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2015-2016学年山东省青岛市胶州市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知椭圆的方程为+=1，则此椭圆的长轴长为（）A．3 B．4 C．6 D．82．若直线ax+y﹣1=0与直线4x+（a﹣3）y﹣2=0垂直，则实数a的值（）A．﹣1 B．4 C．D．﹣3．直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系为（）A．相切B．相交但直线不过圆心C．直线过圆心D．相离4．命题“若xy=0，则x2+y2=0”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．45．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的各个面中，最大的面积是（）A．B．1 C．D．6．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±2x B．y=±x C．y=±x D．y=±x7．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下面命题正确的是（）A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若α∩γ=m，β∩γ=n，则α∥βC．若m⊥β，m∥α，则α⊥βD．若α⊥β，α⊥γ，则β⊥γ8．圆心在曲线y=（x＞0）上，与直线2x+y+1=0相切且面积最小的圆的方程为（）A．2=5 B．2=5 C．2=25 D．2=259．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是线段AB，CC1的中点，∨MB1P的顶点P在棱CC1与棱C1D1上运动，有以下四个命题：①平面MB1P⊥ND1②平面MB1P⊥平面ND1A1③∨MB1P在底面ABCD上的射影图形的面积为定值；④△MB1P在侧面DD1C1C上的射影图形是三角形．其中正确的命题序号是（）A．①B．①③C．②③D．②④10．已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则该椭圆离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知：椭圆的离心率，则实数k的值为．12．已知实数x，y满足，则u=3x+4y的最大值是．13．“a≠1或b≠2”是“a+b≠3”成立的条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中的一个）．14．一长方体的各顶点均在同一个球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1，，3，则这个球的表面积为．15．椭圆+=1的左、右焦点分别为F1，F2，弦AB过点F1，若△ABF2的内切圆周长为π，A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则|y1﹣y2|= ．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.16．设命题p：方程+=1表示双曲线；命题q：∃x0∈R，x02+2mx0+2﹣m=0（Ⅰ）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若命题q为真命题，求实数m的取值范围；（Ⅲ）求使“p∨q”为假命题的实数m的取值范围．．17．已知坐标平面上一点M（x，y）与两个定点M1（26，1），M2（2，1），且=5．（Ⅰ）求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（Ⅱ）记（Ⅰ）中的轨迹为C，过点M（﹣2，3）的直线l被C所截得的线段的长为8，求直线l的方程．18．已知P（x，y）为平面上的动点且x≥0，若P到y轴的距离比到点（1，0）的距离小1．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）设过点M（m，0）的直线交曲线C于A、B两点，问是否存在这样的实数m，使得以线段AB为直径的圆恒过原点．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，∠ADB=90°，AB=2AD．（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PBD；（Ⅱ）若PD=AD=1， =2，求二面角P﹣AD﹣E的余弦值．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是点F1，F2，其离心率e=，点P为椭圆上的一个动点，△PF1F2面积的最大值为4．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若A，B，C，D是椭圆上不重合的四个点，AC与BD相交于点F1，=0，求||+||的取值范围．21．已知椭圆C的两个焦点的坐标分别为E（﹣1，0），F（1，0），并且经过点（，），M、N为椭圆C上关于x轴对称的不同两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若⊥，试求点M的坐标；（3）若A（x1，0），B（x2，0）为x轴上两点，且x1x2=2，试判断直线MA，NB的交点P是否在椭圆C上，并证明你的结论．2015-2016学年山东省青岛市胶州市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知椭圆的方程为+=1，则此椭圆的长轴长为（）A．3 B．4 C．6 D．8【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用椭圆的性质求解．【解答】解：∵椭圆的方程为+=1，∴a=4，b=3，∴此椭圆的长轴长为2a=8．故选：D．【点评】本题考查椭圆的长轴长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．2．若直线ax+y﹣1=0与直线4x+（a﹣3）y﹣2=0垂直，则实数a的值（）A．﹣1 B．4 C．D．﹣【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】计算题；分类讨论；转化思想；直线与圆．【分析】对a分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出．【解答】解：当a=3时，两条直线分别化为：3x+y﹣1=0，2x﹣1=0，此时两条直线不垂直，舍去．当a≠3时，由于两条直线相互垂直，∴﹣a×=﹣1，解得a=．综上可得：a=．故选；C．【点评】本题考查了两条直线相互垂直的充要条件、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系为（）A．相切B．相交但直线不过圆心C．直线过圆心D．相离【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题．【分析】求出圆心到直线的距离d，与圆的半径r比较大小即可判断出直线与圆的位置关系，同时判断圆心是否在直线上，即可得到正确答案．【解答】解：由圆的方程得到圆心坐标（0，0），半径r=1则圆心（0，0）到直线y=x+1的距离d==＜r=1，把（0，0）代入直线方程左右两边不相等，得到直线不过圆心．所以直线与圆的位置关系是相交但直线不过圆心．故选B【点评】此题考查学生掌握判断直线与圆位置关系的方法是比较圆心到直线的距离d与半径r的大小，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道中档题．4．命题“若xy=0，则x2+y2=0”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．4【考点】四种命题的真假关系；四种命题．【专题】常规题型．【分析】先写出其命题的逆命题，只要判断原命题和其逆命题的真假即可，根据互为逆否命题的两个命题真假相同，即可判定其否命题、逆否命题的真假．【解答】解：“若xy=0，则x2+y2=0”，是假命题，其逆命题为：“若x2+y2=0，则xy=0”是真命题，据互为逆否命题的两个命题真假相同，可知其否命题为真命题、逆否命题是假命题，故真命题的个数为2故选C．【点评】本题考查四种命题及真假判断，注意原命题和其逆否命题同真假，属容易题．5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的各个面中，最大的面积是（）A．B．1 C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是直三棱锥，根据图中的数据，求出该三棱锥的4个面的面积，得出面积最大的三角形的面积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是如图所示的直三棱锥，且侧棱PA⊥底面ABC，PA=1，AC=2，点B到AC的距离为1；∴底面△ABC的面积为S1=×2×1=1，侧面△PAB的面积为S2=××1=，侧面△PAC的面积为S3=×2×1=1，在侧面△PBC中，BC=，PB==，PC==，∴△PBC是Rt△，∴△PBC的面积为S4=××=；∴三棱锥P﹣ABC的所有面中，面积最大的是△PBC，为．故选：A．【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了空间中的位置关系与距离的计算问题，是基础题目．6．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±2x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】运用离心率公式，再由双曲线的a，b，c的关系，可得a，b的关系，再由渐近线方程即可得到．【解答】解：由双曲线的离心率为，则e==，即c=a，b===a，由双曲线的渐近线方程为y=x，即有y=x．故选D．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率公式和渐近线方程的求法，属于基础题．7．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下面命题正确的是（）A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若α∩γ=m，β∩γ=n，则α∥βC．若m⊥β，m∥α，则α⊥βD．若α⊥β，α⊥γ，则β⊥γ【考点】命题的真假判断与应用．【专题】空间位置关系与距离；简易逻辑．【分析】根据空间直线与平面的位置关系的定义，判断定理，性质定理及几何特征，逐一分析四个答案中命题的正误，可得答案．【解答】解：若m⊂β，α⊥β，则m与α的夹角不确定，故A错误；若α∩γ=m，β∩γ=n，则α与β可能平行与可能相交，故B错误；若m∥α，则存在直线n⊂α，使m∥n，又由m⊥β，可得n⊥β，故α⊥β，故C正确；若α⊥β，α⊥γ，则β与γ的夹角不确定，故D错误，故选：D【点评】本题以命题地真假判断为载体，考查了空间直线与平面的位置关系的判定，熟练掌握空间线面关系的判定方法及几何特征是解答的关键．8．圆心在曲线y=（x＞0）上，与直线2x+y+1=0相切且面积最小的圆的方程为（）A．2=5 B．2=5 C．2=25 D．2=25【考点】圆的标准方程．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】设出圆心坐标，求出圆心到直线的距离的表达式，求出表达式的最小值，即可得到圆的半径长，得到圆的方程，推出选项．【解答】解：设圆心为（a，）（a＞0），则r=≥=，当且仅当a=1时等号成立．当r最小时，圆的面积S=πr2最小，此时圆的方程为2=5；故选A．【点评】本题是基础题，考查圆的方程的求法，点到直线的距离公式、基本不等式的应用，考查计算能力．9．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是线段AB，CC1的中点，∨MB1P的顶点P在棱CC1与棱C1D1上运动，有以下四个命题：①平面MB1P⊥ND1②平面MB1P⊥平面ND1A1③∨MB1P在底面ABCD上的射影图形的面积为定值；④△MB1P在侧面DD1C1C上的射影图形是三角形．其中正确的命题序号是（）A．①B．①③C．②③D．②④【考点】棱柱的结构特征．【专题】计算题；转化思想；综合法；立体几何．【分析】由正方体的几何性质对四个命题时行判断，戡别正误，①平面MB1P⊥ND1；可用极限位置判断，②平面MB1P⊥平面ND1A1；可以证明MB1⊥平面ND1A1；③△MB1P在底面ABCD上的射影图形的面积为定值，可以看到其投影三角形底边是MB，再由点P在底面上的投影到MB的距离不变即可证得；④△MB1P在侧面D1C1CD上的射影图形是三角形，由图形判断即可．【解答】解：在①中，平面MB1P⊥ND1；可用极限位置判断，当P与N重合时，MB1P⊥ND1垂直不成立，故线面不可能垂直，此命题是错误命题；在②中，平面MB1P⊥平面ND1A1；可以证明MB1⊥平面ND1A1，由图形知MB1与ND1和D1A1都垂直，故可证得MB1⊥平面ND1A1，进而可得平面MB1P⊥平面ND1A1，故是正确命题；在③中，△MB1P在底面ABCD上的射影图形的面积为定值，可以看到其投影三角形底边是MB，再由点P在底面上的投影在DC上，故其到MB的距离不变即可证得，故命题正确；在④中，△MB1P在侧面D1C1CD上的射影图形是三角形，由于P与C1重合时，P、B1两点的投影重合，不能构成三角形，故命题错误．综上②③正确．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．10．已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则该椭圆离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】三角函数的图像与性质；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】首先利用已知条件设出椭圆的左焦点，进一步根据垂直的条件得到长方形，所以：AB=NF，再根据椭圆的定义：|AF|+|AN|=2a，由离心率公式e==由的范围，进一步求出结论．【解答】解：已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，设左焦点为：N则：连接AF，AN，AF，BF所以：四边形AFNB为长方形．根据椭圆的定义：|AF|+|AN|=2a∠ABF=α，则：∠ANF=α．所以：2a=2ccosα+2csinα利用e==所以：则：即：椭圆离心率e的取值范围为[]故选：A【点评】本题考查的知识点：椭圆的定义，三角函数关系式的恒等变换，利用定义域求三角函数的值域，离心率公式的应用，属于中档题型．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知：椭圆的离心率，则实数k的值为或3 ．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】当K＞5时，由 e===求得K值，当0＜K＜5时，由 e===，求得K值．【解答】解：当K＞5时，e===，K=．当0＜K＜5时，e===，K=3．综上，K=或3．故答案为：或3．【点评】本题考查椭圆的标准方程，以及简单性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，易漏讨论焦点在y轴上的情形．12．已知实数x，y满足，则u=3x+4y的最大值是11 ．【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；转化思想；不等式．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用u的几何意义，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由u=3x+4y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线y=﹣x+经过点A时，直线y=﹣x+的截距最大，此时u最大，由，解得，即A（1，2），此时u=3+2×4=11，故答案为：11．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用u的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．13．“a≠1或b≠2”是“a+b≠3”成立的必要不充分条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中的一个）．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】阅读型．【分析】根据互为逆否命题的真假一致，将判断“a≠1或b≠2”是“a+b≠3”成立的什么条件转换为判断a+b=3是a=1且b=2成立的什么条件．【解答】解：由题意得∵命题若a≠1或b≠2则a+b≠3与命题若a+b=3则a=1且b=2互为逆否命题因为当a=3，b=0有a+b=3所以“命题若a+b=3则a=1且b=2”显然是假命题所以命题若a≠1或b≠2则a+b≠3是假命题所以a≠1或b≠2推不出a+b≠3“若a=1且b=2则a+b=3”是真命题∴命题若a+b≠3则≠1或b≠2是真命题∴a+b≠3⇒a≠1或b≠2“a≠1或b≠2”是“a+b≠3”的必要不充分条件．故答案为必要不充分．【点评】判断充要条件时可以先判断某些命题的真假，当命题的真假不易判断时可以先判断原命题的逆否命题的真假（原命题与逆否命题的真假相同）．14．一长方体的各顶点均在同一个球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1，，3，则这个球的表面积为16π．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】求出长方体的对角线的长，就是外接球的直径，然后求出球的表面积．【解答】解：由题意可知长方体的对角线的长，就是外接球的直径，所以球的直径： =4，所以外接球的半径为：2．所以这个球的表面积：4π×22=16π．故答案为：16π．【点评】本题考查球内接多面体，球的体积和表面积的求法，考查计算能力．15．椭圆+=1的左、右焦点分别为F1，F2，弦AB过点F1，若△ABF2的内切圆周长为π，A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则|y1﹣y2|= ．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；作图题；数形结合；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意作图辅助，易知△ABF2的内切圆的半径长r=，从而借助三角形的面积，利用等面积法求解即可．【解答】解：由题意作图如下，，∵△ABF2的内切圆周长为π，∴△ABF2的内切圆的半径长r=，又∵△ABF2的周长l=4a=16，故S△ABF2=16×=4，且S△ABF2=|F1F2|×|y1﹣y2|=3|y1﹣y2|，故|y1﹣y2|=，故答案为：．【点评】本题考查了数形结合的思想应用及等面积法的应用．属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.16．设命题p：方程+=1表示双曲线；命题q：∃x0∈R，x02+2mx0+2﹣m=0（Ⅰ）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若命题q为真命题，求实数m的取值范围；（Ⅲ）求使“p∨q”为假命题的实数m的取值范围．．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；简易逻辑．