高二数学反证法

；宜春中学数学学科2-2册笫一章第五课时反证法导学案编号：05编写：郑金龙审核：高二数学理科备课组学习目标：1. 结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；2. 了解反证法的思考过程、特点；3. 会用反证法证明问题.学习重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程学习难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.学习过程：一、预习导航，要点指津（约3分钟）问题1：已知A为平面BCD外的一点，直线AB、CD是异面直线吗?答：AB、CD一定是异面在线,证明如下：假设AB、CD不是异面直线，则AB、CD共面，从而A、B、C、D四点共面, 这与A为平面BCD外的一点矛盾, 即假设不成立, 故直线AB、CD是异面直线。

问题2：A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。

则C必定是在撒谎，为什么？证明如下：假设C没有撒谎, 则C真.那么A假且B假;由A假, 知B真. 这与B假矛盾.那么假设C没有撒谎不成立，则C必定是在撒谎.上面的证明方法叫作用反证法反证法的概念与步骤1.概念:（1）在证明数学命题时，先假定命题结论的_____成立，在这个前题下，若推出的结果与__________________相矛盾，或与命题中的_____________相矛盾，或与_________相矛盾，从而说明命题结论的反面_________成立，由此断定命题的结论_______. 这种证明方法叫作___________.（2）反证法是一种________证明的方法。

2．反证法的证明步骤：（1）作出否定_______的假设；（2）进行推理，导出________；（3）否定假设（即假设不成立），肯定原命题的________成立.二、自主探索，独立思考（约10分钟）1.用反证法证题时，否定结论准确写出结论的反设词至关重要，也是一个难点，请同学在下表中写出一些常见结论词的反设词：原结论词是都是至少有一个至少有n个至多有一个至多有n个反设词原结论词只有一个对所有x成立对任意x不成立> < p或q p且q反设词2.已知0,0x y>>，且2x y+>，试证：11,x yy x++中至少有一个小于2.3. 2.4.求证：2,3不可能是一个等差数列中的三项。

