线性系统的时域分析方法
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第3章线性系统的时域分析与校正3.1 概述系统的数学模型建立后,便可对系统进行分析和校正。
分析和校正是自动控制原理课程的两大任务。
系统分析是由已知的系统模型确定系统的性能指标;校正是根据需要在系统中加入一些机构和装置并确定相应的参数,用以改善系统性能,使其满足所要求的性能指标。
系统分析的目的在于“认识”系统,系统校正的目的在于“改造”系统。
系统的分析校正方法一般有时域法、根轨迹法和频域法,本章介绍时域法。
3.1.1 时域法的作用和特点时域法是一种直接在时间域中对系统进行分析校正的方法,具有直观,准确的优点,它可以提供系统时间响应的全部信息,但在研究系统参数改变引起系统性能指标变化的趋势这一类问题,以及对系统进行校正设计时,时域法不是非常方便。
时域法是最基本的分析方法,该方法引出的概念、方法和结论是以后学习复域法、频域法等其他方法的基础。
3.1.2 时域法常用的典型输入信号要确定系统性能的优劣,就要在同样的输入条件激励下比较系统的行为。
为了在符合实际情况的基础上便于实现和分析计算,时域分析法中一般采用如表3-1中的典型输入信号。
3.1.3 系统的时域性能指标如第一章所述,对控制系统的一般要求归纳为稳、准、快。
工程上为了定量评价系统性能好坏,必须给出控制系统的性能指标的准确定义和定量计算方法。
稳定是控制系统正常运行的基本条件。
系统稳定,其响应过程才能收敛,研究系统的性能(包括动态性能和稳态性能)才有意义。
实际物理系统都存在惯性,输出量的改变是与系统所储有的能量有关的。
系统所储有的能量的改变需要有一个过程。
在外作用激励下系统从一种稳定状态转换到另一种稳定状态需要一定的时间。
一个稳定系统的典型阶跃响应如图3-1所示。
响应过程分为动态过程(也称为过渡过程)和稳态过程,系统的动态性能指标和稳态性能指标就是分别针对这两个阶段定义的。
表3-1 时域分析法中的典型输入信号名称)(tr时域关系时域图形)(sR复域关系例单位脉冲函数⎩⎨⎧≠=∞=)(tttδ⎰=1)(dttδdtd1s⨯撞击作用后坐力电脉冲单位阶跃函数⎩⎨⎧<≥=1)(1ttts1开关输入单位斜坡函数⎩⎨⎧<≤=)(ttttf21s等速跟踪信号单位加速度函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥=21)(2ttttf31s1 动态性能系统动态性能是以系统阶跃响应为基础来衡量的。
线性系统的时域分析实验报告线性系统的时域分析实验报告引言:线性系统是控制理论中的重要概念,它在工程领域中有广泛的应用。
时域分析是研究线性系统的一种方法,通过对系统输入和输出的时域信号进行观察和分析,可以得到系统的动态特性。
本实验旨在通过对线性系统进行时域分析,探究系统的稳定性、阶数和频率响应等特性。
实验一:稳定性分析稳定性是线性系统的基本性质之一,它描述了系统对于不同输入的响应是否趋于有界。
在本实验中,我们选取了一个简单的一阶系统进行稳定性分析。
首先,我们搭建了一个一阶系统,其传递函数为H(s) = 1/(s+1),其中s为复变量。
然后,我们输入了一个单位阶跃信号,观察系统的输出。
实验结果显示,系统的输出在输入信号发生变化后,经过一段时间后稳定在一个有限的值上,没有出现发散的情况。
因此,我们可以判断该系统是稳定的。
实验二:阶数分析阶数是线性系统的另一个重要特性,它描述了系统的动态响应所需的最小延迟时间。
在本实验中,我们选取了一个二阶系统进行阶数分析。
我们搭建了一个二阶系统,其传递函数为H(s) = 1/(s^2+2s+1)。
然后,我们输入了一个正弦信号,观察系统的输出。
实验结果显示,系统的输出在输入信号发生变化后,经过一段时间后才稳定下来。
通过进一步分析,我们发现系统的输出波形具有两个振荡周期,这表明系统是一个二阶系统。
实验三:频率响应分析频率响应是线性系统的另一个重要特性,它描述了系统对于不同频率输入信号的响应情况。
在本实验中,我们选取了一个低通滤波器进行频率响应分析。
我们搭建了一个低通滤波器,其传递函数为H(s) = 1/(s+1),其中s为复变量。
然后,我们输入了一系列不同频率的正弦信号,观察系统的输出。
实验结果显示,随着输入信号频率的增加,系统的输出幅值逐渐减小,表明系统对高频信号有较强的抑制作用。
这一结果与低通滤波器的特性相吻合。
