2018年高三最新 高三数学综合测试 精品

2018届高三数学寒假作业 综合试卷（3）数学Ⅰ满分160分，考试时间120分钟一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．已知集合{1,}A a =，{1,3,4}B =，且{1,3}A B = ，则实数a 的值为 ．2．i 是虚数单位，复数z 满足3ii 4iz -=，则||z ＝ ． 3．对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为200， 右图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长 度在区间[25，30）的为一等品，在区间[20，25）和[30，35）的为 二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为 ．4．某学校高三有A ，B 两个自习教室，甲、乙、丙三名同学随机选择其中一个 教室自习，则他们在同一自习教室上自习的概率为 ．5．执行如图所示的流程图，会输出一列数，则这列数中的第3个数是 ．6．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x +10，且它的一个焦点在直线l 上，则双曲线C 的方程为 ．7．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S 3－3S 2＝12，则数列{a n }的公差是 ． 8．已知一个圆锥的底面积为2π，侧面积为4π，则该圆锥的体积为 ． 9．在平面直角坐标系中，过原点O 的直线l 与曲线2ex y -=交于不同的两点A ，B ，分别过A ，B 作x 轴的垂线，与曲线y ＝ln x 分别交于点C ，D ，则直线CD 的斜率为 ． 10．若cos(π6－θ)＝33，则cos(5π6＋θ)－sin 2(θ－π6)＝ ．11．在△ABC 中，已知AC =4，C =4π，B ∈(4π，2π)，点D 在边BC 上，且AD =BD =3，则AB AD ⋅ = ．12．已知圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0，直线l ：34170x y +-=．若在直线l 上任取一点M 作圆C 的切线MA ，MB ，切点分别为A ，B ，则AB 的长度取最小值时直线AB 的方程为 ．13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2A C =，2c =，244a b =-，则a ＝ ．14．已知函数2+1, 1,()(), 1,a x x f x x a x ⎧-⎪=⎨->⎪⎩≤ 函数()2()g x f x =- ，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则实数a 的取值范围是 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 已知向量a ＝3(sin ,)4x ，b ＝(cos x ，－1)．（1）当a ∥b 时，求cos 2x －sin 2x 的值；（2）设函数f (x )＝2(a ＋b )·b ，已知3()24f α=，(,)2απ∈π，求sin α的值．16．（本小题满分14分）已知△ABD 和△BCD 是两个直角三角形，2BAD BDC π∠=∠=，E 、F 分别是边AB 、AD 的中点，现将△ABD 沿BD 边折起到A 1BD 的位置，如图所示，使平面A 1BD ⊥平面BCD ． （1）求证：EF ∥平面BCD ；（2）求证：平面A 1BD ⊥平面A 1CD ；（3）请你判断，A 1C 与BD 是否有可能垂直，做出判断并写明理由．E 17． (本小题满分14分) 如图，有一块矩形草坪ABCD，AB =100米，BC =三条小路OE 、EF 和OF ，要求O 是AB 的中点，点E 在边BC 上，点F 在边AD 上，且∠EOF =90°； （1）设∠BOE =α，试求OEF ∆的周长l 关于α的函数解析式，并求出此函数的定义域；（2）经核算，三条路每米铺设费用均为400元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用．18．（本小题满分16分）椭圆M ：22221(0)x y a b ab+=>>的焦距为(0,2)P 关于直线y x =-的对称点在椭圆M 上．（1）求椭圆M 的方程；（2）如图，椭圆M 的上、下顶点分别为A ，B ，过点P 的直线l 与椭圆M 相交于两个不同的点C ，D ．①求OC OD ⋅的取值范围；②当AD 与BC 相交于点Q 时，试问：点Q 的纵坐标是否是定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．19．（本小题满分16分）已知函数()1e xaf x x =-+（a ∈R ，e 为自然对数的底数) ． （1）若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，求a 的值； （2）求函数f (x )的极值；（3）当a ＝1的值时，若直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f (x )没有公共点，求k 的最大值．20．（本小题满分16分）已知数列{a n }满足a 1＝a （a ＞0，a ∈N *），a 1＋a 2＋…＋a n －pa n ＋1＝0（p ≠0，p ≠－1，n ∈N *）．（1）求数列{a n }的通项公式a n ；（2）若对每一个正整数k ，若将a k ＋1，a k ＋2，a k ＋3按从小到大的顺序排列后，此三项均能构成等差数列，且公差为d k ．①求p 的值及对应的数列{d k }．②记S k 为数列{d k }的前k 项和，问是否存在a ，使得S k ＜30对任意正整数k 恒成立？若存在，求出a 的最大值；若不存在，请说明理由．数学Ⅱ（附加题）满分40分 考试时间30分钟21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，每小题10分．若多做，则按作答的前两题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． B ．（选修4－2：矩阵与变换） 已知矩阵1235-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ． （1）求逆矩阵A －1； （2）若矩阵X 满足AX ＝31⎡⎤⎢⎥⎣⎦，试求矩阵X ．C ．选修4－4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合．若直线l 的极坐标方程为sin()4πρθ-=（1）把直线l 的极坐标方程化为直角坐标系方程；（2）已知P 为椭圆C ：22139x y +=上一点，求P 到直线l 的距离的最小值．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试．假设某学生每次通过测试的概率都是31，每次测试时间间隔恰当，每次测试通过与否互相独立． （1）求该学生考上大学的概率．（2）如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为X ，求X 的分布列及X 的数学期望．23．（本小题满分10分）【16高考新课标】已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1、l 2分别交C 于A 、B 两点，交C 的准线于P 、Q 两点．（1）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；（2）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．2018届高三数学寒假作业 综合试卷（4）答案数学Ⅰ满分160分，考试时间120分钟一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．已知集合{1,}A a =，{1,3,4}B =，且{1,3}A B = ，则实数a 的值为 ．3解：由{1,3}A B = 可知1∈A 且3∈A ，有a ＝3．2．i 是虚数单位，复数z 满足3ii 4iz -=，则||z ＝ ．5 解：由题意得24i 3i 43i z =+=-+，那么||5z =．3．对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为200，右图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长 度在区间[25，30）的为一等品，在区间[20，25）和[30，35）的为 二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为 ．50 解：三等品总数[1(0,050.03750.0625)5]20050n =-++⨯⨯=．4．某学校高三有A ，B 两个自习教室，甲、乙、丙三名同学随机选择其中一个 教室自习，则他们在同一自习教室上自习的概率为 ．14解：22222814P ==⨯⨯=． 5．执行如图所示的流程图，会输出一列数，则这列数中的第3个数是 ．30解：A ＝3，N ＝1，输出3；A ＝6，N ＝2，输出6；A ＝30，N ＝3，输出30；则这列数中的第3个数是30．6．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x +10，且它的一个焦点在直线l 上，则双曲线C 的方程为 ．221520x y -=解：由双曲线的渐近线方程by x a =±可知b ＝2a ；又由题意c ＝5，那么a ，双曲线方程为221520x y -=． 7．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S 3－3S 2＝12，则数列{a n }的公差是 ．4解：方法1：2S 3－3S 2=112(33)3(2)312a d a d d +-+==，则d ＝4．方法2：因为112n S n a d n -=+，则32232S S -=2d =，得到d ＝4．8．已知一个圆锥的底面积为2π，侧面积为4π，则该圆锥的体积为 ．解：设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则22,4r rl π=π=，解得r l =h =以21133V r h=π=π⨯=．9．在平面直角坐标系中，过原点O的直线l与曲线2e xy-=交于不同的两点A，B，分别过A，B作x轴的垂线，与曲线y＝ln x分别交于点C，D，则直线CD的斜率为．1解：设121(,)xA x-e，B222(,)xx-e，则由点O，A，B共线可知122212x xx x--=e e，可化为1212x xxx-=e，得到1122lnxx xx-=，故有11221212lnln lnCDxx x xkx x x x-==--1=．10．若cos(π6－θ)＝33，则cos(5π6＋θ)－sin2(θ－π6)＝．设t=π6－θ，有cos t＝33．那么cos(5π6＋θ)－sin2(θ－π6)＝cos(π t) sin2 t＝ 2+33．11．在△ABC中，已知AC=4，C=4π，B∈(4π，2π)，点D在边BC上，且AD=BD=3，则AB AD⋅=．解：如图，AD=BD，∴∠DAB=∠B；∵B∈(4π，2π)，∴0＜∠BDA＜2π．在△ACD中，AC=4，AD=3，C=4π，由正弦定理得：sin sinAD ACC ADC=∠4sin ADC=∠，∴sin∠ADC，∴cos∠BDA＝13．∴21=()()3393AB AD DB DA DA DB DA DA⋅-⋅-=-⋅+=-⨯⨯+＝6．12．已知圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0，直线l：34170x y+-=．若在直线l上任取一点M作圆C的切线MA，MB，切点分别为A，B，则AB的长度取最小值时直线AB的方程为．68190x y+-=解：当AB的长度最小时，圆心角∠ACB最小，设为2θ，则由cos ACCMθ=1CM=可知当θ最小时，cosθ最大，即CM最小，那么，CM⊥l，可知43AB lk k==-，设直线AB的方程为34x y m+=．又由CM＝2可知，点C到直线AB的距离为12，即34125m+-=，解得192m=或92；经检验192m=，则直线AB的方程为68190x y+-=．13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2A C=，2c=，244a b=-，则a＝．解：在△ABC中，由余弦定理24444cos2b b b C-=+-，即24(1c o s2)80b b C-++=，故228cos 80b b C -+=2sin C=，即cos C =，所以2(1)802b b b --+=，解得4b =，所以24412a b =-=，a =14．已知函数2+1, 1,()(), 1,a x x f x x a x ⎧-⎪=⎨->⎪⎩≤ 函数()2()g x f x =- ，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则实数a 的取值范围是 ．解：由题意当()()y f x g x =-[]2()10f x =-=时，即方程()1f x =有4个解． 又由函数1y a x =-+与函数2()y x a =-的大致形状可知，直线1y =与函数2+1, 1,()(), 1,a x x f x x a x ⎧-⎪=⎨->⎪⎩≤的左右两支曲线都有两个交点，如下图示． 那么，有2(1)1,(1)1,(1)1a f f ->->⎧⎪⎨⎪⎩≤ ，即20,1,21,a a a a ><>-⎧⎪⎨⎪⎩或≤解得23a <≤．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知向量a ＝3(sin ,)4x ，b ＝(cos x ，－1)．（1）当a ∥b 时，求cos 2x －sin 2x 的值； （2）设函数f (x )＝2(a ＋b )·b ，已知3()24f α=，(,)2απ∈π，求sin α的值．解：（1）因为a ∥b ，所以34cos x ＋sin x ＝0，所以tan x ＝－34．故cos 2x －sin 2x ＝cos 2x －2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝1－2tan x 1＋tan 2x ＝85．（2）223()2()222sin cos 2(cos 1)2f x x x x =+⋅=⋅+=-++a b b a b b 3sin 2cos22x x =++3)42x π++．因为3()24f α=，所以33())2424f ααπ++=，即sin()4απ+=又(,)2απ∈π，所以3444αππ5π<+<，故cos()4απ+=，所以sin sin[()])cos())4444ααααππππ=+-=+-+=+=．E16．（本小题满分14分）已知△ABD 和△BCD 是两个直角三角形，2BAD BDC π∠=∠=，E 、F 分别是边AB 、AD 的中点，现将△ABD 沿BD 边折起到A 1BD 的位置，如图所示，使平面A 1BD ⊥平面BCD ． （1）求证：EF ∥平面BCD ； （2）求证：平面A 1BD ⊥平面A 1CD ；（3）请你判断，A 1C 与BD 是否有可能垂直，做出判断并写明理由． 解：（1）证明：因为E 、F 分别是边AB 、AD 的中点， 所以EF ∥BD ．因为EF ⊄平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，所以EF ∥平面BCD ． （2）证明：因为平面A 1BD ⊥平面BCD ， 平面A 1BD ∩平面BCD ＝BD ， CD ⊂平面BCD ， CD ⊥BD ，所以CD ⊥平面A 1BD ．因为A 1B ⊂平面A 1BD ，所以CD ⊥A 1B ．因为A 1B ⊥A 1D ，A 1D ∩CD ＝D ，所以A 1B ⊥平面A 1CD ． 因为A 1B ⊂平面A 1BC ，所以平面A 1BC ⊥平面A 1CD ． （3）解：结论： A 1C 与BD 不可能垂直．理由如下：假设A 1C ⊥BD ，因为CD ⊥BD ，A 1C ∩CD ＝C ， 所以BD ⊥平面A 1CD ， 因为A 1D ⊂平面A 1CD ，所以BD ⊥A 1D 与A 1B ⊥A 1D 矛盾． 故A 1C 与BD 不可能垂直．17． (本小题满分14分) 如图，有一块矩形草坪ABCD ，AB =100米，BC =三条小路OE 、EF 和OF ，要求O 是AB 的中点，点E 在边BC 上，点F 在边AD 上，且∠EOF =90°； （1）设∠BOE =α，试求OEF ∆的周长l 关于α的函数解析式，并求出此函数的定义域；（2）经核算，三条路每米铺设费用均为400元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用． 解：（1）Rt △BOE 中，OB =50， ∠B =90°，∠BOE =α，∴OE =50cos α． Rt △AOF 中，OA =50， ∠A =90°，∠AFO =α，∴OF =50sin α．又∠EOF =90°，∴EF==50cos sin αα， ∴505050cos sin cos sin l OE OF EF αααα=++=++即50(sin cos 1)cos sin l αααα++=．当点F 在点D 时，这时角α最小，求得此时α=π6； 当点E 在C 点时，这时角α最大，求得此时α=π3．故此函数的定义域为ππ[,]63．（2）由题意知，要求铺路总费用最低，只要求△OEF 的周长l 的最小值即可．由（1）得，50(sin cos 1)cos sin l αααα++=，ππ[,]63α∈设sin cos t αα+=，则21sin cos 2t αα-⋅=，∴250(sin cos 1)50(1)1001cos sin 12t l t t αααα+++===--． 由，5ππ7π12412α≤+≤t ≤≤11t ≤-≤，1111t ≤-，当π4α=，即BE=50时，min 1)l =，所以当BE =AE =50米时，铺路总费用最低，最低总费用为1)元．18．（本小题满分16分）椭圆M ：22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为(0,2)P 关于直线y x =-的对称点在椭圆M 上． （1）求椭圆M 的方程；（2）如图，椭圆M 的上、下顶点分别为A ，B ，过点P 的直线l 与椭圆M 相交于两个不同的点C ，D ．①求OC OD ⋅的取值范围；②当AD 与BC 相交于点Q 时，试问：点Q 的纵坐标是否是定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．解：（1）因为点(0,2)P 关于直线y x =-的对称点为(2,0)-， 且(2,0)-在椭圆M 上，所以2a =．又2c =c =，则222431b a c =-=-=．所以椭圆M 的方程为2214x y +=．（2）①当直线l 的斜率不存在时，(0,1),(0,1)C D -，所以OC OD ⋅＝－1．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2y kx =+，1122(,),(,)C x y D x y ． 222,1,4y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得22(14)16120k x kx +++=，由0∆>，可得243k >，且1212221612,1414k x x x x k k +=-=++， 所以1212OC OD x x y y ⋅=+21212217(1)2()4114k x x k x x k =++++=-++，所以1314OC OD -<⋅< ，综上13[1,)4OC OD ⋅∈- ．②由题意得，AD ：2211y y x x -=+，BC ：1111y y x x +=-， 联立方程组，消去x 得121221233kx x x x y x x ++=-，又121243()kx x x x =-+，解得12y =-．故点Q 的纵坐标为定值12． 19．（本小题满分16分）已知函数()1e xaf x x =-+（a ∈R ，e 为自然对数的底数) ． （1）若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，求a 的值；（2）求函数f (x )的极值；（3）当a ＝1的值时，若直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f (x )没有公共点，求k 的最大值． 解：（1）由()1e xa f x x =-+，得()1e x a f x '=-．又曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，得f '(x )＝0，即10ea-=，解得a ＝e ． （2）()1e xaf x '=-． ①当a ≤0时，f '(x )＞0，f (x )为(－∞，+∞)上的增函数，所以函数f (x )无极值． ②当a ＞0时，令f '(x )＝0，得e x ＝a ，x ＝ln a ． x ∈(－∞，ln a )，f '(x )＜0；x ∈( ln a ，+∞)，f '(x )＞0．所以f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在( ln a ，+∞)上单调递增，故f (x )在x ＝ln a 处取得极小值，且极小值为f (ln a )＝ln a ，无极大值． 综上，当a ≤0时，函数f (x )无极小值；当a ＞0， f (x )在x ＝ln a 处取得极小值ln a ，无极大值．（3）当a ＝1时，1()1e x f x x =-+ 令()()()()111e xg x f x kx k x =--=-+， 则直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f (x )没有公共点， 等价于方程g (x )＝0在R 上没有实数解． 假设k ＞1，此时g (0)＝1＞1，1111()101e k g k -=-+<-， 又函数g (x )的图象连续不断，由零点存在定理，可知g (x )＝0在R 上至少有一解，与“方程g (x )＝0在R 上没有实数解”矛盾，故k ≤1．又k ＝1时，()1e xg x =＞0，知方程g (x )＝0在R 上没有实数解． 所以k 的最大值为1． 解法二： （1）（2）同解法一． （3）当a ＝1时，1()1e xf x x =-+． 直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f (x )没有公共点，等价于关于x 的方程111e xkx x -=-+在R 上没有实数解， 即关于x 的方程：()11ex k x -=（*）在R 上没有实数解． ①当k ＝1时，方程（*）可化为10e x =，在R 上没有实数解． ②当k ≠0时，方程（*）化为1e 1x x k =-．令g (x )＝x e x ，则有g '(x )＝(1+x )e x x e x ． 令g '(x )＝0，得x ＝－1， 当x 变化时，如下表：当x ＝－1时，min 1()eg x =-，同时当x 趋于+∞时，g (x )趋于+∞， 从而g (x )的取值范围为[1e -，+∞)．所以当11(,)1e k ∈-∞--时，方程（*）无实数解， 解得k 的取值范围是(1－e ，1)．综上，得k 的最大值为1．20．（本小题满分16分）已知数列{a n }满足a 1＝a （a ＞0，a ∈N *），a 1＋a 2＋…＋a n －pa n ＋1＝0（p ≠0，p ≠－1，n ∈N *）．（1）求数列{a n }的通项公式a n ；（2）若对每一个正整数k ，若将a k ＋1，a k ＋2，a k ＋3按从小到大的顺序排列后，此三项均能构成等差数列，且公差为d k ．①求p 的值及对应的数列{d k }．②记S k 为数列{d k }的前k 项和，问是否存在a ，使得S k ＜30对任意正整数k 恒成立？若存在，求出a 的最大值；若不存在，请说明理由．解：（1）因为a 1＋a 2＋…＋a n －pa n ＋1＝0，所以n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1－pa n ＝0， 两式相减，得a n ＋1a n ＝p ＋1p (n ≥2)，故数列{a n }从第二项起是公比为p ＋1p 的等比数列．又当n ＝1时，a 1－pa 2＝0，解得a 2＝ap ，从而a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n ＝1 ，a p ⎝⎛⎭⎫p ＋1p n －2 ，n ≥2 .（2）①由（1）得a k ＋1＝a p ⎝⎛⎭⎫p ＋1p k －1， a k ＋2＝a p ⎝⎛⎭⎫p ＋1p k ，a k ＋3＝a p ⎝⎛⎭⎫p ＋1p k ＋1，若a k ＋1为等差中项，则2a k ＋1＝a k ＋2＋a k ＋3，即p ＋1p ＝1或p ＋1p ＝－2，解得p ＝－13；此时a k ＋1＝－3a (－2)k －1，a k ＋2＝－3a (－2)k ，所以d k ＝|a k ＋1－a k ＋2|＝9a ·2k －1．若a k ＋2为等差中项，则2a k ＋2＝a k ＋1＋a k ＋3，即p ＋1p＝1，此时无解；若a k ＋3为等差中项，则2a k ＋3＝a k ＋1＋a k ＋2，即p ＋1p ＝1或p ＋1p ＝－12，解得p ＝－23，此时a k ＋1＝－3a 2⎝⎛⎭⎫－12k －1，a k ＋3＝－3a 2⎝⎛⎭⎫－12k ＋1，所以d k ＝|a k ＋1－a k ＋3|＝9a 8·⎝⎛⎭⎫12k －1． 综上所述，p ＝－13，d k ＝9a ·2k －1或p ＝－23， d k ＝9a 8·⎝⎛⎭⎫12k －1．②当p ＝－13时，S k ＝9a (2k －1)．则由S k ＜30，得a ＜103 2k－1， 当k ≥3时，103 2k－1 ＜1，所以必定有a ＜1，所以不存在这样的最大正整数． 当p ＝－23时，S k ＝9a 4⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12k ， 则由S k ＜30，得a ＜403⎣⎡1－⎝⎛⎭⎫12k ]，因为403⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12k ＞403，所以a ＝13满足S k ＜30恒成立；但当a ＝14时，存在k ＝5，使得a ＞403⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12k 即S k ＜30，所以此时满足题意的最大正整数a ＝13．数学Ⅱ（附加题）满分40分 考试时间30分钟21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，每小题10分．若多做，则按作答的前两题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． B ．（选修4－2：矩阵与变换） 已知矩阵1235-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ． （1）求逆矩阵A －1； （2）若矩阵X 满足AX ＝31⎡⎤⎢⎥⎣⎦，试求矩阵X ．解：（1）设A －1＝a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1235-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦=325325a b a b c d a d +--⎡⎤⎢⎥+--⎣⎦=1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦． ∴3125030251a b a b c d c d +=⎧⎪--=⎪⎨+=⎪⎪--=⎩解得5231a b c d =-⎧⎪=⎪⎨=-⎪⎪=⎩∴A －1＝5231-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦, （2）135231331118---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦X A ．C ．选修4－4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合．若直线l的极坐标方程为sin()4πρθ-=（1）把直线l 的极坐标方程化为直角坐标系方程；（2）已知P 为椭圆C ：22139x y +=上一点，求P 到直线l 的距离的最小值．解：（1）直线l的极坐标方程sin 4ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,sin cos θρθ= 即sin cos 4ρθρθ-=,所以直线l 的直角坐标方程为40x y -+=;（2）P 为椭圆2213x y C +=:上一点,设3sin )P αα,,其中[02)α∈π,,则P 到直线l的距离d =所以当0cos(60)1α+=-时,d 的最小值为【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试．假设某学生每次通过测试的概率都是31，每次测试时间间隔恰当，每次测试通过与否互相独立． （1）求该学生考上大学的概率．（2）如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为X ，求X 的分布列及X 的数学期望． 解：（1）记“该生考上大学”的事件为事件A ，其对立事件为A ，则 1455122()C ()()()333P A =+1455122131()1[C ()()()]333243P A ∴=-⋅+=- （2）参加测试次数X 的可能取值为2，3，4，5．P (X ＝2)＝211()39=， 121214(3)C 33327P X ==⋅⋅⋅=， 1231214(4)C ()33327P X ==⋅⋅⋅=， 1344122(5)C ()()333P X ==⋅⋅++1627． 故X 的分布列为：1441638()234592727279E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．答：该生考上大学的概率为131243；所求数学期望是389．23．（本小题满分10分）【16高考新课标】已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1、l 2分别交C 于A 、B 两点，交C 的准线于P 、Q 两点．（1）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；（2）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程． 解：由题设F (12，0)．设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0， 且A (22a ，0)，B (22b ，b )，P (－12，a )，Q (－12，b )，R (－12，2a b +)．记过A 、B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a+b )y +ab ＝0． （1）由于F 点在线段AB 上，故1+ab ＝0． 记AR 得斜率为k 1，FQ 得斜率为k 2，则k 1＝22211a b a b abb k a a ab a a---====-=+-， ∴AR ∥FQ ．（2）设与x 轴的交点为D (x 1，0)， 则2,2121211b a S x a b FD a b S PQF ABF -=--=-=∆∆． 由题设可得221211ba x ab -=--，所以01=x （舍去），11=x . 设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )． 当AB 与x 轴不垂直时，由DE AB k k =可得)1(12≠-=+x x yb a .而y ba =+2，所以)1(12≠-=x x y . 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，所以，所求轨迹方程为12-=x y .。

