高中数学解题思维策略一数学思维的变通性
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高中数学解题思维与思想精美共
例如，已知 , ,
求证 、 、 三数中必有两个互为相反数。
恰当的转化使问题变得熟悉、简单。要证的结论，可以转化为：
思维变通性的对立面是思维的保守性，即思维定势。思维定势是指一个人用同一种思维方法解决若干问题以后，往往会用同样的思维方法解决以后的问题。它表现就是记类型、记方法、套公式，使思维受到限制，它是提高思维变通性的极大的障碍，必须加以克服。
解得：
把 和 的范围代入得
在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。
例2证明勾股定理：已知在 中， ，求证
错误证法在 中， 而 ，
，即
错误分析在现行的中学体系中， 这个公式本身是从勾股定理推出来的。这种利用所要证明的结论，作为推理的前提条件，叫循环论证。循环论证的错误是在不知不觉中产生的，而且不易发觉。因此，在学习中对所学的每个公式、法则、定理，既要熟悉它们的内容，又要熟悉它们的证明方法和所依据的论据。这样才能避免循环论证的错误。发现本题犯了循环论证的错误，正是思维具有反思性的体现。
证明（反证法）假设原命题不成立，即 、 、 都小于1。
则
①＋③得 ，
与②矛盾，所以假设不成立，即 、 、 中至少有一个不小于1。
一题多解训练
由于每个学生在观察时抓住问题的特点不同、运用的知识不同，因而，同一问题可能得到几种不同的解法，这就是“一题多解”。通过一题多解训练，可使学生认真观察、多方联想、恰当转化，提高数学思维的变通性。
综上所述，善于观察、善于联想、善于进行问题转化，是数学思维变通性的具体体现。要想提高思维变通性，必须作相应的思维训练。
二、思维训练实例
（1）观察能力的训练
虽然观察看起来是一种表面现象，但它是认识事物内部规律的基础。所以，必须重视观察能力的训练，使学生不但能用常规方法解题，而且能根据题目的具体特征，采用特殊方法来解题。
求证 、 、 三数中必有两个互为相反数。
恰当的转化使问题变得熟悉、简单。要证的结论，可以转化为：
思维变通性的对立面是思维的保守性，即思维定势。思维定势是指一个人用同一种思维方法解决若干问题以后，往往会用同样的思维方法解决以后的问题。它表现就是记类型、记方法、套公式，使思维受到限制，它是提高思维变通性的极大的障碍，必须加以克服。
解得：
把 和 的范围代入得
在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。
例2证明勾股定理：已知在 中， ，求证
错误证法在 中， 而 ，
，即
错误分析在现行的中学体系中， 这个公式本身是从勾股定理推出来的。这种利用所要证明的结论，作为推理的前提条件，叫循环论证。循环论证的错误是在不知不觉中产生的，而且不易发觉。因此，在学习中对所学的每个公式、法则、定理，既要熟悉它们的内容，又要熟悉它们的证明方法和所依据的论据。这样才能避免循环论证的错误。发现本题犯了循环论证的错误，正是思维具有反思性的体现。
证明（反证法）假设原命题不成立，即 、 、 都小于1。
则
①＋③得 ，
与②矛盾，所以假设不成立，即 、 、 中至少有一个不小于1。
一题多解训练
由于每个学生在观察时抓住问题的特点不同、运用的知识不同，因而，同一问题可能得到几种不同的解法，这就是“一题多解”。通过一题多解训练，可使学生认真观察、多方联想、恰当转化，提高数学思维的变通性。
综上所述，善于观察、善于联想、善于进行问题转化，是数学思维变通性的具体体现。要想提高思维变通性，必须作相应的思维训练。
二、思维训练实例
（1）观察能力的训练
