函数的对称性完美

函数的对称性与周期性（归纳总结）一、函数对称性：1.2.3.4.5.6.7.8.f（a+x）=f（a-x）==>f（x）关于x=a对称f（a+x）=f（b-x）==>f（x）关于x=（a+b）/2对称f（a+x）=-f（a-x）==>f（x）关于点（a，0）对称f（a+x）=-f（a-x）+2b==>f（x）关于点（a，b）对称f（a+x）=-f（b-x）+c==>f（x）关于点[（a+b）/2，c/2]对称y=f（x）与y=f（-x）关于x=0对称y=f（x）与y=-f（x）关于y=0对称y=f（x）与y=-f（-x）关于点（0,0）对称例1：证明函数y=f（a+x）与y=f（b-x）关于x=（b-a）/2对称。

【解析】求两个不同函数的对称轴，用设点和对称原理作解。

证明：假设任意一点P（m，n）在函数y=f（a+x）上，令关于x=t的对称点Q（2tm，n），那么n=f（a+m）=f[b（2tm）] ∴b2t=a，==>t=（b-a）/2，即证得对称轴为x=（b-a）/2.例2：证明函数y=f（a-x）与y=f（xb）关于x=（a+b）/2对称。

证明：假设任意一点P（m，n）在函数y=f（a-x）上，令关于x=t的对称点Q（2tm，n），那么n=f（a-m）=f[（2tm）b] ∴2t-b=a，==>t=（a+b）/2，即证得对称轴为x=（a+b）/2.二、函数的周期性令a,b均不为零，若：1、函数y=f（x）存在f（x）=f（x+a）==>函数最小正周期T=|a|2、函数y=f（x）存在f（a+x）=f（b+x）==>函数最小正周期T=|b-a|3、函数y=f（x）存在f（x）=-f（x+a）==>函数最小正周期T=|2a|4、函数y=f（x）存在f（x+a）=1/f（x）==>函数最小正周期T=|2a|5、函数y=f（x）存在f（x+a）=[f（x）+1]/[1f（x）]==>函数最小正周期T=|4a|这里只对第2~5点进行解析。

函数对称性一知识点精讲：I 函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）1、)()(x b f x a f -=+⇔)(x f y =图象关于直线22)()(b a x b x a x +=-++=对称 证明：函数)(x f y =图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f x y =）关于直线2a b x +=的对称点为00(,)Q a b x y +-，00()[()]f a b x f b x a +-=-+000[()]()f b b x f x y =--==∴点Q 仍在函数的图象上，从而函数的图象关于直线a b +对称.推论1推论2推论32、f (证明对称点为(Q a b +∴点Q 推论1推论2推论3II 1、y 2、y 345.函数00000∴点Q 在函数()y f b x =-的图象上；反之函数()y f b x =-的图象上任一点关于直线2b a x -=的对称点也在函数()y f a x =+图象上.从而函数()y f a x =+与()y f b x =-的图象关于直线2b a x -=对称. 推论1:函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称推论2:函数)(x f y =与)2(x a f y -=图象关于直线a x =对称推论3:函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称6若函数)(x f y =的定义域为R ，则函数()y f a x =+与()y f b x =--的图象关于点(,0)2b a -对称.证明：函数()y f a x =+图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f a x y +=）关于点(,0)2b a -的对称点为00(,)Q b a x y ---，000[()]()f b b a x f a x y ----=-+=-∴点Q 在函数()y f b x =--的图象上；反之函数()y f b x =--的图象上任一点关于点(,0)2b a -的对称点也在函数()y f a x =+图象上.从而函数()y f a x =+与()y f b x =--的图象关于点(,0)2b a -对称. 二典例解析： 1、定义在实数集上的奇函数)(x f 恒满足)1()1(x f x f -=+，且)0,1(-∈x 时,512)(+=x x f ,则=)20(log 2f ________。

