2.2.3 直线的一般式方程课标解读 课标要求素养要求1.了解直线的一般式方程的形式特征，理解直线的一般式方程与二元一次方程的关系.2.能正确地进行直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化.3.能用直线的一般式方程解决有关问题.1.数学抽象——根据一般式方程与二元一次方程抽象出两者的关系.2.逻辑推理——能够通过推理，进行直线的一般式方程与特殊形式的转化.自主学习·必备知识教材研习教材原句定义：关于x,y 的二元一次方程都表示一条直线，我们把关于x,y 的二元一次方程 Ax +By +C =0 （其中A,B 不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称 一般式 . 自主思考当A =0 或B =0 或C =0 时，方程Ax +By +C =0 分别表示什么样的直线？提示 若A =0 ，则y =−CB，表示与y 轴垂直的一条直线；若B =0 ，则x =−CA，表示与x 轴垂直的一条直线；若C =0 ，则Ax +By =0 ，表示过原点的一条直线.名师点睛1.直线的一般式方程的结构特征 （1）方程是关于x,y 的二元一次方程.（2）方程中等号的左侧自左向右一般按x,y ，常数的顺序排列. （3）x 的系数一般不为分数和负数.（4）虽然直线的一般式方程有三个参数，但是只需两个独立的条件即可求得直线的方程.2.直线的一般式方程与特殊形式的互化3.利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略直线l 1 ：A 1x +B 1y +C 1=0 （A 1,B 1 不同时为0），直线l 2 ：A 2x +B 2y +C 2=0 （A 2,B 2 不同时为0）.（1）若l1∥l2⇔A1B2−A2B1=0且B1C2−B2C1≠0（或A1C2−A2C1≠0）.（2）若l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0.4.与已知直线平行和垂直的直线方程的求法（1）与直线Ax+By+C=0（A，B不同时为0）平行的直线的方程可设为Ax+By+m= 0(m≠C).（2）与直线Ax+By+C=0（A，B不同时为0）垂直的直线的方程可设为Bx−Ay+n= 0.互动探究·关键能力探究点一求简单的一般式方程精讲精练例根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式.（1）斜率是√3，且经过点A(5,3)；（2）斜率为4，在y轴上的截距为-2；（3）在y轴上的截距为3，且平行于x轴；（4）经过A(−1,5)、B(2,−1)两点；（5）在x、y轴上的截距分别是-3、-1.思路分析根据已知条件，选择恰当的直线方程的形式，最后化成一般式方程.答案：（1）由点斜式方程得y−3=√3(x−5)，即√3x−y+3−5√3=0.（2）由斜截式方程得y=4x−2，即4x−y−2=0.（3）由题意得y=3，即y−3=0.（4）由两点式方程得y−5−1−5=x−(−1)2−(−1)，即2x+y−3=0.（5）由截距式方程得x−3+y−1=1，即x+3y+3=0.解题感悟在求直线方程时，直接求一般式方程有时并不简单，常用的还是先根据给定条件选用特殊形式求方程，然后转化为一般式.提醒：在利用直线方程的特殊形式时，一定要注意其适用的前提条件.迁移应用分别写出符合下列条件的直线方程，并且化成一般式.（1）经过点(2,-4)，且与直线3x−4y+5=0平行；（2）经过点(3,2)，且与直线6x−8y+3=0垂直.答案：（1）设与直线3x−4y+5=0平行的直线的方程为3x−4y+c=0(c≠5)，将点(2,-4)代入得6+16+c=0，所以c=−22.故所求直线的一般式为3x−4y−22=0. （2）设与直线6x−8y+3=0垂直的直线的方程为8x+6y+m=0，将点(3,2)代入得24+12+m=0，解得m=−36.