虽然观察看起来是一种表面现象，但它是认识事物内部规律的基础。所以，必须重视观察能力的训练，使学生不但能用常规方法解题，而且能根据题目的具体特征，采用特殊方法来解题。
数学思维的变通性课件
数学思维的特性
严谨性
数学思维强调推理的严密性和准确性， 遵循一定的逻辑规则和公理体系，避 免出现逻辑上的错误和漏洞。
抽象性
创造性
数学思维不仅满足于解决问题，还追 求创新和突破，探索新的数学理论和 方法，为人类认识世界和解决问题提 供新的工具和视角。
数学思维通过抽象的方式，将具体问 题转化为数学模型，忽略非本质的细 节，突出问题的本质特征和内在规律。
决策分析
在决策分析中，数学用于评估和比较不同方案的效果和成 本。通过建立数学模型和算法，决策者可以制定最优策略， 提高资源利用效率和决策的科学性。
数学在经济领域的应用
金融
金融领域中，数学用于分析和预测经济数据、股票价格、 利率等。通过建立数学模型，经济学家可以评估投资风险、 制定投资策略，以及预测经济趋势。
数学思维的变通性课件
contents
目录
• 引言 • 数学思维的定义与特性 • 数学思维变通性的表现 • 如何培养数学思维的变通性 • 数学思维变通性的应用实例 • 结论
contents
目录
• 引言 • 数学思维的定义与特性 • 数学思维变通性的表现 • 如何培养数学思维的变通性 • 数学思维变通性的应用实例 • 结论
总结数学思维变通性的意义和价值
数学思维变通性是解决复杂数学问题的关键能力，能够帮助学生在学习过程中更加 灵活地运用数学知识，提高解题效率。
数学思维变通性有助于培养学生的创新能力和解决问题的能力，使学生在面对新问 题时能够更加主动地寻找解决方案，提高自主学习能力。
数学思维变通性对于培养学生的逻辑思维和推理能力也有着重要的促进作用，有助 于提高学生的综合素质和竞争力。
种群动态模型、遗传学中的基因序列分析等都离不开数学的应用。
《高中数学解题思维与思想》(精美word版,共140页)(K12教育文档)
《高中数学解题思维与思想》(精美word版,共140页)(word版可编辑修改) 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（《高中数学解题思维与思想》(精美word版,共140页)(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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《高中数学解题思维与思想》导读数学家G。
波利亚在《怎样解题》中说过：数学教学的目的在于培养学生的思维能力，培养良好思维品质的途径，是进行有效的训练,本策略结合数学教学的实际情况,从以下四个方面进行讲解：一、数学思维的变通性根据题设的相关知识，提出灵活设想和解题方案二、数学思维的反思性提出独特见解，检查思维过程,不盲从、不轻信。
三、数学思维的严密性考察问题严格、准确，运算和推理精确无误。
四、数学思维的开拓性对一个问题从多方面考虑、对一个对象从多种角度观察、对一个题目运用多种不同的解法。
什么"转变，从而培养他们的思维能力.《思维与思想》的即时性、针对性、实用性，已在教学实践中得到了全面验证.一、高中数学解题思维策略第一讲数学思维的变通性一、概念数学问题千变万化,要想既快又准的解题，总用一套固定的方案是行不通的，必须具有思维的变通性——善于根据题设的相关知识，提出灵活的设想和解题方案。
根据数学思维变通性的主要体现，本讲将着重进行以下几个方面的训练：（1）善于观察心理学告诉我们:感觉和知觉是认识事物的最初级形式，而观察则是知觉的高级状态，是一种有目的、有计划、比较持久的知觉。
观察是认识事物最基本的途径，它是了解问题、发现问题和解决问题的前提.任何一道数学题，都包含一定的数学条件和关系。