函数对称性的总结函数对称性是数学中一个重要的概念，可以帮助我们更好地理解和分析各种函数。

在本文中，我将总结函数对称性的基本概念、性质和应用，以及如何判断函数的对称性。

首先，什么是函数对称性？函数对称性指的是函数在某种变换下保持不变的性质。

具体来说，如果函数在某个变换下满足等式 f(x) = f(-x)，那么我们称这个函数具有对称性。

这个变换可以是关于原点对称、关于y轴对称、关于x轴对称等。

常见的函数对称性包括：1. 关于原点对称：如果一个函数满足 f(x) = f(-x)，则称该函数关于原点对称。

这意味着函数的图像在原点处对称，即图像的左右两侧是镜像关系。

2. 关于y轴对称：如果一个函数满足 f(x) = f(-x)，则称该函数关于y轴对称。

这意味着函数的图像在y轴上对称，即在图像的左右两侧相互重合。

3. 关于x轴对称：如果一个函数满足 f(x) = -f(-x)，则称该函数关于x轴对称。

这意味着函数的图像在x轴上对称，即图像关于x轴对称。

函数对称性的性质也值得我们注意：1. 对称性可以简化函数的分析和计算。

例如，如果一个函数是关于y轴对称的，那么我们只需要计算出函数在y轴右侧的部分，然后将结果镜像到左侧即可。

2. 对称性可以帮助我们发现函数的特点。

例如，如果一个函数是关于x轴对称的，那么当 x = a 是函数的零点时，可以确定 x = -a 也是函数的零点。

现在，让我们来看看如何判断一个函数是否具有对称性。

一般来说，我们可以通过一些简单的方法来进行判断。

1. 对称性的代数判断方法：通过代数运算，我们可以验证函数的对称性。

例如，对于关于原点对称的函数，我们可以将 x 替换为 -x，然后将两边进行比较来判断函数是否具有对称性。

2. 对称性的图形判断方法：通过函数的图形来判断函数是否具有对称性。

我们可以绘制函数的图像，并观察图像是否在某个变换下保持不变。

3. 对称性的性质判断方法：通过函数的性质来判断函数是否具有对称性。

函数对称性公式大总结1. 引言在数学中，函数对称性是一个重要的概念，它描述了函数在某种变换下保持不变的性质。

函数对称性有多种形式，如轴对称性、中心对称性等。

本文将对函数对称性的一些常见公式进行总结，并提供示例说明。

2. 轴对称函数公式2.1 轴对称性的定义轴对称是指函数图像对于某一条直线对称，即函数图像在这条直线两侧对称。

设函数为 f(x)，对称轴为 x = a，则函数 f(x) 在对称轴两侧的函数值相等，即 f(a + h) = f(a - h)。

2.2 轴对称函数公式•偶函数：若函数 f(x) 满足 f(-x) = f(x)，则称 f(x) 为偶函数。

•奇函数：若函数 f(x) 满足 f(-x) = -f(x)，则称 f(x) 为奇函数。

偶函数和奇函数都具有轴对称性，其中以偶函数更为常见。

3. 中心对称函数公式3.1 中心对称性的定义中心对称是指函数图像对于某一点对称，即函数图像关于这一点对称。

设函数为 f(x)，对称中心为 (a, b)，则函数 f(x) 在对称中心两侧的函数值相等，即 f(a + h) = f(a - h)。

3.2 中心对称函数公式•对数函数：对数函数 y = loga(x) 关于 y 轴对称，其中 a > 0，且a ≠ 1。

•幂函数：幂函数 y = ax^n 关于 y 轴对称，其中a ≠ 0，且 n 为任意整数。

•正弦函数和余弦函数：正弦函数 y = sin(x) 和余弦函数 y = cos(x) 关于原点对称。

4. 复合对称函数公式4.1 复合对称性的定义复合对称是指函数图像同时具有轴对称性和中心对称性。

函数 f(x) 在具有轴对称性的直线上的每一个点，同时也是具有中心对称性的点。

4.2 复合对称函数公式•奇次幂函数：奇次幂函数y = ax^(2n+1) 具有轴对称性和中心对称性，其中a ≠ 0，n 为任意整数。

5. 示例说明5.1 示例 1：偶函数考虑函数 f(x) = x^2，我们可以看到该函数关于 y 轴对称，即 f(x) = f(-x)。

函数对称性知识点归纳总结一、函数的对称性概念1.1 函数的定义在数学中，函数是一种将输入值映射到输出值的关系。

它通常表示为f(x)，其中x是输入值，f(x)是输出值。

函数可以用数学公式、图表、图形等方式来表示。

1.2 函数的对称性函数的对称性是指在某种变换下，函数图像保持不变的性质。

这种变换可以是关于坐标轴的对称、关于原点的对称、关于直线或平面的对称等。

函数的对称性可以分为以下几种：- 偶函数：如果对任意的x，有f(x) = f(-x)，那么函数f(x)是关于y轴对称的，称为偶函数。

偶函数的图像在y轴对称。

- 奇函数：如果对任意的x，有f(x) = -f(-x)，那么函数f(x)是关于原点对称的，称为奇函数。

奇函数的图像关于原点对称。

- 周期函数：如果存在一个正数T，使得对任意的x，有f(x+T) = f(x)，那么函数f(x)是周期函数。

周期函数的图像在某一段距离上重复。

1.3 示例以函数f(x) = x^2为例，它是一个偶函数。

因为对任意的x，有f(x) = x^2 = (-x)^2 = f(-x)，所以函数图像关于y轴对称。

又如函数f(x) = sin(x)，它是一个奇函数。

因为对任意的x，有f(x) = sin(x) = -sin(-x) = -f(-x)，所以函数图像关于原点对称。

二、函数对称性的判定与应用2.1 函数对称性的判定在判断一个函数是否具有对称性时，可以通过以下方法进行判定：- 偶函数：验证函数f(x)是否满足f(x) = f(-x)即可判断是否为偶函数。

