高三数学一轮复习精品学案：识图与辨图

三角函数的图像与性质先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，再沿x 轴向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移ωϕ||个单位，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。

5．由y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象求其函数式：给出图象确定解析式y =A sin （ωx +ϕ）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－ωϕ，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准．．第一个零点的位置。

6．对称轴与对称中心：sin y x =的对称轴为2x k ππ=+，对称中心为(,0) k k Z π∈；cos y x =的对称轴为x k π=，对称中心为2(,0)k ππ+；对于sin()y A x ωφ=+和cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。

7．求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A 、ω的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；8．求三角函数的周期的常用方法：经过恒等变形化成“sin()y A x ωφ=+、cos()y A x ωφ=+”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。

9．五点法作y =A sin （ωx +ϕ）的简图： 五点取法是设x =ωx +ϕ，由x 取0、2π、π、2π3、2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图。

二．典例分析考点一：三角函数的定义域与值域典题导入(1)(2013·湛江调研)函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为________．(2)函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )A ． B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，－1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，54(1)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，∴2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z ，∴函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .(2)y ＝sin 2x ＋sin x －1，令sin x ＝t ，则有y ＝t 2＋t －1，t ∈，画出函数图象如图所示，从图象可以看出，当t ＝－12及t ＝1时，函数取最值，代入y ＝t 2＋t －1可得y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1.(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z (2)C若本例(2)中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，试求其值域．解：令t ＝sin x ，则t ∈．∴y ＝t 2＋t －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－54.∴y ∈．∴函数的值域为．由题悟法1．求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法： (1)利用sin x 、cos x 的值域；(2)形式复杂的函数应化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(如本例以题试法(2))；(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在给定区间上的值域(最值)问题(如例1(2))．以题试法1． (1)函数y ＝2＋log 12x ＋tan x 的定义域为________．(2)(2012·山西考前适应性训练)函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，332D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，3解析：(1)要使函数有意义则⎩⎪⎨⎪⎧2＋log 12x ≥0，x >0，tan x ≥0，x ≠k π＋π2，k ∈Z ⇒⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤4，k π≤x <k π＋π2k ∈Z .利用数轴可得 函数的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0<x <π2，或π≤x ≤4.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，故3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3即此时函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3. 答案：(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0<x <π2，或π≤x ≤4 (2)B考点二：三角函数的单调性典题导入(2012·华南师大附中模拟)已知函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ，求：(1)函数的周期；(2)求函数在上的单调递减区间．由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 可化为y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. (1)周期T ＝2πω＝2π2＝π.(2)令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .所以x ∈R 时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－2x 的减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .从而x ∈时， y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－7π12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，0.由题悟法求三角函数的单调区间时应注意以下几点：(1)形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的函数的单调区间，基本思路是把ωx ＋φ看作是一个整体，由－π2＋2k π≤ωx ＋φ≤π2＋2k π(k ∈Z )求得函数的增区间，由π2＋2k π≤ωx ＋φ≤3π2＋2k π(k ∈Z )求得函数的减区间．(2)形如y ＝A sin(－ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的函数，可先利用诱导公式把x 的系数变为正数，得到y ＝－A sin(ωx －φ)，由－π2＋2k π≤ωx －φ≤π2＋2k π(k ∈Z )得到函数的减区间，由π2＋2k π≤ωx －φ≤3π2＋2k π(k ∈Z )得到函数的增区间．(3)对于y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)等，函数的单调区间求法与y ＝A sin(ωx ＋φ)类似．以题试法2．(1)函数y ＝|tan x |的增区间为________．(2)已知函数f (x )＝sin x ＋3cos x ，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，则a ，b ，c的大小关系是( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a解析：(1)作出y ＝|tan x |的图象，观察图象可知，y ＝|tan x |的增区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π，k π＋π2，k ∈Z . (2)f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，因为函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上单调递增，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，而c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin2π3＝2sin π3＝f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7， 所以c <a <b .答案：(1)⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π，k π＋π2，k ∈Z (2)B考点三：三角函数的周期性与奇偶性典题导入(2012·广州调研)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2(x ∈R )，给出下面四个命题：①函数f (x )的最小正周期为π；②函数f (x )是偶函数；③函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称；④函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数．其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2＝－cos 2x ，则其最小正周期为π，故①正确；易知函数f (x )是偶函数，②正确；由f (x )＝－cos 2x 的图象可知，函数f (x )的图象不关于直线x ＝π4对称，③错误；由f (x )的图象易知函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，故④正确．综上可知，选C.C由题悟法1．三角函数的奇偶性的判断技巧首先要对函数的解析式进行恒等变换，再根据定义、诱导公式去判断所求三角函数的奇偶性；也可以根据图象做判断．2．求三角函数周期的方法 (1)利用周期函数的定义；(2)利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|； (3)利用图象． 3．三角函数的对称性正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用．以题试法3．(1)(2013·青岛模拟)下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2(2)(2012·遵义模拟)若函数f (x )＝sin ax ＋cos ax (a >0)的最小正周期为1，则它的图象的一个对称中心为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，0B ．(0,0)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－18，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫18，0 解析：(1)选A 对于选项A ，注意到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x 的周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上是减函数．(2)选C 由条件得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋π4，又函数的最小正周期为1，故2πa ＝1，∴a＝2π，故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πx ＋π4.将x ＝－18代入得函数值为0.板书设计 三角函数的图像与性质1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像2．三角函数的单调区间3．函数Bx A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA 4．对称轴与对称中心 5．五点法作图教学三角函数的图像与性质是三角函数的重点知识之一，复习时，要让学生熟练记忆三角函数的图。