2018年南宁市高三年级综合能力测试全套（三）理科数学答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）（1）【答案】C 【解析】因为{}0,1,2,3,...A =，[]=2,2B -，故{}0,1,2A B = （2）【答案】C 【解析】如图，2z i =-+，令1z a bi =+，则221()(2)z z a bi i ⋅=+-+()(34)a bi i =+-.又21z z ⋅为纯虚数，则21z z ⋅实部为0，即3+40a b =，故选C. （3）【答案】D 【解析】22cos 212sin 2cos 1ααα=-=-.则可以算出21sin 3α=，22cos 3α=.则2221sin 13tan 2cos 23ααα===，故选D. （4）【答案】B 【解析】A 选项为37，C 选项为污染，D 选项应为小于.（5）【答案】A 【解析】如图，ABC ∆为满足不等式组的区域，当直线2z x y =+经过点(21)C ，时值最小.此时224z =+=.故选A（6）【答案】B 【解析】()4211a x x x ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭常数项为122441+1C a C a ⋅+⋅=.解得：203a =或-.故选B.（7）【答案】D 【解析】16在第三象限，则cos160<.进行一次循环得到8,2m n ==.8在第二象限，则cos80<.又进行一次循环得到4,3m n ==.4在第三象限，cos 40<. 又进行一次循环得到2,4m n ==.2在第二象限，cos 20<.又进行一次循环得到1,5m n ==，此时cos10>.故输出n 为5.故选D.（8）【答案】B 【解析】平移后的函数为()sin(+)3g x x ππϕ=+，由()g x 为偶函数可以推出=6πϕ.则()sin()6f x x ππ=+.所以()f x 的单调递增区间为2,2,622x k k k Z ππππππ⎛⎫+∈-+∈ ⎪⎝⎭即21(2,2),33x k k k Z ∈-+∈.故选B.（9）【答案】A 令2()ln f x x x =-，定义域为()()00-∞+∞ ,,且2()ln ()f x x x f x -=-=，故函数2ln y x x =-为偶函数，图象关于y 轴对称，排除B 、D ；考虑2()ln g x x x =-，1()2g x x x'=-，当)22,0(∈x 时1()20g x x x '=->，2()ln g x x x =-单调递增，排除C.选A.（10）【答案】A （11）【答案】B【解析】考虑到对称性，不妨设P 点在第一象限.令:1l x =-，过P 作PK l ⊥于K.根据抛物线的第一定义,PK PF =.则若要使PF PA最小，则直线PA 的斜率应最大.令:1PA x ky =-，代入抛物线方程得：2440y ky -+=，216160k ∆=-≥.则k 最小为1.此时P 点坐标为1,2（）.圆心O 到直线PF 的距离为1.故选B.（12）【答案】A 【解析】如图为函数图像，若函数()=-y f x k 有三个不同的零点，则(]0,1k ∈.又由于函数5log x 的性质5152log log 0x x +=.则121x x =.又311,62x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.所以12311,62x x x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故选A.二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）（13）【答案】2-【解析】2(4,42)a b m -=-可得：24=442m-，解得2m =-. （14）sin 2sin B C =由正弦定理知2b c =. 2π3A =，由余弦定理知：222(2)14cos 322c c c cπ+-=⋅⋅.解得：c =故满足条件的c =（15）【答案】4【解析】126PF PF -=，则点P 应该在双曲线的右侧.依题意得P 满足22219x y b -=，得：225119b -=.解得：2169b =，得c =，c e a ==（16）【解析】显然该三棱锥的底面（面BDE ）与俯视图相同，有一个侧面（面ECD）E与正视图相同且垂直于底面。