结论:通过以上实验,我们对线性系统的时域分析方法有了更深入的了解。
第三章 线性系统的时域分析法●时域分析法在经典控制理论中的地位和作用时域分析法是三大分析方法之一,在时域中研究问题,重点讨论过渡过程的响应形式。
时域分析法的特点:1).直观、精确。
2).比较烦琐。
§3.1 系统时间响应的性能指标1. 典型输入2. 性能指标∙稳→基本要求 ∙准→稳态要求↓ss e :∙快→过渡过程要求⎪⎩⎪⎨⎧↓↓⨯∞∞-=s p t h h t h %)()()(%σ§3.2 一阶系统的时域分析设系统结构图如右所示 开环传递函数sK s G =)(闭环传递函数)1(11111)(T Ts T s T Ks K s K s Ks -=+=+=+=+=Φλ:)(1)(时t t r =Ts sTs s T s R s s C 111)1(1)()()(+-=+=Φ=1)(,0)0( 1)(1=∞=-=∴-c c e t c tTTc eT t c tT 1)0( 1)(1='='-依)(t h 特点及s t 定义有:95.01)(1=-=-st T s e t h05.095.011=-=-st T e305.0ln 1-==-s t TT t s 3=∴一阶系统特征根1s T=-分布与时域响应的关系:21110 ()().(). ()s C s s R s h t t s s s∙==Φ===时 11 () ()1()ata s a C s h t e s s a ss a∙===-+=-+--时例1 已知系统结构图如右 其中:12.010)(+=s s G加上H K K ,0环节,使s t 减小为原来的0.1倍,且总放大倍数不变,求H K K ,0解:依题意,要使闭环系统02.00.21.0*=⨯=s t ,且闭环增益=10。
11012.0)101(10 1012.01012.010112.010.)(1)(.(s)0000+++=++=+++=+=Φs K K K K s K s K s K s G K s G K HH HH H令 101011002.01012.00⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+==+=H H K K K K T 联立解出⎩⎨⎧==109.00K K H 例2 已知某单位反馈系统的单位阶跃响应为atet h --=1)(求(1).闭环传递函数)(s Φ;(2).单位脉冲响应;(3).开环传递函数。
第三章线性系统的时域分析方法教学目的:通过本章学习,熟悉控制系统动态性能指标定义,掌握线性系统稳定的充要条件和劳斯判椐的应用,以及稳态误差计算方法,掌握一阶、二阶系统的时域分析方法。
教学重点:掌握系统的动态性能指标,能熟练地应用劳斯判椐判断系统稳定性,二阶系统的动态响应特性分析。
教学难点:高阶系统的的动态响应特性分析。
本章知识结构图:系统结构图闭环传递函数一阶标准式二阶标准式特征方程稳定性、稳定域代数判据误差传递函数误差象函数终值定理稳态误差开环传递函数系统型别、开环增益公式静态误差系数第九讲3.1 系统时间响应的性能指标 一、基本概念1、时域分析方法:根据系统的数学模型求出系统的时间响应来直接分析和评价系统的方法。
(1)响应函数分析方法:建立数学模型→确定输入信号→求出输出响应→ 根据输出响应→系统分析。
(2)系统测试分析方法:系统加入扰动信号→测试输出变化曲线→系统分析。
系统举例分析:举例:原料气加热炉闭环控制系统 2、分析系统的三大要点(1)动态性能(快、稳) (2)稳态性能(准) (3)稳定性(稳) 二、动态性能及稳态性能1、动态过程(过渡过程):在典型信号作用下,系统输出从初始状态到最终状态的响应过程。
(衰减、发散、等幅振荡)2、稳态过程:在典型信号作用下,当t → ∞ 系统输出量表现的方式。
表征输出量最终复现输入量的程度。
(稳态误差描述)3、动态稳态性能指标图3-1温度控制系统原理图(1)上升时间tr :从稳态值的10%上升到稳态值的90%所需要的时间。
(2)峰值时间tp :从零时刻到达第一个峰值h(tp)所用的时间。
(3)超调量δ%:最大峰值与稳态值的差与稳态值之比的百分数。
(稳)(3-1)%100)(()(%⨯∞∞-=h h t h p )δ(4)调节时间ts :输出响应到达并保持在稳态值h(∞)±5%误差带内所用的最短时间。
(快)(5)稳态误差ess :若时间t - ∞,系统理想输出值与实际输出值的偏差,即ess=输出理想值-实际输出值。