§8.2 空间点、直线、平面之间的位置关系知识梳理1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． (2)公理2：过 的三点，有且只有一个平面．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们 过该点的公共直线． 2．空间点、直线、平面之间的位置关系a ∥ba ∥αα∥βa ∩b ＝Aa ∩α＝Aα∩β＝la ，b 是异面直线a ⊂α3.平行公理：平行于同一条直线的两条直线 ．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 ． 4．异面直线所成的角(1)定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的 叫做异面直线a 与b 所成的角． (2)范围：⎝⎛⎦⎤0，π2. 学情自测1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个平面α，β有一个公共点A ，就说α，β相交于过A 点的任意一条直线．( ) (2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．( ) (3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．( )(4)若直线a 不平行于平面α，且a ⊄α，则α内的所有直线与a 异面．( )2．如图所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，则异面直线B 1C 与EF 所成的角的大小为( )A．30°B．45°C．60°D．90°3．在下列命题中，不是公理的是()A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线4．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是________.题型突破考向1 平面的基本性质例1如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．规律方法1.证明线共面或点共面的常用方法：(1)直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面．(2)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．(3)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．2．证明点共线问题的常用方法：(1)基本性质法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据基本性质3证明这些点都在这两个平面的交线上．(2)纳入直线法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上．变式训练1如图所示，四边形ABEF和ABCD都是梯形，BC 12AD，BE12F A，G，H分别为F A，FD的中点．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？考向2 空间直线的位置关系例2(1)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是()A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交(2)在图中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．① ② ③ ④规律方法1.异面直线的判定方法：(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．(2)定理：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过点B 的直线是异面直线． 2．点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系．变式训练2 a ，b ，c 表示不同的直线，M 表示平面，给出四个命题：①若a ∥M ，b ∥M ，则a ∥b 或a ，b 相交或a ，b 异面；②若b ⊂M ，a ∥b ，则a ∥M ；③若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ；④若a ⊥M ，b ⊥M ，则a ∥b .其中正确的为( ) A ．①④ B ．②③ C ．③④D ．①②考向3 异面直线所成的角例3 (1)如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( )A.15B.25C.35D.45(2)平面α过正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m ，n 所成角的正弦值为( ) A.32 B.22C.33D.13规律方法1.求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．2．求异面直线所成角的三个步骤：(1)作：通过作平行线，得到相交直线的夹角．(2)证：证明相交直线夹角为异面直线所成的角．(3)求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．变式训练3如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________.思想与方法1．主要题型的解题方法(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”)．(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上．2．判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．3．求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为相交直线的夹角，体现了转化与化归思想．易错与防范1．异面直线不同在任何一个平面内，不能错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线．2．直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”．3．两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角．——★参考答案★——知识梳理1．(1)两点(2)不在一条直线上(3)有且只有一条3.互相平行相等或互补4．(1)锐角(或直角)学情自测1．『答案』(1)×(2)√(3)×(4)×2．『答案』C『解析』连接B1D1，D1C(图略)，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求的角，又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°.3．『答案』A『解析』A不是公理，是个常用的结论，需经过推理论证；B，C，D是平面的基本性质公理．4．『答案』A『解析』由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A.5．『答案』b与α相交或b⊂α或b∥α题型突破考向1 平面的基本性质例1证明：(1)如图，连接EF，CD1，A1B.∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥BA1.4分又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F四点共面.6分(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈直线CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.10分同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点.15分变式训练1(1)证明：由已知FG＝GA，FH＝HD，得GH 12AD.又BC 12AD，∴GH BC，∴四边形BCHG是平行四边形.(2)C，D，F，E四点共面，理由如下：由BE 12AF，G为F A的中点知BE GF，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.由(1)知BG∥CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面．又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面.考向2 空间直线的位置关系例2 『答案』(1)D(2)②④『解析』(1)由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交．(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH 与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面，所以在图②④中，GH与MN异面．』变式训练2『答案』A『解析』对于①，当a∥M，b∥M时，则a与b平行、相交或异面，①为真命题．②中，b⊂M，a∥b，则a∥M或a⊂M，②为假命题．命题③中，a与b相交、平行或异面，③为假命题．由线面垂直的性质，命题④为真命题，所以①④为真命题．考向3 异面直线所成的角例3『答案』(1)D(2)A『解析』(1)连接BC1，易证BC1∥AD1，则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角．连接A1C1，由AB＝1，AA1＝2，则A 1C 1＝2，A 1B ＝BC 1＝5， 在△A 1BC 1中，由余弦定理得 cos ∠A 1BC 1＝5＋5－22×5×5＝45.(2)设平面CB 1D 1∩平面ABCD ＝m 1.∵平面α∥平面CB 1D 1，∴m 1∥m .又平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，且平面CB 1D 1∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1， ∴B 1D 1∥m 1，∴B 1D 1∥m . ∵平面ABB 1A 1∥平面DCC 1D 1， 且平面CB 1D 1∩平面DCC 1D 1＝CD 1， 同理可证CD 1∥n .因此直线m 与n 所成的角与直线B 1D 1与CD 1所成的角相等，即∠CD 1B 1为m ，n 所成的角． 在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，△CB 1D 1是正三角形， 故直线B 1D 1与CD 1所成角为60°，其正弦值为32.』 变式训练3 『答案』2『解析』取圆柱下底面弧AB 的另一中点D ，连接C 1D ，AD ， 则因为C 是圆柱下底面弧AB 的中点，所以AD ∥BC ，所以直线AC 1与AD 所成角等于异面直线AC 1与BC 所成角，因为C 1是圆柱上底面弧A 1B 1的中点，所以C 1D ⊥圆柱下底面，所以C 1D ⊥AD . 因为圆柱的轴截面ABB 1A 1是正方形， 所以C 1D ＝2AD ，所以直线AC 1与AD 所成角的正切值为2， 所以异面直线AC 1与BC 所成角的正切值为 2.。

