2010中考第一轮复习一元二次方程及应用课件

量时，则有a(1－m)2＝b(宜宾5年3考)
面积问题 1.如图①，设空白部分的宽为x，则S阴影＝__(_a_－__2_x_)_(_b_－__2_x_) _；
2.如图②，设阴影道路的宽为x，则S阴影＝__(_a_－__x_)_(b_－__x_)__；3.如图③，
b(a b)
围栏总长为a，BC的长为b，则S阴影＝________
x1
＝x121成立，理由如下：∵x1＋x2＝2k＋1，x1x2
＝k2＋k，∴ ＋ ＝1，即 ＝1，∴
＝1，解得k1＝
，k2
＝ 1 1；
x1 x2 2k 1
k2 k
x1 x2 x1 x2
1 5
2
1 5 2
(3)如果方程的两个实数根为x1，x2，且(x1＋1)(x2＋1)＝6，求k的值；
由(2)得，x1＋x2＝2k＋1，x1x2＝k2＋k，∴(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋x1＋x2 ＋1＝6，∴k2＋k＋2k＋1＋1＝6，即k2＋3k－4＝0，解得k1＝1，k2＝－ 4；
x32
x42
x32
x42
11.某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2017
年“竹文化”旅游收入约为2亿元．预计2019年“竹文化”旅游收入将
达到2.88亿元，据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年
平均增长率约为( C )A. 2%
B. 4.4%
C. 20%
思维导图
一元二次方程 的概念
一元二次方程 的一般形式 一元二次方程
的解法
一元二次方程 及其解法
概念 根的情况与 判别式的关系
根与系数的关系
一元二次方程根 的判别式及根与
系数的关系

知识回顾
二）、一元二次方程的解和解法 (1). 一元二次方程的解. 满足方程，有根就是两个
(2).一元二次方程的几种解法
①直接开平方法②因式分解法
③配方法
④公式法
.
4
知识回顾 (1)直接开平方法
(2)因式分解法
Ax2=B(A≠0)
因式分解 有哪些方法？
(3) 配方法 (4)公式法
当二次项系数为1的时候， 方程两边同加上一次项系 数一半的平方
• （1） 3x 2 5y 3 • 整式方程中都只
• （2） x2 4
含有一个未知数，
• （3） x2 1 x2
并且未知数的最 高次数是2，这样
x 1
的方程叫做一元
• （4） x24(x2)2 二次方程
２．若方程(k²+2k-3)x²+(k-1)x+4=0是关于x 的一元二次方程，则k.的取值范围是＿＿＿＿3
2)方程x²-3x+6=0与方程x²-6x+3=0 的所有根的积与和分别是____,____
８．等腰三角形ＡＢＣ中，BC=8,AB,AC
的长是关于x的方程x²-10x+m=0的两个根，
则m的值为＿＿＿＿＿.
9
基础闯关
9：用给定的方法解下列方程： (1) －x2＋12x =9（配方法）
2 )x ( 1 )2 3 x 1 2 0 ;（因式分解法）
b b2 4ac
当b-4ac≥0时，x=
2a
.
5
基础闯关
３．若m是方程x2+5x+3=0的根,
则3m2+15m－２的值为 ——
.
４.已知x＝－1是方程x²－ax＋6＝0的一个根，

一元二次方程根的判别式 一元二次方程 ax 2
2
b 4ac
2
bx c 0a 0根的判别式是: ax bx c 0a 0
定理与逆定理
一元二次方程
判别式的情况
根的情况
b 2 4ac 0 两个不相等实根 b 2 4ac 0 两个相等实根 b 2 4ac 0 无实根(无解)
a, b, c能构成等腰三角形。
综上所述，m 4或3。
活动五 相信我 我是最棒的
若a为方程
的解，则 x x 5 0 2 3a 3a 5 的值为（ 20 ）
2
将4个数a、b、c、d排成2行2列，两边各加一条竖线记成
a b a b , 定义 ad bc，这个式子叫做2阶行列式。 c d c d 若 x+1 x-1 1-x x+1 =6则x=
m 3
且把m 3代入方程，
且把m 4代入方程， 得x 2 4 x 4 0
16 4m 0, m 4
得x 2 4x 3 0，x1 3, x2 1。
三边分别为3、3、1
x1 x2 2
即b cb, c能构成等腰三角形。
小结：选择方法的顺序是： 直接开平方法 →分解因式法 → 配方法 → 公式法
例2、已知m为非负整数，且关于x的一元二次方程
(m 2) x (2m 3) x m 2 0
2
有两个实数根，求m的值。
解：∵方程有两个实数根 2
∴
[ ( 2 m 3 )] 4 ( m 2 )( m 2 ) 0
√ ×
1 3、x2+ ＝１ x

