闭凸集上的一类非线性半变分不等式解的存在性

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非线性规划

1. 非线性规划我们讨论过线性规划,其目标函数和约束条件都是自变量的线性函数。

如果目标函数是非线性函数或至少有一个约束条件是非线性等式(不等式),则这一类数学规划就称为非线性规划。

在科学管理和其他领域中，很多实际问题可以归结为线性规划，但还有另一些问题属于非线性规划。

由于非线性规划含有深刻的背景和丰富的内容，已发展为运筹学的重要分支，并且在最优设计,管理科学,风险管理,系统控制,求解均衡模型,以及数据拟合等领域得到越来越广泛的应用。

非线性规划的研究始于三十年代末,是由W.卡鲁什首次进行的，40年代后期进入系统研究，1951年.库恩和.塔克提出带约束条件非线性规划最优化的判别条件,从而奠定了非线性规划的理论基础,后来在理论研究和实用算法方面都有很大的发展。

非线性规划求解方法可分为无约束问题和带约束问题来讨论，前者实际上就是多元函数的极值问题，是后一问题的基础。

无约束问题的求解方法有最陡下降法、共轭梯度法、变尺度法和鲍威尔直接法等。

关于带约束非线性规划的情况比较复杂，因为在迭代过程中除了要使目标函数下降外，还要考虑近似解的可行性。

总的原则是设法将约束问题化为无约束问题；把非线性问题化为线性问题从而使复杂问题简单化。

求解方法有可行方向法、约束集法、制约函数法、简约梯度法、约束变尺度法、二次规划法等。

虽然这些方法都有较好的效果，但是尚未找到可以用于解决所有非线性规划的统一算法。

非线性规划举例[库存管理问题] 考虑首都名酒专卖商店关于啤酒库存的年管理策略。

假设该商店啤酒的年销售量为A 箱,每箱啤酒的平均库存成本为H 元,每次订货成本都为F 元。

如果补货方式是可以在瞬间完成的,那么为了降低年库存管理费用,商店必须决定每年需要定多少次货,以及每次订货量。

我们以Q 表示每次定货数量,那么年定货次数可以为QA,年订货成本为Q A F ⨯。

由于平均库存量为2Q,所以,年持有成本为2Q H ⨯,年库存成本可以表示为:Q HQ A F Q C ⨯+⨯=2)( 将它表示为数学规划问题:min Q H Q A F Q C ⋅+⋅=2)( ..t s 0≥Q其中Q 为决策变量,因为目标函数是非线性的,约束条件是非负约束,所以这是带约束条件的非线性规划问题。

一类带Hardy-Sobolev临界指数的Kirchhoff型方程正解的存在性

一类带Hardy-Sobolev临界指数的Kirchhoff型方程正解的存在性李红英;廖家锋【摘要】研究一类带Hardy-Sobolev临界指数的Kirchhoff型方程{-(a+b∫Ω▽u^2dx)Δu=u^5-2s/(x^s)+λu^q, x∈Ω,u=0, x∈■Ω,其中Ω■R3是一个有界开区域且边界■Ω光滑,0∈Ω,a,b≥0且a+b> 0,λ> 0,0<q<1,0≤s<1。

利用变分方法,获得该问题正解的存在性结果。

【期刊名称】《中国科学院大学学报》【年(卷),期】2019(036)001【总页数】4页(P11-14)【关键词】Kirchhoff型方程;Hardy-Sobolev临界指数;正解;变分法【作者】李红英;廖家锋【作者单位】[1]西华师范大学数学与信息学院,四川南充637002;[1]西华师范大学数学与信息学院,四川南充637002;[2]遵义师范学院数学学院,贵州遵义563006;【正文语种】中文【中图分类】O175.25考虑如下带Hardy-Sobolev临界指数的Kirchhoff型方程(1)其中Ω⊂3是一个有界开区域且边界∂Ω光滑,0∈Ω,a,b≥0且a+b>0,λ>0,0<q<1,0≤s<1。

