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复数复习要点1.通过方程的解，认识复数.2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义.3.掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．一复数的有关概念1．复数的概念形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．2．复数相等a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．3．共轭复数a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c 且b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．4．复数的模复数z ＝a ＋b i 在复平面中的对应向量为向量OZ →，向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模或绝对值，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )．二复数的几何意义1．复数z ＝a ＋b i 复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．2．复数z ＝a ＋b i 平面向量OZ →＝(a ，b )(a ，b ∈R )．三复数的运算设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则(1)加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ；(2)减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ；(3)乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；(4)除法：z 1z 2＝a ＋b ic ＋d i ＝a ＋b ic －d i c ＋d ic －d i＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d2i(c ＋d i≠0)．常/用/结/论1．(1±i)2＝±2i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i ＝－i.若ω＝－12＋32i ，则有ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0,1＋ω＋ω＝0，ωn 也有周期性.ω3k ＝1，ω3k ＋1＝ω，ω3k ＋2＝ω.(k ∈N )ω2＝ω.2．i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N )，i 4n ＋i n 具有周期性．i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0(n ∈N )．3．z ·z ＝|z |2＝|z |2，|z 1·z 2|＝|z 1|·|z 2|，|z1z 2|＝|z 1||z 2|，|z n|＝|z |n.复数模的性质.再如：|z 1|－|z 2|≤|z 1±z 2|≤|z 1|＋|z 2|.1．判断下列结论是否正确．(1)方程x 2＋x ＋1＝0没有解．()(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小，如4＋3i>3＋3i,3＋4i>3＋3i 等．()(3)已知z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0时，复数z 为纯虚数．()(4)复数z ＝－1＋2i 的共轭复数的对应点在第四象限．()2．(2023·全国甲卷，文)51＋i 32＋i2－i＝()A ．－1B ．1C ．1－i D ．1＋i解析：51＋i 32＋i2－i＝51－i 5＝1－i ，故选C.答案：C3．(多选)(2024·湖南永州模拟)设复数z ＝－12－32i 的共轭复数为z ，则下列结论正确的有()A.z ＝cos 2π3＋isin2π3B.zz 2＝12C.|z z|＝1D ．z 3＋z 3＝2解析：由题意可知z ＝－12＋32i ＝cos 2π3＋isin 2π3，所以A 正确；因为z z2＝－12＋32i －12－＝－12＋32i －12＋32i ＝1，所以B 错误；因为|z z|＝|－12＋32i ||－12－32i |＝11＝1，所以C 正确；因为z 3＋z 3＝(z ＋z )(z 2－z z ＋z 2)＝(z ＋z )[(z ＋z )2－3z z ]＝(－1)×[(－1)2－3×1]＝2，所以D 正确．故选ACD.答案：ACD4．(2023·天津卷)已知i 是虚数单位，化简5＋14i2＋3i的结果为________．解析：由题意可得5＋14i2＋3i＝5＋14i 2－3i 2＋3i2－3i＝52＋13i13＝4＋i.答案：4＋i题型有关复数相关概念的理解典例1已知m ∈R ，复数z ＝mm －2m －1＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时：(1)z ∈R ；(2)z 是纯虚数；(3)z 对应的点位于复平面的第二象限．解：(1)当z 为实数时，则有m 2＋2m －3＝0且m －1≠0，只强调虚部为零，显然也有陷阱！解得m ＝－3，故当m ＝－3时，z ∈R .(2)当z 为纯虚数时，则有0，，严格概念，写出条件方程．解得m ＝0或m ＝2.