(完整版)“直线的一般式方程”教学设计

一、教学目标1. 知识与技能：- 掌握直线的一般式方程形式及其特征。

- 理解直线方程的一般式与二元一次方程的关系。

- 能够将直线方程的各种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式）转化为一般式。

- 掌握直线方程一般式中的系数A、B、C的几何意义。

2. 过程与方法：- 通过观察、分析、归纳等方法，探究直线方程的一般式。

- 学会分类讨论，理解不同条件下的直线方程表示方法。

- 培养学生的逻辑推理能力和数学计算能力。

3. 情感、态度与价值观：- 体验数学发现和探索的乐趣，提高创新意识。

- 培养学生严谨、求实的科学态度。

二、教学重点1. 直线方程的一般式及其特征。

2. 直线方程一般式与二元一次方程的关系。

三、教学难点1. 直线方程一般式与其他形式的互化。

2. 理解直线方程一般式中系数A、B、C的几何意义。

四、教学过程（一）导入1. 回顾直线的定义和性质。

2. 引导学生思考如何用数学语言描述直线。

（二）新授1. 直线的一般式方程- 向学生介绍直线的一般式方程形式：Ax + By + C = 0（A、B不同时为0）。

- 解释A、B、C的几何意义：A表示直线在y轴上的截距，B表示直线在x轴上的截距，C表示直线与原点的距离。

2. 直线方程的转化- 教授学生如何将直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式转化为一般式。

- 通过实例讲解，让学生掌握转化方法。

3. 直线方程的一般式与其他形式的互化- 通过实例讲解，让学生理解不同形式之间的互化关系。

- 引导学生思考不同形式之间的联系和区别。

（三）巩固练习1. 给出一些直线方程，让学生判断其形式，并写出一般式。

2. 将直线方程的一般式转化为其他形式，如点斜式、斜截式等。

（四）课堂小结1. 总结本节课所学内容，强调直线方程的一般式及其特征。

2. 回顾直线方程的一般式与其他形式之间的互化关系。

（五）布置作业1. 完成课后练习题，巩固所学知识。

2. 查阅资料，了解直线方程在实际问题中的应用。

【教学目标】1、知识与技能：⑴掌握直线方程的一般式Ax+By+C=0的特征（A、B不同时为0）⑵能将直线方程的五种形式进行转化，并明确各种形式中的一些几何量（斜率、截距等）；2、过程与方法：⑴主动参与探究直线和二元一次方程关系的数学活动，通过观察、推理、探究获得直线方程的一般式。

⑵学会分类讨论及掌握讨论的分界点；3、情感、态度与价值观：体验数学发现和探索的历程，发展创新意识【教法指导】教学重点：直线方程一般式Ax+By+C=0（A、B不同时为0）的理解教学难点：⑴直线方程一般式Ax+By+C=0（A、B不同时为0）与二元一次方程关系的深入理解⑵直线方程一般式Ax+By+C=0（A、B不同时为0）的应用。

【教学过程】☆情境引入☆问题一：上述四种直线方程的表示形式都有其局限性，是否存在一种更为完美的代数形式可以表示平面中的所有直线？提示：上述四种形式的直线方程有何共同特征？能否整理成统一形式？（这些方程都是关于x、y的二元一次方程）猜测：直线和二元一次方程有着一定的关系。

☆探索新知☆问题：（1）．过点(2,1)，斜率为2的直线的方程是__y-1=2(x-2)（2）．过点(2,1)，斜率为0的直线方程是_____y=1______（3）．过点(2,1)，斜率不存在的直线的方程是______x=2___思考1 ：以上方程是否都可以用Ax+By+C=0表示？任意一条直线是否都可以用二元一次方程Ax+By+C=0（A、B不同时为0）来表示？答：2x-y-3=0 y-1=0 x-2=0在平面直角坐标系中，每一条直线有斜率k 存在和k 不存在两种情况下，直线方程可分别写为y kx b =+和1x x =两种形式，它们又都可以变形为Ax+By+C=0（A 、B 不同时为0）的形式，即：直线Ax+By+C=0（A 、B 不同时为0）【结论：】在平面直角坐标系中，任意一条直线都可以用二元一次方程Ax+By+C=0（A 、B 不同时为0）来表示。

