(完整word)高考专题函数对称性

函数的对称性与周期性（归纳总结）一、函数对称性：1.2.3.4.5.6.7.8.f（a+x）=f（a-x）==>f（x）关于x=a对称f（a+x）=f（b-x）==>f（x）关于x=（a+b）/2对称f（a+x）=-f（a-x）==>f（x）关于点（a，0）对称f（a+x）=-f（a-x）+2b==>f（x）关于点（a，b）对称f（a+x）=-f（b-x）+c==>f（x）关于点[（a+b）/2，c/2]对称y=f（x）与y=f（-x）关于x=0对称y=f（x）与y=-f（x）关于y=0对称y=f（x）与y=-f（-x）关于点（0,0）对称例1：证明函数y=f（a+x）与y=f（b-x）关于x=（b-a）/2对称。

【解析】求两个不同函数的对称轴，用设点和对称原理作解。

证明：假设任意一点P（m，n）在函数y=f（a+x）上，令关于x=t的对称点Q（2tm，n），那么n=f（a+m）=f[b（2tm）] ∴b2t=a，==>t=（b-a）/2，即证得对称轴为x=（b-a）/2.例2：证明函数y=f（a-x）与y=f（xb）关于x=（a+b）/2对称。

证明：假设任意一点P（m，n）在函数y=f（a-x）上，令关于x=t的对称点Q（2tm，n），那么n=f（a-m）=f[（2tm）b] ∴2t-b=a，==>t=（a+b）/2，即证得对称轴为x=（a+b）/2.二、函数的周期性令a,b均不为零，若：1、函数y=f（x）存在f（x）=f（x+a）==>函数最小正周期T=|a|2、函数y=f（x）存在f（a+x）=f（b+x）==>函数最小正周期T=|b-a|3、函数y=f（x）存在f（x）=-f（x+a）==>函数最小正周期T=|2a|4、函数y=f（x）存在f（x+a）=1/f（x）==>函数最小正周期T=|2a|5、函数y=f（x）存在f（x+a）=[f（x）+1]/[1f（x）]==>函数最小正周期T=|4a|这里只对第2~5点进行解析。

第14讲 对称性知识与方法1.奇、偶函数的对称性（1）奇函数：图象关于原点对称； （2）偶函数：图象关于y 轴对称. 2.函数图象自身的对称性（1）对称轴：()()()f a x f b x f x +−−⇔的对称轴为2a b x +=；（2）对称中心：()()()=f a x f b x c f x ++−⇔的对称中心为,22a b c +⎛⎫⎪⎝⎭. 3.两个函数图象之间的对称关系（1）()()2x a y f x y f a x ==⎯⎯⎯⎯⎯⎯→=−关于直线对称； （2）()()2a y f x y a f x ==⎯⎯⎯⎯⎯⎯→=−关于直线y 对称； （3）()()(),22a b y f x y b f a x =⎯⎯⎯⎯⎯⎯→=−−关于点对称. 题组一1.（★★）()412x x f x −=的图象关于（ ）A.原点对称B.直线y x =对称C.直线y x =−对称D.y 轴对称【解析】()()4141=2222222x x x x x xx x x f x f x −−−=−=−⇒−=−()()=f x f x −⇒为奇函数，其图像关于原点对称.【答案】A 2.（★★）函数()412x x f x +=的图象（ ）A.关于原点对称B.关于直线y x =对称C.关于x 轴对称D.关于y 轴对称【解析】()()()()2222xxxxf x f x f x f x −−=+⇒−=+=⇒是偶函数，图像关于y 轴对称.【答案】D题组二3.（★★★）函数()y f x =的图象与函数()()2log 0g x x x =>的图象关于原点对称，则()f x 的表达式为（ ） A.()()210log f x x x=> B.()()()210log f x x x =<−C.()()2log 0f x x x =−>D.()()()2log 0f x x x =−−<【解析】设(),x y 在函数()f x 的图象上，则(),x y 关于原点的对称点(),x y −−在函数()g x 的图像上，所以()2log y x −=−，故()2log y x =−−，即()()2log f x x =−−()0x <.【答案】D【提炼】①设点（求谁设谁）；②转移点到已知解析式；③代入点.本题也可直接套用知识与方法中的第3条. 4.（★★★）如果函数()y f x =的图象与函数32y x =−的图象关于坐标原点对称，则()y f x =的表达式为（ ） A.23y x =− B.23y x =+ C.23y x =−+D.23y x =−−【解析】设(),x y 在函数()f x 的图象上，(),x y 关于原点的对称点(),x y −−在函数()=32g x x −的图像上，所以()=32y x −−−，整理得23y x =−−，故()23f x x =−−.解法2：套用知识与方法第3点，与32y x =−的图象关于原点对称的函数为()32y x =−−−⎡⎤⎣⎦，即23y x =−−. 【答案】D 5.（★★★）与曲线11y x =−关于原点对称的曲线为（ ）A.11y x=+ B.11y x =−+ C.11y x =− D.11y x=−−【解析】设点(),x y 在函数()f x 的图象上，点(),x y 关于原点的对称点(),x y −−在函数()1=1g x x −的图像上，所以11y x −=−−，整理得11y x =+.【答案】A6.（★★★）下列函数中，其图象与函数ln y x =的图象关于直线1x =对称的是（ ） A.()ln 1y x =−B.()ln 2y x =−C.()ln 1y x =+D.()ln 2y x =+【解析】特值法.点()3,ln 3在ln y x =图象上⇒点()3,ln 3关于直线1x =的对称点()1,ln 3−在所求函数图象上⇒选B.解法2：①取点：设欲求的图象上一点(),P x y ；②转移点：(),P x y 关于1x =的对称点为()2,P x y '−；③代入点：将()2,P x y '−代入ln y x =得()ln 2y x =−.【答案】B【提炼】相关点法：①设点（求谁设谁）；②转移点到已知解析式；③代入点. 7.（★★★）已知函数()()ln ln 2f x x x =+−，则（ ） A.()f x 在()0,2单调递增 B.()f x 在()0,2单调递减C.()y f x =的图象关于直线1x =对称D.()y f x =的图象关于点()1,0对称【解析】()()()ln ln 2=ln 2f x x x x x =+−−⎡⎤⎣⎦，设()2u x x =−，则()ln f x u =. 当()0,1x ∈时，()2u x x =−，ln y u =，由同增异减准则知()f x 在()0,1上递增； 当()1,2x ∈时，()2u x x =−，ln y u=，由同增异减准则知()f x 在()1,2上递减，故A项和B 项错误.()()()()()()2ln 2+ln 22=ln 2ln f x x x x x f x f x −=−−−−+=⇒⎡⎤⎣⎦的图象关于直线1x =对称，故C 项正确.（也可直接通过计算发现1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得出C 项正确，D 项错误）.【答案】C题组三8.（★★★★）已知函数()f x ()x ∈R 满足()()=2f x f x − .若函数223y x x =−−与()y f x =图象的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，(),m m x y ，则1mi i x ==∑（ ）A.0B.mC.2mD.4m【解析】()()()=2f x f x f x −⇒的图象关于直线1x =对称，作出函数223y x x =−−的图象如图1，由图可知图象也关于直线1x =对称，故两个函数图象的交点必然也关于直线1x =对称，图2给出了一个实例，不妨设12m x x x <<<，记12=m S x x x +++①，则11=m m S x x x −+++②.将式①和式②相加得()()()121122222m m m S x x x x x x m −=++++++=+++=，所以S m =.【答案】B【提炼】根据对称性判断两个函数具有相同的对称轴，故“交点的横坐标之和”=交点个数×对称轴.这一结论可用上面的倒序相加法推导. 9.（★★★★）已知函数()f x ()x ∈R 满足()()=2f x f x −− .若函数1x y x+=与()y f x =图象的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，(),m m x y ，则()1mi i i x y =+=∑（ ）A.0B.mC.2mD.4m【解析】()()()()()=22f x f x f x f x f x −−⇒−+=⇒的图象关于点()0,1对称，函数11=1x y x x+=+的图象也关于点()0,1对称，故两函数图象的交点也关于点()0,1对称，不妨设12m x x x <<<，记112=m S x x x +++①，212m S y y y =+++②，则111=m m S x x x −+++③，211m m S y y y −=+++④，将式①和式③相加，得()()()112111200000m m m S x x x x x x S −=++++++=+++=⇒=；将式②和式④相加，得 ()()()21211222222m m m S y y y y y y m S m −=++++++=+++=⇒=，所以()()()1212121mi i m m i x y x x x y y y S S m =∑+=+++++++=+=.【答案】B【提炼】根据对称性判断两个函数的交点关于点(0,1)中心对称，故“交点的横坐标之和”=交点个数×对称中心的横坐标，“交点的横坐标之和”=交点个数×对称中心的纵坐标.这一结论的推导，可以用上面的倒序相加法。

高三函数对称性知识点总结在高三数学中，函数是一个重要的概念和知识点。

在函数的学习中，函数的对称性是一个关键的概念。

了解和掌握函数的对称性是解题的基础，本文将对高三函数的对称性知识点进行总结。

函数的对称性可以分为平面对称和轴对称两种情况。

平面对称是指函数图像关于某个平面对称，而轴对称则是指函数图像关于某个轴对称。

接下来将分别从平面对称和轴对称两个方面来介绍高三函数的对称性知识点。

平面对称性是函数图像相对于某个平面的对称性。

当函数的图像关于$x$轴或$y$轴对称时，即可说函数具有平面对称性。

平面对称的函数具有以下特点：1. 关于$x$轴对称：当函数图像关于$x$轴对称时，即函数的对于$x$的取值为$x$，对应的函数值为$y$，那么对于函数的对称点$x$，其对应的函数值$y$相等。

这种情况下，若$P$为函数图像上的任意一点，则$P$关于$x$轴对称的点也在函数图像上。

2. 关于$y$轴对称：当函数图像关于$y$轴对称时，即函数的对于$x$的取值为$x$，对应的函数值为$y$，那么对于函数的对称点$x$，其对应的函数值$y$相等。

这种情况下，若$P$为函数图像上的任意一点，则$P$关于$y$轴对称的点也在函数图像上。

轴对称性是函数图像相对于某个轴的对称性。

当函数的图像关于$x$轴、$y$轴或者直线$x=a$对称时，即可说函数具有轴对称性。

轴对称的函数具有以下特点：1. 关于$x$轴对称：当函数图像关于$x$轴对称时，即函数的对于$x$的取值为$x$，对应的函数值为$y$，那么对于函数的对称点$x$，其对应的函数值$y$相等。

这种情况下，若$(x,y)$为函数图像上的任意一点，则$(x,-y)$也在函数图像上。

2. 关于$y$轴对称：当函数图像关于$y$轴对称时，即函数的对于$x$的取值为$x$，对应的函数值为$y$，那么对于函数的对称点$x$，其对应的函数值$y$相等。

