幂函数的概念

幂函数1、幂函数的概念=（x∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数.一般地，形如y xα2、幂函数性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）α＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞）上是增函数（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.注：1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论；2．对于幂函数y＝αx，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即α＜0，0＜α＜1和α＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意α＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即α＞0（α≠1）时图象是抛物线型；α＜0时图象是双曲线型；α＞1时图象是竖直抛物线型；0＜α＜1时图象是横卧抛物线型．3.幂函数的奇偶性，()q pf x x =3、函数图像的变换 平移变换 （1）水平平移()()(0)h h y f x y f x h >==+→向左平移的图像的图像()()(0)-h h y f x y f x h >==→向右平移的图像的图像（2）竖直平移()()(0)+h h y f x y f x h >==→向上平移的图像的图像()()(0)-h h y f x y f x h >==→向下平移的图像的图像对称变换：（1）()()-x y f x y f x =←−−−−→=关于轴对称的图像的图像； （2）()()y y f x y f x =←−−−−→=-关于轴对称的图像的图像； （3）()()y f x y f x =←−−−−→=--关于原点对称的图像的图像 （4）将函数()y f x =的图像在x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴的上方，去掉原来x 轴下方的部分即可得到函数()y f x =的图像。

幂函数的概念与性质在数学中，幂函数是一种常见而重要的函数类型。

它是一种形如f(x) = x^n的函数，其中n是常数，x是自变量，而f(x)则是因变量。

幂函数的性质取决于n的值，下面将详细介绍幂函数的概念与性质。

一、幂函数的定义幂函数是一类特殊的单变量函数，其定义为f(x) = x^n，其中n是常数，x是自变量。

在这个函数中，自变量x的值经过幂指数n的运算而得到新的函数值f(x)。

当幂函数的指数n为正数时，函数图像会呈现出不同的特点。

例如当n为2时，幂函数为f(x) = x^2，它代表了二次函数的图像，是一个开口向上的抛物线。

当n为3时，幂函数为f(x) = x^3，它代表了一个呈现出S形曲线的三次函数。

同理，幂函数的指数n为负数时，函数图像也会呈现出不同的形状。

二、幂函数的性质1. 定义域和值域：幂函数的定义域为实数集R，除非指数n为分数时会有例外。

对于n为整数的幂函数，其值域为非负实数集R+；当n 为奇数时，幂函数的值域为整个实数集R。

2. 对称性：当幂函数的指数n为偶数时，函数图像关于y轴具有对称性。

当幂函数的指数n为奇数时，函数图像关于原点具有对称性。

3. 单调性：幂函数的单调性与指数n的正负性有关。

当n为正数时，幂函数是递增的；当n为负数时，幂函数是递减的。

4. 极限性质：幂函数具有一些特殊的极限性质。

当n大于0时，随着x趋于正无穷或负无穷，幂函数的值趋于正无穷；当n小于0时，随着x趋于正无穷或负无穷，幂函数的值趋于零。

5. 奇偶性：幂函数的奇偶性与指数n的奇偶性一致。

当n为偶数时，幂函数为偶函数；当n为奇数时，幂函数为奇函数。

6. 渐近线：幂函数的图像可以存在水平渐近线、斜渐近线和铅直渐近线。

具体的渐近线取决于指数n的正负和奇偶性。

7. 凸凹性：当指数n大于1时，幂函数的图像为凸函数；当指数n小于1时，幂函数的图像为凹函数。

综上所述，幂函数是一种常用且重要的函数类型，其性质与指数n的值密切相关。

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百科名片幂函数一般地，形如y=x^a(a为常数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。

目录概念性质特性定义域和值域特殊性图象特别说明编辑本段概念形如y=x^a(a为常数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。

当a取非零的有理数时是比较容易理解的，而对于a 取无理数时，初学者则不大容易理解了。

因此，在初等函数里，我们不要求掌握指数为无理数的问题，只需接受它作为一个已知事实即可，因为这涉及到实数连续性的极为深刻的知识。

编辑本段性质所有的幂函数在（0，+∞）上都有各自的定义，并且图像都过点（1,1）。

（1）当a>0时，幂函数y=x^a有下列性质：a、图像都通过点（1,1）(0,0) ；b、在第一象限内，函数值随x的增大而增大；c、在第一象限内，a>1时，图像开口向上；0<a<1时，图像开口向右；d、函数的图像通过原点，并且在区间[0,+∞)上是增函数。