南京市2018届高三数学综合题一、填空题1．已知函数y ＝sin ωx (ω＞0)在区间[0，π2]上为增函数，且图象关于点(3π，0)对称，则ω的取值集合为 ． 【答案】{13，23，1}．【提示】由题意知，⎩⎨⎧π2ω≥π2，3ωπ＝k π，即⎩⎨⎧0＜ω≤1 ω＝k 3，其中k ∈Z ，则k ＝13或k ＝23 或k ＝1．【说明】本题考查三角函数的图象与性质（单调性及对称性）．三角函数除关注求最值外，也适当关注其图象的特征，如周期性、对称性、单调性等． 2．如图：梯形ABCD 中，AB //CD ，AB ＝6，AD ＝DC ＝2，若AC →²BD →＝－12，则AD →²BC →＝ ． 【答案】0．【提示】以AB→，AD →为基底，则AC →＝AD →＋13AB →，BD →＝AD →－AB →则AC →²BD →＝AD →2－23AB →²AD →－13AB →2＝4－8cos ∠BAD －12＝－12，所以cos ∠BAD ＝12，则∠BAD ＝60o ，则AD →²BC →＝AD →²(AC →－AB →)＝AD →²(AD →－23AB →)＝AD →2－23AB →²AD →＝4－4＝0．【说明】本题主要考查平面向量的数量积，体现化归转化思想．另本题还可通过建立平面直角坐标系将向量“坐标化”来解决．向量问题突出基底法和坐标法，但要关注基底的选择与坐标系位置选择的合理性，两种方法之间的选择．3．设α、β为空间任意两个不重合的平面，则：①必存在直线l与两平面α、β均平行；②必存在直线l与两平面α、β均垂直；③必存在平面γ与两平面α、β均平行；④必存在平面γ与两平面α、β均垂直．其中正确的是___________．（填写正确命题序号）【答案】①④．【提示】当两平面相交时，不存在直线与它们均垂直，也不存在平面与它们均平行（否则两平面平行）．【说明】本题考查学生空间线面，面面位置关系及空间想象能力．4．圆锥的侧面展开图是圆心角为3π，面积为23π的扇形，则圆锥的体积是______．【答案】π．【提示】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意知2πrl＝3π，且12²2πr²l＝23π，解得l＝2，r＝3，所以圆锥高h＝1，则体积V＝13πr2h＝π．【说明】本题考查圆锥的侧面展开图及体积的计算．5．设圆x2＋y2＝2的切线l与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B．当线段AB的长度最小值时，切线l的方程为____________．【答案】x＋y－2＝0．【说明】本题考查直线与圆相切问题和最值问题．6．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率等于2，它的右准线过抛物线y2=4x的焦点，则双曲线的方程为．【答案】x24－y212＝1．【解析】本题主要考查了双曲线、抛物线中一些基本量的意义及求法．7．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1、C2、C3依次为y＝2log2x、y＝log2x、y＝k log2x(k为常数，0＜k＜1)．曲线C1上的点A在第一象限，过A分别作x轴、y轴的平行线交曲线C2分别于点B、D，过点B作y轴的平行线交曲线C3于点C．若四边形ABCD 为矩形，则k的值是___________．【答案】12．【提示】设A(t，2 log2t)(t＞1)，则B(t2，2 log2t)，D(t，log2t)，C(t2，2k log2t)，则有log2t＝2k log2t，由于log2t＞0，故2k＝1，即k＝12．【说明】本题考查对数函数的图像及简单的对数方程．注意点坐标之间的关系是建立方程的依据．*8．已知实数a、b、c满足条件0≤a＋c－2b≤1，且2a＋2b≤21＋c，则2a－2b 2c的取值范围是_________．【答案】[－14，5－172]．【提示】由2a＋2b≤21＋c得2a－c＋2b－c≤2，由0≤a＋c－2b≤1得0≤(a－c)－2(b －c)≤1，于是有1≤2(a－c)－2(b－c)≤2，即1≤2a－c22(b－c)≤2．设x＝2b－c，y＝2a－c，则有x＋y≤2，x2≤y≤2x2，x＞0，y＞0，2a－2b2c＝y－x．在平面直角坐标系xOy中作出点(x，y)所表示的平面区域，并设y－x＝t ．如图，当直线y －x ＝t 与曲线y ＝x 2相切时，t 最小．此时令y ′＝2x ＝1，解得x ＝12，于是y ＝14，所以t min ＝14－12＝－14．当直线过点A 时，t 最大．由⎩⎨⎧y ＝2x 2，x ＋y ＝2，解得A (－1＋174，9－174)， 所以t max ＝9－174－－1＋174＝5－172．因此2a －2b 2c 的取值范围是[－14，5－172]．【说明】本题含三个变量，解题时要注意通过换元减少变量的个数．利用消元、换元等方法进行减元的思想是近年高考填空题中难点和热点，对于层次很好的学校值得关注．9．已知四数a 1，a 2，a 3，a 4依次成等比数列，且公比q 不为1．将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列， 则正数q 的取值集合是 ．【答案】{－1＋ 52，1＋52}．【提示】因为公比q 不为1，所以不能删去a 1，a 4．设{a n }的公差为d ，则① 若删去a 2，则由2a 3＝a 1＋a 4得2a 1q 2＝a 1＋a 1q 3，即2q 2＝1＋q 3， 整理得q 2(q －1)＝(q －1)(q ＋1)．又q ≠1，则可得 q 2＝q ＋1，又q ＞0解得q ＝1＋52；② 若删去a 3，则由2a 2＝a 1＋a 4得2a 1q ＝a 1＋a 1q 3，即2q ＝1＋q 3，整理得q (q －1)(q ＋1)＝q －1．又q≠1，则可得q(q＋1)＝1，又q＞0解得 q＝－1＋52．综上所述，q＝±1＋52．【说明】本题主要考查等差数列等差中项的概念及等比数列中基本量的运算．*10．数列{a n}是等差数列，数列{b n}满足b n＝a n a n＋1a n＋2(n∈N*)，设S n为{b n}的前n项和．若a12＝38a5＞0，则当S n取得最大值时n的值等于___________．【答案】16．【提示】设{a n}的公差为d，由a12＝38a5＞0得a1＝－765d，d＞0，所以a n＝(n－815)d，从而可知1≤n≤16时，a n＞0，n≥17时，a n＜0．从而b1＞b2＞…＞b14＞0＞b17＞b18＞…，b15＝a15a16a17＜0，b16＝a16a17a18＞0，故S14＞S13＞……＞S1，S14＞S15，S15＜S16．因为a15＝－65d＞0，a18＝95d＜0，所以a15＋a18＝－65d＋95d＝45d＜0，所以b15＋b16＝a16a17(a15＋a18)＞0，所以S16＞S14，故S n中S16最大．【说明】利用等差数列及等差数列的基本性质是解题基本策略．此题借助了求等差数列前ｎ项和最值的方法，所以在关注方法时，也要关注形成方法的过程和数学思想．二、解答题11．三角形ABC中，角A、B、C所对边分别为a，b，c，且2sin B＝3cos B．(1)若cos A＝13，求sin C的值；(2)若b＝7，sin A＝3sin C，求三角形ABC的面积．解 (1)由2sin B ＝3cos B ，两边平方得2sin 2B ＝3cos B ，即2(1－cos 2B )＝3cos B ，解得cos B ＝12或cos B ＝－2(舍去)．又B 为三角形内角，则B ＝π3．因为cos A ＝13，且A 为三角形内角，则sin A ＝223，故sin C ＝sin(B ＋A )＝sin(π3＋A )＝ 32cos A ＋12sin A ＝3＋226．(2)解法一 因为sin A ＝3sin C ，由正弦定理可得a ＝3c ．由余弦定理知：b 2＝ a 2＋c 2－2ac cos B ，则7＝9c 2＋c 2－3c 2，解得c ＝1，则a ＝3．面积S ＝12ac sin B ＝334．解法二 由sin A ＝3sin C 得sin(C ＋B )＝3sin C ，即sin(C ＋π3)＝3sin C ，则12sin C ＋32cos C ＝3sin C ， 即32cos C ＝52sin C ，故可得tan C ＝35． 又C 为三角形的内角，则sin C ＝2114．由正弦定理知bsin B ＝csin C，则c ＝1．又sin A ＝3sin C ＝32114，故面积S ＝12bc sin A ＝334． 【说明】本题考查同角三角函数关系式，两角和差公式及正、余弦定理，具有一定的综合性．12．三角形ABC 中，三内角为A 、B 、C ，a ＝(3cos A ，sin A )，b ＝(cos B ，3sin B )，AE DC Bc ＝(1，－1)．(1)若a ²c ＝1，求角A 的大小；(2)若a //b ，求当A －B 取最大时，A 的值．解 (1)a ²c ＝3cos A －sin A ＝2cos(A ＋π6)＝1，则cos(A ＋π6)＝12．因为A ∈(0，π)，则A ＋π6∈(π6，7π6)，则A ＋π6＝π3，则A ＝π6．(2)因为a //b ，所以3cos A ²3sin B ＝sin A ²cos B ，则tan A ＝3tan B ．由于A 、B 为三角形内角，则A 、B 只能均为锐角，即tan A ＞0，tan B ＞0． tan(A －B ) ＝ tan A －tan B 1＋tan A ²tan B ＝2tan B1＋3tan 2B＝21tan B＋ 3tan B ≤223＝33， 当且仅当1tan B ＝3tan B 时，B ＝π6取“＝”号．又A －B ∈(－π2，π2)，则A －B 的最大值为π6，此时A ＝π3．所以，当A －B 的最大时，A ＝π3．【说明】本题第一问考查向量数量积的坐标运算，两角和差公式及已知三角函数值求角问题；第二问考查平面向量平行的条件及两角差的正切公式，利用基本不等式求最值．13．如图，六面体ABCDE 中，面DBC ⊥面ABC ，AE ⊥面ABC ． (1)求证：AE //面DBC ；(2)若AB ⊥BC ，BD ⊥CD ，求证：AD ⊥DC ． 证明 (1)过点D 作DO ⊥BC ，O 为垂足．因为面DBC ⊥面ABC ，又面DBC ∩面ABC ＝BC ，DO 面DBC ， 所以DO ⊥面ABC ．BA1B1C1 MNA又AE⊥面ABC，则AE//DO．又AE⊂/面DBC，DO⊂面DBC，故AE // 面DBC．(2)由（1）知DO⊥面ABC，AB⊂面ABC，所以DO⊥AB．又AB⊥BC，且DO∩BC＝O，DO，BC⊂平面DBC，则AB⊥面DBC．因为DC⊂面DBC，所以AB⊥DC．又BD⊥CD，AB∩DB＝B，AB，DB⊂面ABD，则DC⊥面ABD．又AD⊂面ABD，故可得AD⊥DC．【说明】本题第(1)问考查面面垂直的性质定理，线面垂直的性质定理及线面平行的判定定理；第(2)问通过线面垂直证线线垂直问题．14．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面A1ACC1是边长为2的菱形，∠A1AC ＝60o．在面ABC中，AB＝23，BC＝4，M为BC的中点，过A1，B1，M三点的平面交AC于点N．(1)求证：N为AC中点；(2)平面A1B1MN⊥平面A1ACC1．解 (1)由题意，平面ABC//平面A1B1C1，平面A1B1M与平面ABC交于直线MN，与平面A1B1C1交于直线A1B1，所以MN//A1B1．因为AB// A1B1，所以MN//AB，所以CNAN＝CMBM．因为M为AB的中点，所以CNAN＝1，所以N为AC中点．(2)因为四边形A1ACC1是边长为2的菱形，∠A1AC＝60o．在三角形A1AN中，AN＝1，AA1＝2，由余弦定理得A1N＝3，故A1A2＝AN2＋A1N2，从而可得∠A1NA＝90o，即A1N⊥AC．在三角形ABC中，AB＝2，AC＝23，BC＝4，则BC 2＝AB 2＋AC 2，从而可得∠BAC=90o ，即AB ⊥AC ． 又MN //AB ，则AC ⊥MN ．因为MN ∩A 1N ＝N ，MN ⊂面A 1B 1MN ，A 1N ⊂面A 1B 1MN ， 所以AC ⊥平面A 1B 1MN ．又AC ⊂平面A 1ACC 1，所以平面A 1B 1MN ⊥平面A 1ACC 1．【说明】本题考查面面平行的性质定理，线面垂直及面面垂直的判定定理，综合考查空间想象及逻辑推理能力．立体几何中线面平行、面面平行、面面垂直的性质定理要适当关注，不成为重点，但也不要成为盲点．关注以算代证的方法．15．某汽车厂有一条价值为a 万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值．经过市场调查，产品的增加值y 万元与技术改造投入的x 万元之间满足：①y 与(a －x )和x 2的乘积成正比；②x ∈(0，2am 2m ＋1]，其中m 是常数．若x ＝a2时，y ＝a 3．(1)求产品增加值y 关于x 的表达式；(2)求产品增加值y 的最大值及相应的x 的值．解：(1)设y ＝f (x )＝k (a －x )x 2，因为当x ＝a2时，y ＝a 3，所以k ＝8，所以f (x )＝8(a －x )x 2，x ∈(0，2am2m ＋1]．(2)因为f ′(x )＝－24x 2＋16ax ，令f ′(x )＝0，则x ＝0(舍)，x ＝2a3．①当2am 2m ＋1≥2a3，即m ≥1时，当x ∈(0，2a 3)时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，2a3)上是增函数，当x ∈(2a 3，2am 2m ＋1)时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(2a 3，2am2m ＋1)上是减函数，所以y max ＝f (2a 3)＝3227a 3；②当2am 2m ＋1＜2a3，即0＜m ＜1时，当x ∈(0，2am 2m ＋1)时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，2am2m ＋1)上是增函数，所以y max ＝f (2am 2m ＋1)＝32m 2(2m ＋1)3a 3， 综上，当m ≥1时，投入2a 3万元，最大增加值3227a 3． 当0＜m ＜1时，投入2am 2m ＋1万元，最大增加值32m 2(2m ＋1)3a 3． 【说明】适当关注建模容易，解模难的应用题，如本题需要对解模过程进行分类讨论．16．如图，摄影爱好者S 在某公园A 处，发现正前方B 处有一立柱，测得立柱顶端O 的仰角和立柱底部B 的俯角均为π6．设S 的眼睛距地面的距离按3米．(1) 求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；(2) 立柱的顶端有一长2米的彩杆MN 绕其中点O 在S 与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为π3的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由． 解 (1) 如图，作SC 垂直OB 于C ，则∠CSB ＝30°，∠ASB ＝60°．又SA ＝3，故在Rt △SAB 中，可求得BA ＝3，即摄影者到立柱的水平距离为3米．由SC ＝3，∠CSO ＝30°，在Rt △SCO 中，可求得OC ＝3． 因为BC ＝SA ＝3，故OB ＝23，即立柱高为23米. (2) 方法一：连结SM ，SN ，设ON ＝a ，OM ＝b ．在△SON 和△SOM 中，(23)2＋1－b 22²23²1＝－(23)2＋1－a 22²23²1，得a 2＋b 2＝26．cos ∠MSN ＝a 2＋b 2－222ab ＝11ab ≥22a 2＋b 2＝1113＞12．又∠MSN ∈(0，π)， 则∠MSN ＜π3．故摄影者可以将彩杆全部摄入画面．方法二提示:设∠MOS ＝θ，建立cos ∠MSN 关于θ的关系式，求出cos ∠MSN 最小值为1113，从而得到∠MSN ＜π3． 方法三提示:假设∠MSN ＝π3，设ON ＝a ，OM ＝b ，联立a 2＋b 2＝26和a 2＋b 2－ab ＝4消元，判断方程是否有解．方法四提示：计算过S 点作圆O (1为半径)的两切线夹角大于60o ．也可合理建系．【说明】第(1)问主要考查了对图形的认识；第(2)问突出应用题中变量的选择，方法的选择．另外应用题中除求解函数最值问题外，也考虑涉及方程的解、不等式等问题，如方法三．17．为了迎接青奥会，南京将在主干道统一安装某种新型节能路灯，该路灯由灯柱和支架组成．在如图所示的直角坐标系中，支架ACB 是抛物线y 2＝2x 的一部分，灯柱CD 经过该抛物线的焦点F 且与路面垂直，其中C 在抛物线上，B 为抛物线的顶点，DH 表示道路路面，BF ∥DH ，A 为锥形灯罩的顶，灯罩轴线与抛物线在A 处的切线垂直．安装时要求锥形灯罩的顶到灯柱的距离是1.5米，灯罩的轴线正好通过道路路面的中线．(1)求灯罩轴线所在的直线方程； (2)若路宽为10米，求灯柱的高．解：(1)由题意知，BF ＝12，则x A ＝1.5＋12＝2，代入y 2＝2x 得y A ＝2，故A (2，2)． 设点A 处的切线方程为y －2＝k (x －2)，代入抛物线方程y 2＝2x 消去x ，得ky 2－2y ＋4－4k ＝0． 则△＝4－4k (4－4k )＝0，解得k ＝12．故灯罩轴线的斜率为－2，其方程为y －2＝－2(x －2)，即y ＝－2x ＋6． （2）由于路宽为10，则当x ＝112时，y ＝－5，从而FD ＝5．又CF ＝1，则CD ＝6． 答：灯柱的高为6米.【说明】本题改编自必修2(P92)例5，考查学生综合应用函数、不等式知识解决实际问题的能力．解析几何应用题不需重点训练，但也需要学生适当了解和关注．18．如图，在Rt ΔABC 中，∠A 为直角，AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，点T (－1，1)在直线AC 上，斜边中点为M (2，0)． (1)求BC 边所在直线的方程；(2)若动圆P 过点N (－2，0)，且与Rt ΔABC的外接圆相交所得公共弦长为4，求动圆P 中半径最小的圆方程．解 (1)因为AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，AC 与AB垂直，所以直线AC 的斜率为－3．故AC 边所在直线的方程为y －1＝－3(x ＋1)， 即3x ＋y ＋2＝0．设C 为(x 0，－3x 0－2)，因为M 为BC 中点，所以B (4－x 0，3x 0＋2)．点B 代入x －3y －6＝0，解得x 0＝－45，所以C (－45，25)．所以BC 所在直线方程为：x ＋7y －2＝0．(2)因为Rt ΔABC 斜边中点为M (2，0)，所以M 为Rt ΔABC 外接圆的圆心． 又AM ＝22，从而Rt ΔABC 外接圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8．设P (a ，b )，因为动圆P 过点N ，所以该圆的半径r ＝(a ＋2)2＋b 2，圆方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2．由于⊙P 与⊙M 相交，则公共弦所在直线的方程m 为：(4－2a )x －2by ＋a 2＋b 2－r 2＋4＝0．因为公共弦长为4，r ＝22，所以M (2，0)到m 的距离d ＝2，即|2(4－2a )＋a 2＋b 2－r 2＋4|2(2－a )2＋b2＝2， 化简得b 2＝3a 2－4a ，所以r ＝(a ＋2)2＋b 2＝4a 2＋4． 当a ＝0时，r 最小值为2，此时b ＝0，圆的方程为x 2＋y 2＝4．【说明】本题考查直线与直线的位置关系，直线与圆有关知识，考查圆与圆位置关系及弦长的求法及函数最值求法．19．如图，平行四边形AMBN 的周长为8，点M ，N 的坐标分别为(－3，0)，(3，0)．(1)求点A ，B 所在的曲线L 方程；(2) 过 L 上点C (－2，0)的直线l 与L 交于另一点D ，与y 轴交于点E ，且l //OA ．求证：CD ²CE OA2为定值． 解 (1)因为四边形AMBN 是平行四边形，周长为8 所以两点A ，B 到M ，N 的距离之和均为4>23由椭圆定义可知，a ＝2，c ＝3，b ＝1．曲线L 方程为x 24＋y 2＝1（y ≠0）． (2)由已知可知直线l 的斜率存在．因为直线l 过点C (－2，0)，设直线l 的方程为y 代入曲线方程x 24＋y 2＝1(y ≠0)，并整理得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0．因为点C (－2，0)在曲线上，则D (－8k 2＋21＋4k 2，4k1＋4k 2)，E (0，2k )，所以CD ＝41＋k 2 1＋4k 2，CE ＝21＋k 2．因为OA //l ，所以设OA 的方程为y ＝kx ，代入曲线方程，并整理得(1＋4k 2)x 2＝4．所以x 2A ＝4 1＋4k 2，y A 2＝4k ２ 1＋4k 2，所以OA 2＝4＋4k ２1＋4k 2， 化简得CD ²CE OA 2＝2，所以CD ²CE OA2为定值． 【说明】本题考查用定义法求椭圆方程知识及直线与椭圆相交的有关线段的计算与证明．20．如图，在直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为2，且过点(2，62)．(1)求椭圆E 的方程；(2)若点A ，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，直线l 经过点B 且垂直于x 轴，点P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，直线AP 交l 于点M ．(i)设直线OM 的斜率为k 1，直线BP 的斜率为k 2，求证：k 1k 2为定值； *(ii)设过点M 垂直于PB 的直线为m ．求证：直线m 过定点，并求出定点的坐标.解：(1)由题意得2c ＝2 ，所以c ＝1，又2a 2＋32b2＝1消去a 可得2b 4－5b 2－3＝0，解得b 2＝3或b 2所以椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1．(2)(i)设P (x 1，y 1)(y 1≠0)，M (2，y 0)，则k 1＝y 02，k 2＝1x 1－2，因为A ，P ，M 三点共线，所以y 0＝4y 1x 1＋2， 则k 1k 2＝4y212(x 21－4)．因为P (x 1，y 1)在椭圆上，所以y 21＝34(4－x 21)，则k 1k 2＝4y212(x 21－4)＝－32为定值．(ii)方法一：直线BP 的斜率为k 2＝y 1x 1－2，直线m 的斜率为k m ＝2－x 1y 1，则直线m 的方程为y －y 0＝2－x 1y 1(x －2)，即y ＝2－x 1y 1(x －2)＋y 0＝2－x 1y 1(x －2)＋4y 1x 1＋2＝2－x 1y 1[(x －2)＋4y 124－x 12]＝2－x 1y 1[(x －2)＋12－3x 124－x 12]＝2－x 1y 1(x ＋1)，所以直线m 过定点(－1，0)．方法二：直线BP 的斜率为k 2＝y 1x 1－2，直线m 的斜率为k m ＝2－x 1y 1，则直线m 的方程为y －4y 1x 1＋2＝2－x 1y 1(x －2)， 若P 为(0，3)，则m 的方程为y ＝233x ＋233， 若P 为(0，－3)，则m 的方程为y ＝－233x －233，两直线方程联立解得Q (－1，0)．因为k MQ ²k 2＝4y 13(x 1＋2)²y 1x 1－2＝4y 123(x 12－4)＝12－3x 123(x 12－4)＝－1，所以Q 在过M 且与BP 垂直的直线上， 所以直线m 过定点(－1，0)．【说明】考查椭圆方程的求法及直线与椭圆中的一些定值、定点问题．其中定点问题可以考虑先从特殊情况入手，找到定点再证明． 21．已知函数f (x )＝1x －a ＋λx －b (a ，b ，λ为实常数)．(1)若λ＝－1，a ＝1．①当b ＝－1时，求函数f (x )的图象在点( 2，f (2))处的切线方程； ②当b ＜0时，求函数f (x )在[13，12]上的最大值．* (2)若λ＝1，b ＜a ，求证：不等式f (x )≥1的解集构成的区间长度D 为定值．解 (1)①当b ＝－1时，f (x )＝1x －1－1x ＋1＝2x 2－1，则f ′(x )＝－4x(x 2－1)2，可得f ′(2)＝－42，又f ( 2)＝2，故所求切线方程为y －2＝－4 2(x － 2)，即42x ＋y －10＝0．②当λ＝－1时，f (x )＝1x －1－1x －b，则 f ′(x )＝－1(x －1)2＋1(x －b )2＝(x －1)2－(x －b )2(x －1)2(x －b )2＝2(b －1)(x －b ＋12)(x －1)2(x －b )2．因为b ＜0，则b －1＜0 ，且b ＜b ＋12＜12故当b ＜x ＜b ＋12时，f ′(x )＞0，f (x )在(b ，b ＋12)上单调递增；当b ＋12＜x ＜12 时，f ′(x )＜0，f (x )在(b ＋12，12)单调递减．(Ⅰ)当b ＋12≤13，即b ≤－13时，f (x )在[13，12]单调递减，所以[f (x )]max ＝f (13)＝9b －92－6b； (Ⅱ)当13＜b ＋12＜12，即－13＜b ＜0时，[f (x )]max ＝f (b ＋12)＝4b －1．综上所述，[f (x )]max ＝⎩⎨⎧ 4b －1，－13＜b ＜0， 9b －92－6b ，b ≤－13．(2) f(x)≥1即1x－a＋1x－b≥1．……………………(*)①当x＜b时，x－a＜0，x－b＜0，此时解集为空集．②当a＞x＞b时，不等式(*)可化为(x－a)＋(x－b)≤(x－a)(x－b)，展开并整理得，x2－(a＋b＋2)x＋(ab＋a＋b)≥0，设g (x)＝x2－(a＋b＋2)x＋(ab＋a＋b)，因为△＝(a－b)2＋4＞0，所以g(x)有两不同的零点，设为x1，x2(x1＜x2)，又g (a)＝b－a＜0，g (b)＝a－b＞0，且b＜a，因此b＜x1＜a＜x2，所以当a＞x＞b时，不等式x2－(a＋b＋2)x＋(ab＋a＋b)≥0的解为b＜x ≤x1．③当x＞a时，不等式(*)可化为(x－a)＋(x－b)≥(x－a)(x－b)，展开并整理得，x2－(a＋b＋2)x＋(ab＋a＋b)≤0，由②知，此时不等式的解为a＜x≤x2综上所述，f(x)≥1的解构成的区间为(b，x1]∪(a，x2]，其长度为(x1－b)＋(x2－a)＝x1＋x2－a－b＝a＋b＋2－a－b＝2．故不等式f(x)≥1的解集构成的区间长度D为定值2．【说明】本题考查了导数的应用、分类讨论思想、解一元二次不等式．其中第(2)问涉及不常考的解一元二次不等式分类讨论问题，注意比较a、b与两根的大小．22．已知函数f (x)＝ln x(x＞0)．(1)求函数g (x)＝f (x)－x＋1的极值；*(2)求函数h(x)＝f (x)＋|x－a|(a为实常数)的单调区间；*(3)若不等式(x 2－1)f (x )≥k (x －1)2对一切正实数x 恒成立，求实数k 的取值范围．解：(1)g (x )＝ln x －x ＋1，g ′(x )＝1x －1＝1－xx，当0＜x ＜1时，g ′(x )＞0；当x ＞1时，g ′(x )＜0， 可得g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 故g (x )有极大值为g (1)＝0，无极小值． (2)h (x )＝ln x ＋|x －a |．当a ≤0时，h (x )＝ln x ＋x －a ，h ′(x )＝1＋1x＞0恒成立，此时h (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞0时，h (x )＝⎩⎨⎧ln x ＋x －a ，x ≥a ，ln x －x ＋a ，0＜x ＜a ．①当x ≥a 时，h (x )＝ln x ＋x －a ，h ′(x )＝1＋1x＞0恒成立，此时h (x )在(a ，＋∞)上单调递增；②当0＜x ＜a 时，h (x )＝ln x －x ＋a ，h ′(x )＝1x －1＝1－xx．当0＜a ≤1时，h ′(x )＞0恒成立，此时h (x )在(0，a )上单调递增； 当a ＞1时，当0＜x ＜1时h ′(x )＞0，当1≤x ＜a 时h ′(x )≤0， 所以h (x )在(0，1)上单调递增，在(1，a )上单调递减． 综上，当a ≤1时，h (x )的增区间为(0，＋∞)，无减区间；当a ＞1时，h (x )增区间为(0，1)，(a ，＋∞)；减区间为(1，a )． (3)不等式(x 2－1)f (x )≥k (x －1)2对一切正实数x 恒成立，即(x 2－1)ln x ≥k (x －1)2对一切正实数x 恒成立． 当0＜x ＜1时，x 2－1＜0；ln x ＜0，则(x 2－1)ln x ＞0；当x≥1时，x2－1≥0；ln x≥0，则(x2－1)ln x≥0．因此当x＞0时，(x2－1)ln x≥0恒成立．又当k≤0时，k(x－1)2≤0，故当k≤0时，(x2－1)ln x≥k(x－1)2恒成立．下面讨论k＞0的情形．当x＞0且x≠1时，(x2－1)ln x－k(x－1)2＝(x2－1)[ln x－k(x－1)x＋1]．设h(x)＝ln x－k(x－1)x＋1(x＞0且x≠1)，h′(x)＝1x－2k(x＋1)2＝x2＋2(1－k)x＋1x(x＋1)2．记△＝4(1－k)2－4＝4(k2－2k)．①当△≤0，即0＜k≤2时，h′(x)≥0恒成立，故h(x)在(0，1)及(1，＋∞)上单调递增．于是当0＜x＜1时，h(x)＜h(1)＝0，又x2－1＜0，故(x2－1) h(x)＞0，即(x2－1)ln x＞k(x－1)2．当x＞1时，h(x)＞h(1)＝0，又x2－1＞0，故(x2－1)h(x)＞0，即(x2－1)ln x ＞k(x－1)2．又当x＝1时，(x2－1)ln x＝k(x－1)2．因此当0＜k≤2时，(x2－1)ln x≥k(x－1)2对一切正实数x恒成立．②当△＞0，即k＞2时，设x2＋2(1－k)x＋1＝0的两个不等实根分别为x1，x2(x1＜x2)．函数φ(x)＝x2＋2(1－k)x＋1图像的对称轴为x＝k－1＞1，又φ(1)＝4－2k＜0，于是x1＜1＜k－1＜x2．故当x∈(1，k－1)时，φ(x)＜0，即h′(x)＜0，从而h(x)在(1，k－1)在单调递减；而当x∈(1，k－1)时，h(x)＜h(1)＝0，此时x2－1＞0，于是(x2－1) h(x)＜0，即(x2－1)ln x＜k(x－1)2，因此当k＞2时，(x2－1)ln x≥k(x－1)2对一切正实数x不恒成立．综上，当(x2－1)f (x)≥k(x－1)2对一切正实数x恒成立时，k≤2，即k的取值范围是(－∞，2]．【说明】本题以函数的最值为载体考查分类讨论思想．第三问比较难，两个注意：①适当变形后研究函数h(x)；②当k＞2时，区间(1，k－1)是如何找到的．23．已知函数f (x)＝sin x－x cos x的导函数为f ′(x)．(1)求证：f (x)在(0，π)上为增函数；(2)若存在x∈(0，π)，使得f′(x)＞12x2＋λx成立，求实数λ的取值范围；*(3)设F(x)＝f′(x)＋2cos x，曲线y＝F(x)上存在不同的三点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，x1＜x2＜x3，且x1，x2，x3∈(0，π)，比较直线AB的斜率与直线BC的斜率的大小，并证明．解 (1)证明：f′(x)＝x sin x，当x∈(0，π)时，sin x＞0，所以f′(x)＞0恒成立，所以f (x) 在(0，π)上单调递增．(2)因为f′(x)＞12x2＋λx，所以x sin x＞12x2＋λx．当0＜x＜π时，λ＜sin x－12 x．设φ(x )＝sin x －12x ，x ∈(0，π)，则φ′(x )＝cos x －12．当0＜x ＜π3时，φ′(x )＞0；当π3＜x ＜π时，φ′(x )＜0．于是φ (x )在(0，π3)上单调递增，在 (π3，π)上单调递减，所以当0＜x ＜π时，φ(x )max ＝g (π3)＝32－π6因此λ＜32－π6．(3)由题意知只要判断F (x 3)－F (x 2)x 3－x 2＜F (x 2)－F (x 1)x 2－x 1的大小．首先证明：F (x 3)－F (x 2)x 3－x 2＜F ′(x 2)．由于x 2＜x 3，因此只要证：F (x 3)－F (x 2)＜(x 3－x 2) F ′(x 2)． 设函数G (x )＝F (x )－F (x 2)－(x －x 2) F ′(x 2)( x 2＜x ＜π)，因为F ′(x )＝x cos x －sin x ＝－f (x )，所以G ′(x )＝F ′(x )－F ′(x 2)＝f (x 2)－f (x )，由（1）知f (x )在(0，π)上为增函数，所以G ′(x )＜0． 则G (x )在(x 2，π)上单调递减，又x ＞x 2，故G (x )＜G (x 2)＝0．而x 2＜x 3＜π，则G (x 3)＜0，即F (x 3)－F (x 2)－(x 3－x 2) F ′(x 2)＜0，即F (x 3)－F (x 2)＜(x 3－x 2) F ′(x 2)．从而F (x 3)－F (x 2)x 3－x 2＜F ′(x 2)得证．同理可以证明：F ′(x 2)＜F (x 2)－F (x 1)x 2－x 1．因此有F (x 3)－F (x 2)x 3－x 2＜F (x 2)－F (x 1)x 2－x 1，即直线AB 的斜率大于直线BC 的斜率．【说明】本题以三角函数为载体，考查导数的应用及分类讨论思想，适时结合形分析．其中第三问找一个中间量F′(x2)，难度稍大．24．已知数集A＝{a1，a2，…，a n}(0≤a1＜a2＜…＜a n，n≥2，n∈N*)具有性质P： i，j(1≤i≤j≤n)，a i＋a j与a j－a i两数中至少有一个属于A．(1)分别判断数集{1，2，3，4}是否具有性质P，并说明理由；(2)证明：a1＝0；*(3)证明：当n＝5时，a1，a2，a3，a4，a5成等差数列．证明 (1)由于4＋4与4－4均不属于数集{1，2，3，4}，所以该数集不具有性质P．(2)因为A＝{a1，a2，…，a n}具有性质P，所以a n＋a n与a n－a n中至少有一个属于A，又a n＋a n＞a n，所以a n＋a n∈∕A，所以a n－a n∈A，即0∈A，又a1≥0，a2＞0，所以a1＝0；(3)当n＝5时，取j＝5，当i≥2时，a i＋a5＞a5，由A具有性质P，a5－a i∈A，又i＝1时，a5－a1∈A，所以a5－a i∈A，i＝1，2，3，4，5．因为0＝a1＜a2＜a3＜a4＜a5，所以a5－a1＞a5－a2＞a5－a3＞a5－a4＞a5－a5＝0，则a5－a1＝a5，a5－a2＝a4, a5－a3＝a3，从而可得a2＋a4＝a5，a5＝2a3，故a2＋a4＝2a3，即0＜a4－a3＝a3－a2＜a3，又因为a3＋a4＞a2＋a4＝a5，所以a3＋a4∈∕A，则a4－a3∈A，则有a4－a3＝a2＝a2－a1．又因为a5－a4＝a2＝a2－a1，所以a5－a4＝a4－a3＝a3－a2＝a2－a1＝a2，即a1，a2，a3，a4，a5是首项为0，公差为a2的等差数列．【说明】本题主要考查集合、等差数列的性质，考查运算能力、推理论证能力，本题是数列与不等式的综合题．对于复杂的数列问题，我们往往可以从特殊情况入手，找到解题的突破口．25．设M⊂≠N*，正项数列{a n}的前项积为T n，且∀k∈M，当n＞k 时，T n＋k T n－k＝T n T k都成立．(1)若M＝{1}，a1＝3，a2＝33，求数列{a n}的前n项和；(2)若M＝{3，4}，a1＝2，求数列{a n}的通项公式．解：(1)当n≥2时，因为M＝{1}，所以T n＋1T n－1＝T n T1，可得a n＋1＝a n a12，故a n＋1 a n＝a12＝3(n≥2)．又a1＝3，a2＝33，则{a n}是公比为3的等比数列，故{a n}的前n项和为3(1－3n)1－3＝32²3n－32．(2)当n＞k时，因为T n＋k T n－k＝T n T k，所以T n＋1＋k T n＋1－k＝T n＋1T k，所以T n ＋k T n －kT n ＋1＋k T n ＋1－k＝T n T k T n ＋1T k，即a n ＋1＋k a n ＋1－k ＝a n ＋1， 因为M ＝{3，4}，所以取k ＝3，当n ＞3时，有a n ＋4a n －2＝a n ＋12； 取k ＝4，当n ＞4时，有a n ＋5a n －3＝a n ＋12． 由a n ＋5a n －3＝a n ＋12知，数列a 2，a 6，a 10，a 14，a 18，a 22，…，a 4n －2，…，是等比数列，设公比为q ．………………①由a n ＋4a n －2＝a n ＋12 知，数列a 2，a 5，a 8，a 11，a 14，a 17，…，a 3n －1，…，是等比数列，设公比为q 1，………………②数列a 3，a 6，a 9，a 12，a 15，a 18，…，a 3n ，…，成等比数列，设公比为q 2，…………………③数列a 4，a 7，a 10，a 13，a 16，a 19，a 22，…，a 3n ＋1，…，成等比数列，设公比为q 3，…………④由①②得，a 14a 2＝q 3，且a 14a 2＝q 14，所以q 1＝q 34；由①③得，a 18a 6＝q 3，且a 18a 6＝q 24，所以q 2＝q 34；由①④得，a 22a 10＝q 3，且a 22a 10＝q 34，所以q 3＝q 34；所以q 1＝q 2＝q 3＝q 34．由①③得，a 6＝a 2q ，a 6＝a 3q 2，所以a 3a 2＝qq 2＝q 14，由①④得，a 10＝a 2q 2，a 10＝a 4q 32，所以a 4a 2＝q 2q 32＝q 12，所以a 2，a 3，a 4是公比为q 14的等比数列，所以{a n }(n ≥2)是公比为q 14的等比数列．因为当n ＝4，k ＝3时，T 7T 1＝T 42T 32；当n ＝5，k ＝4时，T 9T 1＝T 52T 42， 所以(q 14)7＝2a 24，且(q 14)10＝2a 26，所以q 14＝2，a 2＝2 2． 又a 1＝2，所以{a n }(n ∈N *)是公比为q 14的等比数列．故数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －1² 2．【说明】本题主要考查等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分分类讨论等数学思想方法．*26．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{M n }满足条件：M 1= S t 1，当n ≥2时，M n = S t n －S t n －1，其中数列{t n }单调递增，且t n ∈N *．（1）若a n ＝n ，①试找出一组t 1、t 2、t 3，使得M 22＝M 1M 3；②证明：对于数列a n ＝n ，一定存在数列{t n }，使得数列{M n }中的各数均为一个整数的平方；（2）若a n ＝2n －1，是否存在无穷数列{t n }，使得{M n }为等比数列．若存在，写出一个满足条件的数列{t n }；若不存在，说明理由．解：（1）若a n ＝n ，则S n ＝n 2＋n2，①取M 1＝S 1＝1，M 2＝S 4－S 1＝9，M 3＝S 13－S 4＝81，满足条件M 22＝M 1M 3， 此时t 1＝1，t 2＝4，t 3＝13．②由①知t 1＝1，t 2＝1＋3，t 3＝1＋3＋32，则M 1＝1，M 2＝32，M 3＝92，一般的取t n ＝1＋3＋32＋…＋3n －1＝3n－12，此时S t n ＝3n －12(1＋3n －12)2，S t n －1＝3n －1－12(1＋3n －1－12)2，则M n ＝S t n －S t n －1＝3n －12(1＋3n －12)2－3n －1－12(1＋3n －1－12)2＝(3n －1)2，所以M n 为一整数平方．因此存在数列{t n }，使得数列{M n }中的各数均为一个整数的平方． （3）假设存在数列{t n }，使得{M n }为等比数列，设公比为q ．因为S n ＝n 2，所以S t n＝t n 2，则M 1＝t 12，当n ≥2时，M n ＝t n 2－t n －12＝q n －1 t 12，因为q 为正有理数，所以设q ＝rs(r ，s 为正整数，且r ，s 既约)．因为t n 2－t n －12必为正整数，则r n －1s n －1t 12∈N *，由于r ，s 既约，所以t 12sn －1必为正整数．若s ≥2，且{t n }为无穷数列，则当n ＞log s t 12＋1时，t 12s n －1＜1，这与t 12sn －1为正整数相矛盾．于是s ＝1，即q 为正整数．注意到t 32＝M 3＋M 2＋M 1＝M 1(1＋q ＋q 2)＝t 12(1＋q ＋q 2)，于是t 32t 12＝1＋q＋q2．因为1＋q＋q2∈N*，所以t32t12∈N*．又t3t1为有理数，从而t3t1必为整数，即1＋q＋q2为一整数的平方．但q2＜1＋q＋q2＜(q＋1) 2，即1＋q＋q2不可能为一整数的平方．因此不存在满足条件的数列{t n}．【说明】本题主要考查等差、等比数列的性质，考查阅读理解能力、运算求解能力、推理论证能力．对于新构造的函数，可以尝试列举，了解构造的过程和含义，从中观察发现规律或寻找突破口．对于存在性问题，也可以考虑先从特殊情况入手寻找突破口．*27．已知(1＋x)2n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2n x2n．(1)求a1＋a2＋a3＋…＋a2n的值；(2)求1a1－1a2＋1a3－1a4＋…＋1a2n－1－1a2n的值．解 (1)令x＝0得，a0＝1；令x＝1得，a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2n＝22n．于是a1＋a2＋a3＋…＋a2n＝22n－1．(2)a k＝C k2n，k＝1，2，3，…，2n，首先考虑1C k2n＋1＋1C k＋12n＋1＝k!(2n+1－k)!(2n＋1)!＋(k＋1)!(2n－k)!(2n＋1)!＝k!(2n－k)!(2n＋1－k＋k＋1)(2n＋1)!＝k!(2n－k)!(2n＋2)(2n＋1)!＝2n＋2(2n＋1) C k2n，则1C k 2n ＝2n ＋12n ＋2(1 C k 2n ＋1＋1C k ＋12n ＋1)，因此1C k 2n －1 C k ＋12n ＝2n ＋12n ＋2(1 C k 2n ＋1－1 C k ＋22n ＋1)．故1a 1－1a 2＋1a 3－1a 4＋…＋1a 2n －1－1a 2n ＝2n ＋12n ＋2(1 C 12n ＋1－1 C 32n ＋1＋1 C 32n ＋1－1 C 52n ＋1＋…＋1C 2n －12n ＋1－1 C 2n ＋12n ＋1) ＝2n ＋12n ＋2(1 C 12n ＋1－1 C 2n ＋12n ＋1)＝2n ＋12n ＋2(12n ＋1－1)＝－nn ＋1．【说明】本题考查二项式定理、赋值法、组合恒等变换．关于组合数的倒数问题一直没有涉及过，注意关注一下．。