这种情况下，若$(x,y)$为函数图像上的任意一点，则$(-x,y)$也在函数图像上。

函数对称性公式大总结1. 引言在数学中，函数对称性是一个重要的概念，它描述了函数在某种变换下保持不变的性质。

函数对称性有多种形式，如轴对称性、中心对称性等。

本文将对函数对称性的一些常见公式进行总结，并提供示例说明。

2. 轴对称函数公式2.1 轴对称性的定义轴对称是指函数图像对于某一条直线对称，即函数图像在这条直线两侧对称。

设函数为 f(x)，对称轴为 x = a，则函数 f(x) 在对称轴两侧的函数值相等，即 f(a + h) = f(a - h)。

2.2 轴对称函数公式•偶函数：若函数 f(x) 满足 f(-x) = f(x)，则称 f(x) 为偶函数。

•奇函数：若函数 f(x) 满足 f(-x) = -f(x)，则称 f(x) 为奇函数。

偶函数和奇函数都具有轴对称性，其中以偶函数更为常见。

3. 中心对称函数公式3.1 中心对称性的定义中心对称是指函数图像对于某一点对称，即函数图像关于这一点对称。

设函数为 f(x)，对称中心为 (a, b)，则函数 f(x) 在对称中心两侧的函数值相等，即 f(a + h) = f(a - h)。

3.2 中心对称函数公式•对数函数：对数函数 y = loga(x) 关于 y 轴对称，其中 a > 0，且a ≠ 1。

•幂函数：幂函数 y = ax^n 关于 y 轴对称，其中a ≠ 0，且 n 为任意整数。

•正弦函数和余弦函数：正弦函数 y = sin(x) 和余弦函数 y = cos(x) 关于原点对称。

4. 复合对称函数公式4.1 复合对称性的定义复合对称是指函数图像同时具有轴对称性和中心对称性。

函数 f(x) 在具有轴对称性的直线上的每一个点，同时也是具有中心对称性的点。

4.2 复合对称函数公式•奇次幂函数：奇次幂函数y = ax^(2n+1) 具有轴对称性和中心对称性，其中a ≠ 0，n 为任意整数。

5. 示例说明5.1 示例 1：偶函数考虑函数 f(x) = x^2，我们可以看到该函数关于 y 轴对称，即 f(x) = f(-x)。

函数对称性知识点归纳总结一、函数的对称性概念1.1 函数的定义在数学中，函数是一种将输入值映射到输出值的关系。

它通常表示为f(x)，其中x是输入值，f(x)是输出值。

函数可以用数学公式、图表、图形等方式来表示。

1.2 函数的对称性函数的对称性是指在某种变换下，函数图像保持不变的性质。

这种变换可以是关于坐标轴的对称、关于原点的对称、关于直线或平面的对称等。

函数的对称性可以分为以下几种：- 偶函数：如果对任意的x，有f(x) = f(-x)，那么函数f(x)是关于y轴对称的，称为偶函数。

偶函数的图像在y轴对称。

- 奇函数：如果对任意的x，有f(x) = -f(-x)，那么函数f(x)是关于原点对称的，称为奇函数。

奇函数的图像关于原点对称。

- 周期函数：如果存在一个正数T，使得对任意的x，有f(x+T) = f(x)，那么函数f(x)是周期函数。

周期函数的图像在某一段距离上重复。

1.3 示例以函数f(x) = x^2为例，它是一个偶函数。

因为对任意的x，有f(x) = x^2 = (-x)^2 = f(-x)，所以函数图像关于y轴对称。

又如函数f(x) = sin(x)，它是一个奇函数。

因为对任意的x，有f(x) = sin(x) = -sin(-x) = -f(-x)，所以函数图像关于原点对称。

二、函数对称性的判定与应用2.1 函数对称性的判定在判断一个函数是否具有对称性时，可以通过以下方法进行判定：- 偶函数：验证函数f(x)是否满足f(x) = f(-x)即可判断是否为偶函数。

- 奇函数：验证函数f(x)是否满足f(x) = -f(-x)即可判断是否为奇函数。

- 周期函数：通过周期函数的定义，验证函数f(x)是否满足f(x+T) = f(x)即可判断是否为周期函数。

2.2 函数对称性的应用函数对称性在数学分析、物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。

以下是函数对称性的一些应用场景：- 在积分计算中，利用函数的对称性可以简化积分的计算。

高三函数对称性知识点汇总函数是数学中的重要概念，在高三数学学习中，函数的对称性是一个重要的知识点。

本文将对高三函数对称性的相关知识进行汇总，并介绍不同函数的对称性及其特点。

函数的对称性是指函数图像在某种变换下保持不变的性质。

在高三函数学习中，常见的函数对称性有以下几种：关于x轴对称、关于y轴对称、关于原点对称、关于直线对称、关于点对称。

一、关于x轴对称若函数图像在x轴两侧关于x轴对称，即对于函数中的每一个点(x, y)，都存在另一个点(x, -y)也在函数图像上，则称函数关于x轴对称。

对于一个函数关于x轴对称的特点有：1. 函数的解析式中只含有偶次项，或不包含奇次项。

2. 函数图像关于y轴对称。

若函数图像在y轴两侧关于y轴对称，即对于函数中的每一个点(x, y)，都存在另一个点(-x, y)也在函数图像上，则称函数关于y 轴对称。

对于一个函数关于y轴对称的特点有：1. 函数的解析式中只含有偶次幂的x，或不包含x。

2. 函数图像关于x轴对称。

三、关于原点对称若函数图像关于原点对称，即对于函数中的每一个点(x, y)，都存在另一个点(-x, -y)也在函数图像上，则称函数关于原点对称。

对于一个函数关于原点对称的特点有：1. 函数的解析式中只含有偶次幂的x，或不包含x。

2. 函数图像关于原点对称。

当函数图像在直线L两侧对称时，我们称函数关于直线L对称。

对于关于直线对称的函数，其特点有：1. 函数的解析式中含有x与常数的乘积，并且在函数中不含有形如|x|的项。

2. 函数图像上关于直线L对称。

五、关于点对称若函数图像在点P两侧对称时，我们称函数关于点P对称。

对于关于点对称的函数，其特点有：1. 函数的解析式中含有x与常数的乘积，并且在函数中不含有形如|x|的项。

2. 函数图像关于点P对称。

综上所述，高三数学中的函数对称性知识点主要包括关于x轴对称、关于y轴对称、关于原点对称、关于直线对称、关于点对称等几种形式。

完整版)常见函数对称性和周期性二、函数对称性的重要结论一）函数y=f(x)的图像本身的对称性（自身对称）若f(x+a)=±f(x+b)，则f(x)具有周期性；若f(a+x)=±f(b-x)，则f(x)具有对称性。

即，“内同表示周期性，内反表示对称性”。

1、f(a+x)=f(b-x)⟺y=f(x)的图像关于直线x=(a+b)/2对称。

推论1：f(a+x)=f(a-x)⟺y=f(x)的图像关于直线x=a对称。

推论2、f(x)=f(2a-x)⟺y=f(x)的图像关于直线x=a对称。

推论3、f(-x)=f(2a+x)⟺y=f(x)的图像关于直线x=a对称。

2、f(a+x)+f(b-x)=2c⟺y=f(x)的图像关于点(a+b/2,c)对称。

推论1、f(a+x)+f(a-x)=2b⟺y=f(x)的图像关于点(a,b)对称。

推论2、f(x)+f(2a-x)=2b⟺y=f(x)的图像关于点(a,b)对称。

推论3、f(-x)+f(2a+x)=2b⟺y=f(x)的图像关于点(a,b)对称。

二）两个函数的图像对称性（相互对称）1、偶函数y=f(x)与y=f(-x)的图像关于Y轴对称。

2、奇函数y=f(x)与y=-f(-x)的图像关于原点对称。

3、函数y=f(x)与y=-f(x)的图像关于X轴对称。

4、互为反函数y=f(x)与函数y=f^-1(x)的图像关于直线y=x对称。

5、函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图像关于直线x=(b-a)/2对称。

推论1: 函数y=f(a+x)与y=f(a-x)的图像关于直线x=a对称。

推论2: 函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图像关于直线x=a对称。

推论3: 函数y=f(-x)与y=f(2a+x)的图像关于直线x=-a对称。

三、函数周期性的重要结论1、f(x±T)=f(x)(T≠0)⟺y=f(x)的周期为T，kT(k∈Z)也是函数的周期。

2、f(x+a)=f(x+b)⟺y=f(x)的周期为T=b-a。

高三函数对称性知识点总结在高中数学的学习过程中，函数是一个非常重要的概念。

而函数的对称性是函数图像在坐标轴上的对称特性，它是一种具有很高抽象性的数学思维，对于理解和解决数学问题具有重要意义。

在高三数学学习中，函数的对称性是一个非常重要的知识点，也是数学建模和解题中常用的技巧之一。

下面将对高三函数对称性的知识点进行总结。

一、函数的对称性1. 关于x轴的对称性当函数图像与x轴对称时，称函数具有关于x轴的对称性。

即对于函数图像上任意一点(x, y)，都有对应的点(x, -y)也在函数图像上。

2. 关于y轴的对称性当函数图像与y轴对称时，称函数具有关于y轴的对称性。

即对于函数图像上任意一点(x, y)，都有对应的点(-x, y)也在函数图像上。

3. 关于原点的对称性当函数图像与原点对称时，称函数具有关于原点的对称性。

即对于函数图像上任意一点(x, y)，都有对应的点(-x, -y)也在函数图像上。

4. 奇函数如果函数f(-x) = -f(x)，那么称函数f(x)为奇函数。

奇函数的图像关于原点对称，且通过原点。

5. 偶函数如果函数f(-x) = f(x)，那么称函数f(x)为偶函数。

偶函数的图像关于y轴对称，且通过y 轴。

6. 周期函数如果函数f(x + T) = f(x)，其中T为正实数，那么称函数f(x)为周期函数。

周期函数的图像在一个周期内具有对称性。

二、对称性在数学建模中的应用1. 对称性可以简化问题在数学建模中，对称性可以帮助我们简化问题，减少计算量和分析难度。

通过对称性的特点，我们可以找到函数图像上的对称点，从而减少求解方程的步骤。

2. 对称性可以加快求解过程利用函数的对称性，在求解函数的零点、极值点和拐点时，可以通过对称点的关系，快速地确定函数的特征点，从而加快求解过程。

3. 对称性可以提高模型的精度在数学建模中，对称性可以帮助我们合理地选择函数模型，提高模型的精度和可靠性。

三、对称性在解题中的应用举例1. 求函数图像与坐标轴的交点在函数图像与坐标轴相交的点的求解中，利用函数的对称性可以帮助我们简化求解过程。

函数对称性公式大总结1. 引言在数学中，函数对称性是指函数在某种变换下保持不变的特性。

函数对称性广泛应用于各个数学分支，如代数、几何和微积分等。

本文将对常见的函数对称性公式进行总结，以帮助读者更好地理解和应用这些公式。

2. 对称轴对称轴是函数对称性的一个重要概念。

对称轴是指函数图像关于某一直线对称。

对称轴上的点与其对称点关于对称轴对称。

对称轴的方程可以通过观察函数的特性或运用特定的公式来确定。

2.1 y轴对称性若函数满足f(x) = f(-x)，则函数具有y轴对称性。

对于奇函数来说，其图像关于y轴对称；对于偶函数来说，其图像与y 轴重合。

常见的函数对称于y轴的公式有：•奇函数的定义：f(x) = -f(x)•偶函数的定义：f(x) = f(-x)2.2 x轴对称性若函数满足f(x) = -f(x)，则函数具有x轴对称性。

对于奇函数来说，其图像关于x轴对称；对于偶函数来说，其图像与x 轴重合。

常见的函数对称于x轴的公式有：•奇函数的定义：f(x) = -f(x)•偶函数的定义：f(x) = f(-x)3. 极限和导数对称性在微积分中，极限和导数也可以与函数的对称性相关联。