D 1．(2021·河南) 若方程 x2-2x+m=0没有实数根，则 m的值可以是（ ）
A．-1
B．0
C．1
D． 3
2．（2021•岳阳）已知关于x的一元二次方程x2+6x+k＝0有两个相等 的实数根，则实数k的值为 k 9．
3．（2021•台州）关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个不相等的实数根，
a 1,b 3, c 4
b2 4ac -3 2 41（- 4） 9 16 25 0
所以方程有两个不等实数根
x b 3 25 3 5
2a
2
2
x1 4, x2 1
考点二：一元二次方程的解法
1x2 3x 4
2x2 6x 7 0
32 x2 4x 5 0
解：a 1,b (k 3),c 1 k
b2 4ac (k 3)2 41 (1 k) k 2 2k 5 k 2 2k 1 4 (k 1)2 4
因为(k 1)2 4 0, 所以方程有两个不等实数根。
考点三：判别式和一元二次方程根的情况
5．（2021•烟台）已知关于x的一元二次方程x2﹣mnx+m+n＝0，其中
考点二：一元二次方程的解法
2.配方法
对应练习： 1x2 4x 1 0
22x2 8x 3 0
12x2 1 3x
22x2 8x 3 0 x2 4x 3 0
2
x2 4x 3 2
x2 4x 4 3 4 2
x22 11 2
x 2 22 2
x1 2
22 ,x 2
变式2．若方程ax2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数a的 取值范围是（a 1且a 0 ）

例：方程 是关于x的一元二次方程，则方程的根为－1.
2.一元二次方程的解法
（1）直接开平方法：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接开平方求解.
( 2 )因式分解法：可化为（ax+m）(bx+n)=0的方程，用因式分解法求解.
( 3 )公式法:一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式为x= （b2-4ac≥0）.
第6讲一元二次方程
一、知识清单梳理
知识点一：一元二次方程及其解法
关键点拨及对应举例
1.一元二次方程的相关概念
(1)定义：只含有一个ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ知数，且未知数的最高次数是2的整式方程．
(2)一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项、常数项，a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项．
3.根的判别式
(1)当Δ＝ >0时，原方程有两个不相等的实数根．
(2)当Δ＝ =0时，原方程有两个相等的实数根．
(3)当Δ＝ <0时，原方程没有实数根．
例：方程 的判别式等于8，故该方程有两个不相等的实数根；方程 的判别式等于－8，故该方程没有实数根.
*4.根与系数的关系
（1）基本关系：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根分别为x1、x2,则x1+x2=-b/a,x1x2=c/a.注意运用根与系数关系的前提条件是△≥0.
（2）应用模型：一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用.
①平均增长率（降低率）问题：公式：b＝a(1±x)n，a表示基数，x表示平均增长率（降低率），n表示变化的次数，b表示变化n次后的量；
②利润问题：利润=售价-成本；利润率=利润/成本×100%；

