等差数列求和公式(精品PPT课件
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等差数列求和课件.ppt
解 （1）因为 a1 5 a10 95 n 10
所以
S10
(5
95) 2
10
500
（2）因为 a1 100 d 2 n 50
所以
S50
100 50 50 49 (2) 2
2550
四 变式练习
等差数列-10，-6，-2，2，6…的前 多少项和等于54？
n组
Let me see
2Sn =n(a1 an )
Sn
n(a1 2
an )
an a1 (n 1)d
Sn
na1
n(n 1) 2
d
三 范例讲解
. 例1 根据下列各题的条件求相应的等差数列的 前 n 项和 Sn .
（1） a1 5 a10 95 n 10
（2） a1 100 d 2 n 50
3 、如何求等差数列an前 n项和Sn
an = a1 + (n - 1)d
am = an + (n - m)d
Sn a1 a1 d ) a1+(n 1)d
Sn an (an d ) an (n 1)d
2Sn (a1 an ) (a1 an ) (a1 an )
解：设前n项的和为54
由等差数列前n项和公式2得：
Sn
na1
Байду номын сангаас
n(n 1) 2
d
将Sn 54，a1 10, d 4代入上式
解得：n 9 n 3舍
五 提炼小结
1．体会逆序相加的算法及数形结合 的数学思想； 2．掌握等差数列的两个求和公式及 简单应用
等差数列求和公式课件
2Sn n(a1 an )
Sn
n(a1 2
an )
an a1 (n 1)d
Sn
na1
n(n 1) 2
d
观察公式的形式，回忆我们所学过的知识，你 是否发现了什么？它的形式是不是跟我们学过 的梯形面积公式相同？
学以致用
例1： 2000年11月14日教育部下发了《关于小学 “校校通”工程的通知.某市据此提出了实施 “校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的 时间，在全市中小学建成不同标准的校园网. 据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费 为500万元. 为了保证工程的顺利实施，计划 每年投入的资金都比上一年增加50万元. 那么 从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工 程的总投入是多少？
公式应用
例2
已知等差数列{an}前10项的和是310， 前20项的和是1220.由这些条件能确 定这个等差数列的前n项和的公式吗？
列方程组，解方程
解：由题意知 S10 310, S20 1220
将它们代入公式
Sn
na1
n(n 1) 2
d
得到方程组，
2100aa1114950dd
泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她 宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵 寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆 宝石镶饰而成，共有100层（见上图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共耗 费了多少宝石吗？
情景
1+2+3+4+…+97+98+99+100=？ 高斯答：
等差数列求和(共24张PPT)
例子二
求1+4+7+10+13的和，这是一个等差数列，公差为3，项数为5。根据等差数 列求和公式，可以得出结果为30。
04
等差数列求和的变种
04
等差数列求和的变种
倒序相加求和
总结词
倒序相加求和是一种特殊的等差数列求和方法，通过将数列倒序排列，再与原数列正序求和，最后除 以2得到结果。
详细描述
倒序相加求和的步骤包括将等差数列倒序排列，然后从第一个数开始与原数列对应项相加，直到最后 一个数。这种方法可以简化等差数列求和的计算过程，特别是对于较大的数列。
计算
使用通项公式，第5项$a_5=a_1+(5-1)d=1+(5-1)times1=5$。
03
等差数列求和公式
03
等差数列求和公式
公式推导
公式推导方法一