故所求直线的一般式为4x+3y−18=0.探究点二 含参数的一般式方程精讲精练例设直线l 的方程为(a +1)x +y +2−a =0(a ∈R) . （1）若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； （2）若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围.答案：（1）当直线l 过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距都为零，显然相等， 则(a +1)×0+0+2−a =0 ， ∴a =2 ，即l 的方程为3x +y =0 ；当直线l 不过原点，即a ≠2 时，其方程可化为x a−2a+1+ya−2=1 ，由l 在两坐标轴上的截距相等得a−2a+1=a −2 ，即a +1=1 ，∴a =0 ，即l 的方程为x +y +2=0 . 综上，l 的方程为3x +y =0 或x +y +2=0 . （2）将l 的方程化为y =−(a +1)x +a −2 ，∴ 欲使l 不经过第二象限，当且仅当{−(a +1)＞0,a −2≤0 或{−(a +1)=0,a −2≤0,∴a ≤−1 .综上可知，a 的取值范围是a ≤−1 .变式 本例条件不变，试问：直线l 恒过哪个定点？答案：由(a +1)x +y +2−a =0 整理得a(x −1)+x +y +2=0 ，因为∀a ∈R,a(x −1)+x +y +2=0 恒成立，所以{x −1=0, x +y +2=0, 解得{x =1,y =−3,所以直线l 恒过定点(1,-3). 解题感悟（1）在已知条件中出现“截距相等”“截距互为相反数”或“一截距是另一截距的几倍”等条件时要全面考虑，不要漏掉过原点的情况.（2）由直线的一般式方程Ax +By +C =0 （A 、B 不同时为0）求直线在两坐标轴上的截距时，令x =0 ，得纵截距；令y =0 ，得横截距.由两截距的位置可知直线的位置. 迁移应用设直线l 的方程为2x +(k −3)y −2k +6=0(k ≠3) ，根据下列条件分别确定k 的值. （1）直线l 的斜率为-1；（2）直线l 在x 轴，y 轴上的截距之和等于0.答案：（1）∵ 直线l 的斜率存在，∴ 直线l 的方程可化为y =−2k−3x +2 . 由题意得−2k−3=−1 ，解得k =5 .（2）直线l 的方程可化为xk−3+y2=1 ，由题意得k −3+2=0 ，解得k =1 .探究点三用一般式方程解决两直线平行或垂直问题精讲精练例已知直线l1：(k−3)x+(4−k)y+1=0与l2：2(k−3)x−2y+3=0.（1）若这两条直线垂直，求k的值；（2）若这两条直线平行，求k的值.答案：（1）根据题意得(k−3)×2(k−3)+(4−k)×(−2)=0，解得k=5±√52，∴若这两条直线垂直，则k=5±√52.（2）根据题意得(k−3)×(−2)−(4−k)×2(k−3)=0，解得k=3或k=5.经检验，均符合题意，∴若这两条直线平行，则k=3或k=5.迁移应用1.（2021山东济宁高二期末）已知直线3x−4y+4=0与直线ax+8y+7=0平行，则实数a的值为( )A.−323B.323C.6D.-6答案：D解析：因为直线3x−4y+4=0与直线ax+8y+7=0平行，所以3×8−(−4)a=0，解得a=−6.2.当直线l1：(a+2)x+(1−a)y−1=0与直线l2：(a−1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直时，a= .答案：±1解析：由题意知直线l1⊥l2,∴(a+2)(a−1)+(1−a)(2a+3)=0，解得a=±1，将a=±1代入方程，均满足题意.故当a=1或a=−1时，l1⊥l2.评价检测·素养提升课堂检测1.