r=∞,则一致r-近似正规集Kr与K等价,即Kr=K;如果Kr是一致近似正规集,则近似正规集(u)是闭的集值映象,所以引理2.1[8,9]设K 为H 的非空闭子集,r∈(0,+∞]如果Kr={u∈H:d(u,K)＜r}是一致近似正规集,则定义2.1称映象T:H→H 为µ-Lipschitz连续:如果存在常数µ＞0,使得定义2.2称映象T:H→H 为r-强单调:如果存在常数r＞0,使得定义2.3称映象T:H→H 为α-强制:如果存在常数α＞0,使得定义2.4称映象T:H →H 为松弛(γ,r)-余强制:如果存在常数γ＞0,r＞0,使得注2.1当γ=0时,松弛(γ,r)-余强制映象即r-强单调映象,但其逆命题并不成立.因此,松弛(γ,r)-余强制映象是比r-强单调映象条件更弱的一类映象形式.由文献[9]可知,非凸变分不等式问题(1.1)与如下变分包含问题等价:其中(u)表示Kr在u的近似正规锥.类似地,可以建立广义非凸变分不等式问题(1.2)等价的变分包含问题,并进一步推导如下引理:引理3.1 u∈Kr为广义非凸变分不等式(1.2)的解的充分必要条件是其中PKr为H 在一致近似正规集Kr上的投影.证设u∈Kr为问题(1.2)的解,由式(3.1)得记由引理3.1可知F(u)的不动点即广义非凸变分不等式(1.2)的解.据此,分析问题(1.2)解的存在唯一性和投影算法(1.3)的收敛性.由式(3.2)得θ∈(0,1),则由Banach压缩映象原理可知F(u)存在唯一不动点,即问题(1.2)的唯一解.证设u∗∈Kr为式(1.2)的解,由式(1.3),(3.7)和引理3.1得由式(3.8)可知θ∈(0,1).同理可得由式(3.10)和(3.11),以及βn,γn∈(0,1)得将式(3.12)代入式(3.9)得注3.1定理3.1和定理3.2改进并推广了文献[5,9]中相应的结论.注3.2式(3.2)是文中收敛性分析的关键条件,如果取k=,δ=2,µ1=2,r1=4,γ1=0.51,可得ρ∈(0.49-,0.49+),说明的确存在这样的系数使得不等式(3.2)成立.【相关文献】[1]闻道君.混合拟变分不等式的预测-校正算法[J].西南师范大学学报(自然科学版),2009,34(5):41–44.[2]Xu H K.Iterative algorithms for nonlinear operators[J].J.London Math.Soc.,2002,2:240–256.[3]Verma R U.Generalized system for relaxed cocoercive variational inequalities and projection methods[J].J.Optim.Theory Appl.,2004,121(1):203–210.[4]闻道君,邓磊.一般变分不等式的三步迭代算法[J].四川师范大学学报(自然科学版),2009,32(4):436–438.[5]Noor M A.Iterative schemes for nonconvex variational inequalities[J].J.Optim.Theory Appl.,2004,121,385–395.[6]Pang L P,Shen J,Song H S.A modified predictor-corrector algorithm for solving nonconvex generalized variational inequalities[J].Comput.Math.Appl.,2007,54:319–325.[7]Clarke F H,Ledyaev Y S,Wolenski P R.Nonsmooth analysis and controltheory[M].Berlin:Springer,1998.[8]Poliquin R A,Rockafellar R T,Thibault L.Local differentiability of distancefunctions[J].Trans.Am.Math.Soc.,2000,352:5231–5249.[9]Noor M A.Projection methods for nonconvex variationalinequalities[J].Optim.Lett.,2009,3:411–418.[10]Noor M A,Noor K I.Projection algorithms for solving system of general variational inequalities[J].Nonl.Anal.,2009,70:2700–2706.。
变分不等式问题与算法
变分不等式问题是一个广泛的研究领域，涉及经济、工程、物理和科学计算等多个领域。
这类问题通常描述了一类优化问题，其中目标函数是未知的，而约束条件则是通过某种形式的变分不等式来表达的。