3.1 极限对称性若函数f(x)在某一点x=a的极限存在，并且与x=a的对称点x=-a的极限相等，即lim(x->a) f(x) = lim(x->-a) f(x)，则函数具有极限对称性。

常见的函数具有极限对称性的公式有：•正弦函数的极限对称性：lim(x->0) sin(x) = lim(x->0) sin(-x)•余弦函数的极限对称性：lim(x->0) cos(x) = lim(x->0) cos(-x)3.2 导数对称性若函数f(x)在某一点x=a可导，并且其导数与x=a的对称点x=-a的导数相等，即f’(a) = f’(-a)，则函数具有导数对称性。

常见的函数具有导数对称性的公式有：•正弦函数的导数对称性：(sin(x))’ = cos(-x)•余弦函数的导数对称性：(cos(x))’ = -sin(-x)4. 对称性的应用函数对称性是解决许多数学问题的重要工具。

函数对称性一 知识点精讲：I 函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）1、)()(x b f x a f -=+ ⇔)(x f y =图象关于直线22)()(b a x b x a x +=-++=对称 证明：函数)(x f y =图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f x y =）关于直线2a b x +=的对称点为00(,)Q a b x y +-，Q 00()[()]f a b x f b x a +-=-+000[()]()f b b x f x y =--==∴点Q 仍在函数)(x f y =的图象上，从而函数)(x f y =的图象关于直线2a b x +=对称. 推论1：)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论2、)2()(x a f x f -= ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论3、)2()(x a f x f +=- ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称2、c x b f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),2(c b a +对称 证明：函数)(x f y =图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f x y =）关于点(,)2a b c +的对称点为00(,2)Q a b x c y +--，Q 00()[()]f a b x f b x a +-=-+0002[()]2()2c f b b x c f x c y =---=-=-∴点Q 仍在函数)(x f y =的图象上，从而函数)(x f y =的图象关于点(,)2a b c +对称. 推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称推论3、b x a f x f 2)2()(=++-⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 II 两个函数的图象对称性（相互对称）1、)(x f y =与)(x f y -=图象关于y 轴对称2、)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称函数3、函数)(x f y=与()y f x =-图象关于x 轴对称 4、函数)(x f y =与其反函数1()y f x -=图象关于直线y x =对称5.函数)(x a f y +=与)(x b f y -=图象关于直线2a b x-=对称 证明：函数()y f a x =+图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f a x y +=）关于直线2b a x -=的对称点为00(,)Q b a x y --，Q 000[()]()f b b a x f a x y ---=+= ∴点Q 在函数()y f b x =-的图象上；反之函数()y f b x =-的图象上任一点关于直线2b a x -=的对称点也在函数()y f a x =+图象上.从而函数()y f a x =+与()y f b x =-的图象关于直线2b a x -=对称. 推论1:函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称推论2:函数)(x f y =与)2(x a f y -= 图象关于直线a x =对称推论3:函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称6若函数)(x f y =的定义域为R ，则函数()y f a x =+与()y f b x =--的图象关于点(,0)2b a -对称. 证明：函数()y f a x =+图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f a x y +=）关于点(,0)2b a -的对称点为00(,)Q b a x y ---，Q 000[()]()f b b a x f a x y ----=-+=- ∴点Q 在函数()y f b x =--的图象上；反之函数()y f b x =--的图象上任一点关于点(,0)2b a -的对称点也在函数()y f a x =+图象上.从而函数()y f a x =+与()y f b x =--的图象关于点(,0)2b a -对称.二 典例解析：1、定义在实数集上的奇函数)(x f 恒满足)1()1(x f x f -=+，且)0,1(-∈x 时,512)(+=x x f ,则=)20(log 2f ________。

高考总复习之函数的对称性与周期性【知识点】★若函数)(x f 存在两个对称关系，则)(x f 是一个周期函数.1）若函数)(x f y =的图像关于直线b a ==x x 、对称，则)(x f 是周期函数，且周期为a b 2T -=.推论：若偶函数)(x f 的图像关于直线a =x (a≠0)对称，则)(x f 是以a 2为周期的函数.2）若函数)(x f y =的图像关于点(a ，0)、(b ，0)对称，则)(x f 是周期函数，且周期为a b 2T -=.推论：若奇函数)(x f 的图像关于点(a ，0)(a≠0)对称，则)(x f 是以a 2为周期的函数.3）若函数)(x f y =的图像关于直线a =x 、点(b ，0)对称，则)(x f 是周期函数，且周期为a b 4T -=.推论：若奇函数)(x f 的图像关于直线a =x (a≠0)对称，则)(x f 是以a 4为周期的函数.【同步练习题】1）已知函数)1(-=x f y 的图像关于直线1=x 对称，且对任意实数x ，)()2(x f x f =-恒成立.若当∈x [1-，0]时，1)(2+=x x f ，则=)2021(f .2）（单选题）已知定义在R 上的函数)(x f 是偶函数，且)2()(x f x f -=.若)(x f 在区间[1，2]上是增函数，则)(x f 满足（）A.在区间[3-，2-]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数；B.在区间[3-，2-]上是增函数，在区间[3，4]上是增函数；C.在区间[3-，2-]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数；D.在区间[3-，2-]上是减函数，在区间[3，4]上是减函数.3）（多选题）已知函数)(x f 的定义域为R，若)1(-x f 与)2(-x f 都为偶函数，则下列说法正确的是（）A.)(x f 为偶函数B.)1(+x f 为偶函数C.)2(+x f 为奇函数D.)(x f 为周期函数4）（单选题）已知函数)(x f 为R 上的奇函数，且)(x f y =的图像关于点(2，0)对称，若当∈x (0，2)时，1)21()(-=xx f ，则函数)(x f 在区间[2018，2021]上有（）A.最小值为43- B.最小值为21-C.最大值为43D.最大值为215）（单选题）已知函数)(x f 的定义域为R，若)1(-x f 与)1(+x f 都为奇函数，则下列说法正确的是（）A.)(x f 是偶函数B.)(x f 是奇函数C.)3(+x f 为奇函数D.)1()(+=x f x f 6）（多选题）已知函数)(x f 的定义域为R，若)(x f 与)1(+x f 都为奇函数，则下列说法正确的是（）A.)1(-x f 为奇函数B.)(x f 为周期函数C.)3(+x f 为奇函数D.)2(+x f 是偶函数7）已知定义在R 上的函数)(x f 满足)()(x f x f -=-、)()3(x f x f =-，则)2022(f 的值为.8）设函数)(x f 的定义域为R，)1(+x f 为奇函数、)2(+x f 为偶函数，且当∈x [1，2]时，b a )(2+=x x f .若6)3()0(=+f f ，则=)29(f .9）已知函数)(x f 是定义域为(∞-，∞+)的奇函数，且满足)1()1(x f x f +=-，若2)1(=f ，则=++++)50()3()2()1(f f f f .10）（多选题）已知函数)(x f 为偶函数，且)2()2(x f x f --=+，则下列结论一定正确的是（）A.)(x f 的图像关于点(2-，0)对称B.)(x f 是以4为周期的函数C.)(x f 的图像关于直线2-=x 对称D.)4(+x f 为偶函数11）（多选题）已知函数)1(-=x f y 的图像关于直线1-=x 对称，且R ∈∀x ，有4)()(=-+x f x f .若当∈x (0，2]时，2)(+=x x f .则下列说法正确的是（）A.)(x f 是以8为周期的函数B.)(x f 的最大值为4C.2)2021(=f D.)2(+x f 为偶函数12）（多选题）设函数)(x f 的定义域为R，且)2(+x f 为偶函数、)12(+x f 为奇函数，则下列说法正确的是（）A.函数)(x f y =的图像关于直线2=x 对称；B.函数)(x f y =的图像关于点(1，0)对称；C.函数)(x f 的一个周期为4；D.0)2(=f .13）已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足：)()4(x f x f -=-，且在区间[0，2]上是增函数.若方程)0m (m )(＞=x f 在区间[8-，8]上有4个不同的实数根4321x x x x 、、、，则=+++4321x x x x .【参考答案】1）2；2）B；3）ABD；4）B；5）C；6）ABC；7）0；8）25；9）2；10）AD；11）ABD；12）ABC；13）8 .。

函数对称性知识点归纳总结函数对称性是数学中一个重要的概念，它涉及到函数图像在某种变换下的性质和特点。

本文将针对函数对称性的相关知识进行归纳总结，包括函数关于x轴对称、y轴对称和原点对称的特点以及应用。

希望通过本文的介绍，读者能够全面了解函数对称性，并能够应用到实际问题中。

1. 函数关于x轴对称函数关于x轴对称是指函数图像在x轴旋转180度后重合。

具体表现为当函数中的每一个点(x, y)都对应于另一个点(x, -y)。

如果函数的表达式为f(x)，那么函数关于x轴对称可以表示为f(x) = f(-x)。

常见的函数关于x轴对称的例子有二次函数和正弦函数。

2. 函数关于y轴对称函数关于y轴对称是指函数图像在y轴旋转180度后重合。

具体表现为当函数中的每一个点(x, y)都对应于另一个点(-x, y)。

如果函数的表达式为f(x)，那么函数关于y轴对称可以表示为f(x) = f(-x)。

常见的函数关于y轴对称的例子有二次函数和余弦函数。

3. 函数关于原点对称函数关于原点对称是指函数图像以原点为对称中心，旋转180度后重合。

具体表现为当函数中的每一个点(x, y)都对应于另一个点(-x, -y)。

如果函数的表达式为f(x)，那么函数关于原点对称可以表示为f(x) = -f(-x)。

常见的函数关于原点对称的例子有奇次函数和正切函数。

除了以上三种常见的对称性，函数还可能具有其他特殊的对称性，比如关于直线y=x的对称性、关于直线y=-x的对称性等。

这些对称性在函数的研究和应用中都有重要的意义。

函数对称性的应用十分广泛。

其中一项重要的应用是利用对称性来求函数的零点。

如果函数关于x轴对称，也就是满足f(x) = f(-x)，那么我们可以通过找到函数图像上的一个零点，得到一个对称的零点。

这是因为如果f(x) = 0，则f(-x) = 0，对称点也是零点。

同样，对于关于y 轴对称或原点对称的函数，我们也可以利用对称性来求解零点。

参考一：函数对称性总结函数的对称性一、三角函数图像的对称性1、y =f (x ) 与y =-f (x ) 关于x 轴对称。

换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) =-g (x ) ，即它们关于y =0对称。

2、y =f (x ) 与y =f (-x ) 关于Y 轴对称。

换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) =g (-x ) ，即它们关于x =0对称。

3、y =f (x ) 与y =f (2a -x ) 关于直线x =a 对称。

换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) =g (2a -x ) ，即它们关于x =a 对称。

4、y =f (x ) 与y =2a -f (x ) 关于直线y =a 对称。

换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) +g (x ) =2a ，即它们关于y =a 对称。

5、y =f (x ) 与y =2b -f (2a -x ) 关于点(a , b ) 对称。

换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) +g (2a -x ) =2b ，即它们关于点(a , b ) 对称。

6、y =f (a -x ) 与y =f (x -b ) 关于直线x =二、单个函数的对称性一、函数的轴对称：定理1：如果函数y =f (x )满足f (a +x )=f (b -x )，则函数y =f (x )的图象关于直线x =a +b2a +b 2对称。

