2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件： 专题突破练5 平面解析几何中的高考热点问题

高考必考题突破讲座(一)导数及其应用[解密考纲]导数是研究函数的重要工具，因此，导数的应用是历年高考的重点与热点，常涉及的问题有：讨论函数的单调性(求函数的单调区间)、求极值、求最值、求切线方程、求函数的零点或方程的根、求参数的范围、证明不等式等，涉及的数学思想有：函数与方程、分类讨论、数形结合、转化与化归思想等，中、高档难度均有．1．已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －2. (1)求函数f (x )在[t ，t ＋2](t >0)上的最小值；(2)设函数F (x )＝f (x )－g (x )，若函数F (x )的零点有且只有一个，求实数a 的值． 解析 (1)∵f ′(x )＝ln x ＋1，∴当0<x <1e 时，f ′(x )<0；当x >1e时，f ′(x )>0，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增． ①当0<t <1e 时，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，t ＋2上单调递增， ∴f (x )在区间[t ，t ＋2]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e ；②当t ≥1e 时，函数f (x )在区间[t ，t ＋2]上单调递增，∴f (x )在区间[t ，t ＋2]上的最小值为f (t )＝t ln t .综上，f (x )min＝⎩⎪⎨⎪⎧－1e ，0<t <1e，t ln t ，t ≥1e.(2)F (x )＝f (x )－g (x )＝x ln x ＋x 2－ax ＋2，由题意F (x )＝0，即a ＝ln x ＋x ＋2x在(0，＋∞)上有且只有一个根，令h (x )＝ln x ＋x ＋2x，则h ′(x )＝1x ＋1－2x 2＝x 2＋x －2x 2＝(x ＋2)(x －1)x2(x >0)， ∴h (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， ∴h (x )min ＝h (1)＝3，由题意可知，若使y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象恰有一个公共点，则a ＝h (x )min ＝3. 综上，若函数F (x )的零点有且只有一个，则实数a ＝3. 2．已知函数f (x )＝x ·e ax＋ln x －e ，(a ∈R )．(1)当a ＝1时，求函数y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)设g (x )＝ln x ＋1x－e ，若函数h (x )＝f (x )－g (x )在定义域内存在两个零点，求实数a 的取值范围．解析 (1)∵a ＝1，∴f (x )＝x e x ＋ln x －e ，f ′(x )＝(x ＋1)e x＋1x，∴f (1)＝0，f ′(1)＝2e ＋1．∴f (x )在点(1,0)处的切线方程为y ＝(2e ＋1)(x －1)．(2)h (x )＝f (x )－g (x )＝x e ax－1x ＝x 2e ax－1x在定义域(0，＋∞)上存在两个零点，即x 2eax－1＝0在(0，＋∞)上有两个实数根．令φ(x )＝x 2e ax－1，则φ′(x )＝ax 2e ax＋2x e ax ＝x e ax(ax ＋2)，①当a ≥0时，φ′(x )＝x e ax(ax ＋2)>0，∴y ＝φ(x )在(0，＋∞)上单调递增，∴y ＝φ(x )在(0，＋∞)至多一个零点，不合题意．②当a <0时，令φ′(x )＝0，得x ＝－2a.∵φ(0)＝－1，当x →＋∞，φ(x )→－1，∴要使φ(x )＝x 2e ax－1在(0，＋∞)上有两个零点， 则φ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a >0即可，得a 2<4e 2，又a <0，∴－2e <a <0.3．(2018·安徽合肥高三调研)已知函数f (x )＝ax 2＋bx 在x ＝22处取得极小值－ 2. (1)求函数f (x )的解析式；(2)若过点M (1，m )的直线与曲线y ＝f (x )相切且这样的切线有三条，求实数m 的取值范围．解析 (1)由题意得，f ′(x )＝2ax 2＋b . ∵函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝22处取得极小值－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝－2，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝－4，32a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－3，则函数f (x )的解析式为f (x )＝2x 3－3x .(2)设切点坐标为(x 0,2x 30－3x 0)，则曲线y ＝f (x )的切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝6x 20－3， 切线方程为y －(2x 30－3x 0)＝(6x 20－3)(x －x 0)， 代入点M (1，m )，得m ＝－4x 30＋6x 20－3，依题意，方程m ＝－4x 30＋6x 20－3有三个不同的实根． 