三次函数图象的对称中心的新解法

函数轴对称：如果一个函数的图象沿一条直线对折，直线两则的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。

中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转 180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。

正弦函y=sinx 的图像既是轴对称又是中心对称， 它的图象关于过最值点且垂直于x 轴的直线分别成轴对称图形；y=sinx 的图象的对称轴是经过其图象的 “峰顶点” 或 “谷底点” ， 且平行于y 轴的无数条直线； 它的图象关于x 轴的交点分别成中心对称图形。

三角函数图像的对称轴与对称中心特级教师 王新敞对于函数sin()y A x ωφ=+、cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系．而tan()y A x ωφ=+的对称中心与零点和渐近线与x 轴的交点相联系，有渐近线但无对称轴．由于函数sin()y A x ωφ=+、cos()y A x ωφ=+和tan()y A x ωφ=+的简图容易画错，一般只要通过函数sin y x =、cos y x =、tan y x =图像的对称轴与对称中心就可以快速准确的求出对应的复合函数的对称轴与对称中心．1.正弦函数sin y x =图像的对称轴与对称中心：对称轴为2x k ππ=+、对称中心为(,0) k k Z π∈．对于函数sin()y A x ωφ=+的图象的对称轴只需将x ωφ+取代上面的x 的位置，即2x k πωφπ+=+()k Z ∈，由此解出1()2x k ππφω=+- ()k Z ∈，这就是函数sin()y A x ωφ=+的图象的对称轴方程．对于函数sin()y A x ωφ=+的图象的对称中心只需令x k ωφπ+= ()k Z ∈，由此解出1()x k πφω=- ()k Z ∈，这就是函数sin()y A x ωφ=+的图象的对称中心的横坐标，得对称中心1((),0) k k Z πφω-∈．2.余弦函数cos y x =图像的对称轴与对称中心：对称轴为x k π=、对称中心为(,0)2k ππ+k Z ∈．对于函数cos()y A x ωφ=+的图象的对称轴只需将x ωφ+取代上面的x 的位置，即x k ωφπ+= ()k Z ∈，由此解出1()x k πφω=- ()k Z ∈，这就是函数cos()y A x ωφ=+的图象的对称轴方程．对于函数cos()y A x ωφ=+的图象的对称中心只需令2x k πωφπ+=+ ()k Z ∈，由此解出1()2x k ππφω=+- ()k Z ∈，这就是函数cos()y A x ωφ=+的图象的对称中心的横坐标，得对称中心1((),0) 2k k Z ππφω+-∈．3.正切函数tan y x =图像的渐近线与对称中心：渐近线为2x k ππ=+、对称中心为(,0)2k πk Z ∈，也就是曲线与x 轴的交点和渐近线与x 轴的交点两类点组成．正切曲线无对称轴．对于函数tan()y A x ωφ=+的图象的渐近线只需将x ωφ+取代上面的x 的位置，即2x k πωφπ+=+()k Z ∈，由此解出1()2x k ππφω=+- ()k Z ∈，这就是函数tan()y A x ωφ=+的图象的渐近线方程．对于函数tan()y A x ωφ=+的图象的对称中心只需令2k x πωφ+= ()k Z ∈，由此解出1()2k x πφω=- ()k Z ∈，这就是函数tan()y A x ωφ=+的图象的对称中心的横坐标，得对称中心1((),0) 2k k Z πφω-∈． 例 函数y =sin(2x +3π)的图象：⑴关于点（3π，0）对称；⑵关于直线x =4π对称；⑶关于点（4π，0）对称；⑷关于直线x =12π对称．正确的序号为________．解法一：由2x +3π=k π得x=621ππ-k ，对称点为（621ππ-k ，0）（z k ∈），当k=1时为（3π，0），⑴正确、⑶不正确；由2x +3π2k ππ=+得x=1212k ππ+（z k ∈），当k=0时为12x π=，⑷正确、⑵不正确．综上，正确的序号为⑴⑷．解法二：根据对称中心的横坐标就是函数的零点，对称轴必经过图象最值点的结论，可以采用代入验证法．易求()3f π=sin(2×3π+3π)=0、()4f π=sin(2×4π+3π)=2、()12f π=sin(2×12π+3π)=1，所以⑴正确、⑵不正确、⑶不正确、⑷正确．综上，正确的序号为⑴⑷．-----精心整理，希望对您有所帮助!。