反证法学习目标 1.了解反证法是间接证明的一种方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题(重、难点).知识点一间接证明不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立，像这种不是直接证明的方法通常称为间接证明.常见的间接证明的方法是反证法.知识点二反证法1.反证法定义假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫做反证法.2.反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等.3.反证法中常用的“结论词”与“反设词”如下：1.反证法就是证明命题的否定“若p，则綈q”为假，从而得到原命题“若p，则q”为真.(√)2.反证法必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的.(√)题型一用反证法证明否定性命题【例1】设{a n}是公比为q的等比数列.设q≠1，证明：数列{a n＋1}不是等比数列.证明假设{a n＋1}是等比数列，则对任意的k∈N*，(a k＋1＋1)2＝(a k＋1)(a k＋2＋1)，a2k＋1＋2a k＋1＋1＝a k a k＋2＋a k＋a k＋2＋1，a21q2k＋2a1q k＝a1q k－1·a1q k＋1＋a1q k－1＋a1q k＋1，∵a1≠0，∴2q k＝q k－1＋q k＋1.∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，∴q＝1，这与已知矛盾，∴假设不成立，故{a n＋1}不是等比数列.规律方法 1.用反证法证明否定命题的适用类型：结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题称为否定命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法.2.用反证法证明数学命题的步骤【训练1】 已知f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)，求证：方程f (x )＝0没有负数根. 证明 假设x 0是f (x )＝0的负数根，则x 0<0且x 0≠－1且ax 0＝－x 0－2x 0＋1， ∴0<ax 0<1，∴0<－x 0－2x 0＋1<1，解得12<x 0<2，这与x 0<0矛盾， 故方程f (x )＝0没有负数根.题型二 用反证法证明唯一性问题【例2】 用反证法证明：过已知直线a 外一点A 只有一条直线b 与已知直线a 平行.证明 假设过点A 还有一条直线b ′与已知直线a 平行，即b ∩b ′＝A ，b ′∥a ，又b ∥a ，由平行公理知b ′∥b .这与b ∩b ′＝A 矛盾，故假设错误，所以过已知直线a 外一点A 只有一条直线b 与已知直线a 平行.规律方法 证明“唯一性”问题的方法：“唯一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思.证明后一层意思时，采用直接证法往往会相当困难，因此一般情况下都采用间接证法，即用反证法(假设“有另外一个”，推出矛盾)或同一法(假设“有另外一个”，推出它就是“已知那一个”)证明，而用反证法比用同一法更方便.【训练2】 求证：过一点只有一条直线与已知平面垂直.已知：平面α和一点P .求证：过点P 与α垂直的直线只有一条.证明 如图所示，不论点P 在α内还是在α外，设PA ⊥α，垂足为A (或P ).假设过点P 不止有一条直线与α垂直，如还有另一条直线PB ⊥α，设PA ，PB 确定的平面为β，且α∩β＝a ，于是在平面β内过点P 有两条直线PA ，PB 垂直于a ，这与过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾，∴假设不成立，原命题成立.题型三 用反证法证明结论中含有“至多”“至少”“都”等词语的问题【例3】 用反证法证明：如果函数f (x )在区间[a ，b ]上是增函数，那么方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至多有一个实数根(不考虑重根).证明 假设方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至少有两个实数根，设α，β为它的两个实数根，则f (α)＝f (β)＝0.因为α≠β，不妨设α＜β，又因为函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，所以f (α)＜f (β)，这与f (α)＝f (β)＝0矛盾，所以方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至多有一个实数根.规律方法 用反证法证明“至少”“至多”型命题，否定结论时，需弄清楚结论的否定是什么，以免出现错误.还应仔细体会“至少有一个”“至多有一个”等表达的意义.【训练3】 若x ，y 都是正实数，且x ＋y ＞2，求证：1＋x y ＜2与1＋y x＜2中至少有一个成立. 证明 假设1＋x y ＜2和1＋y x＜2都不成立， 则有1＋x y ≥2和1＋y x≥2同时成立. ∵x ＞0且y ＞0，∴1＋x ≥2y ，且1＋y ≥2x ，两式相加，得2＋x ＋y ≥2x ＋2y ，∴x ＋y ≤2，这与已知条件x ＋y ＞2相矛盾，∴1＋x y ＜2与1＋y x＜2中至少有一个成立. 课堂达标1.“a <b ”的反面应是( )A.a ≠bB.a >bC.a ＝bD.a ＝b 或a >b答案 D2.用反证法证明“在同一平面内，若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ”时，应假设( )A.a 不垂直于cB.a ，b 都不垂直于cC.a ⊥bD.a 与b 相交答案 D3.用反证法证明“在△ABC 中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设( )A.三角形中至少有一个直角或钝角B.三角形中至少有两个直角或钝角C.三角形中没有直角或钝角D.三角形中三个角都是直角或钝角答案 B4.用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中( )A.有一个内角小于60°B.每一个内角都小于60°C.有一个内角大于60°D.每一个内角都大于60°答案 B5.已知a 是整数，a 2是偶数，求证a 也是偶数.证明 (反证法)假设a 不是偶数，即a 是奇数.设a ＝2n ＋1(n ∈Z )，则a 2＝4n 2＋4n ＋1.∵4(n 2＋n )是偶数，∴4n 2＋4n ＋1是奇数，这与已知a 2是偶数矛盾.由上述矛盾可知，a 一定是偶数.课堂小结1.反证法的证题步骤：①反设；②推理归谬；③存真，即假设不成立，原命题成立.2.用反证法证明问题时要注意以下三点：(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能性结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的.(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法.(3) 推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的.基础过关1.否定：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”时正确的反设为( )A.a ，b ，c 都是偶数B.a ，b ，c 都是奇数C.a ，b ，c 中至少有两个偶数D.a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数解析 自然数a ，b ，c 的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”时正确的反设为“a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数”.