广州市2018年高三数学综合测试（一）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分为150分．考试时间 120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共60分）参考公式：三角函数和差化积公式2sin 2sin 2cos cos 2cos 2cos 2cos cos 2sin 2cos 2sin sin 2cos 2sin 2sin sin ϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθ-+-=--+=+-+=--+=+正棱台、圆台的侧面积公式：S 台侧=l c c )'(21+，其中c '、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长 台体的体积公式V 台体=h S S S S )''(31++，其中S '、S 分别表示上、下底面积，h 表示高一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）满足条件M ⊂{0，1，2}的集合M 共有A ．3个B ．6个C ．7个D ．8个（2）在等比数列{a n }中，a 1=31，公比q =31，前n 项和为S n ，则∞→n lim S n 的值为 A ．0 B ．31 C ．21 D ．1 （3）(x 2＋x1)12的展开式的常数项是 A ．第四项 B ．第五项 C ．第八项 D ．第九项（4）与圆 (x －2)2＋y 2=2相切，且在x 轴与y 轴上的截距相等的直线有A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条（5）复数z 1、z 2在复平面上对应的点分别是A 、B ，O 为坐标原点，若z 1=2 (cos60°＋i sin60°)·z 2，|z 2|=2，则△AOB 的面积为A ．43B ．23C ．3D ．2（6）函数y =lg11-x 的图象大致是A B C D（7）已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，则下列命题中正确的是A ．α∥β⇒l ⊥mB ．α⊥β⇒l ∥mC ．l ∥β⇒m ⊥αD ．l ⊥m ⇒α∥β（8）在极坐标系中，已知等边三角形ABC 的两个顶点A (2，4π)、B (2，45π)，顶点C 在直线32)43cos(=-πθρ上，那么顶点C 的极坐标是 A ．(4732π，) B ．(2，47π) C ．（2，43π） D ．（23，43π） （9）设函数f (x )的定义域为（－∞，＋∞），对于任意x 、y ∈（－∞，＋∞），都有f (x ＋y )= f (x )＋f (y )，当x >0时，f (x ) <0，则函数f (x ) 为A ．奇函数，且在（－∞，＋∞）上为增函数B ．奇函数，且在（－∞，＋∞）上为减函数C ．偶函数，且在（－∞，0）上为增函数，在（0，＋∞）上为减函数D ．偶函数，且在（－∞，0）上为减函数，在（0，＋∞）上为增函数（10）函数y =sin 2x ＋2cos x (3π≤x ≤34π)的最大值和最小值分别是 A ．最大值为47，最小值为－41 B ．最大值为47，最小值为－2C ．最大值为2，最小值为－41 D ．最大值为2，最小值为－2（11）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB =AC =13，BB 1=BC =6，E 、F 为侧棱AA 1上的两点，且EF =3，则多面体BB 1C 1CEF 的体积为A ．30B ．18C ．15D ．12（12）三人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有A ．6种B ．8种C ．10种D ．16种第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在题中的横线上.（13）已知函数f (x )=1＋(21)1－x ，则f －1(5)= ． （14）已知圆台的轴截面面积为Q ，母线与底面成30°的角，则该圆台的侧面积为 ．（15）某校有一个由18名学生组成的社区服务小组，其中女生多于男生．现从这个小组内推选二女一男共3名学生参加某街道的科普宣传活动，不同的推选方法的总数恰为该组内女生人数的33倍，则这个小组内女生人数为 （用数字作答）．（16）长度为a 的线段AB 的两个端点A 、B 都在抛物线y 2=2px (p >0，且a >2p )上滑动，则线段AB 的中点M 到y 轴的最短距离为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分10分）解不等式 1＋log 21(x ＋4)< 2log 21(x －2) ．（18）（本小题满分12分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，4sin 22C B －cos2A =27． （Ⅰ）求角A 的度数；（Ⅱ）若a =3，b ＋c =3，求b 和c 的值．（19）（本小题满分12分）正方形ABCD 的边长为a ，E 、F 分别为边AD 、BC 的中点（如图甲所示）．现将该正方形沿其对角线BD 折成直二面角，并连结AC 、EF ，得到如图乙所示的棱锥A －BCD ．在棱锥A －BCD 中，（Ⅰ）求线段AC 的长；（Ⅱ）求异面直线EF 和AB 所成角的大小．图 甲 图 乙（20）（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率e =21，且经过点M (－1，23)． （Ⅰ）求椭圆C 的方程．（Ⅱ）若椭圆C 上有两个不同的点P 、Q 关于直线y =4x ＋m 对称，求m 的取值范围．（21）（本小题满分14分）流行性感冒（简称流感）是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病．某市去年11月份曾发生流感．据资料统计，11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人．由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制．从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人．到11月30日止，该市在这30日内感染该病毒的患者总共有8670人．问11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数．（22）（本小题满分14分）已知函数f (x )=12 a a(a x －a －x )，其中a >0，a ≠1． （Ⅰ）判断函数f (x )在 (－∞，＋∞) 上的单调性，并根据函数单调性的定义加以证明； （Ⅱ）若n ∈N ，且n ≥2，证明f (n )>n ．。