2024全国高考真题数学汇编导数在研究函数中的应用一、单选题1．（2024上海高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，定义集合 0000,,,M x x x x f x f x R ，在使得 1,1M 的所有 f x 中，下列成立的是（）A ．存在 f x 是偶函数B ．存在 f x 在2x 处取最大值C ．存在 f x 是严格增函数D ．存在 f x 在=1x 处取到极小值二、多选题2．（2024全国高考真题）设函数2()(1)(4)f x x x ，则（）A ．3x 是()f x 的极小值点B ．当01x 时， 2()f x f xC ．当12x 时，4(21)0f xD ．当10x 时，(2)()f x f x 3．（2024全国高考真题）设函数32()231f x x ax ，则（）A ．当1a 时，()f x 有三个零点B ．当0a 时，0x 是()f x 的极大值点C ．存在a ，b ，使得x b 为曲线()y f x 的对称轴D ．存在a ，使得点 1,1f 为曲线()y f x 的对称中心三、填空题4．（2024全国高考真题）曲线33y x x 与 21y x a 在 0, 上有两个不同的交点，则a 的取值范围为．四、解答题5．（2024全国高考真题）已知函数3()e x f x ax a ．(1)当1a 时，求曲线()y f x 在点 1,(1)f 处的切线方程；(2)若()f x 有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围．6．（2024全国高考真题）已知函数 1ln 1f x ax x x ．(1)当2a 时，求 f x 的极值；(2)当0x 时， 0f x ，求a 的取值范围．7．（2024全国高考真题）已知函数 1ln 1f x a x x ．(1)求 f x 的单调区间；(2)当2a 时，证明：当1x 时， 1e x f x 恒成立．8．（2024上海高考真题）对于一个函数 f x 和一个点 ,M a b ，令 22()()s x x a f x b ，若 00,P x f x 是 s x 取到最小值的点，则称P 是M 在 f x 的“最近点”．(1)对于1()(0)f x x x，求证：对于点 0,0M ，存在点P ，使得点P 是M 在 f x 的“最近点”；(2)对于 e ,1,0x f x M ，请判断是否存在一个点P ，它是M 在 f x 的“最近点”，且直线MP 与()y f x 在点P 处的切线垂直；(3)已知()y f x 在定义域R 上存在导函数()f x ，且函数()g x 在定义域R 上恒正，设点11,M t f t g t ， 21,M t f t g t ．若对任意的t R ，存在点P 同时是12,M M 在 f x 的“最近点”，试判断 f x 的单调性．9．（2024北京高考真题）设函数 ln 10f x x k x k ，直线l 是曲线 y f x 在点 ,0t f t t 处的切线．(1)当1k 时，求 f x 的单调区间.(2)求证：l 不经过点 0,0.(3)当1k 时，设点 ,0A t f t t ， 0,C f t ， 0,0O ，B 为l 与y 轴的交点，ACO S 与ABO S 分别表示ACO △与ABO 的面积．是否存在点A 使得215ACO ABO S S △△成立？若存在，这样的点A 有几个？（参考数据：1.09ln31.10 ，1.60ln51.61 ，1.94ln71.95 ）10．（2024天津高考真题）设函数 ln f x x x ．(1)求 f x 图象上点 1,1f 处的切线方程；(2)若 f x a x 在 0,x 时恒成立，求a 的值；(3)若 12,0,1x x ，证明 121212f x f x x x ．11．（2024全国高考真题）已知函数3()ln (1)2x f x ax b x x (1)若0b ，且()0f x ，求a 的最小值；(2)证明：曲线()y f x 是中心对称图形；(3)若()2f x 当且仅当12x ，求b 的取值范围．参考答案1．B【分析】对于ACD 利用反证法并结合函数奇偶性、单调性以及极小值的概念即可判断，对于B ，构造函数2,1,111,1x f x x x x即可判断.【详解】对于A ，若存在()y f x 是偶函数,取01[1,1]x ,则对于任意(,1),()(1)x f x f ,而(1)(1)f f ,矛盾,故A 错误；对于B ，可构造函数 2,1,,11,1,1,x f x x x x满足集合 1,1M ，当1x 时，则 2f x ，当11x 时， 1,1f x ，当1x 时， 1f x ，则该函数 f x 的最大值是 2f ，则B 正确；对C ，假设存在 f x ，使得 f x 严格递增，则M R ，与已知 1,1M 矛盾，则C 错误；对D ，假设存在 f x ，使得 f x 在=1x 处取极小值，则在1 的左侧附近存在n ，使得 1f n f ，这与已知集合M 的定义矛盾，故D 错误；故选：B.2．ACD【分析】求出函数 f x 的导数，得到极值点，即可判断A ；利用函数的单调性可判断B ；根据函数 f x 在 1,3上的值域即可判断C ；直接作差可判断D.【详解】对A ，因为函数 f x 的定义域为R ，而 22141313f x x x x x x ，易知当 1,3x 时， 0f x ，当 ,1x 或 3,x 时， 0f x 函数 f x 在 ,1 上单调递增，在 1,3上单调递减，在 3, 上单调递增，故3x 是函数 f x 的极小值点，正确；对B ，当01x 时， 210x x x x ，所以210x x ，而由上可知，函数 f x 在 0,1上单调递增，所以 2f x f x ，错误；对C ，当12x 时，1213x ，而由上可知，函数 f x 在 1,3上单调递减，所以 1213f f x f ，即 4210f x ，正确；对D ，当10x 时， 222(2)()12141220f x f x x x x x x x ，所以(2)()f x f x ，正确；故选：ACD.3．AD【分析】A 选项，先分析出函数的极值点为0,x x a ，根据零点存在定理和极值的符号判断出()f x 在(1,0),(0,),(,2)a a a 上各有一个零点；B 选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C 选项，假设存在这样的,a b ，使得x b 为()f x 的对称轴，则()(2)f x f b x 为恒等式，据此计算判断；D 选项，若存在这样的a ，使得(1,33)a 为()f x 的对称中心，则()(2)66f x f x a ，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.【详解】A 选项，2()666()f x x ax x x a ，由于1a ，故 ,0,x a 时()0f x ，故()f x 在 ,0,,a 上单调递增，(0,)x a 时，()0f x ，()f x 单调递减，则()f x 在0x 处取到极大值，在x a 处取到极小值，由(0)10 f ，3()10f a a ，则(0)()0f f a ，根据零点存在定理()f x 在(0,)a 上有一个零点，又(1)130f a ，3(2)410f a a ，则(1)(0)0,()(2)0f f f a f a ，则()f x 在(1,0),(,2)a a 上各有一个零点，于是1a 时，()f x 有三个零点，A 选项正确；B 选项，()6()f x x x a ，a<0时，(,0),()0x a f x ，()f x 单调递减，,()0x 时()0f x ，()f x 单调递增，此时()f x 在0x 处取到极小值，B 选项错误；C 选项，假设存在这样的,a b ，使得x b 为()f x 的对称轴，即存在这样的,a b 使得()(2)f x f b x ，即32322312(2)3(2)1x ax b x a b x ，根据二项式定理，等式右边3(2)b x 展开式含有3x 的项为303332C (2)()2b x x ，于是等式左右两边3x 的系数都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在这样的,a b ，使得x b 为()f x 的对称轴，C 选项错误；D 选项，方法一：利用对称中心的表达式化简(1)33f a ，若存在这样的a ，使得(1,33)a 为()f x 的对称中心，则()(2)66f x f x a ，事实上，32322()(2)2312(2)3(2)1(126)(1224)1812f x f x x ax x a x a x a x a ，于是266(126)(1224)1812a a x a x a即126012240181266a a a a，解得2a ，即存在2a 使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心，D 选项正确.方法二：直接利用拐点结论任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，32()231f x x ax ，2()66f x x ax ，()126f x x a ，由()02a f x x ，于是该三次函数的对称中心为,22a a f ，由题意(1,(1))f 也是对称中心，故122a a ，即存在2a 使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心，D 选项正确.故选：AD【点睛】结论点睛：（1）()f x 的对称轴为()(2)x b f x f b x ；（2）()f x 关于(,)a b 对称()(2)2f x f a x b ；（3）任何三次函数32()f x ax bx cx d 都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是()0f x 的解，即,33b b f aa是三次函数的对称中心4． 2,1 【分析】将函数转化为方程，令 2331x x x a ，分离参数a ，构造新函数 3251,g x x x x 结合导数求得 g x 单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.【详解】令 2331x x x a ，即3251a x x x ，令 32510,g x x x x x 则 2325351g x x x x x ，令 00g x x 得1x ，当 0,1x 时， 0g x ， g x 单调递减，当 1,x 时， 0g x ， g x 单调递增， 01,12g g ，因为曲线33y x x 与 21y x a 在 0, 上有两个不同的交点，所以等价于y a 与 g x 有两个交点，所以 2,1a .故答案为：2,1 5．(1) e 110x y (2)1, 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；（2）解法一：求导，分析0a 和0a 两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得2ln 10a a ，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知()e x f x a 有零点，可得0a ，进而利用导数求 f x 的单调性和极值，分析可得2ln 10a a ，构建函数解不等式即可.【详解】（1）当1a 时，则()e 1x f x x ，()e 1x f x ，可得(1)e 2f ，(1)e 1f ，即切点坐标为 1,e 2 ，切线斜率e 1k ，所以切线方程为 e 2e 11y x ，即 e 110x y .（2）解法一：因为()f x 的定义域为R ，且()e x f x a ，若0a ，则()0f x 对任意x R 恒成立，可知()f x 在R 上单调递增，无极值，不合题意；若0a ，令()0f x ，解得ln x a ；令()0f x ，解得ln x a ；可知()f x 在 ,ln a 内单调递减，在 ln ,a 内单调递增，则()f x 有极小值 3ln ln f a a a a a ，无极大值，由题意可得： 3ln ln 0f a a a a a ，即2ln 10a a ，构建 2ln 1,0g a a a a ，则 120g a a a，可知 g a 在 0, 内单调递增，且 10g ，不等式2ln 10a a 等价于 1g a g ，解得1a ，所以a 的取值范围为 1, ；解法二：因为()f x 的定义域为R ，且()e x f x a ，若()f x 有极小值，则()e x f x a 有零点，令()e 0x f x a ，可得e x a ，可知e x y 与y a 有交点，则a ，若0a ，令()0f x ，解得ln x a ；令()0f x ，解得ln x a ；可知()f x 在 ,ln a 内单调递减，在 ln ,a 内单调递增，则()f x 有极小值 3ln ln f a a a a a ，无极大值，符合题意，由题意可得： 3ln ln 0f a a a a a ，即2ln 10a a ，构建 2ln 1,0g a a a a ，因为则2,ln 1y a y a 在 0, 内单调递增，可知 g a 在 0, 内单调递增，且 10g ，不等式2ln 10a a 等价于 1g a g ，解得1a ，所以a 的取值范围为 1, .6．(1)极小值为0，无极大值.(2)12a 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值.（2）求出函数的二阶导数，就12a 、102a 、0a 分类讨论后可得参数的取值范围.【详解】（1）当2a 时，()(12)ln(1)f x x x x ，故121()2ln(1)12ln(1)111x f x x x x x，因为12ln(1),11y x y x在 1, 上为增函数，故()f x 在 1, 上为增函数，而(0)0f ，故当10x 时，()0f x ，当0x 时，()0f x ，故 f x 在0x 处取极小值且极小值为 00f ，无极大值.（2） 11ln 11ln 1,011a x ax f x a x a x x x x，设 1ln 1,01a x s x a x x x，则222111211111a a x a a ax a s x x x x x ，当12a 时， 0s x ，故 s x 在 0, 上为增函数，故 00s x s ，即 0f x ，所以 f x 在 0, 上为增函数，故 00f x f .当102a 时，当0x 0s x ，故 s x 在210,a a 上为减函数，故在210,a a上 0s x s ，即在210,a a上 0f x 即 f x 为减函数，故在210,a a上 00f x f ，不合题意，舍.当0a ，此时 0s x 在 0, 上恒成立，同理可得在 0, 上 00f x f 恒成立，不合题意，舍；综上，12a .【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类.7．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性；（2）先根据题设条件将问题可转化成证明当1x 时，1e 21ln 0x x x 即可.【详解】（1）()f x 定义域为(0,) ，11()ax f x a x x当0a 时，1()0ax f x x，故()f x 在(0,) 上单调递减；当0a 时，1,x a时，()0f x ，()f x 单调递增，当10,x a时，()0f x ，()f x 单调递减.综上所述，当0a 时，()f x 的单调递减区间为(0,) ；0a 时，()f x 的单调递增区间为1,a ，单调递减区间为10,a.（2）2a ，且1x 时，111e ()e (1)ln 1e 21ln x x x f x a x x x x ，令1()e 21ln (1)x g x x x x ，下证()0g x 即可.11()e 2x g x x ，再令()()h x g x ，则121()e x h x x，显然()h x 在(1,) 上递增，则0()(1)e 10h x h ，即()()g x h x 在(1,) 上递增，故0()(1)e 210g x g ，即()g x 在(1,) 上单调递增，故0()(1)e 21ln10g x g ，问题得证8．(1)证明见解析(2)存在，0,1P (3)严格单调递减【分析】（1）代入(0,0)M ，利用基本不等式即可；（2）由题得 22(1)e x s x x ，利用导函数得到其最小值，则得到P ，再证明直线MP 与切线垂直即可；（3）根据题意得到 10200s x s x ，对两等式化简得 01()f xg t ，再利用“最近点”的定义得到不等式组，即可证明0x t ，最后得到函数单调性.【详解】（1）当(0,0)M 时， 222211(0)02s x x x x x ，当且仅当221x x 即1x 时取等号，故对于点 0,0M ，存在点 1,1P ，使得该点是 0,0M 在 f x 的“最近点”．（2）由题设可得 2222(1)e 0(1)e x x s x x x ，则 2212e x s x x ，因为 221,2e x y x y 均为R 上单调递增函数，则 2212e xs x x 在R 上为严格增函数，而 00s ，故当0x 时， 0s x ，当0x 时， 0s x ，故 min 02s x s ，此时 0,1P ，而 e ,01x f x k f ，故 f x 在点P 处的切线方程为1y x .而01110MP k ，故1MP k k ，故直线MP 与 y f x 在点P 处的切线垂直．（3）设 221(1)()s x x t f x f t g t ，222(1)()s x x t f x f t g t ，而 12(1)2()s x x t f x f t g t f x ， 22(1)2()s x x t f x f t g t f x ，若对任意的t R ，存在点P 同时是12,M M 在 f x 的“最近点”，设 00,P x y ，则0x 既是 1s x 的最小值点，也是 2s x 的最小值点，因为两函数的定义域均为R ，则0x 也是两函数的极小值点，则存在0x ,使得 10200s x s x ，即 10000212()()0s x x t f x f x f t g t ① 20000212()()0s x x t f x f x f t g t ②由①②相等得 044()0g t f x ，即 01()0f x g t ，即 01()f x g t，又因为函数()g x 在定义域R 上恒正，则 010()f xg t 恒成立，接下来证明0x t ，因为0x 既是 1s x 的最小值点，也是 2s x 的最小值点，则 1020(),()s x s t s x s t ，即 2220011x t f x f t g t g t ，③ 2220011x t f x f t g t g t ，④③ ④得 222200222()2()22()x t f x f t g t g t 即 22000x t f x f t ，因为 2200,00x t f x f t 则 0000x t f x f t，解得0x t ，则 10()f tg t 恒成立，因为t 的任意性，则 f x 严格单调递减.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是结合最值点和极小值的定义得到 01()f x g t，再利用最值点定义得到0x t 即可.9．(1)单调递减区间为(1,0) ，单调递增区间为(0,) .(2)证明见解析(3)2【分析】（1）直接代入1k ，再利用导数研究其单调性即可；（2）写出切线方程()1()(0)1k y f t x t t t，将(0,0)代入再设新函数()ln(1)1t F t t t ，利用导数研究其零点即可；（3）分别写出面积表达式，代入215ACO ABO S S 得到13ln(1)21501t t t t ，再设新函数15()13ln(1)2(0)1t h t t t t t研究其零点即可.【详解】（1）1()ln(1),()1(1)11x f x x x f x x x x，当 1,0x 时， 0f x ；当 0,x ，()0f x ¢>；()f x 在(1,0) 上单调递减，在(0,) 上单调递增.则()f x 的单调递减区间为(1,0) ，单调递增区间为(0,) .（2）()11k f x x ，切线l 的斜率为11k t，则切线方程为()1()(0)1k y f t x t t t，将(0,0)代入则()1,()111k k f t t f t t t t，即ln(1)1k t k t t tt ，则ln(1)1t t t ，ln(1)01t t t ，令()ln(1)1t F t t t，假设l 过(0,0)，则()F t 在(0,)t 存在零点.2211()01(1)(1)t t t F t t t t ，()F t 在(0,) 上单调递增，()(0)0F t F ，()F t 在(0,) 无零点， 与假设矛盾，故直线l 不过(0,0).（3）1k 时，12()ln(1),()1011x f x x x f x x x.1()2ACO S tf t ，设l 与y 轴交点B 为(0,)q ，0t 时，若0q ，则此时l 与()f x 必有交点，与切线定义矛盾.由（2）知0q .所以0q ，则切线l 的方程为 111ln 1x t y t t t，令0x ，则ln(1)1t y q y t t.215ACO ABO S S ，则2()15ln(1)1t tf t t t t，13ln(1)21501t t t t ，记15()13ln(1)2(0)1th t t t t t， 满足条件的A 有几个即()h t 有几个零点.2222221313221151315294(21)(4)()21(1)(1)(1)(1)t t t t t t t h t t t t t t ，当10,2t时， 0h t ，此时 h t 单调递减；当1,42t时， 0h t ，此时 h t 单调递增；当 4,t 时， 0h t ，此时 h t 单调递减；因为1(0)0,0,(4)13ln 520131.6200.802h h h，15247272(24)13ln 254826ln 548261.614820.5402555h，所以由零点存在性定理及()h t 的单调性，()h t 在1,42上必有一个零点，在(4,24)上必有一个零点，综上所述，()h t 有两个零点，即满足215ACO ABO S S 的A 有两个.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用的是反证法，转化为研究函数零点问题.10．(1)1y x (2)2(3)证明过程见解析【分析】（1）直接使用导数的几何意义；（2）先由题设条件得到2a ，再证明2a 时条件满足；（3）先确定 f x 的单调性，再对12,x x 分类讨论.【详解】（1）由于 ln f x x x ，故 ln 1f x x .所以 10f ， 11f ，所以所求的切线经过 1,0，且斜率为1，故其方程为1y x .（2）设 1ln h t t t ，则 111t h t t t，从而当01t 时 0h t ，当1t 时 0h t .所以 h t 在 0,1上递减，在 1, 上递增，这就说明 1h t h ，即1ln t t ，且等号成立当且仅当1t .设 12ln g t a t t ，则ln 1f x a x x x a x x a x g .当 0,x0, ，所以命题等价于对任意 0,t ，都有 0g t .一方面，若对任意 0,t ，都有 0g t ，则对 0,t 有112012ln 12ln 1212g t a t t a t a t at a t t t，取2t ，得01a ，故10a .再取t，得2022a a a，所以2a .另一方面，若2a ，则对任意 0,t 都有 212ln 20g t t t h t ，满足条件.综合以上两个方面，知a 的值是2.（3）先证明一个结论：对0a b ，有 ln 1ln 1f b f a a b b a.证明：前面已经证明不等式1ln t t ，故lnln ln ln ln ln ln 1ln 1bb b a a a b a aa b b b b b a b a a，且1lnln ln ln ln ln ln ln 1ln 11a a b b a a b b b a b b a a a a a a b a b a b b，所以ln ln ln 1ln 1b b a a a b b a，即 ln 1ln 1f b f a a b b a.由 ln 1f x x ，可知当10e x 时 0f x ，当1ex 时()0f x ¢>.所以 f x 在10,e上递减，在1,e上递增.不妨设12x x ，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论.情况一：当1211ex x 时，有122122121ln 1f x f x f x f x x x x x x ，结论成立；情况二：当1210e x x 时，有 12121122ln ln f x f x f x f x x x x x .对任意的10,e c，设ln ln x x x c cln 1x x 由于 x单调递增，且有1111111ln 1ln11102e2e ec c，且当2124ln 1x c c，2cx2ln 1c 可知2ln 1ln 1ln 102c x x c.所以 x 在 0,c 上存在零点0x ，再结合 x 单调递增，即知00x x 时 0x ，0x x c 时 0x .故 x 在 00,x 上递减，在 0,x c 上递增.①当0x x c 时，有 0x c ；②当00x x112221e e f f c，故我们可以取1,1q c .从而当201cx q1ln ln ln ln 0x x x c c c c c c q c.再根据 x 在 00,x 上递减，即知对00x x 都有 0x ；综合①②可知对任意0x c ，都有 0x ，即ln ln 0x x x c c .根据10,e c和0x c 的任意性，取2c x ，1x x，就得到1122ln ln 0x x x x .所以12121122ln ln f x f x f x f x x x x x 情况三：当12101e x x时，根据情况一和情况二的讨论，可得11e f x f21e f f x而根据 f x 的单调性，知 1211e f x f x f x f或 1221e f x f x f f x .故一定有12f x f x 成立.综上，结论成立.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于第3小问中，需要结合 f x 的单调性进行分类讨论.11．(1)2 (2)证明见解析(3)23b【分析】（1）求出 min 2f x a 后根据()0f x 可求a 的最小值；（2）设 ,P m n 为 y f x 图象上任意一点，可证 ,P m n 关于 1,a 的对称点为 2,2Q m a n 也在函数的图像上，从而可证对称性；（3）根据题设可判断 12f 即2a ，再根据()2f x 在 1,2上恒成立可求得23b .【详解】（1）0b 时， ln 2xf x ax x，其中 0,2x ，则112,0,222f x a a x x x x x，因为 22212x x x x，当且仅当1x 时等号成立，故 min 2f x a ，而 0f x 成立，故20a 即2a ，所以a 的最小值为2 .，（2） 3ln12x f x ax b x x的定义域为 0,2，设 ,P m n 为 y f x 图象上任意一点，,P m n 关于 1,a 的对称点为 2,2Q m a n ，因为 ,P m n 在 y f x 图象上，故 3ln 12m n am b m m，而 3322ln221ln 122m m f m a m b m am b m a m m，2n a ，所以 2,2Q m a n 也在 y f x 图象上，由P 的任意性可得 y f x 图象为中心对称图形，且对称中心为 1,a .（3）因为 2f x 当且仅当12x ，故1x 为 2f x 的一个解，所以 12f 即2a ，先考虑12x 时， 2f x 恒成立.此时 2f x 即为 3ln21102x x b x x在 1,2上恒成立，设 10,1t x ，则31ln201t t bt t在 0,1上恒成立，设 31ln2,0,11t g t t bt t t，则2222232322311t bt b g t bt t t，当0b ，232332320bt b b b ，故 0g t 恒成立，故 g t 在 0,1上为增函数，故 00g t g 即 2f x 在 1,2上恒成立.当203b 时，2323230bt b b ，故 0g t 恒成立，故 g t 在 0,1上为增函数，故 00g t g 即 2f x 在 1,2上恒成立.当23b ，则当01t 时， 0g t故在 上 g t 为减函数，故 00g t g ，不合题意，舍；综上， 2f x 在 1,2上恒成立时23b .而当23b 时，而23b 时，由上述过程可得 g t 在 0,1递增，故 0g t 的解为 0,1，即 2f x 的解为 1,2.综上，23b .【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况.。