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（通用版）高三数学一轮（全册）精品导学案汇总《二倍角的三角函数》活动导学案【学习目标】1.能熟练运用两角和与差公式，二倍角公式求三角函数值；2.三角函数求值类型：“给角求值”，“给值求值”，“给值求角” 【重难点】灵活运用公式求值化简 【课时安排】1课时 【活动过程】 一.自学质疑： 1.化简：sin sin 21cos cos 2αααα+=++___________ ．2．已知tan32α=，则cos α=________．3．写出下列各式的值：（1）2sin15cos15︒︒=_________；（2）22cos 15sin 15︒-︒=_________；（3）22sin 151︒-=_____ ____； （4）22sin 15cos 15︒+︒=______ ___．4．求值：（1）1tan151tan15-︒=+︒_______； （2）5cos cos 1212ππ=______ ___．5.化简：(cos sin )(cos sin )(1tan tan )22222θθθθθθ+-+=____ ___． 探究一1.已知)2,2(,54sin ππαα-∈-=，则=α2sin . 2.若),0(,31cos sin π∈=+x x x ，则=-x x cos sin .3.若53)2sin(=+θπ，则=θ2cos .4.设向量)22,(cos α=→a 的模为23，则=α2cos .探究二1.化简（1）θθθθθcos 22)2cos 2)(sincos sin 1(+-++.（2）βαβαβα2cos 2cos 21cos cos sin sin 2222-+2.已知1413)cos(,71cos =-=βαα，且20παβ<<<. （1）求α2tan 的值；（2）求β∠的值.3.已知函数x x x f 2cos 3)4(sin 2)(2--=π.（1）求)(x f 的最小正周期和单调减区间； （2）若2)(+<m x f 在]6,0[π上恒成立，求实数m 的取值范围.探究三1.若4tan 1tan =+θθ，则=θ2sin . 2.已知向量)4,3(),cos ,(sin -==→→b a θθ，若→→b a //，则=θ2tan .3.设α为锐角，若54)6cos(=+πα，则=+)122sin(πα .4.若)2,0(πα∈，且412cos sin 2=+αα，则=αtan .5. （1）若3cos()45x π+=，177124x ππ<<，求2sin 22sin 1tan x x x +-的值．6.已知函数2()2cos cos()3sin cos 6f x x x x x x π=-+．（1）求()f x 的最小正周期； （2）设]2,3[ππ-∈x ，求()f x 的值域．探究四 1．若α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α的值为________．2.创新题设函数f (x )＝sin x ＋cos x ，f ′(x )是f (x )的导数，若f (x )＝2f ′(x )，则sin 2x －sin 2xcos 2x＝______. 3．若锐角α，β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________. 4.如图，点A ，B 是单位圆上的两点，A ，B 两点分别在第一、二象限，点C 是圆与x 轴正半轴的交点，△AOB 是正三角形，若点A 的坐标为(35，45)，记∠COA ＝α.(1)求1＋sin2α1＋cos2α的值；(2)求|BC |2的值．《三角函数的概念》活动导学案【学习目标】1、 理解任意角和弧度的概念，能正确进行弧度与角度的换算；2、 理解任意角的正弦、余弦、正切的定义.3、掌握判断三角函数值的符号的规律，熟记特殊角的三角函数值． 【重难点】任意角三角函数定义 【课时安排】1课时 【活动过程】 一、自学质疑终边相同的角：所有与角α终边相同的角的集合弧度角度的换算：360°＝ 弧度；180°＝ 弧度；②弧长公式： ③扇形面积公式 三角函数定义：设α是一个任意角，它的终边上一点P (x ，y )（不同于原点），则sin α＝ ，cos α＝ ，tan α＝ ．1． 885-化成2(02,)k k Z πααπ+≤≤∈的形式是 ．2．已知α为第三象限角，则2α所在的象限是 ．3．已知扇形的周长为6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是______________． 4．已知角α的终边过点(5,12)P -，则cos α= ， tan α= ． 5．若sin cos 0θθ⋅>，则θ在第_____________象限． 二、互动研讨：探究一1. 若角α是第二象限角，则sin 2α，cos2α，sin 2α，cos2α，tan2α中能确定是正值的有__ 个．2.若角θ的终边与168°角的终边相同，则在0°～360°内终边与θ3角的终边相同的角的集合为__________． 3.tan(3)sin 5cos8-的符号为 ．4.一扇形的周长为20cm ，当扇形的圆心角α等于多少时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？探究二 1.角α的终边过点)2,1(-，则=αsin .2.已知扇形的周长是cm 6，面积是22cm ，则此扇形的圆心角的弧度数是 . 3.已知角α的终边经过点)0)(12,5(<-m m m ，则=+ααcos 3sin . 4.已知角α的终边在直线x y 3=上，则=αcos . 5.已知α是第一象限角，问：（1）α2是第几象限角？（2）2α是第几象限角？ 6.已知542cos ,532sin-==αα，试判断角α的终边在第几象限？7.若一扇形的周长是cm 16，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？最大值为多少？8.已知角α是第二象限角，且点)5,(x P 是角α终边上一点，且x 42cos =α，求αsin 的值.探究三1.已知角θ的终边上一点)2,(-m P ，且4=OP ，则=θtan .2.已知角α的终边经过点)2,93(+-a a ，若0sin ,0cos >≤αα，则实数a 的取值范围是 .3.函数x y sin lg =的定义域为 .4.若xx --=432cos α，且角α是第二或第三象限角，则实数x 的取值范围是 .5.已知角α终边上一点),3(y P -，且y 42sin =α，求αcos 和αtan .6.已知0tan ,0sin ><αα. （1）求角α的取值集合； （2）求角2α所在的象限；（3）是判断2cos2sin2tanααα的符号.探究四（1）已知角α的终边经过一点(4,3)(0)P a a a -≠，求2sin cos αα+的值； （2）已知角α的终边在一条直线3y x =上，求sin α，tan α的值． (3)已知角α的始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线y ＝kx 上，若sin α＝25， 且cos α<0，求k 的值．(4)如图,O 为坐标原点,点,,A B C 均在O Θ上,点A 34(,)55,点B 在第二象限,点C (1,0). （Ⅰ）设COA θ∠=,求sin 2θ的值；（Ⅱ）若AOB ∆为等边三角形,求点B 的坐标.检测反馈1．如图所示，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是________．2．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是________．3．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范O xyCAB围是________．4．在与2 010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为________．5．(2014·南京期末)已知角α 的终边经过点P (x ，－6)，且tan α＝－35，则x 的值为________．6．(2014·扬州质检)已知sin α＝13，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan α＝______. 《三角函数的图像与性质》活动导学案【学习目标】1.理解三角函数sin y x =，cos y x =，tan y x =的性质，进一步学会研究形如函数sin()y A x ωϕ=+的性质；2.在解题中体现化归的数学思想方法，利用三角恒等变形转化为一个角的三角函数来研究．【重难点】简单三角函数的图像与性质 【课时安排】1课时 【活动过程】 一、自学质疑1. 在()π2,0内，使x x cos sin >成立的x 取值范围为____________________．2．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的定义域是________． 3．(2013·南京三模)函数y ＝sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4≤x ≤3π4的值域是________．4．函数y ＝|sin x |的单调增区间是________．5．(2013·天津高考)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为________． 探究一1. (1)、求函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域（2）、求函数y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域2.求下列函数的单调递减区间：(1)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4； (2)y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x .3.(2013·苏北四市联考)若函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，2π3上单调递增，则ω的最大值为______．4.(2013·扬州期末)已知函数f (x )＝－2sin 2x ＋23sin x ·cos x ＋1.(1)求f (x )的最小正周期及对称中心；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3时，求f (x )的最大值和最小值．