- 奇函数：验证函数f(x)是否满足f(x) = -f(-x)即可判断是否为奇函数。

- 周期函数：通过周期函数的定义，验证函数f(x)是否满足f(x+T) = f(x)即可判断是否为周期函数。

2.2 函数对称性的应用函数对称性在数学分析、物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。

以下是函数对称性的一些应用场景：- 在积分计算中，利用函数的对称性可以简化积分的计算。

函数对称性公式大总结1. 引言在数学中，函数对称性是指函数在某种变换下保持不变的特性。

函数对称性广泛应用于各个数学分支，如代数、几何和微积分等。

本文将对常见的函数对称性公式进行总结，以帮助读者更好地理解和应用这些公式。

2. 对称轴对称轴是函数对称性的一个重要概念。

对称轴是指函数图像关于某一直线对称。

对称轴上的点与其对称点关于对称轴对称。

对称轴的方程可以通过观察函数的特性或运用特定的公式来确定。

2.1 y轴对称性若函数满足f(x) = f(-x)，则函数具有y轴对称性。

对于奇函数来说，其图像关于y轴对称；对于偶函数来说，其图像与y 轴重合。

常见的函数对称于y轴的公式有：•奇函数的定义：f(x) = -f(x)•偶函数的定义：f(x) = f(-x)2.2 x轴对称性若函数满足f(x) = -f(x)，则函数具有x轴对称性。

对于奇函数来说，其图像关于x轴对称；对于偶函数来说，其图像与x 轴重合。

常见的函数对称于x轴的公式有：•奇函数的定义：f(x) = -f(x)•偶函数的定义：f(x) = f(-x)3. 极限和导数对称性在微积分中，极限和导数也可以与函数的对称性相关联。

3.1 极限对称性若函数f(x)在某一点x=a的极限存在，并且与x=a的对称点x=-a的极限相等，即lim(x->a) f(x) = lim(x->-a) f(x)，则函数具有极限对称性。

常见的函数具有极限对称性的公式有：•正弦函数的极限对称性：lim(x->0) sin(x) = lim(x->0) sin(-x)•余弦函数的极限对称性：lim(x->0) cos(x) = lim(x->0) cos(-x)3.2 导数对称性若函数f(x)在某一点x=a可导，并且其导数与x=a的对称点x=-a的导数相等，即f’(a) = f’(-a)，则函数具有导数对称性。

常见的函数具有导数对称性的公式有：•正弦函数的导数对称性：(sin(x))’ = cos(-x)•余弦函数的导数对称性：(cos(x))’ = -sin(-x)4. 对称性的应用函数对称性是解决许多数学问题的重要工具。

函数的对称性：y=f（|x|）是偶函数，它关于y轴对称，y=|f（x）|是把x轴下方的图像对称到x轴的上方，但无法判断是否具备对称性。

例如，y=|lnx|没有对称性，而y=|sinx|却有对称性。

函数的对称性公式推导1.对称性f(x+a)=f(b-x)记住此方程式是对称性的一般形式.只要x有一个正一个负.就有对称性.至于对称轴可用吃公式求X=a+b/2如f(x+3)=f(5_x)X=3+5/2=4等等.此公式对于那些未知方程,却知道2方程的关系的都通用.你可以去套用,在此不在举例.对于已知方程的要求对称轴的首先你的记住一些常见的对称方程的对称轴.如一原二次方程f(x)=ax2+bx+c对称轴X＝b/2a原函数与反函数的对称轴是y＝x．而对于一些函数如果不加限制条件就不好说它们的对称轴如三角函数，它的对称轴就不仅仅是X＝90还有…（2n＋！）90度等等．因为他的定义为R．f（x）＝｜X｜他的对称轴则是X＝0，还应该注意的是一些由简单函数平移后要求的对称轴就只要把它反原成出等的以后在加上平移的数量就可以了．如f（x－3）＝x－3。