▶课堂练习
直线方程2x＋3y＋1＝0化为斜截式为________；化为截距式为________．
▶例2若直线Ax＋By＋C＝0(不经过原点)不经过第三象限，则AB________0，BC________0.
▶课堂练习
在下列各种情况下，直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)的系数A，B，C之间各有什么关系：
(2)直线l的斜率为1.
▶课堂练习
设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；
(2)若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
【课堂小结】
直线方程的一般式同二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)之间是一一对应关系，因此研究直线的几何性质完全可以应用方程的观点来研究，这实际上也是解析几何的思想所在——用方程的思想来研究几何问题.
▶例1根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：
(1)斜率是 ，且经过点A(5,3)；
(2)过点B(－3,0)，且垂直于x轴；
(3)斜率为4，在y轴上的截距为－2；
(4)在y轴上的截距为3，且平行于x轴；
(5)经过A(－1,5)，B(2，－1)两点；
(6)在x，y轴上的截距分别是－3，－1.
启发引导与多媒体相结合
教学过程：步骤、内容、教学活动
二次备课
【问题导思】
我们已经学习了直线的点斜式y－y0＝k(x－x0)，直线的斜截式y＝kx＋b，直线的两点式 ＝ ，直线的截距式 ＋ ＝1，并且掌握了它们的适用条件．
1．上述方程的四种形式都能用Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)来表示吗？
2．关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)一定表示直线吗？

例 1 使学 生体会把 直线方程 的点斜式 转化为一 般式，把 握直线方 程一般式 的特点与 要求，直
Ppt 展示例 1 的解题过 程及其注 意事项； 电子白板 展示学生 对例 2 的 解题过 程，并在 白板上修
课堂练习
34’50”-45’30”
线方程各 种形式之 间的转 化。认识 事物之间 的普遍联 系与相互 转化； 例 2 使学 生体会直 线方程的 一般式化 为斜截 式，和已 知直线方 程的一般 式求直线 的斜率和 截距的方 法。 巩固所学 知识和方 法。 使学 生进一步 理解二元 一次方程 与直线 的 关系，理 解直线的 一般式方 程的应 用。再次 让学生明 白，同一 条直线的 方程形式 有多种， 但它们全 都可以同 解变形为 统一的一 般式。
ppt 展示主 要内容， 学生印象 深刻
进行平板 控制，电 子白板展 示若干学 生开放式 问题探究 情况，让 学生了解 其他同伴 的想法与 做法，取 长补短， 同时为课 堂节省时 间。
得出结论： 关于 x, y 的二元一次 方程，它都 表示一条直 线。 学生明确直 线的一般式 方程。 通过对比、 1.直线方程的 讨论，发现 一般式与其他 直线方程的 几种形式的直 一般式与其 线方程相比， 他形式的直 它有什么优 线方程的不 点？2.一般式 同点是： Ax+By+C=0 中系 直线的一般 数 A,B,C 几何 式方程能 够 意义？ 表示平面上 直线 的所有直 3.Ax+By+C=0， 线，而点斜 当 AB<0,BC<0 式、斜截 时，此直线不 式、两点式 通过的象限是 方程，都不 ( ) 能表示与 x A.第一象限 轴垂直的直 B.第二象限 线。 C.第三象限 第 3 问题学 D.第四象限 生利用系数 的几何意义 判断直线的 位置。 例 1.已知直线 教师引导学 经过点 A（6，- 生回答完成 4） ，斜率为 例 1 并指出 对于直线方 4 ，求直线 程的一般式 3 的约定。 对于例 2 先 的点斜式、斜 截式、一般式 由学生思考 和截距式方程. 解答，并电 例 2.把直线 l 子白板展示