【分析】（Ⅰ）命题p为真命题时，方程+=1表示双曲线，求出（1﹣2m）（m+2）＜0时的解集即可；（Ⅱ）命题q为真命题时，方程x02+2mx0+2﹣m=0有解，△≥0，求出解集即可；（Ⅲ）“p∨q”为假命题时，p、q都是假命题，求出m的取值范围即可．【解答】解：（Ⅰ）当命题p为真命题时，方程+=1表示双曲线，∴（1﹣2m）（m+2）＜0，解得m＜﹣2，或m＞，∴实数m的取值范围是{m|m＜﹣2，或m＞}；…（4分）（Ⅱ）当命题q为真命题时，方程x02+2mx0+2﹣m=0有解，∴△=4m2﹣4（2﹣m）≥0，解得m≤﹣2，或≥1；∴实数m的取值范围是{|m≤﹣2，或≥1}；…（6分）（Ⅲ）当“p∨q”为假命题时，p，q都是假命题，∴，解得﹣2＜m≤；∴m的取值范围为（﹣2，]．…（12分）【点评】本题考查了双曲线的概念与应用问题，也考查了命题真假的判断问题，一元二次方程有解的判断问题，是综合题目．17．已知坐标平面上一点M（x，y）与两个定点M1（26，1），M2（2，1），且=5．（Ⅰ）求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（Ⅱ）记（Ⅰ）中的轨迹为C，过点M（﹣2，3）的直线l被C所截得的线段的长为8，求直线l的方程．【考点】轨迹方程．【专题】综合题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）直接利用距离的比，列出方程即可求点M的轨迹方程，然后说明轨迹是什么图形；（Ⅱ）设出直线方程，利用圆心到直线的距离，半径与半弦长满足的勾股定理，求出直线l 的方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意，得=5.，化简，得x2+y2﹣2x﹣2y﹣23=0…（3分）即2=25．∴点M的轨迹方程是2=25，轨迹是以（1，1）为圆心，以5为半径的圆．…（6分）（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，l：x=﹣2，此时所截得的线段的长为2=8，∴l：x=﹣2符合题意．…（8分）当直线l的斜率存在时，设l的方程为y﹣3=k（x+2），即kx﹣y+2k+3=0，圆心到l的距离d=，由题意，得（）2+42=52，解得k=．∴直线l的方程为x﹣y+=0，即5x﹣12y+46=0．综上，直线l的方程为x=﹣2，或5x﹣12y+46=0…（12分）【点评】本题考查曲线轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．18．已知P（x，y）为平面上的动点且x≥0，若P到y轴的距离比到点（1，0）的距离小1．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）设过点M（m，0）的直线交曲线C于A、B两点，问是否存在这样的实数m，使得以线段AB为直径的圆恒过原点．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）由题意得：，化简得：y2=4x（x≥0）．求得P的轨迹方程．（Ⅱ）分斜率存在和斜率不存在两种情况讨论，当斜率存在时，设直线AB方程为y=k（x﹣m），A（x1，y1），B（x2，y2），直线和抛物线联立方程求解．当斜率不存在时，m=0或m=4．成立．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：，化简得：y2=4x（x≥0）．∴点P的轨迹方程为y2=4x（x≥0）．．（Ⅱ）①当斜率存在时，设直线AB方程为y=k（x﹣m），A（x1，y1），B（x2，y2），由，得ky2﹣4y﹣4km=0，∴，∵以线段AB为直径的圆恒过原点，∴OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0．即m2﹣4m=0∴m=0或m=4．②当斜率不存在时，m=0或m=4．∴存在m=0或m=4，使得以线段AB为直径的圆恒过原点．【点评】本题主要考查轨迹方程的求解和直线与抛物线的综合应用，属于中档题，早高考中经常涉及19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，∠ADB=90°，AB=2AD．（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PBD；（Ⅱ）若PD=AD=1， =2，求二面角P﹣AD﹣E的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【专题】综合题；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）根据面面垂直的判定定理即可证明平面PBD⊥平面PAD；（Ⅱ）以D为原点，DA所在直线为x轴，DB所在直线为y轴建立直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求出二面角的平面角．【解答】（Ⅰ）证明：∵PD⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，∴PD⊥BD…（2分）∵∠ADB=90°，∴AD⊥BD…（3分）∵AD∩PD=D∴BD⊥平面PAD…（5分）∵BD⊂平面PBD，∴平面PAD⊥平面PBD…（7分）（Ⅱ）解：以D为原点，DA所在直线为x轴，DB所在直线为y轴建立直角坐标系D（0，0，0），P（0，0，1），A（1，0，0），B（0，，0），设P（0，x，y），∵，∴…（9分）∵BD⊥平面PAD，∴平面PAD的一个法向量…（10分）设平面ADE的一个法向量，，，∴解得…（13分）设α为所求的角，cosα==…（15分）【点评】本题主要考查空间面面垂直的判定以及空间二面角的求解，利用向量法进行求解是解决空间二面角的常用方法20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是点F1，F2，其离心率e=，点P为椭圆上的一个动点，△PF1F2面积的最大值为4．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若A，B，C，D是椭圆上不重合的四个点，AC与BD相交于点F1，=0，求||+||的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）容易知道当P点为椭圆的上下顶点时，△PF1F2面积最大，再根据椭圆的离心率为可得到关于a，c的方程组，解该方程组即可得到a，c，b，从而得出椭圆的方程；（Ⅱ）先容易求出AC，BD中有一条直线不存在斜率时||+||=14，当直线AC存在斜率k且不为0时，写出直线AC的方程y=k（x+2），联立椭圆的方程消去y得到（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣48=0，根据韦达定理及弦长公式即可求得，把k换上即可得到．所以用k表示出，这时候设k2+1=t，t＞1，从而得到，根据导数求出的范围，从而求出的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，当P是椭圆的上下顶点时△PF1F2的面积取最大值；∴；即①；由离心率为得：②；∴联立①②解得a=4，c=2，b2=12；∴椭圆的方程为；（Ⅱ）由（Ⅰ）知F1（﹣2，0）；∵，∴AC⊥BD；（1）当直线AC，BD中一条直线斜率不存在时，；（2）当直线AC斜率为k，k≠0时，其方程为y=k（x+2），将该方程带入椭圆方程并整理得：（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣48=0；若设A（x1，y1），B（x2，y2），则：；∴=；直线BD的方程为y=，同理可得；∴=；令k2+1=t，t＞1；∴==；设f（t）=，（t＞1），f′（t）=；∴t∈（1，2）时，f′（t）＞0，t∈（2，+∞）时，f′（t）＜0；∴t=2时，f（t）取最大值，又f（t）＞0；∴；∴；∴综上得的取值范围为．【点评】考查三角形的面积公式，椭圆离心率的概念，椭圆的标准方程，a，b，c三个系数的几何意义，直线的点斜式方程，以及弦长公式，根据导数求函数最值的方法．21．已知椭圆C的两个焦点的坐标分别为E（﹣1，0），F（1，0），并且经过点（，），M、N为椭圆C上关于x轴对称的不同两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若⊥，试求点M的坐标；（3）若A（x1，0），B（x2，0）为x轴上两点，且x1x2=2，试判断直线MA，NB的交点P是否在椭圆C上，并证明你的结论．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）利用椭圆的长轴长的定义及焦点坐标，计算即得结论；（2）通过设M （m ，n ），N （m ，﹣n ），利用，计算即得结论；（3）通过设M （m ，n ）、直线MA 与直线NB 交点为P （x 0，y 0），分别将点P 代入直线MA 、NB的方程，利用x 1x 2=2、m 2=2﹣2n 2，计算即得结论． 【解答】（1）解：依定义，椭圆的长轴长，∴4a 2=8，即a 2=2，又∵b 2=a 2﹣1=1，∴椭圆标准方程为； （2）解：设M （m ，n ），N （m ，﹣n ），则，，∵，∴，即（m+1）2﹣n 2=0 ①∵点M （m ，n ）在椭圆上，∴ ②由①②解得，或，∴符合条件的点有（0，1）、（0，﹣1）、、；（3）结论：直线MA 与直线NB 的交点P 仍在椭圆C 上． 证明如下： 设M （m ，n ），则直线MA 的方程为：y （m ﹣x 1）=n （x ﹣x 1） ③直线NB 的方程为：y （m ﹣x 2）=﹣n （x ﹣x 2） ④设直线MA 与直线NB 交点为P （x 0，y 0），将其坐标代人③、④并整理， 得：（y 0﹣n ）x 1=my 0﹣nx 0 ⑤ （y 0+n ）x 2=my 0+nx 0 ⑥⑤与⑥相乘得：⑦又x1x2=2，m2=2﹣2n2，代入⑦化简得：，∴直线MA与直线NB的交点P仍在椭圆C上．【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，注意解题方法的积累，属于中档题．21。
2015-2016学年山东省青岛市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分；在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的．1．（5分）设集合，则A∩（∁R B）等于（）A．（﹣∞，1）B．（0，4）C．（0，1）D．（1，4）2．（5分）若复数（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）A．3B．﹣3C．0D．3．（5分）平面向量与的夹角为，=（2，0），||=1，则|﹣2|=（）A．B．0C．D．24．（5分）已知圆x2+y2﹣2x﹣4y+a=0上有且仅有一个点到直线3x﹣4y﹣15=0的距离为1，则实数a的取值情况为（）A．（﹣∞，5）B．﹣4C．﹣4或20D．﹣115．（5分）阅读如图的算法框图，输出的结果S的值为（）A．B．0C．D．6．（5分）设a＞0，b＞0，若2是2a与2b的等比中项，则的最小值为（）A．8B．4C．2D．17．（5分）已知双曲线的一个实轴端点与恰与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于2，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．8．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b2+c2=a2+bc，•=4，则△ABC的面积等于（）A．B．4C．4D．29．（5分）不等式|x+3|+|x﹣1|＜a2﹣3a有解的实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）B．（﹣1，4）C．（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）D．（﹣4，1）10．（5分）若a，b在区间上取值，则函数在R 上有两个相异极值点的概率是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（用数字作答）．12．（5分）若，则a，b，c三者的大小关系为．（用＜表示）．13．（5分）设，则二项式的展开式的常数项是．14．（5分）双曲线kx2﹣y2=1的一条渐近线与直线2x﹣y+3=0垂直，则双曲线的离心率是．15．（5分）已知O是坐标原点，点A的坐标为（2，1），若点B（x，y）为平面区域上的一个动点，则z=•的最大值是．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12分）已知函数（其中ω＞0），若f （x）的一条对称轴离最近的对称中心的距离为．（I）求y=f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中角A、B、C的对边分别是a，b，c满足（2b﹣a）cosC=c•cosA，则f（B）恰是f（x）的最大值，试判断△ABC的形状．17．（12分）某精密仪器生产有两道相互独立的先后工序，每道工序都要经过相互独立的工序检查，且当第一道工序检查合格后才能进入第二道工序，两道工序都合格，产品才完全合格，．经长期监测发现，该仪器第一道工序检查合格的概率为，第二道工序检查合格的概率为，已知该厂三个生产小组分别每月负责生产一台这种仪器．（I）求本月恰有两台仪器完全合格的概率；（Ⅱ）若生产一台仪器合格可盈利5万元，不合格则要亏损1万元，记该厂每月的赢利额为ξ，求ξ的分布列和每月的盈利期望．18．（12分）设数列{a n}的前n项和为．（I）求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）是否存在正整数n，使得？若存在，求出n值；若不存在，说明理由．19．（12分）四棱锥P﹣ABCD，PD⊥平面ABCD，2AD=BC=2a（a＞0），，∠DAB=θ（I）如图1，若θ=60°，AB=2a，Q为PB的中点，求证：DQ⊥PC；（Ⅱ）如图2，若θ=90°，AB=a，求平面PAD与平面PBC所成二面角的大小．（若非特殊角，求出所成角余弦即可）20．（13分）已知A（x0，0），B（0，y0）两点分别在x轴和y轴上运动，且|AB|=1，若动点P（x，y）满足．（I）求出动点P的轨迹对应曲线C的标准方程；（Ⅱ）一条纵截距为2的直线l1与曲线C交于P，Q两点，若以PQ直径的圆恰过原点，求出直线方程；（Ⅲ）直线l2：x=ty+1与曲线C交于A、B两点，E（1，0），试问：当t变化时，是否存在一直线l2，使△ABE的面积为？若存在，求出直线l2的方程；若不存在，说明理由．21．（14分）已知函数f（x）=alnx+x2+bx（a为实常数）．（I）若a=﹣2，b=﹣3，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若b=0，且a＞﹣2e2，求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；（Ⅲ）设b=0，若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年山东省青岛市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分；在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的．1．（5分）设集合，则A∩（∁R B）等于（）A．（﹣∞，1）B．（0，4）C．（0，1）D．（1，4）【解答】解：当x＞0时，A中不等式变形得x＜1，此时0＜x＜1；当x＜0时，A中不等式变形得：x＞1，此时无解，∴A=（0，1），由B中y=，得到2x﹣16≥0，即2x≥24，解得：x≥4，即B=[4，+∞），∴∁R B=（﹣∞，4），则A∩（∁R B）=（0，1），故选：C．2．（5分）若复数（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）A．3B．﹣3C．0D．【解答】解：∵=是纯虚数，则，解得：a=3．故选：A．3．（5分）平面向量与的夹角为，=（2，0），||=1，则|﹣2|=（）A．B．0C．D．2【解答】解：∵平面向量与的夹角为，=（2，0），||=1，∴||=2，|﹣2|2=||2+4||2﹣4•=4+4﹣4×2×1•cos=4，∴|﹣2|=2，故选：D．4．（5分）已知圆x2+y2﹣2x﹣4y+a=0上有且仅有一个点到直线3x﹣4y﹣15=0的距离为1，则实数a的取值情况为（）A．（﹣∞，5）B．﹣4C．﹣4或20D．﹣11【解答】解：∵圆x2+y2﹣2x﹣4y+a=0上有且仅有一个点到直线3x﹣4y﹣15=0的距离为1，∴圆心（1，2）半径r=，∴圆心（1，2）到直线3x﹣4y﹣15=0的距离d=r+1，∴d==+1，解得a=﹣4．故选：B．5．（5分）阅读如图的算法框图，输出的结果S的值为（）A．B．0C．D．【解答】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=sin+sin+sinπ+…+sin的值，由于y=sin的周期为6，且同一周期内各函数值的累加和为0，2015÷6=335…5，故S=sin+sin+sinπ+…+sin=336×0﹣sin=﹣sin672π=sin0=0，故选：B．6．（5分）设a＞0，b＞0，若2是2a与2b的等比中项，则的最小值为（）A．8B．4C．2D．1【解答】解：∵2是2a与2b的等比中项，∴2a•2b=4，∴a+b=2，（a+b）=1，而a＞0，b＞0，∴=（）（+）=1++≥1+2=2，当且仅当a=b=1时取等号．故选：C．7．（5分）已知双曲线的一个实轴端点与恰与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于2，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．【解答】解：抛物线y2=﹣4x的焦点为（﹣1，0），由题意可得a=1，双曲线的离心率等于2，即有e==2，解得c=2，b==，即有双曲线的方程为x2﹣=1．故选：D．8．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b2+c2=a2+bc，•=4，则△ABC的面积等于（）A．B．4C．4D．2【解答】解：∵△ABC中，b2+c2=a2+bc，∴a2=b2+c2﹣bc，可得cosA==，结合A为三角形内角，可得A=∵•=4，∴bccosA=4，得bc=8因此，△ABC的面积S=bcsinA==2故选：D．9．（5分）不等式|x+3|+|x﹣1|＜a2﹣3a有解的实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）B．（﹣1，4）C．（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）D．（﹣4，1）【解答】解：令y=|x+3|+|x﹣1|则函数y=|x+3|+|x﹣1|≥|x+3﹣x+1|=4，∴函数的值域为[4，+∞）若不等式|x+3|+|x﹣1|＜a2﹣3a有解，则a2﹣3a＞4，解得：a＞4或a＜﹣1，故实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞），故选：A．10．（5分）若a，b在区间上取值，则函数在R 上有两个相异极值点的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：易得f′（x）=ax2+2bx+a，函数f（x）在R上有两个相异极值点的充要条件：是a≠0且其导函数的判别式大于0，即a≠0且4b2﹣a2＞0，又a，b在区间[0，]上取值，则a＞0，b＞a，点（a，b）满足的区域如图中阴影部分所示，其中正方形区域的面积为3，阴影部分的面积为3﹣=，故所求的概率p==，故选：C．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是210（用数字作答）．