简单来说，一个变分不等式问题是找到一个向量或函数，使得它满足某些条件，而这些条件通常由一个或多个不等式来表示。
这些不等式描述了某些变量之间的关系，而这些关系在问题的解中必须得到满足。
对于变分不等式问题的算法，有许多不同的方法可以用来求解。
以下是一些常见的算法：
1. **投影梯度法**：这是一种迭代方法，通过不断投影和更新解向量来逼近问题的解。
在每一步迭代中，算法会计算当前解向量的梯度，并沿着负梯度的方向进行投影，以找到新的解向量。
2. **增广拉格朗日法**：这种方法结合了拉格朗日乘数法和罚函数法，通过引入一个增广拉格朗日函数来求解变分不等式问题。
这种方法在处理约束优化问题时特别有效。
3. **次梯度法**：这种方法适用于没有封闭形式的解的变分不等式问题。
在每一步迭代中，算法会计算当前解的次梯度，并沿着该方向进行搜索，以找到新的解向量。
4. **预条件共轭梯度法**：这是一种迭代方法，结合了共轭梯度法和预条件技术。
这种方法适用于大规模的变分不等式问题，因为它可以在较少的迭代次数内找到问题的解。
5. **广义梯度法**：这种方法适用于处理包含多个不等式约束的变分不等式问题。
它通过引入广义梯度来更新解向量，以逼近问题的解。
这些算法各有优缺点，适用于不同类型和规模的变分不等式问题。
在实际应用中，选择哪种算法取决于问题的具体性质和要求。
一般变分不等式的三步迭代算法
闻道君;邓磊
【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2009(032)004
【摘要】利用变分不等式和不动点问题的等价关系,给出了一个新的求解一般变分不等式的三步迭代算法;该算法在现有的两步迭代算法基础上,利用校正方法建立了第三步迭代公式;最后在适当条件下证明了该算法的收敛性,所得结论推广了该领域内的一些最新结果.
【总页数】3页(P436-438)
【作者】闻道君;邓磊
【作者单位】重庆工商大学,数学与统计学院,重庆,400067;西南大学,数学与统计学院,重庆,400715;西南大学,数学与统计学院,重庆,400715
【正文语种】中文
【中图分类】O177.91
【相关文献】
1.求解变分不等式的三步迭代算法 [J], 闻道君
2.一类隐式拟变分不等式与非扩张映象的公共解的三步迭代算法 [J], 孙国祥
3.变分不等式的三步迭代算法与灵敏性分析 [J], 朱新霞;胡青龙
4.非凸变分不等式的三步投影算法及其收敛性分析 [J], 张亮;赵星起
5.广义集值强非线性混合似变分不等式的辅助原理和三步迭代算法 [J], 徐海丽;郭兴明
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文献综述信息与计算科学非线性方程组的迭代解法一、国内外状况 近年来，国内外专家学者非线性方程组的迭代解法的研究兴趣与日俱增，他们多方面、多途径地对非线性方程组进行了广泛的领域性拓展（科学、物理、生产、农业等），取得了一系列研究成果。
这些研究，既丰富了非线性方程组的内容，又进一步完善了非线性方程组的研究体系，同时也给出了一些新的研究方法，促进了数值计算教学研究工作的开展，推动了课程教学改革的深入进行。
非线性问题是数值分析中一种研究并解决数值计算问题的近似解的数学方法之一。
数值是各高校信息与计算科学专业的一门核心基础课程。
它既有数学专业课理论上的抽象性和严谨性，又有解决实际问题的实用性。
80年代以前，数值分析课程只在计算数学专业和计算机专业开设，限于计算机的发展，课程的重心在数学方法理论分析方面，是一门理论性较强的课程。
近年来，随着计算机技术的迅速发展，以及计算机的普及和应用，数值分析课程也在国内外各大高校得到了迅速的推广。
特别是Mathworks公司对Matlab软件的研发，给数值分析课程注入了新的活力。
利用Matlab 所含的数值分析计算工具箱，可以进行数值计算方法的程序设计，同时利用图形图像处理功能，可以对数值分析的近似解及误差进行可视化分析，特别是对非线性问题的求解，利用软件计算求解的方法简单多了。
二、进展情况经过多年的不断研究探索，非线性问题的理论性质得到了更多的认证，我们通过对理论的学习，将它融入其他知识体系中比如：动力学，农业学等等。
非线性问题在经过人们不断的探索努力下发现了很多定理定义，比如不动点迭代法，牛顿法，拟牛顿法，以及各种迭代法。
并且对于各种迭代法的收敛性质和收敛速度进行了深入的研究，从而了解了迭代法的构造、几何解释、并对它的收敛性（全部收敛和局部收敛）、收敛阶、误差估计等。
由于迭代法的计算步骤比较多，计算量大且复杂，很多学者对迭代法的加速方法进行了研究。
而对非线性方程组的迭代解法也初步有了研究的进展。
一类变分不等式和非扩张映像不动点问题的一个迭代算法商美娟;苏永福;秦小龙
【期刊名称】《数学物理学报》
【年(卷),期】2010(030)004
【摘要】该文提出了关于含松弛强制映像变分不等式和不动点问题解的一个投影迭代算法,所得结果改进和推广了目前一些作者的研究结果.