6-2s是Hardy-Sobolev临界指数。

2012年,Liu和Sun[1]研究如下问题(2)其中:4<p<6-2s,0<q<1,a,b,λ>0。

当λ>0充分小时,结合变分方法和Nehari方法,他们获得问题(2)的2个正解的存在性。

随后,他们继续研究问题(2),当-1<q<0时,结合变分方法和Nehari方法也获得2个正解,详见文献[2]。

文献[3]研究一类奇异非线性Kirchhoff型问题,结合Ekeland变分原理和一些分析技巧,获得正解的存在唯一性结果。

一个自然的问题:问题(1)是否也存在正解?事实上,当s=0时,Sun和Liu在文献[4]中获得问题(1)正解的存在性,并提出一个公开问题:如何证明第2个正解的存在性?据查阅文献所知,这个开问题至今尚未解决。

变分不等式的几类求解方法

n n T T
定义215 设 X 为 R 的非空闭凸集, G 为 n 阶正定阵, u ∈R , 记 u = ( u u ) , u
1 2
1 2
G
=
(u Gu ) , 如 u 满足: u ∈X , u - u G = m in{ x - u G x ∈X }, 则称 u 为向量 u 关于模 u 3 . G 在 X 上的投影, 记为 u = P X G ( u ) ; P X ( u ) 表示向量 u 在 X 上的投影
n 1 = {1, …, m }, 为连续可微凹函数, h j ( x ) = a T j x - b j : R →R , j ∈J
性函数, 即 h ( x ) 为仿射线性函数. 关于 V IP (X , F ) 和非线性规划 (N P ) 之间的关系, 有定理 2111 [ 2, 4, 5 ] ( 1) 如 F ( x ) 为某个实值函数 f ( x ) : Rn →R1 的梯度 f ( x ) , 则 V IP (X ,
n ( 2) 如 X = Rn + = { x ∈R x ≥0}, 则 V IP (X , F ) 等价于 N CP ( F ).
在许多实际应用问题中, V IP (X , F ) 的可行集 X 为闭凸集, 且具有以下结构形式 0 n ( 2. 8) X = X = {x ∈ R g ( x ) ≥ 0, h ( x ) = 0}, 其中 g ( x ) = ( g 1 ( x ) , …, g m ( x ) ) T , h ( x ) = ( hm + 1 ( x ) , …, hm + r ( x ) ) T , g i ( x ) : Rn →R1 , i ∈ I
高校应用数学学报第 1 4 卷A 辑第 2 期

解变分不等式的一种投影算法

［关键词］经典变分不等式投影算法伪单调
一
、
引言及预备知识
０
文【］维欧氏空问中提出了一种解变分不等式的投影算１在法。通过向ＱｎＨ投影得到了收敛到变分不等式解集ｓ中某一解
其中最后一个不等式由Ｆ的伪单调性可得，而对任意的正整数从
ｋ从而都有ＳＨ｝，ｎＱ。
的点列｛｝其中Ｈ，是一个能严格的分离解集ｓ与的超平面。
文明了这种向超平面投影的算法理论上具有较长的步长，・说从而优于其他投影算法，本文通过引入Ｆ（）ｘ来构造超平面。从而对该算法做了推广，并证明了其收敛性。是一个有限维欧氏空间，的内积和范数分别定义为（，）它・・和Ｑ是Ｒ中一闭凸集，Ｆ是尺到尺的连续伪单凋映象，Ｑ） ” ” Ｐ（为点向Ｑ的投影，考虑变分不等式问题如下。
，
］Ｉ１可Ｆ））ｌ）Ｔ（）得＾）＾（，）ｌｉ２式ｌ．Ｉ￣（＝（ｒｒｚ（（
定理２：．映像Ｆ连续且在Ｑ１上伪单调，ｚ｝｛是算法２生成的一．１个无穷点列，Ｉ，２若Ｖ（（的解集Ｓ≠ 则｛收Ｆ），，｝敛到ｚ－解集ｓ中一点。
其中一），，是使得ｍ在（．中成立的最小非负整数。２１）
若
々０由算法２１２１，．中（．知）
（（（／ｒ））ｄ（ｌ令Ｆｙ（，）ｌ，一岛）ｒ＜ｒｌ）（ｘ。
ｌ一＋Ｉ一 ¨ １ｚ２