【解答】解：由题意知本题需要分组解决，∵对于6个台阶上每一个只站一人有A63种；若有一个台阶有2人另一个是1人共有C31A62种，∴根据分类计数原理知共有不同的站法种数是A63+C31A62=210种．故答案为：210．12．（5分）若，则a，b，c三者的大小关系为c ＜a＜b．（用＜表示）．【解答】解：∵，∴0＜a＜b＜1，c＜0，∴c＜a＜b，故答案为：c＜a＜b．13．（5分）设，则二项式的展开式的常数项是24．【解答】解：∵=﹣4cosx=0+4=4，则二项式=的展开式的通项公式为T r=•x4﹣r•=•（﹣2）r•x4﹣2r，+1令4﹣2r=0，求得r=2，可得常数项为•4=24，故答案为：24．14．（5分）双曲线kx2﹣y2=1的一条渐近线与直线2x﹣y+3=0垂直，则双曲线的离心率是．【解答】解：∵双曲线kx2﹣y2=1的一条渐近线与直线2x﹣y+3=0垂直，∴k＞0，双曲线的渐近线方程为y=±x，∵与直线2x﹣y+3=0的斜率k=2，∴与直线2x﹣y+3=0垂直的渐近线的斜率k=﹣，即=，得k=，双曲线的方程为﹣y2=1，则a=2，c=，则离心率e==，故答案为：15．（5分）已知O是坐标原点，点A的坐标为（2，1），若点B（x，y）为平面区域上的一个动点，则z=•的最大值是6．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得M（2，2），∵点A的坐标为（2，1），点B（x，y）为可行域内的动点，∴z=•=2x+y，化为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过M时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为6．故答案为：6．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12分）已知函数（其中ω＞0），若f （x）的一条对称轴离最近的对称中心的距离为．（I）求y=f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中角A、B、C的对边分别是a，b，c满足（2b﹣a）cosC=c•cosA，则f（B）恰是f（x）的最大值，试判断△ABC的形状．【解答】解：（Ⅰ）∵，=，∵f（x）的对称轴离最近的对称中心的距离为，∴T=π，∴，∴ω=1，∴．∵得：，∴函数f（x）单调增区间为；（Ⅱ）∵（2b﹣a）cosC=c•cosA，由正弦定理，得（2sinB﹣sinA）cosC=sinC•cosA2sinBcosC=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C），∵sin（A+C）=sin（π﹣B）=sinB＞0，2sinBcosC=sinB，∴sinB（2cosC﹣1）=0，∴，∵0＜C＜π，∴，∴，∴．∴，根据正弦函数的图象可以看出，f（B）无最小值，有最大值y max=1，此时，即，∴，∴△ABC为等边三角形．17．（12分）某精密仪器生产有两道相互独立的先后工序，每道工序都要经过相互独立的工序检查，且当第一道工序检查合格后才能进入第二道工序，两道工序都合格，产品才完全合格，．经长期监测发现，该仪器第一道工序检查合格的概率为，第二道工序检查合格的概率为，已知该厂三个生产小组分别每月负责生产一台这种仪器．（I）求本月恰有两台仪器完全合格的概率；（Ⅱ）若生产一台仪器合格可盈利5万元，不合格则要亏损1万元，记该厂每月的赢利额为ξ，求ξ的分布列和每月的盈利期望．【解答】解：（Ⅰ）设恰有两台仪器完全合格的事件为A，每台仪器经两道工序检验完全合格的概率为…（2分）所以…（5分）（Ⅱ）每月生产的仪器完全合格的台数可为3，2，1，0四种所以赢利额ξ的数额可以为15，9，3，﹣3…（7分）当ξ=15时，当ξ=9时，当ξ=3时，当ξ=﹣3时，…（10分）每月的盈利期望所以每月的盈利期望值为10.14万元…（12分）18．（12分）设数列{a n}的前n项和为．（I）求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）是否存在正整数n，使得？若存在，求出n值；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）S n=na n﹣3n（n﹣1）（n∈N*），=（n﹣1）a n﹣1﹣3（n﹣1）（n﹣2），∴n≥2时，S n﹣1两式相减得：a n=S n﹣S n﹣1=na n﹣（n﹣1）a n﹣1﹣3（n﹣1）[n﹣（n﹣2）]，即（n﹣1）a n=（n﹣1）a n﹣1+6（n﹣1），也即a n﹣a n﹣1=6，∴{a n}为公差为6的等差数列，又a1=1，∴a n=6n﹣5；（Ⅱ），∴，，∴，即5n=4035，∴n=807．即当n=807时，．19．（12分）四棱锥P﹣ABCD，PD⊥平面ABCD，2AD=BC=2a（a＞0），，∠DAB=θ（I）如图1，若θ=60°，AB=2a，Q为PB的中点，求证：DQ⊥PC；（Ⅱ）如图2，若θ=90°，AB=a，求平面PAD与平面PBC所成二面角的大小．（若非特殊角，求出所成角余弦即可）【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）连结BD，△ABD中，AD=a，AB=2a，∠DAB=60°，由余弦定理：BD2=DA2+AB2﹣2DA•ABcos60°，解得所以△ABD为直角三角形，BD⊥AD，因为AD∥BC，所以BC⊥BD，又因为PD⊥平面ABCD，所以BC⊥PD，因为PD∩BD=D，所以BC⊥平面PBD，BC⊂平面PBC，所以平面PBD⊥平面PBC，又因为，Q为PB中点，所以DQ⊥PB，因为平面PBD∩平面PBC=PB，所以DQ⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，所以DQ⊥PC．…（6分）（Ⅱ）∵θ=90°，AB=a，∴，取BC中点M，则ABMD为矩形，以D为坐标原点分别以DA，DM，DP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，A（a，0，0），B（a，a，0），DM⊥平面PAD，所以面是平面PAD的法向量，，设平面PBC的法向量为，，所以，，令z=1，得，解得：，所以，所以平面PAD与平面PBC所成二面角为．…（12分）20．（13分）已知A（x0，0），B（0，y0）两点分别在x轴和y轴上运动，且|AB|=1，若动点P（x，y）满足．（I）求出动点P的轨迹对应曲线C的标准方程；（Ⅱ）一条纵截距为2的直线l1与曲线C交于P，Q两点，若以PQ直径的圆恰过原点，求出直线方程；（Ⅲ）直线l2：x=ty+1与曲线C交于A、B两点，E（1，0），试问：当t变化时，是否存在一直线l2，使△ABE的面积为？若存在，求出直线l2的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）因为，即，所以，所以又因为|AB|=1，所以，即：，即，所以椭圆的标准方程为．（Ⅱ）直线l1斜率必存在，且纵截距为2，设直线为y=kx+2联立直线l1和椭圆方程，得：（3+4k2）x2+16kx+4=0，由△＞0，得（*），设P（x1，y1），Q（x2，y2），则（1）以PQ直径的圆恰过原点，所以OP⊥OQ，，即x1x2+y1y2=0，也即x1x2+（kx1+2）（kx2+2）=0，即（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4=0，将（1）式代入，得﹣+4=0，即4（1+k2）﹣32k2+4（3+4k2）=0，解得，满足（*）式，所以．所以直线方程为y=±x+2（Ⅲ）由方程组，得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0（*）设A（x1，y1），B（x2，y2），则所以，因为直线l：x=ty+1过点F（1，0），=|EF|•|y1﹣y2|=×2×=所以S△ABE令==2，则不成立故不存在直线l满足题意．21．（14分）已知函数f（x）=alnx+x2+bx（a为实常数）．（I）若a=﹣2，b=﹣3，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若b=0，且a＞﹣2e2，求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；（Ⅲ）设b=0，若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）a=﹣2，b=﹣3时，f（x）=﹣2lnx+x2﹣3x，定义域为（0，+∞），，在（0，+∞）上，f′（2）=0，当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，所以函数f（x）的单调增区间为（2，+∞）；单调减区间为（0，2）；（Ⅱ）因为b=0，所以f（x）=alnx+x2，x∈[1，e]，2x2+a∈[a+2，a+2e2]，（i）若a≥﹣2，f'（x）在[1，e]上非负（仅当a=﹣2，x=1时，f'（x）=0），故函数f（x）在[1，e]上是增函数，此时[f（x）]min=f（1）=1；（ii）若﹣2e2＜a＜﹣2，a+2＜0，a+2e2＞0，，x∈[1，e]，当时，f'（x）=0，，当时，f'（x）＜0，此时f（x）是减函数；当时，f'（x）＞0，此时f（x）是增函数．故；（Ⅲ）b=0，f（x）=alnx+x2不等式f（x）≤（a+2）x，即alnx+x2≤（a+2）x可化为a（x﹣lnx）≥x2﹣2x．因为x∈[1，e]，所以lnx≤1≤x且等号不能同时取，所以lnx＜x，即x﹣lnx＞0，因而（x∈[1，e]），令（x∈[1，e]），又，当x∈[1，e]时，x﹣1≥0，lnx≤1，x+2﹣2lnx＞0，从而g'（x）≥0（仅当x=1时取等号），所以g（x）在[1，e]上为增函数，故g（x）的最小值为g（1）=﹣1，所以实数a的取值范围是[﹣1，+∞）．。
山东省胶州市2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题 理参考公式：锥体体积：21133V sh r h π== 第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知椭圆的方程为221916x y +=，则此椭圆的长轴长为 A. 3 B. 4 C. 6 D. 82.若直线10ax y +-=与直线()4320x a y +--=垂直，则实数a 的值 A. -1 B. 4 C.35 D. 3-23.直线1y x =+与圆22+1x y =的位置关系为A. 相切B. 相交但不过圆心C. 直线过圆心D.相离4.命题“若0xy =，则22+0x y =”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为A. 0个B. 1个C. 2个D. 4个5.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的各个面中，最大的面积是A. 1B.22D. 46.双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为，则它的渐近线方程是A. 2y x =±B. y =C. 2y x =±D. y x =± 7.若,m n 是两条不同的直线，αβγ，，是三个不同的平面，则下列说法正确的是 A. 若,,m βαβ⊂⊥则m α⊥ B. 若==,m//n,m n αγβγ，，则//αβC. 若,//m m βα⊥，则αβ⊥D. 若,αβαγ⊥⊥，则βγ⊥ 8.圆心在曲线()10y x x=>上，与直线210x y ++=相切且面积最小的圆的方程为C. ()()221225x y -+-=D. ()()222125x y -+-=9.如图所示，在正方体1111ABCD A BC D -中，M,N 分别是线段1,AB CC 的中点，1MB P 的顶点P 在棱1CC 与棱11C D 上运动，有以下四个命题： ①平面11;MB P ND ⊥ ②平面111A ;MB P ND ⊥平面③1MB P 在底面ABCD 上的射影图形的面积为定值; ④1MB P 在侧面11DD C C 上的射影图形是三角形. 其中正确的命题序号是A.①B.①③C.②③D.②④10.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率e 的取值范围为A. 1⎤⎥⎣⎦B. ⎤⎥⎣⎦C. ⎣⎦D. ⎣⎦第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.11. 已知椭圆2215x y m +=的离心率5e =，则m 的值为 . 12.已知实数,x y 满足327100x y y x x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则34u x y =+的最大值是 .13. "a 1b 2"≠≠或是"a b 3"+≠的 条件.（从“充分”，“充分不必要”，“必要不充分”，“ 既不充分也不必要”中选择一个正确的填写）14.一长方体的各顶点均在同一个球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为，则这个球的表面积为 .15.椭圆221167x y +=的左、右焦点分别为12F F ，，弦AB 过点1F ，若2ABF ∆的内切圆周长为π，A,B 两点的坐标分别为()(),,,x y x y ，则-=y y三、解答题:本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）设命题p:方程221122x y m m +=-+表示双曲线；命题q: 2000R,220x x mx m ∃∈++-= （Ⅰ）若命题P 为真命题，求实数m 的取值范围； （Ⅱ）若命题q 为真命题，求实数m 的取值范围； （Ⅲ）求使为""p q ∨假命题的实数m 的取值范围.17.（本小题满分12分）已知坐标平面上一点(),M x y 与两个定点()()1226,1,2,1M M ,且125.MM MM =（Ⅰ）求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（Ⅱ）记（Ⅰ）中轨迹为C ，过点()23M -，的直线l 被C 所截得的线段长度为8，求直线l 的方程.18.（本小题满分12分）已知(),P x y 为平面上的动点且0x ≥，若P 到y 轴的距离比到点()1,0的距离小1.（Ⅰ）求点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设过点(),0M m 的直线交曲线C 与A,B 两点，问是否存在这样的实数m,使得以线段AB 为直径的圆恒过原点.19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P A B C D -中，P D A B C D ⊥平面，底面ABCD 为平行四边形，90,2.ADB AB AD ∠==（1）求证：平面;PAD PBD ⊥平面 （2）若=12PD AD PE EB ==，，， 求二面角P AD E --的余弦值.20. （本小题满分13分）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F ，，其离心率12e =，点P 为椭圆上的一个动点，12PF F 面积的最大值为（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若A,B,C,D 是椭圆上不重合的四个点，AC 与BD 相交于点1F ，0AC BD =,求+AC BD 的取值范围.21.（本小题满分14分）已知椭圆C 的两个焦点的坐标分别为()()10,10E F -，，，并求且经过点⎝⎭，M,N 为椭圆C 上关于x 轴对称的不同两点.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若EM EN ⊥，试求点M 的坐标；（Ⅲ）若()()10,0A x B 2，x ，为x 轴上的两点，且122x x =，试判断直线MA,NB 的交点P 是否在椭圆C 上，并证明你的结论.高二数学理科试题参考答案 2016.1一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分. D C B C B B C A C B二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分. 11.253或3； 12. 11; 13. 必要但非充分条件； 14. 16π; 15. 43三、解答题：本题共6个小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分12分）（Ⅰ）因为方程221122x y m m +=-+表示双曲线， 所以(12)(2)0m m -+<， 即2m <-或12m >.………………………4分 （Ⅱ）命题q 为真命题，则2m ≤-或1m ≥………………………6分 （Ⅲ）要使“q p ∨”为假命题，则p 、q 都是假命题，所以⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤≤-12212m m 得：212≤<-m ………………………10分 所以m 的取值范围为]21,2(-………………………12分 17. (本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由题意，得12||5.||MM MM =．5=，化简，得：2222230x y x y +---=………………………3分 所以点M 的轨迹方程是22(1)(1)25x y -+-=………………………5分 轨迹是以(1,1)为圆心，以5为半径的圆．………………………6分 （Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，:l 2x =-，此时所截得的线段的长为8=， 所以:l 2x =-符合题意．………………………8分 当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为3(2)y k x -=+，即230kx y k -++=圆心到l的距离d =，由题意，得22245+=，解得512k =．………………………10分 所以直线l 的方程为5230126x y -+=， 即512460x y -+=．………………………11分综上，直线l 的方程为2x =-或512460x y -+=………………………12分 18. (本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由题意得：()1122=-+-x y x ，………………………3分化简得：)0(42≥=x x y ．所以点P 的轨迹方程为)0(42≥=x x y ．………………………5分 （Ⅱ）①当斜率存在时，设直线AB 方程为)(m x k y -=，),(11y x A ，),(22y x B ， 由⎩⎨⎧=-=xy m x k y 4)(2，得0442=--km y ky ， 所以ky y 421=+，m y y 421-=⋅ 所以221m x x =⋅，………………………7分 因为以线段AB 为直径的圆恒过原点， 所以OB OA ⊥，所以02121=⋅+⋅y y x x ．………………………8分 即042=-m m所以0=m 或4=m ．………………………10分 ②当斜率不存在时，直线AB 方程为：x m =则(A m，(,B m -， 由OB OA ⊥得：0=m 或4=m ．