(3)当z 对应的点位于复平面的第二象限时，解得m<－3或1<m<2.第二象限时，实部、虚部满足的条件不等式组．关于复数的概念的易错点复数z＝a＋b i(a，b∈R)＝0，≠0，做题时容易忽略b≠0，从而造成错误.对点练1(1)(2023·全国甲卷，理)若i为虚数单位，复数(a＋i)(1－a i)＝2，则a＝() A．－1B．0C．1D．2(2)设复数z满足z－1z＋1为纯虚数，则|z|＝()A．1 B.2C.3D．2解析：(1)(a＋i)(1－a i)＝a－a2i＋i＋a＝2a＋(1－a2)i＝2，a＝2，－a2＝0，解得a＝1，故选C.(2)因为z－1z＋1为纯虚数，所以可设z－1z＋1＝b i(b≠0)，则z＝1＋b i1－b i，方法一：由题意可得z＝1＋b i21－b i1＋b i＝1－b21＋b2＋2b1＋b2i，所以|z|＝1－b221＋b22＋2b21＋b22＝1＋2b2＋b41＋b22＝1，故选A.方法二：|z|＝|1＋b i1－b i|＝|1＋b i||1－b i|＝1＋b21＋－b2＝1，故选A.答案：(1)C(2)A题型复数运算的多维研讨维度1复数的基本运算典例2(1)(2023·新高考全国Ⅰ卷)已知z＝1－i2＋2i，则z－z＝()A．－i B．iC．0D．1(2)－23＋i 1＋23i ＋022＝________.解析：(1)z ＝1－i2＋2i ＝1－i 221＋i1－i＝1－2i ＋i 221－i 2＝－2i 4＝－12i ，则z ＝12i ，∴z －z＝－12i －12i ＝－i ，故选A.先化简z 的形式，明确实部、虚部．(2)i ＋i 3＝0.体会(1－i )n 的运算技巧，应先计算(1－i )2＝－2i ，即(1－i )2n ＝(－2i )n ＝(－2)n ·i n .这样使运算简便一些！故答案为0.复数代数形式的运算问题的解题策略(1)复数的加、减、乘法类似于多项式的运算(注意：i 2＝－1)，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法：除法的关键是分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母实数化．(3)复数的模注意正确应用公式|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )．对点练2(1)(2023·全国乙卷，文)|2＋i 2＋2i 3|＝()A ．1B ．2C.5D ．5(2)(2023·全国乙卷，理)设z ＝2＋i 1＋i 2＋i5，则z ＝()A ．1－2iB ．1＋2iC ．2－iD ．2＋i 解析：(1)|2＋i 2＋2i 3|＝|2－1－2i|＝|1－2i|＝1＋－22＝ 5.故选C.(2)因为z ＝2＋i 1＋i 2＋i 5＝2＋i 1＋－1＋i ＝2＋i i ＝2＋iii2＝－(2＋i)i ＝1－2i ，所以z ＝1＋2i ，故选B.答案：(1)C (2)B 维度2复数的综合运算典例3(多选)(2024·浙江杭州期末)已知非零复数z 1，z 2在复平面内对应的点分别为Z 1，Z 2，O 为坐标原点，则()A ．当|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|时，OZ 1→·OZ 2→＝0利用向量视角来理解．B ．当|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|时，z 1·z 2＝0C ．若|z 1＋z 2|＝|z 1|＋|z 2|，则存在实数t ，仍然可用向量视角，即OZ 1→与OZ 2→同向时，等号成立．使得z 2＝tz 1D ．若|z 1＋1|＝|z 2＋1|，则|z 1|＝|z 2|数形结合的角度：z 1，z 2到点(－1,0)的距离相等．解析：对于A ，|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，即|OZ 1→＋OZ 2→|＝|OZ 1→－OZ 2→|，两边平方可得OZ 1→·OZ 2→＝0，故A 正确；对于B ，取z 1＝1，z 2＝i ，则|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，而z 1·z 2≠0，故B 错误；对于C ，|z 1＋z 2|＝|z 1|＋|z 2|即|OZ 1→＋OZ 2→|＝|OZ 1→|＋|OZ 2→|，两边平方可得OZ 1→·OZ 2→＝|OZ 1→|·|OZ 2→|，故cos 〈OZ 1→，OZ 2→〉＝OZ 1→·OZ 2→|OZ 1→||OZ 2→|＝1，夹角θ＝0，OZ 1→，OZ 2→方向相同．故OZ 1→∥OZ 2→，因此存在实数t ，使得z 2＝tz 1，故C 正确；对于D ，取z 1＝2i ，z 2＝1＋i ，则|z 1＋1|＝|z 2＋1|，但|z 1|≠|z 2|，故D 错误．故选AC.复数的模与共轭复数的运算性质(1)|z 1·z 2|＝|z 1|·|z 2|；(2)|z 1z 2|＝|z 1||z 2|；(3)|z |＝|z |；(4)z ·z ＝|z |2.对点练3(1)设z 的共轭复数是z ，若z ＋z ＝4，z ·z ＝8，则z z＝()A ．iB ．－iC ．±1D ．±i(2)在数学中，记表达式ad －bc 为由|abc d |所确定的二阶行列式．若在复数域内，z1＝1＋i ，z 2＝2＋i 1－i，z 3＝z 2，则当|z 1z 2z 3z 4|＝12－i 时，z 4＝________.解析：(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，a ＝4，2＋b 2＝8，＝2，＝±2.当z ＝2＋2i 时，z z ＝－i ；当z ＝2－2i 时，z z＝i.