广义变分不等式的三步投影算法

，
Ｖ（，（）ｇ）ｇＹ ∈
收稿日期：００— ６—１修回日期：００— ７— ０２１００；２１０２．作者简介：龚黔芬（９７一）女，ｌＩ１７，ＩＪ梓潼人，士，师，事算法及计算机应用研究￣Ｉ硕讲从
定义３称映射：日为ｇ—ｒ一强单调，果存在常数ｒ，得＜Ｔ日一如＞０使ｘ—Ｔ，（ｙｇ）一Ｙｇ（）＞≥ｒ
ｌ（ｌ）～（）ｌ，ｇ）ｇＹｇｇｙＩＶ（，（）∈
定义４称映射：一日为ｇ— ／日Ｏ一强制，如果存在常数＞，得＜ＴＴ，（０使ｘ— ｙｇ）一（）＞≥ 『一ｇＹｌ
文章编号：６２— ５Ｘ（００００５０１７０８２１）６— ５８— ４
广义变分不等式的三步投影算法
龚黔芬
（重庆工商大学计算机与信息工程学院，重庆４０６）００７
摘要：利用变分不等式和不动点问题的等价关系，出了一个新的求解广义变分不等式的三步投影给算法；该算法在现有的两步迭代算法基础上，用校正方法建立了第三步迭代公式；利最后在适当条件下证明
其中，
Ａ＝。６。，ｎ＝。Ａ）．ｌｒ。ｎ＝（＇ｌｉｎ￣ａＪ
…
０
２迭代算法
引理２对一个给定的 ∈ ｇｕ ¨ Ｈ，（）∈Ｋ为广义变分不等式问题（）１的解，当且仅当ｇ１（，１）：Ｐｇ）（

半正定单调变分不等式的预测校正算法

足：
n n A∗ ∈ S + ， < F ( A∗ ), A − A∗ >= 0 ∀A ∈ S +
在 IR
n
中，变分不等式问题 VI ( F , Ω ) [3]即为：找向量 u ∈ Ω 满足
∗
(u − u ∗ )T F (u ∗ ) = 0 ∀ u ∈ Ω. Ω ⊆ IR
n
(1.2)
为了书写方面，在下面的文章中假定
设 B = A − βF ( A) ，代入到 (2.1) ，根据(2.2)，得到
(2.3)
< E ( A, β) − βF ( A), PK [ A − βF ( A)] − A∗ >= 0 ∀A ∈ S n ∀β > 0
又因为 F 是单调的，所以得到 < βF ( PK [ A − βF ( A)]) − F ( A∗ ), PK [ A − βF ( A)] − A∗ >= 0 ∀A ∈ S n , ∀β > 0 记
≥ 2 ห้องสมุดไป่ตู้ < E ( A , β ), D ( A , β ) > − α
+ + || A − A G (α ) − α D ( A , β ) || 2
|| D ( A , β ) || 2
+ + 2 α < A − AG (α ) − E ( A , β ), E ( A , β ) − β F ( A ) >
+ 2 ∗ 2 + 2
因此，
θG
(α ) ≥ || A − A
∗
|| − || A − α G ( A , β ) − A || +

一般线性互补问题解的存在性研究

一般线性互补问题解的存在性研究孙艳波;殷洪友【摘要】The solution to general linear complementary problem is equivalent to that of varia-tional inequalities. Based on the H-S theorem, the existence of solution to general linear com-plementary problem is proved. We also prove that when the matrix is diagonally dominant one, the solution to feasible linear complementary problems is definite.%线性互补问题的解与变分不等式问题的解是等价的。