所以存在0m =或4=m ，使得以线段AB 为直径的圆恒过原点…………………12分解析：（Ⅰ）因为PD ⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD 所以PD BD ⊥…………………………………………………2分 因为90ADB ∠=︒所以AD BD ⊥…………………………………………………………3分 因为ADPD D =所以BD ⊥平面PAD …………………………………………………………5分 因为BD ⊂平面PBD ，所以平面PAD ⊥平面PBD …………………………………………………6分 （Ⅱ）解法1 因为AD ⊥平面PBD 所以AD DE ⊥即PDE ∠为所求的角………………………………………………………8分1PD AD ==，2AB =，DB =2PB =………………………………10分因为2=，所以43PE =，23EB = 在BDE ∆中，由余弦定理得2222cos DE BE BD BE BD PBD =+-⋅⋅∠2423293DE =+-⋅，DE =11分在PDE ∆中，222cos 2PD DE PE PDE PD PE +-∠==⋅12分解法2：以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DB 所在直线为y 轴建立直角坐标系(0,0,0)D ，(0,0,1)P ，(1,0,0)A ，B ………………………………7分设(0,,)P x y ，因为EB PE 2=，1)3E ………………………………………9分 因为BD ⊥平面PAD ，所以平面PAD 的一个法向量1(0,1,0)n =…………………………10分 设平面ADE 的一个法向量2(,,)n x y z =2200n DE n DA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即：10330y z x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，0x =，1y =，z =-解得2(0,1,n =-………………………………………11分 设α为所求的角1313cos ==α……………………………………………12分 20. (本小题满分13分）20．解：1）由题意得，当点P 是椭圆的上、下顶点时，12PF F ∆的面积取最大值 此时121212PF F S F F OP bc ∆=⋅⋅=所以bc =因为12e =所以b =4a =所以椭圆方程为2211612x y += 5分 （2）由（1）得椭圆方程为2211612x y +=，则1F 的坐标为(2,0)- 因为0AC BD ⋅=，所以AC BD ⊥①当直线AC 与BD 中有一条直线斜率不存在时，易得6814AC BD +=+= 6分 ②当直线AC 斜率k 存在且0k ≠，则其方程为(2)y k x =+，设11(,)A x y ，22(,)C x y则点A 、C 的坐标是方程组22(2)1y k x x y =+⎧⎪⎨+=的两组解所以2222(34)1616480k x k x k +++-=所以212221221634164834k x x k k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩所以212224(1)134k AC x k +=+-=+此时直线BD 的方程为1(2)y x k=-+ 同理由221(2)11612y x kx y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得2224(1)43k BD k +=+ 2222222224(1)24(1)168(1)3443(34)(43)k k k AC BD k k k k ++++=+=++++ 令21(0)t k k =+≠，则1t >，2168112AC BD t t+=-+ 因为1t >，所以2114t t -≤ 所以96[,14)7AC BD +∈ 12分 21．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）依定义，椭圆的长轴长2a =1分所以22482,a a =⇒=又2211b a =-=………………………3分所以所求的椭圆标准方程为2212x y +=………………………４分 （Ⅱ）设(,)M m n ，(,)N m n -，则(1,)EM m n =+，(1,)EN m n =+-………………………5分 因为EM EN ⊥， 所以0EM EN ⋅=，即22(1)0m n +-=①………………………6分(,)M m n 221x y +=11 所以2212m n +=②………………………7分 由①②解得⎩⎨⎧±==10n m ，或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=-=3134n m ………………………8分因此，符合条件的点有(0,1)、(0,1)-、41(,)33-、41(,)33--．………………………9分（Ⅲ）设(,)M m n ，则直线MA 、NB 的方程分别为11()()y m x n x x -=-③，22()()y m x n x x -=--④………………………10分设直线MA 与直线NB 交点为00(,)P x y ，将其坐标代人③、④并整理，得0100()y n x my nx -=-⑤ ，0200()y n x my nx +=+⑥………………………11分⑤与⑥相乘得 22222201200()y n x x m y n x -=-⑦………………………12分又122x x =，2222m n =-，代入⑦化简得 220022x y +=………………………13分因此，直线MA 与直线NB 的交点P 仍在椭圆C 上．………………………14分。
山东省胶州市2016届高三数学上学期期末考试试题文（扫描版）高三数学 (文科) 参考答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．C A AD B D A D B C二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11. 12； 12. 13； 13. 30； 14. 1815. ①③④ 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤．16．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题可知，120x =乙，所以480+1205x =，解得120x =． 又由已知可得120x =甲…………………………2分2222221=[(80120)(110120)(120120)(140120)(150120)]6005s -+-+-+-+-=甲()2222221=[(100120)120120(120120)(100120)(160120)]4805s -+-+-+-+-=乙因为x x =甲乙，22s s >甲乙…………………………5分所以乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性好．…………………………6分（Ⅱ）从被检测的5辆甲品牌轻型汽车中任取2辆，共有10种二氧化碳排放量结果：80 110(，)，80 120(，) (80,140)，(80,150) (110,120)，(110,140) (110,150)，(120,140) ，(120 150)，，(140 150)，…………………………10分 设“至少有一辆二氧化碳排放量超过130/g km ”为事件A ,则7()0.710P A ==， 所以至少有一辆二氧化碳排放量超过130/g km 的概率是0.7…………………………12分17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由1tan 23tan 2C C+= 得cossin 22sin cos 22C C += ………………………（2分）1sin cos 22C C ∴=⋅………………………（3分）sin C ∴= ………………………（5分） 又(0,)C π∈ 所以3C π=或23C π= ………………………（7分） （Ⅱ）由题意得sin()sin()4sin cos B A B A A A ++-=⋅即sin cos 2sin cos B A A A ⋅=⋅ ………………………（9分）当cos 0A =时，,,236A B C πππ===2,ABC c b S ∆===………………………（12分）当cos 0A ≠时，得sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a = …………（13分） 由题意，3C π=，所以22223c a b ab a =+-=解得2,4a b ==，所以2B π=，ABC S ∆=12分18．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：因为PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以AC PD ⊥．因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥…………………………3分又因为PD BD D =，AC ⊥面PBD而AC ⊂平面EAC ，所以平面EAC ⊥平面PBD …………………………5分（Ⅱ）因为//PD 平面EAC ，平面EAC平面PBD OE =， 所以//PD OE …………………………7分因为O 是BD 中点，所以E 是PB 中点．取AD 中点H ，连结BH ，因为四边形ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，所以BH AD ⊥，又BH PD ⊥，AD PD D =，所以BD ⊥平面PAD，BH AB ==．…………………………10分 所以111223P EAD E PAD B PAD PAD V E V S BH ---∆===⨯⨯⨯112622=⨯⨯=…………………………12分19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）解：由1(1)1n n n a na ++-=，得12(2)(1)1n n n a n a +++-+=…………………………1分两式相减，得12(22)(1)()n n n n a n a a +++=++，即122n n n a a a ++=+ …………………………3分所以数列{}n a 是等差数列．…………………………4分由112321a a a =⎧⎨-=⎩，得25a =，所以212d a a =-=故1(1)21n a a n d n =+-=+所以21n a n =+ …………………………6分 （Ⅱ）14111(1)(1)(1)1n n n b a a n n n n +===---++11111111223111n nT n n n n =-+-++-=-=+++.…………………………8分因为(4)1nk n n ≤++，所以21414545n n kn n n n n n ≥=＝(＋)(＋)＋＋＋＋ …………………………9分因为4559n n ++≥=，当且仅当4n n =，即2n =时等号成立，所以11495n n≤＋＋，所以19k ≥…………………………11分故实数k 的取值范围为1[,)9+∞ …………………………12分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）依题意，得c =e ==2分即c a =所以2a =，1b =…………………4分所以所求椭圆C 的方程为2214x y +=．…………………5分（Ⅱ）假设存在直线AB ，使得12S S =，显然直线AB 不能与x ，y 轴垂直，不妨设直线AB 的斜率为k ，则直线AB方程为(y k x =…………………7分 将其代入2214x y +=，整理得2222(41)1240k x x k +++-=．设11(,)A x y ，22(,)B x y则12x x +=，12y y +=…………………8分所以G …………………9分因为DG AB ⊥1k=-解得2241Dxk-=+所以22(,0)41Dk-+…………………10分因为GFD OED∆∆所以||||||||GF DGOE OD=，所以2||||||()||||||GF DG DGOE OD OD⋅=即212||()||S DGS OD=，又因为12S S=，所以||||GD OD=2241k=+整理得281k=，即：k==…………………12分所以存在直线AB，方程为4y x=±，使得12S S=…………………13分21．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为xxx exxexexxxf⋅-=⋅-+⋅+-=')1()32()33()(2……………1分令()0f x'>，得：1x>或0x<；令()0f x'<，得：01x<<所以()f x在(,0),(1,)-∞+∞上递增，在(0,1)上递减………………………………3分要使()f x在[2,]t-为单调函数，则20t-<≤所以t的取值范围为(2,0]-…………………………………………………4分（Ⅱ）证：因为()f x在(,0),(1,)-∞+∞上递增，在(0,1)上递减，所以()f x在1x=处取得极小值e又213(2)f ee-=<，所以()f x在[2,)-+∞的最小值为(2)f- (6)分从而当2t >-时，)()2(t f f <-，即m n < ………………………………………7分 （Ⅲ）证：因为02000()x f x x x e'=-， 所以020()2(1)3x f x t e '=-，即为22002(1)3x x t -=- 令222()(1)3g x x x t =---， 从而问题转化为证明方程222()(1)03g x x x t =---=在),2(t -上有解， 并讨论解的个数。
2015-2016学年山东省青岛市胶州市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z=（i为虚数单位），则z的共轭复数是（）A．i B．1+i C．﹣i D．1﹣i2．已知集合M={x|x﹣2|＜1}，N={x|y=}，则M∩N（）A．（1，2）B．（1，2] C．（2，3）D．[2，3）3．已知函数y=f（x）﹣x是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．24．若直线（1+a）x+y+1=0与圆x2+y2﹣2x=0相切，则a的值为（）A．﹣1，1 B．﹣2，2 C．1 D．﹣15．四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱的长度是（）A． B．5 C． D．26．将奇函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A≠0，ω＞0，﹣＜φ＜）的图象向左平移个单位得到的图象关于原点对称，则ω的值可以为（）A．2 B．3 C．4 D．67．已知函数f（x）=x2+cosx，f′（x）是函数f（x）的导函数，则f′（x）的图象大致是（）A．B．C．D．8．设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则m⊥β的一个充分条件是（）A．α⊥β，α∩β=l，m⊥l B．α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γC．α⊥γ，β⊥γ，m⊥αD．n⊥α，n⊥β，m⊥α9．在△ABC 内随机取一点P ，使=x +y ，则x ≤在的条件下y ≥的概率（ ）A ．B ．C ．D ．10．如图，F 1、F 2是双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点A 、B ．若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A ．4B ．C ．D ．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11．设随机变量 ξ～N （μ，σ2），且 P （ξ＜﹣1）=P （ξ＞1），P （ξ＞2）=0.3，则P （﹣2＜ξ＜0）= ．12．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为 ．13．m=sintd t 则的展开式的常数项为 ．14．已知函数的图象的对称中心为（0，0），函数的图象的对称中心为，函数的图象的对称中心为（﹣1，0），…，由此推测，函数的图象的对称中心为 ．15．一位数学老师希望找到一个函数y=f （x ），其导函数f′（x ）=lnx ，请您帮助他找一个这样的函数 ．（写出表达式即可，不需写定义域）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足+tan=（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）已知△ABC不是钝角三角形，且c=2，sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．17．某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，（1）求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；（2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额x的分布列与期望E（x）．18．如图，四棱锥中P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD，侧面PAD⊥底面ABCD，且△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°．（Ⅰ）求证：AD⊥PB；（Ⅱ）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．19．设数列{a n}的前项和为S n，且{}是等差数列，已知a1=1， ++=6，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=+，数列{b n}的前项和为T n，求证：T n＜2n+．20．已知O为坐标原点，焦点为F的抛物线E：x2=2py（p＞0）上不同两点A、B均在第一象限．B点关于y轴的对称点为C，△OFA的外接圆圆心为Q，且•=（1）求抛物线E的标准方程；（2）两不同点A、B均在第一象限内，B点关于y轴的对称点为C，设直线OA、OB的倾角分别为α、β，且α+β=①证明：直线AC过定点；②若A、B、C三点的横坐标依次成等差数列，求△ABC的外接圆方程．21．已知函数f（x）=（x2﹣3x+3）e x的定义域为[﹣2，t]，设f（﹣2）=m，f（t）=n．（Ⅰ）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数；（Ⅱ）求证：m＜n；（Ⅲ）若不等式+7x﹣2＞k（xlnx﹣1）（k为正整数）对任意正实数恒成立，求的最大值，并证明lnx＜（解答过程可参考使用以下数据ln7≈1.95，ln8≈2.08）2015-2016学年山东省青岛市胶州市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z=（i为虚数单位），则z的共轭复数是（）A．i B．1+i C．﹣i D．1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：∵复数z====﹣i，则z的共轭复数i．故选：A．2．已知集合M={x|x﹣2|＜1}，N={x|y=}，则M∩N（）A．（1，2）B．（1，2] C．（2，3）D．[2，3）【考点】交集及其运算．【分析】求出M中绝对值不等式的解集确定出M，求出N中x的范围确定出N，找出两集合的交集即可．【解答】解：由M中不等式变形得：﹣1＜x﹣2＜1，解得：1＜x＜3，即M=（1，3），由N中y=，得到4﹣2x≥0，即2x≤4=22，解得：x≤2，即N=（﹣∞，2]，则M∩N=（1，2]，故选：B．3．已知函数y=f（x）﹣x是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．2【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数为偶函数，则f（﹣2）﹣（﹣2）=f（2）﹣2，结合已知，即可解出f（﹣2）的值．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣x．