三次函数切线问题一、过三次函数上一点的切线问题。

设点P 为三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 图象上任一点，则过点P 一定有直线与)(x f y =的图象相切。

若点P 为三次函数图象的对称中心，则过点P 有且只有一条切线；若点P 不是三次函数图象的对称中心，则过点P 有两条不同的切线。

证明 设),(11y x P 过点P 的切线可以分为两类。

1、 P 为切点 c bx ax x f k ++==1211/123)(，切线方程为：))(23(11211x x c bx ax y y -++=-P 不是切点，过P 点作)(x f y =图象的切线，切于另一点Q （22,y x ）12122122313212122x x cx cx bx bx ax ax x x y y k --+-+-=--= c bx bx ax x ax ax +++++=21212122又 c bx ax x f k ++==2222/223)( （1）∴c bx bx ax x ax ax +++++21212122c bx ax ++=22223即0)2)((1212=++-a b x x x x ∴abx x 22112--=代入（1）式 得 c ab bx ax k +-+=4214321212讨论：当21k k =时，=++c bx ax 12123c ab bx ax +-+421432121，得a b x 31-=，∴当a bx 31-=时，两切线重合，所以过点P 有且只有一条切线。

当abx 31-≠时，21k k ≠，所以过点P 有两条不同的切线。

其切线方程为：))(23(11211x x c bx ax y y -++=-))(42143(121211x x c ab bx ax y y -+-+=-由上可得下面结论：过三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 上异于对称中心的任一点),(111y x P 作)(x f y =图象的切线，切于另一点),(222y x P ，过),(222y x P 作)(x f y =图象的切线切于),(333y x P ，如此继续，得到点列),(444y x P ----),(n n n y x P ----，则abx x n n 2211--=+，且当+∞→n 时，点趋近三次函数图象的对称中心。

函数对称中心的求解方法探究及应用函数的对称性是函数的一个重要性质.充分体现了数学的形式美，给学生以美的感受的同时，锻炼学生的思维，拓展学生的视野，丰富学生的想象.函数的奇偶性就是函数的对称性的特例．如何探求函数的中心对称性呢？为此，本文将函数的中心对称性的探求策略及简单应用，整理如下，以飨读者.一、反比例函数图解法初中数学的学习中，我们接触了一次函数、反比例函数是中心对称图形，自然可以借助于常见的基本初等函数来探求等次分式函数的图象的对称中心.函数()()(),0cx d c ad bcf x ad bc a ax b a c ax b +-==+≠≠++图象的两条渐近线方为：b x a =-，cy a =，它的对称中心是,b c a a ⎛⎫-⎪⎝⎭.【例1】函数()1122ax f x a x +⎛⎫=≠ ⎪+⎝⎭的对称中心是()2,5-，则实数a 的值是.【解析】()()2121222a x aaf x a x x ++--==+++，其对称中心为()2,a -，所以5a =.【评注】上述分式函数通过分离常数，求出函数渐近线方程，这两条渐近线的交点，便是函数图象的对称中心。

【变式1】函数()321xf x x -=，该函数图象的对称中心是.遇到抽象函数的对称中心的探求，从图象平移变换的角度不易理解，这【解析】用2x -替换，得4f x f x -=-，可知，函数f x 关于点2,0对称，函数()()3f x x a =+的对称中心是(),0a -，则2-=a ，所以()()33124.f f -+=-【思考1】上面条件()32f x f x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭说明了函数对称中心是3,04⎛⎫⎪⎝⎭，具有一般性吗？定义在R 上的函数()f x 满足()()2f a x f x -=，则函数图像关于022a x xx a -+==对称，即点()(),x f x 与()()2,a x f x -点关于x a =对称，这是大家熟知对称轴的计算公式.那么()()2,a x f x -关于x 轴对称翻折成()()2,a x f x --，那么点()(),x f x 与()()2,a x f x --点关于(),0a 中心对称，此时满足()()2f a x f x -=-，因此函数满足()()2f a x f x -=-，则函数图像必然关于(),0a 中心对称.【思考2】如果把对称点()()2,a x f x --向上抬高2b 单位,得到()()2,a x f x --与()(),x f x 的连线的中点上移几个单位？能得到什么结论？若对称点()()2,a x f x --向上平移2b 单位，根据中位线性质，其连线的中点也就是对称中心上移b 单位变为(),a b ，也就是若有()()22,f a x b f x -=-则函数对称中心变为(),a b .类似结论还有，()()2f a x c f b x +=+-，则()y f x =y =f (x )的图象关于点,2a b c +⎛⎫⎪⎝⎭对称．三、奇函数图像转化法函数()f x 的图像向右移动a 个单位，再向上平移b 个单位，得到奇函数()f x a b -+，则原函数图像关于点( )a b --,成中心对称图形.【例3】已知函数1y x =的图像的对称中心为()0,0;函数111y x x =++的图像的对称中心为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭;函数11112y x x x =++++的图像的对称中心为()1,0-;……;由此推测函数111112y x x x x n=++++++ 的图像的对称中心为．【解析】11()1f x xx =++图像右移12个单位后变成函数111()11222f x x x -=+-+.该函数是奇函数，故原函数中心为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭.函数111()12f x x x x =++++图像右移1个单位后，变成奇函数111(1)11f x x x x -=++-+，故原来的函数对称中心为()1,0-.由此1111()12f x x x x x n =++++++ ，图像右移2n 个单位后，变为奇函数111111+++212122222n f x n n n n n x x x x x x ⎛⎫-=++++⎪⎝⎭--+-++-+，因此原函数对称中心为,02n⎛⎫- ⎪⎝⎭.【变式3】若()11111234g x x x x x =+++++++，求()()5g x g x +--=.【解析】51111311322222g x x x x x ⎛⎫-=+++ ⎪⎝⎭--++是奇函数，()g x 对称中心为5,02⎛⎫- ⎪⎝⎭.因为点(),x y 关于5,02⎛⎫- ⎪⎝⎭的对称点是()5,x y ---，所以()()5g x g x --=-，故()()5g x g x +--=0.【变式4】函数()11111232013f x x x x x =++++++++ 图像的对称中心是（）A．()10060-，B．()10070-，C．()10060，D．()10070，【解析】()111110071006100510051006f x x x x x -=++++--++ ，则()1007f x -为奇函数，所以()f x 的图像关于点()10070-，对称.所以选B.【变式5】已知函数()1220121232013x x x x f x x x x x +++=++++++++ ，则()()02014f f +-=_______．【例4】已知函数()2112cos 221x xf x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=-，其图像的对称中心是【变式6】(2013全国)已知函数误的是().A．0x R ∃∈，()00f x =B．函数()f x 的图象是中心对称图形C．若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间()0,x -∞上单调递减D．若0x 是()f x 的极值点，则()00f x '=【解析】若0c =，则有()00f =，所以A 正确．由()32f x x ax bx c =+++，得()32f x c x ax bx -=++，因为函数()32f x x ax bx =++的对称中心为()0,0，所以()32f x x ax bx c =+++的对称中心为()0,c ，所以B 正确．由三次函数的图象可知，若0x 是()f x 的极小值点，则极大值点在0x 的左侧，所以函数在区间()0,x -∞单调递减是错误的，D 正确．选C.【变式7】()()311f x x =-+，则()()()()()43056f f f f f -+-+++++=．【解析】()()311f x x =-+是由3y x =平移得到的，由于3y x =是奇函数，图像关于原点对称，因此()f x 的对称中心为()1,1，有()()22f x f x +-=，所以()()()()()43056f f f f f -+-+++++ ()()()()()()()4635021f f f f f f f =⎡-+⎤+⎡-+⎤++⎡+⎤+⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 52111=⨯+=．四、导数拐点法【例5】对于三次函数()()320,f x ax bx cx d a =+++≠给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.请你根据这一发现判断下列命题：①任意三次函数的图像都关于点,33bb f aa ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对称；②存在三次函数()y f x =，()0f x ''=有实数解0x ，点()()00,x f x 为函数()y f x =的图像的对称中心；③存在三次函数的图像有两个及两个以上对称中心；④若函数()3211513cos()32122g x x x x x π+=-+-+-，则12342012100620132013201320132013g g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.其中正确命题的序号为(把所有正确命题的序号都填上).【解析】对于①②明显正确；对于③，任意的三次函数满足()62f x ax b ''=+，而()0f x ''=只有一个根，所以任意三次函数的图像只有一个对称中心,33bb f aa ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.③错；对于④，令()3211533212u x x x x =-+-，()1cos 2v x x π+⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()21u x x ''=-，所以()u x 的图像关于点1,12⎛⎫⎪⎝⎭对称，同理，函数()v x 的图像关于点1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以122012122012201320132013201320132013u u u v v v ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 120121006100621201220132013u u ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=⨯⨯= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，④错.故正确命题的序号为①②.【评注】三次函数的对称中心的横坐标实质上即为其二阶导函数的零点。