（2）当a<0时，幂函数y=x^a有下列性质：a、图像都通过点（1,1）；b、在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图像开口向上；c、在第一象限内，当x从右趋于原点时，图象在y 轴上方趋向于原点时，图像在y轴右方无限逼近y 轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x 轴[1]。

（3）当a=0时，幂函数y=x^a有下列性质：a、y=x^0是直线y=1去掉一点（0,1）它的图像不是直线。

编辑本段特性对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：首先我们知道如果a=p/q，且p/q为既约分数（即p、q互质），q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号下（x 的p次方），如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q 是偶数，函数的定义域是[0,+∞）。

当指数a是负整数时，设a=-k，则y=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是（－∞，0)∪(0,+∞)。

幂函数的概念与性质幂函数是高中数学中的重要概念之一，它在数学领域拥有广泛的应用。

本文将介绍幂函数的基本概念和性质，帮助读者更好地理解和应用这一数学工具。

一、幂函数的概念幂函数是指形如f(x)=ax^n的函数，其中a和n为常数，n为指数。

其中，a称为底数，n称为指数。

这里要注意的是，底数a必须大于0且不等于1，指数n可以是任意实数。

幂函数在底数和指数的选择上具有很大的灵活性。

当n为正整数时，幂函数表现为递增或递减的特点，如f(x)=2x^3，其图像为一个开口向上的曲线；当n为负整数时，幂函数则表现为递减或递增的特点，如f(x)=\frac{1}{2}x^{-2}，其图像为一个开口向下的曲线；当n为小数或分数时，幂函数则表现出递增或递减的平缓特点，如f(x)=\sqrt{x}，其图像为一条从原点开始向右上方延伸的曲线。

二、幂函数的性质1. 定义域和值域：幂函数的定义域为实数集，即该幂函数对于任意实数x都有定义。

值域则根据底数a和指数n的取值情况而定。

2. 奇偶性：当指数n为偶数时，幂函数是对称于y轴的偶函数，即f(x)=f(-x)；当指数n为奇数时，幂函数则是关于原点对称的奇函数，即f(x)=-f(-x)。

3. 单调性：当指数n为正数时，幂函数是递增的；当指数n为负数时，幂函数则是递减的。

4. 渐近线：当指数n为正数时，幂函数的图像在x轴的右侧将趋近于正无穷，即具有一条水平渐近线y=0；当指数n为负数时，幂函数的图像在x轴的右侧将趋近于正0，其图像也会具有一条水平渐近线y=0。

5. 极值点：幂函数在底数为正且指数为正偶数时，不存在极值点；在底数为正且指数为负偶数时，幂函数存在一个局部极大值点；在底数为负且指数为任意实数时，幂函数既不具有极小值也不具有极大值。