如何提高高中数学解题的思维
如何提高高中数学解题的思维如何提高高中数学解题的思维一、数学思维的变通性根据题设的相关知识，提出灵活设想和解题方案二、数学思维的反思性提出独特见解，检查思维过程，不盲从、不轻信。
三、数学思维的严密性考察问题严格、准确，运算和推理精确无误。
四、数学思维的开拓性对一个问题从多方面考虑、对一个对象从多种角度观察、对一个题目运用多种不同的解法。
什么”转变，从而培养他们的思维能力。
《策略》的即时性、针对性、实用性，已在教学实践中得到了全面验证。
高考数学临场超水平发挥五大绝招要取得好成绩，首先要有扎实的基础、熟练的基本技能和在长年累月的刻苦钻研中培养起来的，同时，也取决于临场的发挥。
下面结合学科的特点，谈几条的建议，以便使同学们临场不慌，并能在紧张的中超水平发挥。
一、提前进入“角色”考前一个晚上睡足八个小时，早晨吃好清淡早餐，按清单带齐一切用具，提前半小时到达考区，一方面可以消除新异刺激，稳定情绪，从容进场，另一方面也留有时间提前进入“角色”——让开始简单的数学活动，进入单一的数学情境。
如：1.清点一下用具是否带全（笔、橡皮、作图工具、身分证、准考证等）。
2.把一些基本数据、常用公式、重要定理“过过电影”。
3.最后看一眼难记易忘的结论。
4.互问互答一些不太复杂的问题。
二、精神要放松，情绪要自控最易导致紧张、焦虑和恐惧的是入场后与答卷前的“临战”阶段，此间保持心态平衡的有三种：①转移注意法：避开临考者的目光，把注意力转移到某一次你印象较深的数学模拟考试的评讲课上，或转移到对往日有趣、滑稽事情的回忆中。
②自我安慰法：如“我经过的考试多了，没什么了不起”，“考试，监督下的独立作业，无非是换一换环境”等。
③抑制法：闭目而坐，气贯丹田，四肢放松，深呼吸，慢吐气，如此进行到发卷时。
三、迅速摸透“题情”刚拿到，一般心情比较紧张，不忙匆匆作答，可先从头到尾、正面反面通览全卷，尽量从卷面上获取最多的信息，为实施正确的.解题策略作全面调查，一般可在十分钟之内做完三件事。
高中数学解题思维与思想(精美word版_共140页)
《高中数学解题思维与思想》导读数学家G . 波利亚在《怎样解题》中说过：数学教学的目的在于培养学生的思维能力，培养良好思维品质的途径，是进行有效的训练，本策略结合数学教学的实际情况，从以下四个方面进行讲解：一、数学思维的变通性根据题设的相关知识，提出灵活设想和解题方案二、数学思维的反思性提出独特见解，检查思维过程，不盲从、不轻信。
三、数学思维的严密性考察问题严格、准确，运算和推理精确无误。
四、数学思维的开拓性对一个问题从多方面考虑、对一个对象从多种角度观察、对一个题目运用多种不同的解法。
什么”转变，从而培养他们的思维能力。
《思维与思想》的即时性、针对性、实用性，已在教学实践中得到了全面验证。
一、高中数学解题思维策略第一讲数学思维的变通性一、概念数学问题千变万化，要想既快又准的解题，总用一套固定的方案是行不通的，必须具有思维的变通性——善于根据题设的相关知识，提出灵活的设想和解题方案。
根据数学思维变通性的主要体现，本讲将着重进行以下几个方面的训练：（1）善于观察心理学告诉我们：感觉和知觉是认识事物的最初级形式，而观察则是知觉的高级状态，是一种有目的、有计划、比较持久的知觉。
观察是认识事物最基本的途径，它是了解问题、发现问题和解决问题的前提。
任何一道数学题，都包含一定的数学条件和关系。
要想解决它，就必须依据题目的具体特征，对题目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，透过表面现象看其本质，这样才能确定解题思路，找到解题方法。