答案 D2.有下列叙述：①“a >b ”的反面是“a <b ”；②“x ＝y ”的反面是“x >y 或x <y ”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”.其中正确的叙述有( )A.0个B.1个C.2个D.3个解析 ①错：应为a ≤b ；②对；③错：应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上；④错：应为三角形可以有2个或2个以上的钝角.答案 B3.用反证法证明命题：“a ，b ∈N ，ab 可被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为( )A.a ，b 都能被5整除B.a ，b 都不能被5整除C.a ，b 不都能被5整除D.a 不能被5整除解析 “至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a ，b 都不能被5整除”.答案 B4.“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________.解析 “任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个”. 答案 存在一个三角形，其外角最多有一个钝角5.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了.”丁说：“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是________.解析 若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的话都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙.答案 丙6.设{a n }，{b n }是公比不相等的两个等比数列，c n ＝a n ＋b n ，证明：{c n }不是等比数列.证明 假设{c n }是等比数列，则当n ≥2时，(a n ＋b n )2＝(a n －1＋b n －1)·(a n ＋1＋b n ＋1).所以a 2n ＋2a n b n ＋b 2n ＝a n －1a n ＋1＋a n －1b n ＋1＋b n －1a n ＋1＋b n －1b n ＋1.设{a n }，{b n }的公比分别为p ，q (p ≠q ).因为a 2n ＝a n －1·a n ＋1，b 2n ＝b n －1·b n ＋1，所以2a n b n ＝a n －1b n ＋1＋b n －1a n ＋1＝a n p·b n ·q ＋b n q·a n ·p ，所以2＝q p ＋p q ，所以当p ≠q 时，q p ＋p q >2或q p ＋p q ≤－2与q p ＋p q＝2矛盾， 所以{c n }不是等比数列.7.已知a ，b ，c ，d ∈R ，且a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数. 证明 假设a ，b ，c ，d 都是非负数，因为a ＋b ＝c ＋d ＝1，所以(a ＋b )(c ＋d )＝1.又(a ＋b )(c ＋d )＝ac ＋bd ＋ad ＋bc ≥ac ＋bd ，所以ac ＋bd ≤1，这与已知ac ＋bd >1矛盾，所以a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数. 能力提升8.用反证法证明命题：“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A.方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B.方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实数C.方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D.方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根解析 方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根的反面是方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根，故应选A.答案 A9.设a ，b ，c 都是正数，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a( ) A.都大于2 B.至少有一个大于2C.至少有一个不小于2 D .至少有一个不大于2解析 假设a ＋1b <2，b ＋1c <2，c ＋1a <2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1a <6. 又⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c ≥2＋2＋2＝6， 这与假设得到的不等式相矛盾，从而假设不正确，所以这三个数至少有一个不小于2.答案 C10.某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝.甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷.根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是________.解析 假如甲：我没偷是真的，乙：丙是小偷；丙：丁是小偷是假的；丁：我没有偷就是真的，与他们四人中有一人说真话矛盾.假如甲：我没有偷是假的，那么丁：我没有偷就是真的，乙：丙是小偷，丙：丁是小偷是假的，成立. ∴可以判断偷珠宝的人是甲.答案 甲11.若下列两个方程x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是________.解析 若两方程均无实根，则Δ1＝(a －1)2－4a 2＝(3a －1)(－a －1)<0，∴a <－1或a >13. Δ2＝(2a )2＋8a ＝4a (a ＋2)<0，∴－2<a <0，故－2<a <－1.若两个方程至少有一个方程有实根，则a ≤－2或a ≥－1.答案 (－∞，－2]∪[－1，＋∞)12.已知a ，b ，c ∈(0，1)，求证(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不可能都大于14. 证明 假设三个式子同时大于14， 即(1－a )b >14，(1－b )c >14，(1－c )a >14， 三式相乘得(1－a )a ·(1－b )b ·(1－c )c >143，① 又因为0<a <1，所以0<a (1－a )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1－a 22＝14. 同理0<b (1－b )≤14，0<c (1－c )≤14， 所以(1－a )a ·(1－b )b ·(1－c )c ≤143，② ①与②矛盾，所以假设不成立，故原命题成立.13.(选做题)已知直线ax －y ＝1与曲线x 2－2y 2＝1相交于P ，Q 两点，是否存在实数a ，使得以PQ 为直径的圆经过坐标原点O ？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.解 不存在.理由如下：假设存在实数a ，使得以PQ 为直径的圆经过原点O ，则OP ⊥OQ .设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2).由⎩⎪⎨⎪⎧ax －y ＝1，x 2－2y 2＝1，消去y ，整理得(1－2a 2)x 2＋4ax －3＝0， ∴x 1＋x 2＝－4a 1－2a 2，x 1x 2＝－31－2a 2.∵x1x2＋y1y2＝0，∴x1x2＋(ax1－1)(ax2－1)＝0，∴(1＋a2)x1x2－a(x1＋x2)＋1＝0，即(1＋a2)·－31－2a2－a·－4a1－2a2＋1＝0，∴a2＝－2，这是不可能的.故不存在满足题设条件的实数a.。

