2011届高三数学精品复习之(20)多面体与球

高三数学多面体和球9．6棱柱、棱锥和球一、明确复习目标1.理解棱柱、棱锥的有关概念，掌握棱柱、棱锥的性质和体积计算；2.会画棱柱、棱锥的直观图，能运用前面所学知识分析论证多面体内的线面关系，并能进行有关角和距离的计算.3．了解球、球面的概念, 掌握球的性质及球的表面积、体积公式, 理解球面上两点间距离的概念, 了解与球内接、外切几何问题的解法．二．建构知识网络一、棱柱(1) 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱.(2) 棱柱的性质：--侧棱、侧面、横截面、纵截面的性质①侧棱都相等，侧面都是平行四边形；②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形.(3)棱柱的分类：①按底面多边形的边数分类：三棱柱，四棱柱，...，n棱柱.②按侧棱与底面的位置关系分类:(4)特殊的四棱柱:四棱柱→ 平行六面体→ 直平行六面体→长方体→ 正四棱柱→ 正方体.请在"→"上方添上相应的条件.(5)长方体对角线定理:长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和.(6)棱柱的体积公式:,是棱柱的底面积,是棱柱的高.二、棱锥1.定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫棱锥.如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥.2.正棱锥的性质--侧棱、侧面的性质和一些RtΔ(1)各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形.(2)棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形.3.一般棱锥的性质--定理：如果棱锥被平行于棱锥底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高和已知棱锥高的平方比.4.棱锥的体积: V=Sh，其S是棱锥的底面积，h是高.三、球1.定义：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面。

多面体与球江苏 郑邦锁1.三棱锥顶点在底面上的射影为三角形的外心⇔三侧棱相等或三侧棱与底面所成的角相等；内心⇔三侧面与底面所成的二面角相等；垂心⇔相对的棱垂直。

正三棱锥中相对的棱垂直；三棱锥三侧棱（侧面）两两垂直⇒顶点在底面上的射影为三角形的垂心；三棱锥一个顶点在对面上的射影为三角形的垂心⇒三棱锥其余顶点在对面上的射影也为三角形的垂心。

[举例1] 已知三棱锥S －ABC 的底面是正三角形，点A 在侧面SBC 上的射影H 是△SBC 的垂心，SA=a ，则此三棱锥体积最大值是 解析：∵点A 在侧面SBC 上的射影H 是△SBC 的垂心，∴点S 在底面ABC 上的射影O 为△ABC 的垂心；又△ABC 为正三角形，∴O 为△ABC 的中心，即三棱锥S －ABC 为正三棱锥。

记SO=h （h< a ），则AO=22h a -，于是有：AB=)(322h a -,记三棱锥S －ABC 体积为f(h)，则f(h)=h h a )(4322-， f /(h)=)3(4322h a -，∴f max (h)=)33(a f =63a .[举例2] 下面是关于三棱锥的四个命题：①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥. ③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥.④侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱；其中，真命题的编号是 （写出所有真命题的编号）.解析：①侧面与底面所成的二面角都相等，则顶点在底面上的射影O 是底面的内心，又底面是等边三角形，故O 是底面三角形的中心，所以三棱锥是正三棱锥；②在三棱锥S －ABC 中，令AB=BC=CA=SA=SB=2，SC=3，该三棱锥不是正三棱锥；③底面是等边三角形且侧面的面积都相等，则顶点到底面三边的距离相等，即顶点在底面上的射影O 到底面三边的距离相等，但这不意味着O 是底面三角形的内心，还有可能是旁心（一个内角的平分线与另一个角的外角平分线的交点），故三棱锥未必是正三棱锥；④侧棱与底面所成的角都相等，则顶点在底面上的射影O 是底面的外心，侧面与底面所成的二面角都相等，则O 是底面的内心，底面三角形的内、外心重合，则必为正三角形且O 为其中心，故该三棱锥是正三棱锥。