如果ax+by+c=0表示的直线是y轴，那么系数a，b，c应满足的条件是( )A.bc=0B.a≠0C.bc=0且a≠0D.a≠0且b=c=0答案：D解析：易知y轴用方程表示为x=0，所以a,b,c应满足的条件为b=c=0,a≠0.2.（2021湖北武汉华科附联考体高二期中）直线x−√3y+a=0,a∈R的倾斜角为( )A.π6B.π3C.2 π3D.5 π6答案：A解析：x−√3y+a=0化为斜截式方程为y=√33x+√33a，可知该直线的斜率k=√33，因为k=tanα=√33(α∈[0,π))，所以α=π6.3.直线x−3y+4=0与直线mx+4y−1=0互相垂直，则实数m的值为.答案：12解析：∵两条直线互相垂直，∴1×m−3×4=0，解得m=12.4.（2021山西太原高二期中）已知直线l1经过点M(2,1)，在两坐标轴上的截距相等且不为0.（1）求直线l1的方程（写成一般式）；（2）若直线l2⊥l1，且l2过点M，求直线l2的方程（写成一般式）.答案：（1）设直线l1的方程为xa +ya=1,a≠0，代入点M(2,1)得2a+1a=1，解得a=3，所以直线l1的方程为x3+y3=1，即x+y−3=0.（2）由（1）知直线l1的斜率为-1，由l2⊥l1得直线l2的斜率k=1.又直线l2过点M(2,1)，则直线l2的方程y−1=x−2，即x−y−1=0.素养演练直观想象、数学运算——在直线方程中的应用（2021辽宁抚顺高二期末）已知直线m的方向向量为v=(1,2).（1）求过点A(0,−3)且倾斜角是直线m的倾斜角的2倍的直线l1的斜截式方程；（2）求过点B(2,3)且与直线m垂直的直线l2的一般式方程.答案：（1）因为直线m的方向向量为v=(1,2)，所以直线m的斜率为2.设直线m的倾斜角为α，则tanα=2，设直线l1的斜率为k，则k=tan 2α=2 tanα1−tan2α=−43.因为直线l1过点A(0,−3)，所以直线l1的斜截式方程为y=−43x−3.（2）因为直线l2⊥m，所以直线l2的斜率为−12，因为直线l2过点B(2,3)，所以直线l2的方程为y−3=−12(x−2)，即x+2y−8=0，所以直线l2的一般式方程为x+2y−8=0.素养探究：（1）由直线m的方向向量为v=(1,2)可得直线m的斜率为2，渗透了直观想象的素养；设直线m的倾斜角为α，则tanα=2，然后利用二倍角的正切公式可求出直线l1的斜率，从而可求出直线l1的斜截式方程，渗透了数学运算的素养.（2）由题意可得直线l2的斜率为−12，从而可求出直线l2的方程，渗透了数学运算的素养.迁移应用已知△ABC中，点A的坐标为(1,2).（1）若过点C的中线所在直线的方程为2x−y−2=0，平行于AB边的中位线所在直线的方程为2x+y−9=0，求点C的坐标及过点C且与AB边平行的直线的方程；（2）若平行于BC边的中位线所在直线的方向向量为v=(1,−2)，求过点A且与该中位线垂直的直线l的方程.答案：（1）因为过点C的中线所在直线的方程为2x−y−2=0，所以可设C(m,2m−2)，,m)，又该中点在直线2x+y−9=0上，因为A(1,2)，所以AC的中点的坐标为(m+12所以m+1+m−9=0，解得m=4，即C的坐标为(4,6)，所以过点C且与AB边平行的直线的方程为y−6=−2(x−4)，即2x+y−14=0. （2）由已知得中位线所在直线的斜率为-2，所以直线l的斜率为1，2又该直线过点A，(x−1)，所以直线l的方程为y−2=12即x−2y+3=0.课时评价作业基础达标练1.直线mx−y+2m+1=0恒过一定点，则此定点为( )A.(-2,1)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,1)答案：A2.（2021四川内江资中二中高二月考）已知直线l：ax−y+2−a=0的横截距与纵截距相等，则a的值为( )A.1B.-1C.-1或2D.2答案：C3.（2021山东济南回民中学高二期中）斜率为-3，且在x轴上的截距为2的直线的一般式方程是( )A.3x+y+6=0B.3x−y+2=0C.3x+y−6=0D.3x−y−2=0答案：C4.