高二数学知识点重点解析：数学解题方法之反证法【】查字典数学网高中频道的编辑就为您预备了高二数学知识点重点解析：数学解题方法之反证法与前面所讲的方法不同，反证法是属于间接证明法一类，是从反面的角度摸索问题的证明方法，即：确信题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得。

法国数学家阿达玛(Hadamard)对反证法的实质作过概括：若确信定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾。

具体地讲，反证法确实是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者差不多证明为正确的命题等相矛，矛盾的缘故是假设不成立，因此确信了命题的结论，从而使命题获得了证明。

反证法所依据的是逻辑思维规律中的矛盾律和排中律。

在同一思维过程中，两个互相矛盾的判定不能同时都为真，至少有一个是假的，这确实是逻辑思维中的矛盾律两个互相矛盾的判定不能同时都假，简单地说A或者非A，这确实是逻辑思维中的排中律。

反证法在其证明过程中，得到矛盾的判定，依照矛盾律，这些矛盾的判定不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者差不多证明为正确的命题差不多上确实，因此否定的结论必为假。

再依照排中律，结论与否定的结论这一对立的互相否定的判定不能同时为假，必有一真，因此我们得到原结论必为真。

因此反证法是以逻辑思维的差不多规律和理论为依据的，反证法是可信的。

反证法的证题模式能够简要的概括我为否定推理否定。

即从否定结论开始，通过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，能够认为反证法的差不多思想确实是否定之否定。

应用反证法证明的要紧三步是：否定结论推导出矛盾结论成立。

实施的具体步骤是：第一步，反设：作出与求证结论相反的假设;第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾;第三步，结论：说明反设不成立，从而确信原命题成立。

在应用反证法证题时，一定要用到反设进行推理，否则就不是反证法。

2．2.2反证法1．了解反证法是间接证明的一种基本方法．2．理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．基础梳理1．定义：一般地，由证明p⇒q转向证明：綈q⇒r⇒…⇒t，t 与假设矛盾，或与某个真命题矛盾．从而判定┐q为假，推出q为真的方法，叫做反证法．2．反证法常见的矛盾类型：反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与假设矛盾或与数学公理、定理、公式、定义或与公认的简单事实矛盾等．想一想：(1)反证法的实质是什么？(2)反证法属于直接证明还是间接证明？其证明过程属合情推理还是演绎推理？(1)解析：反证法的实质就是否定结论，推出矛盾，从而证明原结论是正确的．(2)解析：反证法是间接证明中的一种方法，其证明过程是逻辑非常严密的演绎推理．自测自评1．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个大于60°”时，反设正确的是(A)A．假设三内角都不大于60°B．假设三内角都大于60°C．假设三内角至多有一个大于60°D．假设三内角至多有两个大于60°解析：“至少有一个”的否定是“一个都没有”，则反设为“三个内角都不大于60°”．2．有以下结论：①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.下列说法中正确的是(D)A．①与②的假设都错误B．①与②的假设都正确C．①的假设正确；②的假设错误D．①的假设错误；②的假设正确解析：用反证法证明问题时，其假设是原命题的否定，故①的假设应为“p＋q>2”；②的假设为“两根的绝对值不都小于1”，故①假设错误．②假设正确．3.“实数a，b，c不全大于0”等价于(D)A．a，b，c均不大于0B．a，b，c中至少有一个大于0C．a，b，c中至多有一个大于0D．a，b，c中至少有一个不大于0解析：“不全大于零”即“至少有一个不大于0”，它包括“全不大于0”．故选D.基础巩固1．(2014·微山一中高二期中)用反证法证明命题“如果a>b>0，那么a2>b2”时，假设的内容应是(C)A．a2＝b2B．a2<b2C．a2≤b2D．a2<b2，且a2＝b22．否定“至多有两个解”的说法中，正确的是(D)A．有一个解B．有两个解C．至少有两个解D．至少有三个解3．用反证法证明命题“若直线AB、CD是异面直线，则直线AC、BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：①则A、B、C、D四点共面，所以AB、CD共面，这与AB、CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC、BD也是异面直线；③假设直线AC、BD是共面直线．则正确的序号顺序为(B)A．①②③B．③①②C．①③②D．②③①解析：结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②.4．命题“a，b∈R，若|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”用反证法证明时应假设为________．解析：“a＝b＝1”的反面是“a≠1或b≠1”，所以设为a≠1或b≠1.答案：a≠1或b≠1能力提升5．下列命题不适合用反证法证明的是(C)A．同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交B．两个不相等的角不是对顶角C．平行四边形的对角线互相平分D．已知x，y∈R，且x＋y＞2，求证：x，y中至少有一个大于1.解析：选项A中命题条件较少，不足以正面证明；选项B中命题是否定性命题，可以反证法证明；选项D中命题是至少性命题，可以反证法证明．选项C不适合用反证法证明．故选C.6．设a、b、c∈R＋，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是“P、Q、R同时大于零”的(C)A．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：首先若P 、Q 、R 同时大于零，则必有PQR >0成立．其次，若PQR >0，且P 、Q 、R 不都大于0，则必有两个为负，不妨设P <0，Q <0，即a ＋b －c <0，b ＋c －a <0，∴b <0与b ∈R ＋矛盾，故P 、Q 、R 都大于0.故选C.7．已知数列{a n }，{b n }的通项公式分别为a n ＝an ＋2，b n ＝bn ＋1(a ，b 是常数，且a >b )，那么这两个数列中序号与数值均对应相同的项有________个．解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在n 使得 a n ＝b n ，由题意a >b ，n ∈N *，则恒有an ＞bn ，从而an ＋2＞bn ＋1恒成立，所以不存在n 使a n ＝b n .答案：08．有下列叙述：①“a >b ”的反面是“a <b ”；②“x ＝y ”的反面是“x >y 或x <y ”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．其中正确的叙述有__________(填序号)．解析：“x ＝y ”的反面是“x ≠y ”，即是“x >y 或x <y ”，所以②正确；“a >b ”的反面是“a ≤b ”；“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心不在三角形外”；“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形至少有两个钝角”．所以这三个都错．答案：②9．如果非零实数a ，b ，c 两两不相等，且2b ＝a ＋c .证明：2b ＝1a＋1c不成立． 证明：假设2b ＝1a ＋1c 成立，则2b ＝a ＋c ac ＝2b ac，∴b 2＝ac . 又∵b ＝a ＋c 2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝ac ，即a 2＋c 2＝2ac ，即(a －c )2＝0， ∴a ＝c ，这与a ，b ，c 两两不相等矛盾，∴2b ＝1a ＋1c不成立． 10．已知函数f (x )＝a x＋x －2x ＋1(a >1)． (1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数；(2)用反证法证明方程f (x )＝0没有负实根． 证明：(1)任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，ax 2－x 1>1，且ax 1>0.所以ax 2－ax 1＝ax 1(ax 2－x 1－1)>0.又因为x 1＋1>0，x 2＋1>0，所以x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝（x 2－2）（x 1＋1）－（x 1－2）（x 2＋1）（x 1＋1）（x 2＋1）＝3（x 2－x 1）（x 1＋1）（x 2＋1）>0. 于是f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0，故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)设存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0，则ax 0＝－x 0－2x 0＋1.又0<ax0<1，所以0<－x0－2x0＋1<1，即12<x0<2.与假设x0<0矛盾，故f(x)＝0没有负实根．。