探究二1.函数)32sin(π+=x y 的单调增区间为 .1.函数)62tan(π-=x y 的定义域为 . 2.函数)32cos(π+=x y 在区间]6,3[ππ-上的值域为 . 3.函数)2sin(5θ+=x y 关于y 轴对称，则=θ . 4.函数2251cos )(xx x f -+=的定义域为______________5.求函数44,sin 2cos 2ππ≤≤-+=x x a x y 的值域.探究三 5.函数x y 21sin=的图象的对称轴方程为 .6.函数)32sin(π+=x y 的图象离y 轴最近的一条对称轴为 .7.函数x y sin =与x y tan =的图象在]2,0[π上的交点个数是 .4.函数x x y cos 2sin 2+=在区间],32[θπ-上的最大值为1，则θ的最小值为 . 5已知向量)sin ,41(),cos ,1(x b x a -==→→.（1）当]4,0[π∈x 时，若→→⊥b a ，求x 的值；（2）定义函数R x b a a x f ∈-⋅=→→→),()(，求)(x f 最小正周期及最大值.6.已知函数1cos sin 2cos 2)(2++-=x x x x f ，(R x ∈)． （Ⅰ）求函数 ()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数 ()f x 的最大值，并求此时自变量x 的集合7.已知A 、B 、C 三点的坐标分别为)0,3(A 、)3,0(B 、).23,2(),sin ,(cos ππααα∈C （1）若α求角|,|||BC AC =的值；（2）若.tan 12sin sin 2,12的值求ααα++-=⋅BC AC探究四1．(2014·常州统考)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ≤π2的单调增区间是________． 2．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)的最小正周期为π，则f (x )的单调递增区间为________． 3．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调减区间为________．4．(2013·南京二模)对函数f (x )＝x sin x ，现有下列命题：(1)函数f (x )是偶函数；(2)函数f (x )的最小正周期是2π；(3)点(π，0)是函数f (x )的图像的一个对称中心；(4)函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上单调递减．其中是真命题的是________(填序号)．5.已知函数()cos cos(),2f x x x x R π=++∈ （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 的单调增区间；（Ⅲ）若3()4f α=，求sin2α的值6. ．已知向量(1sin 2,sin cos )a x x x =+-，(1,sin cos )b x x =+，函数()f x a b =⋅． （Ⅰ）求()f x 的最大值及相应的x 的值；（Ⅱ）若8()5f θ=，求πcos 224θ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． 《导数的概念及其运算》活动导学案【学习目标】5.会用导数定义、导数公式以及导数运算法则求函数的导数；2、会根据导数的几何意义求有关切线的问题.【重难点】导数的几何意义【课时安排】1课时【活动过程】一、自学质疑1．已知物体的运动方程为s ＝t 2＋3t(t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝2时的速度为________．2．设y ＝x 2·e x ，则y ′＝______________.3．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.4．若函数f (x )＝e x ＋a e －x 的导函数是奇函数，并且曲线y ＝f (x )的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标是________．5．已知函数f (x )＝f ′(π4)cos x ＋sin x ，则f (π4)＝________. 二、互动研讨：探究点一 求函数的导数利用导数的定义求函数的导数：(1)f (x )＝1x 在x ＝1处的导数；探究点二 导数的运算求下列函数的导数：(1)y ＝(1－x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ； (2)y ＝ln x x； (3)y ＝x e x ； (3)y ＝tan x .(4)y ＝e x ·cos x ； (5)y ＝x －sin x 2cos x 2； 变式：求下列函数的导数：(1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝3x e x －2x ＋e ；(3)y ＝ln x x 2＋1.(3)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________.探究点三 导数的几何意义8.(2013·广东卷)若曲线y ＝kx ＋ln x 在点(1，k )处的切线平行于x 轴，则k ＝________.9.设f (x )＝x ln x ＋1，若f ′(x 0)＝2，则f (x )在点(x 0，y 0)处的切线方程为____________________．【训练2】 (1)(2012·新课标全国卷)曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为____________________．(3)若函数f (x )＝e xcos x ，则此函数图象在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为________(锐角、直角、钝角)．探究点四、导数运算与导数几何意义的应用1、已知曲线y ＝13x 3＋43. (1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2,4)的切线方程；(3)求满足斜率为1的曲线的切线方程．2、设l 为曲线C ：y ＝ln x x在点(1,0)处的切线． (1)求l 的方程；(2)试证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线l 的下方．变式：某物体在t （单位：s ）时离出发点的距离（单位：m ）是t t t t f 232)(23++=. （3）求在第s 1内的平均速度；（2）求在s 1末的瞬时速度；（3）经过多少时间物体的运动速度达到14s m /.检测反馈1.曲线x e y =在点),2(2e 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 .2.已知函数221)0()(x x f e x f x +-=，则=)1('f .3.已知函数14)(+=x xe e xf ，则)(x f 的导函数)('x f 的值域为 .4.设P 是函数)1(+=x x y 图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线倾斜角为θ，则θ的取值范围是 .5、若存在过点O (0,0)的直线l 与曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切，则a 的值是________．6、函数y ＝ln x (x >0)的图象与直线y ＝12x ＋a 相切，则a 等于________． 《导数的应用—单调性》活动导学案【学习目标】5.会利用导数求函数的单调区间；6.会根据函数的单调性,结合导数求一些参数的取值范围；7.能够将函数的单调性问题转化为一些不等式恒成立问题.【重难点】能够利用导数与函数单调性的关系，求参数的取值范围.【课时安排】1课时【活动过程】一、自学质疑（4）函数6331523+--=x x x y 的单调减区间为 .（5）已知函数x b x y ln 21+-=在区间),1(+∞上是减函数，则实数b 的取值范围是 .（6）已知函数)(x f 的导函数x x x f 3)('2+-=，则函数)(x f 的单调增区间为 .（7）已知函数x x x f +=3)(，若20π≤<x 时，0)1()cos (>-+x f m f θ恒成立，则实数m 的取值范围是 .二、互动研讨：1.求下列函数的单调区间（1）x e x x f )3()(-=；（2）x x x f ln 22)(2-=.议一议：（1）函数611531)(23+--=x x x x f 的单调减区间为 .（2）函数x e x x x f )1()(2++=的单调减区间为 .(2)已知函数1)(3--=ax x x f .（1）若3=a 时，求)(x f 的单调区间；（2）若函数在实数集R 上单调递增，求实数a 的取值范围；（3）是否存在实数a ，使得函数)(x f 在)1,1(-上单调递减？若存在，求出其范围；若不存在，请说明理由.3、(2013·广东卷改编)设函数f (x )＝(x －1)e x －kx 2.(1)当k ＝1时，求函数f (x )的单调增区间；(2)若f (x )在x ∈[0，＋∞)上是增函数，求实数k 的取值范围．4、已知函数x a ax x x f ln )1(21)(2-+-=，其中1>a ，是讨论函数的单调性.5、 已知函数f (x )＝x 3－ax 2－3x .(1)若f (x )在[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围；(2)若x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )的单调区间．三、检测反馈6.函数],0[,cos 3sin )(π∈-=x x x x f 的单调增区间为 .7.函数)0(ln 2)(2<+=a x a x x f 的单调减区间为 .8.若函数a x ax x y 23123-+-=在R 上不是单调函数，则实数a 的取值范围是 .9.已知函数x xax x f ln 21)(--=在),0(+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是 .5、已知函数R x kx e x f x ∈-=,)(.若e k =，试确定函数)(x f 的单调增区间； 《导数的应用—极值、最值》活动导学案【学习目标】10.