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数学解题步骤数学是一门精确而又深奥的学科，解决数学问题需要经过一系列的步骤和思考。
本文将介绍数学解题的基本步骤，并以实例来说明。
1. 理解问题在开始解题之前，首先要仔细阅读题目，确保对问题的要求和条件有清晰的理解。
需要注意的是，有些问题可能会采用复杂的表达方式，需要仔细研究和理解。
确定问题所涉及的数学概念和知识点，这样才能为解题提供正确的方向。
2. 制定解决方案在理解问题的基础上，制定一个解决方案是解题的关键。
根据不同类型的问题，应该采取相应的解决方法和策略。
常见的数学解题方法包括列方程、使用图形、分析问题的特点等。
选择适当的方法可以更有效地解决问题。
3. 进行计算和推导在制定了解决方案之后，进行具体的计算和推导是解题的核心步骤。
根据题目提供的条件和已知信息，进行必要的数学运算，推导出所需的答案。
这个过程可能涉及到各类数学运算和推理方法，需要仔细思考和计算，确保整个过程的正确性。
4. 检查答案解决完毕之后，需要对得到的答案进行检查，确保解答的准确性。
这个步骤非常重要，因为数学是一门严谨的学科，任何错误的计算或推导都会导致答案的错误。
可以通过反向计算、使用其他方法等方式进行检验，确保答案的正确性。
下面是一个实例，通过这个实例来说明上述的数学解题步骤。
例题：某人有一些苹果和梨，他一共有18个水果，其中苹果的数量是梨的2倍。
问他有多少个苹果和梨各是多少个？解决步骤：1.理解问题：有苹果和梨两种水果，总数为18个，苹果的数量是梨的2倍。
2.制定解决方案：假设梨的数量为x个，苹果的数量为2x个。
3.进行计算和推导：根据题目条件，可以列出方程：2x + x = 18。
解这个方程可得x = 6，进而可知苹果的数量为12个，梨的数量为6个。
4.检查答案：通过验证，12 + 6 = 18，苹果的数量是梨的2倍，符合题目要求。
通过上述的步骤，我们成功解答了问题，并得到了正确的答案。
总结起来，解决数学问题的步骤包括理解问题、制定解决方案、进行计算和推导以及检查答案。
初中数学解题步骤与策略总结数学作为一门基础学科，对于初中生来说具有重要的意义。
掌握好数学解题的步骤与策略，不仅能提高解题的准确性和效率，还能培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
本文将总结初中数学解题的步骤与策略，希望对广大初中生有所帮助。
第一步：理解题意在解题之前，首先要仔细阅读题目，理解题意。
有些题目问题比较长，所以不能急于求解，而是要逐段来分析，抓住关键信息。
对于一些半文言半白话的题目，可以将其翻译成具体的数学语言，更好地理解题目的要求。
第二步：提炼条件理解题意之后，要将题目中的条件提炼出来。
将题目的条件用符号表示出来，有助于整理思路和解题。
第三步：列方程或模型在理清题目条件之后，根据题意选择合适的数学方法，列方程或建立模型。
对于一些关于面积、体积、速度、比例等的问题，可以运用几何图形和物理模型进行解答。
对于其他问题，可以采用等式、不等式、方程、函数、图表等方式来分析问题。
第四步：解方程或求解模型在列方程或建立模型之后，要运用数学方法来解方程或求解模型，得到数学表达式的解。
根据不同的问题类型，可以采用代入法、消元法、配方法、图解法等不同的方法来解题。
第五步：检查与验证在解题过程中，要及时检查和验证得到的解是否符合题目的要求。
可以将得到的解代入原方程或模型，进行验证。
如果验证的结果不符合题目的要求，要再次仔细检查解题步骤，确保没有出错。