对称.推论1：如果函数y =f (x )满足f (a +x )=f (a -x )，则函数y =f (x )的图象关于直线x =a 对称. 推论2：如果函数y =f (x )满足f (x )=f (-x )，则函数y =f (x )的图象关于直线x =0（y 轴）对称. 特别地，推论2就是偶函数的定义和性质. 它是上述定理1的简化.二、函数的点对称：定理2：如果函数y =f (x )满足f (a +x )+f (a -x )=2b ，则函数y =f (x )的图象关于点(a , b )对称.推论3：如果函数y =f (x )满足f (a +x )+f (a -x )=0，则函数y =f (x )的图象关于点(a , 0)对称.推论4：如果函数y =f (x )满足f (x )+f (-x )=0，则函数y =f (x )的图象关于原点(0, 0)对称. 特别地，推论4就是奇函数的定义和性质. 它是上述定理2的简化.性质5：函数y =f (x ) 满足f (a +x ) +f (b -x ) =c 时，函数y =f (x ) 的图象关于点（a +b ，c ）对称。

高一数学《函数的对称性》知识点总结一、函数自身的对称性探究定理1.函数y=f的图像关于点A对称的充要条件是f+f=2b证明：（必要性）设点P是y=f图像上任一点，∵点P 关于点A的对称点P'（2a－x，2b－y）也在y=f图像上，∴2b－y=f即y+f=2b故f+f=2b，必要性得证。

（充分性）设点P是y=f图像上任一点，则y0=f∵f+f=2b∴f+f=2b，即2b－y0=f。

故点P'（2a－x0，2b－y0）也在y=f图像上，而点P与点P'关于点A对称，充分性得征。

推论：函数y=f的图像关于原点o对称的充要条件是f+f=0定理2.函数y=f的图像关于直线x=a对称的充要条件是f=f即f=f（证明留给读者）推论：函数y=f的图像关于y轴对称的充要条件是f=f 定理3.①若函数y=f图像同时关于点A和点B成中心对称（a≠b），则y=f是周期函数，且2a－b是其一个周期。

②若函数y=f图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f是周期函数，且2a－b是其一个周期。

③若函数y=f图像既关于点A成中心对称又关于直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f是周期函数，且4a－b是其一个周期。

①②的证明留给读者，以下给出③的证明：∵函数y=f图像既关于点A成中心对称，∴f+f=2c，用2b－x代x得：f+f[2a－]=2c………………（*）又∵函数y=f图像直线x=b成轴对称，∴f=f代入（*）得：f=2c－f[2+x]…………（**），用2（a－b）－x代x得f[2+x]=2c－f[4+x]代入（**）得：f=f[4+x],故y=f是周期函数，且4a－b是其一个周期。