（多选题）（2021山东临沂高二期中）下列说法正确的是( )A.直线y=ax−2a+1必过定点(2,1)B.直线3x−2y+4=0在y轴上的截距为-2C.直线√3x+y+1=0的倾斜角为120∘D.若将直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后回到原来的位置，则直线l的斜率为23答案：A; C; D5.（2021贵州遵义航天中学高二月考）过点P(1,3)，且垂直于直线x−2y+3=0的直线的方程为( )A.2x+y−1=0B.2x+y−5=0C.x+2y−5=0D.x+2y+7=0答案：B6.（2021北京育英学校高二期末）已知直线x+2y+3=0与直线2x+my+1=0平行，则m=( )A.1B.2C.3D.4答案：D解析：因为直线x+2y+3=0与直线2x+my+1=0平行，所以21=m2，解得m=4，满足题意，故m=4.7.（2020浙江6月学业水平适应性考试）过点A(1,−2)，且与直线2x−y+1=0平行的直线的方程为( )A.2x−y−4=0B.2x−y+4=0C.x+2y−3=0D.x+2y+3=0答案：A8.（2021湖北宜昌秭归一中高二期中）已知直线kx−y−k+√3=0过定点A，直线2kx−y−8k=0过定点B，则直线AB的倾斜角为( )A.5 π6B.2 π3C.π3D.π6答案：A9.已知直线(2t−3)x+y+6=0，则该直线过定点；若该直线不经过第一象限，则t的取值范围是.答案：(0,-6); [32,+∞)10.（2021上海金山中学高二期中）设直线l：ax+3y−2=0，其倾斜角为α，若α∈(π6,π2)∪(π2,34π)，则a的取值范围为.答案：a＜−√3或a＞3素养提升练11.已知直线l：(2+m)x+(1−2m)y+4−3m=0与两坐标轴交于A，B两点，且点M(−1,−2)是线段AB的中点，则实数m的值为( )A.−13B.0C.13D.2答案：B解析：设A(x 0,0),B(0,y 0) ，将直线l 的方程(2+m)x +(1−2m)y +4−3m =0 化为2x +y +4+m(x −2y −3)=0 ，由{2x +y +4=0,x −2y −3=0 得{x =−1,y =−2, ∴ 直线l 过定点(-1,-2)，即点M(−1,−2) 在直线l 上，、又M 为线段AB 的中点，∴ 由中点坐标公式可得x 0=−2,y 0=−4 ， 将点A(−2,0) 代入直线l 的方程得−4−2m +4−3m =0 ，∴m =0 .12.设a ∈R ，则“a =3 ”是“直线ax +2y +3a =0 和直线3x +(a −1)y =a −7 平行”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案：C解析：当a =3 时，两条直线的方程分别是3x +2y +9=0 和3x +2y +4=0 ，此时两条直线平行成立，反之，当两条直线平行时，有a2=3a−1 且3a2≠7−aa−1 ，即a =3 或a =−2 （舍去），故a =3 ，所以“a =3 ”是“直线ax +2y +3a =0 和直线3x +(a −1)y =a −7 平行”的充要条件.13.设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|PA|=|PB| ，若直线PA 的方程为x −y +1=0 ，则直线PB 的方程是( ) A.2y −x −4=0 B.2x −y −1=0 C.x +y −5=0 D.2x +y −7=0 答案：C解析：由x −y +1=0 得A(−1,0) ，又P 的横坐标为2，且|PA|=|PB| ，∴P 为线段AB 中垂线上的点，故B(5,0) .又直线PB 的倾斜角与直线PA 的倾斜角互补，∴ 两直线的斜率互为相反数，故直线PB 的斜率k PB =−1 ，∴ 直线PB 的方程为y =−(x −5) ，即x +y −5=0 .14.