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考点34 多面体、球一、选择题1.（2011·湖北高考文科·Ｔ7）设球的体积为V ，它的内接正方体的体积为V，下列说法中最合适的是（ ）(A)V 比V大约多一半 (B)V 比V 大约多两倍半 (C)V 比V大约多一倍 (D)V 比V 大约多一倍半【思路点拨】先找出球的半径与其内接正方体的棱长之间的关系，表示出V 与V后再比较大小.【精讲精析】选D.设球的半径为r ，正方体的棱长为a ，则23r a =，又 33124,3V r V a π==，333312433()(1) 1.7.3a V V a a a ππ∴-=-=-≈因此V 比V 大约多一倍半2.（2011·全国高考理科·Ｔ11）已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为（ ）(A)7π (B)9π (C)11π (D)13π【思路点拨】做出如图所示的图示，问题即可解决.【精讲精析】选D.由圆M 的面积为4π，知球心O 到圆M 的距离OM =在Rt OMN ∆中,30OMN ︒∠=, ∴ON =OM sin303,故圆N 的半径∴圆N 的面积为213==S r ππ. 3.（2011·全国高考文科·Ｔ11）设两圆1C 、2C 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离12C C =（ ）(A)4 (B)【思路点拨】根据条件确定出圆心在直线y=x 上并且在第一象限是解决这个问题的关键.【精讲精析】选C. 由题意知圆心在直线y=x 上并且在第一象限,设圆心坐标为(,)(0)a a a >,则a =即210170a a -+=,所以由两点间的距离公式可求出128C C ===.4.(2011·重庆高考理科·T9)高为42的四棱锥ABCD S -的底面是边长为1的正方形，点S 、A 、B 、C 、D 均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为( ) (A) 42 (B) 22 (C) 1 (D)2 【思路点拨】根据题意可分为球心与四棱锥的顶点在底面同侧和异侧两种情况，然后分别计算.【精讲精析】选C.设球心为O ,底面四边形的中心为E ,顶点在底面上的射影为F ,则易知SF OE //,且2242==，OE SF 当S O ,在底面的同侧时,过S 作OE SH ⊥,则SF HE =,又2242==，OE SF , 所以H 为OE 的中点,OSE ∆为等腰三角形,所以1==OS SE .当S O ,在底面的异侧时,设EF OS ,交于点H ,则由2242==，OE SF 及1=OS , 结合三角形相似,可知32=OH ,在直角三角形OEH 中,直角边22=OE 大于斜边32=OH ,故不满足题意.所以底面的中心和顶点的距离为1. 5.(2011·重庆高考文科·T10)高为2的四棱锥ABCD S -的底面是边长为1的正方形,点S A B C D 、、、、均在半径为1的同一球面上,则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为( )(A) 210 (B) 232+ (C) 23 (D) 2 【思路点拨】根据题意可知球心与四棱锥的顶点在底面同侧,然后利用三角形相似进行计算.【精讲精析】选A.设球心为O ,底面四边形的中心为E ,顶点在底面上的射影为F ,则易知SF OE //,且222==，OE SF , 过O 作OH SF ⊥,则22==HF SH ,又1=OS ,所以直角三角形SHO 中,22=OH , 所以22==OH EF ,在直角三角形SFE 中21022=+=FE SF SE . 二、填空题 6.（2011·四川高考理科·Ｔ15）如图，半径为R 的球O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是_________.【思路点拨】外接球的球心到圆柱底面圆周上任意一点的距离都等于球的半径R ，球心与圆柱上下底面圆心的连线垂直于圆柱的底面，不妨设圆柱底面的半径为r ，用r 与R 表示圆柱的侧面积.【精讲精析】如图，设圆柱的底面半径为r ，上底面的圆心为O '，连结OO ',则OO '垂直于圆柱的底面，设A 为圆O '上的任意一点，连结O A '，则=O A r '，22OO R r '=-，圆柱的高为2222OO R r '=-， 圆柱的侧面积2222222224()=224()2.2r R r S r R r r R r R ππππ+-⋅-=-≤=侧当且仅当22222,2r R r R r =-=即时等号成立.此时球的表面积为24R π.球的表面积与圆柱的侧面积之差为222422.R R R πππ-=【答案】22R π7.（2011·四川高考文科·Ｔ15）如图，半径为4的球O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差是 .【思路点拨】外接球的球心到圆柱底面圆周上任意一点的距离都等于球的半径4，球心与圆柱上下底面圆心的连线垂直于圆柱的底面，不妨设圆柱底面的半径为r ，用r 与4表示圆柱的侧面积.【精讲精析】如图，设圆柱的底面半径为r ，上底面的圆心为O '，连接OO ',则OO '垂直于圆柱的上底面，设A 为圆O '上的任意一点，连接O A '，则=4OA ， 224OO r '=-，圆柱的高为22224OO r '=-，圆柱的侧面积2222222224(4)=2244(4)24=32.2r r S r r r r πππππ+-⋅-=-≤=侧 当且仅当即222224,42r r r =-=时等号成立.球的表面积为64π.球的表面积与圆柱的侧面积之差为643232.πππ-=【答案】32π 关闭Word 文档返回原板块。