由题意知g（﹣2）=g（2），即f（2）﹣2=f（﹣2）+2，又f（2）=1，所以f（﹣2）=﹣3．故选：A．4．若直线（1+a）x+y+1=0与圆x2+y2﹣2x=0相切，则a的值为（）A．﹣1，1 B．﹣2，2 C．1 D．﹣1【考点】圆的切线方程．【分析】把圆的方程化为标准形式，根据圆心到直线（1+a）x+y+1=0的距离等于半径，求得a的值．【解答】解：圆x2+y2﹣2x=0 即（x﹣1）2+y2=1，表示以（1，0）为圆心、半径等于1的圆，再根据圆心到直线（1+a）x+y+1=0的距离d==1，求得a=﹣1，故选：D．5．四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱的长度是（）A． B．5 C． D．2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知几何体是底面为直角梯形的四棱锥，通过三视图的数据，求出最长的侧棱长度即可．【解答】解：由题意可知几何体是底面为直角梯形，直角边长为：4，2，高为3的梯形，棱锥的高为2，高所在的棱垂直直角梯形的上直角顶点，所以侧棱最长为，底面梯形下底边锐角顶点与棱锥顶点连线，所以长度为： =．故选：A．6．将奇函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A≠0，ω＞0，﹣＜φ＜）的图象向左平移个单位得到的图象关于原点对称，则ω的值可以为（）A．2 B．3 C．4 D．6【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的对称性．【分析】函数是奇函数，求出φ，通过函数图象向左平移个单位得到的图象关于原点对称，求出函数的周期，然后求出ω的值，即可得到选项．【解答】解：奇函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A≠0，ω＞0，﹣＜φ＜）所以φ=0；函数的图象向左平移个单位得到的图象关于原点对称，所以T=，T=，ω=6，故选D．7．已知函数f（x）=x2+cosx，f′（x）是函数f（x）的导函数，则f′（x）的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】由于f（x）=x2+cosx，得f′（x）=x﹣sinx，由奇函数的定义得函数f′（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，取x=代入f′（）=﹣sin=﹣1＜0，排除C，只有A适合．【解答】解：由于f（x）=x2+cosx，∴f′（x）=x﹣sinx，∴f′（﹣x）=﹣f′（x），故f′（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，又当x=时，f′（）=﹣sin=﹣1＜0，排除C，只有A适合，故选：A．8．设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则m⊥β的一个充分条件是（）A．α⊥β，α∩β=l，m⊥l B．α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γC．α⊥γ，β⊥γ，m⊥αD．n⊥α，n⊥β，m⊥α【考点】直线与平面垂直的判定．【分析】根据面面垂直的判定定理可知选项A是否正确，根据平面α与平面β的位置关系进行判定可知选项B和C是否正确，根据垂直于同一直线的两平面平行，以及与两平行平面中一个垂直则垂直于另一个平面，可知选项D正确．【解答】解：α⊥β，α∩β=l，m⊥l，根据面面垂直的判定定理可知，缺少条件m⊂α，故不正确；α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；n⊥α，n⊥β，⇒α∥β，而m⊥α，则m⊥β，故正确故选D9．在△ABC内随机取一点P，使=x+y，则x≤在的条件下y≥的概率（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】根据题意，把问题转化为求二元一次不等式组表示的平面区域问题，根据区域面积的比值求概率的应用问题，即可求出对应的概率．【解答】解：△ABC内随机取一点P，使=x+y，则0≤x+y≤1；又x≤，则由所围成的区域面积为S=×12﹣×=；由所围成的区域面积为S1=×=，所以，所求的概率为P===．故选：C．10．如图，F1、F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．4 B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线的定义，可得F1A﹣F2A=F1A﹣AB=F1B=2a，BF2﹣BF1=2a，BF2=4a，F1F2=2c，再在△F1BF2中应用余弦定理得，a，c的关系，由离心率公式，计算即可得到所求．【解答】解：因为△ABF2为等边三角形，不妨设AB=BF2=AF2=m，A为双曲线上一点，F1A﹣F2A=F1A﹣AB=F1B=2a，B为双曲线上一点，则BF2﹣BF1=2a，BF2=4a，F1F2=2c，由，则，在△F1BF2中应用余弦定理得：4c2=4a2+16a2﹣2•2a•4a•cos120°，得c2=7a2，则．故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．设随机变量ξ～N（μ，σ2），且 P（ξ＜﹣1）=P（ξ＞1），P（ξ＞2）=0.3，则P （﹣2＜ξ＜0）= 0.2 ．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据正态分布的性质求解．【解答】解：因为P（ξ＜﹣1）=P（ξ＞1），所以正态分布曲线关于y轴对称，又因为P（ξ＞2）=0.3，所以P（﹣2＜ξ＜0）=故答案为：0.2．12．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为．【考点】程序框图．【分析】根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦不满足条件就退出循环，输出结果．【解答】解：模拟执行程序框图，可得s=0，k=0满足条件k＜6，k=2，s=满足条件k＜6，k=4，s=满足条件k＜6，k=6，s=+不满足条件k＜6，退出循环，输出s=+=．故答案为：．13．m=sintd t则的展开式的常数项为．【考点】定积分；二项式系数的性质．【分析】首先通过定积分求出m，然后利用二项式定理求常数项．【解答】解：因为m=sintdt=（﹣cost）|=2，则=的展开式的常数项为=﹣；故答案为：﹣．14．已知函数的图象的对称中心为（0，0），函数的图象的对称中心为，函数的图象的对称中心为（﹣1，0），…，由此推测，函数的图象的对称中心为．【考点】归纳推理．【分析】题中所涉及的函数的对称中心的横坐标依次为0，，﹣1，…，即0，，，…，此数列通项公式易求．【解答】解：题中所涉及的函数的对称中心的横坐标依次为0，，﹣1，…，即0，，，…，由此推测，函数的图象的对称中心为故答案为：15．一位数学老师希望找到一个函数y=f（x），其导函数f′（x）=lnx，请您帮助他找一个这样的函数f（x）=xlnx﹣x+c，c是常数．（写出表达式即可，不需写定义域）【考点】导数的运算．【分析】根据导数的关系进行求解即可．【解答】解：当f（x）=xlnx﹣x+c时，f′（x）=lnx，故答案为：f（x）=xlnx﹣x+c，c是常数三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足+tan=（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）已知△ABC不是钝角三角形，且c=2，sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．【分析】（I）利用同角三角函数基本关系式即可得出；（II）利用和差公式可得：sinBcosA=2sinAcosA，对A分类讨论，利用正弦定理、三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由+tan=，∴+=，∴=，∴sinC=．又C∈（0，π），∴C=或C=．（Ⅱ）由题意得sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，∴sin（B+A）+sin（B﹣A）=2sin2A，∴2sinBcosA=2×2sinAcosA，当cosA=0时，A=，C=，B=．由正弦定理可得：，∴b===2，∴S △ABC ===2．当cosA ≠0时，得sinB=2sinA ，由正弦定理得b=2a ，由题意，C=，c=2，∴c 2=a 2+b 2﹣2abcosC=a 2+b 2﹣ab=3a 2=12， 解得a=2，b=4，∴，∴S △ABC ===2．17．某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球个蓝球与2个白球的袋中任意摸出的取法为【解答】解：（1）设A i 表示摸到i 个红球，B i 表示摸到i 个蓝球，则Ai 与Bi 相互独立（i=0，1，2，3）∴P （A 1）==（2）X 的所有可能取值为0，10，50，200P （X=200）=P （A 3B 1）=P （A 3）P （B 1）=P（X=50）=P（A3）P（B0）==P（X=10）=P（A2）P（B1）==P（X=0）=1﹣=EX==4元18．如图，四棱锥中P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD，侧面PAD⊥底面ABCD，且△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°．（Ⅰ）求证：AD⊥PB；（Ⅱ）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】（Ⅰ）取AD的中点G，连结PG、GB、BD，推导出PG⊥AD，△ABD是正三角形，BG ⊥AD，由此能证明AD⊥PB．（Ⅱ）以G为原点，直线GA、GB、GP所在直线为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系G ﹣xyz．利用向量法能求出平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）取AD的中点G，连结PG、GB、BD．∵PA=PD，∴PG⊥AD，…∵AB=AD，且∠DAB=60°，∴△ABD是正三角形，BG⊥AD，又PG∩BG=G，∴AD⊥平面PGB．∴AD⊥PB．…解：（Ⅱ）∵侧面PAD⊥底面ABCD，又PG⊥AD，∴PG⊥底面ABCD．∴PG⊥BG．∴直线GA、GB、GP两两互相垂直，故以G为原点，直线GA、GB、GP所在直线为x轴、y轴和z轴建立如图所示的空间直角坐标系G﹣xyz．设PG=a，则P（0，0，a），A（a，0，0），B（0，，0），D（﹣a，0，0），C（﹣，，0）．…∴=（﹣，﹣，0）．∴=（0，，﹣a），设=（x0，y0，z0）是平面PBC的法向量，则，取y0=，得=（﹣1，，3）．…又∵平面PAD的法向量=，设平面PAD与平面PBC所成锐二面角为θ，则cosθ===，所以平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为．…19．设数列{a n}的前项和为S n，且{}是等差数列，已知a1=1， ++=6，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=+，数列{b n}的前项和为T n，求证：T n＜2n+．【考点】数列的求和；等差关系的确定．【分析】（I）利用等差数列的通项公式、递推关系即可得出；（II）b n=+=+1+=2+，利用“裂项求和”即可得出．【解答】（Ⅰ）解：∵{}是等差数列，设公差为d，a1=1， ++=6，∴=6，∴=2，∴2=1+2d，解得d=．∴=1+=，∴S n=．∴当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣=n．当n=1时也成立，∴a n=n．（Ⅱ）证明：b n=+=+=+1+=2+，∴数列{b n}的前项和为T n=2n++…+=2n+＜2n+，∴T n＜2n+．20．已知O为坐标原点，焦点为F的抛物线E：x2=2py（p＞0）上不同两点A、B均在第一象限．B点关于y轴的对称点为C，△OFA的外接圆圆心为Q，且•=（1）求抛物线E的标准方程；（2）两不同点A、B均在第一象限内，B点关于y轴的对称点为C，设直线OA、OB的倾角分别为α、β，且α+β=①证明：直线AC过定点；②若A、B、C三点的横坐标依次成等差数列，求△ABC的外接圆方程．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）利用向量的数量积公式，求出p，即可求抛物线E的标准方程；（2）①设直线OA的方程为y=kx（k＞0），则直线OC的方程为y=﹣x，与x2=y联立，求出A，C的坐标，可得直线AC的方程，即可证明：直线AC过定点；②若A、B、C三点的横坐标依次成等差数列，可得A，B，C的坐标，即可求△ABC的外接圆方程．【解答】（1）解：∵△OFA的外接圆圆心为Q，且•=，∴||2=，∴||=，∴p=，∴抛物线E的标准方程x2=y；（2）①证明：设直线OA的方程为y=kx（k＞0），则直线OC的方程为y=﹣x，y=kx与x2=y联立，可得A（k，k2），y=﹣x与x2=y联立，可得C（﹣，），∴直线AC的方程为y﹣k2=（x﹣k），即y=（k﹣）x+1，令x=0，可得y=1，直线AC过定点（0，1）；②解：由①，∵A、B、C三点的横坐标依次成等差数列，∴=k﹣，∵k＞0，∴k=，∴A（，3），B（，），C（﹣，），设△ABC的外接圆方程的圆心坐标为（0，b），则（0﹣）2+（b﹣3）2=（0﹣）2+（b﹣）2，∴b=，r2=，∴△ABC的外接圆方程的方程为x2+（y﹣）2=．21．已知函数f（x）=（x2﹣3x+3）e x的定义域为[﹣2，t]，设f（﹣2）=m，f（t）=n．（Ⅰ）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数；（Ⅱ）求证：m＜n；（Ⅲ）若不等式+7x﹣2＞k（xlnx﹣1）（k为正整数）对任意正实数恒成立，求的最大值，并证明lnx＜（解答过程可参考使用以下数据ln7≈1.95，ln8≈2.08）【考点】函数恒成立问题；函数单调性的性质；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）由f（x）=（x2﹣3x+3）•e x，知f′（x）=（x2﹣x）e x，令f′（x）≥0，则x ≥1或x≤0，由此能够确定t的取值范围，使得函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数．（2）根据（1）求出的函数的单调区间，由函数的增减性得到函数的极小值，把x=﹣2代入f（x）解析式求出f（﹣2）的值，进行证明即可；（3）根据条件将不等式进行等价转化，构造函数，求函数的导数，判断函数的单调性和最值进行求解即可．【解答】解：（1）因为f′（x）=（x2﹣3x+3）•e x+（2x﹣3）•e x=x（x﹣1）•e x，由f′（x）＞0⇒x＞1或x＜0；由f′（x）＜0⇒0＜x＜1，所以f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，欲使f（x）在[﹣2，t]上为单调函数，则﹣2＜t≤0．（2）因为f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，所以f（x）在x=1处取得极小值f（1）=e．又f（﹣2）=＜e，所以f（x）仅在x=﹣2处取得[﹣2，t]上的最小值f（﹣2），从而当t＞﹣2时，f（﹣2）＜f（t），即m＜n．（Ⅲ）由+7x﹣2＞k（xlnx﹣1）等价于x2+4x+1＞k（xlnx﹣1），即x++4﹣klnx＞0…记g（x）=x++4﹣klnx，则g′（x）=1﹣﹣=，由g′（x）=0，得x=k+1，所以g（x）在（0，k+1）上单调递减，在（k+1，+∞）上单调递增，所以≥g（k+1）=k+6﹣ln（k+1），即g（x）＞0对任意正实数x恒成立，等价于k+6﹣ln（k+1）＞0，即1+﹣ln（k+1）＞0…记h（k）=1+﹣ln（k+1），则h′（x）=﹣﹣＜0，所以h（x）在（0，+∞）上单调递减，又h（6）=2﹣ln7＞0，h（7）=0，所以k的最大值为6…当k=6时，由x2+4x+1＞6（xlnx﹣1），令x=3，则ln3＜…。
绝密★启用前2015届山东省青岛市高三上学期期末考试理科数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：186分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、已知函数有两个极值点，则直线的斜率的取值范围是A ．B ．C ．D ．2、函数的零点所在的大致区间是 A ．B ．C ．D ．3、如果执行如图的程序框图，那么输出的值是ArrayA．2016 B．2 C． D．4、若圆台两底面周长的比是1：4，过高的中点作平行于底面的平面，则圆台被分成两部分的体积比是A．1：16 B．39：129 C．13：129 D．3：275、下列命题：①是方程表示圆的充要条件；②把的图象向右平移单位，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象；③函数上为增函数；④椭圆的焦距为2，则实数m的值等于5.其中正确命题的序号为A．①③④ B．②③④ C．②④ D．②6、已知函数，则函数的大致图象为A． B． C． D．8、已知集合A． B． C． D．9、圆和圆的位置关系为A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能10、有3位同学参加测试，假设每位同学能通过测试的概率都是，且各人能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学能通过测试的概率为A． B． C． D．第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）11、若数列的通项公式为,试通过计算的值，推测出_________.12、两曲线所围成的图形的面积是_________.13、当时，函数的图像恒过点A ，若点A 在直线上，则的最小值为_________.14、的展开式中的常数项是_________.15、已知双曲线的方程为，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（c 为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率e 为__________.三、解答题（题型注释）16、（本题满分12分）已知抛物线上一点到其焦点的距离为4；椭圆的离心率，且过抛物线的焦点．（1）求抛物线和椭圆的标准方程；（2）过点的直线交抛物线于、两不同点，交轴于点，已知，求证：为定值．（3）直线交椭圆于，两不同点，，在轴的射影分别为，，，若点S 满足：，证明：点S 在椭圆上．17、（本小题满分13分） 已知处的切线为（I ）求的值；（II ）若的极值；（III ）设，是否存在实数（，为自然常数）时，函数的最小值为3.18、（本小题满分12分）已知是等差数列的前n 项和，数列是等比数列，恰为的等比中项，圆，直线，对任意，直线都与圆C 相切. （I ）求数列的通项公式；（II ）若时，的前n项和为，求证：对任意，都有19、（本小题满分12分） 如图，ABCD 为梯形，平面ABCD ，AB//CD ，，E 为BC 中点，连结AE ，交BD 于O.（I ）平面平面PAE（II ）求二面角的大小（若非特殊角，求出其余弦即可）20、（本小题满分12分）右图为某校语言类专业N 名毕业生的综合测评成绩（百分制）分布直方图，已知80~90分数段的学员数为21人（I ）求该专业毕业总人数N 和90~95分数段内的人数；（II ）现欲将90~95分数段内的名毕业生分配往甲、乙、丙三所学校，若向学校甲分配两名毕业生，且其中至少有一名男生的概率为，求名毕业生中男女各几人（男女人数均至少两人）？