(2)依题意知，|z 1z 2z 3z 4|＝z 1z 4－z 2z 3，因为z 3＝z 2，且z 2＝2＋i1－i＝2＋i1＋i2＝1＋3i2，所以z 2z 3＝|z 2|2＝52，因此有(1＋i)z 4－52＝12－i ，即(1＋i)z 4＝3－i ，故z 4＝3－i 1＋i ＝3－i1－i2＝1－2i.答案：(1)D(2)1－2i题型复数的几何意义典例4(1)(2023·新高考全国Ⅱ卷)在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)0,3＋2i ，－2＋4i 在复平面内对应的点为平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C .求：①AO →，BC →所表示的复数；②对角线CA →所表示的复数；③B 点对应的复数．(1)解析：(1＋3i)(3－i)＝3－i ＋9i ＋3＝6＋8i ，在复平面内对应的点的坐标为(6,8)，位于第一象限，故选A.(2)解：①∵AO →＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i.∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i.平行四边形对边对应的向量相等，对应复数相等．②∵CA →＝OA →－OC →，∴对角线CA →所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.借用向量减法运算！③∵OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，∴OB →所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ，即B 点对应的复数为1＋6i.复数几何意义的理解及应用复数集与复平面内所有的点构成的集合之间存在着一一对应关系，类比实数与数轴上的点、复数与复平面内的点，都属于一一对应关系，实现数与形的对应统一，让抽象的数可视化、形象化．每一个复数都对应着一个点(有序实数对)．复数的实部对应着点的横坐标，而虚部则对应着点的纵坐标，只要在复平面内找到这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．对点练4(1)(多选)(2024·江苏徐州模拟)已知复数z 1＝－2＋i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点为A ，复数z 2满足|z 2－1＋i|＝2，z 2在复平面内对应的点B 为(x ，y )，则下列结论正确的有()A ．复数z 1的虚部为iB ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝4C ．|z 1－z 2|的最大值为13＋2D ．|z 1＋z 2|的最小值为13－2(2)(2020·全国Ⅱ卷，理)设复数z 1，z 2满足|z 1|＝|z 2|＝2，z 1＋z 2＝3＋i ，则|z 1－z 2|＝________.解析：(1)由z 1＝－2＋i ，知虚部为1，故A 错误；因为|z 2－1＋i|＝2，z 2在复平面内对应的点B 为(x ，y )，则|(x －1)＋(y ＋1)i|＝2，所以(x －1)2＋(y ＋1)2＝4，故B 正确；由题意知，点B 在以(1，－1)为圆心，2为半径的圆上，根据复数的几何意义，|AB |＝|z 1－z 2|，所以|z 1－z 2|max ＝－2－12＋1＋12＋2＝13＋2，故C 正确；|z 1＋z 2|＝|(－2＋x )＋(1＋y )i|＝x －22＋y ＋12表示点B 与定点(2，－1)的距离，易知点(2，－1)在圆内，所以|z 1＋z 2|min ＝2－2－12＋－1＋12＝1，故D 错误．故选BC.(2)方法一：设z 1＝x 1＋y 1i(x 1，y 1∈R )，z 2＝x 2＋y 2i(x 2，y 2∈R )，则由|z 1|＝|z 2|＝2，得x 21＋y 21＝x 22＋y 22＝4.因为z 1＋z 2＝x 1＋x 2＋(y 1＋y 2)i ＝3＋i ，所以|z 1＋z 2|2＝(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)2＝x 21＋y 21＋x 22＋y 22＋2x 1x 2＋2y 1y 2＝8＋2x 1x 2＋2y 1y 2＝(3)2＋12＝4，所以2x 1x 2＋2y 1y 2＝－4，所以|z 1－z 2|＝|x 1－x 2＋(y 1－y 2)i|＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝x 21＋y 21＋x 22＋y 22－2x 1x 2－2y 1y 2＝8＋4＝2 3.方法二：设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2＝3－a ＋(1－b )i ，则1|2＝a 2＋b 2＝4，2|2＝3－a2＋1－b 2＝4，b 2＝4，＋b ＝2，所以|z1－z2|2＝(2a－3)2＋(2b－1)2＝4(a2＋b2)－4(3a＋b)＋4＝4×4－4×2＋4＝12，所以|z1－z2|＝23.方法三：题设可等价转化为向量a，b满足|a|＝|b|＝2，a＋b＝(3，1)，求|a－b|.因为(a ＋b)2＋(a－b)2＝2|a|2＋2|b|2，所以4＋(a－b)2＝16，所以|a－b|＝23，即|z1－z2|＝23.方法四：设z1，z2在复平面上对应的点分别为A，B，O为坐标原点，z1＋z2＝z＝3＋i，则z在复平面上对应的点为P(3，1)，所以|z1＋z2|＝|z|＝2，由平行四边形法则知OAPB是边长为2，一条对角线也为2的菱形，则另一条对角线的长为|z1－z2|＝2×32×2＝23.答案：(1)BC(2)23。