多面体外接球、内切球半径常见的5种求法如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体,这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.公式法例1一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同9一个球面上，且该六棱柱的体积为三，底面周长为3,则这个球的体积为86x=3,f1JQ———解设正六棱柱的底面边长为X,高为则有9后，2'§=6x甘"，]入=右.正六棱柱的底面圆的半径r=~,球心到底面的距离d=—.:.外接球的半径22R=J/+J?=]....v球=—.3小结本题是运用公式R2=r-+d2求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.多面体几何性质法例2已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表面积是A.16^B.20ttC.24>tD.32i解设正四棱柱的底面边长为X,外接球的半径为R,则有4/=16,解得%=2, 2R=a/22+22+42=2^6,:.R=£.这个球的表面积是4*=24^,选C.小结本题是运用''正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.补形法例3若三棱锥的三个侧棱两两垂直，且侧棱长均为右，则其外接球的表面积是—.解据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，...把这个三棱锥可以补成一个棱长为73的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.设其外接球的半径为R,则有（27?）2=（、厅『+（、行『+（^3）2=9./.R2=|,故其外接球的表面积S=4*=9兀.小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为0、/?、c,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为A,则有2R=7a2+b2+c2.寻求轴截面圆半径法例4正四棱锥S-ABC。

课题一：球与多面体一．复习目标：1. 了解多面体、正多面体的概念,了解多面体的欧拉公式,并利用欧拉公式解决有关问题；2．了解球、球面的概念, 掌握球的性质及球的表面积、体积公式, 理解球面上两点间距离的概念, 了解与球的有的内接、外切几何问题的解法．二．主要知识：1．欧拉公式 ；2．球的表面积 ；球的体积公式 ；3．球的截面的性质： ．三．课前预习：1．一个凸多面体的顶点数为20，棱数为30，则它的各面多边形的内角和为 ( )()A 2160 ()B 5400 ()C 6480 ()D 72002．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积是 ( )()A 3π ()B 4π ()C ()D 6π3．正四面体的中心到底面的距离与这四面体的高的比是 ( )()A 21 ()B 31 ()C 41 ()D 61 4．地球表面上从A 地(北纬45，东经120)到B 地(北纬45，东经30)的最短距离为（球的半径为R ） （ ）()A 4R π ()B R π ()C 3R π ()D 2R π 5．设,,,P A B C 是球O 面上的四点,且,,PA PB PC 两两互相垂直,若PA PB PC a ===则球心O 到截面ABC 的距离是 . 四．例题分析：例1．已知三棱锥P ABC -内接于球, 三条侧棱两两垂直且长都为1, 求球的表面积与体积.例2．在北纬60圈上有甲、乙两地，它们的纬度圆上的弧长等于2R π(R 为地球半径)，求甲，乙两地间的球面距离。

例3．如图,球心到截面的距离为半径的一半，BC 是截面圆的直径,D 是圆周上一点，CA 是球O 的直径，(1) 求证：平面ABD ⊥平面ADC ；(2) 如果球半径是13，D 分BC 为两部分, 且:1:2BD DC =，求AC 与BD 所成的角；(3) 如果:2BC DC =，求二面角B AC D --的大小。