（III ）在（II ）的结论下，设随机变量表示n 名毕业生中分配往乙学校的三名学生中男生的人数，求的分布列和数学期望.21、（本小题满分12分）已知直线两直线中，内角A ，B ，C 对边分别为时，两直线恰好相互垂直；（II）求b和的面积参考答案1、A2、B3、A4、B5、D6、D7、C8、A9、A10、D11、12、13、14、1515、16、（I）抛物线的方程为；椭圆的标准方程为（II）见解析；（III）见解析.17、（I）；（II）；（III）.18、（1），；（2）见解析.19、（1）见解析；（2）20、（I）6；（II）名毕业生中有男生人,女生人；（III）21、（I）；（II），【解析】1、试题分析：由题意可得：，因为有两个极值点, 所以有两个零点，因为,所以 •‚ƒ④在坐标系满足①②③④的可行域如图所示，直线的斜率，又是可行域中动点与定点连线的斜率，最大值为，最小值为所以直线的斜率的取值范围是.考点：导数的应用.2、试题分析：因为，，所以由零点存在性定理可得函数的零点所在的大致区间是.考点：零点存在性定理的应用.3、试题分析：第一次循环，第一次循环，第一次循环，第一次循环，故应选A.考点：程序框图.4、试题分析：由题意可得：圆台两底面半径的比是，所以圆台被分成两部分后中间圆的半径可认为是，所以由圆台的体积公式可得：，，所以故应选B.考点：空间几何体的体积.5、试题分析：方程表示圆应满足或，故 错误；把的图象向右平移单位，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象故 正确；由解析式可知：函数在上是增函数，在上是减函数，所以ƒ错误；椭圆的焦距为2，所以或，所以或，所以④错误，故应选D.考点：命题真假的判断.6、试题分析：当时，，其图像为一条直线；当时，，所以函数的图像为函数图像向左平移1个单位长度后得到的，故选D.考点：函数图像变换.7、试题分析：因为是纯虚数，所以；应选C.考点：复数的运算.8、试题分析：,，故答案为A.考点：集合间的基本运算.9、试题分析：由题意可得：两圆的圆心分别为，，则两圆心的距离为，所以所以应选A.考点：圆与圆的位置关系.10、试题分析：由题意可得：3位同学都没有通过的概率为，所以至少有一位同学能通过测试的概率为，故答案为D.考点：独立重复试验.11、试题分析：由题意可得：，，，所以由此可得.考点：数列的通项公式.12、试题分析：由题意可得：两曲线所围成的图形的面积是.考点：定积分的应用.13、试题分析：由题意可得：点的坐标为，所以，所以考点：对数函数及基本不等式的应用.14、试题分析：展开式的通项为：，所以的展开式中的常数项是.考点：二项式定理的应用.15、试题分析：由题意可得：双曲线的渐近线方程为，所以双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为，即. 考点：双曲线的定义及性质.16、试题分析：（1）因为到其焦点的距离为，根据焦半径公式可求出，可得抛物线的方程，再由椭圆的离心率，且过抛物线的焦点得椭圆方程；（2）联立方程组:，所以，，韦达定理可得；（3）满足椭圆的方程命题得证.试题解析：（1）抛物线上一点到其焦点的距离为；抛物线的准线为抛物线上点到其焦点的距离等于到准线的距离所以,所以抛物线的方程为椭圆的离心率,且过抛物线的焦点所以，,解得所以椭圆的标准方程为.（2）直线的斜率必存在,设为,设直线l与椭圆交于则直线l的方程为,联立方程组:所以,所以（*）由得:得:所以将（*）代入上式,得.（3）设所以,则由得（1）,（2）（3）（1）+（2）+（3）得:即满足椭圆的方程命题得证.考点：1、待定系数法求抛物线及椭圆标准方程方程；2、圆锥曲线的定值问题以及点在曲线上问题.【方法点睛】本题主要考查待定待定系数法求抛物线及椭圆标准方程方程、圆锥曲线的定值问题以及点在曲线上问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.17、试题分析：（1）根据的解析式求出函数的导函数，由条件可得，，进而可得出（2）根据题意可确定函数的解析式，进而求导、列表判断函数的单调性，得出函数的极值；（3）列出函数的解析式求出导数，然后对分类讨论结合函数的单调性判断是否存在这样的值..试题解析：(Ⅰ) 在处的切线为所以,即又在处,所以所以,可得所以3分(Ⅱ) 时,定义域为极小值可以看出,当时,函数有极小值8分(Ⅲ) 因为,所以假设存在实数，使有最小值,9分①当时，，所以在上单调递减，（舍去） 10分②当时,(i)当时,，在上恒成立所以在上单调递减，（舍去）11分(ii)当时, ，当时,所以在上递减当时,在上递增所以, 12分所以满足条件, 综上，存在使时有最小值13分考点：函数及其导数性质的应用.18、试题分析：（1）给出与的关系，求，常用思路：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与的关系，再求；由推时，别漏掉这种情况，大部分学生好遗忘;(2)一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项的和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后做差求解；（3）利用不等式放缩时掌握好规律，怎样从条件证明出结论. 试题解析：(Ⅰ) 圆的圆心为,半径为,对任意,直线都与圆相切.所以圆心到直线的距离为所以3分得所以,4分当时,当时,综上,对任意,5分设等比数列的公比为,所以恰为与的等比中项,,所以,解得7分所以8分(Ⅱ) 时,而时,10分所以12分考点：等差、等比数列的性质及应用.19、试题分析：(1)证明两个平面垂直，首先考虑直线与平面垂直，也可以简单记为“证面面垂直，找线面垂直”，是化归思想的体现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明类似，掌握化归与转化思想方法是解决这类题的关键；(2)作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.试题解析：(Ⅰ)连结,所以为中点,所以,因为,所以与为全等三角形所以所以与为全等三角形所以在中,,即3分又因为平面,平面所以4分而所以平面5分因为平面所以平面平面6分(Ⅱ) 以为原点,分别以所在直线为轴,建立空间直角坐标系如图二面角即二面角平面,平面的法向量可设为7分设平面的法向量为所以,而即:,可求得10分所以两平面与平面所成的角的余弦值为12分考点：空间几何的位置关系.20、试题分析：(1)解决频率分布直方图的问题，关键在于找出图中数据之间的关系，这些数据中，比较明显的有组距、，间接的有频率，小长方形的面积，合理使用这些数据，再结合两个等量关系：小长方形的面积等于频率，小长方形的面积之和等于1，因此频率之和为1；（2)平均数是频率分布直方图的重心，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标；（3）频率分布直方图中，注意小矩形的高是，而不是频率.（4）求出分布列后注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确；（5)求解离散随机变量分布列和方差，首先要理解问题的关键，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相对应的概率，写成随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算.试题解析：(Ⅰ) 分数段的毕业生的频率为,此分数段的学员总数为人所以毕业生的总人数为2分分数段内的人数频率为所以分数段内的人数4分(Ⅱ) 分数段内共名毕业生,设其中男生名,女生为名设分配往甲校的两名毕业生中至少有一名男毕业生为事件,则则解得或(舍去)即名毕业生中有男生人,女生人8分(Ⅲ) 表示名毕业生中分配往甲学校的两名学生中男生的人数,所以的取值可以为当时,当时,当时,所以的分布列为所以随机变量数学期望为12分考点：频率分布直方图即随机变量的期望、方差.21、试题分析：（I）根据两直线相互垂直可得，整理可得，由此可得；(Ⅱ) 由余弦定理可得，所以即，由面积公式可得.试题解析：(Ⅰ)当时，直线的斜率分别为，两直线相互垂直所以即可得所以，所以即即4分因为，，所以所以只有所以6分(Ⅱ) ,所以即所以即9分所以的面积为12分．考点：两直线的位置关系、余弦定理及面积公式.。
山东省胶州一中2015届高三上学期第二次质量检测（12月）数学(理)试题一、选择题1．若集合}11,|{31≤≤-==x x y y A ，，则A ．B ．C ．D ．{} 2. 已知直线⊥平面，直线平面，下面有三个命题： ①∥⊥；②⊥∥；③∥⊥； 则真命题的个数为( )A ．B ．C ．D ．3. 已知等差数列的公差为，且36101332a a a a +++=，若，则为（ ） A ． B. C ． D.4．如右图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为的正三角形,其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（ ）A ． B. C ． D. 5.若直线与圆相切，则的值为（ ）A.1或﹣1B.2或﹣2C.1D.﹣1 6．已知向量夹角为，且，，若，则实数的值是( ) A.9 B.﹣9 C.10 D.﹣10 7．将奇函数)22,0)(sin()(πϕπωϕω<<->+=x A x f 的图象向左平移个单位得到的图象关于原点对称，则的值可以为（ ） A ． B ． C ． D ．8.若函数3()log ()(01)a f x x ax a =-<≠在区间内单调递增，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.9. 直线与抛物线交于两点，若，则弦的中点到直线的距离为( )A. B. C.2 D.410. 设，若函数在区间上有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题11. 已知焦点在轴上的双曲线的渐近线为，则次双曲线的离心率为_______12. 设变量满足约束条件：3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩,则目标函数的最小值为13．在中，已知，当时，的面积为_____14．已知正项等比数列满足，若存在两项使得，则的最小值为___________ 15.定义在R 上的奇函数满足，当时，，则以下结论中正确的是______ ①图像关于点对称；②是以2为周期的周期函数 ③当时④在内单调递增俯视图ODC B AD 1C 1B 1A 1三、解答题16. 如图5，在平面四边形中，，，. （1） 求的值； （2） 若，，求的长.17.如图，在四棱柱中，侧面⊥底面，，底面为直角梯形，其中∥,，222AD AB BC ===，为中点. （1）求证：∥平面；（2）求锐二面角的余弦值．18.小王大学毕业后，决定利用所学专业知识进行自主创业，经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产万件，需另投入流动成本万元。
胶州一中2015届高三上学期12月第二次质量检测数学（理）试题一、选择题1．若集合}11,|{31≤≤-==x x y y A ，}1{x y x B -==，则A B =A ．(]1,∞-B ．]1,1[-C ．φD ．{1}2. 已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，下面有三个命题：①α∥β⇒l ⊥m ；②α⊥β⇒l ∥m ；③l ∥m ⇒α⊥β； 则真命题的个数为( )A ．0B ． 1C ．2D ．33. 已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，且36101332a a a a +++=，若8m a =，则m 为（ ）A ．12 B. 8 C ．6 D. 44．如右图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图 都是边长为2的正三角形,其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（ ）A B.C D. 835.若直线(1)10a x y +++=与圆2220x y x +-=相切，则a 的值为（ ）A.1或﹣1B.2或﹣2C.1D.﹣16．已知向量 a b 、夹角为60，且||3a =，||2b =，若(3)a mb a +⊥，则实数m 的值是( ) A.9 B.﹣9 C.10 D.﹣10 7．将奇函数)22,0)(sin()(πϕπωϕω<<->+=x A x f 的图象向左平移6π个单位得到的图象关于原点对称，则ω的值可以为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．68.若函数3()log ()(01)a f x x ax a =-<≠在区间1(,0)2-内单调递增，则a 的取值范围是（ ）俯视图A.1[,1)4B. 3[,1)4C. 9[,)4+∞D.9(1,)49. 直线440kx y k --=与抛物线2y x =交于,A B 两点，若4AB =，则弦AB 的中点到直线102x +=的距离为( ) A.94 B.74C.2D.4 10. 设()ln f x x =，若函数()()g x f x ax =-在区间(]0,3上有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A.10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ln 31,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.ln 30,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D.ln 3,3e ⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题11. 已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线为2y x =±，则次双曲线的离心率为_______12. 设变量,x y 满足约束条件：3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩,则目标函数1y z x +=的最小值为13．在ABC ∆中，已知tan AB AC A ⋅=，当6A π=时，ABC ∆的面积为_____14．已知正项等比数列{}n a 满足8762a a a =+，若存在两项,m n a a12a =，则19m n +的最小值为___________15.定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=-+，当(2,3)x ∈时，2()log (1)f x x =-，则以下结论中正确的是______①()f x 图像关于点(,0)()k k Z ∈对称；②()y f x =是以2为周期的周期函数 ③当(1,0)x ∈-时2()log (1)f x x =-- ④()y f x =在(,1)()k k k Z +∈内单调递增 三、解答题16. 如图5，在平面四边形ABCD 中，1=AD ，2=CD ，7=AC .（1） 求CAD ∠cos 的值；（2） 若147cos -=∠BAD ，621sin =∠CBA ，求BC 的长.ODC BAD 1C 1B 1A 117.如图，在四棱柱1111ABCD A BC D -中，侧面11ADD A ⊥底面ABCD，11D A D D ==，底面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD ,AB AD ⊥，222AD AB BC ===，O 为AD 中点.（1）求证：1AO ∥平面1ABC ； （2）求锐二面角11A C D C --的余弦值．18.小王大学毕业后，决定利用所学专业知识进行自主创业，经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x 万件，需另投入流动成本()W x 万元。
2015-2016学年山东省青岛市胶州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U={0，1，2，3}，集合M={0，1，2}，N={0，2，3}，则M∩∁U N等于（）A．{1} B．{2，3} C．{0，1，2} D．∅【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】直接利用交集和补集的运算得答案．【解答】解：∵全集U={0，1，2，3}，N={0，2，3}，∴∁U N={1}，又M={0，1，2}，则M∩∁U N={1}．故选：A．【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础题．2．某时段内共有100辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速超过60km/h的汽车数量为（）A．38辆B．28辆C．10辆D．5辆【考点】用样本的频率分布估计总体分布．【专题】计算题．【分析】根据频率分步直方图看出时速超过60km/h的汽车的频率比组距的值，用这个值乘以组距，得到这个范围中的频率，用频率当概率，乘以100，得到时速超过60km/h的汽车数量．【解答】解：根据频率分步直方图可知时速超过60km/h的概率是10×（0.01+0.028）=0.38，∵共有100辆车，∴时速超过60km/h的汽车数量为0.38×100=38（辆）故选A．【点评】本题考查用样本的频率估计总体分布，频数、频率和样本容量三者之间的关系是知二求一，这种问题会出现在选择和填空中，有的省份也会以大题的形式出现，把它融于统计问题中．3．sin（﹣600°）的值是（）A． B．﹣C．D．﹣【考点】运用诱导公式化简求值．【专题】三角函数的求值．【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解答】解：sin（﹣600°）=sin（﹣720°+120°）=sin120°=sin（180°﹣60°）=sin60°=，故选：C．【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．4．函数的零点所在的区间是（）A．（e﹣4，e﹣2）B．（e﹣2，1）C．（1，e2）D．（e2，e4）【考点】二分法求方程的近似解．【专题】函数的性质及应用．【分析】先判断f（e﹣4），f（e﹣2），f（1），f（e2），f（e4）的符号，再根据函数零点的判定定理，即可求得结论．【解答】解：∵f（e﹣4）=﹣4+＜0，f（e﹣2）=﹣2+＜0，f（1）=＞0，f（e2）=2+＞0，f（e4）=4+＞0，∴f（e﹣2）•f（1）＜0，且函数在区间（e﹣2，1）上是连续的，故函数的零点所在的区间为（e﹣2，1），故选：B．【点评】本题主要考查函数零点区间的判断，判断的主要方法是利用根的存在性定理，判断函数在给定区间端点处的符号是否相反．5．下列函数在（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=（x﹣1）2B．y=lg（x+3）C．y=21﹣x D．y=【考点】函数单调性的判断与证明．【专题】函数的性质及应用．【分析】结合选项中所涉及到的函数，从函数的定义域和其图象上进行逐个排除即可得到答案．【解答】解：对于选项A：y=（x﹣1）2该函数在（﹣∞，1]上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增不合题意，对于选项B：y=lg（x+3），该函数在区间（0，+∞）上单调递增合题意，对于选项C：y=21﹣x，该函数在（﹣∞，+∞）上单调递减，不合题意，对于选项D：y=（x﹣1）2该函数在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在区间（﹣1，+∞）上单调递减，不合题意，故选：B．