6. 对称轴：幂函数的对称轴一般位于y轴，并且是关于y轴对称的。

当指数n为奇数时，幂函数的对称轴位于原点。

7. 特殊性质：当底数a是自然常数e（约等于2.71828）时，所得到的幂函数称为自然指数函数，常用符号为f(x)=e^x。

幂函数与指数函数的概念与性质幂函数和指数函数是数学中常见的函数类型，它们在数学和实际生活中的应用非常广泛。

本文将重点介绍幂函数和指数函数的概念和性质，以帮助读者更好地理解和运用这两种函数。

一、幂函数的概念与性质幂函数是一类以自变量的幂次为指数的函数，表达形式为f(x) = x^n。

其中，n为常数，可以是整数、分数或负数。

幂函数可以分为正幂函数和负幂函数。

1. 正幂函数当n为正数时，幂函数为正幂函数，表达式为f(x) = x^n。

正幂函数的图像随着n的变化而发生改变。

- 当n > 1时，正幂函数的图像在原点右侧逐渐变陡；当x > 1时，f(x)的值变得更大，呈现出指数增长的趋势。

- 当0 < n < 1时，正幂函数的图像在原点右侧逐渐变缓；当0 < x< 1时，f(x)的值变得更大，呈现出指数衰减的趋势。

- 当n = 1时，正幂函数是线性函数，图像为一条直线，斜率为1。

2. 负幂函数当n为负数时，幂函数为负幂函数，表达式为f(x) = x^n。

负幂函数的图像在定义域内是连续的，它们在x轴上的负半轴上逐渐变陡，而在x轴上的正半轴上逐渐变缓。

二、指数函数的概念与性质指数函数是以一个正实数为底数，以自然对数e（约等于2.71828）为底，以变量的指数作为乘幂的函数，表达形式为f(x) = a^x。

指数函数的性质如下：1. 底数为a的指数函数与底数为1/a的指数函数互为倒数关系。

即f(x) = a^x 和 g(x) = (1/a)^x 互为倒数。

2. 指数函数在不同的底数和指数变化下，有不同的增长趋势：- 当a > 1时，指数函数呈现出指数增长的趋势，随着x的增大，f(x)的值变得更大。

- 当0 < a < 1时，指数函数呈现出指数衰减的趋势，随着x的增大，f(x)的值变得更小。

三、幂函数与指数函数的关系幂函数和指数函数之间存在密切的联系，可以通过归纳法来证明它们的相互转化关系。

幂函数概念
幂函数是数学中一种重要的概念，它在多种不同的科学和技术领域都有着广泛的用途。

它是一种函数，通过让数字的值经过某种算法的处理求出一个结果，或者可以把它看作是某种运算的一种快捷方法。

它的基本特征是，给定一个数字及其特定的次数和指数，它可以计算出一个结果，即次方指数。

例如，若要计算2的3次方，即2的平方，则可以把答案定义为f（x）=x^3，并将2作为x的值来求得f（2）=8，即2的3次方为8。

这就是幂函数的基本使用方法。

除了像这样简单的基本使用外，幂函数还有更复杂的用法。

它可以用来求解方程，描述函数的变化规律，计算数学表达式，以及对函数的求导等等。

幂函数的表达式可以用公式表示：y=x^n，其中x为自变量，y
为因变量，n为指数，表示x的n次方。

换句话说，当x的值改变时，以指数n的幂级数表示的y的值也会改变。

指数n可以为正数、负数或者零。

当n为正数时，表示x的正指数，乘积指数越大，函数值越大；当n为负数时，表示x的负指数，乘积指数越大，函数值越小；当n为零时，函数值始终为1，表示x
的无穷指数。

此外，幂函数的求导也是一个重要的概念。

一般形式的幂函数求导是：y=nx^(n-1)，其中y为导数，n为指数。

根据求导的准则，对nx^(n-1)求导得：n(n-1)x^(n-2)，即导数系数乘以函数下一次幂数，
直至函数次数为1。

最后，幂函数有着广泛的应用。

它可以用来解决多种不同的方程，表达多种数学表达式，描述函数的变化规律，以及对函数的求导。

因此，它是一种非常有用的概念，值得研究。

幂的四个概念怎么理解幂是数学中的一个重要概念，它在代数、数论、几何等许多领域中都有广泛应用。