五．课后作业：1．给出下列命题：①正四棱柱是正多面体；②正四棱柱是简单多面体；③简单多面体是凸多面体；④以正四面体各面的中心为顶点的四面体仍然是正四面体；其中正确的命题个数为 （ ）()A 1个 ()B 2个 ()C 3个 ()D 4个2．已知一个简单多面体的各个顶点都有三条棱，则顶点数V 与面数F 满足的关系是（ ）()A 24F V += ()B 24F V -= ()C 22F V += ()D 22F V -=3．棱长为a 的正方体中，连接相邻两个面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ）()A 33a ()B 34a ()C 36a ()D 312a 4．有一棱长为a 的正方体框架，其内放置一气球，是其充气且尽可能地膨胀(仍保持为球的形状)，则气球表面积的最大值为 （ ）()A 2a π()B 22a π ()C 23a π ()D 24a π 5．以正方体的顶点为顶点作正四面体，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比为（ ）()A 3:1 ()B 1:3 ()C ()D 3:26．地球半径为R ，A 、B 两地均在北纬45°圈上，两地的球面距离为3Rπ，则,A B 两地的经度之差的绝对值为 （ ）()A 3π ()B 2π ()C 32π ()D 4π 7．棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球的表面上，则这个球的表面积为 （ ）()A 2π ()B 3π ()C ()D 12π 8．已知球O 的半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为2π，则球心O 到平面ABC 的距离为 （ ） ()A 31()B 33 ()C 32 ()D 36 9．如图，,,A B C 是表面积为48π的球面上三点，2,4,60AB BC ABC ==∠=，O 为球心，则直线OA 与截面ABC 所成的角是 （ ）()A arcsin 6()B arccos 6()C arcsin 3 ()D arccos 310．一个多面体共有10个顶点, 每个顶点处都有四条棱, 面的形状只有三角形和四边形, 求该多面体中三角形和四边形的个数分别是 .11．有30个顶点的凸多面体，它的各面多边形内角总和是_____ ___．12．球面上三点,,A B C 组成这个球的一个截面的内接三角形，18,24,30AB BC AC ===， 且球心到该截面的距离为球的半径的一半，(1) 求球的体积； (2) 求,A C 两点的球面距离。

简单多面体与球（文）一周强化一、一周知识概述1、棱柱、棱锥的定义：（1）棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫做棱柱；（2）棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫做棱锥.2、棱柱、棱锥的性质：（1）棱柱：①侧棱都相等，侧面是平行四边形；②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形.（2）正棱锥：①各侧棱都相等，各侧面都是全等的等腰三角形；②棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形；③（定理）如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面与底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高与已知棱锥的高的平方比.3、长方体的对角线：如图，（1）长方体的对角线的长：长方体一条对角线长的平方等于一个顶点处三条棱长的平方和；（2）设长方体的一条对角线与一个顶点上的三条棱所成的角分别为∠C 1AB 、∠C 1AD 、∠C 1AA 1 ，则有cos 2∠C 1AB ＋cos 2∠C 1AD ＋cos 2∠C 1AA 1=1；（3）长方体的一条对角线与一个顶点处的三个面所成的角分别为∠C 1AC 、∠C 1AB 1、∠C 1AD 1，则有cos 2∠C 1AC ＋cos 2∠C 1AB 1＋cos 2∠C 1AD 1=2 , 或sin 2∠C 1AC ＋sin 2∠C 1AB 1＋sin 2∠C 1AD 1 =1； 4、棱柱、棱锥有关的公式：（1）棱柱的侧面积：若直棱柱的底面周长为c ，高为h, 则它的侧面积为 S 侧= ch ；斜棱柱的直截面(垂直于侧棱的截面)的周长为c ，侧棱长为l ，则它的侧面积为S侧=cl ；（2）正棱锥的侧面积：若正棱锥的底面周长为c ，斜高为h ＇,则它的侧面积为 S 侧=ch ＇；5、正多面体：（正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体）正多面体一览表：类型每顶点处的棱数m 每面边数n 棱数E 面数F 顶点数V正四面体 3 3 6 4 4正六面体 3 4 12 6 8正八面体 4 3 12 8 6正十二面体 3 5 30 12 20正二十面体 5 3 30 20 126、（1）定义①球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面．②球体：球面所围成的几何体．（2）性质①任意截面是圆面(经过球心的平面，截得的圆叫大圆，不经过球心的平面截得的圆叫小圆)．②球心和截面圆心的连线垂直于截面，并且其中R为球半径，r为截面半径，d为球心到截面的距离．（3）球的任何截面都是圆，过球心的截面是球的大圆，解球的问题，一般是作球的大圆，转化为平面图形来解决．（4）在球的有关计算中，由球的半径R，截面圆的半径及球心到截面距离O′O构成的直角三角形，也是常用的关键图形．二、重、难点知识的归纳与剖析（一）本周复习的重点1、棱柱和正棱柱的概念和性质。

高三数学第一轮复习：多面体与球（理）人教版【本讲教育信息】一. 教学内容：多面体与球二. 本周教学重、难点：1. 了解多面体，凸多面体，正多面体的概念。

2. 了解球的概念，掌握球的性质，表面积，体积公式。

【典型例题】[例1] 如图，地球半径为R ，地面上三点A 、B 、C 的经纬度分别是：A 点是东经︒20，北纬︒60；B 点是东经︒140，北纬︒60；C 点是东经︒140，北纬︒30，试求A 、B 与B 、C 两点的球面距离。