利用等差数列的性质，将等差数列的 项进行分组求和，再利用等差数列的 通项公式进行化简，最终得到等差数 列求和公式。
公式推导方法二
利用等差数列的特性，将等差数列的 项进行倒序相加，再利用等差数列的 通项公式进行化简，最终得到等差数 列求和公式。
应用场景二
在金融领域中，等差数列求和公式可以用于计算等额本息还 款法下的贷款总还款额、计算等额本金还款法下的贷款总还 款额等。
公式应用
应用场景一
在数学、物理、工程等领域中，常常需要求解等差数列的和 ，如计算等差数列的各项之和、计算等差数列的和的极限等 。
应用场景二
在金融领域中，等差数列求和公式可以用于计算等额本息还 款法下的贷款总还款额、计算等额本金还款法下的贷款总还 款额等。
定义与特性
定义
等差数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常 数，这个常数被称为公差。
求1+4+7+10+13的和，这是一个等差数列，公差为3，项数为5。根据等差数 列求和公式，可以得出结果为30。
04
等差数列求和的变种
04
等差数列求和的变种
倒序相加求和
总结词
倒序相加求和是一种特殊的等差数列求和方法，通过将数列倒序排列，再与原数列正序求和，最后除 以2得到结果。
详细描述
倒序相加求和的步骤包括将等差数列倒序排列，然后从第一个数开始与原数列对应项相加，直到最后 一个数。这种方法可以简化等差数列求和的计算过程，特别是对于较大的数列。
计算
使用通项公式，第5项$a_5=a_1+(5-1)d=1+(5-1)times1=5$。
03
等差数列求和公式
03
等差数列求和公式
公式推导
公式推导方法一
利用等差数列的性质，将等差数列的 项进行分组求和，再利用等差数列的 通项公式进行化简，最终得到等差数 列求和公式。
公式推导方法二
利用等差数列的特性，将等差数列的 项进行倒序相加，再利用等差数列的 通项公式进行化简，最终得到等差数 列求和公式。
应用场景二
在金融领域中，等差数列求和公式可以用于计算等额本息还 款法下的贷款总还款额、计算等额本金还款法下的贷款总还 款额等。
公式应用
应用场景一
在数学、物理、工程等领域中，常常需要求解等差数列的和 ，如计算等差数列的各项之和、计算等差数列的和的极限等 。
应用场景二
在金融领域中，等差数列求和公式可以用于计算等额本息还 款法下的贷款总还款额、计算等额本金还款法下的贷款总还 款额等。
定义与特性
定义
等差数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常 数，这个常数被称为公差。
等差数列求和公式PPT教学课件(1)
直线l1：x+y+1=0和l2：x+y+6=0
为5。求直线l的方程。
l2
〖解三〗设直线l与l1、l2分别相交于 A（x1，y1）、B（x2，y2），则
截得的线段之长
l1 A
B
y P(3,1)
Ox
x1+y1+1=0，x2+y2+6=0。
θ
两式相减，得（x1-x2）+（y1-y2）=5 ①
A1
又 (x1-x2)2+(y1-y2)2=25 ②
A2 B2
时，一定要把x、y前面的系数化成相等。
课前热身
1.已知点P(1，2)，直线l:2x+y-1=0，则
(1)过点P且与直线l平行的直线方程为_2__x_+_y_-4_=_0__，
(2)过点P且与直线l垂直的直线方程为__x_-_2_y+__3_=_0__；
3x+y-5=0或x+3y-7=0 (3)过点P且直线l夹角为45°的直线方程为________；
于直角的角，简称夹角.到角的公式是 tanθ k2 - k1 ，夹
角公式是tanθ k2 - k1
1 k1k2 ，以上公式适用于两直线斜率都
1 k1k2
存在，且k1k2≠-1，若不存在，由数形结合法处理.
点与直线的位置关系：
设点P（x0，y0）,直线L：Ax+By+C=0上，则有 （1）点在直线上：Ax0+By0+C=0； （2）点不在直线上，则有Ax0+By0+C≠0 （3）点 P(x0 , y0 ) 到直线l : Ax By C 0 的距离为：
类型之二 两条直线所成的
等差数列求和PPT优秀课件1
an
Sn
S1(n 1) Sn1(n 2)
“小故事”:
高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁 时，有一次老师出了一道题目，老师说: “现在 给大家出道题目:
1+2+…100=?”