令t＝x－3，则f（t）＝t。

可见原方程是由初等函数向右移动了3个单位。

同样对称轴也向右移3个单位X＝3（记住平移是左加右减的形式，如本题的X－3说明向由移）2，至于周期性首先也的从一般形式说起f（x）＝f（x＋T）注意此公式里面的X都是同号，而不象对称方程一正一负．此区别也是判断对称性还是周期性的关键．同样要记住一些常见的周期函数如三角函数什么正弦函数，余弦函数正切函数等．当然它们的最小周期分别是2π，2π，π，当然他们的周期不仅仅是这点只要是它们最小周期的正数倍都可以是题目的周期．如f（x）＝sinX，T＝2π（T＝2π/W）但是如果是f（x）＝｜sinx｜的话它的周期就是T＝π因为加了绝对值之后Y轴下面的图形全被翻到上面去了，由图不难看出起最小对称周T ＝π．y1=(sinx)^2=(1-cos2x)/2上面的2个方程T＝π（T＝2π/W）而对于≥2个周期函数方程的加减复合方程，如果他们的周期相同，则它的周期还是相同的周期．如y=sin2x+cos2x因为他们有一个公共周期T ＝π所以它的周期为T＝π而对于不相同的周期则它的周期为它们各个周期的最小公倍数．如y=sin3πx+cos2πx，T1＝2/3，T2＝1则T＝2/3对称函数在对称函数中，函数的输出值不随输入变数的排列而改变。

函数的对称性与奇偶性函数的对称性和奇偶性是数学中重要的概念，用来描述函数在某种变换下的性质。

本文将介绍函数的对称性和奇偶性的概念和性质，并举例说明它们在数学和实际问题中的应用。

一、函数的对称性函数的对称性是指函数图像在某个变换下具有不变性。

常见的对称性有关于x轴对称、y轴对称和原点对称。

下面分别介绍这三种对称性：1. 关于x轴对称当一个函数的图像在x轴上下对称时，我们称之为关于x轴对称。

具体来说，如果对于函数中的任意一个点(x,y)，该函数还包含另一个点(x,-y)，那么这个函数就是关于x轴对称的。

例如，函数y = x^2就是关于x轴对称的。

当x取任意值时，对应的y值都是相等的，即对于任意一个点(x,y)，图像上还存在一个对称的点(x,-y)。

2. 关于y轴对称当一个函数的图像在y轴左右对称时，我们称之为关于y轴对称。

具体来说，如果对于函数中的任意一个点(x,y)，该函数还包含另一个点(-x,y)，那么这个函数就是关于y轴对称的。

例如，函数y = sin(x)就是关于y轴对称的。

对于任意一个点(x,y)，图像上还存在一个对称的点(-x,y)。

3. 关于原点对称当一个函数的图像在原点对称时，我们称之为关于原点对称。

具体来说，如果对于函数中的任意一个点(x,y)，该函数还包含另一个点(-x,-y)，那么这个函数就是关于原点对称的。

例如，函数y = x^3就是关于原点对称的。

对于任意一个点(x,y)，图像上还存在一个对称的点(-x,-y)。

二、函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数在x轴上对称和y轴对称的性质。

具体来说，如果函数在关于y轴的对称下，即对于任意的x值，函数中的点(x,y)和(-x,y)相等，那么这个函数就是偶函数。

而如果函数在关于原点的对称下，即对于任意的x值，函数中的点(x,y)和(-x,-y)相等，那么这个函数就是奇函数。

例如，函数y = x^2是一个偶函数，因为对于任意的x，y = x^2和y = (-x)^2是相等的。

函数的性质对称性张磊函数的对称性是函数的重要性质之一,主要包括轴对称和中心对称两种.在解几中,许多问题中都隐含对称性,如角的平分线,线段的中垂线,光的反射等,要注意挖掘,充分利用对称性,中点坐标公式,斜率关系加以解决;在函数中,对称性与函数的奇偶性、周期性又有着内在的联系,解题时常常要进行相互转化,再加以解决.一对称性的有关结论1 y=f(x)关于x=a对称f(2ax) =f(x) f(2a+x) =f(-x)f(ax) =f(x+x) 内反外同轴对称对称f(ax) =f(bx)引申 y=f(x)关于x=a+b22 y=f(x)关于点(a,0)对称f(2ax) =-f(x)f(2a+x) =-f(-x)f(ax) =f(a+x) 内外都反点对称引申 y=f(x)关于点(a,b)对称 f(2ax) =2bf(x)二对称性与奇偶性关系奇函数的图像关于原点(0 ,0)对称;偶函数图像关于y轴对称.奇偶性实际是一种特殊的对称性.三对称性与周期性关系双对称周期性 (联系正余余弦函数对称性与周期性关系) 1 {f (2a +x ) =f (−x )f (2b +x ) =f (−x )f (2a +x ) = f (2b +x ) f(2a-2b+x)= f(x)所以函数f(x)是周期函数,周期为|2a −2b |2 {f (2a +x )=−f (−x )f (2b +x )=−f (−x )f (2a +x ) = f (2b +x ) f(2a-2b+x)= f(x)所以函数f(x)是周期函数,周期为|2a −2b |3 {f (2a +x )=f (−x )f (2b +x )=−f (−x )f (2a +x )=− f (2b +x ) f(2a-2b+x)= -f(x) f(4a-4b+x)= f(x)所以函数f(x)是周期函数,周期为|4a −4b |四 点关于线的对称点点(x 0 ,y 0)关于直线ax+by+c=0的对称点为(x 02a a 2+b 2(a x 0+by 0+c ) , y 02b a 2+b 2(a x 0+by 0+c ))。