解：∵ A 、B 纬度均为︒60∴ A 、B 在同一纬线上设此纬线圈中心为O 1由已知有︒=∠1201B AO ，且︒=∠=∠6011OBO OAO ∴R R B O A O 2160cos 11=︒== 在B AO 1∆中，︒⋅-+=120cos 21121212B O A O B O A O AB =243R 在AOB ∆中，852cos 222=⋅-+=∠BO AO AB BO AO AOB ∴85arccos =∠AOB ∴ A 、B 两点的球面距离等于85arccos R∵ B 、C 两点在同一经线上，纬度差为︒30，即︒=∠30BOC∴ BC 两点的球面距离等于6Rπ[例2] 已知正四棱锥的底面边长为a ，侧棱长为a 2。

（1）求它的外接球的体积； （2）求它的内切球的表面积。

解：如图（1）设外接球的半径为R ，球心为O ，则OA=OC=OS∴ O 为SAC ∆的外心，即SAC ∆的外接圆半径就是球的半径 ∵ AB=BC=a ∴a AC 2=∵ SA=SC=AC=a 2∴SAC ∆为正三角形 由正弦定理得a a •ASC AC R 36260sin 2sin 2=︒=∠=因此33276834,36a R V a R ππ===球 （2）设内切球的半径为r作SE ⊥底面于E ，作SF ⊥BC 于F ，连结EF 则有a a a BF SB SF 27)2()2(2222=-=-=247272121a a a SF BC S SBC =⨯=⋅=∆ 2)17(4a S S S SBC +=+=∆底棱锥全又a a a EF SF SE 26)2()27(2222=-=-=∴3266263131a a a h S V =⨯==底棱锥 ∴a a a S V r 12642)17(663323-=+⨯==全棱锥∴223744a r S ππ-==球[例3] 半径为1的球面上有A 、B 、C 三点，其中A 和B 的球面距离，A 和C 的球面距离都是2π，B 和C 的球面距离是3π，求球心O 到平面ABC 的距离。

多面体与球[高考能力要求]多面体与球是我们生活中最常见、最基本的几何体。

掌握它们的性质，会计算它们的表面积和体积是十分重要的，因此多面体和求球在高考中年年出现，其中多面体的考查依然是近几年高考的重点热点，而球有关的内容考查要求有所下降。

多面体内容考查的重点是：几种特殊多面体的概念（如：锥体、柱体），多面体中有关角度、距离、面积、体积的计算；球内容考查的重点是：球的概念，球面距离、球面积、体积的计算，几何体的内切球与外接球等。

球面距离的计算是球内容中的难点。

其计算步骤一般是：（1）计算线段AB 的长度；（2）计算AB 所对的球心角AOB ∠；（3）利用弧长公式计算大圆弧AB 的长。

关于球的问题，比如球的概念与性质、球面距离等在高考中多以客观题的形式出现。

多面体与球的切接问题，在高考试题中有时出现，也要给予适当的重视。

[例题精讲]【例1】70C 分子中有类似的球状多面体结构，它有70个顶点，以每个顶点为一端都有三条棱，各面是五边形或六边形，求70C 分子中五边形和六边形的个数。

分析：本题是欧拉公式的应用问题，在计算时应当注意顶点数、从顶点出发的棱数与多面体的棱数；面数及每一面的边数与多面体的棱数的关系。

解：设70C 分子中五边形和六边形分别有y x ,个，70C 这个多面体的顶点数V=70，面数F=y x +，棱数E=105)703(21=⨯，根据欧拉公式可得：2105(70=-++y x ，即)1(37=+y x ；另一方面，棱数是所有边数的一半，于是又得：105)65(21=+y x ，即)2(21065=+y x由（1）（2）可解得：25,12==y x 。

所以70C 分子中五边形有12个，六边形有25个。

【例2】如图，三棱锥P-ABC 中，已知PA ⊥BC ，PA=BC=l ，PA 、BC 的公垂线DE=h ，求三棱锥P-ABC 的体积。

分析1：直接求三棱锥的体积比较困难，考虑到DE 是对棱PA 和BC 的公垂线，可把原棱锥分割成两个三棱锥P-EBC 和A-EBC ，利用PA ⊥截面EBC ，且∆EBC 的面积易求，从而体积可以求出。