过了两分钟，正当大家在：1+2=3；3+3=6； 4+6=10… 算 得 不 亦 乐 乎 时 ， 高 斯 站 起 来 回 答 说 ：
解得
a4d
从而这三边的长是
3d, 4d, 5d,
因此，这三条边的长的比是3：4：5
S 练习 1.根据下列条件，求相应的等差数列 a n 的 n
( ( (1 S 2 3 ) 5 ) )a a a S 0 1 1 1 15 0 5 1 0 1 3 2 ,1 a ,0 n a 0 ,(0 d n 5 25 0 9 （ 9 5 0 0 ,2 )5 n 2 5 2 3 0 ,1 ,n 5 )n 1 0 ( .;5 1 2 0 0 ); ;40 2S5 nSSnnn5 1ann0 （ （ n（ aan211221)aadnn))
a 1 a n a 2 a n 1 a 3 a n 2 ，
为回避个数问题，做一个改写
S n a 1 a 2 a 3 a n 2 a n 1 a n ，
S n a n a n 1 a n 2 a 3 a 2 a 1 ，
(则3)在a等m+差a数n=列{aapn+}中a，q 若m+n=p+q（m，n，p，q是正整数），
(4)如果a, A, b 成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项.
A ab 2
高中数学2.3等差数列求和公式课件
Sn
na1
n(n 2
1)
d
求和公式的两种形式
公式1
Sn
n(a1an) 2
公 式 2 Snna1n(n21)d
反思: 〔1〕“倒序相加求和〞法 〔2〕两公式中涉及到a1，an，Sn，n, d五个量，通常巳
知其中三个，就可以求出另外两个〔知三求二〕，而且方法就 是解方程组，这是等差数列求和的根本问题。
∴+)2 sn =〔n+ 1〕+ 〔n+ 1〕 +…+〔n+ 1〕
=n(n+1)
—— 倒序相加法
1 2 3 (n 1 )nn (n 1 ) 2
思考：这种方法能否推广到求一般等 差数列前n项求和呢？
探究发现
Hale Waihona Puke 倒序相加法如 何 求 等 差 数 列 a n 的 前 n 项 和 S n ?
由 S n = a 1 + a 2 + a 3 + … + a n －1 + a n
如何求等差数列
1,2,3,4，…n,… 前n项的和？
定义 一般的，我们称
a1+a2+a3+…+an
为数列{an}的前n项和，用Sn 表示，即
Sn =a1+a2+a3+…+an
求等差数列 1,2,3,…n,…前n项的和？
sn = 1 + 2 + 3 + …+(n-1 )+ n
sn = n +〔 n-1 〕+〔n-2〕+… + 2 + 1
S50 5 0 10 5 0 （ 5 0 2 0 1 )( 2)2550
等差数列的求和PPT优秀课件
设等差数列{an}的前n项和为Sn,即： Sn=a1+a2+…+an
Sn = a1+a2 + a3 +…+ an-2 + an-1 +an Sn = an+an-1+an-2+…+ a3+ a2 +a1 2Sn = (a1+an )×n Sn = (a1+an ) n/2
Sn=(a1+an)n/2
S100=(1+100)×100/2=5050
等差数列求和公式
等差数列{an}首项为a1，第n项为an.
Sn=
n(a1+an) 2
Sn
=na1+
n(n-1) 2
d
练一练
Sn==nn(aa112++na(nn)2-1) d
自己动手编一道有关等差 数列求和的练习题. 要求：
1. 已知……，求Sn ； 2. 已知……，求a1 ； 3. 已知……，求dan ； 4. 已知……，求n ；
94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰·拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉·班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳]
97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。
Sn = a1+a2 + a3 +…+ an-2 + an-1 +an Sn = an+an-1+an-2+…+ a3+ a2 +a1 2Sn = (a1+an )×n Sn = (a1+an ) n/2
Sn=(a1+an)n/2
S100=(1+100)×100/2=5050
等差数列求和公式
等差数列{an}首项为a1，第n项为an.