二、不同函数对称性的探究定理4.函数y=f与y=2b－f的图像关于点A成中心对称。

定理5.①函数y=f与y=f的图像关于直线x=a成轴对称。

②函数y=f与a－x=f的图像关于直线x+y=a成轴对称。

③函数y=f与x－a=f的图像关于直线x－y=a成轴对称。

高中数学函数的对称性专题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 已知函数f(x)=x2−2x+m，若f(x1)=f(x2)(x1≠x2)，则f(x1+x22)=()A.1B.2C.m−1D.m2. 在同一平面直角坐标系中，函数f(x)=lg(x+1)的图象与函数g(x)=lg(−x+1)的图象关于( )A.原点对称B.x轴对称C.直线y=x对称D.y轴对称3. 下列给出函数y=f(x)的部分对应值,则f(f(8))等于()A.πB.4C.8D.04. 已知幂函数y=f(x)，f(8)=2，则y=f(x)一定经过的点是( )A.(2, 1)B.(2, 4)C.(4, 2)D.(0, 1)5. 已知函数f(x+1)＝3x+2，则f(x)的解析式是( )A.3x+2B.3x+1C.3x−1D.3x+46. 若函数f(x)＝x2+e x−12(x<0)与g(x)＝x2+ln(x+a)图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是()A.(−∞,√e)B.√e ) C.√e√e) D.(−√e,√e)7. 定义在上的偶函数，其图像关于点对称，且当时，，则( )A. B. C. D.8. 已知函数f (x )=ln (x −2)+ln (4−x )，则( ) A.f (x )的图象关于直线x =3对称 B.f (x )的图象关于点(3,0)对称 C.f (x )在(2,4)上单调递增 D.f (x )在(2,4)上单调递减9. 函数f (x )=x 3−2021x +1图象的对称中心为（ ） A.(0,0) B.(1,0) C.(0,1) D.(1,1)10. 已知函数f (x )=11+ex ，若正实数m ，n 满足f (m −1)=1−f (n )，则1m+4n的最小值为( ) A.7 B.9 C.3+2√2D.8911. 函数f (x )满足f (x )=f (2−x )，x ∈R ，且当x ≥1时，f (x )=lg x ，则有( ) A.f (13)<f (2)<f (12)B.f (12)<f (2)<f (13)C.f (12)<f (13)<f (2) D.f (2)<f (12)<f (13)12. 已知函数f (x )={log a x,x >0，|x +3|,−4≤x <0，（a >0且a ≠1）．若函数f (x )的图象上有且只有两个点关于原点对称，则a 的取值范围是（ ） A.(0,14) B.(0,14)∪(1,+∞) C.(14,1)∪(1,+∞) D.(0,1)∪(1,4)13. 设函数f(x)=(x −3)3+x −1，{a n }是公差不为0的等差数列，f(a 1)+f(a 2)+⋯+f(a 7)=14，则a 1+a 2+⋯+a 7=（ ） A.0 B.7 C.14 D.2114. 已知定义域为R 的函数f (x )在[2,+∞)单调递减，且f (4−x )+f (x )=0，则使得不等式f (x 2+x )+f (x +1)<0成立的实数x 的取值范围是( )A.(−3,1)B.(−∞,−1)∪(3,+∞)C.(−∞,−3)∪(1,+∞)D.(−∞,−1)∪(−1,+∞)15. 已知函数f(x)=x2+e x−1(x<0)与g(x)=x2+ln(x+a)图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是( )A.(−∞,1]B.(−∞,√e)C.(−∞,1)D.(1,√e)16. 函数f(x)=x+1x图象的对称中心为________．17. 若偶函数y=f(x)(满足f(1+x)=f(1−x)，且当时，，则函数g(x)=f(x)−的零点个数为________个．18. 设y＝f(x)是定义域为R的偶函数，且它的图象关于点(2, 0)对称，若当x∈(0, 2)时，f(x)＝x2，则f(19)＝________19. 已知函数对于都有，且周期为2，当时，，则________________.20. 已知函数f(x)满足f(x)+f(−x)=2，g(x)=1x+1，y=f(x)与y=g(x)交于点(x1,y1)，(x2,y2)，则y1+y2=________．21. 已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=−f(2−x)，当x≥1时，f(x)=log2x，则不等式f(x)≤2的解集为________.22. 若函数f(x)=(1−x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=−2对称，则f′(x)=________.23. 已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)={2|x−1|−1,0<x≤2, 12f(x−2),x>2.有下列结论：①函数f(x)在(−6,−5)上单调递增；②函数f(x)的图象与直线y=x有且仅有2个不同的交点；③若关于x的方程[f(x)]2−(a+1)f(x)+a=0(a∈R)恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为8；④记函数f(x)在[2k−1,2k](k∈N∗)上的最大值为a k，则数列{a n}的前7项和为12764.其中所有正确结论的编号是________.24. 设函数的图象与的图象关于直线对称，且，求a的值.25. 已知幂函数f(x)=x3m−9(m∈N∗)的图象关于y轴对称，且在(0, +∞)上是减函数，求满足(a+1)−m<(3−2a)−m的实数a的取值范围．26. 已知函数f(x)=2x+2−x.(1)求方程f(x)=52的根；(2)求证：f(x)在[0,+∞）上是增函数；(3)若对于任意x∈[0,+∞)，不等式f(2x)≥f(x)−m恒成立，求实数m的最小值．27. 已知函数f(x)=x2−2ax+1满足f(x)=f(2−x)．(1)求a的值；(2)若不等式f(2x)4x≥m对任意的x∈[1, +∞)恒成立，求实数m的取值范围；(3)若函数g(x)=f(|log2x|)−k(|log2x|−1)有4个零点，求实数k的取值范围．28. 已知函数f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且f(x)−g(x)=1e x.(1)求函数f(x)和g(x)的解析式；(2)若f(2x)>ag(x)在x∈(1,+∞)上恒成立，求实数a的取值范围；(3)记H(x)=g(x+1)+1，若a，b∈R，且a+b=1，求H(−4+a)+H(b+1)的值．f(x+1)参考答案与试题解析高中数学函数的对称性专题含答案一、选择题（本题共计 15 小题，每题 3 分，共计45分）1.【答案】C【考点】函数的对称性【解析】先求出二次函数的对称轴方程，由条件可得x1+x2=2×1=2，然后代入求值即可. 【解答】解：对于二次函数f(x)=x2−2x+m，其对称轴方程是x=1，若f(x1)=f(x2)(x1≠x2)，则x1+x2=2×1=2，故f(x1+x22)=f(22)=m−1.故选C.2.【答案】D【考点】函数的对称性函数的图象变换【解析】易知g(x)=f(−x)，由f(−x)与f(x)的图象间的关系可得g(x)与f(x)的图象关系．【解答】解：f(−x)=lg(−x+1)=g(x)，因为f(−x)与f(x)的图象关于y轴对称，所以f(x)与g(x)的图象关于y轴对称．故选D．3.【答案】A【考点】函数的求值函数的对称性函数的概念及其构成要素【解析】先求出f(8)=，从而f(8]=t(1)，由此能求出结果．【解答】f(θ)=1,f(1)=π,∴ Mf(8)=f(1)=π故选：A．4.【答案】C【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域抽象函数及其应用函数的对称性【解析】试题分析：由已知得8a=2√2，解得a的值，由此求出f(x)的表达式，得到结论．解：幂函数y=f(x)=x8的图象经过点(8,2√2)∵8a=2√2，解得a=12∴(x)=√x将(4,2)代入f(x)，满足方程，故选：c．【解答】此题暂无解答5.【答案】C【考点】利用导数研究函数的单调性函数解析式的求解及常用方法函数的对称性【解析】试题分析：设t=x+1x=t−1f(t)=3(t−1)+2=3t−1【解答】此题暂无解答6.【答案】A【考点】已知函数的单调性求参数问题函数的对称性【解析】由题意可得e x0−12−ln(−x0+a)＝0有负根，函数ℎ(x)＝e x−12−ln(−x+a)为增函数，由此能求出a的取值范围．【解答】解：由题意可得：存在x0∈(−∞, 0)，满足x02+e x0−12=(−x0)2+ln(−x0+a)，即e x0−12−ln(−x0+a)＝0有负根，∵当x趋近于负无穷大时，e x0−12−ln(−x0+a)也趋近于负无穷大，且函数ℎ(x)＝e x −12−ln (−x +a)为增函数，∴ ℎ(0)＝e 0−12−ln a >0， ∴ ln a <ln √e ， ∴ a <√e ，∴ a 的取值范围是(−∞, √e). 故选A . 7.【答案】 D【考点】函数奇偶性的判断 函数的周期性 函数的对称性 【解析】由偶函数y =f (x )，其图像关于点(12,0)对称，可得f (12+x)+f (12−x)=0，进而可推出f (x )最小正周期为2，所以f (π)=f (π−4)=f (4−π)，代入题中所给解析式即可求出结果． 【解答】因为y =f (x )图像关于点(12,0)对称，所以f (12+x)+f (12−x)=0，所以f (1+x )+f (−x )=0，又y =f (x )为偶函数，所以f (−x )=−f (x )，所以f (x +2)=−f (1+x )=f (x )，所以函数f (x )最小正周期为2，所以f (π)=f (π−4)=f (4−π)=π−4+12=π−728. 【答案】 A【考点】复合函数的单调性 函数的对称性【解析】求出函数的定义域，利用对称性进行判断即可． 【解答】解：要使函数有意义，则{x −2>0,4−x >0,解得2<x <4，则函数的定义域为(2,4)，f (x +3)=ln (x +1)+ln (1−x )， f (3−x )=ln (1−x )+ln (1+x )， 则f (x +3)=f (3−x )，即函数关于x =3对称，故A 正确，B 错误，∵函数关于x=3对称，∴函数在定义域(2,4)上不具备单调性，故CD错误．故选A．9.【答案】C【考点】函数的对称性【解析】根据函数对称性的性质建立方程进行求解即可．【解答】解：设对称中心的坐标为(a,b)，则有2b=f(a+x)+f(a−x)对任意x均成立，代入函数解析式得，2b=(a+x)3−2021(a+x)+1+(a−x)3−2021(a−x)+1对任意x均成立，解得a=0，b=1，即对称中为(0,1)．故选C．10.【答案】B【考点】基本不等式在最值问题中的应用函数的对称性【解析】无【解答】解：因为f(x)=11+e x，所以f(−x)=11+e−x，所以f(x)+f(−x)=1．由于函数f(x)=11+e x在定义域上单调递减，正实数m，n满足f(m−1)+f(n)=1，故1−m=n，所以m+n=1，所以1m +4n=(m+n)(1m+4n)=5+nm +4mn≥5+2√4=9（当且仅当2m=n=23时，等号成立）．故选B．11.【答案】C【考点】对数函数的单调性与特殊点函数的对称性【解析】【解答】解：由f (x )=f (2−x )．得f (x )的图象关于直线x =1对称，又当x ≥1时，f (x )=lg x ． 故函数f (x )的大致图象如图所示．则有f (12)<f (13)<f (0)=f (2)．故选C ．12.【答案】 C【考点】分段函数的应用 函数的对称性【解析】由题意，a >1时，显然成立；0<a <1时，f (x )=log a x ,关于原点的对称函数为f (x )=−log a (−x )则log a 4<−1，即可得到结论． 【解答】解：由题意，a >1时，显然成立， 0<a <1时，f (x )=log a x 关于原点的对称函数为： f (x )=−log a (−x )，则log a 4<−1， 解得，14<a <1.综上所述，a 的取值范围是(14,1)∪(1,+∞) ． 故选C ． 13. 【答案】 D【考点】 函数的对称性 等差数列的性质 【解析】此题暂无解析【解答】解：因为f(x)=(x−3)3+x−1，所以f(x)−2=(x−3)3+x−3，令g(x)=f(x)−2，所以g(x)关于(3,0)对称，因为f(a1)+f(a2)+⋯+f(a7)=14，所以f(a1)−2+f(a2)−2+⋯+f(a7)−2=0，所以g(a1)+g(a2)+⋯+g(a7)=0，所以g(4)为g(x)与x轴的交点，因为g(x)关于(3,0)对称，所以a4=3，所以a1+a2+⋯+a7=7a4=21．故选D．14.【答案】C【考点】奇偶性与单调性的综合函数的对称性【解析】由题意，f(x)关于(2,0)对称，f(2)=0，当x>2时，函数f(x)单调递减，则函数f(x)<0，x<2时，函数f(x)单调递减，函数f(x)>0，由题意设x1<x2，则由题意，x1−2<0且x2−2>0,|x1−2|>|x2−2|则f(x1)>0f(x2)<0，且|f(x1)|>|f(x2)|，可将f(x1)+f(x2)小于0等价转化解之可得结果.【解答】解：定义在R上的函数f(x)，满足f(−x)=−f(x+4)，则f(x)关于(2,0)对称，令x=−2，则f(2)=−f(2)，所以f(2)=0，当x>2时，函数f(x)单调递减，所以x>2时，函数f(x)<0，当x<2时，函数f(x)单调递减，所以x<2时，函数f(x)>0，所以函数f(x)在R上单调递减，根据f(x+1)=−f(3−x)，所以f(x2+x)<f(3−x)，所以x2+x>3−x，解得x>1或x<−3.故选C．15.【答案】C【考点】函数的图象变换函数的对称性【解析】函数g(x)关于y轴对称的函数为y=x2+ln(−x+a),因为函数f(x)=x2+e x−1,x<0与g(x)=x2+ln(x+a)图象上存在关于y轴对称的点,函数f(x)=x2+e x−1,x<0与y=x2+ln(−x+a)有交点,化为函数y=e x−1与y=ln(−x+a)在x<0时图象有交点,数形结合法求解即可.【解答】解：设(x,y)是函数g(x)关于y轴对称的图象上的点，则(−x,y)在函数g(x)的图象上，将(−x,y)代入g(x)=x2+ln(x+a)，可得y=x2+ln(−x+a)，因为函数f(x)=x2+e x−1(x<0)与g(x)=x2+ln(x+a)图象上存在关于y轴对称的点，所以函数f(x)=x2+e x−1(x<0)与y=x2+ln(−x+a)有交点，即x2+e x−1=x2+ln(−x+a)，x<0有解，即e x−1=ln(−x+a)，x<0有解，作函数y=e x−1与y=ln(−x+a)在x<0时的图象，临界值在x=0处取到（虚取），此时a=1，要使函数y=e x−1与y=ln(−x+a)在x<0时有交点，则a<1.故选C.二、填空题（本题共计 8 小题，每题 3 分，共计24分）16.【答案】(0, 1)【考点】函数的对称性【解析】利用方式函数的性质进行求解即可．【解答】解：f(x)=x+1x =1+1x，则函数f(x)的对称中心为(0, 1)，故答案为：(0, 1)17.【答案】10【考点】函数的周期性函数的对称性【解析】运用函数的对称性和奇偶性，确定函数y=f(x)的周期，构造函数y=f(x),ℎ(x)= |lg x|，则函数lg(x)=f(x)−|lg x|的零点问题转化为图象的交点问题，结合图象，即可得到结论．