秘密 ★ 启用前 试卷类型： A2018年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学2018．3本试卷共5页，23小题， 满分150分。

考试用时120分钟。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数z 满足()21i 4i z -=，则复数z 的共轭复数z = A ．2- B ．2 C ．2i - D ．2i2．设集合301x A x x ⎧+⎫=<⎨⎬-⎩⎭，{}3B x x =-≤，则集合{}1x x =≥ A ．A B IB ．A B UC ．()()A B R R U 痧D ．()()A B R R I 痧 3．若A ，B ，C ，D ，E 五位同学站成一排照相，则A ，B 两位同学不相邻的概率为 A ．45 B ．35 C ．25 D ．154．执行如图所示的程序框图，则输出的S = A ．920 B ．49 C ．29 D ．940 5．已知3sin 45x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 4x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭ A ．45 B ．35C ．45-D ．35- 6．已知二项式212n x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的所有二项式系数之和等于128，那么其展开式中含1x 项的系数是 A ．84- B ．14- C ．14 D ．847．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的表 面积为A ．44223++B ．1442+C ．104223++D ．4 8．若x ，y 满足约束条件20,210,10,x y y x -+⎧⎪-⎨⎪-⎩≥≥≤ 则222z x x y =++的最小值为 A ．12 B ．14 C ．12- D ．34-9．已知函数()sin 6f x x ωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0ω>在区间43π2π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增，则ω的取值范围为A ．80,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．18,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 10．已知函数()322f x x ax bx a =+++在1x =处的极值为10，则数对(),a b 为 A ．()3,3- B ．()11,4- C ．()4,11- D ．()3,3-或()4,11-11．如图，在梯形ABCD 中，已知2AB CD =，25AE AC =uu u r uuu r ，双曲线 过C ，D ，E 三点，且以A ，B 为焦点，则双曲线的离心率为A ．7B ．22C ．3D ．1012．设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对于任意的实数x ，都有()()22f x f x x +-=，当0x <时，()12f x x '+<，若()()121f a f a a +-++≤，则实数a 的最小值为 A ．12- B ．1- C ．32- D ．2-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．D CA B E13．已知向量(),2m=a，()1,1=b，若+=+a b a b，则实数m=．14．已知三棱锥P ABC-的底面ABC是等腰三角形，AB AC⊥，PA⊥底面ABC，1==ABPA，则这个三棱锥内切球的半径为．15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若()()2cos2cos0a Bb A cθθ-+++=，则cosθ的值为．16．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，用图①的三角形形象地表示了二项式系数规律，俗称“杨辉三角形”．现将杨辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数表，由上往下数，记第n行各数字的和为n S，如11S=，22S=，32S=，44S=，……，则126S=．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．（一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）已知数列{}na的前n项和为nS，数列nSn⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为2的等差数列．（1）求数列{}na的通项公式；（2）设数列{}nb满足()121215452nnnaa anb b b⎛⎫+++=-+ ⎪⎝⎭L，求数列{}nb的前n项和nT．图②图①18．（本小题满分12分）某地1~10岁男童年龄i x （岁）与身高的中位数i y ()cm ()1,2,,10i =L 如下表： x （岁） 12 3 4 5 6 7 8 9 10 y ()cm 76.5 88.5 96.8 104.1 111.3 117.7 124.0 130.0 135.4 140.2对上表的数据作初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．x y ()1021x x i i ∑-= ()1021y y i i ∑-= ()()101x x y y i i i ∑--=5.5 112.45 82.50 3947.71 566.85（1）求y 关于x 的线性回归方程（回归方程系数精确到0.01）；（2）某同学认为，2y px qx r =++更适宜作为y 关于x 的回归方程类型，他求得的回归方程是20.3010.1768.07y x x =-++．经调查，该地11岁男童身高的中位数为145.3cm ．与（1）中的线性回归方程比较，哪个回归方程的拟合效果更好？附：回归方程y a bx =+$$$中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ，a y bx =-$$．19．（本小题满分12分）如图，四棱锥S ABCD -中，△ABD 为正三角形，︒=∠120BCD ， 2CB CD CS ===，︒=∠90BSD ．（1）求证：AC ⊥平面SBD ；（2）若BD SC ⊥，求二面角C SB A --的余弦值．()()()121n x x y y i i i b n x x i i =--∑=-∑=$D C BS20．（本小题满分12分）已知圆(2216x y +=的圆心为M ，点P 是圆M 上的动点，点)N ，点G 在线段MP 上，且满足()()GN GP GN GP +⊥-uuu r uu u r uuu r uu u r ．（1）求点G 的轨迹C 的方程；（2）过点()4,0T 作斜率不为0的直线l 与（1）中的轨迹C 交于A ，B 两点，点A 关于 x 轴的对称点为D ，连接BD 交x 轴于点Q ，求△ABQ 面积的最大值．21．（本小题满分12分）已知函数()ln 1f x ax x =++．（1）讨论函数()x f 零点的个数；（2）对任意的0>x ，()2e x f x x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知过点(),0P m 的直线l的参数方程是,1,2x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，且2PA PB ⋅=，求实数m 的值．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数()f x =23x a x b ++-．（1）当1a =，0b =时，求不等式()31f x x +≥的解集； （2）若0a >，0b >，且函数()f x 的最小值为2，求3a b +的值．参考答案1-5：ADBDD6-10：ACDBC11-12：AA13、214、3315、－1216、6417、18、（2）。

2018－2018学年度高三综合测试(二)数 学本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页．满分为150分。

考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上，用2B 铅笔将试卷类型(A )填涂在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．第一部分 选择题(共50分)参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式P (A ＋B )=P (A )＋P (B ) S =4πR 2 如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径 P (A ·B )=P (A )·P (B )球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P .334R V π=那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径k n kk n n P P C k P --=)1()(一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．1．设q p ,均为实数，则“0q <”是“方程20x px q ++=有一个正实根和一个负实根”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2．等差数列}{n a 中，已知前13项的和为1352S =，则7a 等于A. 2B. 4C. 6D. 83．不等式0322<-+x x 的解集为A. （3-，1）B. （3-，3）C. ),1()1,(+∞--∞D. （1-，1）4．下列求导运算中：① 211()'1x x x +=+ ② 21(log )'ln 2x x = ③ sin sin (2)'2ln 2cos x xx =⋅⋅④ 22(cos2)'2cos2sin 2x x x x x x =+ 运算正确的是A. ①②B. ②③C. ③④D. ④①5．设函数xx f 2)(=的反函数为)(1x f-，若1)()(11=+--b f a f ，则a b ⋅的值是A. 2B. 4C. 22D. 26．若1log log 0a a m n +=>（10<<a ），则,m n 与1的大小关系是A. 1m n <<B. 1m n <<C. 1n m <<D. 1m n <<7．函数)1( )1|(|log >+=a x y a 的大致图像是8．已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，)()2(x f x f -=+，当10≤≤x 时，x x f =)(，则)5.7(f 等于A. 5.0B. 5.0-C. 5.1D. 5.1-9．在等比数列{n a }中，11>a ，且前n 项和n S 满足11lim a S n n =∞→，那么1a 的取值范围是 A. （1，∞+） B. （1，4） C. （1，2） D. （1，2）10．定义运算⎩⎨⎧<≥=⊗)(,)(,b a a b a b b a ，则函数xx x f 33)(⊗=-的值域是A. ),0(+∞B. )1,0(C. ]1,0(D. ]1,0[第二部分 非选择题(共100分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．定义 f (x ，y ) = (y 2，y －2x )，若 f (m ，n ) = (0，2)，则 (m ，n ) = _________.12．一种计算装置，有一数据入口A 和一个运算出口B ，执行某种运算程序； （1）当从A 口输入自然数1时，从B 口得到实数31，记为=)1(f 31； （2）当从A 口输入自然数)2(≥n n 时，在B 口得到的结果)(n f 是前一结果)1(-n f 的2321n n -+倍. 当从A 口输入3时，从B 口得到 .13．若定义在区间[3a -，5]上的函数32()3f x ax bx x =--是奇函数，则a +b =_________.14．若221[,8]()log log (4)88xx f x x ∈=⋅，则 的最大值是________________.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分12分）设函数32y ax bx cx d =+++的图像与y 轴的交点为P 点，且曲线在P 点处的切线方程为1240x y --=.若函数在2x =处取得极值０，试确定函数的解析式.16．（本题满分13分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足211=a ，)2(021≥=⋅+-n S S a n n n （Ⅰ）求证：{nS 1}是等差数列； （Ⅱ）求a n 的表达式.17．（本小题满分13分）设函数2()21f x x x =+--，x R ∈ （1）判断函数()f x 的奇偶性；（2）求函数的最小值.18.（本题满分1４分）已知a ＞0，函数3()y f x x ax ==-在x ∈[)∞+,1是一个单调函数， (Ⅰ) 求实数a 的取值范围；(Ⅱ) 设01x ≥，()01f x ≥，且()00f f x x =⎡⎤⎣⎦，试用反证法证明：()00f x x =.19．（本小题满分14分）函数(0)y kx k =>的图像与函数2log y x =的图像交于11,A B 两点（O 为坐标原点），过11,A B 作x 轴的垂线，垂足分别是M 、N ，并且11,A M B N 分 别交函数4log y x =的图像于22,A B 两点（1）求证：2B 是1B N 的中点；（2）若12A B 平行于x 轴，求四边形1221A A B B 的面积.20．（本小题满分14分）已知函数f ( x )= 1x 2-4( x < -2 ) （1）求 f- 1( x )；（2）设a 1=1，1a n +1= - f - 1 ( a n ) ( n ∈ N* ), 求 a n ；（3）记b n = a 2n +1 +a 2n +2 +…+ a 22n +1 ，是否存在最小正整数m ，使对任意n ∈ N*，有b n <m25成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由。