直线的一般式方程教学设计教学目标：1. 学生将深入理解直线一般式方程的概念，掌握其基本性质和特点。

2. 通过实际问题的解决，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

3. 激发学生对数学的兴趣，培养他们的数学素养和热爱。

教学内容：1. 直线一般式方程的起源、发展和应用背景，使学生对其有全面的了解。

2. 通过丰富的实例和图形，深入剖析直线一般式方程的特性和性质。

3. 结合实际生活，让学生亲身体验直线一般式方程的广泛应用和重要性。

教学重点与难点：重点：直线一般式方程的概念、特性和性质。

难点：如何灵活运用直线一般式方程解决实际问题，尤其是复杂情境下的应用。

教具和多媒体资源：1. 黑板与彩色粉笔，使讲解内容更加生动有趣。

2. 投影仪与精美的PPT，展示丰富的图形和实例。

3. 教学软件：几何画板，动态展示直线一般式方程的变化规律。

教学方法：1. 通过回顾旧知识，引出直线一般式方程的新概念，激活学生的前知。

2. 通过实例演示、小组讨论、任务驱动等多种教学策略，引导学生深入理解和掌握直线一般式方程的应用。

3. 鼓励学生参与讨论、动手操作，在实践中深化理解，培养解决问题的能力。

教学过程：1. 导入：以一个令人印象深刻的故事导入——讲述一次交通事故中，交警如何通过刹车痕迹推断出事故车辆的行驶速度，从而找出事故原因。

这个故事将引出直线方程在生活中的应用，激发学生对新知识的兴趣和好奇心。

通过这个故事，引导学生思考直线方程的重要性和应用价值。

2. 讲授新课：首先详细介绍直线一般式方程的基本概念，包括其形式、特点和意义。

然后通过具体的实例，深入讲解直线一般式方程的特性和性质，以及其在解决实际问题中的应用。

在这个过程中，将充分利用投影仪展示相关的PPT，包括各种形式的直线方程、图形和实际问题的背景等。

同时，利用教学软件几何画板，动态展示直线一般式方程在不同条件下的变化规律和趋势，使学生更加直观地理解其性质和应用。

3. 巩固练习：设计一系列难度适中的练习题，让学生亲自动手操作，运用直线一般式方程解决实际问题。

《直线的一般式方程》教学设计1．掌握直线方程的一般式．2．了解直线的一般式与二元一次方程之间的对应关系．3．对直线五种表达式的优缺点有一个全面的了解．教学重点：直线的一般式能表示所有的直线．教学难点：直线的一般式能表示所有的直线的理解．环节一：引入新课 问题：我们学习过四种表示直线的方程，它们有怎样的区别与联系？ 答案： 点斜式方程斜截式方程 两点式方程 截距式方程 00()y y k x x -=-y kx b =+ 1x y a b+=(0,0)a b ≠≠区别：四种方程是通过已知不同类型的几何要素推导出来的，方程的应用条件不同，呈现的表达形式也不同；联系：四种方程的推导均可以直接将直线上任意点的几何特征利用几何要素的代数形式进行刻画，得到直线的代数表示，即直线上点的横纵坐标x ，y 之间关系，且这四种方程均有各自的限制条件.追问：以上四种方程在表示直线时有怎样的局限性?答案：对于点斜式和斜截式方程，它们使用的前提是要满足直线斜率存在这一要求，因此，这两种方程都不能表示斜率不存在的直线；对于两点式，它使用的前提是要满足给定两点的横纵坐标均不相等，因此不能表示斜率不存在或者斜率为0这样垂直或平行于x 轴的直线；对于截距式，它使用的前提是要满足直线在x ，y 轴上的截距均不为0，因此，除了不能表示斜率不存在或者斜率为0这样的直线外，还不能表示过原点的直线；可见，这四种方程都不能表示出所有的直线.环节二：课堂探究问题1：能否用一种方程形式表示平面直角坐标系中的任何一条直线l ？答案：直线上任意点的几何特征，可借助已知几何要素的特点，转化为直线上点的横纵◆教学目标 ◆教学重难点◆ ◆教学过程112121y y x x y y x x --=--1212(,)x x y y ≠≠坐标x ，y 之间关系的代数表示，本质上是关于任意点的横纵坐标x ，y 的一个二元一次方程，可借助方程0Ax By C ++=来表示直线的几何特征.追问1：在平面直角坐标系中的任意一条直线l 是否都能用关于x ，y 的二元一次方程0Ax By C ++=表示？答案：通过之前的学习与分析，我们不难发现，在平面直角坐标系中的任意一条直线都能用关于x ，y 的二元一次方程Ax+By+C =0来表示. 比如我们熟悉的点斜式方程，就可以改写为00(1)0kx y y kx +-+-=；再比如当斜率不存在时，直线的方程x =x 0可改写为x +0y-x 0=0，因此，只需要将直线的方程恒等变形即可.这里请大家注意，如要表示直线的方程则x ，y 前面的系数A ，B 不能同时为0，因为当A ，B 同时为0时，C =0，它没有任何意义. 而只要A ，B 不同时为0，方程就中含有x ，或含有y ，就可以表示直线上任意点的坐标所满足的特征，所以，对于利用二元一次方程Ax +By +C =0表示直线，其中要求A ，B 不同时为0.追问2：对于任意一个关于x ，y 的二元一次方程0Ax By C ++=(A ,B 不同时为0)，是否都表示一条直线？答案：尝试将0Ax By C ++=改写成直线方程的形式，比如，改写成斜截式y kx b =+，因此要注意0Ax By C ++=中y 前的系数B ,当0B ≠时，0Ax By C ++=可改写A C y x B B=--,因此可得直线的斜截式方程，得到直线是斜率为A B -，在y 轴上截距为C B -；而如果当0B =时，此时要求0A ≠,0Ax By C ++=可改写C x A =-,得到过(,0)C A -，垂直于x 轴的直线.同样，可将二元一次方程0Ax By C ++=(A ,B 不同时为0)改写成其他直线方程的形式；由此可知，二元一次方程0Ax By C ++=(A ,B 不同时为0)都可以表示直线.小结：当已知一条直线的方程，都可以将其变形为Ax +By +C =0 (其中A ,B 不同时为0)的形式；而如果已知二元一次方程，也可以按照不同的直线的方程的形式来进行转化，从而表示直线.因此这种转化都是方程的同解变形，转化的方向是“凑”成相应的方程形式.在坐标系中，任意一个二元一次方程都表示一条确定的直线；反之，直角坐标平面上的任意一条直线都可以用一个确定的二元一次方程表示. 所以说，直线的方程，方程的直线。