函数与导函数的图象的对称性邓启龙(广东省中山纪念中学ꎬ广东中山５２８４５４)摘㊀要:本文通过深入探究函数与导函数图象的对称性关系ꎬ得到了函数与导函数图象的对称性的一般性结论ꎬ并讨论了多项式函数图象的对称性.关键词:函数ꎻ导函数ꎻ图象ꎻ对称性中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１６－０００５－０６收稿日期:２０２３－０３－０５作者简介:邓启龙(１９８７.３－)ꎬ男ꎬ江西省遂川人ꎬ硕士ꎬ中学一级教师ꎬ从事中学数学教学研究.㊀㊀函数的图象具有两种对称性ꎬ轴对称和中心对称.函数的奇偶性是特殊的轴对称和中心对称ꎬ偶函数的图象关于ｙ轴对称ꎬ奇函数的图象关于原点对称.有一个熟知的结论ꎬ偶函数的导函数是奇函数ꎬ奇函数的导函数是偶函数ꎬ这个结论揭示了函数与导函数的奇偶性关系ꎬ即函数与导函数图象的对称性的关系.若函数ｆ(ｘ)的图象关于ｙ轴对称ꎬ则导函数ｆᶄ(ｘ)的图象关于原点对称ꎻ若函数ｆ(ｘ)的图象关于原点对称ꎬ则导函数ｆᶄ(ｘ)的图象关于ｙ轴对称ꎻ若函数ｆ(ｘ)的图象的对称轴不是ｙ轴ꎬ或者对称中心不是原点ꎬ则导函数ｆᶄ(ｘ)的图象是否仍然具有对称性?反过来ꎬ若导函数ｆᶄ(ｘ)的图象具有对称性ꎬ则函数ｆ(ｘ)的图象是否也具有对称性?本文通过深入探究ꎬ得到了函数与导函数图象的对称性的一般性结论.设函数ｆ(ｘ)的定义域为Ｄꎬｆ(ｘ)在Ｄ上可导ꎬｆᶄ(ｘ)是ｆ(ｘ)的导函数.结论１㊀若ｆ(ｘ)的图象关于直线ｘ＝ａ对称ꎬ则ｆᶄ(ｘ)的图象关于点(ａꎬ０)对称.证明㊀由已知可得∀ｘɪＤꎬｆ(ｘ)＝ｆ(２ａ－ｘ)ꎬ两边求导得ｆᶄ(ｘ)＝－ｆᶄ(２ａ－ｘ).于是∀ｘɪＤꎬｆᶄ(ｘ)＋ｆᶄ(２ａ－ｘ)＝０.所以ｆᶄ(ｘ)的图象关于点(ａꎬ０)对称.注㊀(１)若ｆ(ｘ)是偶函数ꎬ则ｆᶄ(ｘ)是奇函数.(２)若ｆ(ｘ)的图象关于直线ｘ＝ａ对称ꎬ且ｆ(ｘ)在ｘ＝ａ处存在导数ꎬ则ｆᶄ(ａ)＝０.例１㊀已知函数ｆ(ｘ)＝ｓｉｎｘ＋ａｃｏｓｘ的图象的一条对称轴是直线ｘ＝５π３ꎬ求实数ａ的值.解法１㊀由辅助角公式得ｆ(ｘ)＝ｓｉｎｘ＋ａｃｏｓｘ＝１＋ａ２ｓｉｎ(ｘ＋φ)ꎬ其中φ满足ｓｉｎφ＝ａ１＋ａ２ꎬｃｏｓφ＝１１＋ａ２ꎬ则ａ＝ｔａｎφ.由已知可得ｓｉｎ(５π３＋φ)＝ʃ１ꎬ于是５π３＋φ＝π２＋ｋπꎬｋɪＺ.得φ＝－７π６＋ｋπꎬｋɪＺ.所以ａ＝ｔａｎφ＝－３３.解法２㊀由辅助角公式得ｆ(ｘ)＝ｓｉｎｘ＋ａｃｏｓｘ＝５１＋ａ２ｓｉｎ(ｘ＋φ)ꎬ其中φ满足ｓｉｎφ＝ａ１＋ａ２ꎬｃｏｓφ＝１１＋ａ２.由已知可得ｆ(５π３)＝ʃ１＋ａ２.即ａ２－３２＝ʃ１＋ａ２ꎬ解得ａ＝－３３.解法３㊀ｆᶄ(ｘ)＝ｃｏｓｘ－ａｓｉｎｘ.由已知可得ｆ(ｘ)的图象关于直线ｘ＝５π３对称ꎬ由结论１得ｆᶄ(ｘ)的图象关于点(５π３ꎬ０)对称.于是ｆᶄ(５π３)＝０ꎬ即１２＋３２ａ＝０ꎬ得ａ＝－３３.注㊀解法３由ｆ(ｘ)的图象关于直线ｘ＝５π３对称ꎬ得ｆᶄ(ｘ)的图象关于点(５π３ꎬ０)对称.又ｆ(ｘ)在ｘ＝５π３处存在导数ꎬ所以ｆᶄ(５π３)＝０.解法３相对于其他解法ꎬ简单有效.结论２㊀若ｆ(ｘ)的图象关于点(ａꎬｂ)对称ꎬ则ｆᶄ(ｘ)的图象关于直线ｘ＝ａ对称.证明㊀由已知可得∀ｘɪＤꎬｆ(ｘ)＋ｆ(２ａ－ｘ)＝２ｂꎬ两边求导得ｆᶄ(ｘ)－ｆᶄ(２ａ－ｘ)＝０.于是∀ｘɪＤꎬｆᶄ(ｘ)＝ｆᶄ(２ａ－ｘ).所以ｆᶄ(ｘ)的图象关于直线ｘ＝ａ对称.注㊀若ｆ(ｘ)的图象的对称中心在ｙ轴上ꎬ则ｆᶄ(ｘ)是偶函数.特别地ꎬ若ｆ(ｘ)是奇函数ꎬ则ｆᶄ(ｘ)是偶函数.例２㊀已知函数ｆ(ｘ)＝１２ｘ－１ꎬ求ｆ(ｘ)的图象的对称中心.解法１㊀令ｇ(ｘ)＝２ｘ＋１２ｘ－１ꎬ则ｇ(ｘ)是奇函数.即∀ｘʂ０ꎬｇ(ｘ)＋ｇ(－ｘ)＝０.由ｇ(ｘ)＝２ｘ＋１２ｘ－１＝２ｘ－１＋２２ｘ－１＝１＋２２ｘ－１ꎬ得ｇ(ｘ)＝２ｆ(ｘ)＋１.于是ｇ(－ｘ)＝２ｆ(－ｘ)＋１.由ｇ(ｘ)＋ｇ(－ｘ)＝０ꎬ得２ｆ(ｘ)＋１＋２ｆ(－ｘ)＋１＝０.于是∀ｘʂ０ꎬｆ(ｘ)＋ｆ(－ｘ)＝－１.所以ｆ(ｘ)的图象的对称中心是点(０ꎬ－１２).解法２㊀令ｇ(ｘ)＝２ｘ＋１２ｘ－１ꎬ则ｇ(ｘ)是奇函数ꎬｇ(ｘ)的图象关于原点对称.由ｇ(ｘ)＝２ｘ＋１２ｘ－１＝２ｘ－１＋２２ｘ－１＝１＋２２ｘ－１＝２ｆ(ｘ)＋１ꎬ得ｆ(ｘ)＝１２ｇ(ｘ)－１２.所以ｆ(ｘ)的图象的对称中心是点(０ꎬ－１２).解法３㊀ｆ(ｘ)的定义域是(－ɕꎬ０)ɣ(０ꎬ＋ɕ).设ｆ(ｘ)的图象的对称中心是点(ａꎬｂ)ꎬ则ｆ(ｘ)的定义域关于点(ａꎬ０)对称ꎬ所以ａ＝０.由ｆ(ｘ)＋ｆ(－ｘ)＝１２ｘ－１＋１２－ｘ－１＝１２ｘ－１＋２ｘ１－２ｘ＝－１ꎬ得ｂ＝－１２.所以ｆ(ｘ)的图象的对称中心是点(０ꎬ－１２).解法４㊀设ｆ(ｘ)的图象关于点(ａꎬｂ)对称ꎬ由结论２得ｆᶄ(ｘ)的图象关于直线ｘ＝ａ对称.由ｆᶄ(ｘ)＝－２ｘｌｎ２(２ｘ－１)２＝－ｌｎ２２ｘ＋２－ｘ－２ꎬ得ｆᶄ(ｘ)是偶函数ꎬ故ｆᶄ(ｘ)的图象关于直线ｘ＝０对称ꎬ所以ａ＝０.由ｆ(ｘ)＋ｆ(－ｘ)＝１２ｘ－１＋１２－ｘ－１＝１２ｘ－１＋２ｘ１－２ｘ＝－１ꎬ得ｂ＝－１２.所以ｆ(ｘ)的图象的对称中心是点(０ꎬ－１２). ６结论１和结论２表明ꎬ若ｆ(ｘ)的图象有对称轴ꎬ则ｆᶄ(ｘ)的图象有对称中心ꎻ若ｆ(ｘ)的图象有对称中心ꎬ则ｆᶄ(ｘ)的图象有对称轴.反过来ꎬ若ｆᶄ(ｘ)的图象具有对称性ꎬ则ｆ(ｘ)的图象是否也具有对称性?本文通过深入探究ꎬ得到了以下结论.结论３㊀若ｆᶄ(ｘ)的图象关于直线ｘ＝ａ对称ꎬ则∃ｂɪＲꎬｆ(ｘ)的图象关于点(ａꎬｂ)对称.证明㊀由已知可得∀ｘɪＤꎬｆᶄ(ｘ)＝ｆᶄ(２ａ－ｘ).令ｇ(ｘ)＝ｆ(ｘ)＋ｆ(２ａ－ｘ)ꎬ则ｇᶄ(ｘ)＝ｆᶄ(ｘ)－ｆᶄ(２ａ－ｘ).于是∀ｘɪＤꎬｇᶄ(ｘ)＝０ꎬ所以∃ｂɪＲꎬ∀ｘɪＤꎬｇ(ｘ)＝２ｂ.即∀ｘɪＤꎬｆ(ｘ)＋ｆ(２ａ－ｘ)＝２ｂ.所以ｆ(ｘ)的图象关于点(ａꎬｂ)对称.注㊀(１)若ｆᶄ(ｘ)的图象关于直线ｘ＝ａ对称ꎬ且ｆ(ｘ)在ｘ＝ａ处连续ꎬ则ｆ(ｘ)的图象关于点(ａꎬｆ(ａ))对称.(２)若ｆᶄ(ｘ)是偶函数ꎬ则ｆ(ｘ)的图象的对称中心在ｙ轴上ꎬｆ(ｘ)不一定是奇函数ꎬ例如ｆ(ｘ)＝ｘ３＋１ꎬ则ｆᶄ(ｘ)＝３ｘ２ꎬｆᶄ(ｘ)是偶函数ꎬ但是ｆ(ｘ)不是奇函数.例３㊀已知函数ｆ(ｘ)＝ａｘ３＋ｂｘ２＋ｃｘ＋ｄ(ａʂ０)ꎬ求ｆ(ｘ)的图象的对称中心.解法１㊀ｆ(ｘ)＝ａｘ３＋ｂｘ２＋ｃｘ＋ｄ＝ａ(ｘ＋ｂ３ａ)３＋(ｃ－ｂ２３ａ)ｘ＋ｄ－ｂ３２７ａ２＝ａ(ｘ＋ｂ３ａ)３＋(ｃ－ｂ２３ａ)(ｘ＋ｂ３ａ)＋２ｂ３２７ａ２－ｂｃ３ａ＋ｄ＝ａ(ｘ＋ｂ３ａ)３＋(ｃ－ｂ２３ａ)(ｘ＋ｂ３ａ)＋ｆ(－ｂ３ａ)ꎬ令ｇ(ｘ)＝ａｘ３＋(ｃ－ｂ２３ａ)ｘꎬ则ｇ(ｘ)是奇函数ꎬｇ(ｘ)的图象关于原点对称.由ｆ(ｘ)＝ｇ(ｘ＋ｂ３ａ)＋ｆ(－ｂ３ａ)得ｆ(ｘ)的图象的对称中心是点(－ｂ３ａꎬｆ(－ｂ３ａ)).解法２㊀由ｆᶄ(ｘ)＝３ａｘ２＋２ｂｘ＋ｃꎬ得ｆᶄ(ｘ)的图象关于直线ｘ＝－ｂ３ａ对称.由结论３得ｆ(ｘ)的图象的对称中心是点(－ｂ３ａꎬｆ(－ｂ３ａ)).注㊀(１)ｆ(ｘ)是三次函数ꎬ若从ｆ(ｘ)的表达式出发来找ｆ(ｘ)的图象的对称中心比较困难.而ｆᶄ(ｘ)是二次函数ꎬ从ｆᶄ(ｘ)的表达式出发来找ｆᶄ(ｘ)的图象的对称轴非常简单.若ｆᶄ(ｘ)的图象关于直线ｘ＝ｍ对称ꎬ则ｆ(ｘ)的图象关于点(ｍꎬｆ(ｍ))对称.㊀(２)若ｆ(ｘ)的图象关于点(ｍꎬｆ(ｍ))对称ꎬ由结论１和结论２得ｆᶄ(ｘ)的图象关于直线ｘ＝ｍ对称ꎬｆᵡ(ｘ)的图象关于点(ｍꎬ０)对称ꎬ所以ｆᵡ(ｍ)＝０.由ｆᵡ(ｘ)＝６ａｘ＋２ｂ得ｍ＝－ｂ３ａꎬ于是ｆ(ｘ)的图象的对称中心是点(－ｂ３ａꎬｆ(－ｂ３ａ)).所以三次函数的图象有对称中心ꎬ且对称中心是三次函数的图象的拐点.结论４㊀若ｆᶄ(ｘ)的图象关于点(ａꎬ０)对称ꎬ且∃ｘ０ɪＤꎬｆ(ｘ０)＝ｆ(２ａ－ｘ０)ꎬ则ｆ(ｘ)的图象关于直线ｘ＝ａ对称.证明㊀由已知得∀ｘɪＤꎬｆᶄ(ｘ)＋ｆᶄ(２ａ－ｘ)＝０.令ｇ(ｘ)＝ｆ(ｘ)－ｆ(２ａ－ｘ)ꎬ则ｇᶄ(ｘ)＝ｆᶄ(ｘ)＋ｆᶄ(２ａ－ｘ).于是∀ｘɪＤꎬｇᶄ(ｘ)＝０.所以∃ｃɪＲꎬ∀ｘɪＤꎬｇ(ｘ)＝ｃ.即∀ｘɪＤꎬｆ(ｘ)－ｆ(２ａ－ｘ)＝ｃ.由ｆ(ｘ０)＝ｆ(２ａ－ｘ０)ꎬ得ｃ＝０.于是∀ｘɪＤꎬｆ(ｘ)＝ｆ(２ａ－ｘ).所以ｆ(ｘ)的图象关于直线ｘ＝ａ对称.注㊀(１)若ｆᶄ(ｘ)的图象关于点(ａꎬ０)对称ꎬ且ｆ(ｘ)在ｘ＝ａ处连续ꎬ则ｆ(ｘ)的图象关于直线ｘ＝ａ对称.特别的ꎬ若ｆᶄ(ｘ)是奇函数ꎬ且ｆ(ｘ)在ｘ＝０处连续ꎬ则ｆ(ｘ)是偶函数.(２)若ｆᶄ(ｘ)的图象关于点(ａꎬ０)对称ꎬｆ(ｘ)在ｘ＝ａ处不连续ꎬ且ｌｉｍｘңａ[ｆ(ｘ)－ｆ(２ａ－ｘ)]＝０ꎬ则ｆ(ｘ)７的图象关于直线ｘ＝ａ对称.(３)若ｆᶄ(ｘ)是奇函数ꎬ则ｆ(ｘ)不一定是偶函数ꎬ例如ｆ(ｘ)＝ｘ２－１ꎬｘ<０ꎬｘ２＋１ꎬｘ>０ꎬ{则ｆᶄ(ｘ)＝２ｘꎬｘʂ０ꎬｆᶄ(ｘ)是奇函数ꎬ但是ｆ(ｘ)不是偶函数.若ｆᶄ(ｘ)是奇函数ꎬ且∃ｘ０ɪＤꎬｆ(ｘ０)＝ｆ(－ｘ０)ꎬ则ｆ(ｘ)是偶函数.㊀例４㊀已知函数ｆ(ｘ)＝ａｘ４＋ｂｘ３＋ｃｘ２＋ｄｘ＋ｅ(ａʂ０)ꎬ当ａꎬｂꎬｃꎬｄꎬｅ满足何种条件时ꎬｆ(ｘ)的图象有对称轴?解法１㊀ｆ(ｘ)＝ａｘ４＋ｂｘ３＋ｃｘ２＋ｄｘ＋ｅ＝ｘ２(ａｘ２＋ｂｘ)＋ｃｘ２＋ｄｘ＋ｅ＝ｘ２[ａ(ｘ＋ｂ２ａ)３－ｂ２４ａ]＋ｃｘ２＋ｄｘ＋ｅ＝ａ(ｘ３＋ｂ２ａ)２＋(ｃ－ｂ２４ａ)ｘ２＋ｄｘ＋ｅꎬ由ｙ＝ｘ２＋ｂ２ａｘ的图象关于直线ｘ＝－ｂ４ａ对称ꎬ得函数ｙ＝ａ(ｘ２＋ｂ２ａｘ)２的图象关于直线ｘ＝－ｂ４ａ对称.