令g (x )＝－4x 3＋6x 2－3，则g ′(x )＝－12x 2＋12x ＝－12x (x －1)， ∴当x ∈(－∞，0)时，g ′(x )<0； 当x ∈(0,1)时，g ′(x )>0； 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )<0.故g (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． ∴g (x )极小值＝g (0)＝－3，g (x )极大值＝g (1)＝－1．∴当－3<m <－1时，g (x )＝－4x 3＋6x 2－3的图象与直线y ＝m 有三个不同的交点， ∴当－3<m <－1时，存在这样的三条切线． 故实数m 的取值范围是(－3，－1)． 4．已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2(a ∈R )． (1)当a <0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若xf ′(x )－f (x )>0在(0，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．解析 (1)由题知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x ＋2ax ＝2ax 2＋1x.当a ＜0时，由f ′(x )＞0得0＜x ＜－12a；由f ′(x )＜0得 x ＞－12a， 则当a ＜0时，函数f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12a ，单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ，＋∞. (2)∵xf ′(x )－f (x )＞0在(0，＋∞)上恒成立， ∴x 2ax 2＋1x－(1n x ＋ax 2)＞0在(0，＋∞)上恒成立，即a ＞ln x －1x2在(0，＋∞)上恒成立. 设h (x )＝ln x －1x 2＝ln x －1x 2(x ＞0) ，则h ′(x )＝3－2ln x x3， 由h ′(x )＞0得0＜x ＜e 32；由h ′(x )＜0得x ＜e 32，故函数h (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，e 32上单调递增，在(e 32，＋∞)上单调递减， ∴h (x )max ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫e 32＝12e 3，∴a ＞12e 3 ，即实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12e 3，＋∞.5．已知函数f (x )＝ax ln x ＋b (a ，b 为实数)的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝x －1．(1)求实数a ，b 的值及函数f (x )的单调区间； (2)设函数g (x )＝f (x )＋1x，证明：g (x 1)＝g (x 2)(x 1<x 2)时，x 1＋x 2>2. 解析 (1)由题得，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a (1＋ln x )，因为曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝x －1，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝a ＝1，f (1)＝a ln 1＋b ＝0，解得a ＝1，b ＝0.令f ′(x )＝1＋ln x ＝0，得x ＝1e.当0<x <1e 时，f ′(x )<0，f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减； 当x >1e 时，f ′(x )>0，f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增． 所以函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ，单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞.(2)由(1)得，g (x )＝f (x )＋1x ＝ln x ＋1x. 由g (x 1)＝g (x 2)(x 1<x 2)，得ln x 1＋1x 1＝ln x 2＋1x 2， 即x 2－x 1x 1x 2＝ln x 2x 1>0. 要证x 1＋x 2>2，需证(x 1＋x 2)x 2－x 1x 1x 2>2ln x 2x 1， 即证x 2x 1－x 1x 2>2ln x 2x 1，设x 2x 1＝t (t >1)，则要证x 2x 1－x 1x 2>2ln x 2x 1， 等价于证：t －1t>2ln t (t >1)．令u (t )＝t －1t －2ln t ，则u ′(t )＝1＋1t2－2t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1t 2>0，∴u (t )在区间(1，＋∞)上单调递增，u (t )>u (1)＝0， 即t －1t>2ln t ，故x 1＋x 2>2.6．已知函数f (x )＝12x 2－x ＋a ln x (a >0)．