函数的性质对称性集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN]函数的性质对称性张磊函数的对称性是函数的重要性质之一,主要包括轴对称和中心对称两种.在解几中,许多问题中都隐含对称性,如角的平分线,线段的中垂线,光的反射等,要注意挖掘,充分利用对称性,中点坐标公式,斜率关系加以解决;在函数中,对称性与函数的奇偶性、周期性又有着内在的联系,解题时常常要进行相互转化,再加以解决.一对称性的有关结论1 y=f(x)关于x=a对称f(2ax) =f(x) f(2a+x) =f(-x)f(ax) =f(x+x) 内反外同轴对称对称f(ax) =f(bx)引申 y=f(x)关于x=a+b22 y=f(x)关于点(a,0)对称f(2ax) =-f(x)f(2a+x) =-f(-x)f(ax) =f(a+x) 内外都反点对称引申 y=f(x)关于点(a,b)对称 f(2ax) =2bf(x)二对称性与奇偶性关系奇函数的图像关于原点(0 ,0)对称;偶函数图像关于y轴对称.奇偶性实际是一种特殊的对称性.三对称性与周期性关系双对称周期性 (联系正余余弦函数对称性与周期性关系)1 {f (2a +x ) =f (−x )f (2b +x ) =f (−x )f (2a +x ) = f (2b +x ) f(2a-2b+x)= f(x)所以函数f(x)是周期函数,周期为|2a −2b |2 {f (2a +x )=−f (−x )f (2b +x )=−f (−x )f (2a +x ) = f (2b +x ) f(2a-2b+x)= f(x)所以函数f(x)是周期函数,周期为|2a −2b |3 {f (2a +x )=f (−x )f (2b +x )=−f (−x )f (2a +x )=− f (2b +x ) f(2a-2b+x)= -f(x) f(4a-4b+x)= f(x)所以函数f(x)是周期函数,周期为|4a −4b |四 点关于线的对称点点(x 0 ,y 0)关于直线ax+by+c=0的对称点为(x 02a a 2+b 2(a x 0+by 0+c ) , y 02b a 2+b 2(a x 0+by 0+c ))。

参考一：函数对称性总结函数的对称性一、三角函数图像的对称性1、y =f (x ) 与y =-f (x ) 关于x 轴对称。

换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) =-g (x ) ，即它们关于y =0对称。

2、y =f (x ) 与y =f (-x ) 关于Y 轴对称。

换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) =g (-x ) ，即它们关于x =0对称。

3、y =f (x ) 与y =f (2a -x ) 关于直线x =a 对称。

换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) =g (2a -x ) ，即它们关于x =a 对称。

4、y =f (x ) 与y =2a -f (x ) 关于直线y =a 对称。

换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) +g (x ) =2a ，即它们关于y =a 对称。

5、y =f (x ) 与y =2b -f (2a -x ) 关于点(a , b ) 对称。

换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) +g (2a -x ) =2b ，即它们关于点(a , b ) 对称。

6、y =f (a -x ) 与y =f (x -b ) 关于直线x =二、单个函数的对称性一、函数的轴对称：定理1：如果函数y =f (x )满足f (a +x )=f (b -x )，则函数y =f (x )的图象关于直线x =a +b2a +b 2对称。

对称.推论1：如果函数y =f (x )满足f (a +x )=f (a -x )，则函数y =f (x )的图象关于直线x =a 对称. 推论2：如果函数y =f (x )满足f (x )=f (-x )，则函数y =f (x )的图象关于直线x =0（y 轴）对称. 特别地，推论2就是偶函数的定义和性质. 它是上述定理1的简化.二、函数的点对称：定理2：如果函数y =f (x )满足f (a +x )+f (a -x )=2b ，则函数y =f (x )的图象关于点(a , b )对称.推论3：如果函数y =f (x )满足f (a +x )+f (a -x )=0，则函数y =f (x )的图象关于点(a , 0)对称.推论4：如果函数y =f (x )满足f (x )+f (-x )=0，则函数y =f (x )的图象关于原点(0, 0)对称. 特别地，推论4就是奇函数的定义和性质. 它是上述定理2的简化.性质5：函数y =f (x ) 满足f (a +x ) +f (b -x ) =c 时，函数y =f (x ) 的图象关于点（a +b ，c ）对称。

函数的对称性知识梳理一、对称性的概念及常见函数的对称性1、对称性的概念①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。

②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。

2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值）①常数函数;②一次函数;③二次函数;④反比例函数;⑤指数函数;⑥对数函数;⑦幂函数;⑧正弦函数;⑨正弦型函数sin()y A x ωϕ=+既是轴对称又是中心对称;⑩余弦函数;⑾正切函数;⑿耐克函数;⒁绝对值函数：这里主要说的是(||)y f x =和|()|y f x =两类。