(准) 3.2 线性系统的稳定性分析 一、稳定性的概念1、稳定性:任何一个系统受到扰动作用后,会偏离原来的平衡点,而扰动消除后,经一定时间逐渐会到原来的平衡点,称系统是稳定的。
2、说明(1)稳定取决与本身系统的结构和参数,与输入信号无关。
(2)不稳定的系统受到扰动后,系统输出偏离原来的工作点,随时间的推移而发散。
二、线性系统稳定的充分必要条件1、N 阶系统的脉冲响应(3-2) (3-3) (3-4) (3-5)3、结论:系统稳定的充分必要条件是:系统特征根的实部均小于零或系统 的特征方程根均在S 平面的左半平面。
三、劳斯判据121212121211212()()()()()()()()()0()()()n m n n Nn ii n itttn s z s z s z Y(s)φ(s)R(s)s s s s s s A AA A y s s S S S s y t A eA eA eλλλλλλλλλϕλλλλ=---==------===++=----=++=∑系统的特征方程为:特征根为互不相同的单根,则在初始为零时,脉冲响应的拉氏变换由拉氏反变换,得到单位脉冲响应函数:112()lim 0i i nti i nt i t i A e y t A e λλ=→∞===∑∑、系统稳定充要条件系统稳定时应有),,2,1(0lim n i e Ai t t i ==∞→λ立,只能有为任意性,要使上式成系数1、劳斯判据特点(1)不需要计算复杂的特征方程根;(2)能判断根在S 平面的左半平面和右半平面的个数。
2、判断系统稳定的步骤建模→求特征方程→列劳斯表→判稳假定系统的特征方程为: (3-6)列劳斯表:S n a0 a2 a4 a6 ··· S n-1 a1 a3 a5 a7 ··· S n-2 b1 b2 b3 b4 ··· S n-3 c1 c2 c3 c4 : : : : : S 1 d1 d2 S 0 f13、劳斯表列写说明:(1)表中的行数与特征方程中的项数相同。
(2)表中的前两行由特征方程的系数直接构成。
第一行由特征方程的第1、3、5..系数构成,第二行由第2、4、6..构成,劳斯表中以后各行由计算得到。
(3)第三行以后通过计算得到。
系统稳定性的判定条件:劳斯表第一列的数值大于零。
正实根数目的判定:第一列各系数符号改变的次数代表特征方程正实根的数 目(S 平面右半平面根的个数)。
举例例1、设系统的特征方程为s 4+2s 3+3s 2+4s+5=0,试判断系统的稳定性。
解:若特征方程各项系数都不为零,并都是正数,则用劳斯表判稳 列劳斯表:s 4 1 3 5 s 3 2 4s 2 (2*3-1*4)/2=1 (2*5-1*0)/2=5 s 1 (1*4-2*5)/1=-6 001110=++++--n n n n a s a s a s as0(6*5-1*0)/6=5劳斯表第一列系数符号改变两次,系统不稳定,有两个正实部根。
3、劳斯判剧的特殊情况(1)劳斯表中的第一列项为零,而其余项不为零。
例2、设系统的特征方程为D(s)=s4+2s3+3s2+6s+1=0,判断系统的稳定性。
s4 1 3 1s3 2 6s2(2*3-1*6)/2=0--ε(2*1-1*0)/2=1 (用一个小正数ε代替第一列项为零的元)s1(6*ε-2*1)/ ε→∞s0 1劳斯表第一列系数符号改变两次,系统不稳定,有两个正实部根。
(2)劳斯表中出现全零行例3系统的特征方程为D(s)=s6+s5-2s4-3s3-7s2-4s-4=0,试用劳斯判剧判断系统的稳定性,并指出根的分布情况。
列劳斯表:S6 1 -2 -7 -4S5 1 -3 -4S4(-2+3)/1=1 (-7+4)/1=--3 (-4-0)/1=--4 ***[F(s)=s4-3s2-4=0]S3 4 -6s2-1.5 -4S1-1.67 0S0-4系统不稳定,符号改变一次,只有一个正实部根。
有两个大小相等符号相反的实根或一对共轭虚根,在全零上面一行的系数建立辅助方程F(s)=0,并对辅助方程s求导,用导数方程的系数取代全零行的元,继续劳斯表计算。
dF(s)/ds=4s3-6s=0小结:1、系统的动态性能指标(超调量、调节时间)2、能熟练应用劳斯判据,判断系统的稳定性。
第十讲四、劳斯判据的应用比例积分控制系统结构如图所示:已知参数ζ=0.2,ωn=86.6,试用劳斯稳定判据确定使闭环系统稳定的K1取值范围。