若ｃ－ｂ２４ａʂ０ꎬ则函数ｙ＝(ｃ－ｂ２４ａ)ｘ２＋ｄｘ＋ｅ的图象关于直线ｘ＝－ｄ２(ｃ－ｂ２４ａ)＝－２ａｄ４ａｃ－ｂ２对称.若ｙ＝ａ(ｘ２＋ｂ２ａｘ)２和ｙ＝(ｃ－ｂ２４ａ)ｘ２＋ｄｘ＋ｅ的图象有相同的对称轴ꎬ则ｆ(ｘ)的图象有对称轴.所以当－ｂ４ａ＝－２ａｄ４ａｃ－ｂ２ꎬ即ｂ３８ａ２－ｂｃ２ａ＋ｄ＝０时ꎬｆ(ｘ)的图象有对称轴ꎬ对称轴是直线ｘ＝－ｂ４ａ.若ｃ－ｂ２４ａ＝０ꎬ则当ｄ＝０时ꎬｆ(ｘ)＝ａ(ｘ２＋ｂ２ａｘ)２＋ｅꎬｆ(ｘ)的图象关于直线ｘ＝－ｂ４ａ对称.此时ｂ３８ａ２－ｂｃ２ａ＋ｄ＝０.综上可得ꎬ当ｂ３８ａ２－ｂｃ２ａ＋ｄ＝０时ꎬｆ(ｘ)的图象有对称轴ꎬ对称轴是直线ｘ＝－ｂ４ａ.解法２㊀若ｆ(ｘ)的图象关于直线ｘ＝ｍ对称ꎬ由结论１得ｆᶄ(ｘ)的图象关于点(ｍꎬ０)对称.ｆᶄ(ｘ)＝４ａｘ３＋３ｂｘ２＋２ｃｘ＋ｄꎬ由例４得ｆᶄ(ｘ)的图象关于点(－ｂ４ａꎬｆᶄ(－ｂ４ａ))对称.所以ｍ＝－ｂ４ａꎬｆᶄ(－ｂ４ａ)＝０.当ｆᶄ(－ｂ４ａ)＝０时ꎬ由例４得ｆᶄ(ｘ)的图象关于点(－ｂ４ａꎬ０)对称.由结论４得ｆ(ｘ)的图象关于直线ｘ＝－ｂ４ａ对称.所以当ｆᶄ(－ｂ４ａ)＝０ꎬ即ｂ３８ａ２－ｂｃ２ａ＋ｄ＝０时ꎬｆ(ｘ)的图象有对称轴ꎬ对称轴是直线ｘ＝－ｂ４ａ.注㊀若ｆ(ｘ)的图象关于直线ｘ＝ｍ对称ꎬ由结论１和结论２得ｆᶄ(ｘ)的图象关于点(ｍꎬ０)对称ꎬｆᵡ(ｘ)的图象关于直线ｘ＝ｍ对称ꎬｆ‴(ｘ)的图象关于点(ｍꎬ０)对称ꎬ所以ｆᶄ(ｍ)＝０ꎬｆ‴(ｍ)＝０.由ｆ‴(ｘ)＝２４ａｘ＋６ｂꎬ得ｍ＝－ｂ４ａ.由ｆᶄ(－ｂ４ａ)＝０ꎬ得ｂ３８ａ２－ｂｃ２ａ＋ｄ＝０.于是当ｂ３８ａ２－ｂｃ２ａ＋ｄ＝０时ꎬｆ(ｘ)的图象有对称轴ꎬ对称轴是直线ｘ＝－ｂ４ａ.所以四次函数的图象不一定有对称轴ꎬ只有当四次函数的系数满足一定条件时ꎬ四次函数的图象才有对称轴.结论３和结论４表明ꎬ若ｆᶄ(ｘ)的图象有对称轴ꎬ则ｆ(ｘ)的图象有对称中心ꎻ若ｆᶄ(ｘ)的图象的对称中心在ｘ轴上且ｆ(ｘ)满足一定条件ꎬ则ｆ(ｘ)的图象有对称轴.结论１㊁结论２㊁结论３和结论４揭示了函数与导函数的图象的对称性的相互关系.本文在这些结论的基础上继续探究ꎬ得到了以下推论.８设函数ｆ(ｘ)的定义域为Ｄꎬｆ(ｘ)在Ｄ上ｎ阶可导ꎬｆ(ｎ)(ｘ)是ｆ(ｘ)的ｎ阶导函数ꎬｎɪＮ∗.推论１㊀若ｆ(ｘ)的图象关于直线ｘ＝ａ对称ꎬ则ｆ(２ｎ－１)(ｘ)的图象关于点(ａꎬ０)对称ꎬｆ(２ｎ)(ｘ)的图象关于直线ｘ＝ａ对称ꎬｎɪＮ∗.证明㊀㊀由结论１得ｆᶄ(ｘ)的图象关于点(ａꎬ０)对称ꎬ于是由结论２得ｆᵡ(ｘ)的图象关于直线ｘ＝ａ对称ꎬ同理可得ｆ‴(ｘ)的图象关于点(ａꎬ０)对称ꎬｆ(４)(ｘ)的图象关于直线ｘ＝ａ对称ꎬ .由数学归纳法知ｆ(２ｎ－１)(ｘ)的图象关于点(ａꎬ０)对称ꎬｆ(２ｎ)(ｘ)的图象关于直线ｘ＝ａ对称ꎬｎɪＮ∗.推论２㊀若ｆ(ｘ)的图象关于点(ａꎬｂ)对称ꎬ则ｆ(２ｎ－１)(ｘ)的图象关于直线ｘ＝ａ对称ꎬｆ(２ｎ)(ｘ)的图象关于点(ａꎬ０)对称ꎬｎɪＮ∗.例５㊀已知ｎɪＮ∗ꎬｎȡ２ꎬ讨论ｎ次多项式函数的图象的对称性.解析㊀若ｎ＝２ꎬ设ｆ(ｘ)＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃｘ(ａʂ０)ꎬ则ｆ(ｘ)的图象没有对称中心ꎬ有对称轴ꎬ对称轴是直线ｘ＝－ｂ２ａ.若ｎ＝３ꎬ设ｆ(ｘ)＝ａｘ３＋ｂｘ２＋ｃｘ＋ｄ(ａʂ０)ꎬ则ｆᶄ(ｘ)＝３ａｘ２＋２ｂｘ＋ｃꎬｆᵡ(ｘ)＝６ａｘ＋２ｂ.由例３得ｆ(ｘ)的图象的对称中心是点(－ｂ３ａꎬｆ(－ｂ３ａ)).假设ｆ(ｘ)的图象关于直线ｘ＝ｍ对称ꎬ由推论１得ｆᶄ(ｘ)的图象关于点(ｍꎬ０)对称ꎬｆᵡ(ｘ)的图象关于直线ｘ＝ｍ对称ꎬ矛盾.所以ｆ(ｘ)的图象没有对称轴ꎬ有对称中心ꎬ对称中心是点(－ｂ３ａꎬｆ(－ｂ３ａ)).若ｎ＝４ꎬ设ｆ(ｘ)＝ａｘ４＋ｂｘ３＋ｃｘ２＋ｄｘ＋ｅ(ａʂ０)ꎬ则ｆᶄ(ｘ)＝４ａｘ３＋３ｂｘ２＋２ｃｘ＋ｄꎬｆᵡ(ｘ)＝１２ａｘ２＋６ｂｘ＋２ｃꎬｆ‴(ｘ)＝２４ａｘ＋６ｂ.由例４得当ｂ３８ａ２－ｂｃ２ａ＋ｄ＝０时ꎬｆ(ｘ)的图象有对称轴ꎬ对称轴是直线ｘ＝－ｂ４ａ.假设ｆ(ｘ)的图象关于点(ｍꎬｆ(ｍ))对称ꎬ由推论２得ｆᶄ(ｘ)的图象关于直线ｘ＝ｍ对称ꎬｆᵡ(ｘ)的图象关于点(ｍꎬ０)对称ꎬｆ‴(ｘ)的图象关于直线ｘ＝ｍ对称ꎬ矛盾.所以ｆ(ｘ)的图象没有对称中心.当ｂ３８ａ２－ｂｃ２ａ＋ｄ＝０时ꎬｆ(ｘ)的图象有对称轴ꎬ对称轴是直线ｘ＝－ｂ４ａ.若ｎȡ５ꎬ且ｎ是奇数ꎬ设ｆ(ｘ)＝ａｎｘｎ＋ａｎ－１ｘｎ－１＋ ＋ａ１ｘ＋ａ０(ａｎʂ０).(１)假设ｆ(ｘ)的图象关于直线ｘ＝ａ对称ꎬ由推论１得ｆ(ｎ－１)(ｘ)的图象关于直线ｘ＝ａ对称.由ｆ(ｎ－１)(ｘ)＝ｎ!ａｎｘ＋(ｎ－１)!ａｎ－１得ｆ(ｎ－１)(ｘ)的图象不关于直线ｘ＝ａ对称ꎬ矛盾ꎬ所以ｆ(ｘ)的图象没有对称轴.(２)假设ｆ(ｘ)的图象关于点(ａꎬｆ(ａ))对称ꎬ由推论２得ｆ(２ｋ－１)(ｘ)的图象关于直线ｘ＝ａ对称ꎬｆ(２ｋ)(ｘ)的图象关于点(ａꎬ０)对称ꎬｋɪＮ∗ꎬ所以ｆ(２ｋ)(ａ)＝０ꎬｋɪＮ∗.由ｆ(ｎ－１)(ｘ)＝ｎ!ａｎｘ＋(ｎ－１)!ａｎ－１和ｆ(ｎ－１)(ａ)＝０得ａ＝－ａｎ－１ｎａｎꎬ且ｆ(ｎ－１)(ｘ)的图象关于点(－ａｎ－１ｎａｎꎬ０)对称.由结论３和结论４得ꎬ当ｆᵡ(－ａｎ－１ｎａｎ)＝ｆ(４)(－ａｎ－１ｎａｎ)＝ ＝ｆ(ｎ－３)(－ａｎ－１ｎａｎ)＝０时ꎬｆ(ｘ)的图象有对称中心ꎬ对称中心是点(－ａｎ－１ｎａｎꎬｆ(－ａｎ－１ｎａｎ)).若ｎȡ５ꎬ且ｎ是偶数ꎬ设ｆ(ｘ)＝ａｎｘｎ＋ａｎ－１ｘｎ－１＋ ＋ａ１ｘ＋ａ０(ａｎʂ０).(１)假设ｆ(ｘ)的图象关于直线ｘ＝ａ对称ꎬ由推论１得ｆ(２ｋ－１)(ｘ)的图象关于点(ａꎬ０)对称ꎬｆ(２ｋ)(ｘ)的图象关于直线ｘ＝ａ对称ꎬｋɪＮ∗.所以ｆ(２ｋ－１)(ａ)＝０ꎬｋɪＮ∗.由ｆ(ｎ－１)(ｘ)＝ｎ!ａｎｘ＋(ｎ－１)!ａｎ－１和ｆ(ｎ－１)(ａ)９＝０ꎬ得ａ＝－ａｎ－１ｎａｎꎬ且ｆ(ｎ－１)(ｘ)的图象关于点(－ａｎ－１ｎａｎꎬ０)对称.由结论３和结论４得ꎬ当ｆᶄ(－ａｎ－１ｎａｎ)＝ｆ‴(－ａｎ－１ｎａｎ)＝ ＝ｆ(ｎ－３)(－ａｎ－１ｎａｎ)＝０时ꎬｆ(ｘ)的图象有对称轴ꎬ对称轴是直线ｘ＝－ａｎ－１ｎａｎ.(２)假设ｆ(ｘ)的图象关于点(ａꎬｆ(ａ))对称ꎬ由推论２得ｆ(ｎ－１)(ｘ)的图象关于直线ｘ＝ａ对称.由ｆ(ｎ－１)(ｘ)＝ｎ!ａｎｘ＋(ｎ－１)!ａｎ－１得ｆ(ｎ－１)(ｘ)的图象不关于直线ｘ＝ａ对称ꎬ矛盾ꎬ所以ｆ(ｘ)的图象没有对称中心.综上可得ꎬ对于多项式函数ｆ(ｘ)＝ａｎｘｎ＋ａｎ－１ｘｎ－１＋ ＋ａ１ｘ＋ａ０(ａｎʂ０ꎬｎɪＮ∗ꎬｎȡ２)ꎬ有以下结论:(１)二次函数的图象有对称轴ꎬ没有对称中心ꎻ三次函数的图象有对称中心ꎬ没有对称轴.(２)当ｎȡ４ꎬ且ｎ是偶数时ꎬｆ(ｘ)的图象没有对称中心ꎬ当且仅当ｆᶄ(－ａｎ－１ｎａｎ)＝ｆ‴(－ａｎ－１ｎａｎ)＝ ＝ｆ(ｎ－３)(－ａｎ－１ｎａｎ)＝０时ꎬｆ(ｘ)的图象有对称轴ꎬ对称轴是直线ｘ＝－ａｎ－１ｎａｎ.(３)当ｎȡ４ꎬ且ｎ是奇数时ꎬｆ(ｘ)的图象没有对称轴ꎬ当且仅当ｆᵡ(－ａｎ－１ｎａｎ)＝ｆ(４)(－ａｎ－１ｎａｎ)＝ ＝ｆ(ｎ－３)(－ａｎ－１ｎａｎ)＝０时ꎬｆ(ｘ)的图象有对称中心ꎬ对称中心是点(－ａｎ－１ｎａｎꎬｆ(－ａｎ－１ｎａｎ)).注㊀若多项式函数ｆ(ｘ)＝ａｎｘｎ＋ａｎ－１ｘｎ－１＋＋ａ１ｘ＋ａ０(ａｎʂ０ꎬｎɪＮ∗ꎬｎȡ２)的图象关于直线ｘ＝ａ或点(ａꎬｆ(ａ))对称ꎬ则ａ＝－ａｎ－１ｎａｎ.在结论４中ꎬｆᶄ(ｘ)的图象的对称中心在ｘ轴上ꎬ若ｆᶄ(ｘ)的图象的对称中心不在ｘ轴上ꎬ有没有类似的结论?本文通过深入探究ꎬ得到了以下结论.结论５㊀若ｆᶄ(ｘ)的图象关于点(ａꎬｂ)对称ꎬ且∃ｘ０ɪＤꎬｆ(ｘ０)－ｂｘ０＝ｆ(２ａ－ｘ０)－ｂ(２ａ－ｘ０)ꎬ则ｆ(ｘ)－ｂｘ的图象关于直线ｘ＝ａ对称.证明㊀由已知可得∀ｘɪＤꎬｆᶄ(ｘ)＋ｆᶄ(２ａ－ｘ)＝２ｂ.令ｇ(ｘ)＝ｆ(ｘ)－ｆ(２ａ－ｘ)－２ｂｘꎬ则ｇᶄ(ｘ)＝ｆᶄ(ｘ)＋ｆᶄ(２ａ－ｘ)－２ｂ.于是∀ｘɪＤꎬｇᶄ(ｘ)＝０ꎬ所以∃ｃɪＲꎬ∀ｘɪＤꎬｇ(ｘ)＝ｃ.即∀ｘɪＤꎬｆ(ｘ)－ｆ(２ａ－ｘ)－２ｂｘ＝ｃ.由ｆ(ｘ０)－ｂｘ０＝ｆ(２ａ－ｘ０)－ｂ(２ａ－ｘ０)ꎬ得ｆ(ｘ０)－ｆ(２ａ－ｘ０)－２ｂｘ０＝－２ａｂ.所以ｃ＝－２ａｂ.故∀ｘɪＤꎬｆ(ｘ)－ｂｘ＝ｆ(２ａ－ｘ)－ｂ(２ａ－ｘ).所以ｆ(ｘ)－ｂｘ的图象关于直线ｘ＝ａ对称.注㊀(１)若ｆᶄ(ｘ)的图象关于点(ａꎬｂ)对称ꎬ且ｆ(ｘ)在ｘ＝ａ处连续ꎬ则ｆ(ｘ)－ｂｘ的图象关于直线ｘ＝ａ对称.(２)若ｆᶄ(ｘ)的图象关于点(ａꎬｂ)对称ꎬｆ(ｘ)在ｘ＝ａ处不连续ꎬ且ｌｉｍｘңａ[ｆ(ｘ)－ｆ(２ａ－ｘ)]＝０ꎬ则ｆ(ｘ)－ｂｘ的图象关于直线ｘ＝ａ对称.(３)若ｆᶄ(ｘ)的图象关于点(０ꎬｂ)对称ꎬ且∃ｘ０ɪＤꎬｆ(ｘ０)－ｂｘ０＝ｆ(－ｘ０)＋ｂｘ０ꎬ则ｆ(ｘ)－ｂｘ是偶函数.参考文献:[１]朱少卿.函数图象的对称性与函数周期性的关系探究[Ｊ].中学生数学ꎬ２０２１(１２):３２－３４.[２]吴斌.函数图像对称性问题的研究与拓展[Ｊ].高中数学教与学ꎬ２０２１(０９):４８－４９.[３]杨志荣.浅谈函数教学中的对称性问题[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０１６(２２):２７.[责任编辑:李㊀璟]０１。