Sn=
n(a1+an) 2
Sn
=na1+
n(n-1) 2
d
练一练
Sn==nn(aa112++na(nn)2-1) d
自己动手编一道有关等差 数列求和的练习题. 要求：
1. 已知……，求Sn ； 2. 已知……，求a1 ； 3. 已知……，求dan ； 4. 已知……，求n ；
94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰·拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉·班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳]
97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。
等差数列求和公式课件(1)
在等差数列{an}中a1+an = a2+ an-1 = a3+ an-2 = …
数列{an }的前n项和为: sn
sn a1 a2 a3 ... an sn1 a1 a2 a3 ... an1 sn sn1 an
一、引例：1＋2＋3＋…＋100=？
10岁的高斯（德国）的算法： 首项与末项的和：1+100=101 第2项与倒数第2项的和：2+99=101 第3项与倒数第3项的和：3+98=101 ……………………………………… 第50项与倒数第50项的和：
2.若d=S0n,an=naa，1 则nS(nn=2_1_)_nd_a__ (2)
3.推导公式的方法是用倒序相加法
思考：若Sn=an2+bn，则｛an｝是等差数 列吗?
作业：习题2.3. 2.
50+51=101 ∴101×（100／2）=5050
二、学习新课
上一页 下一页
n(a1 an ) ㈠等差数列前n 项和Sn = 2 =
n(n 1)
na1
2
d
.
Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an (1) Sn=an+an-1+an-2+…+a3+a2+a1 (2)
(1)+ (2)得 2Sn=n(a1+ an)
练习：
（1）等差数列5，4，3，2，…前多少
项的和 是－30?
15项
（2）求等差数列13，15，17，…81的各
项和
1645
（3）在等差数列15 36 求S16
（4）已知 a6=20 ,你能求出S11吗？
数列{an }的前n项和为: sn
sn a1 a2 a3 ... an sn1 a1 a2 a3 ... an1 sn sn1 an
一、引例：1＋2＋3＋…＋100=？
10岁的高斯（德国）的算法： 首项与末项的和：1+100=101 第2项与倒数第2项的和：2+99=101 第3项与倒数第3项的和：3+98=101 ……………………………………… 第50项与倒数第50项的和：
2.若d=S0n,an=naa，1 则nS(nn=2_1_)_nd_a__ (2)
3.推导公式的方法是用倒序相加法
思考：若Sn=an2+bn，则｛an｝是等差数 列吗?
作业：习题2.3. 2.
50+51=101 ∴101×（100／2）=5050
二、学习新课
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n(a1 an ) ㈠等差数列前n 项和Sn = 2 =
n(n 1)
na1
2
d
.
Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an (1) Sn=an+an-1+an-2+…+a3+a2+a1 (2)
(1)+ (2)得 2Sn=n(a1+ an)
练习：
（1）等差数列5，4，3，2，…前多少
项的和 是－30?
15项
（2）求等差数列13，15，17，…81的各
项和
1645
（3）在等差数列15 36 求S16
（4）已知 a6=20 ,你能求出S11吗？
等差数列求和公式课件
高斯答：
1+2+3+4+…+97+98+99+100= 5050
1+100=101
2+ 99=101 3+ 97=101
101×50=5050
…
50…+ 51=101
思考：问1+2+3+4+…+n=?
德国数学家高斯
（数学王子）
思考：问1+2+3+4+…+n=?
sn = 1+ 2 + …+(n-1 )+n
又sn = n+（ n-1 ）+… + 2 + 1 ∴2 sn =（n+ 1）+ （n+ 1） +…+（n+ 1）
=n(n+1)
1 2 3 (n 1) n n (n 1) 2
思考：一般等差数列怎样求和呢？
公式推导
方法1：设等差数列{an}的前n项和 为Sn,即：Sn=a1+a2+…+an
a1 an n
5 95 10
100 2
50
14.5 32 26
d Sn
10 500 -2 2550
0.7 604.5
五个元素 : a1, an, n, d, Sn “知三求二”
作业反馈
课本46页 习题2.3：1、2、
练习
1、等差数列中a1 =14.5，d=0.7， an=32， 则Sn = 604.5 ；
2、等差数列5，4，3，2，…前 15 项和 为-30；
五个元素 : a1, an, n, d, Sn “知三求二”
1+2+3+4+…+97+98+99+100= 5050
1+100=101
2+ 99=101 3+ 97=101
101×50=5050
…
50…+ 51=101
思考：问1+2+3+4+…+n=?