【总页数】12页(P1126-1137)
【作者】商美娟;苏永福;秦小龙
【作者单位】天津工业大学理学院数学系,天津,300160;石家庄学院教学系,石家庄,050035;天津工业大学理学院数学系,天津,300160;天津工业大学理学院数学系,天津,300160
【正文语种】中文
【中图分类】O177.3
【相关文献】
1.Hilbert空间中有限多个拟非扩张映像的公共不动点集上的一类变分不等式的迭代算法 [J], 何江彦;刘立红;冯光辉
2.变分不等式与非扩张映像不动点的迭代逼近问题 [J], 洪泽;郝彦
3.两个平衡问题和可数无穷多非扩张映像公共不动点问题的新的迭代算法 [J], 胡慧英;曾六川
4.伪压缩映像和非扩张映像不动点的一种迭代算法和一类反应扩散方程的迭代解
[J], 孟京华;刘文军
5.Banach空间中可数非扩张映像族公共不动点迭代算法 [J], 何松年;郭军
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变分不等式和非扩张映射的迭代算法
闻道君
【期刊名称】《重庆工商大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2008(25)5
【摘要】介绍了一类包含非扩张映射的变分不等式和Wiener-Hopf方程,基于投影技巧推导出两者之间的等价关系,利用该等价关系提出了一个同步求解非扩张映射不动点和变分不等式的迭代算法,并在适当条件下证明了该迭代算法的强收敛性;所得结论推广了该领域内的一些最新结果.
【总页数】3页(P461-463)
【作者】闻道君
【作者单位】重庆工商大学,数学与统计学院,重庆,400067
【正文语种】中文
【中图分类】O177.91
【相关文献】
1.变分不等式和非扩张映射不动点问题的新算法 [J], 杨红梅;王宜举
2.多值广义混合似变分不等式和非扩张映射的迭代算法 [J], 殷羽
3.变分不等式和非扩张映射的迭代收敛性 [J], 龚黔芬
4.渐近拟非扩张映射关于混合迭代算法的收敛性 [J], 刘涌泉;黄星;饶永生
5.混合变分不等式和非扩张映射解的迭代算法 [J], 艾艺红
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新一类非线性模糊混合拟变分包含的迭代算法朱红英;李红刚【摘要】在Banach空间中,引入和研究了带(A,η)-增生映象的新一类非线性模糊混合拟变分包含,利用(A,η)一增生映象的预解算子和Nadler定理,对此类变分包含建立解的存在性定理,并讨论了寻求解的带误差的新迭代算法,证明了由此算法生成的迭代序列的收敛性.【期刊名称】《吉首大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(032)001【总页数】5页(P14-17,25)【关键词】模糊混合拟变分包含;(A,η)-增生映象;预解算子;算法;收敛性【作者】朱红英;李红刚【作者单位】重庆黔江电视大学,重庆,400900;重庆邮电大学应用数学研究所,重庆,400065【正文语种】中文【中图分类】O177.91非线性模糊混合拟变分包含在数学、物理、工程、经济等领域有广泛的应用.近年来,不少学者对此作了许多研究和讨论[1-4].特别是文献[1-4]应用文献[5]的预解算子技术解决了带极大-单调、极大η-单调、H-单调、(H,η)-单调等映象的新的非线性广义模糊变分包含解的存在性,并讨论了求解的迭代算法和由算法生成的迭代序列的收敛性.对此,笔者参考了文献[1-9],在Banach空间中引入和研究了新一类带(A,η)-增生映象的非线性广义模糊混合拟变分包含,对此类变分包含建立了解的存在性定理,讨论了求解的带误差的新迭代算法,证明了迭代序列的强收敛性.文中的结果进一步推广和改进了最近文献的相应结果[1-5,8].设X是具有范数‖·‖,对偶空间X＊,X和X＊之间的广义对偶对＜·,·＞,和广义对偶映象Jq(x)= {f＊∈X＊:＜x,f＊＞=‖x‖q,‖f＊‖=‖x‖q-1}(∀x∈X,q>1)的q-一致光滑的Banach空间.2X和CB(X)分别表示X的一切非空子集族与非空有界闭子集的族.设F(X)是X上模糊集族,映象^F:X→F(X)称为模糊映象.对每一个x∈X,^F(x)(记为^Fx)是X上的模糊映象,并且^Fx(y)表示^Fx上y的隶属函数.