前者显然是偶函数，它会关于y 轴对称;后者是把x 轴下方的图像对称到x 轴的上方，是否仍然具备对称性，这也没有一定的结论，例如|ln |y x =就没有对称性，而|sin |y x =却仍然是轴对称。

⒂形如(0,)ax b y c ad bc cx d +=≠≠+的图像是双曲线，其两渐近线分别直线d x c=- (由分母为零确定)和直线a y c =(由分子、分母中x 的系数确定)，对称中心是点(,)d a c c-。

二、抽象函数的对称性【此类问题涉及到了函数图象的两种对称性，一种是同一函数自身的对称性，我们称其为自对称；另一种是两个函数之间的对称性 ，我们称其为互对称。

】1、函数)(x f y =图象本身的对称性（自对称问题）（1）轴对称①)(x f y =的图象关于直线a x =对称 ⇔)()(x a f x a f -=+ ⇔)2()(x a f x f -=⇔)2()(x a f x f +=-②)()(x b f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线22)()(b a x b x a x +=-++=对称. 特别地，函数)(x f y =的图像关于y 轴对称的充要条件是()()f x f x =-.（2）中心对称①)(x f y =的图象关于点),(b a 对称⇔b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔b x a f x f 2)2()(=-+⇔b x a f x f 2)2()(=++-。

函数对称性的总结1. 两个关于函数图象对称性的结论1.x=02.x=(a+b)/2.∵y=f(a+x)=f[(a+b)/2+(a-b)/2+x]=f[(a+b)/2+t]，其中t=(a-b)/2+x,而y=f(b-x)=f[(a+b)/2-(a-b)/2-x]=f[(a+b)/2-((a-b)/2+x)]=f[(a+b )/2-t],所以：函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)的图象关于直线x=(a+b)/2对称。

楼主你好：2的答案就是x=(a+b)/2.不是x=(b-a)/2.若是后者，当a=b时对称轴就成x=0了，这明显错误。

其实当a=b时对称轴明显是x=a，与我这里的答案符合。

2. 函数对称性结论是怎样推出的周期函数是指函数值随自变量的变化而呈周期性变化，正弦、余弦函数都是周期函数.表达式是f(x+T)=f(x)(x取任意值)，假如一个函数能找到满意这一条件的T，那么这个函数就叫做周期函数，周期为T.f(1+x)=f(1-x) (1+x)+(1-x)=2 也就是说在这个函数中假如两个自变量的平均值为1，则它们的函数值相等，也就是此函数关于x=1对称.同理，f(2+x)=f(2-x),(2+x)+(2-x)=4 也就是说在这个函数中假如两个自变量的平均值为2，则它们的函数值相等，也就是此函数关于x=2对称.假如一个函数同时具备两个对称轴，那么，相临的轴的间距就是函数的半个周期，你可以对比正弦、余弦函数的图像发觉这个规律.这样，本题的函数周期为2，那么函数必定还关于x=0对称，所以函数是偶函数.依据定义或者画图象，不过画图象比较麻烦，一般选择用定义3. 求真正有用的函数周期性对称性结论对于函数y=f(x)周期性1.关于x=a and x=b(a>b) 都对称函数周期2(a-b)2.关于（a,0） (b,0)都对称周期同上3.关于（a,0）和x=b 都对称周期是4(a-b)对称性1. f(a+x)=f(b-x) 那么y=f(x)的图像关于y=(a+b)/2对称2.f(a-x)=-f(b+x)，那么y=f(x)的图像关于（（a+b）/2 ,0 ）对称…………许多可以搜一下，更具体的现在考得不多了我感觉开辟思路吧。

函数的对称性总结函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。

函数的性质是竞赛和高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美。

本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质。

一、函数自身的对称性探究定理1.函数y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是f (x) + f (2a－x) = 2b。

（“若f (x) + f (2a－x) = 2b，则函数y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称”命题正确，且“若数y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称，则f (x) + f (2a－x) = 2b成立”逆命题也正确，则称“函数y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是f (x) + f (2a－x) = 2b”。

）证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P'（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图像上，∴2b－y = f (2a－x)即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。

（充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)∵f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。

故点P'（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 图像上，而点P与点P'关于点A (a ,b)对称，充分性得征。

推论：函数y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0定理2. 函数y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x) 。