关于函数对称性的一些探讨函数思想在高中数学体系中位置毋庸置疑，历年来高考也经常从各个方面考函数的思想，其中函数的对称性作为函数的重要性质一直是考察的重点。

本文将首先介绍一下什么是函数的对称性，然后对不同函数对称性进行一些探讨，最后通过例子验证函数对称性的应用。

标签：函数对称性轴对称中心对称前言函数思想作为我们高中数学学习的主线，广泛应用于我们的解题过程中，对称关系作为函数的一个主要性质，往往可以帮助我们使问题更简捷的获得解决。

有调查表明：有80%以上的学生对数学中的对称性是有所了解的，但学生对于数学中对称性的认识还大都是一种自发的状态，处于潜意识的状态，认识比较简单，知识面很窄[1]。

现今高考命题日益新颖，变形较多，这种浅显的认知现状使我们无法快速准确的利用对称性这一性质进行问题的解决。

本文就这一现状对函数对称性的一些性质进行了探讨。

一、什么是函数的对称性所谓函数的对称性一般体现在函数图像上，我们常见的函数对称性主要有两种：1.函数轴对称。

如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。

2.函数中心对称。

如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。

二、不同函数对称性汇总高中阶段我们接触的函数类型众多，不同函数因为构成的不同所具有的对称性质也不尽相同。

下面就对我们高中学习过程中涉及到的几类函数的对称性进行一下汇总：1.常数函数：既是轴对称又是中心对称函数，与该直线垂直的直线均是它的对称轴，直线上的所有点均为它的对称中心。