偶函数y=f(x)满足f(1+x)=f(1−x)即函数M(x)关于x=对称，即有f(x+2)=f(−x)=f(x)则函数y =f (x )的周期为2，构造函数y =f (x ),ℎ(x )=lg x则函数lg (x )=f (x )−lg x 的零点问题转化为图象的交点问题，画出函数图象，如图，由于f (x )的最大值1，所以x >10时，图象没有交点，在(0,1)上有一个交点，(1,3),(3,5),(5,7),(7,9)上各有两个交点，在(9,10)上有一个交点，故共有10个交点，即函数零点的个数为10．故答案为10．【解答】此题暂无解答18.【答案】∼1.【考点】函数的对称性复合函数的单调性【解析】根据题意，由函数的奇偶性与对称性分析可得f (x +8)=f (x )，即函数f (x )是周期为8的周期函数，据此可得f (19)=f (3+2×8)=f (3)=−f (−1)=−f (1)，再由函数的解析式计算即可．【解答】根据题意，y =f (x )是定义域为R 的偶函数，则f (−x )=f (x )又由y =f (x )得图象关于点(2,0)对称，则f (−x )+f (x +4)=0所以f (x +4)=−f (x )，即函数y =f (x )是周期为8的周期函数，所以f (19)=f (3+2×8)=f (3)=−f (−1)=−f (1)又当x ∈(0,2)时，f (x )=x 2，则f (1)=1所以f (19)=−f (1)=−1故答案为：—1．19.【答案】14【考点】函数的周期性函数的对称性【解析】利用f (4−x )=f (x )，且周期为2，可得f (−x )=f (x )，得f (52)=f (−52)【解答】f (4−x )=f (x )，且周期为2，f (−x )=f (x )，又当x ∈[−3,−2]时，f (x )=(x +2)2f (52)=f (−52)=(−52+2)2=14故答案为：1420.【答案】2【考点】函数的对称性【解析】无【解答】解：因为f(x)+f(−x)=2，所以y=f(x)关于点(0,1)对称，+1也关于点(0,1)对称，y=g(x)=1x则交点关于(0,1)对称，∴y1+y2=2．故答案为：2．21.【答案】(−∞，4]【考点】函数的对称性函数的图象【解析】利用函数的图象和函数的对称性解不等式即可. 【解答】解∵ f(x)=−f(2−x)，∴ f(x)+f(2−x)=0，∴ f(x+1)+f(1−x)=0，∴ f(x)关于点(1,0)对称，∵ x≥1时，y=logx，2由对称性作出f(x)在R上的图象，令f(x)=2，则log2x=2，解得x=4，故由图像可知f(x)≤2时，x≤4，故f(x)≤2解集为(−∞，4].故答案为：(−∞，4].22.【答案】−4x 3−24x 2−28x +8【考点】函数的对称性导数的运算【解析】【解答】解：∵ 函数f (x )=(1−x 2)(x 2+ax +b )的图象关于直线x =−2对称，∴ f (−1)=f (−3)=0，且f (1)=f (−5)=0，即[1−(−3)2][(−3)2+a ⋅(−3)+b ]=0，且[1−(−5)2][(−5)2+a ⋅(−5)+b ]=0，整理得{9−3a +b =0,25−5a +b =0,解得{a =8,b =15,因此，f (x )=(1−x 2)(x 2+8x +15)=−x 4−8x 3−14x 2+8x +15，求导得f ′(x )=−4x 3−24x 2−28x +8.故答案为：−4x 3−24x 2−28x +8.23.【答案】①④【考点】奇偶性与单调性的综合函数的对称性根的存在性及根的个数判断等比数列的前n 项和【解析】此题暂无解析【解答】解：①由题得，当x >0时，f(x)在(2k −1,2k](k ∈N ∗)上单调递增，又f(x)是定义在R 上的奇函数，当k =3时，f(x)在(5,6)上单调递增，所以f(x)在(−6,−5)上单调递增，故①正确；②作出函数f(x)的图象，如图，由图知f(x)的图象与y =x 有三个不同的交点，故②错误；③[f (x )]2−(a +1)f (x )+a =0(a ∈R )，整理得[f(x)−a][f(x)−1]=0，设方程的四个跟为x1，x2，x3，x4.当f(x)=1时，有唯一解x1=2，所以f(x)=a(a≠1)有三个不相等的实数根，由图象可知，当a=±12时，方程f(x)=a有三个不相等的实数根，当a=12时，x2+x3=2×1=2，x4=4，此时x1+x2+x3+x4=8当a=−12时，x2+x3=2×(−1)=−2，，x4=−4，此时x1+x2+x3+x4=−4，故③错误；④由函数的单调性可知，f(x)在[2k−1,2k](k∈N∗)上的最大值a k=f(2k)(k∈N∗)，所以数列{a n}的通项公式为a n=12n−1，则数列{a n}的前7项和为1−1 271−12=2−126=12764，故④正确.故答案为：①④.三、解答题（本题共计 5 小题，每题 10 分，共计50分）24.【答案】2【考点】函数的对称性【解析】设点(x,y)是y=f(x)的图像上任一点，则点(−y,−x)必在y=2x+1的图象上，根据对称性先求出f(x)的解析式，再代入解析式即可求出答案．【解答】解：设点(x,y)是y=f(x)的图像上任一点，则点(−y,−x)必在y=2x+1的图象上，−x=2−1++y=a−log2(−x)，即f(x)=a−log2(−x)f(−2)+f(−4)=(a−log22)+(a−log24)=a−1+a−2=2a−3=1a=225.【答案】解：∵幂函数f(x)=x3m−9(m∈N∗)在(0, +∞)上是减函数，∴3m−9<0，解得m<3，∵m∈N∗，∴m=1或m=2，∵函数的图象关于y轴对称，∴3m−9是偶数，∴m=1，∵(a+1)−m<(3−2a)−m，∴(a+1)−1<(3−2a)−1，∴a+1>3−2a>0或0>a+1>3−2a或a+1<0<3−2a，解得23<a<32．∴实数a的取值范围是(23, 32 )．【考点】函数的对称性其他不等式的解法幂函数的单调性、奇偶性及其应用幂函数的性质【解析】由幂函数的单调性和奇偶性结合已知条件求出m=1，从而得到(a+1)−1<(3−2a)−1，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：∵幂函数f(x)=x3m−9(m∈N∗)在(0, +∞)上是减函数，∴3m−9<0，解得m<3，∵m∈N∗，∴m=1或m=2，∵函数的图象关于y轴对称，∴3m−9是偶数，∴m=1，∵(a+1)−m<(3−2a)−m，∴(a+1)−1<(3−2a)−1，∴a+1>3−2a>0或0>a+1>3−2a或a+1<0<3−2a，解得23<a<32．∴实数a的取值范围是(23, 32 )．26.【答案】解：(1)∵f(x)=2x+12x，∴当2x+12x =52时，解得x=1或x=−1，∴f(x)=52的根为x=1或x=−1.(2)证明：任取x1,x2∈[0,+∞），且x1>x2，则f(x1)−f(x2)=22x1+12x1−22x2+12x2=(2x1−2x2)(2x1+x2−1)2x1+x2.∵x1>x2>0，则2x1>2x2，则2x1+x2>1，∴ f(x1)−f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴ 证得f(x)在[0,+∞)上是增函数.(3)由题意得f(2x)−f(x)=122x +22x−2x−12x，令2x+12x=t(t≥2)，则ℎ(t)=t2−2−t，∴对称轴为t=12，∴ℎ(t)min=ℎ(2)=0，则−m≤0，∴m≥0，综上所述，m的最小值为0. 【考点】函数的求值函数单调性的判断与证明函数恒成立问题函数的对称性【解析】直接求解方程即可.利用函数单调性的定义证明即可.通过构造二次函数，结合函数最值求解即可.【解答】解：(1)∵ f (x )=2x +12x ， ∴ 当 2x +12x =52 时，解得 x =1 或x =−1，∴ f (x )=52的根为 x =1 或x =−1. (2)证明：任取x 1,x 2∈[0,+∞） ，且 x 1>x 2，则f (x 1)−f (x 2)=22x 1+12x 1−22x 2+12x 2 =(2x 1−2x 2)(2x 1+x 2−1)2x 1+x 2.∵ x 1>x 2>0，则 2x 1>2x 2 ，则 2x 1+x 2>1，∴ f (x 1)−f (x 2)>0 ，即 f (x 1)>f (x 2)，∴ 证得 f (x ) 在[0,+∞)上是增函数.(3)由题意得 f (2x )−f (x )=122x +22x −2x −12x ，令 2x +12x =t (t ≥2)，则ℎ(t )=t 2−2−t ，∴ 对称轴为 t =12 ，∴ ℎ(t )min =ℎ(2)=0，则 −m ≤0 ，∴ m ≥0，综上所述 ，m 的最小值为0.27.【答案】解：(1)∵ f(x)=f(2−x)，∴ f(x)的图象关于x =1对称，∴ a =1．(2)令2x =t ，则原不等式可化为m ≤(1−1t )2(t ≥2)恒成立，∴ m ≤(1−1t )min 2=14，∴ m 的取值范围是(−∞,14]． (3)令b =|log 2x|，则y =g(x)可化为y =b 2−(k +2)b +k +1=(b −1)(b −k −1)，由(b −1)(b −k −1)=0可得b 1=1或b 2=k +1，∵ y =g(x)有4个零点，b 1=|log 2x|有2个零点，∴ b 2=|log 2x|有2个零点，∴ b 2=k +1>0，∴ k >−1．【考点】函数的对称性函数恒成立问题函数的零点与方程根的关系【解析】(1)由题意可得对称轴为x ＝1，计算可得a 的值；(2)原不等式可化为m ≤(1−1t )2(t ≥2)恒成立，由函数的性质可得最小值，即可得到所求范围；(3)令t ＝|log 2x|，则y ＝g(x)可化为y ＝t 2−(k +2)t +k +1＝(t −1)(t −k −1)，令y ＝0，解方程，再令其根大于0，可得所求范围．【解答】解：(1)∵ f(x)=f(2−x)，∴ f(x)的图象关于x =1对称，∴ a =1．(2)令2x =t ，则原不等式可化为m ≤(1−1t )2(t ≥2)恒成立，∴ m ≤(1−1t )min 2=14，∴ m 的取值范围是(−∞,14]． (3)令b =|log 2x|，则y =g(x)可化为y =b 2−(k +2)b +k +1=(b −1)(b −k −1)，由(b −1)(b −k −1)=0可得b 1=1或b 2=k +1，∵ y =g(x)有4个零点，b 1=|log 2x|有2个零点，∴ b 2=|log 2x|有2个零点，∴ b 2=k +1>0，∴ k >−1．28.【答案】解：(1)由题知：函数f (x )为偶函数，函数g (x )为奇函数，且f (x )−g (x )=e −x ①，则f(−x)−g(−x)=e −(−x)=e x ，又由f (−x )=f (x )，g (−x )=−g (x )，故f (x )+g (x )=e x ②，则由①②式，解得f (x )=e x +e −x 2，g (x )=e x −e −x 2．(2)由f (2x )>ag (x )在(1,+∞)上恒成立，即e 2x +e −2x 2>a ⋅e x −e −x 2在(1,+∞)上恒成立，即e 2x −2⋅e x ⋅e −x +e −2x +2>a (e x −e −x )在(1,+∞)上恒成立，则(e x −e −x )2−a (e x −e −x )+2>0在(1,+∞)上恒成立.令t =e x −e −x ，易知t =e x −e −x 在x ∈(1,+∞)上单调递增，故t ∈(e −1e ,+∞)， 即t 2−at +2>0在(e −1e ,+∞)上恒成立．由at <t 2+2，即a <t +2t ，且y =t +2t 在[√2,+∞）上单调递增，e −1e >√2， 得y =t +2t 在(e −1e ,+∞)上的最小值为e 2−1e +2e e 2−1=e 4+1e (e 2−1)， 故a ≤e 4+1e (e 2−1)． (3)由H (x )=g (x+1)f (x+1)+1=e x+1−e −(x+1)e x+1+e −(x+1)+1 =2e x+1e x+1+e −(x+1).令G (x )=2e x e x +e −x ，则G (−x )=2e −x e −x +e x ，故G (x )+G (−x )=2(e x +e −x )e x +e −x =2，又由G (x +1)=H (x )，a +b =1，故H (−4+a )+H (b +1)=G (−3+a )+G (b +2)=G(−3+a)+G[(1−a)+2]=G (−3+a )+G (3−a )=2．【考点】函数奇偶性的性质函数解析式的求解及常用方法函数恒成立问题二次函数在闭区间上的最值函数的求值函数的对称性【解析】由题知：函数f (x )为偶函数，函数g (x )为奇函数，且f (x )−g (x )=e −x ①，则f(−x)−g(−x)=e −(−x)=e x ，又由f (−x )=f (x )，g (−x )=−g (x )，故f (x )+g (x )=e x ②，则由①②式，解得f (x )=e x +e −x 2，g (x )=e x −e −x 2． (2)由f (2x )>ag (x )在(1,+∞)上恒成立，即e 2x +e −2x 2>a e x −e −x 2在(1,+∞)上恒成立，即e 2x −2⋅e x ⋅e −x +e −2x +2>a (e x −e −x )在(1,+∞)上恒成立，则(e x −e −x )2−a (e x −e −x )+2>0在(1,+∞)上恒成立，令t =e x −e −x ，易知t =e x −e −x 在x ∈(1,+∞)上单调递增；解关于t 的二次函数求出a 的范围．(３)由H (x )=g (x+1)f (x+1)+1=e x+1−e −(x+1)e x+1+e −(x+1)=2e n+1e x+1+e −(x+1)，令G (x )=2e x e x +e −x ，又由G (−x )=2e −xe −x +e x ，且G (−x )+G (x )=2(e x +e −x )e x +e −x =2，故G (x +1)=H (x )，a +b =1，故H (−4+a )+H (b +1)=G (−3+a )+G (b +2)=2．【解答】解：(1)由题知：函数f (x )为偶函数，函数g (x )为奇函数，且f (x )−g (x )=e −x ①， 则f(−x)−g(−x)=e −(−x)=e x ，又由f (−x )=f (x )，g (−x )=−g (x )，故f (x )+g (x )=e x ②，则由①②式，解得f (x )=e x +e −x 2，g (x )=e x −e −x 2．(2)由f (2x )>ag (x )在(1,+∞)上恒成立，即e 2x +e −2x 2>a ⋅e x −e −x 2在(1,+∞)上恒成立，即e 2x −2⋅e x ⋅e −x +e −2x +2>a (e x −e −x )在(1,+∞)上恒成立，则(e x −e −x )2−a (e x −e −x )+2>0在(1,+∞)上恒成立.令t =e x −e −x ，易知t =e x −e −x 在x ∈(1,+∞)上单调递增，故t ∈(e −1e ,+∞)， 即t 2−at +2>0在(e −1e ,+∞)上恒成立． 由at <t 2+2，即a <t +2t ，且y =t +2t 在[√2,+∞）上单调递增，e −1e >√2， 得y =t +2t 在(e −1e ,+∞)上的最小值为e 2−1e +2e e 2−1=e 4+1e (e 2−1)， 故a ≤e 4+1e (e 2−1)． (3)由H (x )=g (x+1)f (x+1)+1=e x+1−e −(x+1)e x+1+e −(x+1)+1=2e x+1e x+1+e −(x+1).令G (x )=2e x e x +e −x ，则G (−x )=2e −x e −x +e x ，故G (x )+G (−x )=2(e x +e −x )e x +e −x =2，又由G (x +1)=H (x )，a +b =1，故H(−4+a)+H(b+1)=G(−3+a)+G(b+2) =G(−3+a)+G[(1−a)+2]=G(−3+a)+G(3−a)=2．。