【点评】本题重点考查了函数的单调性、及其判断，函数的图象等知识，属于中档题．）A．（2，2）B．（1.5，4）C．（1.5，0）D．（1，2）【考点】线性回归方程．【专题】计算题；概率与统计．【分析】先分别计算平均数，可得样本中心点，利用线性回归方程必过样本中心点，即可得到结论．【解答】解：由题意，=（0+1+2+3）=1.5，=（1+3+5+7）=4∴x与y组成的线性回归方程必过点（1.5，4）故选：B．【点评】本题考查线性回归方程，解题的关键是利用线性回归方程必过样本中心点．7．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B等于（）A．7 B．15 C．31 D．63【考点】程序框图；设计程序框图解决实际问题．【专题】图表型．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算B值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：A B 是否继续循环循环前 1 1/第一圈 2 3 是第二圈 3 7 是第三圈 4 15 是第三圈 5 31 是第四圈 6 63 否则输出的结果为63．故选D．【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，模拟程序的运行过程是解答此类问题最常用的办法．8．一高为H、满缸水量为V0的鱼缸的轴截面如图所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为V，则函数的大致图象可能是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】数形结合．【分析】水深h越大，水的体积v就越大，故函数v=f（h）是个增函数，一开始增长越来越快，后来增长越来越慢，图象是先凹后凸的．【解答】解：由图得水深h越大，水的体积v就越大，故函数v=f（h）是个增函数．据四个选项提供的信息，当h∈[O，H]，我们可将水“流出”设想成“流入”，这样每当h增加一个单位增量△h时，根据鱼缸形状可知，函数V的变化，开始其增量越来越大，但经过中截面后则增量越来越小，故V关于h的函数图象是先凹后凸的，曲线上的点的切线斜率先是逐渐变大，后又逐渐变小，故选B．【点评】本题考查了函数图象的变化特征，函数的单调性的实际应用，体现了数形结合的数学思想和逆向思维．9．函数f（x）=x2﹣2mx与g（x）=在区间[1，2]上都是减函数，则m的取值范围是（）A．[2，3）B．[2，3]C．[2，+∞）D．（﹣∞，3）【考点】函数单调性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】结合二次函数的图象和性质可得若函数f（x）在区间[1，2]上都是减函数，则m≥2，结合反比例函数的图象和性质可得：若函数g（x）在区间[1，2]上是减函数，则3﹣m＞0，进而得到答案．【解答】解：∵f（x）=x2﹣2mx的图象是开口向上，且以直线x=m为对称轴的抛物线，故f（x）=x2﹣2mx在（﹣∞，m]上为减函数，若函数f（x）在区间[1，2]上都是减函数，则m≥2，又∵g（x）==+m，若函数g（x）在区间[1，2]上是减函数，则3﹣m＞0，则m＜3，故m的取值范围是[2，3），故选：A【点评】本题考查的知识点是函数单调性的性质，熟练掌握二次函数和反比例函数的图象和性质是解答的关键．10．已知函数，若关于x的方程f（x）=k有两个不同的根，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，2）C．（1，2）D．[1，2）【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】原问题等价于于函数f（x）与函数y=k的图象有两个不同的交点，在同一个坐标系中作出两个函数的图象可得答案．【解答】解：关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，等价于函数f（x）与函数y=k的图象有两个不同的交点，作出函数的图象如下：由图可知实数k的取值范围是（1，2）故选：C．【点评】本题考查根的存在性和个数的判断，数形结合是解决问题的关键，属中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件，为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n=13．【考点】分层抽样方法．【专题】概率与统计．【分析】由题意根据分层抽样的定义和方法，每个个体被抽到的概率相等，由=，解得n的值．【解答】解：依题意，有=，解得n=13，故答案为：13．【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，注意每个个体被抽到的概率相等，属于基础题．12．已知tanα=，则=．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【解答】解：∵tanα=，则===，故答案为：．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．13．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为，两人下成和棋的概率为，则乙不输的概率为．【考点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式．【专题】概率与统计．【分析】设A表示“甲胜”，B表示“和棋”，C表示“乙胜”，则P（A）=，P（B）=，P（C）=1﹣=，由此能求出乙不输的概率．【解答】解：设A表示“甲胜”，B表示“和棋”，C表示“乙胜”，则P（A）=，P（B）=，P（C）=1﹣=，∴乙不输的概率为：P=P（B∪C）=P（B）+P（C）==．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意互斥事件概率加法公式的合理运用．14．若，则a的取值范围为0＜a≤1．【考点】指数函数的图象与性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】讨论a的取值范围，利用指数恒等式和对数的基本运算公式进行计算即可．【解答】解：若0＜a＜1，则等式，等价为，此时等式恒成立．若a=1，则等式，等价为，此时等式恒成立．若a＞1，则等式，等价为，解得a=1，此时等式不成立．综上：0＜a≤1，故答案为：0＜a≤1【点评】本题主要考查指数方程的解法，根据对数的运算性质和指数恒等式是解决本题的关键，注意要对a进行分类讨论．15．已知函数f（x）=的图象与函y=g（x）的图象关于直线y=x对称，令h（x）=g（1﹣x2），则关于h（x）有下列命题：①h（x）的图象关于原点对称；②h（x）为偶函数；③h（x）的最小值为0；④h（x）在（0，1）上为增函数．其中正确命题的序号为②③④．（将你认为正确的命题的序号都填上）【考点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】先根据函数f（x）=的图象与函数g（x）的图象关于直线y=x对称，求出函数g（x）的解析式，然后根据奇偶性的定义进行判定，根据复合函数的单调性进行判定可求出函数的最值，从而得到正确选项．【解答】解：∵函数f（x）=的图象与函数g（x）的图象关于直线y=x对称，∴g（x）=∵h（x）=g（1﹣x2）=，x∈（﹣1，1）而h（﹣x）==h（x）则h（x）是偶函数，故①不正确，②正确该函数在（﹣1，0）上单调递减，在（0，1）上单调递增∴h（x）有最小值为0，无最大值故选项③④正确，故答案为：②③④【点评】本题主要考查了反函数，以及函数的奇偶性、单调性和最值，同时考查了奇偶函数图象的对称性，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 16．已知全集I={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={1，2，3，4}，集合B={2，3，5}，函数y=的定义域为C．（Ⅰ）求A∩B，（∁I A）∪B；（Ⅱ）已知x∈I，求x∈C的概率；（Ⅲ）从集合A中任取一个数为m，集合B任取一个数为n，求m+n＞4的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（Ⅰ）由交集定义能求出A∩B，利用补集定义和交集定义能求出C I（A）∪B．（Ⅱ）由函数定义域求出集合C，由此能求出x∈I，x∈C的概率．（Ⅲ）从集合A任取一个数为m，利用列举法求出集合B任取一个数为n的基本事件个数，由此能求出m+n＞4的概率．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵集合A={1，2，3，4}，集合B={2，3，5}，∴由已知A∩B={2，3}，∵全集I={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，∴C I（A）∪B={0，2，3，5，6，7，8，9}．…（4分）（Ⅱ）∵函数y=的定义域为C，∴C={x|}={x|5≤x＜6}，…（6分）∵x∈I，∴x∈C的概率p=．…（8分）（Ⅲ）从集合A任取一个数为m，集合B任取一个数为n的基本事件有1，2，3，4，共12种…（10分）其中m+n＞4共有9种，∴p=．…（12分）【点评】本题考查交集、并无数的求法，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．17．某工厂的A、B、C三个不同车间生产同一产品的数量（单位：件）如表所示．质检人（1）求这6件样品中来自A、B、C各车间产品的数量；（2）若在这6件样品中随机抽取2件进行进一步检测，求这2件商品来自相同车间的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】（1）求出样本容量与总体中的个体数的比，然后求解A、B、C各车间产品的数量．（2）设6件来自A、B、C三个车间的样品分别为：A；B1，B2，B3；C1，C2．写出从6件样品中抽取的这2件产品构成的所有基本事件．记事件D：“抽取的这2件产品来自相同车间”，写出事件D包含的基本事件，然后求解这2件产品来自相同车间的概率．【解答】（本小题满分12分）解：（1）因为样本容量与总体中的个体数的比是，（2分）所以A车间产品被选取的件数为，（3分）B车间产品被选取的件数为，（4分）C车间产品被选取的件数为．（5分）（2）设6件来自A、B、C三个车间的样品分别为：A；B1，B2，B3；C1，C2．则从6件样品中抽取的这2件产品构成的所有基本事件为：（A，B1），（A，B2），（A，B3），（A，C1），（A，C2），（B1，B2），（B1，B3），（B1，C1），（B1，C2），（B2，B3），（B2，C1），（B2，C2），（B3，C1），（B3，C2），（C1，C2），共15个．（8分）每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记事件D：“抽取的这2件产品来自相同车间”，则事件D包含的基本事件有：（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3），（C1，C2），共4个．（10分）所以，即这2件产品来自相同车间的概率为．（12分）【点评】本题考查古典概型概率的应用，等可能事件的概率的求法，基本知识的考查．18．已知幂函数f（x）=（﹣2m2+m+2）x m+1为偶函数．（1）求f（x）的解析式；（2）若函数y=f（x）﹣2（a﹣1）x+1在区间（2，3）上为单调函数，求实数a的取值范围．【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）根据幂函数的性质即可求f（x）的解析式；（2）根据函数y=f（x）﹣2（a﹣1）x+1在区间（2，3）上为单调函数，利用二次函数对称轴和区间之间的关系即可，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）为幂函数知﹣2m2+m+2=1，即2m2﹣m﹣1=0，得m=1或m=﹣，当m=1时，f（x）=x2，符合题意；当m=﹣时，f（x）=，为非奇非偶函数，不合题意，舍去．∴f（x）=x2．（2）由（1）得y=f（x）﹣2（a﹣1）x+1=x2﹣2（a﹣1）x+1，即函数的对称轴为x=a﹣1，由题意知函数在（2，3）上为单调函数，∴对称轴a﹣1≤2或a﹣1≥3，即a≤3或a≥4．【点评】本题主要考查幂函数的图象和性质，以及二次函数的单调性与对称轴之间的关系，要求熟练掌握幂函数和二次函数的图象和性质．19．某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出场单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件．（1）设一次订购x件，服装的实际出厂单价为p元，写出函数p=f（x）的表达式；（2）当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？【考点】函数模型的选择与应用；二次函数在闭区间上的最值．【专题】应用题．【分析】（1）根据题意，函数为分段函数，当0＜x≤100时，p=60；当100＜x≤600时，p=60﹣（x﹣100）×0.02=62﹣0.02x．（2）设利润为y元，则当0＜x≤100时，y=60x﹣40x=20x；当100＜x≤600时，y=（62﹣0.02x）x﹣40x=22x﹣0.02x2，分别求出各段上的最大值，比较即可得到结论．【解答】解：（1）当0＜x≤100时，p=60；当100＜x≤600时，p=60﹣（x﹣100）×0.02=62﹣0.02x．∴p=（2）设利润为y元，则当0＜x≤100时，y=60x﹣40x=20x；当100＜x≤600时，y=（62﹣0.02x）x﹣40x=22x﹣0.02x2．∴y=当0＜x≤100时，y=20x是单调增函数，当x=100时，y最大，此时y=20×100=2 000；当100＜x≤600时，y=22x﹣0.02x2=﹣0.02（x﹣550）2+6 050，∴当x=550时，y最大，此时y=6 050．显然6050＞2000．所以当一次订购550件时，利润最大，最大利润为6050元．【点评】本题考查分段函数，考查函数的最值，解题的关键是正确写出分段函数的解析式，属于中档题．20．已知函数f（x）对任意x∈（0，+∞），满足f（）=﹣log2x﹣3（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）判断并证明f（x）在定义域上的单调性；（Ⅲ）证明函数f（x）在区间（1，2）内有唯一零点．【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质．【专题】证明题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）可令，从而得出x=，这便可得到f（t）=2t+log2t﹣3，t换上x便可得出f（x）的解析式；（Ⅱ）容易判断f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增，根据增函数的定义，设任意的x1＞x2＞0，然后作差，根据对数函数的单调性证明f（x1）＞f（x2）便可得出f（x）在（0，+∞）上单调递增；（Ⅲ）容易求出f（1）＜0，f（2）＞0，而f（x）在（0，+∞）上又是单调函数，从而得出f（x）在区间（1，2）内有唯一零点．【解答】解：（Ⅰ）令，，则：；∴f（x）的解析式为f（x）=2x+log2x﹣3，x∈（0，+∞）；（Ⅱ）f（x）为定义域（0，+∞）上的单调增函数；证明：设x1＞x2＞0，则：f（x1）﹣f（x2）=2x1+log2x1﹣2x2﹣log2x2=2（x1﹣x2）+（log2x1﹣log2x2）；∵x1＞x2＞0；∴x1﹣x2＞0，log2x1＞log2x2，log2x1﹣log2x2＞0；∴2（x1﹣x2）+（log2x1﹣log2x2）＞0；∴f（x1）＞f（x2）；∴f（x）为定义域（0，+∞）上的单调增函数；（Ⅲ）证明：f（1）=2•1+log21﹣3=﹣1＜0，f（2）=2•2+log22﹣3=2＞0；又f（x）在（0，+∞）上为单调函数；∴函数f（x）在区间（1，2）内有唯一零点．【点评】考查换元求函数解析式的方法，对数的运算，以及对数函数的单调性，增函数的定义，根据增函数的定义证明一个函数为增函数的方法和过程，作差的方法比较f（x1），f（x2），以及函数零点的定义，函数零点个数的判断．21．已知函数f（x）=1﹣（a为常数）为R上的奇函数．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）对x∈（0，1]，不等式s•f（x）≥2x﹣1恒成立，求实数s的取值范围；（Ⅲ）令g（x）=，若关于x的方程g（2x）﹣mg（x）=0有唯一实数解，求实数m的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质；根的存在性及根的个数判断．【专题】转化思想；构造法；转化法；函数的性质及应用．【分析】（1）根据f（0）=0可求得a的值，然后验证a的取值满足函数为奇函数；（2）分离参数法，将问题转化为函数的最值问题求解；（3）可先将方程化简，然后问题转化为一元二次方程在指定区间上根的分布问题，然后再进一步求解．【解答】解：（Ⅰ）由题意知f（0）=0．即，所以a=2．此时f（x）=，而f（﹣x）=，所以f（x）为奇函数，故a=2为所求．3分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，因为x∈（0，1]，所以2x﹣1＞0，2x+1＞0，故s•f（x）≥2x﹣1恒成立等价于s≥2x+1恒成立，因为2x+1∈（2，3]，所以只需s≥3即可使原不等式恒成立．故s的取值范围是[3，+∞）．…（7分）（Ⅲ）由题意g（x）=，化简得g（x）=2x+1，方程g（2x）﹣mg（x）=0，即22x﹣m•2x+1﹣m=0有唯一实数解令t=2x，则t＞0，即等价为t2﹣mt+1﹣m=0，（t＞0）有一个正根或两个相等正根…（9分）设h（t）=t2﹣mt+1﹣m，则满足h（0）≤0或由h（0）≤0，得1﹣m≤0，即m≥1当m=1时，h（t）=t2﹣t，满足题意…（11分）由得m=2﹣2，综上，m的取值范围为m≥1或m=2﹣2…（14分）【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及不等式恒成立问题的基本思路，后者一般转化为函数的最值问题来解，综合性较强，有一定的难度．。