会用导数研究函数的极值和最值；11.会求函数的极值和最值.【重难点】掌握求函数极值和最值的的一般方法.【课时安排】1课时【活动过程】一、自学质疑（8）函数x x y 22-=在R 上有极 值，该值的大小为 .（9）函数1112)(3+-=x x x f 的极小值为 .（10）函数x ax x x f 2)(23++=的极值点有两个，则实数a 的取值范围是 .（11）函数]2,2[,cos 21ππ-∈+=x x y 的最大值为 .二、互动研讨求函数8235323+-=x x y 的极值小组讨论一、 利用导数研究函数的极值1、设函数2312)(bx ax e x x f x ++=-，已知2-=x 和1=x 为)(x f 的极值点，求a 和b 的值.(2)已知函数x b ax x f ln )(2+=在1=x 处有极值21.求a 和b 的值.2、设f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴．(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的极值．小组讨论二、 利用导数求函数的最值1、 (2012·重庆卷)已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c 在x ＝2处取得极值为c －16.(1)求a ，b 的值；(2)若f (x )有极大值28，求f (x )在[－3,3]上的最小值．2、 设函数f (x )＝x ＋ax 2＋b ln x ，曲线y ＝f (x )过P (1,0)，且在P 点处的切线斜率为2.(1)求a ，b 的值；(2)令g (x )＝f (x )－2x ＋2，求g (x )在定义域上的最值．3.已知函数x ax x x f 3)(23+-=.8.若)(x f 在),1[+∞上是单调增函数，求实数a 的取值范围；9.若3=x 是函数)(x f 的极值点，求)(x f 在区间],1[a 上的最值.4.已知函数c bx ax x x f +++=23)(在1=x 和32-=x 时都取得极值. (2)求b a ,的值； (3)若23)1(=-f ，求)(x f 的极值； (4)若对于]2,1[-∈∀x 都有c x f 3)(<恒成立，求c 的取值范围.三、检测反馈(3)函数93)(23-++=x ax x x f 在3-=x 时取得极值，则=a .(4)函数)(x f 的导函数x x x f 4)('2-=，则函数)(x f 取得极大值的=x .(5)函数],0[,sin 21)(π∈-=x x x x f 的值域为 .(6)已知函数)(x f 的导函数为))(1()('a x x a x f -+=，若)(x f 在a x =处取得极大值，则实数a 的取值范围是 .6、],0[,cos 3sin )(π∈-=x x x x f 的单调增区间为 .7、函数)0(ln 2)(2<+=a x a x x f 的单调减区间为 .8、若函数a x ax x y 23123-+-=在R 上不是单调函数，则实数a 的取值范围是8、已知函数x xax x f ln 21)(--=在),0(+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是 . 《导数的综合应用》活动导学案【学习目标】（12）理解导数的几何意义;掌握导数在研究函数单调性、极值、最值方面的应用；（13）会解决导数与函数、数列、不等式的综合应用问题.【重难点】导数与函数、数列、不等式的综合应用问题.【课时安排】1课时【活动过程】(5)自学质疑1．曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为________．2．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为________．3．曲线y ＝e x 在点A 处的切线与直线x －y ＋3＝0平行，则点A 的坐标为________．4．已知函数f (x )＝2ln x －xf ′(1)，则曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程是_______．（3）函数11)(-=x x f 在)1,2(处切线与坐标轴围成的三角形面积为 .（4）设函数c x x x x f 81292)(23++-=，对任意]3,0[∈x 都有2)(c x f <成立，则实数c的取值范围是 .7、关于x 的方程0323=--a x x 有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是二、互动研讨【活动一】1、 已知函数f (x )＝e x －ln(x ＋m )．(1)设x ＝0是f (x )的极值点，求m ，并讨论f (x )的单调性；(2)当m ≤2时，证明f (x )>0.【训练1】 已知函数f (x )＝a (x 2＋1)＋ln x .(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若对任意a ∈(－4，－2)及x ∈[1,3]，恒有ma －f (x )>a 2成立，求实数m 的取值范围．【活动二】 1.设函数a x x x x f -+-=629)(23. 10.对于任意实数x ，m x f ≥)('恒成立，求实数m 的取值范围；11.若方程0)(=x f 有且仅有一个实数根，求实数a 的取值范围.2.已知函数c bx ax x x f +++=23)(，曲线)(x f y =在点1=x 处的切线为013:=+-y x l ，若32=x 时，)(x f y =有极值. 12.求实数c b a ,,的值；（2）求)(x f y =在]1,3[-上的最大值和最小值.三、检测反馈1.函数xx x y )12)(1(2-+=在2=x 的导数为 .(7)已知函数12323-+=x x y 在区间)0,2(m 内为减函数，则实数m 的取值范围是 .(8)曲线2(1)1()e (0)e 2x f f x f x x '=-+在点(1，f (1))处的切线方程为 ．(9)已知函数xm x x f -=ln )(（R m ∈）在区间],1[e 上取得最小值4，则=m ．5．若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于________．9、若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．10.(2014·广州模拟)已知e 是自然对数的底数，函数f (x )＝e x＋x －2的零点为a ，函数g (x )＝ln x ＋x －2的零点为b ，则f (a )，f (1)，f (b )的大小关系是________．11.若曲线f (x )＝ax 2＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．9．若曲线y ＝2x －x 3在横坐标为－1的点处的切线为l ，则点P (3,2)到直线l 的距离为________． 《函数sin()y A x ωϕ=+的图像及简单应用》活动导学案【学习目标】1.能画出正弦函数，余弦函数，正切函数的图像，借助图像理解正弦函数，余弦函数的性质；2.了解函数sin()y A x ωϕ=+的实际意义，能画出sin()y A x ωϕ=+的图像；3.了解函数的周期性，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．【重难点】图像的变换及由图求解析式【课时安排】1课时【活动过程】 一、自学质疑 1．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的振幅、频率和初相分别为__________． 2．把y ＝sin 12x 的图像上点的横坐标变为原来的2倍得到y ＝sin ωx 的图像，则ω 的值为________．3．要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图像，只要将函数y ＝cos 2x 的图像至少向左平移__________个单位．探究一1.（1）.(2013·四川高考改编)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图像如图所示，则ω＋φ的值是________．（2）．(2013·苏北四市三调)若函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的部分图像如图所示，则ω的值为________．(3)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图像如图所示，则ω＝____________.(4)将函数y ＝2sin π3x 的图像上每一点向右平移1个单位长度，再将所得图像上每一点的横坐标扩大为原来的π3倍(纵坐标保持不变)，得函数y ＝f (x )的图像，则f (x )的解析式为____________．探究二1.将函数y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)的图像向左平移π6个单位长度后，所得的函数恰好是偶函数，则φ的值为________.2.已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4，x ∈R . (1)画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图；(2)将函数y ＝sin x 的图像作怎样的变换可得到f (x )的图像？3.已知函数f (x )＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4c os ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)．(1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图像向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图像，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．检测反馈1、（2010江苏卷）定义在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛20π,上的函数y=6cosx 的图像与y=5tanx 的图像的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与y=sinx 的图像交于点P 2,则线段P 1P 2的长____。