除了上述解题步骤之外，初中数学解题还需要一些常用的策略和技巧：1. 分析题目类型针对不同类型的题目，采用相应的解题方法。
例如，对于数列问题，可以采用递推法或通项公式法解题；对于几何问题，可以根据性质和定理进行推导；对于函数问题，可以通过观察函数的性质来解决等等。
分析题目类型有助于学生快速选择解题的方法，减少时间消耗。
2. 规范化解题过程解题过程中，要尽量规范化自己的思维和表达方式。
例如，建立方程时要使用统一的变量、定义符号；解题时要注明所用的解题方法和原因；以及逐步展示解题过程等。
小学数学解题实例在小学数学教学中，解题是培养学生逻辑思维和问题解决能力的重要环节。
下面我将通过一些实例来演示小学数学解题的过程。
实例一：加法与减法问题：小明有5个苹果，他吃掉了2个苹果后又买了3个苹果，现在他还剩下多少个苹果？解题步骤：1. 找出问题中的关键信息：小明一开始有5个苹果，吃掉了2个苹果，然后又买了3个苹果。
2. 使用加法和减法操作来解决问题：5 - 2 + 3 = 63. 答案：小明现在还剩下6个苹果。
实例二：乘法问题：小红参加了一个有5个人的组队活动，每个组有3个人，问一共有多少个组？解题步骤：1. 找出问题中的关键信息：小红参加了一个有5个人的组队活动，每个组有3个人。
2. 使用乘法操作来解决问题：5 ÷ 3 = 1余23. 答案：一共有1个由3个人组成的组，剩下的2个人无法组成完整的组。
实例三：除法问题：小华有12颗铅笔，他要将这些铅笔平均分给4个同学，每个同学能分到几颗铅笔？解题步骤：1. 找出问题中的关键信息：小华有12颗铅笔，要平均分给4个同学。
2. 使用除法操作来解决问题：12 ÷ 4 = 33. 答案：每个同学能分到3颗铅笔。
实例四：比较大小问题：比较下列各数的大小：48、25、33、69、12解题步骤：1. 找出问题中的关键信息：给出了5个数。
2. 使用比较操作来解决问题：从左到右依次比较大小。
- 比较48和25：48 > 25- 比较48和33：48 > 33- 比较48和69：48 < 69- 比较69和12：69 > 123. 答案：按从大到小的顺序排列，69、48、33、25、12。
实例五：图形面积问题：一个正方形的边长为6cm，计算其面积。
解题步骤：1. 找出问题中的关键信息：正方形的边长为6cm。
2. 使用面积计算公式解决问题：面积 = 边长 ×边长- 面积 = 6 × 6 = 363. 答案：正方形的面积为36平方厘米。
掌握数学中的解题步骤与思维方式数学是一门需要逻辑思维和解题技巧的学科，掌握解题步骤和思维方式对于学生来说非常重要。
在学习数学的过程中，我们常常会遇到各种各样的问题，有时候感到困惑和无从下手。
因此，学会正确的解题步骤和思维方式，可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。
首先，正确的解题步骤是解决数学问题的基础。
解题步骤可以分为以下几个方面：第一步，理解问题。
在解题之前，我们首先要仔细阅读题目，理解问题的要求和条件。
有时候，问题的表述可能比较复杂，我们需要将其简化为易于理解的形式。
理解问题的关键是确定问题的核心内容，明确解题的方向。
第二步，分析问题。
在理解问题之后，我们需要对问题进行分析。
这包括确定问题的类型和解题方法。
有些问题可以通过建立方程或者画图来解决，有些问题可以通过逻辑推理或者归纳法来解决。
分析问题的关键是找到问题的关键点和解题的关键步骤。
第三步，解决问题。
在分析问题之后，我们可以开始解决问题。
解决问题的关键是运用所学的数学知识和解题技巧。
在解题的过程中，我们需要灵活运用各种数学方法和工具，比如代数、几何、概率等。
解决问题的关键是找到问题的解决方案和验证方法。