函数图象的对称性对称性是函数图象的一个重要性质，其中包含着函数的奇偶性．函数图象的对称性又分一个函数图象自身的对称性和两个函数图象的对称性．一、函数图象自身的对称性（自对称）结论1：若)()(x a f x a f -=+（⇔)()2(x f x a f =-，即函数)(x a f y +=为偶函数），则)(x f 的图象关于直线a x =对称．特别地，若)()(x f x f =-，则)(x f 的图象关于直线0=x 即y 轴对称． 证明:用x a -代换)()(x a f x a f -=+中的x ，可得)()2(x f x a f =-；再次用x a -代换)()2(x f x a f =-中的x ，可得)()(x a f x a f -=+．所以)()(x a f x a f -=+⇔)()-2(x f x a f =． 设))(,(x f x P 是)(x f 图象上的任意一点，则它关于直线a x =的对称点为))(,2('x f x a P -，因为)()-2(x f x a f =，所以))2(,2('x a f x a P --，即'P 在)(x f 的图象上．所以)(x f 的图象关于直线a x =对称．例1 (2009年高考山东卷)已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足)()4(x f x f -=-，且在区间]2,0[上是增函数，则（ ）A ．)80()11()25(f f f <<-B ．)25()11()80(-<<f f fC ．)25()80()11(-<<f f fD ．)11()80()25(f f f <<-分析：由条件)()4(x f x f -=-可得函数的周期性，用其先把三个函数值化简，然后结合函数的奇偶性，得出函数图象的对称性，即可进一步转化函数值，最后用函数的单调性比较大小．解：由)()4(x f x f -=-，可得)()4()4)4(()8(x f x f x f x f =--=--=-，所以)(x f 的周期8=T ，所以)0()80(),3()11(),1()25(f f f f f f ==-=-．因为)(x f 是定义在R 上的奇函数，所以0)80(),1()25(=-=-f f f ，)()4(x f x f =-，所以)(x f 图象关于直线2=x 对称，所以)1()3()11(f f f ==．因为在区间]2,0[上是增函数，所以0)0()1(=>f f ，所以0)1(<-f ，所以)11()80()25(f f f <<-．选D ．评注：若画出草图，数形结合，会把抽象函数直观化，更快捷．练习1 设)(x f 是定义在实数集R 上的函数，且满足下列关系)10()10(x f x f -=+， )20()20(x f x f -=+，则)(x f 是（ ）A ．偶函数，又是周期函数B ．偶函数，但不是周期函数C ．奇函数，又是周期函数D ．奇函数，但不是周期函数解：由)10()10(x f x f -=+可得)(x f 图象关于直线10=x 对称，由)20()20(x f x f -=+可得)(x f 图象关于直线20=x 对称，所以)(x f 是周期函数，其周期20|1020|2=-=T ，同时得)(x f 图象关于y 轴对称，所以)(x f 是偶函数．选A ．练习2 已知)(x f 是定义域为R 的奇函数，满足)1()1(x f x f -=+．若2)1(=f ，则=+++)50()2()1(f f f （ ）A ．50-B ．0C ．2D ．50解：由)1()1(x f x f -=+可得)(x f 图象关于直线1=x 对称，又因为)(x f 是奇函数，所以)(x f 是周期函数，其周期4|01|4=-=T ．因为0)0()2(==f f ，2)1()3(-=-=f f ，0)0()4(==f f ，所以++)2()1(f f 0)4()3(=+f f ，所以2)2()1()50()2()1(=+=+++f f f f f ．选C ．例2 (2022年新高考Ⅰ卷，多选题)已知函数)(x f 及其导函数)('x f 的定义域均为R ，记)()('x f x g =，若)2(,223x g x f +⎪⎭⎫ ⎝⎛-均为偶函数，则（ ） A ．0)0(=f B ．021=⎪⎭⎫ ⎝⎛-g C ．)4()1(f f =- D ．)2()1(g g =- 解：由⎪⎭⎫ ⎝⎛-x f 223为偶函数，可得⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x f x f 223223，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x f x f 2323①，所以)(x f 图象关于直线23=x 对称，把25=x 代入①式得)4()1(f f =-，所以C 正确；由)2(x g +为偶函数，可得)2()2(x g x g +=-②，所以)(x g 图象关于直线2=x 对称，由②无法推出D ，错误．依题意23=x 是)(x f 的极值点，所以023=⎪⎭⎫ ⎝⎛g ；所以0252322=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯g g ，所以25=x 是)(x f 的极值点，所以2125232=-⨯=x 也是)(x f 的极值点，所以021=⎪⎭⎫ ⎝⎛g ；所以0272122=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯g g ，所以27=x 也是)(x f 的极值点，所以2127232-=-⨯=x 也是)(x f 的极值点，所以021=⎪⎭⎫ ⎝⎛-g ，所以B 正确．)0(f 是)(x f 的常数项，不一定为0，所以A 错误．例3 函数x x x f 212)(4+=+的图象关于（ ） A ．点)0,2(-对称 B ．直线2-=x 对称 C ．点)0,2(对称 D ．直线2=x 对称解法一：⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++222124)(x x x f ，易证明x x y 212+=是偶函数，图象关于y 轴对称，而22212+++=x x y 的图象可由前者向左平移2个单位得到，所以)(x f 图象关于直线2-=x 对称．选B ．解法二：组成)(x f 两个函数之间用+号连接，所以二者交换位置依然如故，设用y 代换其中的x 可以达成互换，即⎩⎨⎧+=--=+.4,4x y x y 解得4--=x y ，所以)()4(x f x f =--，所以)(x f 图象关于直线2-=x 对称．选B ．练习3 已知)4ln()2ln()(x x x f -+-=，则（ A ）A ．)(x f 的图象关于直线3=x 对称B ．)(x f 的图象关于点)0,3(对称C ．)(x f 在)4,2(上单调递增D ．)(x f 在)4,2(上单调递减结论2：若)()(x b f x a f -=+，则)(x f 的图象关于直线2b a x +=对称；若)()(x f x b a f =-+，则)(x f 的图象关于直线2b a x +=对称；若)()(mx b f mx a f -=+，则)(x f 的图象关于直线2b a x +=对称；若)()(mx f mx b a f =-+，则)(x f 的图象关于直线2b a x +=对称．显然结论1是结论2的特例． 证明:设))(,(x a f x a P ++是)(x f 图象上的任意一点，则它关于直线2b a x +=的对称点为))(,('x a f x b P +-，因为)()(x b f x a f -=+，所以))(,('x b f x b P --，即'P 在)(x f 的图象上．所以)(x f 的图象关于直线2b a x +=对称． 例4 (2021年高考全国甲卷)设)(x f 是定义域为R 的奇函数，且)()1(x f x f -=+．若3131=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f ，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛35f （ ） A ．35- B ．31- C ．31 D ．35 分析：把)(x f -视为)0(x f -，即可由结论2得出)(x f 图象的对称性，进而再结合奇偶性求出)(x f 的周期，即可转化⎪⎭⎫ ⎝⎛35f ． 解：由)()1(x f x f -=+可得)0()1(x f x f -=+，所以)(x f 图象关于直线21201=+=x 对称，又因为)(x f 是奇函数，所以)(x f 的周期20214=-=T ，所以313135=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ．选C ． 评注：函数图象的对称性还可以由结论1得出：因为)())(1()1(x f x f x f -=--=+，所以)(x f 图象关于直线21=x 对称． 练习4 若函数)(x f 在定义域R 内可导，)1.0()9.1(x f x f -=+，且0)()1('<-x f x ，)3(,21),0(f c f b f a =⎪⎭⎫ ⎝⎛==，则c b a ,,的大小关系是（ ） A ．c b a >> B ．b a c >> C ．a b c >> D ．c a b >>解：由)1.0()9.1(x f x f -=+可得)(x f 的图象关于直线121.09.1=+=x 对称，所以)1(-=f c ． 由0)()1('<-x f x 可知当1<x 时，0)('>x f ，)(x f 单调递增，所以b a c <<．选D ．结论3：若)()(x a f x a f --=+（⇔)()2(x f x a f -=-或0)()(=-++x a f x a f ，即函数)(x a f y +=为奇函数），则)(x f 的图象关于点)0,(a 对称．特别地，若)()(x f x f --=（0)()(=-+x f x f ），则)(x f 的图象关于点)0,0(即原点对称．证明:设))(,(x f x P 是)(x f 图象上的任意一点，则它关于点)0,(a 的对称点为))(,2(x f x a P --，，因为)()2(x f x a f -=-，所以))2(,2('x a f x a P --，即'P 在)(x f 的图象上．所以)(x f 的图象关于点)0,(a 对称．例5 （1992年全国高中数学联赛）设)(x f 是定义在实数集R 上的函数，且满足下列关系)10()10(x f x f -=+，)20()20(x f x f --=+，则)(x f 是（ ）A ．偶函数，又是周期函数B ．偶函数，但不是周期函数C ．奇函数，又是周期函数D ．奇函数，但不是周期函数解：由)10()10(x f x f -=+可得)(x f 图象关于直线10=x 对称，由)20()20(x f x f --=+可得)(x f 图象关于点)0,20(对称，所以)(x f 是周期函数，其周期40|1020|4=-=T ，同时得)(x f 图象关于原点对称，所以)(x f 是奇函数．选C ．练习5 函数x x e e x f --=2)(的图象关于（） A ．点)0,1(对称 B ．直线1-=x 对称 C ．点)0,1(-对称 D ．直线1=x 对称 解法一：)()(11x x e e e x f ---=，易证明x x e e y --=是奇函数，图象关于原点对称，而x x e e y ---=11的图象可由前者向右平移1个单位得到，所以)(x f 图象关于点)0,1(对称．选A ．解法二：组成)(x f 两个函数之间用—号连接，所以二者交换位置后互为相反，设用y 代换其中的x 可以达成前后互换，即⎩⎨⎧=--=.2,2x y x y 解得x y -=2，所以)()2(x f x f -=-，所以)(x f 图象关于点)0,1(对称对称．选A ．结论4：若)(2)(x a f b x a f --=+（⇔)(2)2(x f b x a f -=-或b x a f x a f 2)()(=-++），则)(x f 的图象关于点),(b a 对称．若)(2)(x n f b x m f --=+（b x n f x m f 2)()(=-++），则)(x f 的图象关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛+b n m ,2对称． 证明:设))(,(x f x P 是)(x f 图象上的任意一点，则它关于点),(b a 的对称点为))(2,2(x f b x a P --，，因为)(2)-2(x f b x a f -=，所以))2(,2('x a f x a P --，即'P 在)(x f 的图象上．所以)(x f 的图象关于点),(b a 对称．例6 (2022年高考全国乙卷)已知函数)(),(x g x f 的定义域均为R ，且)(,5)2()(x g x g x f =-+ 7)4(=--x f ．若)(x g y =的图象关于直线2=x 对称，4)2(=g ，则∑==221)(i k f （ ） A ．21-B ．22-C ．23-D ．24- 分析：根据对称性和已知条件得到2)2()(-=-+x f x f ，从而得到10)21()5()3(-=+++f f f ，10)22()6()4(-=+++f f f ，易求)2(f 的值，再由题意得到6)3(=g ，进而可得)1(f 的值．解：因为)(x g y =的图象关于直线2=x 对称，所以)2()2(+=-x g x g ，因为7)4()(=--x f x g ，所以7)2()2(=--+x f x g ，即)2(7)2(-+=+x f x g ；因为5)2()(=-+x g x f ，所以5)2()(=++x g x f ，所以5)2(7)(=-++x f x f ，即2)2()(-=-+x f x f ，所以10)21()5()3(-=+++f f f ，10)22()6()4(-=+++f f f ．因为5)2()(=-+x g x f ，所以5)2()0(=+g f ，所以1)0(=f ，所以3)0(2)2(-=--=f f ． 因为7)4()(=--x f x g ，所以7)()4(=-+x f x g ，又因为5)2()(=-+x g x f ，二者相加得12)2()4(=-++x g x g ，所以)(x g y =的图象关于点)6,3(对称，所以6)3(=g ；因为5)2()(=++x g x f ，所以1)3(5)1(-=-=g f ．所以24101031)(221-=----=∑=i k f ．选D ．评注：本例中的图象对称比较隐蔽，需对相关对称的表达式很熟悉，同时还要瞄准目标，善于转化，方能成功求解．练习6 已知函数)12(+=x f y 的图象关于直线1=x 对称，函数)1(+=x f y 的图象关于点)0,1(对称，则下列说法正确的是（ ）A ．0)1(=fB ．)1()1(x f x f +=-C ．)(x f 的周期是2D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x f x f 23)( 解：由)12(+=x f y 的图象关于直线1=x 对称，可得)1)1(2()1)1(2(++=+-x f x f ，即)23()23(x f x f +=-，所以)3()3(x f x f +=-，所以)(x f 的图象关于直线3=x 对称，所以)6()(x x f -=，无法得出⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x f x f 23)(，D 错误． 由)1(+=x f y 的图象关于点)0,1(对称和平移知识，可得)(x f 图象关于点)0,2(对称，所以)(x f 的周期4)23(4=-=T ，C 错误．由)1(+=x f y 的图象关于点)0,1(对称得0)2(=f ，由)(x f 的图象关于直线3=x 对称得0)4(=f ，由周期4=T 得0)0(=f ，无法得出0)1(=f ，A 错误．由)6()(x x f -=和4=T 可得)2()(x f x f -=，所以)1()1(x f x f +=-，所以B 正确．选B ．二、两个函数图象的对称性（互对称）结论5：函数)(x f y =与)2(x a f y -=的图象关于直线a x =对称；函数)(x f y =与)2(x a f y --=的图象关于点)0,(a 对称；函数)(x f y =与)2(2x a f b y --=的图象关于点),(b a 对称．证明:设))(,(x f x P 是)(x f 图象上的任意一点，则它关于直线a x =的对称点为))(,2(x f x a P -，，因为 )())2(2(x f x a a f =--，所以点'P 在)2(x a f y -=的图象上．点))(,(x f x P 关于点)0,(a 的对称点为))(,2(x f x a P --，，因为)())2(2(x f x a a f -=---，所以点'P 在)2(x a f y --=的图象上．反向证明略．例7 下列函数中，其图象与函数)1ln(+=x y 的图象关于直线1=x 对称的是（ ）A ．)1ln(x y -=B ．)3ln(x y -=C ．)1ln(x y +=D ．)3ln(x y += 解:设)1ln()(+=x x f ，则与其关于直线1=x 对称的是)3ln()12ln()2(x x x f -=+-=-的图象．选B ．结论6：函数)(x a f y +=与)(x a f y -=的图象关于直线0=x （y 轴）对称；函数)(x a f y +=与)(x a f y --=的图象关于点)0,0(（原点）对称．证明:设))(,(x a f x P +是)(x a f y +=图象上的任意一点，则它关于直线0=x 的对称点为))(,(x a f x P +-，，因为)())((x a f x a f +=--，所以点'P 在)(x a f y -=的图象上．点))(,(x a f x P +关于点)0,0(的对称点为))(,(x a f x P +--，，因为)())((x a f x a f +-=---，所以点'P 在)(x a f y --=的图象上．反向证明略．结论7：函数)(x a f y +=与)(x b f y -=的图象关于直线2||b a x -=对称；函数)(x a f y +=与)(x b f y --=的图象关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2||b a 对称；函数m x a f y ++=)(与n x b f y +--=)(的图象关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2,2||n m b a 对称．结论5，6是结论7的特殊情况． 证明: 不妨设a b >，则22||a b b a -=-． 设))(,(x a f x P +是)(x a f y +=图象上的任意一点，则它关于直线2a b x -=的对称点为))(,(x a f x a b P +--，，因为)())((x a f x a b b f +=---，所以点'P 在)(x b f y -=的图象上． 点))(,(x a f x P +关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2a b 的对称点为))(,(x a f x a b P +---，，因为)())((x a f x a b b f +-=----，所以点'P 在)(x b f y --=的图象上．反向证明略．例8 函数1)1(+-=x f y 与3)3(---=x f y 的图象关于点 对称．解: 两个函数的图象关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛---231,2)1(3即()1,2- 结论8：函数)(x f y =与)(x f y --=的图象关于原点对称；函数)(x f y =与)(x f y -=的图象关于x 轴对称；函数)(x f y =与)(x f y -=的图象关于y 轴对称．例9 （1989年全国高中数学联赛）已知函数)(x f 的定义域均为R ，则)1(-=x f y 与)1(x f y -=的图象（ ）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于直线1=x 对称D ．关于直线1=y 对称 解:因为)(x f y =与)(x f y -=关于y 轴对称，而)1(-=x f y 与)1(x f y -=的图象可视为前两者向右平移1个单位所得，所以二者图象关于直线1=x 对称．选C ．评注：结论：函数)(a x f y -=与)(x a f y -=的图象关于直线a x =对称．练习7 函数)ln(x x y -=与x x y ln =的图象关于( )A ．直线x y =对称B ．x 轴对称C ．y 轴对称D ．原点对称解:设)ln()(x x x f -=，则x x y ln =为)(x f y --=，所以二者图象关于原点对称．选D ．。