2018届湖南省长沙市高三下学期综合检测数学试题第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如果复数z ＝2－1＋i ，则( )A ．|z |＝2B ．z 的实部为1C ．z 的虚部为－1D ．z 的共轭复数为1＋i2．等比数列{a n }中，a 1＝1，q ＝2，则T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1的结果为( )A ．1－14nB ．1－12nC.23⎝⎛⎭⎪⎫1－14nD.23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 3．已知研究x 与y 之间关系的一组数据如下表所示，则y 对x 的回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^必过点( )A.(1,2)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，0 C ．(2,2) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，44．设M 是△ABC 边BC 上任意一点，且2AN →＝NM →，若AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( ) A.14 B.13 C.12D ．15．下面图(1)是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为A 1、A 2、…、A 16，图(2)是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的程序框图，那么该程序框图输出的结果是( )图(1)图(2)A ．6B ．10C ．91D ．926．某同学在纸上画出如下若干个三角形：△▲△△▲△△△▲△△△△▲△△△△△▲……，若依此规律，得到一系列的三角形，则在前2 015个三角形中共有▲的个数是( ) A ．64 B ．63 C ．62D ．617．已知集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －4≤0x ＋y ≥0x －y ≥0表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P (x ，y )，则点P 的坐标满足不等式x 2＋y 2≤2的概率为( )A.π32 B.3π16 C.π16D.3π328．已知函数f (x )＝e x＋x ，对于曲线y ＝f (x )上横坐标成等差数列的三个点A ，B ，C ，给出以下判断： ①△ABC 一定是钝角三角形； ②△ABC 可能是直角三角形； ③△ABC 可能是等腰三角形； ④△ABC 不可能是等腰三角形．其中，正确的判断是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③D ．②④9．(2015·洛阳统考)设实轴长为2的等轴双曲线的焦点为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆交双曲线于A 、B 、C 、D 四点，则|F 1A |＋|F 1B |＋|F 1C |＋|F 1D |等于( )A ．4 3B ．2 3 C. 3D.3210．某班有60名学生，一次考试后数学成绩ξ～N (110,102)，若P (100≤ξ≤110)＝0.35，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为( ) A ．10 B ．9 C ．8D ．711．设n ＝ʃπ204sin x d x ，则二项式(x －1x )n的展开式的常数项是( )A ．12B ．6C ．4D ．112．(2015·济源模拟)已知F 1，F 2是椭圆的左，右焦点，若椭圆上存在点P ，使得PF 1⊥PF 2，则椭圆的离心率的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫55，1 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 C.⎝⎛⎦⎥⎤0，55 D.⎝⎛⎦⎥⎤0，22 第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝2 016|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为________．14．给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导数，f ″(x )是函数f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．经探究发现：任何一个三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)都有“拐点”，且该“拐点”也为该函数的对称中心．若f (x )＝x 3－32x 2＋12x ＋1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 016＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 016＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0152 016＝________. 15．已知集合M ＝N ＝{0,1,2,3}，定义函数f ：M →N ，且点A (0，f (0))，B (i ，f (i ))，C (i ＋1，f (i ＋1))(其中i ＝1,2)．若△ABC 的内切圆圆心为I ，且IA →＋IC →＝λIB →(λ∈R)，则满足条件的△ABC 有________个．16．以下给出的是计算12＋14＋16＋…＋120的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)(2015·北京西城区二模)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋3cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，其中ω>0，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2(1)求ω与φ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝455，求2sin α－sin 2α2sin α＋sin 2α的值．18．(12分)已知函数f (x )＝ax －ln(1＋x 2)． (1)当a ＝45时，求函数f (x )在(0，＋∞)上的极值；(2)证明：当x >0时，ln(1＋x 2)<x ；(3)证明：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋124⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋134…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n 4<e (n ∈N *，n ≥2，e 为自然对数的底数)．19.(12分)(2015·咸阳模拟)如图，四边形PCBM 是直角梯形，∠PCB ＝90°，PM ∥BC ，PM ＝1，BC ＝2.又AC ＝1，∠ACB ＝120°，AB ⊥PC ，直线AM 与直线PC 所成的角为60°.(1)求证：PC ⊥AC ；(2)求二面角M —AC —B 的余弦值； (3)求点B 到平面MAC 的距离．20．(12分)某产品按行业生产标准分成6个等级，等级系数ξ依次为1,2,3,4,5,6，按行业规定产品的等级系数ξ≥5的为一等品，3≤ξ<5的为二等品，ξ<3的为三等品．若某工厂生产的产品均符合行业标准，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：1 3 1 1 6 3 3 4 12 4 1 2 53 1 2 6 3 1 6 1 2 1 2 2 5 34 5(1)以此30件产品的样本来估计该厂产品的总体情况，试分别求出该厂生产的产品为一等品、二等品和三等品的概率；(2)已知该厂生产一件产品的利润y (单位：元)与产品的等级系数ξ的关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，ξ<3，2，3≤ξ<5，4，ξ≥5若从该厂大量产品中任取两件，其利润记为Z ，求Z 的分布列和均值．21.(12分)已知数列{a n }，其前n 项和是S n 且S n ＋12a n ＝1 (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3(1－S n ＋1) (n ∈N *)，求使方程1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝2551成立的正整数n 的值．22．(12分)(2015·合肥质检)焦点分别为F 1，F 2的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)过点M (2,1)，且△MF 2F 1的面积为 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点(0,3)作直线l ，直线l 交椭圆C 于不同的两点A ，B ，求直线l 倾斜角θ的取值范围；(3)在(2)的条件下，使得|MA |＝|MB |成立的直线l 是否存在？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由．2018届湖南省长沙市高三下学期综合检测数学试题1．C2．C [依题意，知a n ＝2n －1，1a n a n ＋1＝12n －1·2n ＝122n －1＝12×14n －1，所以T n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n 1－14＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ，选C.] 3．D [由题可知，y 对x 的回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^必过定点(x ，y )，由表格可知，x ＝1＋2＋34＝32，y ＝1＋3＋5＋74＝4，所以y ^ ＝b ^ x ＋a ^必过点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，4.]4．B [因为M 是△ABC 边BC 上任意一点，设AM →＝mAB →＋nAC →，且m ＋n ＝1，又AN →＝13AM →＝13(mAB →＋nAC →)＝λAB→＋μAC →，所以λ＋μ＝13(m ＋n )＝13.]5．B [由程序框图可知，其统计的是数学成绩大于等于90的人数，所以由茎叶图知：数学成绩大于等于90的人数为10，因此输出结果为10.故选B.]6．C [前n 个▲中所包含的所有三角形的个数是1＋2＋3＋…＋n ＋n ＝n n ＋2，由n n ＋2＝2 015，解得n ＝62.]7．D [满足不等式组的区域如图△ABO 内部(含边界)，由于直线y ＝x 与y ＝－x 垂直，△ABO 与圆x 2＋y2＝2的公共部分如图阴影部分是14圆，则点P 落在圆x 2＋y 2≤2内的概率为P ＝S 扇形S △ABO ＝14×2π12×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋4＝3π32.]8．B [由于函数f (x )＝e x＋x ，对于曲线y ＝f (x )上横坐标成等差数列的三个点A ，B ，C ，且横坐标依次增大．由于此函数是一个单调递增的函数，故由A 到B 的变化率要小于由B 到C 的变化率．可得出角∠ABC 一定是钝角，故①对，②错．由于由A 到B 的变化率要小于由B 到C 的变化率，由两点间距离公式可以得出AB <BC ，故三角形不可能是等腰三角形，由此得出③错，④对．]9．A [依题意，设题中的双曲线方程是x 2－y 2＝1，不妨设点A 、B 、C 、D 依次位于第一、二、三、四象限，则有⎩⎪⎨⎪⎧|AF 1|－|AF 2|＝2，|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝8，由此解得|AF 1|＝3＋1，|AF 2|＝3－1，同理|DF 1|＝|AF 1|＝3＋1，|CF 1|＝|BF 1|＝|AF 2|＝3－1，|AF 1|＋|BF 1|＋|CF 1|＋|DF 1|＝43，选A.] 10．B [∵考试的成绩ξ服从正态分布N (110,102)． ∴考试的成绩ξ关于ξ＝110对称， ∵P (100≤ξ≤110)＝0.35，∴P (ξ≥120)＝P (ξ≤100)＝12(1－0.35×2)＝0.15，∴该班数学成绩在120分以上的人数为0.15×60＝9.] 11．B [由定积分得n ＝－4cos x |π20＝4，二项式的通项公式为T r ＋1＝C r 4x 4－r(－1x)r＝C r4(－1)r x4－2r，由4－2r ＝0，得r ＝2，所以常数项为T 3＝C 24(－1)2＝6，故选B.]12．B [设P (x ，y )，PF 1→＝(－c －x ，－y )，PF 2→＝(c －x ，－y )，由PF 1⊥PF 2，得PF 1→⊥PF 2→＝0，即(－c －x ，－y )·(c －x ，－y )＝x 2＋y 2－c 2＝x 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2a 2－c 2＝c 2x 2a 2＋b 2－c 2＝0，∴x 2＝a 2c 2－b 2c2≥0，∴c 2－b 2≥0，∴2c 2≥a 2，∴e ≥22.又∵e <1，∴椭圆的离心率e 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1.] 13.2 0172 015解析 由题意得|PF 1|＋|PF 2|≥2c ，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，e ≤|PF 1|＋|PF 2||PF 1|－|PF 2|＝2 017|PF 2|2 015|PF 2|＝2 0172 015.14．2 015解析 由f (x )＝x 3－32x 2＋12x ＋1，得f ′(x )＝3x 2－3x ＋12，∴f ″(x )＝6x －3，由f ″(x )＝6x －3＝0，得x ＝12，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1，∴f (x )的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1， ∴f (1－x )＋f (x )＝2， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 016＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0152 016＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 016＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142 016＝…＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 0072 016＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 0092 016＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 0082 016＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 0082 016＝2∴f ⎝⎛⎭⎪⎫12 016＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 016＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0152 016＝2×1 007＋1＝2 015. 15．18 解析由IA →＋IC →＝λIB →(λ∈R)知△ABC 是以B 为顶点的等腰三角形，A 点是4×4的格点中第一列的点． 当i ＝1时，B 点是第二列格点中的点，C 点是第三列格点中的点，此时腰长为2，5，10的△ABC 分别有6个、4个、2个，当i ＝2时，B 点是第三列格点中的点，C 点是第四列格点中的点，此时腰长为5的△ABC 有6个，如图，△ABC 为其中的一个．综上，满足条件的△ABC 共有18个． 16．i ≤10?解析 这是一个循环结构，s ＝0，n ＝2，i ＝1，其中变量i 是计数变量，它应使循环体执行10次，因此条件应是i ≤10？.17．解 (1)f (x )＝2sin(ωx ＋φ＋π3)．设f (x )的最小正周期为T .由图象可得T 2＝π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝π2，所以T ＝π，ω＝2.由f (0)＝2，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π3＝1， 因为φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以φ＝π6.(2)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x .由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝2cos α2＝455，得cos α2＝255， 所以cos α＝2cos2α2－1＝35. 所以2sin α－sin 2α2sin α＋sin 2α＝2sin α－cos α2sin α＋cos α＝1－cos α1＋cos α＝14. 18．(1)解 当a ＝45时，f (x )＝45x －ln(1＋x 2)，∴f ′(x )＝45－2x 1＋x 2＝4x 2－10x ＋4＋x2. x ，f ′(x )，f (x )变化如下表：∴f (x )极大值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＝5－ln 4，f (x )极小值＝f (2)＝85－ln 5.(2)证明 令g (x )＝x －ln(1＋x 2)， 则g ′(x )＝1－2x 1＋x 2＝x －21＋x2≥0. ∴g (x )在(0，＋∞)上为增函数，∴g (x )>g (0)＝0， ∴ln(1＋x 2)<x .(3)证明 由(2)知ln(1＋x 2)<x ， 令x ＝1n2，得ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n 4<1n 2<1nn －＝1n －1－1n， ∴ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋124＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋134＋…＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n 4<1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n＝1－1n<1， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋124⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋134…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n 4<e. 19．(1)证明 ∵PC ⊥BC ，PC ⊥AB ，∴PC ⊥平面ABC ，又AC ⊂平面ABC ，∴PC ⊥AC .(2)解 在平面ABC 内，过点C 作BC 的垂线，并建立空间直角坐标系如图所示．设P (0,0，z )，则C (0,0,0)，A ⎝⎛⎭⎪⎫32，－12，0，M (0,1，z )，B (0,2,0)， ∴CP →＝(0, 0，z )，AM →＝(0,1，z )－⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32，z . ∵cos 60°＝|cos 〈AM →，CP →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AM →·CP →|AM →||CP →|＝z 23＋z 2·|z |，且z >0，∴z z 2＋3＝12，得z ＝1， ∴AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32，1. 设平面MAC 的一个法向量为n ＝(x ，y,1)，则由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AM →＝0，n ·CA →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ －32x ＋32y ＋1＝0，32x －12y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－33，y ＝－1， ∴n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－1，1. ∵平面ABC 的一个法向量为CP →＝(0,0,1)．∴cos〈n ，CP →〉＝n ·CP →|n ||CP →|＝217. 显然，二面角M —AC —B 为锐二面角，∴二面角M —AC —B 的余弦值为217. (3)解 点B 到平面MAC 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪CB →·n |n |＝2217. 20．解 (1)由题意在抽取的30件产品中一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件， 故该厂生产一等品概率为P 1＝630＝15， 二等品概率为P 2＝930＝310， 三等品概率为P 3＝1530＝12. (2)由题意得：Z 的可能取值为2,3,4,5,6,8，而从该厂大量产品中任取两件取得一等品、二等品、三等品是相互独立的，故：P (Z ＝2)＝12×12＝14，P (Z ＝3)＝2×12×310＝310，P (Z ＝4)＝310×310＝9100，P (Z ＝5)＝2×12×15＝15， P (Z ＝6)＝2×310×15＝325，P (Z ＝8)＝15×15＝125.∴Z 的分布列为∴E (Z )＝2×14＋3×310＋4×9100＋5×15＋6×325＋8×125＝3.8. 21．解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1，由S 1＋12a 1＝1，得a 1＝23. 当n ≥2时，因为S n ＝1－12a n ，S n －1＝1－12a n －1， 所以S n －S n －1＝12(a n －1－a n )，即a n ＝12(a n －1－a n )， 所以a n ＝13a n －1 (n ≥2)， 所以{a n }是以23为首项，13为公比的等比数列．故a n ＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n (n ∈N *)． (2)由于1－S n ＝12a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ， 故b n ＝log 3(1－S n ＋1)＝log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1＝－n －1， 1b n b n ＋1＝1n ＋n ＋＝1n ＋1－1n ＋2， 则1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2 ＝12－1n ＋2. 由12－1n ＋2＝2551，解得n ＝100. 22．解 (1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，由M (2,1)，△MF 2F 1的面积为3，得12·2c ·1＝3⇒c ＝3， 故椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2a 2－3＝1， 又椭圆C 过点M (2,1)，∴4a 2＋1a 2－3＝1且a 2>3， 于是(a 2)2－8a 2＋12＝0且a 2>3，∴a 2＝6，故椭圆C 的方程为x 26＋y 23＝1. (2)易知θ＝π2时，符合题意； 当θ≠π2时，可设直线l 方程为y ＝kx ＋3， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋3，x 26＋y 23＝1得(1＋2k 2)x 2＋12kx ＋12＝0， 由Δ＝144k 2－4×12×(1＋2k 2)>0，解得k ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，∴θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，综上知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4.(3)易知，当直线l 与x 轴垂直时，不合题意．假设存在直线l 满足条件，记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．若M ，A ，B 三点共线，注意到|MA |＝|MB |，故A ，B 两点重合于点M ，这与A ，B 是椭圆C 上不同的两点矛盾． 故M ，A ，B 三点不共线，取AB 的中点D ，连接MD ，知MD ⊥AB .由方程(1＋2k 2)x 2＋12kx ＋12＝0知x 1＋x 2＝－12k 1＋2k 2， 则y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋6＝－12k 21＋2k 2＋6＝61＋2k 2. 于是，点D 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－6k1＋2k 2，31＋2k 2， 由MD ⊥AB 得31＋2k 2－1－6k 1＋2k 2－2＝－1k(k >1或k <－1)，得k 2＋k ＋1＝0，此方程无实数解，所以满足条件的直线不存在．。

2018年福建省普通高中毕业班质量检查数学试卷(理)及答
案
5 c -----①
------②
由①+② 得 ------③
令有
代入③得
(Ⅰ) 类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦式，证明
;
(Ⅱ)若的三个内角满足 ,试判断的形状
(提示如果需要，也可以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论)
17 (本小题满分13分)
在直角梯形ABcD中，AD Bc， , ,如图（1）．把沿翻折，使得平面
（Ⅰ）求证；
（Ⅱ）若点为线段中点，求点到平面的距离；
（Ⅲ）在线段上是否存在点N，使得与平面所成角为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
18 (本小题满分13分)
----①
，------②……………………………………………2分
①-② 得 ------③………………………………3分
令有，
代入③得………………………………………6分
(Ⅱ)由二倍角式, 可化为
,……………………………………………9分。

高三数学测试试卷（立体几何）（全卷满分100分，练习时间90分钟）姓名_______________ 学号_________一、选择（每题4分，计40分，请将每题唯一正确答案的代号填入题前括号内） （ ）1.下列命题，错误的一个是A ．经过平面α外一点P ，有且只有一条直线与平面α垂直B ．经过平面α外一点P ，有无数条直线与平面α平行C ．经过平面α外一点P ，有且只有一个平面与平面α垂直D ．经过平面α外一点P ，有且只有一个平面与平面α平行（ ）2.在正三棱柱ABC -111C B A 中，若AB =2，AA 1=1，则点A 到平面A 1BC 的距离为A ．43 B.23 C.433 D.3 （ ）3.在北纬60°圈上有A 、B 两地，它们的纬度圈上的弧长等于2Rπ（R 是地球的半径）.则A 、B 两地的球面距离为A.32R π B.2R π C. 3R π D.4Rπ（ ）4.如图，定点A 和B 都在平面α内，定点α∉P ，α⊥PB ，点C 是α内异于A 和B 的动点，且AC PC ⊥，那么点C 在平面α内的轨迹是A ．一条线段，但要去掉两点B ．一个圆，但要去掉两个点C ．一个椭圆，但要去掉两个点D ．半圆，但要去掉两个点αPCB A（ ）5.如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中， O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是1CC AD 的中点，那么异面直线1FD OE 和所成角的余弦值等于A ．515 B.510C.54D.32（ ）6.若a 、b 是异面直线，l b a =⊂⊂βαβα ,,，则A. l 与a 、b 分别相交B. l 与a 、b 都不相交C. l 至多与a 、b 中的一条相交D. l 至少与a 、b 中的一条相交（ ）7.如图，已知四边形ABCD 是正方形，P A ⊥平面ABCD ，则图中所有互相垂直的平面共有A ．8对 B.7对 C.6对 D.5对 （ ）8.直线1l 、2l 互相平行的一个充分条件是A ．1l 、2l 都平行于同一平面B ．1l 、2l 与同一平面所成的角相等C ．1l 平行于2l 所在的平面D ．1l 、2l 都垂直于同一平面（ ）9.已知正四面体ABCD 的表面积为S ，其四个面中心分别为E 、F 、G 、H ，设四面体EFGH 表面积为T ，则ST等于 A ．91 B.94 C.41 D.31 （ ）10.若二面角βα--l 的大小为32π，直线α⊥m ，则β所在平面内的直线与m 所成角的取值范围是A ．（2,0π） B.[3,6ππ] C.[2,3ππ] D.[2,6ππ]二、填充（每空4分，计16分）11．如图，把长、宽各为3、1的矩形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角，则顶点B 和D 的距离______________.12．在体积为V 的斜三棱柱///C B A ABC -中，已知S 是侧棱C C /上的一点，过点S 、A 、B 的截面截得的三棱锥的体积为1V ，那么过点S 、/A 、/B 截面截得的三棱锥的体积用V 、V 1表示为________.13．如图，在半径为R 的半球内有一内接圆柱，则这个圆柱侧面积的最大值为_______________.14．有下列命题：（1）βαγβγα//,⇒⊥⊥；（2）γαγββα⊥⇒⊥⊥,；（3）1//αα，1//ββ，11βαβα⊥⇒⊥；（4）γβαγβγα⊥⇒=⊥⊥l l ,,；（5）如果在二面角111βα--l 与二面角222βα--l 中，已知：,,2121ββαα⊥⊥则二面角111βα--l 与二面角222βα--l 一定相等或互补.其中正确的有__________（只填序号）.三、解答题（共4题，计44分）15．（本题11分，第1题7分，第2题4分）已知P 、A 、B 、C 是球O 的面上四个点，P A 、PB 、PC 两两垂直，且P A=PB=PC=1，求：（1）球O 的体积与表面积；（2）PC 所对的球心角的大小.16．（本题10分）如图，AB 是异面直线a 、b 的公垂线，l b a =⊥⊥βαβα ,,.试问直线AB 与直线l 的位置关系如何？并请证明你观察所得的结论.17．（本题12分，每题4分）如图，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为3，侧棱2331=AA ，D 是CB 延长线上一点，且BD=BC.（1） 求证：直线BC 1//平面AB 1D ； （2） 求二面角B AD B --1的大小； （3） 求三棱锥11ABB C -的体积.18．（本题11分，第（1）题4分，第（2）题7分）如图，在ABC ∆中，C ∠是直角，平面ABC 外有一点P ，PC =24cm ，点P 到直线AC 、BC 的距离PD 和PE 都等于cm 106，试解答下列两个问题：（1） 求点P 到平面ABC 的距离PF ；（2）求证PC 与平面ABC 所成的角是PC 和这个平面内过斜足C 的直线所成的一切角中最小的角.并求出这个最小角.高三数学测试试卷（立体几何）答案一、选择C BCBA DBD A D 二、填充 （11）210；（12）13V V -；（13）2R π；（14）（3）、（4）.三、15．（1）解答参看课本第二册（下）P77例2. 答案：（1）球O 的体积π23=球V ，球O 的表面积π3=球S ； （2） 设PC 所对球心角为α，运用余弦定理可得：31arccos=α. 16．该题为课本复习题九B 组第4题，其中回答AB 与l 的关系占2分，证明占8分. 答案:AB ∥l .欲证此结论，只要过点B 作a 的平行线a /, 过a /、b 作一辅助平面γ，易知γ⊥AB ,又可证得：l =⊥⊥βαγβγα 而,,，这样容易推得,,.γγγ⊥⊥⊥AB l l∴AB ∥l .17．答案：（2）二面角B AD B --1的大小为3π. （3）82711=-ABB C V . 18．答案：（1）12cm ；（2）6π（注：证明“最小角”参看课本第二册（下）P25）。