第四步，检查答案。
在解题之后，我们需要对答案进行检查。
检查答案的关键是核对计算过程和结果，确保答案的准确性。
有时候，我们可以通过反证法或者逆向推理来验证答案的正确性。
检查答案的目的是避免漏算和计算错误。
以上是解题的基本步骤，但是在实际解题中，我们还需要注意一些细节和技巧。
比如，我们可以通过分解问题、类比问题、逆向思维等方法来解决一些复杂的问题。
此外，我们还可以通过举反例、构造模型、利用已知条件等方法来解决一些不确定的问题。
这些方法和技巧可以帮助我们更好地理解和解决数学问题。
除了解题步骤，正确的思维方式也是解决数学问题的关键。
数学思维方式包括逻辑思维、创造思维和批判思维等方面。
首先，逻辑思维是数学思维的基础。
逻辑思维是指根据已知条件和逻辑关系来推理和判断的能力。
几种实例探究证明题解题思路方法几种实例探究证明题解题思路方法习题思路分析三种方法：习题思路分析三种方法：逆向分析法、正向推导法和综逆向分析法、正向推导法和综合 法 1、等量代换转化规则。
、等量代换转化规则。
2、只具部分全等条件需引辅助线构造全等三角形规则；、只具部分全等条件需引辅助线构造全等三角形规则；3、取近求远规则；、取近求远规则；4、截长法和补短法；、截长法和补短法；5、只具部分全等条件需引辅助线构造全等三角形规则；、只具部分全等条件需引辅助线构造全等三角形规则；6、取近求远规则；、取近求远规则；7、截长法和补短法；、截长法和补短法； 1、逆向分析法:从命题的结论出发,找出结论成立所需要的条件,如果所找到的条件不是题中所给的已知条件,再把所找到的条件作为结论,再找新结论成立所需要的条件,这样继续下去,一直推到题中所给的已知条件为止.逆向分析法就是从求证推到已知的逻辑思维方法.证(解）题时的顺序与逆向分析的推理顺序相反。
解）题时的顺序与逆向分析的推理顺序相反。
2.正向推导法:从命题的已知条件出发,根据已学过的定义、公理、定理等进行逻辑推理与判断得出新结论,如果新结论不是题中要证的结论,再用已知条件与新结论进行逻辑推理与判断,再得新结论,这样继续下去,一直到得出的新结论就是所要证的结论为止。
正向推导法就是从已知条件推到求证的逻辑思维方法。
证(解）题的顺序与正向推导的推理顺序相同的.3.综合法:就是逆向分析与正向推导同时并用的思维方法,也可以说是“两头凑”的思维方法.说明:在使用逆向分析法图解时要加“?”,因为结论的成立尚需证明,因此它的成立还是个问号.当最后推到已知条件或公理,定理等时,因为它是成立的,所以“?”才可以终止.而使用正向推导法图解时,就不加“?”了,因为它是从已知条件出发,推出的结论都是成立的.典例剖析典例剖析例1：如图,P 为△ ABC 内任一点,求证:PA+PB+PC>1:PA+PB+PC>1/2(AB+BC+AC)./2(AB+BC+AC).思路探索:在证明线段和（或差)的不等式时,总是把各有关线段“等代转化”在一个或几个三角形中,然后用三角形三边关系定理来解决.现将用逆向分析一正向推导法结合的综合法探索证题思路的过程用图解表示如下:等量代换转化规则等量代换转化规则在探索证(解)题途径的过程中,当停滞不前时,一旦能找到等量可代,总是使审题发生转折性的变化,而大大前进一步,称为“等量代换转化”,简称“等代转化”“等代规则”是具有普遍性的规则,它是探索较复杂命题的证(解)题途径的一个非赏重要的不可缺少的有力工具和手段希望同学们要特别注意掌握和自觉应用。
初中数学解题思路与步骤详解数学作为一门重要的基础学科，对于初中学生来说，解题是学习数学的关键环节之一。
然而，对于许多初中生来说，解题过程常常充满困惑和挑战。
本文将详细介绍初中数学解题的思路与步骤，希望能够帮助学生们更好地应对数学解题。