北师大版数学选修1-2第三章推理与证明§4 反证法一、教学目标：1.知识与技能：(1)了解间接证明的一种基本方法──反证法；(2)了解反证法的思考过程与特点,会用反证法证明数学问题.2.过程与方法:通过学生动手及简单实例,让学生充分体会反证法的数学思想,并学会简单应用.3.情感态度与价值观通过反证法的学习,让学生形成逆向思维的模式,体验数学方法的多样性。

提高学生推导、推理能力及思考问题和解决问题的能力，并在合作探究中找到一种解决生活生产实际问题的新方法。

二.教学重点：了解反证法的思考过程与特点..三.教学难点：正确理解、运用反证法.四.教学方法：多媒体辅助教学；小组合作探究，多元活动.教学过程：一、课前复习与思考：（1）请学生复习旧知，为本节课夯实基础：直接证明：是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推理证明结论的真实性。

常用的直接证明方法：综合法与分析法。

综合法的思路是由因导果；分析法的思路是执果索因。

（2）让学生思考间接证明是什么？它有哪些方法？（初中所学）间接证明：不是从正面证明命题的真实性，而是证明命题的反面为假，或改证它的等价命题为真，间接地达到证明的目的。

反证法就是一种常用的间接证明方法。

二、探究新知【新课导引】多媒体课件显示9个白色球.上课时要求学生将9个球分别染成红色或绿色.让学生注意观察现象.提问学生，让学生由感性认识上升到理性认识：同学们请看，这9个球无论如何染色，至少有5个球是同色的.你能用数学中的什么方法来证明这个结论吗？【学生自主合作探究】学生阅读完教材后，小组合作探究以下问题：1、什么是反证法？2、反证法的证题步骤有哪几步？3、什么样的命题适合用反证法来证明？4、反证法的应用关键在于什么？【学生展示、交流】（1）反证法概念反证法：假设命题结论不成立（即命题结论的反面成立），经过正确的推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的的证明方法叫反证法。