2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A={x|x﹣1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）A．{0}B．{1}C．{1，2}D．{0，1，2} 2．（5分）（1+i）（2﹣i）=（）A．﹣3﹣i B．﹣3+i C．3﹣i D．3+i3．（5分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）A．B．C．D．4．（5分）若sinα=，则cos2α=（）A．B．C．﹣D．﹣5．（5分）（x2+）5的展开式中x4的系数为（）A．10B．20C．40D．806．（5分）直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）2+y2=2上，则△ABP面积的取值范围是（）A．[2，6]B．[4，8]C．[，3]D．[2，3]7．（5分）函数y=﹣x4+x2+2的图象大致为（）A．B．C．D．8．（5分）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX=2.4，P（x=4）＜P（X=6），则p=（）A．0.7B．0.6C．0.4D．0.39．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（）A．B．C．D．10．（5分）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且面积为9，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（）A．12B．18C．24D．5411．（5分）设F1，F2是双曲线C：﹣=1（a＞0．b＞0）的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|=|OP|，则C的离心率为（）A．B．2C．D．12．（5分）设a=log0.20.3，b=log20.3，则（）A．a+b＜ab＜0B．ab＜a+b＜0C．a+b＜0＜ab D．ab＜0＜a+b二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2018届高三数学寒假作业 综合试卷（4）数学Ⅰ满分160分，考试时间120分钟一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{2，4，5}，则集合A ∪B 的元素的个数为 ． 2．已知实数a ，b 满足(9+3i)(i)104i a b +=+（其中i 是虚数单位），则a b += ． 3．袋中有形状、大小都相同的5只球，其中3只白球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为 ．4．已知一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的方差是2，则数据2x 1，2x 2，2x 3，2x 4，2x 5的标准差为 ．5．如图所示，该伪代码运行的结果为 ．6．直线260ax y ++=与直线2(1)(1)0x a y a +-+-=平行，则a = ． 7．已知实数x ，y 满足2002x y x y +⎧⎪⎨⎪+⎩≥，≥，≤，设34z x y =-，则z 的最大值是 ．8．数列{a n }为等比数列，且a 1+1，a 3+4，a 5+7成等差数列，则公差d ＝ ．9．已知函数21,0,()0,0,21,0x x f x x x x +>⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则不等式f (x 2﹣2)+f (x )＜0的解集为 ． 10．已知椭圆221(0)x y m n m n+=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是以椭圆短轴为直径的圆上任意一点，则12PF PF ⋅＝ ．11．已知函数f (x )＝(x ﹣1)e x ﹣ax 2，若y =f (cos x )在x ∈[0，π]上有且仅有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为 ．12．已知在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边， 2cos sin 0cos sin A A B B+-=+，则a bc+＝ ． 13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3a cos C +b =0，则tan B 的最大值是 ．14．已知函数f (x )＝x 2+ax+b （a ，b ∈R ），若存在非零实数t ，使得f (t )+f (1t)＝－2，则a 2+4b 2的最小值为 ．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明或演算步骤）15．（本小题满分14分）已知函数f (x )＝23sin x cos x －3sin 2x －cos 2x +3．（1）当x ∈[0，2π]时，求f (x )的值域；（2）若△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足ba=，sin(2)22cos()sin A C A C A+=++，求f (B )的值．16．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P －ABC 中，已知平面PBC ⊥平面ABC ．（1）若AB ⊥BC ，CP ⊥PB ，求证：，CP ⊥P A ；（2）若过点A 作直线l ⊥平面ABC ，求证：l ∥平面PBC ．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞A 为椭圆上异于顶点的一点，点P 满足2OP AO = ．（1）若点P 的坐标为(2，求椭圆的方程；（2）设过点P 的一条直线交椭圆于B 、C 两点，且BP mBC =，直线OA 、OB 的斜率之积为12-，求实数m 的值．18．（本小题满分16分）中国古建筑中的窗饰时艺术和技术的统一体，给人予美的享受．如图（1）为一花窗，图（2）所示时一扇窗的一格，呈长方形，长30cm ，宽26cm ，其内部窗芯（不含长方形边框）用一种条形木料做成，由两个菱形和六根支条构成，整个窗芯关于长方形边框的两条对称轴成轴对称．设菱形的两条对角线长分别为x cm 和y cm ，窗芯所需条形木料的长度之和为L ． （1）试用x ，y 表示L ；（2）如果要求六根支条的长度均不小于2 c m ，每个菱形的面积为130 c m 2，那么做这样一个窗芯至少需要多长的条形木料（不计榫卯及其它损耗）？19．（本小题满分16分）已知数列{a n }的各项都为正数，且对任意n ∈N *，都有212n n n a a a k ++=+（k 为常数）．（1）若0k =，且11a =，－8a 2，a 4，a 6成等差数列，求数列{a n }的前n 项和n S ； （2）若221()k a a =-，求证：123,,a a a 成等差数列； （3）已知1a a =，2a b =（,a b 为常数），是否存在常数λ，使得21n n n a a a λ+++=对任意n ∈N *都成立？若存在．求出λ；若不存在，说明理由．20．（本小题满分16分）设函数f (x )＝(x －a )ln x －x +a ，a ∈R ．（1）若a ＝0，求函数f (x )的单调区间；（2）若a ＜0，试判断函数f (x )在区间(e －2，e 2)内的极值点的个数，并说明理由；（3）求证：对任意的正数a ，都存在实数t ，满足：对任意的x ∈(t ，t+a )，f (x )＜a －1．数学Ⅱ（附加题）21．选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，每小题10分．若多做，则按作答的前两题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．B ．选修4－2：矩阵与变换（本小题满分10分）若点A (2，2)在矩阵cos sin sin cos M αααα-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应变换的作用下得到的点为(11B --+，求矩阵M 的逆矩阵．C ．选修4－4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（1）求出圆C 的直角坐标方程；（2）已知圆C 与x 轴相交于A ，B 两点，若直线l ：m 2x 2y +=上存在点P 使得90APB ∠= ，求实数m 的最大值．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知AB AC ⊥，2AB =，4AC =，13AA =．D 是线段BC 的中点．（1）求直线1DB 与平面11A C D 所成角的正弦值； （2）求二面角111B A D C --的大小的余弦值．23．（本小题满分10分）记2222234()(32)C C C C )n f n n =+++++ （（n ≥2，n ∈N *）． （1）求f (2)，f (3)，f (4)的值；（2）当n ≥2，n ∈N *时，试猜想所有f (n )的最大公约数，并证明．A BCD A 1 B 1C 1第22题图2018届高三数学寒假作业 综合试卷（4）答案一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{2，4，5}，则集合A ∪B 的元素的个数为 ．5 2．已知实数a ，b 满足(9+3i)(i)104i a b +=+（其中i 是虚数单位），则a b += ．653．袋中有形状、大小都相同的5只球，其中3只白球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为 ．354．已知一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的方差是2，则数据2x 1，2x 2，2x 3，2x 4，2x 5的标准差为 ．5．如图所示，该伪代码运行的结果为 ．116．直线260ax y ++=与直线2(1)(1)0x a y a +-+-=平行，则a = ．－17．已知实数x ，y 满足2002x y x y +⎧⎪⎨⎪+⎩≥，≥，≤，设34z x y =-，则z 的最大值是 ．68．数列{a n }为等比数列，且a 1+1，a 3+4，a 5+7成等差数列，则公差d ＝ ．39．已知函数21,0,()0,0,21,0x x f x x x x +>⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则不等式f (x 2﹣2)+f (x )＜0的解集为 ．(﹣2，1) 10．已知椭圆221(0)x y m n m n+=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是以椭圆短轴为直径的圆上任意一点，则12PF PF ⋅＝ ．2n －m11．已知函数f (x )＝(x ﹣1)e x ﹣ax 2，若y =f (cos x )在x ∈[0，π]上有且仅有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为 ．a ≤－2e解：函数f (x )=(x ﹣1)e x ﹣ax 2，可得f ′(x )=x (e x ﹣2a )，令x (e x ﹣2a )=0可得，x =0或e x =2a ．当a ≤0时，函数只有一个零点，并且x =0是函数的一个极小值点， 并且f (0)=﹣1＜0，若y =f (cos x )在x ∈[0，π]上有且仅有两个不同的零点， 也就是若y =f (x )在x ∈[﹣1，1]上有且仅有两个不同的零点， 可得：(1)0,(1)0f f -≥⎧⎨≥⎩，即12e 1,0a -⎧-≥-⎨-≥⎩，可得a ≤－2e ．当a ＞0可得：函数两个极值点为：x =0，x =ln(2a )，如果ln(2a )＜0，因为f (0)＜0，可知不满足题意；如果ln(2a )＞0，必有可得：(1)0,(1)0f f -≥⎧⎨≥⎩，即12e 1,0a -⎧-≥-⎨-≥⎩，可得a ≤－2e ．与a ＞0矛盾；综上：a ≤－2e．第5题图12．已知在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边， 2cos sin 0cos sin A A B B+-=+，则a bc+＝．13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3a cos C +b =0，则tan B 的最大值是 ．34解：在△ABC 中，∵3a cos C +b =0，∴C 为钝角， 利用正弦定理可得 3sin A cos C +sin （A +C ）=0，即3sin A cos C +sin A cos C +cos A sin C =0，∴4sin A cos C =﹣cos A sin C ， 即 tan C =﹣4tan A ，∴tan A ＞0，则tan B =﹣tan(A +C )=﹣tan tan 1tan tan A C A C+-＝23tan 34tan 14tan tan A A A A-=--+34≤=，当且仅当tan A ＝12时，取等号，故tan B 的最大值是34． 14．已知函数f (x )＝x 2+ax+b （a ，b ∈R ），若存在非零实数t ，使得f (t )+f (1t)＝－2，则a 2+4b 2的最小值为 ．165解：因为存在非零实数t ，f (t )+f (1t )＝－2，所以2212at at b b t t +++++=-，令1t t +＝m ，|m |≥2，上式化为m 2+am +2b ＝0，设α＝(a ，2b )，β＝(m ，1)，则m 2＝－α⋅β≤|α||β|所以a 2+4b 2≥422211211m m m m =++-++，令m 2+1＝s ，s ≥5，f (s )＝1s s+，21()1f s s '-＝＞0，所以f (s )在[5，+∞)上单调递增，所以f (s )≥f (5)＝265，则a 2+4b 2的最小值为265－2＝165．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明或演算步骤）15．（本小题满分14分）已知函数f (x )＝23sin x cos x －3sin 2x －cos 2x +3．（1）当x ∈[0，2π]时，求f (x )的值域； （2）若△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足ba=，sin(2)22cos()sin A C A C A +=++，求f (B )的值．解：（1）∵f (x )＝23sin x cos x －3sin 2x －cos 2x +31cos21cos223322x xx-+-⨯-+＝3sin2x+cos2x+1＝2sin(2x+6π)+1．∵x∈[0，2π]，∴2x+6π∈[6π，76π]，∴sin(2x+6π)∈[12-，1]，∴f(x)=2sin(2x+6π)+1∈[0，3]．（2）∵sin(2)22cos()sinA CA CA+=++，∴sin(2A+C)=2sin A+2sin A cos(A+C)，∴sin A cos(A+C)+cos A sin(A+C)=2sin A+2sin A cos(A+C)，∴﹣sin A cos(A+C)+cos A sin(A+C)=2sin A，即sin C=2sin A，由正弦定理可得c=2a，又由ba=b=3a，由余弦定理可得cos A＝2222222b c abc+-=，∴A＝30°，由正弦定理可得sin C=2sin A=1，C=90°，由三角形的内角和可得B=60°，∴f(B)=f(60°)＝2．16．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P－ABC中，已知平面PBC⊥平面ABC．（1）若AB⊥BC，CP⊥PB，求证：，CP⊥P A；（2）若过点A作直线l⊥平面ABC，求证：l∥平面PBC．解：（1）因为平面PBC⊥平面ABC，平面PBC 平面ABC BC=，AB⊂平面ABC，AB⊥BC，所以AB⊥平面PBC．…………3分因为CP⊂平面PBC，所以CP⊥AB．又因为CP⊥PB，且PB AB B=，,AB PB⊂平面PAB，所以CP⊥平面PAB，又因为PA⊂平面PAB，所以CP⊥PA．…………7分（2）在平面PBC内过点P作PD⊥BC，垂足为D．因为平面PBC⊥平面ABC，又平面PBC∩平面ABC＝BC，PD⊂平面PBC，所以PD⊥平面ABC．…………10分又l⊥平面ABC，所以l//PD．又l⊄平面PBC，PD⊂平面PBC，l//平面PBC．…………14分17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22221x ya b+=（a＞b＞A 为椭圆上异于顶点的一点，点P 满足2OP AO = ．（1）若点P 的坐标为(2，求椭圆的方程；（2）设过点P 的一条直线交椭圆于B 、C 两点，且BP mBC =，直线OA 、OB 的斜率之积为12-，求实数m 的值．解：∵A 为椭圆上异于顶点的一点，点P 满足2OP AO =， 点P 的坐标为(2， ∴A (－1)，代入椭圆方程得，221112a b+=， ① ∵椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0， ②联立①②解得a 2＝2，b 2＝1．∴椭圆方程为2212x y +=．（2）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)． ∵2OP AO =，∴P (－2x 1，－2y 1)，∵BP mBC =，∴(－2x 1－x 2，－2y 1－y 2)＝m (x 3－x 2，y 3－y 2)，∴123212322(),2()x x m x x y y m y y --=-⎧⎨--=-⎩，∴32132112,12m x x x m mm y y y m m -⎧=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩，代入椭圆方程得2121221212()()1m m x x y y m m m m a b----+=， 即22222112212122222222224(1)4(1)()()()x y x y x x y y m m m a b m a b m a b--+++-+＝1， ③ ∵A ，B 在椭圆上，∴221122x y a b +＝1，222222x y a b +＝1， ④∵直线OA 、OB 的斜率之积为12-，∴121212y y x x ⋅=-，结合②知，2224(1)1m m m-+=，m ＝52．18．（本小题满分16分）中国古建筑中的窗饰时艺术和技术的统一体，给人予美的享受．如图（1）为一花窗，图（2）所示时一扇窗的一格，呈长方形，长30cm ，宽26cm，其内部窗芯（不含长方形边框）用一种条形木料做成，由两个菱形和六根支条构成，整个窗芯关于长方形边框的两条对称轴成轴对称．设菱形的两条对角线长分别为x cm和y cm，窗芯所需条形木料的长度之和为L．（1）试用x，y表示L；（2）如果要求六根支条的长度均不小于2 c m，每个菱形的面积为130 c m2，那么做这样一个窗芯至少需要多长的条形木料（不计榫卯及其它损耗）？解．（1）由题意，水平方向每根支条长为302152xm x-==-cm，竖直方向每根支条长为261322y yn-==-cm，-------------------2分2=cm．--------------------------------4分从而，所需木料的长度之和L2(15)4(13)822yx=-+-+==822()x y++cm．-------------6分（2）由题意，1132xy=，即260yx=，又由152,132,2xy--⎧⎪⎨⎪⎩≥≥可得1301311x≤≤．------8分所以260822()L xx=++．令260t xx=+，其导函数226010x-<在1301311x≤≤上恒成立，--------------------10分故260t xx=+在130[,13]11上单调递减，所以可得372[33,]11t∈．-------------12分则26082()]L xx=++82]t=+=82+．因为函数yy=在372[33,]11t∈上均为增函数，所以82L =+在372[33,]11t ∈上为增函数， ---------14分故当33t =，即13,20x y ==时L有最小值16+答：做这样一个窗芯至少需要16+m 长的条形木料． --------------16分19．（本小题满分16分）已知数列{a n }的各项都为正数，且对任意n ∈N *，都有212n n n a a a k ++=+（k 为常数）．（1）若0k =，且11a =，－8a 2，a 4，a 6成等差数列，求数列{a n }的前n 项和n S ； （2）若221()k a a =-，求证：123,,a a a 成等差数列；（3）已知1a a =，2a b =（,a b 为常数），是否存在常数λ，使得21n n n a a a λ+++=对任意n ∈N *都成立？若存在．求出λ；若不存在，说明理由．解：（1）当0k =时，2*12,n n n a a a n N ++=∈，0n a > ，∴数列{}n a 为等比数列，设公比为(0)q q >， ………………2 分则2468,,a a a - 成等差数列，26482a a a ∴-+=，即4222282a a q a q ∴-+=，20a ≠ ，42280q q ∴--=，24q ∴=，2q ∴= ………………4 分11a = ，数列{}n a 的前n 项和122112n n n S -==--； ………………5 分（2）当221()k a a =-时，22*1221(),n n n a a a a a n N ++=+-∈， 令1n =，则2221321()a a a a a =+-， 21312120a a a a a ∴-+=，10a > ，13220a a a ∴+-=， 123,,a a a ∴成等差数列； ………………8分（3）存在常数22a b k ab λ+-=使得21n n n a a a λ+++=对任意n ∈N *都成立． ………9分证明如下：令21n n n n a a b a +++=，对任意*n N ∈，都有212n n n a a a k ++=+，①，k 为常数， 2213n n n a a a k +++∴=+，②②-①得：2221132n n n n n n a a a a a a +++++-=-， 2211322n n n n n n a a a a a a +++++∴+=+0n a > ，120n n a a ++∴>， 22113221212n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a +++++++++++∴=，即：13221n n n n n n a a a a a a +++++++=，亦即：1n n b b +=，n ∈N * ，∴数列{}n b 为常数列，1n b b ∴=，n ∈N *， ………………14分1a a = ，2a b =，212n n n a a a k ++=+，n ∈N *∴令1n =，则23b aa k =+，23b k a a-∴=221312n a a a b kb b a ab++-∴===，n ∈N *， ………………15分∴2221n n n n a b ka a ab abλλ+++-+=⇔==， 即存在常数22a b kabλ+-=使得21n n n a a a λ+++=对任意n ∈N *都成立． (16)20．（本小题满分16分）设函数f (x )＝(x －a )ln x －x +a ，a ∈R ．（1）若a ＝0，求函数f (x )的单调区间；（2）若a ＜0，试判断函数f (x )在区间(e －2，e 2)内的极值点的个数，并说明理由；（3）求证：对任意的正数a ，都存在实数t ，满足：对任意的x ∈(t ，t+a )，f (x )＜a －1． 解：（1）当a ＝0时，f (x )＝x ln x －x ，f’(x )＝ln x ， 令f’(x )＝0，x ＝1，列表分析（2）方法一、f (x )＝(x －a )ln x －x ＋a ，f’(x )＝ln x －ax ，其中x ＞0，令g (x )＝x ln x －a ，分析g (x )的零点情况．g’(x )＝ln x ＋1,令g’(x )＝0，x ＝1e，列表分析：g (x )min ＝g (1e )＝－1e －a ， ………5分而f’(1e )＝ln 1e －ae ＝－1－a e ，f’(e －2)＝－2－a e 2＝－(2＋a e 2)，f’(e 2)＝2－a e 2＝1e 2(2e 2－a )，①若a ≤－1e ，则f’(x )＝ln x －a x ≥0，故f (x )在(e －2，e 2)内没有极值点；②若－1e ＜a ＜－2e2，则f’(1e )＝ln 1e －a e ＜0，f’(e －2)＝－(2＋a e 2)＞0，f’(e 2)＝1e2(2e 2－a )＞0，因此f’(x )在(e －2，e 2)有两个零点，f (x )在(e －2，e 2)内有两个极值点； ③若－2e 2≤a ＜0，则f’(1e )＝ln 1e －a e ＜0，f’(e －2)＝－(2＋a e 2)≤0，f’(e 2)＝1e2(2e 2－a )＞0，因此f’(x )在(e －2，e 2)有一个零点，f (x )在(e －2，e 2)内有一个极值点；综上所述，当a ∈(－∞，－1e]时，f (x )在(e －2，e 2)内没有极值点；当a ∈(－1e ，－2e2)时，f (x )在(e －2，e 2)内有两个极值点；当a ∈[－2e 2，0)时，f (x )在(e －2，e 2)内有一个极值点．．…………10分方法二、f (x )＝(x －a )ln x －x ＋a ，f’(x )＝ln x －ax ，令()ln g x x x（不用零点存在定理说明扣3分）（3）猜想：x ∈(1，1＋a )，f (x )＜a －1恒成立．………11分 证明如下：由（2）得g (x )在(1e ，＋∞)上单调递增，且g (1)＝－a ＜0，g (1＋a )＝(1＋a )ln(1＋a )－a ．因为当x ＞1时，ln x ＞1－1x (*)， 所以g (1＋a )＞(1＋a )(1－1a ＋1)－a ＝0．故g (x )在(1，1＋a )上存在唯一的零点，设为x 0． 由知，x ∈(1，1＋a )，f (x )＜m ax {f (1)，f (1＋a )}． ………13分 又f (1＋a )＝ln(1＋a )－1，而x ＞1时，ln x ＜x －1(**)， 所以f (1＋a )＜(a ＋1)－1－1＝a －1＝f (1)． 即x ∈(1，1＋a )，f (x )＜a －1．所以对任意的正数a ，都存在实数t ＝1，使对任意的x ∈(t ，t ＋a )，使 f (x )＜a －1．……………………15分补充证明（*）：令F (x )＝ln x ＋1x －1，x ≥1．F’(x )＝1x －1x 2＝x －1x 2≥0，所以F (x )在[1，＋∞)上单调递增．所以x ＞1时，F (x )＞F (1)＝0，即ln x ＞1－1x ．补充证明（**）令G (x )＝ln x －x ＋1，x ≥1．G’(x )＝1x －1≤0，所以G (x )在[1，＋∞)上单调递减．所以x ＞1时，G (x )＜G (1)＝0，即ln x ＜x －1．………16分数学Ⅱ（附加题）21．选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，每小题10分．若多做，则按作答的前两题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．B．选修4－2：矩阵与变换（本小题满分10分）若点A(2，2)在矩阵cos sinsin cosMαααα-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应变换的作用下得到的点为(11B--+，求矩阵M的逆矩阵．解：由题意知，2121⎡-⎡⎤=⎢⎢⎥-⎣⎦⎢⎣M，即2cos2sin12sin2cos1αααα⎡⎤--⎡⎤=⎢⎢⎥+-+⎣⎦⎢⎣…………2分所以2cos2sin12sin2cos1αααα⎧-=-⎪⎨+=-⎪⎩解得1cos,2sinαα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩从而1212⎡-⎢⎥=⎥-⎥⎦M………6分由11001-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M M，解得11212M-⎡-⎢⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦．………10分C．选修4－4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cosρθ=．（1）求出圆C的直角坐标方程；（2）已知圆C与x轴相交于A，B两点，若直线l：m2x2y+=上存在点P使得90APB∠= ，求实数m的最大值．解：（1）由4cosρθ=得24cosρρθ=，即2240x y x+-=，即圆C的标准方程为()2224x y-+=．-----------------4分（2）l：的方程为22y x m=+，而AB为圆C的直径，故直线l上存在点P使得90APB∠= 的充要条件是直线l与圆C有公共点，-------6分2≤，于是，实数m2． ----------------10【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知AB AC ⊥，2AB =，4AC =，13AA =．D 是线段BC 的中点．（1）求直线1DB 与平面11A C D 所成角的正弦值； （2）求二面角111B A D C --的大小的余弦值． 解：因为在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，所以分别以AB 、AC 、1AA 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(2,0,0),(0,4,0),A B C111(0,0,3),(2,0,3),(0,4,3)A B C ，因为D 是BC 的中点，所以(1,2,0)D ，…………2分（1）因为111(0,4,0),(1,2,3)AC A D ==- ， 设平面11A C D 的法向量n 1111(,,)x y z =，则1111100AC A D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即111140230y x y z =⎧⎨+-=⎩，取111301x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩， 所以平面11A C D 的法向量n 1＝(3,0,1)，而1(1,2,3)DB =-，所以111111cos ,n DB n DB n DB ⋅<>=⋅所以直线1DB 与平面11A C D5分 （2）11(2,0,0)A B = ，1(1,2,3)DB =-，设平面11B A D 的法向量n 2＝222(,,)x y z ，ABCD A 1 B 1C 1第22题图则2112100A B DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即222220230x x y z =⎧⎨-+=⎩，取222032x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，平面11B A D 的法向量n 2＝(0,3,2)，所以121212cos ,n n n n n n ⋅<>=⋅， 二面角111B A D C --．…………………………………10分 23．（本小题满分10分）记2222234()(32)C C C C )n f n n =+++++ （（n ≥2，n ∈N *）． （1）求f (2)，f (3)，f (4)的值；（2）当n ≥2，n ∈N *时，试猜想所有f (n )的最大公约数，并证明．解：（1）因为222232341()(32)C C C C )=(32)C n n f n n n +=++++++ （，所以f (2)＝8，f (3)＝44，f (4)＝140． ………………3分 （2）由（1）中结论可猜想所有f (n )的最大公约数为4． ……………4分下面用数学归纳法证明所有的f (n )都能被4整除即可．（ⅰ）当n ＝2时，f (2)＝8能被4整除，结论成立； …………………5分 （ⅱ）假设n ＝k 时，结论成立，即f (k )＝31(32)C k k ++能被4整除， 则当n ＝k +1时，f (k +1)＝32(35)C k k ++＝3322(32)C +3C k k k +++＝322111(32)(C +C )+(2)C k k k k k +++++ ……7分＝ 322111(32)C +(32)C +(2)C k k k k k k ++++++＝3211(32)C +4(1)C k k k k ++++．此式也能被4整除，即n ＝k +1时结论也成立．综上所述，所有f (n )的最大公约数为4．…………………10分。