幂的四个基本概念分别是幂运算、幂函数、幂等元、以及连续幂。

下面我将为您详细解释这四个概念的含义和应用。

1. 幂运算：幂运算是指对一个数进行多次乘法的运算。

在幂运算中，要求有两个数，一个作为底数，一个作为指数。

底数表示被乘数，指数表示乘数。

底数用字母a表示，指数用整数n表示。

幂运算的基本形式可以表示为a^n，读作“a的n次方”或“a的n次幂”。

其中，当n是正整数时，a^n表示a相乘n次；当n是0时，a^0等于1；当n 是负整数时，a^n 等于1/a的绝对值相乘n次。

幂运算可以简化多次连乘的计算过程，同时也使得对于数的大小关系的比较更加灵活。

例如，3^4 表示3相乘4次，结果是3*3*3*3=81。

又如，2^0 表示2相乘0次，结果等于1。

2. 幂函数：幂函数是一种特殊的函数，它的定义形式为f(x) = a^x，a是一个正实数，且a ≠0. 在幂函数中，底数a是常量，指数x为自变量。

幂函数在数学中有着广泛的应用，它可以描述很多自然界中的现象，如生物的数量增长、物质的衰变等。

在实际应用中，幂函数能够更好地描述自然界中的非线性现象，并提供了很多重要的数学工具和模型。

例如，当幂函数中底数取2时，f(x) = 2^x表示指数增长的模型。

指数函数在信息技术中得到广泛应用，如计算机科学中的算法复杂性分析、密码学中的指数取模等。

3. 幂等元：幂等元是指进行幂运算时，底数和指数相等的元素。

即a^n = a，其中a为幂等元，n为任意整数。

幂等元可以是实数、复数、矩阵等。

幂等元的一个重要性质是，它的乘方结果仍然等于自身。

这是由幂运算定义的自然结果。

在代数和数论中，幂等元在解方程、计算等方面具有重要作用。

幂等元也被广泛应用于其他领域中，如图论、逻辑运算等。

举个例子，2是幂等元，因为2^2 = 2。

又如，矩阵中的单位矩阵是幂等元，因为单位矩阵的多次幂仍然等于单位矩阵。

幂函数知识点总结一、幂函数的基本概念1.1 定义幂函数是指以自变量 x 为底数的常数次幂，形式为 y = ax^n，其中 a 为非零实数，n 为实数。

其中，底数 a 称为幂函数的底数，指数 n 称为幂函数的指数。

1.2 定义域和值域幂函数的定义域为全体实数集 R，即 x 可以取任意实数值；而值域则受底数 a 和指数 n 的影响而不同。

当 n 为正数时，值域为全体正实数集 R^+；当 n 为负数时，值域为正实数集R^+，并且x ≠ 0；当 n 为零时，值域为全体实数集 R。

1.3 奇偶性当指数 n 为偶数时，幂函数关于 y 轴对称；当指数 n 为奇数时，幂函数关于原点对称。

1.4 增减性当指数 n 大于 1 时，幂函数在定义域上是增函数；当指数 n 大于 0 且小于 1 时，幂函数在定义域上是减函数。

二、幂函数图像的特点2.1 当底数 a 大于 1 时当底数 a 大于 1 时，幂函数的值域为正实数集 R^+。

图像呈现出从左下方无穷趋近于 x 轴，经过原点后逐渐上升并趋近于正无穷的趋势。

2.2 当底数 0 < a < 1 时当底数 0 < a < 1 时，幂函数的值域同样为正实数集 R^+。

图像呈现出从左下方无穷趋近于x 轴，经过原点后逐渐下降并趋近于 0 的趋势。

2.3 当底数 a 小于 0 时当底数 a 小于 0 时，则根据指数 n 的奇偶性和正负性来确定图像的性质。

当指数 n 为正偶数时，图像同样呈现出从左下方无穷趋近于 x 轴，经过原点后逐渐上升并趋近于正无穷的趋势；当指数 n 为正奇数时，图像同样呈现从左上方无穷趋近于 x 轴，经过原点后逐渐下降并趋近于负无穷的趋势。

2.4 特殊情况当底数 a 等于 1 时，幂函数的图像表现为一条平行于 x 轴的直线 y = 1；当底数 a 等于 -1 时，根据指数 n 的奇偶性不同，图像分别为一条平行于 x 轴的直线 y = -1 和关于 y 轴对称的抛物线。

