基本不等式的应用
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§3.4.2 基本不等式的应用
学校:临清二中 学科:数学 编写人:郑敏杰 审稿人 丁良之 【教学目标】
1 会应用基本不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题;
2 本节课是基本不等式应用举例。整堂课要围绕如何引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心。
3 能综合运用函数关系,不等式知识解决一些实际问题.
教学重点:正确运用基本不等式解决一些简单的实际问题 教学难点:注意运用不等式求最大(小)值的条件
教学过程:
一、创设情景,引入课题
提问:前一节课我们已经学习了基本不等式,我们常把
2
a b
+叫做正数a b 、的算术平均数,
叫做正数a b 、的几何平均数。今天我们就生活中的实际例子研究它的重用作用。 讲解:已知y x ,都是正数,①如果xy 是定值p ,那么当y x =时,和y x +有最小值p 2;
②如果和y x +是定值s ,那么当y x =时,积有最大值
2
4
1s 二、探求新知,质疑答辩,排难解惑
1、 新课讲授
例1、(1)用篱笆围一个面积为1002m 的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所
用的篱笆最短,最短的篱笆是多少?
(2)一段长为36m 的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,菜
园的面积最大。最大面积是多少?
分析: (1)当长和宽的乘积确定时,问周长最短就是求长和宽和的最小值
(2)当长和宽的和确定时,求长与宽取何值时两者乘积最大
解:(1)设矩形菜园的长为x m,宽为y m,则100,xy = 篱笆的长为2(x y +)
由
2
x y
+≥
可得 x y +≥2(x
y +)40≥
等号当且仅当10x y x y ===时成立,此时,因此,这个矩形的长、宽为10 m 时,所用篱笆最短,最短篱笆为40m
(2)设矩形菜园的长为x m,宽为y m,则2(x
y +)=36,x y +=18,矩形菜园的面
积为xy 2m ,
由18
9,22
x y +≤
==可得 81≤xy , 可得等号当且仅当9x y x y ===时成立,此时
点评:此题用到了 如果xy 是定值p ,那么当y x =时,和y x +有最小值p 2;
如果和y x +是定值s ,那么当y x =时,积有最大值
24
1s 变式训练: 用长为4a 的铁丝围成矩形,怎样才能使所围的矩形面积最大?
解:设矩形的长为(02)x x a <<,则宽为2a x -,矩形面(2)S x a x =-,且0,20x a x >->.
(2)
2
x a x a +-≤
=.
(当且近当2x a x =-,即x a =时取等号),
由此可知,当x a =时,(2)S x a x =-有最大值2
a .答:将铁丝围成正方形时,
才能有最大面积2
a .
例2(教材89P 例2)某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为4800m 3
,深为3m ,如果
池底每1m 2的造价为150元,池壁每1m 2
的造价为120元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低总造价是多少元?
分析:此题首先需要由实际问题向数学问题转化,即建立函数关系式,然后求函数的最值,其中用到了均值不等式定理。
解:设水池底面一边的长度为xm ,水池的总造价为l 元,根据题意,得
)1600
(720240000x
x l +
+=x x 16002720240000⋅⨯+≥
297600402720240000=⨯⨯+=
当.2976000,40,1600
有最小值时即l x x
x == 因此,当水池的底面是边长为40m 的正方形时,水池的总造价最低,最低总造价是297600元
评述:此题既是不等式性质在实际中的应用,应注意数学语言的应用即函数解析式
的建立,又是不等式性质在求最值中的应用,应注意不等式性质的适用条件。
变题:某工厂要制造一批无盖的圆柱形桶,它的容积是π2
3立方分米,用来做底的金属每平方分米价值3元,做侧面的金属每平方米价值2元,按着怎样的尺寸制造,才能使圆桶的成本最低。
解:设圆桶的底半径为r 分米,高为h 分米,圆桶的成本为m 元,则
=m 3rh r ππ222⋅+
求桶成本最低,即是求m 在r 、h 取什么值时最小。将223
r
h =
代入m 的解析式,得 r r r
r r m ππππ63)23)(
2(232
2
2+=+==ππ
πππππ933)3(3333322=⋅⋅≥++
r
r r r r r 当且仅当r
r r r π
πππ33332
=
+=
时,取“=”号。 ∴当=r 1(分米),=h 2
3
(分米)时,圆桶的成本最低为9π(元)。
点评:分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解,
归纳整理,整体认识
1.求最值常用的不等式:a b +≥,2
(
)2
a b ab +≤,222a b ab +≥. 2.注意点:一正、二定、三相等,和定积最大,积定和最小. 3.建立不等式模型解决实际问题
当堂检测:
1 下列函数中,最小值为4的是: ( ) A.4y x x
=+
B.4sin sin y x x =+ (0)x π<<
C.e 4e x x y -=+ D.
3log 4log 3x y x =+
2. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( )
A. 10
B.
C.
D.
3函数y =的最大值为 .