A.x1＝6，x2＝4 B.x1＝6，x2＝－4 C.x1＝－6，x2＝4 D.x1＝－6，x2＝－4
3.根的判别式 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判别式为Δ＝b2－4ac. (1)当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根； (2)当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根； (3)当Δ<0时，方程没有实数根.
12.某商场批发了一批衬衫，进货单价为每件50元，若按每件60元出售，则每周可销售 80件．现准备提价销售，经市场调研发现：每件每提价1元，每周销量就会减少2件， 为保护消费者利益，物价部门规定，销售时利润率不能超过50%，设该衬衫售价为每 件x(x>60)元，现在预算销售这种衬衫每周要获得1 200元利润，求每件衬衫的售价． 解：根据题意，得 (x－50)[80－2(x－60)]＝1 200， 整理，得x2－150x＋5 600＝0， 当解得x＝x17＝0 7时0，，x利2＝润8率0.为70－5050×100%＝40%<50%，符合题意； 当 x＝80 时，利润率为80－5050×100%＝60%>50%，不合题意，舍去． 答：要获得1 200元利润，每件衬衫的售价应定为70元．
x 人两两握手(单循环)：x(x－ 2 1)；
(3)营销问题：总利润＝1件利润×销售量.
5.(1)(2022河池)某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口 罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增 长率为x.则所列方程为( A ) A.30(1＋x)2＝50 B.30(1－x)2＝50 C.30(1＋x2)＝50 D.30(1－x2)＝50 (2)2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛， 单循环比赛共进行了45场，则参赛的队伍有____1_0___支.

A
5.（2022·安顺）定义新运算a*b：对于任意实数a，b满足a*b＝（a＋b）（a－b）－1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，3*2＝（3＋2）×（3－2）－1＝5－1＝4.若x*k＝2x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况是（ B ）
A.有一个实数根
B.有两个不相等的实数根
a（1－x%）2
类型
等量关系
面积问题
（1）－2x）（b－2x）；（2）如图2，设阴影部分的宽为x，则S空白＝⑩ （a－x）（b－x） ；（3）如图3，设阴影部分的宽为x，则S空白＝⑪ （a－x）（b－x） ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠图1 图2 图3
（a－2x）（b－2x）
（a－x）（b－x）
（a－x）（b－x）
类型
等量关系
每每问题
（1）常用公式：利润＝售价－成本；总利润＝每件利润×销售量；（2）每每问题中，单价每涨a元，少卖b件，若涨价y元，则少卖的数 量为（×b）件
循环赛问题
（1）单循环淘汰赛问题：设x队进行m场比赛，则＝m；（2）互赠照片问题：全班x人，每人向其他人赠送一张，共赠送m张， 则x（x－1）＝m
1.（2023·贵阳白云区期末）用配方法解一元二次方程x2－6x＋8＝0，配方后得到的方程是（ D ）
A.（x＋6）2＝28
B.（x－6）2＝28
C.（x＋3）2＝1
D.（x－3）2＝1
2.（2023·毕节期末）一元二次方程x2＋3x－2＝0的根的情况为（ A ）
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元.为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？

对应练习
练习一 ［2023·聊城］若一元二次方程 mx2+2x+1=0 有实数解，则 m 的取
值范围是 （ D ） A． m≥-1
B． m≤1
C． m≥-1 且 m≠0 D． m≤1 且 m≠0
练习二 ［2022·衡水模拟］若关于 x 的一元二次方程-2x2-3x+n=0 有两个
不相等的实数根，则n 的最小整数解是 （ B ）
类题集训 1.1 小刚在解关于 x 的方程 ax2+bx+c=0（a≠0）时，只抄对了 a=1，发现 ax2+bx+c 可以分解为（x-2）（x+3），他核对时发现所抄的 b比原方程的 b 值 大 2，c 比原方程的 c 值小2．则原方程的根的情况是 （ B ） A． 不存在实数根 B． 有两个不相等的实数根 C． 有一个根是 x=-3 D． 有两个相等的实数根
将方程化为一般形式，确定 a，
b，c 的值，然后代入求根公 形如 ax2+bx+c=0（a ≠0）且 b2-
公式法
式 x =___________（b2-
4ac≥0 的方程 ，如：2x2-3x-1=0.
4ac≥0）计算.
续表
配方法
把一元二次方程的二次项系数 ①二次项系数化为 1 后，一次项系
化为1；把常数项移到等号右边； 数是偶数的一元二次方程.如：
两边同时加上一次项系数一半 3x2+6x-9=0；
的平方；配方成（x+m）2=n 的 ②各项系数较小且便于配方的方程.
形式，直接开平方求解.
续表
将方程右边化为 0；将方程左 ①缺少常数项，即方程 ax2+bx=0
因式分 解法