3.3 幂函数学习目标1．能够通过给出的具体实例，得出幂函数的概念.2.能够结合五个具体的幂函数y ＝x ，y ＝1x ，y ＝x 2，y ＝x ，y ＝x 3的图象，通过归纳，抽象概括出五个幂函数的基本性质．知识点一 幂函数的概念 1．幂函数的定义一般地，函数□1y ＝x 叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 2．幂函数的特征(1)x α的系数为□21； (2)x α的□3底数是自变量； (3)x α的指数为□4常数． 只有满足这三个条件特征，才是幂函数，对于形如y ＝(2x )α，y ＝2x 5，y ＝x α＋6等函数都不是幂函数．[微练1] 思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数f (x )＝2x 2是幂函数．(×) (2)函数f (x )＝2x 是幂函数．(×) (3)函数f (x )＝(x ＋1)3不是幂函数．(√)[微练2] 若幂函数y ＝f (x )的图象经过点(2，2)，则f (x )＝________． 解析：设f (x )＝x α，由题意得2＝2α，∴α＝12. 即f (x )＝x 12. 答案：x 12知识点二 常见幂函数的图象与性质 1．五种常见幂函数的图象2．五类幂函数的性质幂函数y＝x y＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1定义域□5R□6R□7R □8[0，＋∞)□9(－∞，0)∪(0，＋∞)值域□10R□11[0，＋∞)□12R □13[0，＋∞){y|y∈R且y≠0}奇偶性□14奇函数□15偶函数□16奇函数□17非奇非偶□18奇函数单调性□19增函数x∈[0，＋∞)，单调递增；x∈(－∞，0)，单调递减□20增函数□21增函数x∈(0，＋∞)单调递减；x∈(－∞，0)，单调递减公共点都经过点□22(1，1)幂函数的图象不经过第四象限．[微练3]函数f(x)＝－x3的图象是()解析：B f(x)＝－x3与f(x)＝x3关于x轴对称．故选B．[微练4]函数y＝x－3在区间[－4，－3]上的最小值为________．解析：因为函数y＝x－3＝1x3在(－∞，0)上单调递减，所以当x＝－3时，y min ＝(－3)－3＝1（－3）3＝－127. 答案：－127题型一 幂函数的概念1．在函数y ＝1x 2，y ＝2＋x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1中，幂函数的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：B y ＝1x 2＝x －2，y ＝x －2是幂函数，其余都不是幂函数．2．若函数y ＝(m 2＋2m －2)x m 为幂函数且在第一象限为增函数，则m 的值为( )A ．1B ．－3C ．－1D ．3解析：A 因为函数y ＝(m 2＋2m －2)x m 为幂函数且在第一象限为增函数，所以⎩⎨⎧m 2＋2m －2＝1，m >0， 所以m ＝1.3．已知幂函数f (x )的图象过点(4，12)，且f (x )＝8，则x ＝( ) A ．2 2 B ．64 C ．24D ．164解析：D 设f (x )＝x α，将点(4，12)代入得12＝4α，所以α＝－12，所以f (x )＝x －12.令x －12＝8，得x ＝8－2＝164.判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式．题型二幂函数的图象及应用(1)幂函数y＝x2，y＝x－1，y＝x 13，y＝x－12在第一象限内的图象依次是图中的曲线()A．C1，C2，C3，C4B．C1，C4，C3，C2C．C3，C2，C1，C4D．C1，C4，C2，C3(2)点(2，2)与点(－2，－12)分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，有：①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)<g(x)．(1)[解析]由于在第一象限内直线x＝1的右侧，幂函数y＝xα的图象从上到下相应的指数α由大变小，即“指大图高”，故幂函数y＝x2在第一象限内的图象为C1，y＝x－1在第一象限内的图象为C4，y＝x 13在第一象限内的图象为C2，y＝x－12在第一象限内的图象为C3. [答案] D(2)[解]设f(x)＝xα，g(x)＝xβ.∵(2)α＝2，(－2)β＝－12，∴α＝2，β＝－1，∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知，①当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；②当x＝1时，f(x)＝g(x)；③当x∈(0，1)时，f(x)<g(x)．解决幂函数图象问题应把握的原则(1)依据图象高低判断幂指数的大小，相关结论为：①在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x 轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x 轴(简记为指大图高)．(2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y ＝x－1或y ＝x 12或y ＝x 3)来判断．