德国数学家高斯
（数学王子）
思考：问1+2+3+4+…+n=?
sn = 1+ 2 + …+(n-1 )+n
又sn = n+（ n-1 ）+… + 2 + 1 ∴2 sn =（n+ 1）+ （n+ 1） +…+（n+ 1）
=n(n+1)
1 2 3 (n 1) n n (n 1) 2
思考：一般等差数列怎样求和呢？
公式推导
方法1：设等差数列{an}的前n项和 为Sn,即：Sn=a1+a2+…+an
a1 an n
5 95 10
100 2
50
14.5 32 26
d Sn
10 500 -2 2550
0.7 604.5
五个元素 : a1, an, n, d, Sn “知三求二”
作业反馈
课本46页 习题2.3：1、2、
练习
1、等差数列中a1 =14.5，d=0.7， an=32， 则Sn = 604.5 ；
2、等差数列5，4，3，2，…前 15 项和 为-30；
五个元素 : a1, an, n, d, Sn “知三求二”
等差数列求和公式课件
实际上高斯解决了求等差数列
1,2,3,4，…n,…
前100项的和的问题
如何求等差数列
1,2,3,4，…n,… 前n项的和？
定义 一般的，我们称
a1+a2+a3+…+an
为数列{an}的前n项和，用Sn 表示，即
Sn =a1+a2+a3+…+an
求等差数列 1,2,3,…n,…前n项的和？
sn = 1 + 2 + 3 + …+(n-1 )+ n
310 1220
解这个方程组，得到： a1 4, d 6
所以
Sn
4n
n (n 1)
2
6
3n 2 n
练习：已知一个等差数列前5项和是 25，第六项是11，求此等差数列前n
项和公式
答案 ： S n
n2
根据条件,选择公式
等差数列前n项和公式的推导： 倒序相加法
等差数列前n项和公式的应用：
五 个 元 素 :a1,an,n,d ,Sn“知 三 求 二 ”
数学思想: 类比思想、方程思想、 数学建模思想，整体思想
课后作业
必做题：课本P46习题[A组]2、6题 选做题： （1）请你把其它不同推导等差数列的前n项和 的公式方法写出来。 （2）根据习题2.3第6题，自己再设计一个题目 （提示：根据条件上的变化，或利用等差数列 的性质等）并自己解答 预习：本节后半部分知识
S 10
10 500
10(10 1) 2
50
7250(万元)
答：从2001-2010年，该市在“校校通”工程中 的总投入是7250万元.
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泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她 宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵 寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆 宝石镶饰而成，共有100层（见上图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共耗 费了多少宝石吗？
列方程组，解方程
解：由题意知 S10 310, S20 1220
将它们代入公式
Sn
na1
n(n 1) 2
d
得到方程组，
2100aa1 114950dd
310 1220
解这个方程组，得到： a1 4, d 6
所以
Sn
4n
n (n 1)
2
6
3n 2 n
练习：已知一个等差数列前5项和是 25，第六项是11，求此等差数列前n
故等差数列的前 n 项求和公式：
Sn
n(a1 an ) 2
an a1 (n 1)d
Sn
na1
n(n 2
1)
d
方法2：等差数列｛ an ｝a1， a2 ， a3 ，…， an ，…的公差为d.