2018年青岛市高三统一质量检测数学（理科）本试题卷共6页，23题(含选考题)。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

☆祝考试顺利☆注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5．考试结束后，请将答题卡上交。

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}2|10,2,1,0,1A x x B =->=--，则()R C A B =A ． {}2,1--B ．{}2-C ．{}1,0,1-D ．{}0,12.设复数1z i =-+（i 是虚数单位），z 的共轭复数为z ，则11z z+=-A ．1255i +B ．1255i -+C ．1255i -D ．1255i --3.若1s in ,0,432ππαα⎛⎫⎛⎫-=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则c o s α的值为A ．46- B ．46+ C ．718D ．34.已知双曲线()222210,0y x a b ab-=>>的一个焦点为()0,2F -双曲线的方程为 A ．2213xy-= B ．2213yx -= C.2213yx-= D ．2213xy -=5.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A ．563B ．5683π-C.643D ．6483π-6.中国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？” 现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n = A ．2 B ．3 C.4 D ．57.已知三棱柱111A B C A B C -的侧棱与底面垂直，12,2A A A B A C B C ====，则三棱柱111A B C A B C -外接球的表面积为A ．4πB ．6π C.8π D ．12π 8.函数()1ln1x f x x-=+的大致图像为9.已知151xe d xn e =-⎰，其中 2.71,e e =为自然对数的底数，则在42nx x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数是A ．240B ．80 C.-80 D ．-240 10.已知函数()()s in 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小周期为4π，且其图像向右平移23π个单位后得到的图像关于y 轴对称，则ϕ= A ．6π-B ．3π-C.6πD ．3π11.已知点A 是抛物线()2:20C x p y p =>的对称轴与准线的交点，过点A 作抛物线C 的两条切线，切点分别为,P Q ，若A P Q ∆的面积为4，则p 的值为 A ．12B ．1 C.32D ．212.若函数()()2.718,x e f x e e =为自然对数的底数在()fx 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质.给出下列函数：①()ln f x x =；②()21fx x =+；③()sin fx x =；④()3fx x =.以上函数中具有M 性质的个数为A ．1B ．2 C.3 D ．4二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.13.已知向量()4,2a=，向量()2,1b k k =--，若a b a b+=-，则k 的值为_____．14.已知实数,x y 满足110x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则22x y x ++的最小值为____________．15.已知定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,+∞上单调递减，在[]4,4-上随机地取一个数x ，则事件“不等式()()11f x f -≥”发生的概率是______． 16.如图所示，在四边形A B C D 中，22,,36A B B C A B C A D B ππ==∠=∠=，则C D 的取值范围为__．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题~21题为必考题，每个考题都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求解答. （一）必考题：共60分17.(12分)已知等差数列{}n a 的公差为2，等比数列{}n b 的公比为2，且2nn n a b n =. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）令231lo g n n n c a b +=，记数列{}n c 的前n 项和为n T ，试比较n T 与38的大小.18.（12分）如图，圆柱H 横放在底面边长为1的正六棱锥P A B C D E F -的顶点P 上，1O 和2O 分别是圆柱左和右两个底面的圆心，正六棱锥P A B C D E F -底面中心为,1,M N O P O =、分别是圆柱H 的底面1O 的最高点和最低点，G 是圆柱H 的底面2O的最低点，P 为N G 中点，点1M O N A O D G P 、、、、、、、共面，点1O P D 、、共线，四边形A D G N 为矩形.（1）证明：//M G 平面P C D ； （2）求二面角M C D A --大小.注：正棱锥就是底面是一个正多边形，顶点在底面上的正投影为底 面的中心的棱锥.19.（12分）某校高三年级的500名学生参加了一次数学测试，已知这500名学生的成绩全部介于60分到140分之间（满分150分），为统计学生的这次考试情况，从这500名学生中随机抽取50名学生的考试成绩作为样本进行统计.将这50名学生的测试成绩的统计结果按如下方式分成八组：第一组[)60,70，第二组[)70,80，第三组[)80,90，……，第八组[]130,140.如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.（1）求第七组的频率，并完成频率分布直方图；（2）估计该校高三年级的这500名学生的这次考试成绩的中位数；（3）若从样本成绩属于第一组和第六组的所有学生中随机抽取2名，记这2名学生中属于第一组的人数为ξ，令21ηξ=+，求ξ的分布列及()E η.20.（12分）已知O 为坐标原点，点A B 、在椭圆22:12xC y+=上，点510E ⎛-⎝⎭在圆()222:0D x yrr +=>上，A B 在中点为Q ，满足O E Q 、、三点共线.（1）求直线A B 的斜率；（2）若直线A B 与圆D 相交于M N 、两点，记O A B ∆的面积为1,S O M N ∆的面积为2S ，求12S S S =+的最大值.21（12分）.已知函数()2x x x f x a e a e xe =--()0, 2.718,a e e ≥=为自然对数的底数若()0f x ≥对于x R ∈恒成立. （1）求实数a 的值；（2）证明：()f x 存在唯一极大值点0x ，且()02ln 211244fx ee+≤<.(二)选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程(10分) 已知曲线12c o s :sin 1x t C y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），24c o s :sin x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），在以原点O 为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，直线()3:4C R πθρ=∈.（1）求曲线12,C C 的普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若2C 上的点P 对应的参数,2Q πα=为1C 上的点，求P Q 的中点M 到直线3C 距离d 的最小值.23.选修4-5：不等式选讲（10分） 设函数()121f x x x =-+-. （1）解不等式()34f x x >-；（2）若()2165f x x m m +-≥-对一切实数x 都成立，求m 的取值范围.山东省青岛市2018届高三统一质量检测理科数学参考答案山东省青岛市2018届高三统一质量监测答案（理科数学）.pdf。

2018年高三年级质量检测(十一)数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合M={a,0},N={x|2x 2—5x<0,x ∈z},若M ∩N ≠φ，则a 等于 （ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．1或252．一枚硬币连掷三次至少出现一次正面的概率为 （ ）A ．87B ．83 C ．81 D ．31 3．已知f(x)=ax 3+3x 2+2,若f ′（—1）=4，则a 的值等于 （ ）A ．319B ．310 C ．316 D ．313 4．已知a 、b 是直线，α、β、γ是平面，给出下列命题：①a ∥α，a ∥β，α∩β= b ，则a ∥b; ②α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③a ⊥α,b ⊥β, a ⊥b,则α⊥β；④α∥β，β∥γ，a ⊥α,则a ⊥γ.其中错误的命题的序号是 （ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④5．已知双曲线1422=+ky x 的离心率e<2，则k 的取值范围是 （ ）A ．k<0或k>3B ．-3<k<0C ．-12<k<0D ．-8<k<36．若向量),sin ,(cos ),sin ,(cos ββαα==则与一定满足 （ ） A ．与的夹角等于βα- B ．)(+⊥)(-C ．∥D ．⊥7．下列命题中，使命题M 是命题N 成立的充要条件的一组命题是 （ ）A ．M:a>b; N:ac 2>bc 2B ．M:a>b,c>d, N:a-d >b-cC ．M:a>b>0,c>d>0, N:ac>bdD ．M:|a-b|=|a|+|b|, N:ab ≤08．如果一个圆锥中有三条母线两两所成的角均为60°，那么这个圆锥的侧面展开图的圆心 角等于 （ ）A ．πB ．33π C ．π332 D ．π39．圆x 2+y 2-4x-2y+c=0与y 轴交于A 、B 两点，圆心为P ，若∠APB=90°，则c 的值为（ ）A ．8B ．3C ．31-D ．—310．数列 n n 312,,2716,914,312的前n 项和为S n ，则2lim n S n n ∞→的值等于 （ ）A ．1B ．0C ．2D ．2111．设)(5101051)(5432x f x x x x x x f 则+-+-+=的反函数的解析式是 （ ） A ．511)(x x f +=- B ．5121)(-+=-x x fC ．5121)(-+-=-x x fD ．5121)(--=-x x f12．拟定从甲地到乙地通话m 分钟的电话费由f （m ）=1.18（0.5·[m]+1）（元）决定，其中 m>0,[m]是大于或等于m 的最小整数，（如[3]=3，[3.8]=4，[3.1]=4），则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的电话费为 （ ） （A ）3.71元 （B ）3.97元 （C ）4.24元 （D ）4.77元第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。