直线的一般式方程教案一、引入：在前几节课中，我们学习了直线的斜截式方程和点斜式方程。

今天我们将学习直线的一般式方程。

直线的一般式方程是一种利用直线上具体的两个点来表示直线的方程，它的形式为：Ax + By + C = 0。

下面我们一起来学习一下直线的一般式方程的求解方法。

二、概念：直线的一般式方程表达形式为Ax + By + C = 0。

其中A、B、C是实数，且A和B不同时为0。

三、推导：推导一般式方程的方法有很多，下面我们以已知直线上两点A(x1, y1)和B(x2, y2)为例，来推导一下一般式方程的求解过程。

1.根据已知点A和B，求直线的斜率k。

斜率k的计算公式为：k = (y2 - y1) / (x2 - x1)。

将点A(x1, y1)和B(x2, y2)的坐标代入公式，求得斜率k的值。

2.代入斜率k和已知点A(x1, y1)的坐标到点斜式方程y - y1 =k(x - x1)中，得到直线的点斜式方程。

3.对点斜式方程进行展开和变形操作，化简得到一般式方程Ax + By + C = 0。

将点斜式方程中的k乘以x，并将常数项移至左边得到A、B和C的值。

最终得到直线的一般式方程。

四、实例演练：现在我们通过一个实例来练习一下求解直线的一般式方程的过程。

已知直线上两点A(2, 3)和B(-1, 4)，求直线的一般式方程。

1.计算斜率k：k = (4 - 3) / (-1 - 2) = -1/3。

2.代入斜率和已知点A的坐标到点斜式方程y - 3 = -1/3(x - 2)中，得到直线的点斜式方程为y - 3 = -1/3(x - 2)。

3.对点斜式方程进行展开和变形操作，得到一般式方程：3x + y - 9 = -x + 2。

化简得到直线的一般式方程：4x + y - 11 = 0。

五、总结：通过上述推导和实例演练，我们学习了直线的一般式方程的求解方法。

直线的一般式方程是一种利用直线上具体的两个点来表示直线的方程，形式为Ax + By + C = 0。

直线的一般式方程教案教案标题：直线的一般式方程教案教学目标：1. 理解直线的一般式方程的概念和含义。

2. 掌握如何根据直线上的已知点和斜率来确定直线的一般式方程。

3. 能够将直线的一般式方程转化为斜截式方程和截距式方程。

教学准备：1. 教师准备：黑板、白板、彩色粉笔/白板笔、直尺、教学投影仪（可选）。

2. 学生准备：铅笔、直尺、作业本。

教学过程：步骤一：导入（5分钟）1. 教师通过引导问题或展示实际生活中的直线图像，引起学生对直线的兴趣和思考。

2. 教师简要介绍直线的一般式方程的概念，并与学生分享直线方程的重要性和应用。

步骤二：讲解直线的一般式方程（15分钟）1. 教师通过示意图和实例，解释直线的一般式方程y = mx + c 中 m 和 c 的含义。

2. 教师详细讲解如何根据直线上的已知点和斜率来确定直线的一般式方程。

3. 教师提供多个实例，引导学生进行实际操作和练习。

步骤三：练习与巩固（15分钟）1. 学生个人或小组合作完成一些基础练习题，以巩固直线的一般式方程的求解方法。

2. 教师提供反馈和指导，纠正学生可能存在的错误和困惑。

步骤四：转化为斜截式方程和截距式方程（15分钟）1. 教师讲解如何将直线的一般式方程转化为斜截式方程和截距式方程，并解释它们的含义和应用。

2. 教师提供多个实例，引导学生进行实际操作和练习。

步骤五：拓展与应用（10分钟）1. 学生个人或小组合作完成一些拓展练习题，以应用直线的一般式方程解决实际问题。

2. 教师鼓励学生分享解题思路和答案，并提供反馈和指导。

步骤六：总结与评价（5分钟）1. 教师与学生共同总结直线的一般式方程的求解方法和转化方法。

2. 学生回答教师提出的评价问题，以检查他们对所学内容的理解程度。

拓展活动：1. 学生可通过互动游戏或小组竞赛的形式，进一步巩固和应用所学内容。

2. 学生可自主探究其他类型的直线方程，并与同学分享他们的发现和思考。

教学反思：本教案通过引导学生理解直线的一般式方程的概念和求解方法，以及转化为斜截式方程和截距式方程的过程，培养了学生的数学思维和解决实际问题的能力。

直线的一般式方程【教学目标】（1）明确直线方程一般式的形式特征；（2）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；（3）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。