Sn a1 (a1 d) [a1 (n 1)d]
Sn an (an d ) [an (n 1)d ]
+)sn = n +（ n-1 ）+（n-2）+… + 2 + 1
∴2 sn =（n+ 1）+ （n+ 1） +…+（n+ 1）
=n(n+1)
—— 倒序相加法
1 2 3 (n 1) n n (n 1) 2
思考：这种方法能否推广到求一般等
差数列前n项求和呢？
探究发现
倒序相加法
如何求等差数列an的前n项和Sn ?
总结：实际问题，建立数学模型，利用数学的观点 解决问题，然后再回归问题实际
解：根据题意，从2001-2010年，该市每年投入
“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元，所
以，可以建立一个等差数列｛ an ｝，表示从2001
年起各年投入的资金，其中，
a1 =500，d=50
那么，到2010年（n=10）,投入的资金总额为
2Sn n(a1 an )
Sn
n(a1 2
an )
an a1 (n 1)d
Sn
na1
n(n 1) 2
d
观察公式的形式，回忆我们所学过的知识，你 是否发现了什么？它的形式是不是跟我们学过 的梯形面积公式相同？
学以致用
例1： 2000年11月14日教育部下发了《关于小学 “校校通”工程的通知.某市据此提出了实施 “校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的 时间，在全市中小学建成不同标准的校园网. 据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费 为500万元. 为了保证工程的顺利实施，计划 每年投入的资金都比上一年增加50万元. 那么 从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工 程的总投入是多少？
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败 也是伟大的，所以不要放弃，坚持 就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
S 10
10 500
10(10 1) 2
50
7250(万元)
答：从2001-2010年，该市在“校校通”工程中 的总投入是7250万元.
练习：根据下列各题中的条件，求
相应的等差数列 an 的前n项和Sn
a1 4, a8 18, n 8
答案 ：S 8
88
根据条件,选择公式
公式应用
例2
已知等差数列{an}前10项的和是310， 前20项的和是1220.由这些条件能确 定这个等差数列的前n项和的公式吗？
实际上高斯解决了求等差数列
1,2,3,4，…n,…
前100项的和的问题
如何求等差数列
1,2,3,4，…n,… 前n项的和？
定义 一般的，我们称
a1+a2+a3+…+an
为数列{an}的前n项和，用Sn 表示，即
Sn =a1+a2+a3+…+an
求等差数列 1,2,3,…n,…前n项的和？
sn = 1 + 2 + 3 + …+(n-1 )+ n
项和公式件,选择公式
等差数列前n项和公式的推导： 倒序相加法
等差数列前n项和公式的应用：
数学思想: 类比思想、方程思想、 数学建模思想，整体思想
课后作业
必做题：课本P46习题[A组]2、6题 选做题： （1）请你把其它不同推导等差数列的前n项和 的公式方法写出来。 （2）根据习题2.3第6题，自己再设计一个题目 （提示：根据条件上的变化，或利用等差数列 的性质等）并自己解答 预习：本节后半部分知识
由 S n = a 1 + a 2 + a 3 + … + a n －1 + a n
+) S n = a n + a n －1 + a n －2 + … + a 2 + a 1
2S n = ( a 1 + a n ) + ( a 2 + a n －1 ) +…+ ( a n + a 1 ) =n ( a 1 + a n )
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
情景
1+2+3+4+…+97+98+99+100=？ 高斯答：
1+2+3+4+…+97+98+99+100= 5050
1+100=101 2+ 99=101
3+ 97=101
… 50…+ 51=101
101×50=5050
高斯（1777---1855）， 德国数学家、物理学家和天 文学家。他和牛顿、阿基米 德，被誉为有史以来的三大 数学家。有“数学王子”之 称。
列方程组，解方程
解：由题意知 S10 310, S20 1220
将它们代入公式
Sn
na1
n(n 1) 2
d
得到方程组，
2100aa1 114950dd
310 1220
解这个方程组，得到： a1 4, d 6
所以
Sn
4n
n (n 1)
2
6
3n 2 n
练习：已知一个等差数列前5项和是 25，第六项是11，求此等差数列前n
故等差数列的前 n 项求和公式：
Sn
n(a1 an ) 2
an a1 (n 1)d
Sn
na1
n(n 2
1)
d
方法2：等差数列｛ an ｝a1， a2 ， a3 ，…， an ，…的公差为d.