§3.2 导数与函数的单调性、极值、最值第2课时导数与函数的极值、最值知识梳理1.函数的极值函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧________，右侧________，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧________，右侧_______，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值．2.函数的最值(1)在闭区间『a，b』上连续的函数f(x)在『a，b』上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在『a，b』上单调递增，则________为函数的最小值，________为函数的最大值；若函数f(x)在『a，b』上单调递减，则________为函数的最大值，________为函数的最小值．要点整合1.辨明两个易误点(1)求函数极值时，误把导数为0的点作为极值点；(2)易混极值与最值，注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念．2.明确两个条件一是f′(x)>0在(a，b)上成立，是f(x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件．二是对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．双基自测1.函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A．无极大值点、有四个极小值点B．有三个极大值点、一个极小值点C．有两个极大值点、两个极小值点D．有四个极大值点、无极小值点2.设函数f(x)＝x e x，则()A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点3.函数y＝ln x－x在x∈(0，e』上的最大值为()A．e B．1 C．－1 D．－e4.函数y＝2x3－2x2在区间『－1，2』上的最大值是________．5.已知x＝3是函数f(x)＝a ln x＋x2－10x的一个极值点，则实数a＝________．考点一函数的极值问题(高频考点)函数的极值是每年高考的热点，一般为中高档题，三种题型都有，高考对函数极值的考查主要有以下三个命题角度：(1)知图判断函数极值的情况；(2)已知函数解析式求极值；(3)已知函数极值求参数值．典例1：设函数f(x)＝ax3－2x2＋x＋c(a≥0)．(1)当a＝1，且函数图象过点(0，1)时，求函数的极小值；(2)若f(x)在(－∞，＋∞)上无极值点，求a的取值范围．规律方法运用导数求可导函数y＝f(x)的极值的步骤(1)先求函数的定义域，再求函数y＝f(x)的导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)检查f′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．如果左右符号相同，则此根处不是极值点．考点二函数的最值问题典例2 已知函数f(x)＝x－e ax(a>0)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在『1a ，2a』上的最大值．规律方法求函数f(x)在『a，b』上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a，b)内的极值；(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．考点三利用导数研究生活中的优化问题典例3：某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．规律方法利用导数解决生活中的优化问题的四步曲(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点处和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答.规范解答——利用导数求函数的最值问题典例已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a>0时，求函数f(x)在『1，2』上的最小值．——★参考答案★——知识梳理1. f′(x)＜0、f′(x)＞0、f′(x)＞0、f′(x)＜02. (2) f (a )、 f (b )、 f (a )、 f (b )双基自测1. C『解析』设f ′(x )的图象与x 轴的4个交点从左至右依次为x 1、x 2、x 3、x 4.当x <x 1时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，当x 1<x <x 2时，f ′(x )<0，f (x )为减函数，则x ＝x 1为极大值点，同理，x ＝x 3为极大值点，x ＝x 2，x ＝x 4为极小值点，故选C.2. D『解析』求导得f ′(x )＝e x ＋x e x ＝e x (x ＋1)，令f ′(x )＝e x (x ＋1)＝0，解得x ＝－1，易知x ＝－1是函数f (x )的极小值点，所以选D.3. C『解析』函数y ＝ln x －x 的定义域为(0，＋∞)，又y ′＝1x －1＝ 1−x x ，令y ′＝0得x ＝1，当x ∈(0，1)时，y ′>0，函数单调递增；当x ∈(1，e)时，y ′<0，函数单调递减．当x ＝1时，函数取得最大值－1.4. 8『解析』y ′＝6x 2－4x ，令y ′＝0，得x ＝0或x ＝ 23. 因为f (－1)＝－4，f (0)＝0，f (23)＝－827，f (2)＝8. 所以最大值为8.5.12『解析』f ′(x )＝ a x ＋2x －10，由f ′(3)＝a 3＋6－10＝0， 得a ＝12，经检验满足条件．典例1： 解 f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1.(1)函数图象过点(0，1)时，有f (0)＝c ＝1.当a ＝1时，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1，令f ′(x )>0，解得x < 13 ，或x >1；令f ′(x )<0，解得13 <x <1. 所以函数f (x )在(-∞，13)和(1，＋∞)上单调递增；在(13，1)上单调递减，极小值是f (1)＝13－2×12＋1＋1＝1.(2)若f (x )在(－∞，＋∞)上无极值点，则f (x )在(－∞，＋∞)上是单调函数，即f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立．①当a ＝0时，f ′(x )＝－4x ＋1，显然不满足条件；②当a >0时，f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立的充要条件是Δ＝(－4)2－4×3a ×1≤0，即16－12a ≤0，解得a ≥43. 综上，a 的取值范围为『43，＋∞).考点二 函数的最值问题典例2 解 (1)f (x )＝x －e ax (a >0)，则f ′(x )＝1－a e ax ，令f ′(x )＝1－a e ax ＝0，则x ＝1a ln 1a .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故函数f (x )的增区间为(－∞, 1a ln 1a )；减区间为( 1a ln 1a ,+∞).(2)当1a ln 1a ≥ 2a ，即0<a ≤21e 时， f (x )max ＝f (2a )＝ 2a －e 2，当1a < 1a ln 1a < 2a ， 即21e <a < 1e 时，f (x )max ＝f (1a ln 1a )＝ 1a ln 1a － 1a ， 当1a ln 1a ≤ 1a ，即a ≥ 1e 时，f (x )max ＝f (1a )＝ 1a －e.考点三 利用导数研究生活中的优化问题典例3：解(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh(元)，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．又根据题意200πrh＋160πr2＝12 000π，所以h＝15r(300－4r2)，从而V(r)＝πr2h＝π5(300r－4r3)．因为r>0，又由h>0可得r<5√3，故函数V(r)的定义域为(0，5 √3)．(2)因为V(r)＝π5(300r－4r3)，所以V′(r)＝π5(300－12r2)．令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(因为r2＝－5不在定义域内，舍去)．当r∈(0，5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0，5)上为增函数；当r∈(5，5√3)时，V′(r)<0，故V(r)在(5，5√3)上为减函数．由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8.即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．规范解答——利用导数求函数的最值问题典例解(1)f′(x)＝1x－a(x>0)，①当a≤0时，f′(x)＝1x－a>0，即函数f(x)的单调增区间为(0，＋∞)．②当a>0时，令f(x)＝1x －a＝0，可得x＝1a，当0<x< 1a 时，f′(x)＝1−axx>0；当x> 1a时，f′(x)＝1−axx<0，故函数f(x)的单调递增区间为(0, 1a』，单调递减区间为『1a, +∞).当ln 2≤a<1时，最小值为f(2)＝ln 2－2a.综上可知，当0<a<ln 2时，函数f(x)的最小值是－a；当a≥ln 2时，函数f(x)的最小值是ln 2－2a.。