【导入新课】问题导入：（1）平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于y x ,的二元一次方程表示吗？（2）每一个关于y x ,的二元一次方程0=++C By Ax （A ，B 不同时为0）都表示一条直线吗？新授课阶段1.直线的一般式方程：用分类讨论的方法思考探究问题（1），即直线存在斜率和直线不存在斜率时求出的直线方程是否都为二元一次方程。

对于问题（2），教师引导学生理解要判断某一个方程是否表示一条直线，只需看这个方程是否可以转化为直线方程的某种形式。

为此要对B 分类讨论，即当0≠B 时和当B =0时两种情形进行变形。

然后由学生去变形判断，得出结论：关于y x ,的二元一次方程，它都表示一条直线。

由于任何一条直线都可以用一个关于y x ,的二元一次方程表示；同时，任何一个关于y x ,的二元一次方程都表示一条直线。

于是把关于关于y x ,的二元一次方程0=++C By Ax （A ，B 不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式。

例1 已知两直线1110a x b y ++=和2210a x b y ++=都通过点(2,3)P ，求经过两点111222(,),(,)Q a b Q a b 的直线方程．解：依题意得：112310a b ++=，这说明111(,)Q a b 在直线2310x y ++=上，同理，122(,)Q a b 也在直线2310x y ++=上．因为两点确定一直线，所以经过两点111(,)Q a b 、122(,)Q a b 的直线方程为2310x y ++=．2.直线的一般式方程的优点：直线的一般式方程能够表示平面上的所有直线，而点斜式、斜截式、两点式方程，都不能表示与x 轴垂直的直线。

在方程0=++C By Ax 中，A ，B ，C 为何值时，方程表示的直线：（1）平行于x 轴？（2）平行于y 轴？（3）与x 轴重合？（4）与y 轴重合？答案：（1） 0A =； （2） 0B =； （3）0A C ==； （4） 0B C ==。

关于 的二元一次方程，它都表示一条直线。
教师概括指出：由于任何一条直线都可以用一个关于 的二元一次方程表示；同时，任何一个关于 的二元一次方程都表示一条直线。
我们把关于关于 的二元一次方程 （A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式（genera form）
2、直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？
巩固所学知识和方法。
学生独立完成，教师检查、评价。
问题
设计意图
师生活动
8、小结
使学生对直线方程的理解有一个整体的认识。
（1）请学生写出直线方程常见的几种形式，并说明它们之间的关系。
（2）比较各种直线方程的形式特点和适用范围。
（3）求直线方程应具有多少个条件？
（4）学习本节用到了哪些数学思想方法？
9、布置作业
（2）用联系的观点看问题。
二、教学重点、难点：
1、重点：直线方程的一般式。
2、难点：对直线方程一般式的理解与应用。
三、教学设想
问题
设计意图
师生活动
1、（1）平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于 的二元一次方程表示吗？
（2）每一个关于 的二元一次方程 （A，B不同时为0）都表示一条直线吗？
使学生理解直线和二元一次方程的关系。
教师引导学生用分类讨论的方法思考探究问题（1），即直线存在斜率和直线不存在斜率时求出的直线方程是否都为二元一次方程。对于问题（2），教师引导学生理解要判断某一个方程是否表示一条直线，只需看这个方程是否可以转化为直线方程的某种形式。为此要对B分类讨论，即当 时和当B=0时两种情形进行变形。然后由学生去变形判断，得出结论：
使学生理解二元一次方程的系数和常数项对直线的位置的影响。

2.2.3 直线的一般式方程教学设计一、教学目标1.理解直线的一般式方程的含义和构成；2.掌握直线的一般式方程的求解方法；3.能够将直线的一般式方程转化为斜截式和截距式方程；4.能够应用直线的一般式方程解决实际问题。

二、教学内容1.直线的一般式方程的概念和表示形式；2.直线的一般式方程的求解方法；3.直线的一般式方程与斜截式方程和截距式方程的关系；4.应用直线的一般式方程解决实际问题。

三、教学重点1.理解直线的一般式方程的构成和含义；2.掌握直线的一般式方程的求解方法；3.能够将直线的一般式方程转化为斜截式和截距式方程。

四、教学方法1.讲授与示范相结合的方法，先讲解直线的一般式方程的概念和构成，然后通过示例演示具体的求解方法；2.提问与解答相结合的方法，鼓励学生积极参与互动，激发学生思考能力，及时纠正错误。