首先，解题前的思考非常关键。
在解题之前，学生们应该仔细阅读题目，理解题目的要求和条件。
对于复杂的问题，可以将其分解为简单的子问题来解决。
此外，学生们还应该了解所学的数学概念和公式，并且能够将其应用到实际解题过程中。
其次，解题的过程需要按照一定的步骤进行。
首先，将问题进行分类，确定问题所属的数学概念或知识点。
然后，分析问题的条件和要求，找出其中的关键信息。
接下来，根据问题的要求，选择合适的解题方法。
对于不同类型的问题，可以采用不同的解题方法，如综合运用已学的公式、结合图形、找规律等等。
在选择解题方法之后，要根据问题的具体情况设立数学模型，将问题转化为数学表达式或方程。
然后，根据数学模型进行计算，解得方程或求出所需的数值。
最后，检验结果是否符合问题的要求，确保解题的正确性。
此外，对于一些常见的数学解题类型，可以采取一些特定的解题思路和技巧。
例如，在代数方程的解题过程中，可以运用因式分解、配方法等进行求解。
在几何问题的解题过程中，要善于利用图形上的性质和定理。
在统计和概率问题的解题过程中，可以通过列出样本空间、计算概率等方式进行分析。
熟练掌握这些解题思路和技巧，可以帮助学生们更快、更准确地解决数学问题。
此外，解题过程中的笔记和记录也是非常重要的。
学生们应该养成做题时记录和演算的习惯，这样有助于思路的清晰和解题的准确性。
在记录过程中，可以使用符号、方程式、图表等方式将思路和运算过程清晰地展示出来，以便检查和排错。
最后，解题的过程需要进行思维的训练和思考的跳跃。
在解题过程中，学生们应该培养灵活的思维方式，善于从不同角度去思考问题，并且能够将已学知识与解题过程相结合。
在解决难题时，学生们可能需要进行一些思考的跳跃，通过多方面的思路来解决复杂的问题。
数学解题思维方法在小学数学解题方法中，运用概念、判断、推理来反映现实的思维过程，叫抽象思维，也叫逻辑思维。
抽象思维又分为：形式思维和辩证思维。
客观现实有其相对稳定的一面，我们就可以采用形式思维的方式；客观存在也有其不断发展变化的一面，我们可以采用辩证思维的方式。
形式思维是辩证思维的基础。
形式思维能力：分析、综合、比较、抽象、概括、判断、推理。
小学数学要培养学生初步的抽象思维能力，重点突出在：(2)思维方法上，应该学会有条有理，有根有据地思考。
(3)思维要求上，思路清晰，因果分明，言必有据，推理严密。
(4)思维训练上，应该要求：正确地运用概念，恰当地下判断，合乎逻辑地推理。
1、对照法如何正确地理解和运用数学概念？小学数学常用的方法就是对照法。
根据数学题意，对照概念、性质、定律、法则、公式、名词、术语的含义和实质，依靠对数学知识的理解、记忆、辨识、再现、迁移来解题的方法叫做对照法。
这个方法的思维意义就在于，训练学生对数学知识的正确理解、牢固记忆、准确辨识。
例1：三个连续自然数的和是18，则这三个自然数从小到大分别是多少？对照自然数的概念和连续自然数的性质可以知道：三个连续自然数和的平均数就是这三个连续自然数的中间那个数。
例2：判断题：能被2除尽的数一定是偶数。
这里要对照“除尽”和“偶数”这两个数学概念。
只有这两个概念全理解了，才能做出正确判断。
2、公式法运用定律、公式、规则、法则来解决问题的方法。
它体现的是由一般到特殊的演绎思维。
公式法简便、有效，也是小学生学习数学必须学会和掌握的一种方法。
但一定要让学生对公式、定律、规则、法则有一个正确而深刻的理解，并能准确运用。