Sn a1 (a1 d) [a1 (n 1)d]
Sn an (an d ) [an (n 1)d ]
+)sn = n +（ n-1 ）+（n-2）+… + 2 + 1
∴2 sn =（n+ 1）+ （n+ 1） +…+（n+ 1）
=n(n+1)
—— 倒序相加法
1 2 3 (n 1) n n (n 1) 2
思考：这种方法能否推广到求一般等
差数列前n项求和呢？
探究发现
倒序相加法
如何求等差数列an的前n项和Sn ?
总结：实际问题，建立数学模型，利用数学的观点 解决问题，然后再回归问题实际
解：根据题意，从2001-2010年，该市每年投入
“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元，所
以，可以建立一个等差数列｛ an ｝，表示从2001
年起各年投入的资金，其中，
a1 =500，d=50
那么，到2010年（n=10）,投入的资金总额为
2Sn n(a1 an )
Sn
n(a1 2
an )
an a1 (n 1)d
Sn
na1
n(n 1) 2
d
观察公式的形式，回忆我们所学过的知识，你 是否发现了什么？它的形式是不是跟我们学过 的梯形面积公式相同？
学以致用
例1： 2000年11月14日教育部下发了《关于小学 “校校通”工程的通知.某市据此提出了实施 “校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的 时间，在全市中小学建成不同标准的校园网. 据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费 为500万元. 为了保证工程的顺利实施，计划 每年投入的资金都比上一年增加50万元. 那么 从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工 程的总投入是多少？
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败 也是伟大的，所以不要放弃，坚持 就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
S 10
10 500
10(10 1) 2
50
7250(万元)
答：从2001-2010年，该市在“校校通”工程中 的总投入是7250万元.
练习：根据下列各题中的条件，求
相应的等差数列 an 的前n项和Sn
a1 4, a8 18, n 8
答案 ：S 8
88
根据条件,选择公式
公式应用
例2
已知等差数列{an}前10项的和是310， 前20项的和是1220.由这些条件能确 定这个等差数列的前n项和的公式吗？
实际上高斯解决了求等差数列
1,2,3,4，…n,…
前100项的和的问题
如何求等差数列
1,2,3,4，…n,… 前n项的和？
定义 一般的，我们称
a1+a2+a3+…+an
为数列{an}的前n项和，用Sn 表示，即
Sn =a1+a2+a3+…+an
求等差数列 1,2,3,…n,…前n项的和？
sn = 1 + 2 + 3 + …+(n-1 )+ n
项和公式件,选择公式
等差数列前n项和公式的推导： 倒序相加法
等差数列前n项和公式的应用：
数学思想: 类比思想、方程思想、 数学建模思想，整体思想
课后作业
必做题：课本P46习题[A组]2、6题 选做题： （1）请你把其它不同推导等差数列的前n项和 的公式方法写出来。 （2）根据习题2.3第6题，自己再设计一个题目 （提示：根据条件上的变化，或利用等差数列 的性质等）并自己解答 预习：本节后半部分知识
由 S n = a 1 + a 2 + a 3 + … + a n －1 + a n
+) S n = a n + a n －1 + a n －2 + … + a 2 + a 1
2S n = ( a 1 + a n ) + ( a 2 + a n －1 ) +…+ ( a n + a 1 ) =n ( a 1 + a n )
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
情景
1+2+3+4+…+97+98+99+100=？ 高斯答：
1+2+3+4+…+97+98+99+100= 5050
1+100=101 2+ 99=101
3+ 97=101
… 50…+ 51=101
101×50=5050
高斯（1777---1855）， 德国数学家、物理学家和天 文学家。他和牛顿、阿基米 德，被誉为有史以来的三大 数学家。有“数学王子”之 称。