3.练习与实践相结合的方法，让学生进行一些练习题，加深对直线的一般式方程的理解和掌握。

五、教学步骤步骤一：引入通过引入一个具体问题，例如：小明要修建一条直线公路穿过两个村庄A和B，村庄A的坐标是(1,2)，村庄B的坐标是(3,4)，请问直线公路的方程是什么？带领学生思考和探讨。

步骤二：讲解直线的一般式方程1.定义直线的一般式方程的含义和构成；2.分析直线的一般式方程的形式、需要知道的变量和系数；3.通过具体的例子演示如何求解直线的一般式方程。

步骤三：与斜截式和截距式方程的关系1.回顾斜截式方程和截距式方程的概念和表达形式；2.分析直线的一般式方程与斜截式和截距式方程的关系；3.通过具体的例子演示如何将直线的一般式方程转化为斜截式和截距式方程。

步骤四：应用实际问题1.提供一些实际问题，让学生尝试应用直线的一般式方程进行解答；2.引导学生分析问题、列出方程、求解方程，得出最终答案。

六、教学评价1.实时观察学生对直线的一般式方程的理解和掌握程度；2.统计学生的练习成绩和解决实际问题的能力，评估教学效果；3.收集学生的问题和反馈，及时调整教学方法和内容。

学生独立完成。然后教师检查、评价、反馈。
指出：对于直线方程的一般式，一般作如下约定：一般按含 项、含 项、常数项顺序排列； 项的系数为正； ， 的系数和常数项一般不出现分数；无特加要时，求直线方程的结果写成一般式。
例6的教学
把直线 的一般式方程 化成斜截式，求出直线 的斜率以及它在 轴与 轴上的截距，并画出图形
（1）平行于 轴；（2）平行于 轴；
（3）与 轴重合；（4）与 重合。
用课件“直线位置与系数的关系”演示结论：
教师引导学生回顾前面所学过的与 轴平行和重合、与 轴平行和重合的直线方程的形式。然后由学生自主探索得到问题的答案。
教学活动3
4.例题示范，巩固提升
例5的教学
已知直线经过点A（6，-4），斜率为 ，求直线的点斜式和一般式方程。
三、பைடு நூலகம்识与技能
1.理解并掌握直线方程的一般式及特殊形式之间的互化；
2.了解在直角坐标系中，平面上的直线与关于 ， 的二元一次方程的对应关系。
、。教学重点、难点
1.直线方程的一般形式与特殊式之间的互化；
2.在直角坐标系中，平面上的直线与关于 ， 的二元一次方程的对应关系。
教学资源
教师自制的多媒体课件
《直线的一般式方程》教学活动过程描述
教学活动1
（1）平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于 的二元一次方程表示吗？
（2）每一个关于 的二元一次方程 （A，B不同时为0）都表示一条直线吗？
关于 的二元一次方程，它都表示一条直线。
教师概括指出：由于任何一条直线都可以用一个关于 的二元一次方程表示；同时，任何一个关于 的二元一次方程都表示一条直线。
我们把关于关于 的二元一次方程 （A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式（general form）.