(1)若a ＝1，求f (x )的图象在(1，f (1))处的切线方程； (2)讨论f (x )的单调性；(3)若f (x )存在两个极值点x 1，x 2，求证：f (x 1)＋f (x 2)>－3－2ln 24解析 (1)a ＝1时，f (x )＝12x 2－x ＋ln x ，f ′(x )＝x －1＋1x，f ′(1)＝1，f (1)＝－12，∴y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝x －1，即y ＝x －32.∴f (x )的图象在(1，f (1))处的切线方程为2x －2y －3＝0.(2)f ′(x )＝x －1＋a x ＝x 2－x ＋ax(a >0)．①若a ≥14，则x 2－x ＋a ≥0，f ′(x )≥0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②若0<a <14，由x 2－x ＋a >0得0<x <1－1－4a 2或x >1＋1－4a 2；由x 2－x ＋a <0得1－1－4a 2<x <1＋1－4a 2. ∴f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫1－1－4a 2，1＋1－4a 2上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－4a 2和⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－4a 2，＋∞上单调递增．综上，当a ≥14时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当0<a <14时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－4a 2，1＋1－4a 2上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－4a 2和⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－4a 2，＋∞上单调递增．(3)由(2)知0<a <14时，f (x )存在两个极值点x 1，x 2，且x 1，x 2是方程x 2－x ＋a ＝0的两个根，∴x 1＋x 2＝1，x 1·x 2＝a . ∴f (x 1)＋f (x 2)＝12x 21－x 1＋a ln x 1＋12x 22－x 2＋a ln x 2＝12(x 1＋x 2)2－x 1·x 2－(x 1＋x 2)＋a ln(x 1·x 2) ＝12－a －1＋a ln a ＝a ln a －a －12.令g (x )＝x ln x －x －12⎝⎛⎭⎪⎫0<x <14，则g ′(x )＝ln x <0.∴g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14上单调递减，∴g (x )>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝－3－2ln 24.∴f (x 1)＋f (x 2)>－3－2ln 24.。

第五节 垂直关系[考纲传真] 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．(对应学生用书第104页) [基础知识填充]1．直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果一条直线l 与平面α内的任何直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直． (2)判定定理与性质定理文字语言 图形表示 符号表示判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥a l ⊥ba ∩b ＝O a αb α⇒l ⊥α性质定理两直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b2 (1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (2)判定定理与性质定理⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥αl β⇒α⊥β⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝al ⊥a l β⇒l ⊥α1．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． 2．一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直． 3．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线l 与平面α内的无数条直线都垂直，则l ⊥α.( ) (2)垂直于同一个平面的两平面平行．( )(3)若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行．( )(4)若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．(教材改编)设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l α，m β.( ) A ．若l ⊥β，则α⊥β B ．若α⊥β，则l ⊥m C ．若l ∥β，则α∥β D ．若α∥β，则l ∥mA [∵l ⊥β，lα，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A 正确．]3．(2016·浙江高考)已知互相垂直的平面α，β交于直线l .若直线m ，n 满足 m ∥α，n⊥β，则( ) A ．m ∥l B ．m ∥n C ．n ⊥lD ．