1.已知函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c 的图象如图所示，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <b <aB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b解析：A 由幂函数的图象特征知，c <0，a >0，b >0.由幂函数的性质知，当x >1时，幂指数大的幂函数的函数值就大，则a >b .综上可知c <b <a .题型三 幂函数性质及应用 角度1 比较幂的大小(链接教材P 91练习T 2)利用幂函数的性质，比较下列各组数的大小； (1)1.554，1，1.754；(2)(－0.75)－2，0.76－2； (3)(23)23与(34)23.[解] (1)1＝154，幂函数y ＝x 54在(0，＋∞)上是增函数，故1<1.554<1.754. (2)(－0.75)－2＝0.75－2，幂函数y ＝x －2在(0，＋∞)上是减函数，故(－0.75)－2＝0.75－2>0.76－2.(3)∵函数y ＝x 23在(0，＋∞)是增函数，且34>23，∴(34)23>(23)23.比较幂值大小的方法(1)若指数相同，则利用幂函数的单调性比较大小．(2)若指数不同，可采用中介值法或估值法，如先与0比较大小，若都大于0，再与1比较，直到比较出所有数的大小，若中介值法不行则要采用估值法，判断各数的范围，进而比较出各数的大小．角度2 解不等式若(3－2m )12>(m ＋1)12，求实数m 的取值范围．[解] 因为y ＝x 12在定义域[0，＋∞)上是增函数，所以⎩⎨⎧3－2m ≥0，m ＋1≥0，3－2m >m ＋1，解得－1≤m <23.故实数m 的取值范围为[－1，23)．利用幂函数解不等式的两个步骤利用幂函数解不等式，实质是已知函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下：(1)确定可以利用的幂函数；(2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系；另外解不等式(组)求参数范围时，注意分类讨论思想的应用．2．(多选题)已知α∈{－1，1，2，3}，则使函数y ＝x α的值域为R ，且为奇函数的α的值为( )A ．－1B ．1C ．2D ．3答案：BD3．(－0.31)65与0.3565的大小关系为________．解析：因为y ＝x 65为R 上的偶函数，所以(－0.31)65＝0.3165.又函数y ＝x 65为[0，＋∞)上的增函数，且0.31<0.35，所以0.3165<0.3565，即(－0.31)65<0.3565.答案：(－0.31)65<0.35654．若幂函数f(x)过点(2，8)，则满足不等式f(a－3)>f(1－a)的实数a的取值范围是________．解析：设幂函数为f(x)＝xα，因为其图象过点(2，8)，所以2α＝8，解得α＝3，所以f(x)＝x3.因为f(x)＝x3在R上为增函数，所以由f(a－3)>f(1－a)，得a－3>1－a，解得a>2.所以满足不等式f(a－3)>f(1－a)的实数a的取值范围是(2，＋∞)．答案：(2，＋∞)拓展提升幂函数图象的特征当α＝1时，y＝x的图象是一条直线；当α＝0时，y＝x0＝1(x≠0)的图象是一条不包含点(0，1)的直线；当α为其他值时，相应幂函数的图象如下表．α＝pqα<00<α<1α>1p，q都是奇数p为偶数，q为奇数p为奇数，q为偶数课时规范训练A基础巩固练1．幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，3)，则f(x)()A ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数B ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数C ．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 解析：D 由题意设f (x )＝x n ， 因为函数f (x )的图象经过点(3，3)， 所以3＝3n，解得n ＝12，即f (x )＝x ，所以f (x )既不是奇函数，也不是偶函数， 且在(0，＋∞)上是增函数．故选D ．2．已知当x ∈(1，＋∞)时，函数y ＝x α的图象恒在直线y ＝x 的下方，则α的取值范围是( )A ．0<α<1B ．α<0C ．α<1D ．α>1解析：C 由幂函数的图象特征知α<1.3．若f (x )＝x －12，则函数f (4x －3)的定义域为( ) A ．R B ．(－∞，34) C ．[34，＋∞)D ．(34，＋∞)解析：D ∵f (x )＝x －12的定义域为(0，＋∞)， ∴4x －3>0，∴x >34，故选D ．4．已知a ＝1.212，b ＝0.9－12，c ＝ 1.1，则( ) A ．c <b <a B ．c <a <b C ．b <a <cD ．a <c <b解析：A b ＝0.9－12＝(910)－12＝(109)12，c ＝ 1.1＝1.112，因为f (x )＝x 12在[0，＋∞)上单调递增且1.2>109>1.1，所以1.212>(109)12>1.112，即a >b >c .5．