基于变分不等式H-S定理给出了一般线性互补问题解的存在性定理。

并证明了当矩阵M为对角占优矩阵时，对于可行的线性互补问题解是存在的。

【期刊名称】《西安文理学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(000)003【总页数】4页(P1-4)【关键词】线性互补;变分不等式;解的存在性;对角占优矩阵【作者】孙艳波;殷洪友【作者单位】南京航空航天大学金城学院，南京211156;南京航空航天大学理学院，南京211156【正文语种】中文【中图分类】O221.1互补问题是一类新的数学模型，此模型的应用非常广泛，比如经济学中的NASH 均衡问题，力学中的接触问题，物理学中的障碍和自由边界问题，还可应用与研究燃料油的加工提炼问题，最优控制问题以及生态系统的稳定问题等.互补问题作为线性规划与二次规划的推广，当今已发展成为数学规划理论中的一个独立分支，所以它的解的存在性研究与算法研究受到了研究者的重视.线性互补问题是指：求z∈Rn，使其中M∈Rn×n,q∈Rn，记为Lcp(M,q).线性变分不等式是指：求解一向量使得记为LVI(M,q).两者关系的最初研究出现在文献[1]中.互补问题的解与变分不等式问题的解是等价的.基于这一事实，变分不等式的解的存在性定理可以被用来研究互补问题解的存在性.对于非线性问题解的存在性关系可参阅文献[2].本文基于变分不等式H-S定理给出了一般线性互补问题解的存在性定理.并证明了当矩阵M为对角占优矩阵时，对于可行的线性互补问题解是存在的.定理1 z*是线性互补问题的解的充要条件是z*为线性变分不等式的解.证明必要性设z*是线性互补问题的解，即则∀，有即z*为线性变分不等式的解.充分性设z*为线性变分不等式的解，则∀，将y=z*+x代入(3)有即，另一方面将y=0,y=2z*代入(3)有因此z*是线性互补问题的解.Hartman-Stampacchina给出了一个著名的线性变分不等式问题解的存在定理. 定理2(简记为H-S定理)[3] 设M∈Rn×n，D⊆Rn是紧凸集，则∀q∈Rn，存在x*∈D，使这一定理是本文线性互补问题解的存在定理的基础.本文约定：Lcp(M,q)的可行集记为：如果F≠Ø，则称Lcp(M,q)可行；如果F≠Ø且存在x0∈F使Mx0+q>0，则称Lcp(M,q)严格可行.引理1 设D⊆Rn是凸集，y∈Rn,u∈D，如果存在常数r>‖v‖，使其中‖·‖是Rn上任意向量范数，则证明已知u∈D且‖u‖<r，则将yt代入(4)，有从而定理3 设M∈Rn×n，‖·‖是Rn上的任意向量范数，q∈Rn，如果存在和常数r>‖u‖，使则Lcp(M,q)有解x*且‖x*‖r.证明根据已知条件，存在和常数r>‖u‖，使令‖x‖r}，则Dr是紧凸集，根据H-S定理，存在x*∈Dr使如果‖x*‖<r根据引理1有因此x*是Lcp(M,q)的解且‖x*‖<r.如果‖x*‖=r，由(5)和(6)有且再根据引理1，有于是由(7)和(9)，有即x*是Lcp(M,q)的解，且显然‖x*‖=r.定理4 设M∈Rn×n,q∈Rn，如果存在和常数r>‖u‖，使则Lcp(M,q)有解x*且‖x*‖<r.证明设r}，则Dr是紧凸集，根据H-S定理，存在x*∈Dr，使假设‖x*‖=r，则由(10)，存在指标i，使构造向量如下:则，由(11)得到这与(12)相矛盾.因此‖x*‖<r，根据引理1和(11)，有即x*是Lcp(M,q)的解且‖x*‖<r.定义1[4] 设M=(mij)∈Rn×n，如果则称M是对角占优矩阵；如果则称M是严格对角占优矩阵.注：此处对角占优矩阵的定义与一般教材定义的不同，此处只考虑对角元为非负的情况.定理5 设M=(mij)∈Rn×n是对角占优矩阵，则对于给定的使得Lcp(M,q)可行的q，Lcp(M,q)有解.证明已知M对角占优，则∀,当时，有≥≥0设q∈Rn，必存在，使令r>2‖u‖，并定义函数其中e=(1,1,…,1)T∈Rn，则当且‖x‖=r，有x≠u，令则xk>uk，于是≥=(xk-uk)[M(x-u)+g(m)(u)]k≥根据定理有解x(m)且‖x(m)‖<r，即由于有界，所以存在收敛的子序列，不妨设x(m)→x*，则即x*是Lcp(M,q)的解.【相关文献】[1] COTTLE R W,GIANNESSI F,LIONS J L. Variational Inequalities and Complementarity Problems: theory and applications[M].New York:Wiley,1980:222-223.[2] 张立平，韩继业，徐大川.变分不等式问题的解的存在性[J].中国科学，2000(10):89-93.[3] 韩继业，修乃华，戚厚铎. 非线性互补理论与算法[M].上海：上海科技出版社，2006.[4] 陈景良，陈向晖. 特殊矩阵[M].北京：清华大学出版社，2001.。