2.一次函数：既是轴对称又是中心对称函数，与该直线垂直的直线均是它的对称轴，直线上的所有点均为它的对称中心。

3.二次函数：是轴对称函数，而不是中心对称函数，其对称轴方程式为x=-b/（2a）。

4.三次函数：三次函数中的奇函数是中心对称函数，对称中心是原点，其他的三次函数是否具备对称性需因题而异。

陕西省神木中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 已知函数()x F x e =满足()()()F x g x h x =+，且()g x ，()h x 分别是R 上的偶函数和奇函数， 若(0,2]x ∀∈使得不等式(2)()0g x ah x -≥恒成立，则实数的取值范围是（ ）A ．(,22)-∞B ．(,22]-∞C ．(0,22]D ．(22,)+∞ 2． 命题“∀a ∈R ，函数y=π”是增函数的否定是（ ）A ．“∀a ∈R ，函数y=π”是减函数B ．“∀a ∈R ，函数y=π”不是增函数C ．“∃a ∈R ，函数y=π”不是增函数D ．“∃a ∈R ，函数y=π”是减函数3． 若直线l 的方向向量为=（1，0，2），平面α的法向量为=（﹣2，0，﹣4），则（ ）A ．l ∥αB ．l ⊥αC ．l ⊂αD ．l 与α相交但不垂直4． 下列正方体或四面体中，P 、Q 、R 、S 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图形是 （ ）5． 函数()()f x x R Î是周期为4的奇函数，且在02[,]上的解析式为(1),01()sin ,12x x x f x x x ì-＃ï=íp <?ïî，则1741()()46f f +=（ ） A ．716 B ．916 C ．1116 D ．1316【命题意图】本题考查函数的奇偶性和周期性、分段函数等基础知识，意在考查转化和化归思想和基本运算能力．6． 已知是虚数单位，若复数22aiZ i+=+在复平面内对应的点在第四象限，则实数的值可以是（ ） A ．-2 B ．1 C ．2 D ．3 7． 已知向量=（1，2），=（x ，﹣4），若∥，则x=（ ）A ． 4B ． ﹣4C ． 2D ． ﹣28． 已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为21时，则输入的值为（ ）A ．2B ．1-C ．1-或2D ．1-或109． 已知实数[1,1]x ∈-，[0,2]y ∈，则点(,)P x y 落在区域20210220x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪-+⎩……… 内的概率为（ ）A.34B.38C.14D.18【命题意图】本题考查线性规划、几何概型等基础知识，意在考查数形结合思想及基本运算能力. 10．在三棱柱111ABC A B C -中，已知1AA ⊥平面1=22ABC AA BC BAC π=∠=，，,此三棱柱各个顶点都在一个球面上，则球的体积为（ ）A ．323π B ．16π C.253π D ．312π11．设函数()''y f x =是()'y f x =的导数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数()()320f x ax bx cx d a =+++≠都有对称中心()()00,x f x ，其中0x 满足()0''0f x =.已知函数()3211533212f x x x x =-+-，则1232016...2017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A ．2013 B ．2014 C ．2015 D ．20161111] 12．若当R x ∈时，函数||)(x a x f =（0>a 且1≠a ）始终满足1)(≥x f ，则函数3||log x x y a =的图象大致是（ ）【命题意图】本题考查了利用函数的基本性质来判断图象，对识图能力及逻辑推理能力有较高要求，难度中等．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．长方体1111ABCD A BC D -中，对角线1AC 与棱CB 、CD 、1CC 所成角分别为α、β、， 则222sin sin sin αβγ++= ．14．某种产品的加工需要 A ，B ，C ，D ，E 五道工艺，其中 A 必须在D 的前面完成（不一定相邻），其它工艺的顺序可以改变，但不能同时进行，为了节省加工时间，B 与C 必须相邻，那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有 种．（用数字作答）15．平面向量，满足|2﹣|=1，|﹣2|=1，则的取值范围 ．16．在ABC ∆中，已知sin :sin :sin 3:5:7A B C =，则此三角形的最大内角的度数等 于__________.三、解答题（本大共6小题，共70分。