函数对称性知识点归纳总结函数对称性是数学中一个重要的概念，它涉及到函数图像在某种变换下的性质和特点。

本文将针对函数对称性的相关知识进行归纳总结，包括函数关于x轴对称、y轴对称和原点对称的特点以及应用。

希望通过本文的介绍，读者能够全面了解函数对称性，并能够应用到实际问题中。

1. 函数关于x轴对称函数关于x轴对称是指函数图像在x轴旋转180度后重合。

具体表现为当函数中的每一个点(x, y)都对应于另一个点(x, -y)。

如果函数的表达式为f(x)，那么函数关于x轴对称可以表示为f(x) = f(-x)。

常见的函数关于x轴对称的例子有二次函数和正弦函数。

2. 函数关于y轴对称函数关于y轴对称是指函数图像在y轴旋转180度后重合。

具体表现为当函数中的每一个点(x, y)都对应于另一个点(-x, y)。

如果函数的表达式为f(x)，那么函数关于y轴对称可以表示为f(x) = f(-x)。

常见的函数关于y轴对称的例子有二次函数和余弦函数。

3. 函数关于原点对称函数关于原点对称是指函数图像以原点为对称中心，旋转180度后重合。

具体表现为当函数中的每一个点(x, y)都对应于另一个点(-x, -y)。

如果函数的表达式为f(x)，那么函数关于原点对称可以表示为f(x) = -f(-x)。

常见的函数关于原点对称的例子有奇次函数和正切函数。

除了以上三种常见的对称性，函数还可能具有其他特殊的对称性，比如关于直线y=x的对称性、关于直线y=-x的对称性等。

这些对称性在函数的研究和应用中都有重要的意义。

函数对称性的应用十分广泛。

其中一项重要的应用是利用对称性来求函数的零点。

如果函数关于x轴对称，也就是满足f(x) = f(-x)，那么我们可以通过找到函数图像上的一个零点，得到一个对称的零点。

这是因为如果f(x) = 0，则f(-x) = 0，对称点也是零点。

同样，对于关于y 轴对称或原点对称的函数，我们也可以利用对称性来求解零点。

高一数学《函数的对称性》知识点总结一、函数自身的对称性探究定理1.函数y=f的图像关于点A对称的充要条件是f+f=2b证明：（必要性）设点P是y=f图像上任一点，∵点P 关于点A的对称点P'（2a－x，2b－y）也在y=f图像上，∴2b－y=f即y+f=2b故f+f=2b，必要性得证。

（充分性）设点P是y=f图像上任一点，则y0=f∵f+f=2b∴f+f=2b，即2b－y0=f。

故点P'（2a－x0，2b－y0）也在y=f图像上，而点P与点P'关于点A对称，充分性得征。

推论：函数y=f的图像关于原点o对称的充要条件是f+f=0定理2.函数y=f的图像关于直线x=a对称的充要条件是f=f即f=f（证明留给读者）推论：函数y=f的图像关于y轴对称的充要条件是f=f 定理3.①若函数y=f图像同时关于点A和点B成中心对称（a≠b），则y=f是周期函数，且2a－b是其一个周期。

②若函数y=f图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f是周期函数，且2a－b是其一个周期。

③若函数y=f图像既关于点A成中心对称又关于直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f是周期函数，且4a－b是其一个周期。

①②的证明留给读者，以下给出③的证明：∵函数y=f图像既关于点A成中心对称，∴f+f=2c，用2b－x代x得：f+f[2a－]=2c………………（*）又∵函数y=f图像直线x=b成轴对称，∴f=f代入（*）得：f=2c－f[2+x]…………（**），用2（a－b）－x代x得f[2+x]=2c－f[4+x]代入（**）得：f=f[4+x],故y=f是周期函数，且4a－b是其一个周期。

二、不同函数对称性的探究定理4.函数y=f与y=2b－f的图像关于点A成中心对称。

定理5.①函数y=f与y=f的图像关于直线x=a成轴对称。

②函数y=f与a－x=f的图像关于直线x+y=a成轴对称。

③函数y=f与x－a=f的图像关于直线x－y=a成轴对称。

函数对称性、周期性和奇偶性规律一、同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)1、周期性：对于函数，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)(x f y =都成立，那么就把函数叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周)()(x f T x f =+)(x f y =期。

如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。

2、对称性定义（略），请用图形来理解。

3、对称性：我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式)()(x f x f =-奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式)()(=-+x f x f 上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数关于对称)(x f y =a x =⇔)()(x a f x a f -=+也可以写成 或 )()(x a f x a f -=+)2()(x a f x f -=)2()(x a f x f +=- 简证：设点在上，通过可知，),(11y x )(x f y =)2()(x a f x f -=，即点上，而点与点)2()(111x a f x f y -==)(),2(11x f y y x a =-也在),(11y x 关于x=a 对称。

得证。

),2(11y x a - 若写成：，函数关于直线对)()(x b f x a f -=+)(x f y =22)()(ba xb x a x +=-++=称（2）函数关于点对称)(x f y =),(b a ⇔bx a f x a f 2)()(=-++ 或 b x f x a f2)()2(=-++上述关系也可以写成bx f x a f 2)()2(=+- 简证：设点在上，即，通过可知，),(11y x )(x f y =)(11x f y =b x f x a f 2)()2(=+-，所以，所以点b x f x a f 2)()2(11=+-1112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-也在上，而点与关于对称。