函数对称知识点高中总结一、函数对称的定义1. 函数对称轴函数对称轴是指当函数关于某个直线对称时，这条直线就是函数的对称轴。

对称轴可以是x轴、y轴，也可以是直线y=x或y=-x等。

2. 函数对称关系当函数关于某个直线对称时，函数图象在这条直线上的对应点互相关于对称轴对称。

具体地说，设函数为y=f(x)，对称轴为直线x=a，若对于任意点(x,y)，都有a-x对称点也在函数图象上，即有f(a-x)=f(x)。

3. 偶函数若函数f(x)满足f(x)=f(-x)，即对于任意x，有f(x)=f(-x)，则称f(x)为偶函数。

偶函数的图象关于y轴对称。

4. 奇函数若函数f(x)满足f(x)=-f(-x)，即对于任意x，有f(x)=-f(-x)，则称f(x)为奇函数。

奇函数的图象关于原点对称。

二、函数对称的性质1. 对称关系的性质（1）关于y轴对称的函数f(x)满足f(x)=f(-x)，即f(x)为偶函数；（2）关于原点对称的函数f(x)满足f(-x)=-f(x)，即f(x)为奇函数。

2. 函数对称轴的性质（1）当函数对称于y轴时，其对称轴为y轴，表现为f(x)=f(-x)；（2）当函数对称于x轴时，其对称轴为x轴，表现为f(x)=-f(-x)；（3）当函数对称于直线y=x时，其对称轴为y=x，表现为f(y)=f(x)；（4）当函数对称于直线y=-x时，其对称轴为y=-x，表现为f(-y)=f(-x)。

3. 对称函数的图象（1）偶函数的图象关于y轴对称；（2）奇函数的图象关于原点对称。

三、函数对称的分类1. 偶函数与奇函数（1）偶函数：满足f(x)=f(-x)的函数称为偶函数。

例如，y=x^2、y=cosx等都是偶函数。

（2）奇函数：满足f(x)=-f(-x)的函数称为奇函数。

例如，y=x^3、y=sinx等都是奇函数。

2. 关于坐标轴的对称函数（1）关于y轴对称：函数图象关于y轴对称，即f(x)=f(-x)的函数。

【最新】高中函数对称性总结高中函数的对称性是一个重要的数学概念，对于理解和运用函数有着重要的意义。

在高中数学的教学中，对称性是一个常见的考点和解题方法。

本文将对高中函数的对称性进行总结，包括函数关于x轴对称、关于y轴对称、关于原点对称以及关于直线对称等四种对称性。

一、函数关于x轴对称函数关于x轴对称是指当函数图象关于x轴对称时，函数具有关于x轴对称的性质。

具体表现为当函数中的每一个点(x, y)在图象中时，其对称点(x, -y)也在图象中。

函数关于x轴对称的特点包括：1. 函数的解析式中只包含偶次幂的项，如x²、x⁴等；2. 函数的图象关于x轴对称；3. 函数的奇偶性为偶函数，即f(-x) = f(x)。

二、函数关于y轴对称函数关于y轴对称是指当函数图象关于y轴对称时，函数具有关于y轴对称的性质。

具体表现为当函数中的每一个点(x, y)在图象中时，其对称点(-x, y)也在图象中。

函数关于y轴对称的特点包括：1. 函数的解析式中只包含偶次幂的项，如x²、x⁴等；2. 函数的图象关于y轴对称；3. 函数的奇偶性为偶函数，即f(-x) = f(x)。

三、函数关于原点对称函数关于原点对称是指当函数图象关于原点对称时，函数具有关于原点对称的性质。

具体表现为当函数中的每一个点(x, y)在图象中时，其对称点(-x, -y)也在图象中。

函数关于原点对称的特点包括：1. 函数的解析式中只包含偶次幂的项，如x²、x⁴等；2. 函数的图象关于原点对称；3. 函数的奇偶性为偶函数，即f(-x) = f(x)。

四、函数关于直线对称函数关于直线对称是指当函数图象关于一条直线对称时，函数具有关于直线对称的性质。

具体表现为当函数中的每一个点(x, y)在图象中时，其对称点关于直线的对称点也在图象中。

函数关于直线对称的特点包括：1. 函数的图象关于直线对称；2. 函数的解析式中可能包含奇次幂的项，如x³、x⁵等；3. 函数的奇偶性为奇函数，即f(-x) = -f(x)。

函数的对称性一、有关对称性的常用结论（一）函数图象自身的对称关系1、轴对称(1))(x f -=)(x f ⇔函数)(x f y =图象关于y 轴对称；(2) 函数)(x f y =图象关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+⇔()(2)f x f a x =- ⇔()(2)f x f a x -=+；（3）若函数)(x f y =定义域为R ，且满足条件)()(x b f x a f -=+，则函数)(x f y =的图象关于直线2b a x +=对称。

2、中心对称（1）)(x f -=－)(x f ⇔函数)(x f y =图象关于原点对称；.（2）函数)(x f y =图象关于(,0)a 对称⇔)()(x a f x a f --=+⇔()(2)f x f a x =-- ⇔)2()(x a f x f +=-；（3）函数)(x f y =图象关于),(b a 成中心对称⇔b x a f x a f 2)()(=++-⇔b x f x a f 2)()2(=+-（4）若函数)(x f y = 定义域为R ，且满足条件c x b f x a f =-++)()(（c b a ,,为常数），则函数)(x f y =的图象关于点)2,2(c b a + 对称。

（二）两个函数图象之间的对称关系 1.若函数)(x f y =定义域为R ，则两函数)(x a f y +=与)(x b f y -=的图象关于直线2a b x -=对称。

推论1：函数)(x a f y +=与函数)(x a f y -=的图象关于直线0=x 对称。

推论2：函数)(a x f y -=与函数)(x a f y -=的图象关于直线a x =对称。

2.若函数)(x f y =定义域为R ，则两函数)(x a f y +=与)(x b f c y --=的图象关于点)2,2(c a b -对称。

推论：函数)(x a f y +=与函数)(x b f y --=图象关于点)0,2(a b -对称。