一类微分方程解的存在性的集值方法

ｇ（，）一ｇ（＋Ｌ，），ｔｔｓ
也即
（）Ｅ（．Ｄ）
则ｙ（）在上以Ｌ为周期．。ｆ
证明取Ｘ — Ｃ６ｂ］作 △一［，［，＋Ｌ，ｆ］上的
函数
ｆ，ｒ一ｒ）一ｒ，（ｒｌｄＦ。Ｅ（，，Ｃｄ）一Ｃ，一．
对 “∈ Ｅ，］分三种情形加以讨论．ｃｄ
情形１当一ｆ，时有
显见Ｔ “ （）非空， “ ｃ且Ｔ（）有界．Ｔ（）ｎ，Ｍ
可以证明Ｔ（）为闭集． “ 事实上，若设
一ｚ（６＋Ｌ） ∈ Ｔ（，）一 “ ，ｏ
Ｔ：Ｄ（）一Ｄ（） “ 甜，
必存在ｚＥＤ（）得甜使
Ｔ（ｚ）一ｚ，
也即
Ｔ（）￡ｚ（）一Ｉ—ｇ（，（）ｄ＋ “ ｓｘｓ）ｓ
Ｊｂ
Ｆ（）一｛ “ ：１ｚＥＤ（）Ｔ（）一）ｊ．ｚ ≠ ２『
●
程ｚ（＋ｇｔｚ￡）一０的解的存在性及解的性质等问题．幻（，（）
关键词微分方程；值映象；动点集不
中图分类号Ｏ１５８７．文献标识码Ａ文章编号１０－３９２１）３００ — ４０８１９（０２０ —０１０
在ｚＥＸ，得ｚＥＱ（）若ｚ △，ｒ）Ｅ０使ｚ．则（Ａ，由定理的假设条件可得
Ｑ（）一Ｔ（（）ｚｒｚ）Ａ，

Banach空间半直线上奇异脉冲积分-微分方程初值问题解的存在性和唯一性

维普资讯
５４０
工
程
数
学
学
报
第２卷４
下成为一Ｂｎｃａａｈ空间，且ＰＣＪＥｃＰ［Ｅ。Ｆ［】ＣＪ】，，考虑一阶奇异脉冲积分微分方程 Nhomakorabea值问题
｛毫ｔ・一ｃ＝． ≤ 。２２Ｖ。＝ｔ．Ｅ；Ｊ，ｃ
文章编￣：０—０５２０）３００—８１５３８（０７０—５３００
Ｂｎｃａａｈ空间半直线上奇异脉冲积分一分方程微
初值问题解的存在性和唯一性牢
赵成龙刘衍胜，
ｆ．济南工程职业技术学院数理教研室，山东２００１５２０２．山东师范大学数学科学学院，济南２０１）５０４摘要：本文在更广泛的情况下，利用Ｓｄｖｋｉａｏｓｉ不动点定理研究了Ｂａａｈ空间中半直线上一类非线性ｎｃ奇异脉冲积分．微分方程初值问题解的存在性和唯一性，推广并改进了已有文献中的相关结果。关键词：脉冲积分．微分方程；存在性和唯一性；紧性测度
成为一Ｂｎｃａａｈ空间。令
ＰＣＦ［容易看出ＰＣＪＥ在范数Ｆ［１，
＝
Ｐ【Ｃ
ｓ：ｕｐ＋
㈣
＜∞１＋）
ＩｌＦ：ｐｌｌｕｘＰ
收稿日期：０５０－６作者简介：赵成龙（９２月生１２０—７０．１７年５，男，硕士．研究方向：非线性微分方程基金项目：国家自然科学基￣（０７１１：山东省自然科学基￣（０６２）ｔ１５１１）Ｙ２０Ａ２．
性奇异混合方程初值问题进行研究，尤其是非线性项无界的情况。本文采用与文【５不同的１】．