二次函数图象对称性的应用摘要：二次函数图象具有对称性，充分、合理地使用这一特性，对于解决有关二次函数的问题，会使问题得到的正确、高效的解答，同时它也是一种重要的解题途径。

关键词：二次函数，抛物线，对称。

我们知道二次函数图象是一条具有对称性的抛物线，合理使用抛物线的这一特征，对于解答有关二次函数的一类问题，会取得很好的效果，近年的中考命题及初中数学竞赛，涉及这方面的题目不断出现，并产生了不少的上佳题目。

本文试就初中毕业班总复习阶段，在二次函数这部分内容教与学上，如何引导学生应用抛物线的对称性解决所遇到的问题，谈谈教学感想和体会。

一、几个重要结论：1、抛物线的对称轴是直线。

2、对于抛物线上两个不同点P1（），P2（），若有，则P1，P2两点是关于抛物线对称轴对称的点，且这时抛物线的对称轴是直线；反之亦然。

3、若抛物线与轴的两个交点是A（，0），B（，0），则抛物线的对称轴是（此结论是第2条性质的特例，但在实际解题中经常用到）。

4、若已知抛物线与轴相交的其中一个交点是A（，0），且其对称轴是，则另一个交点B的坐标可以用表示出来（注：应由A、B两点处在对称轴的左右情况而定，在应用时要把图画出）。

5、若抛物线与轴的两个交点是B（，0），C（，0），其顶点是点A，则∆ABC 是等腰三角形，且∆ABC的外接圆与内切圆的圆心都在抛物线的对称轴上。

二、在解题中的应用：例1已知二次函数的图象经过A（-1，0）、B（3，0），且函数有最小值-8，试求二次函数的解析式。

解题分析：注意到图象所过的两个点A、B，都在x轴上，故可由性质3，容易得到该抛物线的对称轴是直线x=1，进而得出该抛物线的顶点坐标是（1，-8），所以，可以用顶点式先设出所求的二次函数形式，再用待定系数法，求得结果。

从本题可得到这样的经验：在求二次函数解析式的问题时，要充分挖掘题中的隐含的条件，再来选择最合适的二次函数形式，这样的就能使解题过程最简捷。

例2已知抛物线,设,是抛物线与轴两个交点的横坐标，且满足.（1）求抛物线的解析式；（2）设点P（，），Q（，）是抛物线上两个不同的点，且关于此抛物线的对称轴对称，求的值。

函数对称性公式大总结函数对称性是数学中一个非常重要的概念，它在解题过程中起着至关重要的作用。

在本文中，我们将对函数的对称性进行大总结，包括函数的奇偶对称性、周期性以及其他常见的对称性形式。

通过本文的学习，相信读者能够更加深入地理解函数对称性的概念，并在实际问题中灵活运用。

首先，我们来讨论函数的奇偶对称性。

一个函数f(x)在定义域内满足f(-x) = f(x)的条件时，我们称该函数具有偶对称性；而当一个函数f(x)在定义域内满足f(-x) = -f(x)的条件时，我们称该函数具有奇对称性。

奇偶对称性在函数的图像上有着明显的几何特征，对于奇函数来说，其图像关于原点对称；而对于偶函数来说，其图像关于y轴对称。

在实际问题中，我们可以通过奇偶对称性来简化函数的运算，减少工作量，提高解题效率。

其次，我们来讨论函数的周期性。

一个函数f(x)在定义域内满足f(x+T) = f(x)的条件时，我们称该函数具有周期T。

周期函数在实际问题中有着广泛的应用，比如描述天体运动的周期性、电路中的周期信号等。

通过对周期函数的研究，我们可以更好地理解自然界中的规律，并且在工程技术中有着重要的应用价值。

除了奇偶对称性和周期性，函数还可能具有其他形式的对称性，比如轴对称、中心对称等。

这些对称性形式在几何图形的研究中有着重要的应用，比如描述圆、椭圆、双曲线等图形的对称性。

通过对这些对称性形式的研究，我们可以更好地理解几何图形的性质，从而解决与几何相关的实际问题。

总结来说，函数对称性是数学中一个重要且广泛应用的概念，通过对函数的奇偶对称性、周期性以及其他形式的对称性进行深入研究，我们可以更好地理解函数的性质，并在实际问题中灵活运用。

希望本文的内容能够为读者提供一些帮助，让大家对函数对称性有着更深入的认识。

在学习中，我们要注重理论联系实际，通过大量的练习来加深对函数对称性的理解。

只有通过不断地实践和思考，我们才能够真正掌握函数对称性的概念，并在解题过程中得心应手。