3.2.3直线的一般式方程教学目标1.掌握直线的一般式方程.2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线.3.会进行直线方程的五种形式之间的转化.教学引导知识点一直线的一般式方程思考1直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式这四种形式都能用Ax＋By＋C＝0(A，B 不同时为0)来表示吗？答案能.思考2关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)一定表示直线吗？答案一定.梳理直线的一般式方程形式Ax＋By＋C＝0条件A，B不同时为0知识点二直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系形式方程局限点斜式y－y0＝k(x－x0)不能表示斜率不存在的直线斜截式y＝kx＋b 不能表示斜率不存在的直线两点式y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1x1≠x2，y1≠y2截距式xa＋yb＝1不能表示与坐标轴平行及过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0无[教学·题型]类型1直线的一般式方程例1根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式．(1)斜率是－12，经过点A(8，－2)；(2)经过点B(4,2)，平行于x轴；(3)在x轴和y轴上的截距分别是32，－3；(4)经过两点P1(3，－2)，P2(5，－4)．[解](1)由点斜式得y－(－2)＝－12(x－8)，即x＋2y－4＝0.(2)由斜截式得y＝2，即y－2＝0.(3)由截距式得x32＋y－3＝1，即2x－y－3＝0.(4)由两点式得y－(－2)－4－(－2)＝x－35－3，即x＋y－1＝0.[规律方法]求直线的一般式方程的策略1.当A≠0时，方程可化为x＋BA y＋CA ＝0，只需求BA ，CA 的值；若B≠0，则方程化为AB x＋y＋CB ＝0，只需确定AB ，CB 的值.因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程.2.在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式.提醒：在利用直线方程的四种特殊形式时，一定要注意其适用的前提条件. [跟踪训练]1．(1)下列直线中，斜率为－43，且不经过第一象限的是()A．3x＋4y＋7＝0B．4x＋3y＋7＝0C．4x＋3y－42＝0 D．3x＋4y－42＝0 (2)直线3x－5y＋9＝0在x轴上的截距等于()A． 3 B．－5 C．95 D．－3 3(1)【答案】B(2)D【解析】(1)将一般式化为斜截式，斜率为－43的有：B、C两项．又y＝－43x＋14过点(0,14)，即直线过第一象限，所以只有B项正确．(2)令y＝0则x＝－3 3.类型2一般形式下的平行与垂直问题例2(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m 的值；(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y ＋2＝0互相垂直？思路探究：解答本题可以从两直线的位置关系与斜率的对应关系入手，也可以根据斜率关系求出参数值后，代入验证．[解](1)法一：由l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0，l2：mx＋3y－2＝0知：①当m＝0时，显然l1与l2不平行．②当m≠0时，l1∥l2，需2m＝m＋13≠4－2.解得m＝2或m＝－3，∴m的值为2或－3.法二：令2×3＝m(m＋1)，解得m＝－3或m＝2.当m＝－3时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0，显然l1与l2不重合，∴l1∥l2.同理当m＝2时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，显然l1与l2不重合，∴l1∥l2.∴m的值为2或－3.(2)法一：由题意知，直线l 1⊥l 2.①若1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0显然垂直．②若2a ＋3＝0，即a ＝－32时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5y －4＝0不垂直．③若1－a ≠0，且2a ＋3≠0，则直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2都存在，k 1＝－a ＋21－a，k 2＝－a －12a ＋3.当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋21－a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －12a ＋3＝－1，∴a ＝－1. 综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2. 法二：由题意知直线l 1⊥l 2. ∴(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0， 解得a ＝±1，将a ＝±1代入方程，均满足题意． 故当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2. [规律方法]1．利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0， (1)若l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)． (2)若l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.2．与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋m ＝0(m ≠C )． (2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋m ＝0. [跟踪训练]2．已知直线l 的方程为x ＋2y －1＝0，点P 的坐标为(1，－2)．(1)求过P 点且与直线l 平行的直线方程； (2)求过P 点且与直线l 垂直的直线方程．[解] (1)设过P 点且与直线l 平行的直线方程为x ＋2y ＋k ＝0， 则1＋2×(－2)＋k ＝0，即k ＝3，所以过P 点且与直线l 平行的直线方程为x ＋2y ＋3＝0. (2)设过P 点且与直线l 垂直的直线方程为2x －y ＋b ＝0， 则2×1－(－2)＋b ＝0，即b ＝－4，所以过P 点且与直线l 垂直的直线方程为2x －y －4＝0.类型3与含参数的一般式方程有关的问题[探究问题]1．直线kx －y ＋1－3k ＝0是否过定点？若过定点，求出定点坐标．[提示] 直线kx －y ＋1－3k ＝0可化为y －1＝k (x －3)，由点斜式方程可知，该直线过定点(3,1)．2．若直线y ＝kx ＋b (k ≠0)不过第四象限，应满足什么条件？[提示] 若直线y ＝kx ＋b (k ≠0)不过第四象限，则应满足⎩⎨⎧k ＞0b ≥0.例3 (1)设直线l 的方程为(a －1)x ＋y －2－a ＝0(a ∈R )．若直线l 不过第三象限，则a 的取值范围为________．(2)设直线l 的方程为2x ＋(k －3)y －2k ＋6＝0(k ≠3)，根据下列条件分别确定k 的值：①直线l 的斜率为－1；②直线l 在x 轴，y 轴上的截距之和等于0. (1)【答案】[1，＋∞)【解析】把直线l 化成斜截式，得y ＝(1－a )x ＋a ＋2，因为直线l 不过第三象限，故该直线的斜率小于等于零，且直线在y 轴上的截距大于等于零．即⎩⎨⎧1－a ≤0，a ＋2≥0，解得a ≥1.所以a 的取值范围为[1，＋∞)． (2) 【解】①因为直线l 的斜率存在，所以直线l 的方程可化为y ＝－2k －3x＋2.由题意得－2k －3＝－1，解得k ＝5. ②直线l 的方程可化为x k －3＋y2＝1. 由题意得k －3＋2＝0，解得k ＝1.母题探究：1.典例(1)中若将方程改为“x ＋(a －1)y －2－a ＝0(a ∈R )”，其他条件不变，又如何求解？[解] (1)当a －1＝0，即a ＝1时，直线为x ＝3，该直线不过第三象限，符合．(2)当a －1≠0，即a ≠1时，直线化为斜截式方程为y ＝11－a x －2＋a 1－a，因为直线l 不过第三象限，故该直线的斜率小于等于零，且直线在y 轴上的截距大于等于零．即⎩⎪⎨⎪⎧11－a ≤0，－2＋a1－a ≥0，解得a ＞1.由(1)(2)可知a ≥1.2．若典例(1)中的方程不变，当a 取何值时，直线不过第二象限？[解] 把直线l 化成斜截式，得y ＝(1－a )x ＋a ＋2，因为直线l 不过第二象限，故该直线的斜率大于等于零，且直线在y 轴上的截距小于等于零．即⎩⎨⎧1－a ≥0，a ＋2≤0，解得a ≤－2.[规律方法] 直线恒过定点的求解策略 1.将方程化为点斜式，求得定点的坐标.2.将方程变形，把x ，y 作为参数的系数，因为此式子对任意的参数的值都成立，故需系数为零，解方程组可得x ，y 的值，即为直线过的定点.[当 堂 达 标·固 双 基]1．直线l ：3x ＋y ＋3＝0的倾斜角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【答案】C【解析】直线方程化为斜截式为y ＝－3x －3，∴斜率k ＝－3， 即tan α＝－3，又α∈[0°，180°)，∴α＝120°，选C. 2．已知ab ＜0，bc ＜0，则直线ax ＋by ＝c 通过( )A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限【答案】C【解析】直线ax ＋by ＝c 即y ＝－a b x ＋c b ，∵ab ＜0，bc ＜0，∴斜率k ＝－a b ＞0，直线在y 轴上的截距cb ＜0. 故直线过第一、三、四象限．选C.3．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y ＝2＝0D ．x ＋2y －1＝0 【答案】A【解析】设所求直线方程为x －2y ＋c ＝0，把点(1,0)代入可求得c ＝－1. 所以所求直线方程为x －2y －1＝0.故选A.4．已知两条直线y ＝ax －2和3x －(a ＋2)y ＋1＝0互相平行，则a ＝________.【答案】1或－3【解析】依题意得：a (a ＋2)＝3×1，解得a ＝1或a ＝－3. 5．若方程(m 2－3m ＋2)x ＋(m －2)y －2m ＋5＝0表示直线．(1)求实数m 的范围；(2)若该直线的斜率k ＝1，求实数m 的值． [解] (1)由⎩⎨⎧m 2－3m ＋2＝0，m －2＝0，解得m ＝2，若方程表示直线，则m 2－3m ＋2与m －2不能同时为0，故m ≠2. (2)由－m 2－3m ＋2m －2＝1，解得m ＝0.。