例3：计算59某37+12某59+5959某37+12某59+59＝59某(37+12+1)…………运用乘法分配律＝59某50…………运用加法计算法则＝(60-1)某50…………运用数的组成规则＝60某50－1某50…………运用乘法分配律＝3000-50…………运用乘法计算法则＝2950…………运用减法计算法则3、比较法通过对比数学条件及问题的异同点，研究产生异同点的原因，从而发现解决问题的方法，叫比较法。
数学题目的解题过程与思路数学作为一门学科，无论在学校还是在生活中，都扮演着重要的角色。
解题是数学学习的核心，也是培养逻辑思维和问题解决能力的重要途径。
本文将探讨数学题目的解题过程与思路，帮助读者更好地理解和应用数学知识。
一、审题与理解解题的第一步是仔细审题与理解题意。
这一步至关重要，因为只有理解了题目，才能确定解题的方向和方法。
在审题时，我们应该注意题目中的关键词和条件，并将其转化为数学符号或方程式。
同时，我们还需要思考题目的背景和意义，以便更好地理解问题的本质。
例如，假设我们遇到了一道求解方程的题目：“已知一条直线过点(2,3)，斜率为2，求该直线的方程。
”在审题时，我们需要注意到题目中的关键词“直线”、“斜率”和“方程”。
通过理解题目，我们可以将问题转化为求解一条直线的方程，而已知条件是直线过点(2,3)和斜率为2。
这样，我们就可以进入下一步解题过程。
二、确定解题方法在理解题意后，我们需要确定解题的方法。
数学问题的解法多种多样，我们需要根据题目的特点和已有的数学知识来选择合适的方法。
常见的解题方法包括代数法、几何法、数列法等等。
以求解方程的例子为基础，我们可以选择代数法来解决这个问题。
根据已知条件，我们知道直线的斜率为2，可以使用直线的斜率截距式来确定方程。
根据公式y = kx + b，我们可以将已知条件代入方程中，得到3 = 2(2) + b，进而求解出b的值为-1。
最终，我们可以得到直线的方程为y = 2x - 1。
三、列方程与求解在确定解题方法后，我们需要列方程并进行求解。
列方程是将问题转化为数学符号或方程式的过程，通过求解方程，我们可以得到问题的答案。
以求解方程的例子为基础，我们需要列方程并求解方程y = 2x - 1。
在这个例子中，我们已经得到了直线的方程，所以只需要将x的值代入方程中，就可以求得对应的y的值。
例如，当x = 4时，我们可以将其代入方程中：y = 2(4) - 1，计算得到y = 7。
初中数学学习中的解题思路分析第一篇范文在初中数学学习中，解题思路分析是培养学生逻辑思维、提高解决问题能力的重要环节。
本文从以下几个方面对初中数学学习中的解题思路进行分析：理解题意、寻找解题规律、运用数学知识、转化问题、检验答案。
一、理解题意理解题意是解题的第一步，也是关键一步。
在解题过程中，要仔细阅读题目，弄清楚题目的已知条件、所求目标以及题目中的关键词。
对于一些复杂题目，还需要对题目进行逐步分解，明确各个部分之间的关系。
二、寻找解题规律寻找解题规律是解题过程中的核心环节。
通过观察题目，找出已知条件与所求目标之间的关系，运用已掌握的数学知识，寻找解决问题的方法。
在寻找解题规律时，要注意以下几点：1.熟悉各类数学运算规则，如加减乘除、平方、立方等。
2.掌握基本数学公式，如勾股定理、平方根、绝对值等。
3.了解数学中的性质和定理，如奇偶性、质数与合数、同底数幂的乘法等。
4.学会运用图形辅助解题，如画图、标注关键点等。
三、运用数学知识在找到解题规律后，就要运用所学的数学知识来解决问题。
这一环节需要学生熟练掌握各类数学运算，能够灵活运用基本公式和定理。
同时，还要注意将实际问题转化为数学问题，运用数学语言和符号进行表达。
四、转化问题转化问题是解题过程中的一种重要策略。
在面对复杂问题时，要学会将问题简化，将复杂问题转化为简单问题。
转化问题的方法有：1.分解问题：将复杂问题分解为若干个简单问题，逐一解决。
