线性系统的时域分析法

▪ 如果m < n，即开环零点数小于开环极点数，除有m条根轨迹 终止于开环零点外，还有n-m条根轨迹终止于无穷远点。
证明：对负反馈控制，根据特征方程1+G(s)H(s)=0
m
Kr (s zi )
G(s)H (s)
i 1 n
1
(s pj)
j 1
n
m
(s p j ) Kr (s zi ) 0
4.1.1 根轨迹的定义
所谓根轨迹就是当开环系统的某个参数从0→+∞变化时，闭环系
统特征根（闭环极点）在s复平面上移动所形成的轨迹。
例4-1 控制系统结构如图所示，其开环传递函数为
试绘出当Kr 从0→+∞变化时的根轨迹。
G(s)H (s)
Kr
(s 1)(s 2)
R(s)
-
Kr
C(s)
(s 1)(s 2)
▪ 1948年，伊万斯（Evans）根据反馈控制系统中开、闭环传递 函数之间的关系，首先提出了一种根据开环传递函数的零、极 点分布，用图解方法来确定闭环传递函数极点随参数变化的运 动轨迹，这种方法被称为根轨迹法。
▪ 轨迹法是一种图解的方法，具有直观、形象的特点，且可以避 免繁琐的计算，故在控制工程领域中获得了广泛地应用。
jω
Kr=4.25
2
Kr=0.25 Kr=0
-2
Kr=1.25 Kr=0 -1
Kr=1.25
1
0
σ
-1
Kr=4.25
-2
4.1.2 根轨迹与系统性能
1. 稳定性
当Kr 从0→+∞变化时，显然，由上图可知，闭环系统的根轨迹均在s平 面的左半平面，故系统对所有大于0的Kr 值都是稳定的。如果系统根 轨迹越过了虚轴而进入右半s平面，则在相应Kr 值下系统是不稳定的， 其中根轨迹与虚轴交点处的Kr 值，一般称为临界根增益。

(1)稳定必要条件
a0>0
ai(i=0,1,2,…n)>0
(2)劳思稳定判据 1)劳思表
cij=
i---列；j---行
ci+1.j-2 c1.j-2 ci+1.j-1 c1.j-1
c1.j-1
稳定充分必要条件 C1,j >0 (j=0,1…n+1)
Sn
a0
a2
a4
a6
…
Sn-1
a1
a3
a5
a7
…
Sn-2
0
s0
-4
-7
-4
-4
0
-4
0 (dF(s)/d(s)=0 系数)
由于劳思表第一列数值有一次符号变化,故系统不稳定,且 有一个正实部根.其特征根是±2, ±j,(-1±j√3)/2
辅助方程:F(s)=s4-3s2-4=(s2-4)(s2+1)=0
3)劳思稳定判据的应用 例:设比例-积分(PI)控制系统如图所示.其中,K1为与积分器
r k 1
Ck Bkkk k 1 k2
e k k t
sin(
k
1 k2 )t
t0
特征根实部
0
lim
k(t)
t
c或振荡
全负
稳定
1个为正
不稳定
1个为零其余为负 临界稳定
r(t)
0
t
j
s
× ××
×× × 0
× ××
特征根全部位于左半S平面
c(t)
0
t
c(t)
0
t
c(t)
0
t
稳定判据
设: D(s) a0sn a1sn1 an1s an 0

实验法具有直观性和可验证性的优点，适用于各种类型的二阶系统。但是，实验法需要实际设备和实 验条件，成本较高。
04
二阶系统的稳定性分析稳定性定义平衡状态
线性系统在平衡状态下的输出称为平衡状态输出。
稳定性
如果一个系统的平衡状态输出对于所有初始条件和输入都是稳定的，则称该系统是稳定 的。
稳定性判据
劳斯-赫尔维茨判据
数值法
数值法是通过数值计算来求解二阶系 统的方法。它通过将时间轴离散化， 将微分方程转化为差分方程，然后使 用迭代或直接计算的方法求解。
数值法具有简单易行和适用性广的优 点，适用于各种类型的二阶系统。但 是，对于某些特殊类型的系统，数值 法可能存在精度和稳定性问题。
实验法
实验法是通过实际实验来测试二阶系统的方法。它通过在系统中输入激励信号，然后测量系统的输出 响应，从而得到系统的性能参数。
线性系统的时域分析 法二阶系统
目录
CONTENTS
• 线性系统的时域分析法概述 • 二阶系统的基本概念 • 二阶系统的时域分析方法 • 二阶系统的稳定性分析 • 二阶系统的性能指标分析 • 二阶系统的应用实例
01
线性系统的时域分
析法概述
定义与特点
定义
时域分析法是一种通过在时间域 内对系统进行直接分析的方法， 用于研究系统的动态性能和响应 特性。
通过计算系统特征方程的根来判断系统 的稳定性。如果所有根都位于复平面的 左半部分，则系统稳定；如果有根位于 右半部分，则系统不稳定。
VS
Nyquist稳定判据
通过绘制系统的开环传递函数的Nyquist 曲线，判断曲线是否不穿越复平面的右半 部分，从而判断系统的稳定性。
稳定性分析方法
直接法

三、动态性Leabharlann 和稳态性能动态性能：通常在阶跃函数作用下，测定或计算系统的动
态性能。一般认为阶跃输入对系统来说是最严峻的工作状态。
描述稳定的系统在阶跃函数作用下，动态过程随时间的
变化状况的指标称为动态性能指标。通常包括：
延迟时间 td ：指响应曲线第一次到达稳态值一半所需的时间。
上升时间 tr ：指响应第一次 h(t) % 误差带
洛比特法则
lim lim
(s pi )N (s)
(s pi )N (s) N (s) N ( pi )
s pi
D(s)
s pi
D(s)
D( pi )
f (t) L1
F (s)
L1
n i1
Ai s pi
n i 1
Aie pi t
② 具有多重极点的有理函数的反变换
F (s)
误差平方积分(ISE，Integral of Square Error)
ISE e2 (t)dt 0
( e(t)是输入输出之间存在的误差)
时间乘误差平方积分(ITSE，Integral of Timed Square Error)
ITSE te2 (t)dt 0
误差绝对值积分(IAE，Integral of Absoluted Error)
(s a
j)F (s) sa j
N (s) D(s)
sa j
k1
e j
思考：为何 k1，k2 必为共轭复数？
f
(t)
L1 F (s)
L1
s
A1 p1
k1 sa
j
k2 sa
j
A1e p1t
k1e(a j)t