高三一轮复习3.3 三角函数的图象和性质 学案【考纲传真】1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2内的单调性. 【知识扫描】知识点1 用五点法作图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)．知识点2 周期函数与最小正周期1．周期函数对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期． 2．最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．知识点3 三角函数的图象和性质1．必会结论 (1)对称与周期①正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14周期．②正切曲线相邻两对称中心之间的距离是一个周期． (2)奇偶性若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则①f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z)；②f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z)． 2．必知联系(1)对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质．(2)闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响． 【学情自测】1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)y ＝cos x 的图象介于直线y ＝－1和y ＝1之间．( ) (2)y ＝sin x 在第一、第二象限上是减函数．( )(3)常数函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期．( ) (4)y ＝tan x 在定义域内是增函数．( )2．(教材改编)函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为( )A.⎣⎡⎦⎤－32，32 B.⎣⎡⎦⎤－32，3 C.⎣⎡⎦⎤－332，332 D.⎣⎡⎦⎤－332，3 3．(2014·陕西高考)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6的最小正周期是( ) A.π2 B ．π C ．2πD ．4π4． y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的一个对称中心是( ) A ．(－π，0) B.⎝⎛⎭⎫－3π4，0 C.⎝⎛⎭⎫3π2，0D.⎝⎛⎭⎫π2，05．(2015·北京高考)已知函数f (x )＝sin x －23sin 2x2.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的最小值．参考答案1.【解析】 (1)正确．y ＝cos x 的值域为[－1,1]，故图象介于y ＝－1和y ＝1之间． (2)错误．y ＝sin x 在第二象限内为减函数，第一象限内为增函数． (3)正确．f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)，不存在最小正数T .(4)错误．y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π上为增函数，在整个定义域内无单调性． 【答案】 (1)√ (2)× (3)√ (4)×2.【解析】 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6， sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1，故3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，3，即f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－32，3. 【答案】 B3.【解析】 最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π.故选B.【答案】 B4.【解析】 ∵y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)(k ∈Z)，∴令x －π4＝k π(k ∈Z)，x ＝k π＋π4(k ∈Z)．由k ＝－1，x ＝－34π知y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫－3π4，0. 【答案】 B5.【解】 (1)因为f (x )＝sin x ＋3cos x － 3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3，所以f (x )的最小正周期为2π. (2)因为0≤x ≤2π3，所以π3≤x ＋π3≤π.当x ＋π3＝π，即x ＝2π3时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－ 3.。