2.替换变量：将复杂问题中的变量替换为易于处理的变量，从而简化问题。
3.改变问题形式：将问题转化为另一种形式，如几何问题转化为代数问题等。
五、检验答案在求得答案后，要进行检验。
检验的方法有：1.代入法：将求得的答案代入原题，看是否满足题意。
2.逻辑推理：运用逻辑推理，检查答案的合理性。
3.互换法：将答案中的变量进行互换，检查是否仍然成立。
通过以上五个环节，学生可以更好地理解初中数学学习中的解题思路，提高解题能力。
小学数学常用的11种解题思路+详细分析+例子说明一、直接思路"直接思路〞是解题中的常规思路。
它一般是通过分析、综合、归纳等方法，直接找到解题的途径。
【顺向综合思路】从条件出发，根据数量关系先选择两个数量，提出可以解决的问题；然后把所求出的数量作为新的条件，与其他的条件搭配，再提出可以解决的问题；这样逐步推导，直到求出所要求的解为止。
这就是顺向综合思路，运用这种思路解题的方法叫"综合法〞。
例1 兄弟俩骑车出外郊游，弟弟先出发，速度为每分钟200米，弟弟出发5分钟后，哥哥带一条狗出发，以每分钟250米的速度追赶弟弟，而狗以每分钟300米的速度向弟弟追去，追上弟弟后，立即返回，见到哥哥后又立即向弟弟追去，直到哥哥追上弟弟，这时狗跑了多少千米？分析〔按顺向综合思路探索〕：〔1〕根据弟弟速度为每分钟200米，出发5分钟的条件，可以求什么？可以求出弟弟走了多少米，也就是哥哥追赶弟弟的距离。
〔2〕根据弟弟速度为每分钟200米，哥哥速度为每分钟250米，可以求什么？可以求出哥哥每分钟能追上弟弟多少米。
〔3〕通过计算后可以知道哥哥追赶弟弟的距离为1000米，每分钟可追上的距离为50米，根据这两个条件，可以求什么？可以求出哥哥赶上弟弟所需的时间。
〔4〕狗在哥哥与弟弟之间来回不断奔跑，看起来很复杂，仔细想一想，狗跑的时间与谁用的时间是一样的？狗跑的时间与哥哥追上弟弟所用的时间是一样的。
〔5〕狗以每分钟300米的速度，在哥哥与弟弟之间来回奔跑，直到哥哥追上弟弟为止，和哥哥追上弟弟所需的时间，可以求什么？可以求出这时狗总共跑了多少距离？这个分析思路可以用下列图〔图2.1〕表示。
例2 下面图形〔图2.2〕中有多少条线段？分析〔仍可用综合思路考虑〕：我们知道，直线上两点间的一段叫做线段，如果我们把上面任意相邻两点间的线段叫做根本线段，则就可以这样来计数。
〔1〕左端点是A的线段有哪些？有AB AC AD AE AF AG共6条。
例说数学解题的思维过程
陕西师范大学数学系罗增儒
在数学教学中暴露思维过程早就引起了人们的关注。
暴露概念的形成过程，暴露命题的
发现过程，暴露证明的探究过程等，包括暴露这些过程中犯错误的真实活动，但是，这种暴露大多停留在可见事实的陈述上，而内在思维性质的细致揭示不多，也常常进行到思路初步打通、结论初步得出时就停了下来。
本文想从解题分析的角度提供一个简单例子，展示内在的思维过程，并在证明得出之后仍继续进行下去。
先给出题目：
两直线被第三条直线所截，外错角相等，则两直线平行。
1.浮现数学表象
通过认真阅读，我们接收到题目所提供的信息，首先在脑子里出现了一个图形(几何型
表象)，与这个图形相伴随的是一个问题(代数型表象)：由数量关系去确定位置关系。
在问题的牵引下，思维的齿轮开始启动，有3 个展开的起点。
(1)由图形表象，我们回想起“三线八角”基本图形，回想起与此图形有关的命题，如
两直线被第三条直线所截，有：
1）同位角相等⇔两直线平行；
2）内错角相等⇔两直线平行。
……
这些命题的附图，在我们脑海里逐幅浮现出来。
(2)由条件∠1= ∠2(数量关系)所唤起的问题有：
1）由角的相等关系能得出什么?