一类算子方程最小最大耦合拟解的存在性

N x =ห้องสมุดไป่ตู้A ( x , x)
( P)
在巴拿赫空间中的耦合拟解的存在性 ,其中 N 为一非线性
算子. 本文在文[ 3 ] 的基础上 ,进一步讨论了方程 ( P) 在巴
拿赫空间中的最小最大耦合拟解的存在性.
设 E 为一实巴拿赫空间 , P 为 E 中的锥 “, ≤”是 P
诱导的偏序. 现在 ,我们定义 E ×E 上的范数
( 3) 如果 N x1 ≤N x2 , Πx1 , x2 ∈D0 ,则有 x1 ≤x2 ; ( 4) G( D) 中的任一全序子集是相对弱紧的 , 其中 G( x, y) > (λI + T) - 1 [λA ( x, y) + T u ] 且 u = N x , Π ( x , y)
中图分类号 :O177
文献标识码 :A
文章编号 :167121785 (2008) 12 - 0019 - 02
2003 年 ,冯育强等[1 ] 讨论了算子方程 N x = A x 在完
备度量空间和巴拿赫空间 (Ba nach sp ace) 中的可解性. 另外 ,段华贵等[2] 讨论了算子方程 x = A ( x , x) 的耦合拟解问题. 作者利用半序的方法 ,研究以下一类算子方程[3]
(i) H 为锥 P 诱导的偏序上的单增算子 ; (ii) 方程 H ( x , y) = B( x, y) 有解 ( x3 , y3 ) Ζ ( x3 , y3 ) 为
方程 N x = G( x, y) 的耦合解 ;
(iii ) 方程 H ( x, y) = B ( x , y) 的最小解为方程 N x = G ( x, x) 的最小最大耦合解.