三、综合应用
2
（2）如果P、Q分别从A、B出发，并且P到B后又继续在BC边上前
一元二次方程在 质点运动中的应 用
进，Q到C后又继续在CA边上前进，经过几秒钟后使△PCQ的面积等 于12.6cm ？ C
解 点Q移动到CA上，并且使CQ=(2x- 8)厘米， : 过Q作QD⊥CB，垂足为 D，由△CQD∽△CAB， ( 注意 2) DQ AB 3 ( 2 x 8 ) 得 . 即 QD = . 验算 经 2 x 8 AC 5 x 1 3(2 x 8) (14 x) 12.6. 注意隐 得 秒 A 2， 5 含条件 即 x 2点 18x 77 0. 解之得: x1 7, x2 11. PBC上距离C点7cm处，点Q在CA上距离C点6cm处， 经7秒，点P在 移 的面积等于12.6cm 2 . 使△PCQ 动 经11秒，点P在 BC上距离C点3cm处，点Q在CA上距离C点14厘米处， 14>10 ，点Q超出CA的范围，此解不存在． 到
Q
D
P B
板块三：练习
1．从一块长为80cm，宽为60cm的矩形中间 截去一个小矩形，使剩下部分的四周宽度一样， 并且小矩形的面积是原来的一半，求剩余部分的 四周宽度.
2．某批发商经销一种高档水 果，如果每千克盈利10元，每天可以售出500 千克，若每千克涨1元，日销售将减少20千克， 现经销商要保证每天盈利6000元，同时顾客 得到实惠，那么每千克应涨价几元？
D）
方程有根？无 根？只要验证 判别式！
一、概念的辨析
４．关于 x 的一元二次方程 x 2 3x k 0 有实 数根，则 k 的取值范围 （C） Ｂ． Ｄ．
9 Ｃ． k 4
9 Ａ. k 4

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2
夯实基本
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知已知彼
知识结构梳理
1 2
3
3
夯实基本
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知已知彼
基础知识回顾 1. 一元二次方程 (1)定义：在整式方程中，只含__________个未知数，并且未知数的最高 次数是__________的方程叫做一元二次方程． (2)一元二次方程的一般形式是__________．其中__________叫做二次项， __________叫做一次项，__________叫做常数项；______________叫做二次 项的系数，________叫做一次项的系数． 温馨提示 判断方程是否为一元二次方程，应先整理，化成一般形式后再进行判断， 注意一元二次方程一般形式中a≠0.
1 2 3
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夯实基本
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3. 用一元二次方程解决问题 (1)列方程解决问题的一般步骤： ①“审”题；②“设”未知数，建立相等的数量关系；③“列”出含有未知 数的方程；④“ 解 ” 方程；⑤“ 检 ” 验，要检验方程的根是否符合题意；⑥ “答”． (2)常见题型： ①平均增长(降低)率问题；②营销问题；③面积问题；④数字问题；⑤几何 问题；⑥开放题型的讨论．
1 2
6ห้องสมุดไป่ตู้
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课前预测 你很棒
1. (2012²山东临沂)用配方法解一元二次方程x2－4x＝5时，此方程可变形 为( D ) A. (x＋2)2＝1 B. (x－2)2＝1 C. (x＋2)2＝9 D. (x－2)2＝9 2. (2012²江苏淮安)方程x2－3x＝0的解为( D ) A. x＝0 B. x＝3 C. x1＝0，x2＝－3 D. x1＝0，x2＝3 3 ，一次项系数是_______ 3. 方程3x(x＋1)＝0的二次项系数是______ 3 ，常数 0 ． 项是________ 4. (2013²安徽)目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系．某 校去年上半年发给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元，设每半 年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是( B ) A. 438³(1＋x)2＝389 B. 389³(1＋x)2＝438 C. 389³(1＋2x)＝438 D. 438³(1＋2x)＝389 5. (2013²浙江丽水)一元二次方程(x＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程， 其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是( D ) A. x－6＝－4 B. x－6＝4 C. x＋6＝4 D. x＋6＝－4 6. (2014²陕西省)若x＝－2是关于x的一元二次方程x2－ax＋a2＝0的一个 根，则a的值为( B ) A. 1或4 B. －1或－4 C. －1或4 D. 1或－4 7