2）图1 中有与∠1 相等的角吗?
3) 图1 中有与∠2 相等的角吗?
……
一开始，“由条件能推出什么”是一道开放性问题，我们不知道该往哪些地方推进，但
随着对结论思考的深化，会慢慢明朗起来。
(3) 由结论AB∥CD(位置关系)所唤起的问题有：得出直线平行需要什么条件?题目提供
了这样的条件没有？如果不是直接提供，那么间接提供没有？
……
由此激活了记忆储存中的相关知识，并又激活更多的记忆储存(扩散)：
1) 同位角(内错角)相等，则两直线平行；进而问
2) 什么是同位角(内错角)？图1 中有同位角(内错角)吗?有相等的同位角(内错角)吗?
3) 己知条件的相等角能导出“同位角(内错角)相等”吗？
……
这是表象的一个有序深化的过程。
2.产生数学直感
上述三方面的思考，促使我们更专注于图形，图中有3 条直线，8 个角，8 条射线，1 条
线段，其中哪些信息对于我们解题是有用的，哪些是多余的呢？(这相当于一道条件过剩、
结论发散的开放题)当然，一开始我们并不清楚，但是目标意识驱使我们去考虑角的关系,
因为课本中两条直线平行的判定均与角有关，而已知条件又给出了等角。
所以，我们的思考
逐渐集中到：从图形中找同位角(或内错角)，找相等的角，找相等的同位角(或内错角)。
这时，伴随着问题的需要，图1 被分解出一系列的部分图形(图2 中实线图)，并凸现在
我们的眼前：
图2
(1 )有与∠1 成同位角的角吗？图2-(1)出现，∠1 与∠3 会相等吗？
(2) 有与∠2 成同位角的角吗？图2-(2)出现，∠2 与∠4 会相等吗？
(3) 与∠1(或∠2)成内错角关系的角，图1 找不到。
(4) 与∠1 相等的角除∠2 外，还有它的对顶角∠4(图2-(3))；与∠2 相等的角除∠1
外，还有它的对顶角∠3(图2-(4))。
……
于是，对图1 的感知，出现了图3 的右方图形。
我们认为，从图1 的8 个角中找出∠2 的对顶角∠3(或∠1 的对顶角∠4)，是解题的重
大进展，它能为图形各部分数学关系的沟通起桥梁作用。
3.展开数学想象
对具体形象的感知和判别，使我们看到∠3 与∠2 成对顶角(图2-(4))是相等的，而∠3
又与∠1 成同位角(图2-(1))，这促使我们思考∠1 与∠3 会不会相等，也促使我们将已有的表象，∠1= ∠2 与∠2= ∠3(或∠1= ∠4)，产生新的联结(有逻辑思维的推动)，得
∠1= ∠3(或∠2= ∠4 或∠3= ∠4)，从而产生新的表象AB∥CD。
于是，在数量关系∠1= ∠2 与位置关系AB∥CD 之间，在空旷而缺少联系的画面上(见图
1)，添上了两个数量关系∠2= ∠3，∠1= ∠3：
再将它们组成和谐的逻辑结构，便得出证明。
4.给出逻辑证明
证明略
这些证明是抽象思维的过程，表达得干净简洁而严密。
而获得这些结果的过程却是历经
“表象——直感——想象”的形象思维过程，在得出AB∥CD 之前，四个角∠1、∠2、∠3、
∠4 之间的关系是一个条件与结论都发散的开放题。
为了与简捷的逻辑证明相对照，我们将思考过程(证明1)图示如下：
5.反思解题过程
上述解题的过程，把“题”作为考察的对象，把“解”作为研究的目标。
我们推崇“解
题分析”，是希望解题研究不要停留在这一阶段上，继续把上述解题活动(包括问题和解)
作为研究对象，探究解题规律，学会怎样解题(基本任务)。
具体解题研究的方法是分析解题
过程。
事实上，给出的证明也是一个思维过程，也需要我们去暴露，并且这种暴露比前一阶段