2019年高考数学总复习

旋转体，多面体与直观图 考点一。旋转体，多面体 1．（1）用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( ) A．圆柱 B．圆锥 C．球体 D．圆柱、圆锥、球体的组合体 解 选C 由球的性质可知，用平面截球所得的截面都是圆面． （2）下列结论中正确的是( ) A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥、 B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥 D．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线 解 A错误．如图1所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥． B错误．如图2所示，若△ABC不是直角三角形，或是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体不是圆锥．

图2

图1 C错误．若六棱锥的所有棱都相等，则底面多边形是正六边形．但由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．故选D. （3）给出下列四个命题 ①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体； ③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥；④长方体一定是正四棱柱． 其中正确的命题个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 解 选A 反例 ①直平行六面体底面是菱形，满足条件但不是正棱柱；②底面是等腰梯形的直棱柱，满足条件但不是长方体；③若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，故③中不能组成正六棱锥；④显然错误。 （4）下列说法正确的是( ) A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥 D．棱台各侧棱的延长线交于一点 解 选D 由棱柱和棱锥的概念可知，A、B、C均错误．由于棱台是平行于棱锥底面的平面截棱锥，截面与底面之间的部分，故棱台各侧棱的延长线交于一点． B项. 如图，几何体满足了两个平面平行且其余各面都是平行四边形，但不能保证每相邻两个侧面的公共边互相平行．

第3课 三角函数的图象与性质（1）一、教学目标1．了解三角函数的周期性，理解三角函数)sin(ϕω+=x A y 、)cos(ϕω+=x A y 的周期为ωπ2=T 及tan()y A x ωφ=+的周期为T πω=； 2．能画出x y sin =，x y cos =，x y tan =的图象，并能根据图象理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质(如定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性、最值、对称性等) ．二、基础知识回顾与梳理 1、下列判断是否正确？ ①x x f sin )(=的周期是π； ②)32sin()(π+=x x f 的周期是2π； ③214sin )(+=x x f 的周期是4π． 【教学建议】本题主要是帮助学生复习、理解三角函数周期性的概念．（1）可以提出两个问题：①)sin(ϕω+=x A y ，)cos(ϕω+=x A y 的周期是什么？②加了绝对值之后，函数的图象有什么变化？（2）做完一二两题之后，学生可能会有一个感觉：加了绝对值之后，周期就要减半。

引导学生画第三题的图形去判断这个结论是否正确． 2、下列判断是否正确？ （1）)62sin(π+=x y 的单调增区间为Z k k k ∈++-],6,3[ππππ； (2) )62sin(π+-=x y 的单调增区间为Z k k k ∈---],3,6[ππππ；（3）)4tan(π+=x y 的单调增区间为Z k k k ∈++-],4,43[ππππ． 【教学建议】本题主要是求三角函数单调性．通过这一组判断题，可以帮助学生注意在求解三角函数单调性时的几个易错点。

求三角函数单调性时一般是将ϕω+x 看成一个整体放入正弦函数、余弦函数、正切函数的单调区间中．其中要注意ω的正负，如果是负的，需要如何处理，可以利用复合函数单调性来解释原因，还要注意正切函数的单调区间只能是开区间．3、关于函数x y 2cos 1+=的图象，下面说法正确的是______． （1）关于x 轴对称 （2）关于原点对称（3）关于点）（0,4π对称 （4）关于直线2π=x 对称【教学建议】本题可以从代数和几何两种方法入手．先引导学生利用五点作图法画图，从图象观察答案。