设直线l 的方程为(m 2−2m −3)x +(2 m 2+m −1)y =2m −6 ，根据下列条件分别求m 的值.（1）直线l 在x 轴上的截距为1； （2）直线l 的斜率为1.答案：（1）易知直线l过点(1,0),∴m2−2m−3=2m−6，解得m=3或m=1. ∵m=3时，直线l的方程为y=0，不符合题意，∴m=1.（2）由斜率为1得{−m2−2m−32m2+m−1=1,2m2+m−1≠0,解得m=43.15.（2021福建厦门一中高二月考）已知△ABC的三个顶点是A(1,1),B(−1,3),C(3,4). （1）求过点A且与BC垂直的直线l1的方程；（2）若直线l2过点C，且点A，B到直线l2的距离相等，求直线l2的方程.答案：（1）因为k BC=4−33+1=14，且直线l1与BC垂直，所以直线l1的斜率k=−1k BC=−4，所以直线l1的方程是y−1=−4(x−1)，即4x+y−5=0.（2）因为直线l2过点C，且点A，B到直线l2的距离相等，所以直线l2与AB平行或过AB的中点M.当直线l2与AB平行时，因为k AB=3−1−1−1=−1，所以直线l2的方程是y−4=−(x−3)，即x+y−7=0.当直线l2过AB的中点M时，因为AB的中点M的坐标为(0,2)，所以k CM=4−23−0=23，所以直线l2的方程是y−4=23(x−3)，即2x−3y+6=0.综上，直线l2的方程是x+y−7=0或2x−3y+6=0 .创新拓展练16.（2021北京教师进修学校附属实验学校高二期中）已知直线l：kx−y+1+2k=0,k∈R，直线l交x轴于点A，交y轴于点B，坐标原点为O.（1）证明：直线l过定点；（2）若直线l在x轴上的截距小于0，在y轴上的截距大于0.设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程；（3）直接写出△AOB的面积S(S＞0)在不同取值范围下的直线l的条数.命题分析本题考查了直线与两坐标轴围成的三角形的面积问题，第二问主要利用基本不等式求出最值，第三问的关键是将问题转化为两函数图象的交点问题，从而利用数形结合的方式求出.答题要领（1）把l的方程化为k(x+2)+(1−y)=0，根据恒等式的性质建立方程组求定点；（2）分别求出直线l在x轴和y轴上的截距，写出面积，利用基本不等式求出最值；（3）根据S 的表达式，将待求问题转化为直线y =S(S ＞0) 与曲线y =f(k)=|2k +12k+2|的交点个数问题，利用图象求解.详细解析 （1）证明：直线l 的方程可变形为k (x +2)+(1−y )=0 ，由{x +2=0,1−y =0 得{x =−2,y =1,∴ 直线l 过定点(-2,1).（2）当x =0 时，y =1+2k ；当y =0 时，x =−1+2k k，∴A(−1+2k k,0),B(0,1+2k) ，由题意知{−1+2k k＜0,1+2k ＞0,解得k ＞0 ，则S =12×|OA|×|OB|=12×1+2k k ×(1+2k)=12(4k +1k+4)≥12×(2×√4k ⋅1k+4)=4 ，当且仅当4 k =1k ，即k =12 时等号成立，故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x −2y +4=0 . （3）由（2）可知S =12×|OA|×|OB|=12×|1+2k k|×|1+2k|=|2k +12k+2| ，令f(k)=|2k +12k +2| ，则直线l 的条数等价于曲线y =f(k) 与直线y =S(S ＞0) 的交点个数， 画出函数图象，由图可知，当0＜S ＜4 时，直线l 有2条； 当S =4 时，直线l 有3条； 当S ＞4 时，直线l 有4条.解题感悟 （1）直线过定点问题常根据恒等式转化为方程求解，也可以转化为点斜式求解.（2）涉及面积的最值问题，一般先确定目标函数，再利用基本不等式或函数的性质求解.。