如果要求闭环系统的极点全部位于S=-1垂线之左,问K1值范围又应当取多大?闭环特征方程:322120n n n S S S K ζωωω+++=,代入ζ=0.2,ωn=86.6,得:S 3+34.6S 2+7500S+7500K 1=0 列劳斯表:S 3 1 7500 S 2 34.6 7500K 1 S 1134.67500750034.6K ⨯- 0S 0 7500K 1系统稳定必须有:1134.6750075000,7500034.6K K ⨯->>解得:0<K 1<34.6当要求闭环系统的极点全部位于S=-1垂线之左时,令S=S 1-1 代入原特征方程得:(S 1-1)3+34.6(S 1-1)2+7500(S 1-1)+7500K 1=0 整理得:32111131.67433.8(75007466.4)0S S S K ++-= 列劳斯表:312111111117433.831.675007466.431.67433.8(75007466.4)31.675007466.4S S K K S S K -⨯---列不等式:131.67433.8(75007466.4)31.6K ⨯-->0 ;175007466.4K ->0解得:1<K 1<32.3 3.3 线性系统的稳态误差计算稳态误差:在稳态条件下,输出量的期望值与实际的稳态值之间的误差,系统稳态误差应控制在某一个范围之内,工业工程中很多性能指标要求的炉温超过误差限度影响质量。
一、误差与稳态误差 1、误差定义图3-3负反馈系统框图一般定义为, 误差=被控量的期望值-被控量的实际值(1) 按输入量定义: E(S)=R(S)-B(S)=R(S)-C(S)H(S) 其中:B(S)是主反馈信号, R(S)是被控量的希望值。
(2) 按输出量定义:R(S)作为被控量的希望值。
R //()S图3-4误差系统框图()/()()()R S E S C S E S =- ()/E S 是希望输出值, 实际输出()C S ,两种误差存在以下关系,()/()()R S E S N S =,若是单位反馈系统H(S)=1,则两种定义可统一起来。
2、误差传递函数()()()()()()()()()()111()()()1()1()e R S B S C S H S C S H S E S s R S R S R S G S H S G S H S ϕ-===-=-=++ 系统的稳态误差:()()()()00lim lim 1ss s s SR S e SE S G S H S →→==+结论:(1) 稳态误差与信号输入形式有关;(2)稳态误差与系统结构参数有关, 即开环传递函数有关。
3 计算稳态误差的一般方法(1)判定系统的稳定性,不稳定求误差无意义。
(2) 求误差的传递函数 ()()()e E S s R S ϕ=()()()en E S s N S ϕ= (3)用终值定理求稳态误差 ()()()0lim ()ss e en s e S S R S S N S ϕϕ→=+⎡⎤⎣⎦ 4、举例: 系统如图已知, r(t)=n(t)=t ,求系统的稳态误差。
R图3-5 扰动误差系统框图解:(1)控制输入r(t)作用下的误差传递函数()()1(1)()(1)1(1)e E S S TS s k R S s TS Ks TS ϕ+===++++()()()()()()10000lim ()()1()()()()lim lim lim lim 11o o s o o vv ss vs s s s vG S H S kG S H S G S H S S R S SR S S R S e SE S S K G S H S S K S→+→→→→======+++ 2、在干扰n(t)作用下的误差传递函数()()()()()[]1(1)()()1(1)1(1)n n n en n K R S C S T S K S TS E S s K N S N S T S S TS K S TS ϕ-+-+===-=+++++()N S图3-6 扰动误差系统框图干扰作用下的稳态误差为:()()201lim n ssn en ens K e S N S S Kϕϕ→===-由叠加原理得:1nss ssr ssn k e e e k-=+=第十一讲二、系统类型由前述可知:系统的稳态误差与系统结构和输入信号R(S)的形式密切相关,假定系统开环传递函数 ()()111()()1mi i n vv j j K s G S H S S T S τ=-=+=+∏∏ (3-7)其中K 为系统开环增益, i τ和j T 是时间常数,V 为积分环节个数,称为系统的类别。