直线方程的一般形式一、教材分析直线是最简单的几何图形，它是研究各种运动方向和位置关系的基本工具。

直线方程是学习圆锥曲线方程和其他知识的基础。

本章教材是学生在初中掌握了平面直角坐标系、一次函数的图象及高一掌握了三角函数的基础上学习的，对高一学生来说是容易掌握的。

两点可以确定一条直线，给出一点和直线的方向也可以确定一条直线，由两个独立条件选用恰当形式可求出直线方程并统一写成一般式。

由于直线方程的几种特殊形式都有局限性，有必要引进一般式。

直线的一般式方程中字母常数的几何意义不很鲜明，常常要将直线方程的一般式化为斜截式和截距式，所以本节课的重点是掌握直线方程的一般式及各种形式互化的方法。

直线方程的形式虽然不止一种，但从方程的类型来看本质是相同的，其方程的类型都是二元一次方程，使学生从直观到理论来认识坐标平面上直线与二元一次方程的对应关系，由于直线与直线的方程是解析几何中曲线与方程概念的首次展现，所以曲线与方程的概念在这一节教学中要求不能太高，通过今后的教学逐步加深理解。

本节课教学的关键是掌握直线方程各种形式的互化方法。

二、教学目标根据教学大纲的要求及学生的实际情况，本节课制定了如下的三条教学目标：1.使学生掌握直线方程的一般式，并能用一般方程表示直角坐标平面内的特殊位置的直线，了解直线与关于x、y一次方程的对应关系。

2.使学生会将直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式化成一般式，会将一般式化成斜截式和截距式，渗透化归与转化的数学思想。

3.会通过直线的一般式Ax+By+C=0(A、B不全为零)，求直线的斜率，直线在x轴或y轴上的截距，并能迅速、正确地在直角坐标系中画出它的图形，渗透数形结合的数学思想。

三、教学方法和手段依据本节课的教学任务、教学内容和高一学生的年龄特征，本节课采用启发式谈话法作为主要的教学方法，即以教师引导为主，充分激发学生的思维活动，通过学生的独立思考来获取知识。

本节课采用计算机辅助教学，提高课堂教学效率；通过图表的动态演示，使教学内容直观生动，帮助学生所学知识系统化。