设^B∈F(X),q∈[0,1],称集合(^B)q={x∈X:^B(x)≥q}为^B的q-切集.设B={1,2,3, 4},^Sk:X→F(X)是模糊映象,且满足条件(Ⅰ):存在函数ak:X→[0,1]使得对每一个x∈X,都有(^Skx)ak(x)∈CB(X)(k∈B).利用模糊映象^Sk,可以用Sk(x)=(^SSkx)ak(x)来定义集值映象Sk:X→CB(X),对任意一个x∈X,每一个Sk称为由^Sk诱导的集值映象(k∈B).设A,f,g:X→X和η,N:X×X→X是单值映象,^Sk:X→F(X)是模糊映象,ak:X→[0,1]是函数(k∈B).又设M:X×X→2X,且对每一个t∈X,M(·,t):X→2X是(A,η)-单调的集值映象,并假定range(S4)∩dom M(·,t)≠Ø.现考察以下问题:寻求x,uk∈X使得^Skx(uk)≥a k(x),和问题(1)称为新一类非线性模糊混合拟变分包含.如果Sk:X→CB(X)是集值映象,可以用x|→χSk(x)(k∈B)来分别定义模糊映象^Skx(uk)≥ak(x): X→F(X)(其中χSk(x)是^Sk的特征函数),对每一个x∈X,取ak(x)=1,那么问题(1)等价于如下问题:寻求x∈X,uk∈Sk(x),使得问题(2)称为非线性集值混合拟变分包含.只要适当选择映象H,g,f,η,N,M,Sk(k∈B)和空间X,许多曾被研究过的熟知的变分不等式或变分包含皆可作为问题(1),(2)的特例[1-4,8].下面先提及一些将用到的概念和结果:单值映象A:X→X的严格η-增生性,r-强η-增生性和α-Lipschitz连续性,单值映象η:X×X→X的τ-Lipschitz连续性,单值映象N:X×X→X的(μ,υ)-Lipschitz 连续性,集值映象M:X→2X的m-松弛η-增生性和对映象A的A-增生性[1-4].定义1设N:X×X→X和S,T:X→CB(X).称单值映象N关于映象A在第一变量处是(∈,κ)-(S, T)-松弛余制的,如果存在常数ε,κ>0使得对∀xi∈X,ui∈S(xi),wi∈T(xi)(i=1,2),都有定义2[6]设η:X×X→X和A:X→X是单值映象.称集值映象M:X→2X是(A,η)-增生的,如果M是m-松弛η-增生的,并且(A+ρM)(X)=X(∀ρ>0).基于文献[6],可以定义其预解算子如下:定义3[6]设η:X×X→X是单值映象,A:X→X是严格η-增生映象,以及M:X→2X是(A,η)-增生映象.预解算子(z)=(A+ρM)-1(z)(∀z∈X),其中ρ>0是一个常数.引理1[6]设η:X×X→X是τ-Lipschtiz连续映象,A:X→X是r-强η-增生映象,并且M:X→2X是(A,η)-增生映象.那么,预解算子:X→X是τq-1/(r-mρ)-Lipschitz连续的,而且‖(x)-(y)‖引理2(x,uk)是问题(1)的解,当且仅当(x,uk)满足以下关系式其中uk∈Sk(x)(k∈B),而ρ>0是常数.引理2的结论直接由的定义可得.根据引理2和Nadler定理[7],得到一个解决问题(1)的新带误差的逼近算法:算法1设^Sk:X→F(x)是满足条件(Ⅰ)的模糊映象,并且Sk:X→CB(X)是由模糊映象^Sk(k∈B)诱导的集值映象.设A,g,f:X→X,η,N:X×X→X是单值映象,而且M:X×X→2X是使得对每一个固定的t∈X,M(·,t):X→2X总是(A,η)-增生的集值映象,同时range(S4)∩dom M(·,t)≠Ø.第1步选择x0∈X,∈Sk(x0).第2步构造迭代序列{xn},{}如下:第3步如果xn+1,满足方程组(4)达到精确程度,迭代停止;否则,n∶=n+1,并转回第2步(k∈B).其中:n=0,1,…;0<λ<1和ρ>0是常数;en∈X(n≥0)是近似解计算中可能产生的误差.由算法1,可得解决问题(4)的算法:算法2对于任意的x0∈X,任选uk0∈Sk(x0),构造迭代序列{xn},{}如下:其中:n=0,1,…;0<λ<1和ρ>0是常数;en∈X(n≥0)是逼近解的过程中可能产生的误差.注1如果适当选择映象A,g,f,η,N,M,Sk(k∈B)和空间X,那么算法1和2可分别表示许多熟知的变分不等式或变分包含的迭代算法(见文献[1-4,8]).定理1设η:X×X→X是τ-Lip schtiz连续映象,A:X→X是r-强η-增生映象和α-Lip schitz连续的,g:X→X是β-Lipschitz连续的,又f:X→X是ω-Lipschitz连续的.