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2025北师大版高中数学一轮复习课件（新高考新教材）第4节 数列求和课标解读1.巩固等差数列、等比数列前n项和公式.2.掌握数列求和的裂项相消求和法、错位相减求和法、拆项分组求和法、并项转化求和法、倒序相加求和法,能够解决数列的求和问题.1 强基础 固本增分知识梳理1.特殊数列的求和公式推导方法:倒序相加法推导方法:乘公比,错位相减法2.非特殊数列求和的几种常用方法(1)倒序相加法:如果一个数列{a n}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法,如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的.(2)分组求和法:一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组求和法,分别求和后再相加.如已知a n=2n+(2n-1),求S n.(3)并项求和法:若一个数列的前n项和中两两结合后可求和,则可用并项求和法.如已知a n=(-1)n f(n),求S n.(4)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n 项和即可用错位相减法来求,如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的.(5)裂项相消法:把数列的通项公式拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.错位相减时,要注意最后一项的符号常用结论常用裂项公式自主诊断×× √√ 题组一基础自测1.思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”).(2)求S n =a +2a 2+3a 3+…+na n 时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得.( )(3)利用倒序相加法可求得si n 21°+si n 22°+si n 23°+…+si n 288°+si n 289°=44.5.( )(4)若在数列{a n }中,a n =(-1)n (3n -1),则其前30项的和等于45.( )2. 在数列{a n}中,a n= ,则{a n}的前n项和为 .3.已知数列1,11,111,1 111, 11 111,…,则它的前n项和为 .4.1+2x+3x2+…+ = (x≠0且x≠1).题组二连线高考A6.(2020·全国Ⅰ,理17)设{a n}是公比不为1的等比数列,a1为a2,a3的等差中项.(1)求{a n}的公比;(2)若a1=1,求数列{na n}的前n项和.解(1)设{a n}的公比为q,由题设得2a1=a2+a3,即2a1=a1q+a1q2.所以q2+q-2=0,解得q=1(舍去),q=-2.故{a n}的公比为-2.(2)记S n为{na n}的前n项和.由(1)及题设可得,a n=(-2)n-1.所以S n=1+2×(-2)+…+n×(-2)n-1,-2S n=-2+2×(-2)2+…+(n-1)×(-2)n-1+n×(-2)n.2 研考点 精准突破考点一 分组转化法求和例1(2024·山东济南模拟)已知数列{a n}满足a1=1,na n+1-(n+1)a n=1.[对点训练1](2024·湖南岳阳模拟)已知等比数列{a n}的前n项和为S n,其公比考点二 并项转化法求和例2(2024·福建泉州模拟)在数列{a n}中,a1=1,且a n+1=2a n+n-1.(1)证明:数列{a n+n}为等比数列,并求出a n;(2)记数列{b n}的前n项和为S n,若a n+b n=2S n,求S11.(1)证明因为a n+1=2a n+n-1,所以=2,又a1+1=2,所以数列{a n+n}是首项为2,公比为2的等比数列,故a n+n=2×2n-1=2n,可得a n=2n-n.(2)解因为2S n=a n+b n=b n+2n-n,即2S n=b n+2n-n,①所以当n=1时,2b1=b1+1,解得b1=1,当n≥2时,2S n-1=b n-1+2n-1-n+1,②①-②得2b n=b n-b n-1+2n-1-1,整理得b n+b n-1=2n-1-1.所以S11=b1+b2+b3+b4+b5+…+b11=b1+(b2+b3)+(b4+b5)+…+(b10+b11) =1+(22-1)+(24-1)+…+(210-1)=(22+24+26+28+210)-4=1 360,即S11=1 360.=2 023.考点三 裂项相消法求和变式探究[对点训练3](2024·山东烟台模拟)已知S n为数列{a n}的前n项和,a1=1,且na n-S n=n2-n,n∈N*.(1)求数列{a n}的通项公式;解(1)因为na n-S n=n2-n,所以(n-1)a n-1-S n-1=(n-1)2-(n-1)(n≥2),两式相减得na n-(n-1)a n-1-a n=2n-2,化简得a n-a n-1=2(n≥2),所以数列{a n}是以1为首项,2为公差的等差数列,所以a n=1+(n-1)×2=2n-1.考点四 错位相减法求和例4(2023·全国甲,理17)记S n为数列{a n}的前n项和,已知a2=1,2S n=na n.(1)求{a n}的通项公式;(2)求数列的前n项和T n.解(1)由题意可知,2S n=na n,①当n≥2时,2S n-1=(n-1)a n-1,②①-②得2a n=na n-(n-1)a n-1,∴(n-1)a n-1=(n-2)a n.[对点训练4](2024·浙江杭州模拟)已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n+2=2a n.(1)求a2及数列{a n}的通项公式;(2)在a n与a n+1之间插入n个数,使得这(n+2)个数依次组成公差为d n的等差数列,求数列{ }的前n项和T n.解(1)由题意,当n=1时,S1+2=a1+2=2a1,解得a1=2,当n=2时,S2+2=2a2,即a1+a2+2=2a2,解得a2=4,当n≥2时,由S n+2=2a n,可得S n-1+2=2a n-1,两式相减,可得a n=2a n-2a n-1,整理得a n=2a n-1,∴数列{a n}是以2为首项,2为公比的等比数列,∴a n=2·2n-1=2n,n∈N*.(2)由(1)可得,a n=2n,a n+1=2n+1,在a n与a n+1之间插入n个数,使得这(n+2)个数依次组成公差为d n的等差数列,则有a n+1-a n=(n+1)d n,本 课 结 束。