的暴露有更高的层次，需要更强的自觉性。
是培养思维深刻性与批判性的极好途径。
我们一
再说过，解题教学缺少这一阶段是进宝山而空还。
而把这一阶段停留在检验、回顾、寻找一
题多解、做出若干推广的常识层面上，则是一种损失与浪费。
让我们对证明1 的书写做出具
体结构的分析。
(1) 首先，我们将证明1 分解为三个步骤。
第1 步：从图形中看出∠3 与∠2 成对顶角，并得出∠3= ∠2。
这是由位置关系推出数量
关系的过程。
第2 步：把另一已知条件用上，将两个等式∠1= ∠2、∠2= ∠3 结合起来，得出∠1= ∠3。
这是由数量关系推出新数量关系的过程。
第3 步：从图形中看出∠1 与∠3 为同位角，其相等可得出AB∥CD。
这是由数量关系推
出位置关系的过程。
(2) 其次，根据上面的整体分解，可将证明1 的书写加以充实：
(3)由于这个图形已经显示出，解题中用到了哪些知识(或方法)，先用哪些后用哪些，
哪个与哪个作了配合。
所以，只须将其再作充实(图7)，便可更自觉、也更直观地看到，解
题过程是这样一个“三位一体”的工作：有用捕捉、有关提取、有效组合：
1)从理解题意中捕捉有用的信息
包括从题目的叙述及题目的附图两方面去充分理解题意。
从图7 可见，这共有3 条信息。
(a)从题目的文字叙述中获取“符号信息”。
∠1= ∠2。
①
(b)从题目的图形中获取“形象信息”。
∠1 与∠3 为同位角，②
∠2 与∠3 为对顶角，③
2) 从记忆储存中提取有关的信息。
这是一批被解题需要激活的知识，并随着解题的进展而扩散，从图7 可见，这有3 条信
息。
(a)对顶角相等。
④
(b)等于第三个量的两个量相等(传递性)。
⑤
(c)同位角相等，则两直线平行。
⑥
3)把这两方面的信息(共6 条)进行有效的组合，使之成为一个和谐的逻辑结构(共有3
步推理)。
这样，通过分析解题过程我们看清了，这个题目在解决过程中的知识结构与逻辑关系，
进一步还归纳出“什么叫解题”的一个可操作回答：从理解题意中捕捉有用的信息，从记忆
储存中提取有关的信息，并将这两组信息有效组成一个和谐的逻辑结构。
6. 展开动态想象
也许我们一开始就直感到图形表象有一种对称结构(对称美的召唤)，它朦朦胧胧只是因
为对称中心没有显化。
也许是在解题分析中，由于已证明了AB∥CD，所以居中的平行线MN
上每一点都是两平行线AB、CD 的对称中心，而直线EF 上每一点都是直线本身的对称中心
（见图8），因而图1 本身是中心对称图形。
于是，我们有这样的直感。
图8 中若AB 与CD 不平行，必然破坏对称性。
这是一种不充
分的推理，体现了形象思维的特征，同时也揭示了证明的一个新方向。
设EF 上的截点为P、Q，而0 为线段PQ 的中心(图8)。
想象会使我们看到，当图形绕点
O 旋转180°时，射线PE 会与射线QF 重合，又由∠1= ∠2 知，射线PB 会与射线QC 重合，
从而直线AB 与直线CD 换位，且射线OE 与射线OF 换位。
这一想象实际上已经完成了旧表象到新表象的改造，数量关系∠1= ∠2(保证了旋转180°后图形重合)已经转化为位置关系AB∥CD。
否则AB 与CD 在左(右)边有一个交点，则右(左)边也有一个对称的交点，造成AB 和
CD 重合，与已知矛盾。
以上例示，经历了“表象——直感——想象——论证——反思……”的思维过程，前半
部分主要是形象思维，后半部分主要是逻辑思维，在叙述中强调了把解题活动作为对象的再
认识。
不妥之处，盼批评指正。