又设^Sk:X→F(X)是满足条件(Ⅰ)的模糊映象,而且Sk:X→CB(X)是由^Sk(k∈B)分别诱导的集值映象.假设S1,S2,S3,S4,S5分别是关于常数γ,ξ,ζ,ψ,φ>0而D-Lipschitz 连续的.如果N:X×X→X是关于映象A在第一变量处(∈, κ)-(S1,S4)-松弛余制的,并且关于常数(μ,υ)-Lipschitz连续,又设S4是ι-强增生的,而且对∀t∈X,M(·,t):X→2X是(A,η)-增生集值映象,range(S4)∩dom M(·,t)≠Ø(∀t∈X).又对∀x,y,z∈X,都有利用A,g,S1,S4,f的D-Lipschitz连续性和强增生性,N关于映象A在第一变量处是(∈,κ)-(S1,S4)-松弛余制和其(μ,υ)-Lipschitz连续性,以及算法1和文献[9],得到根据引理2,可知(x＊,uk＊)是问题(1)的解(k∈B).证毕.由定理1,可以直接得到如下结论:定理2设A,g,f,η,N,M,X如同定理1中所述,Sk:X→CB(X)分别是关于常数γ,ξ,ζ,ψ, φD-Lipschitz连续的(k∈B).如果定理1中的条件(6),(7)成立,那么由算法2生成的迭代序列{xn},{}分别强收敛于问题(2)的解x＊,uk＊(k∈B).注2如果适当选择映象A,g,f,η,N,M,Sk(k∈B)和空间X,那么定理1和定理2分别包含了不少熟知的变分不等式或变分包含的相应结果(见文献[1-4,8]).【相关文献】[1] CHANG Shi-sheng,HUANG Nan-jing.Generalized Comp lementarity Problem for Fuzzy Mappings[J].Fuzzy Sets and System s,1993,55:227-234.[2] D INGXie-ping,JONG Y P.A New Classof Generalized Nonlinear Imp licit Quasivariational Inclusionsw ith Fuzzy Mappings[J]put.App l.Math.,2002,138:243-257.[3] JIN Mao-ming.Perturbed Proximal Point A lgo rithm for General Quasi-Variational Inclusions w ith Fuzzy Set-Valued Mappings[J].OR Transactions,2005,9(3):31-38.[4] L IHong-gang.Iterative A lgorithm fo r a New Class of Generalized Nonlinear Fuzzy Set-Valude Variational Inclusions Involving(H,η)-Monotone Mappings[J].Advances inNonl.Vari.Ineq.,2007,10(1)}:89-100.[5] FANG Ya-ping,HUANGNan-jing,THOM PSON H B.A New System of Variational Inclusionsw ith(H,η)-Monotone Operato rs in Hilbert Spaces[J].Computers Math.App lic.,2005,49:365-374.[6] LAN Hen-yong,CHO Y J,VERMA R U.On Nonlinear Relaxed Cocoercive Inclusions Involving(A,η)-Accretive Mappings in Banach Spaces[J].Math.App put.,2006,51:1529-1 538.[7] NADLER SB.M ultivalued Contraction Mappings[J].Pacific.J.Math.,1969,30:475-488.[8] 金茂明.含H-单调映象的完全广义非线性变分包含[J].纯粹数学与应用数学,2005,21(4):329-334.[9] XU H K.Inequalities in Banach Spaces w ith App lications[J].NonlinearAnal.,1991,16(12):1 127-1 138.。