(多选题)已知幂函数f (x )＝x n ，n ∈{－2，－1，1，3}的图象关于y 轴对称，则下列说法正确的是()A．f(－2)>f(1)B．f(－2)<f(1)C．f(－2)＝f(－1)D．若|a|>|b|>0，则f(a)<f(b)解析：BD幂函数f(x)＝x n，n∈{－2，－1，1，3}的图象关于y轴对称，则n＝－2，则f(x)＝1x2，f(－x)＝f(x)，且f(x)在(0，＋∞)上单调递减，于是有f(－2)＝f(2)<f(1)＝f(－1)，则A错误，B正确，C错误；若|a|>|b|>0，则f(|a|)<f(|b|)，即f(a)<f(b)成立，故D正确．故选BD．6．(多选题)给出下列四个说法：①当n＝0时，y＝x n的图象是一个点；②幂函数的图象都经过点(0，0)，(1，1)；③幂函数的图象不可能出现在第四象限；④若幂函数y＝x n的图象在第一象限为减函数，则n<0.其中正确说法的序号是()A．①B．②C．③D．④解析：CD①显然错误；②中如y＝x－12的图象不过点(0，0)．根据幂函数的图象可知③，④正确．7．幂函数y＝x 23的定义域为________；其奇偶性是________．解析：y＝x 23＝(x2)13，∴定义域为R；偶函数．答案：(－∞，＋∞)偶函数8．已知幂函数f(x)＝x m2－2m－3(m∈Z)的图象关于y轴对称，并且f(x)在第一象限内是单调递减函数，则m＝________．解析：因为幂函数f(x)＝x m2－2m－3(m∈Z)的图象关于y轴对称，所以函数f(x)是偶函数，所以m2－2m－3为偶数，所以m2－2m为奇数．又因为f(x)在第一象限内是单调递减函数，故m2－2m－3<0，又m∈Z所以m＝1.答案：19．比较下列各组数的大小：(1)3－72和3.2－72；(2)(－23)23和(－π6)23；(3)4.125和3.8－43.解：(1)函数y＝x－72在(0，＋∞)上为减函数，又3<3.2，所以3－72>3.2－7 2.(2)(－23)23＝(23)23，(－π6)23＝(π6)23，函数y＝x 23在(0，＋∞)上单调递增，而23>π6，所以(－23)23>(－π6)23.(3)4.125>125＝1，0<3.8－43<1－43＝1，所以4.125>3.8－43.B能力进阶练10．函数f(x)＝x a＋b，不论a为何值，f(x)的图象均过点(m，0)，则实数b的值为()A．－1 B．1C．2 D．3解析：A∵幂函数y＝xα过定点(1，1)，∴f(x)＝xα＋b过定点(1，1＋b)，由题意1＋b＝0，∴b＝－1.11．(多选题)已知实数a，b满足等式a 12＝b13，则下列关系式中可能成立的是()A．0<b<a<1 B．0<a<b<1 C．1<a<b D．1<b<a解析：AC画出y＝x 12与y＝x13的图象(如图)，设a12＝b13＝m，作直线y＝m.由图象知，若m ＝0或1，则a ＝b ；若0<m <1，则0<b <a <1；若m >1，则1<a <b .故其中可能成立的是AC ．12．(多选题)下列不等式在a <b <0的条件下能成立的是( ) A ．a －1>b －1B ．a 13<b 13C ．b 2<a 2D ．a －23>b －23解析：ABC 分别构造函数y ＝x －1，y ＝x 13，y ＝x 2，y ＝x －23，其中函数y ＝x －1，y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，而y ＝x 13，y ＝x －23为(－∞，0)上的增函数，故D 不成立，其他都成立．13．已知2.4α>2.5α，则α的取值范围是________． 解析：因为0<2.4<2.5，而2.4α>2.5α， 所以y ＝x α在(0，＋∞)上为减函数，故α<0. 答案：(－∞，0)14．已知幂函数f (x )＝x 9－3m (m ∈N *)的图象关于原点对称，且在R 上单调递增． (1)求f (x )的解析式；(2)求满足f (a ＋1)＋f (3a －4)<0的a 的取值范围．解：(1)由题可知，函数f (x )在R 上单调递增，所以9－3m >0，解得m <3. 又m ∈N *，所以m ＝1，2.又函数图象关于原点对称，所以9－3m 为奇数，故m ＝2.所以f (x )＝x 3. (2)因为f (a ＋1)＋f (3a －4)<0， 所以f (a ＋1)<－f (3a －4)．因为f (x )为奇函数，所以f (a ＋1)<f (4－3a )． 又函数在R 上单调递增，所以a ＋1<4－3a . 所以a <34.所以a 的取值范围是(－∞，34)．C 探索创新练15．(多选题)已知幂函数f (x )＝x m n(m ，n ∈N *，m ，n 互质)，下列关于f (x )的结论正确的是( )A ．m ，n 是奇数时，f (x )是奇函数B ．m 是偶数，n 是奇数时，f (x )是偶函数C ．m 是奇数，n 是偶数时，f (x )是偶函数D ．0<mn <1时，f (x )在(0，＋∞)上是减函数解析：AB f (x )＝x m n＝nx m ，当m ，n 是奇数时，f (x )是奇函数，故A 中的结论正确；当m 是偶数，n 是奇数时，f (x )是偶函数，故B 中的结论正确；当m 是奇数，n 是偶数时，f (x )在x <0时无意义，故C 中的结论错误；当0<mn <1时，f (x )在(0，＋∞)上是增函数，故D 中的结论错误．故选AB ．。