山东省胶州市2015-2016学年高二上学期期末考试理数试题第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的..1.已知椭圆的方程为221916x y +=，则此椭圆的长轴长为A. 3B. 4C. 6D. 8 【答案】D 【解析】试题分析：由椭圆方程可知216428a a a =∴=∴=，长轴为长8 考点：椭圆方程及性质2.若直线10ax y +-=与直线()4320x a y +--=垂直，则实数a 的值 A. -1 B. 4 C. 35 D. 3-2【答案】C 【解析】试题分析：由两直线垂直可得系数满足()34305a a a +-=∴= 考点：两直线垂直的判定3.直线1y x =+与圆22+1x y =的位置关系为A. 相切B. 相交但不过圆心C. 直线过圆心D.相离 【答案】B 【解析】试题分析：圆的圆心()0,0,1r =，圆心到直线的距离1d <，所以直线与圆相交但不过圆心考点：直线与圆的位置关系4.命题“若0xy =，则22+0x y =”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 4个 【答案】C 【解析】试题分析：原命题是假命题，所以逆否命题也是假命题；逆命题为：若220x y +=则0xy =，是真命题，所以否命题也是真命题 考点：四种命题5.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的各个面中，最大的面积是【答案】B 【解析】，棱锥的高为1，所考点：三视图及几何体体积6.双曲线()222210,0x y a b a b-=>>A. y x =B. y =C. 2y x =±D. y x =± 【答案】B 【解析】试题分析：由已知可得2222222332c c a b b be a a a a a+===∴=∴=∴=，渐进新方程为y =考点：双曲线性质7.若,m n 是两条不同的直线，αβγ，，是三个不同的平面，则下列说法正确的是A. 若,,m βαβ⊂⊥则m α⊥B. 若==,m//n,m n αγβγ，，则//αβC. 若,//m m βα⊥，则αβ⊥D. 若,αβαγ⊥⊥，则βγ⊥ 【答案】C 【解析】试题分析：A 中若m ⊂β，α⊥β，则m 与α平行、相交或m ⊂α； B 中若==,m//n,m n αγβγ，，则α∥β或α与β相交；C 中根据线面垂直的判定定理进行判断正确；D 中若α⊥γ，α⊥β，则γ与β相交或平行考点：空间线面垂直平行的判定与性质 8.圆心在曲线()20y x x=>上，与直线210x y ++=相切且面积最小的圆的方程为 A. ()()22125x y -+-= B. ()()22215x y -+-= C. ()()221225x y -+-= D. ()()222125x y -+-= 【答案】A 【解析】试题分析：由圆心在曲线()20y x x =>上，设圆心坐标为2,a a ⎛⎫⎪⎝⎭，a ＞0，又圆与直线2x+y+1=0相切，所以圆心到直线的距离d=圆的半径r ，由a ＞0得到：d =≥=22a a =即a=1时取等号，所以圆心坐标为（1，2），圆的半径的最小值为5，则所求圆的方程为：()()22125x y -+-= 考点：圆的方程9.如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，M,N 分别是线段1,AB CC 的中点，1MB P 的顶点P 在棱1CC 与棱11C D 上运动，有以下四个命题：①平面11;MB P ND ⊥ ②平面111A ;MB P ND ⊥平面③1MB P 在底面ABCD 上的射影图形的面积为定值; ④1MB P 在侧面11DD C C 上的射影图形是三角形. 其中正确的命题序号是A.①B.①③C.②③D.②④ 【答案】C 【解析】试题分析：：①平面11;MB P ND ⊥；可用极限位置判断，当P 与N 重合时，11;MB P ND ⊥垂直不成立，故线面不可能垂直，此命题是错误命题；②平面1MB P ⊥平面11ND A ；可以证明1MB ⊥平面11ND A ，由图形知1MB 与1ND 和11D A 都垂直，故可证得1MB ⊥平面11ND A ，进而可得平面111A ;MB P ND ⊥平面故是正确命题；③1MB P 在底面ABCD 上的射影图形的面积为定值，可以看到其投影三角形底边是MB ，再由点P 在底面上的投影在DC 上，故其到MB 的距离不变即可证得；④1MB P 在侧面11DD C C 上的射影图形是三角形，由于P 与1C 重合时，P 、1B 两点的投影重合，不能构成三角形，故命题错误，综上②③正确 考点：平面与平面之间的位置关系；平行投影及平行投影作图法10.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率e 的取值范围为A. 1⎤⎥⎦B. ⎤⎥⎦C.D.【答案】B 【解析】试题分析：已知椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，设左焦点为N ，连接AF ，AN ，AF ，BF ，所以四边形AFNB 为长方形．根据椭圆的定义： |AF|+|AN|=2a ∠ABF=α，则：∠ANF=α．所以：2a=2ccos α+2csin α，利用212sin cos c e a αα===+，,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以：5π12≤α+π4≤π2 则：51242πππα≤+≤，1e ≤≤-，椭圆离心率e的取值范围为⎤⎥⎦考点：椭圆的简单性质第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.已知椭圆2215x y m +=的离心率e =，则m 的值为 【答案】253或3 【解析】试题分析：当焦点在x 轴时2225105,53525m a b m c m m -==∴=-∴=∴=，同理可知当焦点在y 轴时253m =，所以m 的值为253或3考点：椭圆性质12.已知实数,x y 满足327100x y y x x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则34u x y =+的最大值是 .【答案】11 【解析】试题分析：线性约束条件对应的可行域为直线0,0,1,327x y y x x y ==-=+=围成的区域，第一象限的顶点为()2,1，当34u x y =+过点()2,1时取得最大值11 考点：线性规划问题13."a 1b 2"≠≠或是"a b 3"+≠的 条件.（从“充分”，“充分不必要”，“必要不充分”“ 既不充分也不必要”中选择一个正确的填写） 【答案】必要但非充分条件 【解析】试题分析：由题意得∵命题若a ≠1或b ≠2则a+b ≠3与命题若a+b=3则a=1且b=2互为逆否命题，∴判断命题若a ≠1或b ≠2则a+b ≠3的真假只要判断命题若a+b=3则a=1且b=2互为逆否命题的真假即可，因为命题若a+b=3则a=1且b=2显然是假命题，所以命题若a ≠1或b ≠2则a+b ≠3是假命题，∴a ≠1或b ≠2推不出a+b ≠3，所以a ≠1或b ≠2推不出a+b ≠3，同理若a=1且b=2则a+b=3是真命题，∴命题若a+b ≠3则a ≠1或b ≠2是真命题，∴a+b ≠3⇒a ≠1或b ≠2，“a ≠1或b ≠2”是“a+b ≠3”的必要不充分条件 考点：充分条件与必要条件14.一长方体的各顶点均在同一个球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1，则这个球的 表面积为 . 【答案】16π 【解析】试题分析：由已知可得长方体的体对角线为球的直径：242R R ==∴=，所以球的面积为2416S R ππ==考点：正方体与球的相关问题15.椭圆221167x y +=的左、右焦点分别为12F F ，，弦AB 过点1F ，若2ABF ∆的内切圆周长为π，A,B 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则1-y 【答案】43【解析】试题分析：由题意作图如下∵△ABF2的内切圆周长为π，∴△ABF2的内切圆的半径长12r =，又∵△ABF2的周长416l a ==，故21116422ABF S ∆=⨯⨯=，且2121212132ABF S F F y y y y ∆=⨯⨯-=-，故1243y y -= 考点：椭圆的简单性质三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本小题满分12分）设命题p:方程221122x y m m +=-+表示双曲线；命题q: 2000R,220x x mx m ∃∈++-=（Ⅰ）若命题P 为真命题，求实数m 的取值范围； （Ⅱ）若命题q 为真命题，求实数m 的取值范围； （Ⅲ）求使为""p q ∨假命题的实数m 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）2m <-或12m >.（Ⅱ）2m ≤-或1m ≥（Ⅲ）]21,2(-【解析】试题分析：（Ⅰ）命题p 为真命题时，方程221122x y m m +=-+表示双曲线，求出（1-2m ）（m+2）＜0时的解集即可；（Ⅱ）命题q 为真命题时，方程200220x mx m ++-=有解，△≥0，求出解集即可；（Ⅲ）“p ∨q ”为假命题时，p 、q 都是假命题，求出m 的取值范围即可试题解析：（Ⅰ）因为方程221122x y m m +=-+表示双曲线，所以(12)(2)0m m -+<， 即2m <-或12m >.………………………4分 （Ⅱ）命题q 为真命题，则2m ≤-或1m ≥………………………6分 （Ⅲ）要使“q p ∨”为假命题，则p 、q 都是假命题，所以⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤≤-12212m m 得：212≤<-m ………………………10分 所以m 的取值范围为]21,2(-………………………12分 考点：命题的真假判断与应用 17.（本小题满分12分）已知坐标平面上一点(),M x y 与两个定点()()1226,1,2,1M M ,且125.MM MM =（Ⅰ）求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（Ⅱ）记（Ⅰ）中轨迹为C ，过点()23M -，的直线l 被C 所截得的线段长度为8，求直线l 的方程. 【答案】（Ⅰ）22(1)(1)25x y -+-=轨迹是以(1,1)为圆心，以5为半径的圆（Ⅱ）2x =-或512460x y -+=（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，:l 2x =-，此时所截得的线段的长为8=， 所以:l 2x =-符合题意．………………………8分 当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为3(2)y k x -=+， 即230kx y k -++=圆心到l的距离d2245+=，解得512k =．………………………10分所以直线l 的方程为5230126x y -+=， 即512460x y -+=．………………………11分综上，直线l 的方程为2x =-或512460x y -+=………………………12分 考点：轨迹方程 18.（本小题满分12分）已知(),P x y 为平面上的动点且0x ≥，若P 到y 轴的距离比到点()1,0的距离小1. （Ⅰ）求点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设过点(),0M m 的直线交曲线C 与A,B 两点，问是否存在这样的实数m,使得以线段AB 为直径的圆恒过原点.【答案】（Ⅰ）)0(42≥=x x y （Ⅱ）存在0m =或4=m 【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意得：()1122=-+-x y x ，化简得：)0(42≥=x x y ．求得P 的轨迹方程；（Ⅱ）分斜率存在和斜率不存在两种情况讨论，当斜率存在时，设直线AB 方程为y=k （x-m ），A ()11,x y ，B ()22,x y ，直线和抛物线联立方程求解．当斜率不存在时，m=0或m=4．成立 试题解析：（Ⅰ）由题意得：()1122=-+-x y x ，………………………3分化简得：)0(42≥=x x y ．所以点P 的轨迹方程为)0(42≥=x x y ．………………………5分 （Ⅱ）①当斜率存在时，设直线AB 方程为)(m x k y -=，),(11y x A ，),(22y x B ， 由⎩⎨⎧=-=xy m x k y 4)(2，得0442=--km y ky ， 所以ky y 421=+，m y y 421-=⋅ 所以221m x x =⋅，………………………7分 因为以线段AB 为直径的圆恒过原点， 所以OB OA ⊥，所以02121=⋅+⋅y y x x ．………………………8分即042=-m m所以0=m 或4=m ．………………………10分 ②当斜率不存在时，直线AB 方程为：x m =则(,A m ，(,B m -， 由OB OA ⊥得：0=m 或4=m ．所以存在0m =或4=m ，使得以线段AB 为直径的圆恒过原点…………………12分 考点：直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程 19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ABCD ⊥平面，底面ABCD 为平行四边形，90,2.ADB AB AD ∠== （1）求证：平面;PAD PBD ⊥平面（2）若=12PD AD PE EB ==，，，求二面角P AD E --的余弦值.【答案】（1）详见解析（2【解析】试题分析：（Ⅰ）根据面面垂直的判定定理即可证明平面PBD ⊥平面PAD ；（Ⅱ）以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DB 所在直线为y 轴建立直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求出二面角的平面角试题解析：（Ⅰ）因为PD ⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD 所以PD BD ⊥…………………………………………………2分 因为90ADB ∠=︒所以AD BD ⊥…………………………………………………………3分 因为ADPD D =所以BD ⊥平面PAD …………………………………………………………5分因为BD ⊂平面PBD ，所以平面PAD ⊥平面PBD …………………………………………………6分（Ⅱ）解法1因为AD ⊥平面PBD所以AD DE ⊥即PDE ∠为所求的角………………………………………………………8分1PD AD ==，2AB =，DB =，2PB =………………………………10分 因为EB PE 2=，所以43PE =，23EB = 在BDE ∆中，由余弦定理得2222cos DE BE BD BE BD PBD =+-⋅⋅∠2423293DE =+-⋅，DE =…………………………11分在PDE ∆中，222cos 2PD DE PE PDE PD PE +-∠==⋅12分 解法2：以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DB 所在直线为y 轴建立直角坐标系(0,0,0)D ，(0,0,1)P ，(1,0,0)A ，B ………………………………7分设(0,,)P x y ，因为2=，1)3E ………………………………………9分 因为BD ⊥平面PAD ，所以平面PAD 的一个法向量1(0,1,0)n =…………………………10分设平面ADE 的一个法向量2(,,)n x y z =2200n DE n DA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即：1030y z x +=⎪=⎩，0x =，1y =，z =-解得2(0,1,n =-………………………………………11分设α为所求的角1313cos α……………………………………………12分 考点：二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定20.（本小题满分13分） 已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12F F ，，其离心率12e =，点P 为椭圆上的一个动点，12PF F面积的最大值为.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若A,B,C,D 是椭圆上不重合的四个点，AC 与BD 相交于点1F ，0AC BD =,求+AC BD 的取值范围.【答案】（Ⅰ）2211612x y +=（Ⅱ）96,147⎡⎫⎪⎢⎣⎭试题解析：(1）由题意得，当点P 是椭圆的上、下顶点时，12PF F ∆的面积取最大值 此时121212PF F S F F OP bc ∆=⋅⋅=所以bc =因为12e =所以b =，4a = 所以椭圆方程为2211612x y += 5分 （2）由（1）得椭圆方程为2211612x y +=，则1F 的坐标为(2,0)- 因为0AC BD ⋅=，所以AC BD ⊥①当直线AC 与BD 中有一条直线斜率不存在时，易得6814AC BD +=+= 6分②当直线AC 斜率k 存在且0k ≠，则其方程为(2)y k x =+，设11(,)A x y ，22(,)C x y则点A 、C 的坐标是方程组22(2)11612y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩的两组解所以2222(34)1616480k x k x k +++-= 所以212221221634164834k x x k k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩22224(1)134k AC x k +=+=+ 此时直线BD 的方程为1(2)y x k=-+ 同理由221(2)11612y x k x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得2224(1)43k BD k +=+ 2222222224(1)24(1)168(1)3443(34)(43)k k k AC BD k k k k ++++=+=++++ 令21(0)t k k =+≠，则1t >，2168112AC BD t t+=-+ 因为1t >，所以2114t t -≤ 所以96[,14)7AC BD +∈ 12分考点：1.椭圆方程与性质；2.直线与椭圆相交的位置关系21.（本小题满分14分）已知椭圆C 的两个焦点的坐标分别为()()10,10E F -，，，并求且经过点，M,N 为椭圆C 上关于x 轴对称的不同两点.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若EM EN ⊥，试求点M 的坐标； （Ⅲ）若()()10,0A x B 2，x ，为x 轴上的两点，且122x x =，试判断直线MA,NB 的交点P 是否在椭圆C 上，并证明你的结论.【答案】（Ⅰ）2212x y +=（Ⅱ）(0,1)、(0,1)-、41(,)33-、41(,)33--（Ⅲ）交点P 仍在椭圆C 上【解析】试题分析：（1）利用椭圆的长轴长的定义及焦点坐标，计算即得结论；（2）通过设M （m ，n ），N （m ，-n ），利用EM EN ⊥计算即得结论；（3）通过设M （m ，n ）、直线MA 与直线NB 交点为P ()00,x y ，分别将点P 代入直线MA 、NB 的方程，利用22122,22x x m n ==-计算即得结论试题解析：（Ⅰ）依定义，椭圆的长轴长2a =+1分 所以22482,a a =⇒=又2211b a =-=………………………3分 所以所求的椭圆标准方程为2212x y +=………………………４分 （Ⅱ）设(,)M m n ，(,)N m n -，则(1,)EM m n =+，(1,)EN m n =+-………………………5分因为EM EN ⊥，所以0EM EN ⋅=，即22(1)0m n +-=①………………………6分 因为点(,)M m n 在椭圆2212x y +=上， 所以2212m n +=②………………………7分 由①②解得⎩⎨⎧±==10n m ，或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=-=3134n m ………………………8分因此，符合条件的点有(0,1)、(0,1)-、41(,)33-、41(,)33--．………………………9分 （Ⅲ）设(,)M m n ，则直线MA 、NB 的方程分别为 11()()y m x n x x -=-③，22()()y m x n x x -=--④………………………10分设直线MA 与直线NB 交点为00(,)P x y ，将其坐标代人③、④并整理，得0100()y n x my nx -=-⑤ ，0200()y n x my nx +=+⑥………………………11分⑤与⑥相乘得 22222201200()y n x x m y n x -=-⑦………………………12分又122x x =，2222m n =-，代入⑦化简得 220022x y +=………………………13分因此，直线MA与直线NB的交点P仍在椭圆C上．………………………14分考点：直线与圆锥曲线的综合问题：。