m ⊥nC [∵α∩β＝l ，∴l β. ∵n ⊥β，∴n ⊥l .]4．如图7­5­1，已知PA ⊥平面ABC ，BC ⊥AC ，则图中直角三角形的个数为________. 【导学号：00090253】图7­5­14 [∵PA ⊥平面ABC ，∴PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，PA ⊥BC ， 则△PAB ，△PAC 为直角三角形． 由BC ⊥AC ，且AC ∩PA ＝A ， ∴BC ⊥平面PAC ，从而BC ⊥PC ． 因此△ABC ，△PBC 也是直角三角形．]5．边长为a 的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，则折叠后AC 的长为________．a [如图所示，取BD 的中点O ，连接A ′O ，CO ，则∠A ′OC 是二面角A ′­BD ­C 的平面角．即∠A ′OC ＝90°，又A ′O ＝CO ＝22a ， ∴A ′C ＝a 22＋a 22＝a ，即折叠后AC 的长(A ′C )为A ．](对应学生用书第105页)线面垂直的判定与性质如图⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．证明：图7­5­2(1)CD ⊥AE ； (2)PD ⊥平面ABE .[证明] (1)在四棱锥P ­ABCD 中，∵PA ⊥平面ABCD ，CD 平面ABCD ，∴PA ⊥CD ．又∵AC ⊥CD ，且PA ∩AC ＝A ，∴CD ⊥平面PAC ．而AE 平面PAC ，∴CD ⊥AE . (2)由PA ＝AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，可得AC ＝PA ．∵E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC ．由(1)知AE ⊥CD ，且PC ∩CD ＝C ，∴AE ⊥平面PCD ． 又PD 平面PCD ，∴AE ⊥PD ． ∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥AB ．又∵AB ⊥AD ，且PA ∩AD ＝A ，∴AB ⊥平面PAD ，而PD 平面PAD ， ∴AB ⊥PD ．又AB ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面ABE . [规律方法]1．证明直线与平面垂直的常用方法 (1)利用线面垂直的判定定理．(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”． (3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则与另一个也垂直”． (4)利用面面垂直的性质定理． 2．证明线线垂直的常用方法 (1)利用特殊图形中的垂直关系． (2)利用等腰三角形底边中线的性质． (3)利用勾股定理的逆定理． (4)利用直线与平面垂直的性质．[变式训练1] 如图7­5­3所示，在四棱锥P ­ABCD 中，AB ⊥平面PAD ，AB ∥CD ，PD ＝AD ，E是PB 的中点，F 是DC 上的点，且DF ＝12AB ，PH 为△PAD 中AD 边上的高．图7­5­3(1)证明：PH ⊥平面ABCD ； (2)证明：EF ⊥平面PAB ．[证明] (1)因为AB ⊥平面PAD ，PH 平面PAD ，所以PH ⊥AB ． 因为PH 为△PAD 中AD 边上的高，所以PH ⊥AD ． 因为AB ∩AD ＝A ，AB ，AD 平面ABCD ， 所以PH ⊥平面ABCD ．(2)如图所示，取PA 的中点M ，连接MD ，ME .因为E 是PB 的中点，所以ME 綊12AB ．又因为DF 綊12AB ，所以ME 綊DF ，所以四边形MEFD 是平行四边形， 所以EF ∥MD ．因为PD ＝AD ，所以MD ⊥PA ． 因为AB ⊥平面PAD ，所以MD ⊥AB ． 因为PA ∩AB ＝A ，所以MD ⊥平面PAB ， 所以EF ⊥平面PAB ．面面垂直的判定与性质分别为AC ，BC的中点．图7­5­4(1)求证：BD ∥平面FGH ；(2)若CF ⊥BC ，AB ⊥BC ，求证：平面BCD ⊥平面EGH . [证明] (1)如图所示，连接DG ，CD ，设CD ∩GF ＝M ，连接MH .1分在三棱台DEF ­ABC 中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形．3分则M为CD的中点，又H为BC的中点，所以HM∥BD，由于HM平面FGH，BD平面FGH，故BD∥平面FGH. 5分(2)连接HE，GE，CD，因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GH∥AB．6分由AB⊥BC，得GH⊥BC．又H为BC的中点，所以EF∥HC，EF＝HC，因此四边形EFCH是平行四边形，所以CF∥HE. 10分由于CF⊥BC，所以HE⊥BC．又HE，GH平面EGH，HE∩GH＝H.所以BC⊥平面EGH.又BC平面BCD，所以平面BCD⊥平面EGH. 12分[规律方法] 1.面面垂直的证明的两种思路：(1)用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线；(2)用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题．2．垂直问题的转化关系：[变式训练2] (2017·全国卷Ⅰ)如图7­5­5，在四棱锥P­ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°。