2.2.2 反证法一、选择题1．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是( )①与已知条件矛盾 ②与假设矛盾 ③与定义、公理、定理矛盾 ④与事实矛盾A ．①②B ．①③C ．①③④D ．①②③④2．否定：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”时正确的反设为( )A ．a ，b ，c 都是偶数B ．a ，b ，c 都是奇数C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数D ．a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数3．有下列叙述：①“a >b ”的反面是“a <b ”；②“x ＝y ”的反面是“x >y 或x <y ”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．其中正确的叙述有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．用反证法证明命题：“A.b ∈N ，ab 可被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为( )A ．a ，b 都能被5整除B ．a ，b 都不能被5整除C ．a ，b 不都能被5整除D ．a 不能被5整除5．用反证法证明命题：“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实数C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根6．设a ，b ，c 都是正数，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a( ) A ．都大于2B ．至少有一个大于2C．至少有一个不小于2D．至少有一个不大于2二、填空题7．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是___________________________________________________________________________________________________．8．用反证法证明命题“若x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时，应假设____________．9．设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2．其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是________(填序号)．10．某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝．甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷．根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是________．11．若下列两个方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是____________________．三、解答题12．设{a n}，{b n}是公比不相等的两个等比数列，c n＝a n＋b n，证明：{c n}不是等比数列．13．已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．参考答案1．D2．D解析：自然数a ，b ，c 的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”时正确的反设为“a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数”．3．B解析：①错：应为a ≤b ；②对；③错：应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上；④错：应为三角形可以有2个或2个以上的钝角．4．B解析：“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a ，b 都不能被5整除”．5．A解析：方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根的反面是方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根，故应选A ．6．C解析：假设a ＋1b <2，b ＋1c <2，c ＋1a<2， 则(a ＋1b )＋(b ＋1c )＋(c ＋1a)<6． 又(a ＋1b )＋(b ＋1c )＋(c ＋1a) ＝(a ＋1a )＋(b ＋1b )＋(c ＋1c)≥2＋2＋2＝6， 这与假设得到的不等式相矛盾，从而假设不正确，所以这三个数至少有一个不小于2．7．存在一个三角形，其外角最多有一个钝角解析：“任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个”．8．x ＝a 或x ＝b9．③10．甲解析：假如甲：我没偷是真的，乙：丙是小偷；丙：丁是小偷是假的；丁：我没有偷就是真的，与他们四人中有一人说真话矛盾．假如甲：我没有偷是假的，那么丁：我没有偷就是真的，乙：丙是小偷，丙：丁是小偷是假的，成立．∴可以判断偷珠宝的人是甲．11．a ≤－2或a ≥－1解析：若两方程均无实根，则Δ1＝(a －1)2－4a 2＝(3a －1)(－a －1)<0，∴a <－1或a >13． Δ2＝(2a )2＋8a ＝4a (a ＋2)<0，∴－2<a <0，故－2<a <－1．若两个方程至少有一个方程有实根，则a ≤－2或a ≥－1．12．证明：假设{c n }是等比数列，则当n ≥2时，(a n ＋b n )2＝(a n －1＋b n －1)·(a n ＋1＋b n ＋1)．所以a 2n ＋2a n b n ＋b 2n ＝a n －1a n ＋1＋a n －1b n ＋1＋b n －1a n ＋1＋b n －1b n ＋1．设{a n }，{b n }的公比分别为p ，q (p ≠q )．因为a 2n ＝a n －1·a n ＋1，b 2n ＝b n －1·b n ＋1，所以2a n b n ＝a n －1b n ＋1＋b n －1a n ＋1＝a n p ·b n ·q ＋b n q·a n ·p ， 所以2＝q p ＋p q ，所以当p ≠q 时，q p ＋p q >2或q p ＋p q ≤－2与q p ＋p q＝2矛盾， 所以{c n }不是等比数列．13．证明：假设a ，b ，c ，d 都是非负数，因为a ＋b ＝c ＋d ＝1，所以(a ＋b )(c ＋d )＝1．又(a ＋b )(c ＋d )＝ac ＋bd ＋ad ＋bc ≥ac ＋bd ，所以ac ＋bd ≤1，这与已知ac ＋bd >1矛盾，所以a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．。