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关键词：非线性半变分不等式；闭凸集；非光滑Ｃ一条件；局部Ｌｐｃｉｚ函数ｉｓｈｔ中图分类号：Ｏ１５２７．５文献标志码：Ａ
１引言
令【是Ｒ２ Ⅳ上的一个具Ｃ边界ｒ的有界域，。０２≤Ｐ＜∞ 且用表示闭凸集｛札∈
≥ ０ａ．Ｑ．文主要考虑如下非线性半变分不等式问题：．在上本ｅ寻找ｉ∈Ｋ使得ｔ
注．．．由文献［中命题３的证明过程，１１７］可以得到
（一ｕ ≥０这个结论对于证明问题（） “ ，，）．１是重要的．
∈Ｏ（）使得对于所有的＂∈Ｋ，￣ｉｔ有
２预备知识
本节将复习关于定义在闭凸集上的局部Ｌｐｃｉｉｓｈｔｚ函数的非光滑临界点理论的一些定义、基本结论和Ｃａｋｌｅ广义次微分的一些性质．ｒ
半变分不等式是一种新型的变分表达形式，当我们在研究一些物理学和工程学方面的问题时，会处理一些非光滑非凸的能量泛函，时就会遇到半变分不等式．具有光滑位势函数的广义变分不等式这已经有许多作者以不同的方法研究过，如文献ｆ５中，１１分别用分歧法，拓扑度以及变分法研究了对应变分不等式解的存在性和解的分歧．本文所考虑的问题（）１是带有非光滑非凸的位势函数，我们不是
ｚ— ｚＭｏ ÷
．
函数ｈ一。ｈ是连续的、次线性的，（；）这样由Ｈｈ — ａａｈ定理可知，。・是一个非空凸ａｎＢｎｃ（；）
的、紧的集合的支撑函数（：ｘｚ） ∈Ｘ（，）（；） ∈ ）这里假设是一个自：Ｘｈ ≤ ｈＶｈ，
反的Ｂｎｃａａｈ空间且Ｋ ∈Ｘ是一个非空的、闭凸集．给定一个局部Ｌｐｃｉ函数： — Ｒ，ｉｓｈｔｚＫ对于Ｘ∈Ｋ，们定义我
ｒ（）ｎｐ＠， —Ｙ：ｎｘ＝ｉｆｕ｛ｓ）Ｙ∈Ｋ，Ｊｌ，）ｌｘ一ｌ＜１Ｘ ∈ａ（）
收稿日期：０９１—８２０ —２１资助项目：国家自然科学基金（０７１３；１４１１）浙江省自然科学基金（０００）Ｙ７８０８
第４期
常高，闭凸集上的一类非线性半变分不等式解的存在性等：
３３９
令ｘ是一个Ｂｎｃａａｈ空间且
ｋ＞０使得满足
应用分歧法和拓扑度法，而应用文献【７中的定义在闭凸集上的局部Ｌｓｉ函数的非光滑临界点６］ｉｃｔｐｈｚ
理论．
引用如下文献［中Ｋｒｓ和Ｐｐｇｏｇｕ的定理，７】ｙｉｉｔａａｅｒｉｏ这个定理将是我们研究问题（）１的ｔ
√ ｌ，一ｕＤｖｕｘ／“一“Ｊｕｚ叫 — ），Ｖ ∈ ／Ｄ１・（— ） — １ｌ。（— ） ≥／（ｕｘＫ “ ＤｄＩｆｄｄｕ
ｆ２Ｉ２ｔ【，２
（１）
第１卷第４期３
２１年１０１２月
应用泛函分析学报
ＡＣＴＡＡＮＡＬＹＳＳＦＵＮＣＴＩＩＯＮＡＬＳＡＰＰＬＩＩＣＡＴＡ
Ｖｏ，３Ｎｏ４ｌ．ｌ．
Ｄｅ．２０１ｃ．１
ＤＯＩ：０７４Ｓ．１６．１．３２１．２／ＰＪ１０２１０９３．００文章编号：１０—３７２１）４３２００９１２（１ — ９—６０００
定理１１如果是一个自反的Ｂｎｃ．．ａａｈ空间，（）ｎＫ且乱是在Ｋ上的一个临界点．＝ｉｆ “
是一个非空的、闭凸集，： — ＲＫ
是一个局部Ｌｐｃｉｉｓｈｔｚ的、下有界的且在上满足非光滑ｃ一条件的函数，么存在 “ ∈ Ｋ使得那
闭凸集上的一类非线性半变分不等式解的存在性
常高，沈自飞
浙江师范大学数理与信息工程学院，金华３１０２０４
摘要：考虑一类定义在闭凸集上的非线性半变分不等式问题，通过运用闭凸集上的临界点理论、Ｃｌｒｅａｋ
次微分性质以及非光滑紧性条件等，得到了这类半变分不等式解的存在性．
是它的拓扑对偶空间，（・来表示，）用・），的对偶括号．称
函数： — Ｒ是局部ＬｐｃｉＸｉｓｈｔｚ的，如果对于每个ｚ∈Ｘ都能找到Ｘ的一个领域和一个常数
（）≤ ｌｌ（一ｌｌ一ｚ，）ｌｌ
Ｖ， ∈ＵＹ
其中， ∈ 。【， ∈Ｏ，）．ｏ这里的１Ｗ（）叫（）ｊｘ（）ａｅｎＱ．２．是带有Ｄｉｃｌ边界条件的负ｐＬｐａｉｒｈｅｉｔ－ａｌｃｎａ
的第一特征值（（Ａ，即：ｐ一
微分或Ｃａｋｌｅ次微分．ｒ
（）；ｊｘｉｘ）Ｑ）Ｏ（，（）被称为是局部Ｌｐｃｉ函数ｉ— ｊ，））ｔｉｓｔｈｚｔ（ｕ的广义次ｘ
我们知道一个函数在的有界子集上是Ｌｐｃｉｉｓｈｔｚ连续的，，则它是局部Ｌｐｃｉｉｓｈｔｚ的且如果
ｄｍＸ＜＋。么这两个性质是等价的．ｉ。那如果： — Ｒ是连续凸的，么是局部ＬｐｃｉＸ那ｉｓｈｔｚ的．给定一个局部Ｌｐｃｉｉｓｈｔｚ函数：一：我们定义它在 ∈Ｘ处，Ｘ，沿着方向ｈ∈Ｘ的广义方向导数（；：ｌｐｚ）ｉｕｍ