2022届成都市郫都区高三第三次阶段考试数学（文）试题一、单选题1．设集合{}1,2,3,4,5U =，{}1,3,4A =，则UA （ ）A ．{}1,3,4B ．{}1,2,3,4,5C ．{}2,5D ．{}1,2,5【答案】C【分析】根据补集的定义可求得结果.【详解】因为集合{}1,2,3,4,5U =，{}1,3,4A =，则2,5UA .故选：C.2．若复数z 满足()i i 2z -=，则z 的虚部为（ ） A ．0 B ．1C ．-1D ．i【答案】C【分析】根据除法运算求得复数z ，最后确定复数z 的虚部. 【详解】解：因为()i i 2z -=，所以22i +i +i 2i+i i i i iz ===-=-⋅， 所以z 的虚部为1-， 故选：C.3．已知命题:p 垂直于同一平面的两直线平行；命题:q 平行于同一平面的两直线平行.则下列命题中正确的是（ ） A ．()()p q ⌝∧⌝ B ．p q ∧C ．()p q ⌝∨D ．p q ∨【答案】D【分析】判断命题p 、q 的真假，利用复合命题的真假可得出合适的选项. 【详解】垂直于同一平面的两直线平行，命题p 为真命题， 平行于同一平面的两直线平行、相交或异面，命题q 为假命题， 所以，()()p q ⌝∧⌝、p q ∧、()p q ⌝∨均为假命题，p q ∨为真命题. 故选：D.4．若n S 为数列{}n a 的前n 项和，且22n n S a =-，则n a 等于（ ） A ．2n B ．2nC ．12n -D ．12n +【答案】B【分析】利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得n a .【详解】1n =时，11122,2a a a =-=.2n ≥时，1122n n S a --=-，11122,2n n n n n n n a S S a a a a ---=-=-=，所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列， 所以2n n a =. 故选：B5．郫都是中国农家乐旅游发源地、最美中国生态旅游目的地，是四川省乡村旅游的先行者，快工作慢生活，构成了安逸郫都最靓丽的风景线.郫都大部分农民都有自己的苗圃，也不断改进种植花卉苗木的技术．改进后，某种苗木在单位面积上的出苗数量增加了50%，且在同一生长周期内的高度（cm ）变化的饼图如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．80cm 以上优质苗木所占比例增加10%B ．改进后，80cm 以上优质苗木产量实现了增加80%的目标C ．70cm-80cm 的苗木产量没有变化D ．70cm 以下次品苗木产量减少了13【答案】B【分析】设改进前某种苗木在单位面积上的出苗数量为a ，改进后它的出苗数量为()10.5a +，则单位面积80cm 以上的增加量为()10.50.60.50.4a a a +⨯-=，70cm-80cm的苗木产量增加0.15a ，70cm 以下次品苗木产量减少了()0.20.110.50.2a aa-+，即可判断结果．【详解】设改进前某种苗木在单位面积上的出苗数量为a ，改进后它的出苗数量为()10.5a +，则80cm 以上优质苗木所占比例增加了()10.50.60.50.4+⨯-=，即40%故A 错； 80cm 以上优质苗木产量实现了增加了()10.50.60.50.80.5a a a+⨯-=，即80%的目标，故B正确；单位面积上70cm-80cm 的苗木产量增加了()10.50.30.30.15a a a +⨯-=，故C 错； 70cm 以下次品苗木产量减少了()0.20.110.510.24a a a -+=，故D 错故选：B ．6．若实数x ，y 满足4394x y x y +≥⎧⎨-≤⎩.则3z x y =-的最大值是（ ）A ．9B ．3C ．4D ．6【答案】D【分析】画出实数x ，y 所表示的平面区域，再根据3z x y =-的意义即可求最大值.【详解】由4394x y x y +=⎧⎨-=⎩得31x y =⎧⎨=-⎩，记为(3,1)A -.画出实数x ，y 所表示的平面区域如下：将3z x y =-，变为133z y x =-，作出13y x =的图象，将13y x =平移过点(3,1)A -时有最大值，最大值为max 33(1)6z =--=. 故选：D7．已知直线y x a =+与曲线ln y x =相切，则a 的值为（ ） A ．2 B ．1 C ．-1 D ．0【答案】C【分析】由切线斜率为1求得切点坐标，代入切线方程得a 值． 【详解】解：由11y x'==，解得1x =，此时ln10y ==， 又由01a =+得1a =-． 故选：C8．已知1F ，2F 是椭圆C ：22149x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ） A ．13 B ．12 C ．9 D ．6【答案】C【分析】根据椭圆方程求得3a =，再由椭圆的定义可得126MF MF +=，利用基本不等式即可求解．【详解】由椭圆22149x y +=可得29a =，所以3a =，因为点M 在C 上，所以1226MF MF a +==， 所以2212126922MF MF MF MF ⎛+⎫⎛⎫⋅≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当123MF MF ==时等号成立，12MF MF ⋅最大值为9， 故选：C ． 9．已知ln 22a =，ln33b =，ln 55c =，则（ ） A ．a c b << B ．c b a << C ．b a c << D ．c a b <<【答案】D【分析】利用作差法，再结合对数函数ln y x =的单调性分别判断,a b 和,a c 的大小关系，即可判断出,,a b c 的大小关系． 【详解】ln 3ln 22ln 33ln 2ln 9ln803266---=-==>b a ∵，b a ∴>； 又ln 5ln 22ln 55ln 2ln 25ln 320521010---=-==<c a ∵，a c ∴>，故b a c >>. 故选：D10．甲、乙两人约定在下午4：00~5：00间在某地相见，且他们在4：00~5：00之间到达的时刻是等可能的，同时他们约好当其中一人先到后一定要等另一人20分钟，若另一人仍不到则可以离去，则这两人能相见的概率为（ ） A ．49B ．59C ．23D ．79【答案】B【分析】本题先建立直角坐标系，将所有事件及满足条件事件对应的区域画出来，根据面积之比得到概率.【详解】以4：00为时间起点，建立直角坐标系，设甲、乙分别在第x 分钟和第y 分钟到达，则样本空间为(){},060,060x y x y ≤≤≤≤，即图中正方形；能相见的条件是事件满足20x y -≤，即图中阴影部分对应区域，由几何概型知所求概率为22260405609-=.故选：B.11．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x '+>，且有()33f =，则()33e xf x ->的解集为（ ） A ．()3,+∞ B ．()1,+∞ C ．(),3-∞ D ．(),1-∞【答案】A【分析】构造()()e xF x f x =⋅，应用导数及已知条件判断()F x 的单调性，而题设不等式等价于()()3F x F >即可得解.【详解】设()()e xF x f x =⋅，则()()()()()e e e 0x x x F x f x f x f x f x '''=⋅+⋅=+>⎡⎤⎣⎦，∴()F x 在R 上单调递增.又()33f =，则()()3333e 3e F f =⋅=.∵()33e x f x ->等价于()3e 3e xf x ⋅>，即()()3F x F >，∴3x >，即所求不等式的解集为()3,+∞. 故选：A. 12．已知(sin,sin )2a x x ωω=，1(sin,)22b x ω=，其中0>ω，若函数1()2f x a b =⋅-在区间(,2)ππ内没有零点，则ω的取值范围是 A ．1(0,]8B ．5(0,]8C ．15(0,][,1]88⋃D ．115(0,][,]848⋃【答案】D 【详解】(sin,sin )2a x x ωω=，1(sin,)22b x ω=，其中0>ω，21111112sin sin cos sin ),2222222(241)f x a b x x x x x ωπωωωω=⋅-+-=-+--=2π2π,01T ωω=≥<≤,当(,2)x ππ∈时，(,2),444x πππωωπωπ-∈--故()ππ4π2π1π4k k ωπω⎧-≥⎪⎪⎨⎪-≤+⎪⎩()k Z ∈，解得15428k k ω+≤≤+()k Z ∈，01ω<≤， k=0时,解得1548ω≤≤，当k=-1时解得108ω<≤. 故选：D.【点睛】本小题主要考查数量积的坐标运算,考查利用辅助角公式进行三角函数式子的化简合并,考查函数零点个数的问题,考查运算求解能力.首先利用两个向量数量积的坐标运算,将题目所给向量的数量积表达式求解出来,用辅助角公式合并后结合函数的周期和零点列出不等式,求解得ω的取值范围. 二、填空题13．若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且952S a =，则使得0n S =时n 的值为______. 【答案】9【分析】由等差数列前n 项和公式结合等差中项可得5a ，然后可知. 【详解】199559()922a a S a a +===，50a ∴=，故9502S a ==，所以9n =. 故答案为：914．若双曲线C ：()2210y x m m-=>的一条渐近线为30x +=，则m ______.【答案】3【分析】先求得双曲线的渐近线方程，再根据其一条渐近线为30x y =求解. 【详解】因为()2210y x m m-=>，所以其渐近线方程为y mx =±， 又因为其一条渐近线为30x y =， 所以3m =， 故答案为：315．在菱形ABCD 中，若2AC =，则AB AC ⋅等于_______. 【答案】2【分析】利用平面向量数量积的几何意义求解.【详解】如图所示：由图象知：cos AB AC AB AC BAO ⋅=⋅⋅∠， 因为02BAO π<∠<，所以cos AB BAO AO ⋅∠=， 所以2AB AC AO AC ⋅=⋅=， 故答案为：216．对于三次函数()()320f x ax bx a cx d =++≠+给出定义：设fx 是函数()y f x =的导数，()f x ''是函数fx 的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数()3211533212f x x x x =-+-，请你根据上面探究结果，计算12320212022202220222022f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭______. 【答案】2021【分析】由题设对()f x 求二阶导并确定零点，进而可得对称中心1(,1)2，利用()(1)2f x f x +-=求目标式的值即可.【详解】由题设，2()3f x x x '=-+，()21''=-f x x ， 令()0f x ''=，则012x =，而1111115()3123824212f =⨯-⨯+⨯-=，所以1(,1)2是()f x 的对称中心，即()(1)2f x f x +-=，所以12021220201012...22022202220222102220102202022f f f f ff ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+==+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且10111120222f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则12320212022202220222022f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2101012021⨯+=. 故答案为：2021.三、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且2B A C =+ (1)若1a =，3b =sin C ； (2)若2b a c =+，试判断ABC 的形状. 【答案】(1)1 (2)等边三角形【分析】（1）先求出角B ，然后结合已知条件，利用正弦定理求出角A ，进而可得角C ，从而可得答案；（2）利用余弦定理，结合已知条件可得a c =，则有3A CB π===，从而即可判断ABC的形状.【详解】(1)解：在ABC 中，由A B C π++=，2B A C =+，得3B π=，因为1a =，3b =所以由正弦定理，可得13sin 3A=1sin 2A =， 又0AB <<，所以6A π=，所以362C ππππ=--=，所以sin 1C =；(2)解：因为2b a c =+，所以22242b a ac c =++，又由余弦定理有222b a c ac =+-. 所以22224442a c ac a ac c +-=++，即()230a c -=， 所以a c =，所以A C =，又23A C π+=， 所以3A CB π===，所以ABC 是等边三角形.18．2022年将在成都举行“第31届世界大学生夏季运动会”，为迎接大运会，郫都区举行了“爱成都迎大运”系列活动.同时为了了解郫都区人民对体育运动的热情和对运动相关知识的掌握情况，郫都区总工会在各社区开展了有奖知识竞赛，参赛人员所得分数的分组区间为(]50,60、(]60,70、(]70,80、(]80,90、(]90,100，由此得到总体的频率统计表，再利用分层抽样的方式随机抽取20名居民进行进一步调研.分数区间 (]50,60 (]60,70 (]70,80 (]80,90 (]90,100频率 0.12a0.4 0.2 a(1)若从得分在80分以上的样本中随机选取2人，则选出的两人中至少有一人在90分以上的概率；(2)郫都区总工会计划对此次参加活动的居民全部进行奖励，按照分数从高到低设置一等奖，二等奖，三等奖，参与奖，其得奖率分别为15%，20%，25%，40%，试根据上表估计得到二等奖的分数区间.【答案】(1)35(2)[)78.75,87.5，【分析】（1）先根据频率的性质求得0.1a =，再分别计算出得分位于(]80,90与得分位于(]90,100的人数，最后用列举法计算即可；（2）设得一等奖的最低分数为x ，二等奖的最低分数为y ，根据得奖率列式求解即可. 【详解】(1)由题意得0.120.40.21a a ++++=，所以0.1a =. 得分位于(]80,90的共有200.2=4⨯人，分别为A ，B ，C ，D ， 得分位于(]90,100的共有200.1=2⨯人，分别为E ，F从这6人中选出2人共有{A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{B ，C }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{C ，D }，{C ，E }，{C ，F }，{D ，E }，{D ，F }，{E ，F }这15种情况，其中含有至少一人为90分以上的情况是{A ，E }，{A ，F }，{B ，E }，{B ，F }，{C ，E }，{C ，F }，{D ，E }，{D ，F }，{E ，F }共9种情况， 所以选出的两人中至少有一人在90分以上的概率93155P ==. (2)设得一等奖的最低分数为x ，二等奖的最低分数为y ； 则()0.20.19015%10x +-⨯=，解出87.5x = ()0.40.10.28035%10y ++-⨯=，解出78.75x = 所以二等奖的分数区间为[)78.75,87.5. （或：一等奖的最低分数为15%0.1901090 2.587.50.2--⨯=-=二等奖的最低分数为35%0.10.2801080 1.2578.750.4---⨯=-=，从而二等奖的分数区间为[)78.75,87.5）19．如图，在四棱锥A BCDE -中，BC ⊥平面ABE ，且DE BC ∥，336DE AB BC ===，4BE =，60ABE ∠=︒.(1)求证：AE ⊥平面ABC ；(2)若点F 满足AD AF λ=，且//AB 平面CEF ，求λ. 【答案】(1)证明见解析 (2)4【分析】（1）在ABE △中，由余弦定理求得AE 23=，再根据勾股定理证得AB AE ⊥，利用线面垂直的判定定理可得证；（2）连接BD 交CE 于点G ，连接FG ，根据//AB 平面CEF ，得到//AB FG ，由AF BGFD GD=求解.【详解】(1)证明：在ABE △中，2222cos AE AB BE AB BE ABE =+-⋅⋅∠，解得AE 23=. ∴222BE AB AE =+，即AB AE ⊥. ∵BC ⊥平面ABE ，∴BC AE ⊥，又AB ，BC ⊂平面ABC ，AB BC B ⋂=，∴AE ⊥平面ABC . (2)解：如图所示：连接BD 交CE 于点G ，连接FG .∵//AB 平面CEF ，平面ABD ⋂平面CEF FG =，∴//AB FG ，∴AF BGFD GD=. 在直角梯形BCDE 中，BCG DEG △△，∴13BG BC GD DE ==， 所以13AF BG FD GD ==，所以4AD AF =， ∴4λ=.20．已知函数()sin f x x x =.(1)求()f x 在区间π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；(2)设()()cos g x a x f x =-，若当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0g x ≤，求实数a 的取值范围.【答案】(1)最大值为π2，最小值为0(2)(],0-∞【分析】（1）由导函数得到函数单调性，进而求出函数在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最值；（2）分类讨论，参变分离求解实数a 的取值范围. 【详解】(1)()sin cos f x x x x '=+因为在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，sin 0x ≤，cos 0x x ≤，所以()0f x '≤，且只有()00f '=，所以()f x 在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减，最大值为ππ22f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，最小值为()00f =(2)当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()cos sin 0g x a x x x =-≤当π2x =时，πππππ222cos sin 022g a ⎛⎫=-=-≤ ⎪⎝⎭，此时a ∈R当π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，则sin cos x x a x ≤在π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭恒成立，所以a 小于等于sin cos x x x 的最小值，令()sin cos x x h x x =，()21sin 22cos x x h x x +'=在π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭恒大于等于0， 所以()h x 在上单调递增，所以()h x 的最小值为()00h =，即0a ≤. 综上所述：实数a 的取值范围是(],0-∞.21．设点()(),0C x y y ≥为平面直角坐标系xOy 中的一个动点（其中O 为坐标系原点），点C 到直线0y =的距离比到定点()0,1F 的距离小1，动点C 的轨迹方程为E . (1)求曲线E 的方程；(2)若过点F 的直线l 与曲线E 相交于A 、B 两点. ①若2AF FB =，求直线l 的方程；②分别过点A ，B 作曲线E 的切线且交于点D ，若以O 为圆心，OD 为半径的圆经过点()1,2M ，求直线l 的方程.【答案】(1)24x y =(2)2440x y -+=2440x y +-=；②10x y -+=或10x y +-= 【分析】（1）由题意可知1CF y -=，再转化为代数语言化简即可； （2）①设直线l 的方程为1y kx =+，与抛物线联立，再运用2AF FB =可求解. ②根据题意求出两切线方程，两方程联立得到交点坐标，再根据OD OM =建立方程可求解.【详解】(1)设点C 到直线0y =的距离为y ，由题意可知1CF y -=，因为0y ≥， ()2211x y y +-=， 化简得24x y =为所求方程.(2)①由题意可知，直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程为1y kx =+，联立241x y y kx ⎧=⎨=+⎩，得2440x kx --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，所以124x x k +=，124x x =，又因为2AF FB =，所以122x x -=，所以122x =22x =-122x =-22x 所以2k =2k =l 2440x y -+=2440x y +-=.②因为24x y =，所以211,42y x y x '==，过点A 的切线方程为()1112x y x x y =-+，即112xy x y =-①， 过点B 的切线方程为()2222x y x x y =-+，即222xy x y =-②， 联立①②得()()12122x x x y y -=-，所以()12121222y y x x x x x -+==-，124x xy =，所以点D 的坐标为1212,24x x x x +⎛⎫⎪⎝⎭，即()2,1D k -， ∵OD OM =，()()22215k +-∴1k =±所以直线l 的方程为10x y -+=或10x y +-=.22．在极坐标系中，O 为极点，已知点1,3A πρ⎛⎫⎪⎝⎭在直线:cos 2l ρθ=上，点2,6B πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭在曲线:4cos C ρθ=上. (1)求AOB 的面积；(2)求圆心在极轴上，且经过极点和点A 的圆的极坐标方程. 【答案】(1)3(2)8cos ρθ=【分析】（1）求出1ρ、2ρ的值，利用三角形的面积公式可求得结果；（2）在平面直角坐标系中，求出线段OA 的垂直平分线的方程，可求得所求圆的圆心坐标与半径，进一步可得出所求圆的标准方程，再化为极坐标方程即可. 【详解】(1)解：由已知可得11cos 243πρρ=⇒=，24cos236πρ==因此，OAB 的面积为121sin 2326AOB S πρρ==△(2)解：以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立极坐标系中，点4,3A π⎛⎫⎪⎝⎭，所以，在平面直角坐标系中，点(2,23A ，直线OA 的斜率为233OA k ==线段OA 的中点为(3M ，则线段OA 的中垂线方程为)331y x =-，即340x y -=，在直线340x +-=的方程中，令0y =，得圆心坐标()4,0，半径为4， 所以所求圆方程为()22416x y -+=，即228x y x +=， 所以，所求圆的极坐标方程为8cos ρθ=. 23．设函数()52f x x a x =-+--.（1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()1f x ≤恒成立，求a 的取值范围. 【答案】(1)[2,3]-；(2) ][(),62,-∞-⋃+∞.【详解】分析：（1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先化简不等式为|||2|4x a x ++-≥，再根据绝对值三角不等式得|||2|x a x ++-最小值，最后解不等式|2|4a +≥得a 的取值范围．详解：（1）当1a =时，()24,1,2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤． （2）()1f x ≤等价于24x a x ++-≥．而22x a x a ++-≥+，且当2x =时等号成立．故()1f x ≤等价于24a +≥． 由24a +≥可得6a ≤-或2a ≥，所以a 的取值范围是][(),62,-∞-⋃+∞．点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。