例如，求和)1(1431321211+++⋅+⋅+⋅n n . 这些分数相加，通分很困难，但每项都是两相邻自然数的积的倒数，且111)1(1+-=+n n n n ，因此，原式等于1111113121211+-=+-++-+-n n n 问题很快就解决了。
（2）善于联想联想是问题转化的桥梁。
稍具难度的问题和基础知识的联系，都是不明显的、间接的、复杂的。
因此，解题的方法怎样、速度如何，取决于能否由观察到的特征，灵活运用有关知识，做出相应的联想，将问题打开缺口，不断深入。
精品 2014-2015年 高中数学解题思维策略
2
x2 y2 x2
3 2 1 9 x 3 x ( x 3) 2 , 2 2 2
当 x 3 时， x 2 y 2 取最大值，最大值为
9 2
这种解法由于忽略了 y 2 0 这一条件，致使计算结果出现错误。因此，要 注意审题，不仅能从表面形式上发现特点，而且还能从已知条件中发现其隐蔽 条件，既要注意主要的已知条件， 又要注意次要条件，这样，才能正确地解题，提高思维的变通性。 有些问题的观察要从相应的图像着手。
1 1 1 1 . 1 2 2 3 3 4 n(n 1)
这些分数相加，通分很困难，但每项都是两相邻自然数的积的倒数，且
1 1 1 1 1 1 1 1 1 ，因此，原式等于 1 问题 1 n(n 1) n n 1 2 2 3 n n 1 n 1
这个方程指明两个数的和为 2 ， 这两个数的积为 3 。 由此联想到韦达定理，
x 、 y 是一元二次方程 t 2 2t 3 0 的两个根， x 1 x 3 所以 或 .可见，联想可使问题变得简单。 y 3 y 1
1
高中数学
（3）善于将问题进行转化 数学家 G . 波利亚在《怎样解题》中说过：数学解题是命题的连续变换。 可见，解题过程是通过问题的转化才能完成的。转化是解数学题的一种十分重 要的思维方法。 那么怎样转化呢？概括地讲， 就是把复杂问题转化成简单问题， 把抽象问题转化成具体问题，把未知问题转化成已知问题。在解题时，观察具 体特征，联想有关问题之后，就要寻求转化关系。 1 1 1 1 例如，已知 , (abc 0, a b c 0) , a b c abc 求证 a 、 b 、 c 三数中必有两个互为相反数。 恰当的转化使问题变得熟悉、简单。要证的结论，可以转化为：
x2 y2 x2
3 2 1 9 x 3 x ( x 3) 2 , 2 2 2
当 x 3 时， x 2 y 2 取最大值，最大值为
9 2
这种解法由于忽略了 y 2 0 这一条件，致使计算结果出现错误。因此，要 注意审题，不仅能从表面形式上发现特点，而且还能从已知条件中发现其隐蔽 条件，既要注意主要的已知条件， 又要注意次要条件，这样，才能正确地解题，提高思维的变通性。 有些问题的观察要从相应的图像着手。
1 1 1 1 . 1 2 2 3 3 4 n(n 1)
这些分数相加，通分很困难，但每项都是两相邻自然数的积的倒数，且
1 1 1 1 1 1 1 1 1 ，因此，原式等于 1 问题 1 n(n 1) n n 1 2 2 3 n n 1 n 1
这个方程指明两个数的和为 2 ， 这两个数的积为 3 。 由此联想到韦达定理，
x 、 y 是一元二次方程 t 2 2t 3 0 的两个根， x 1 x 3 所以 或 .可见，联想可使问题变得简单。 y 3 y 1
1
高中数学
（3）善于将问题进行转化 数学家 G . 波利亚在《怎样解题》中说过：数学解题是命题的连续变换。 可见，解题过程是通过问题的转化才能完成的。转化是解数学题的一种十分重 要的思维方法。 那么怎样转化呢？概括地讲， 就是把复杂问题转化成简单问题， 把抽象问题转化成具体问题，把未知问题转化成已知问题。在解题时，观察具 体特征，联想有关问题之后，就要寻求转化关系。 1 1 1 1 例如，已知 , (abc 0, a b c 0) , a b c abc 求证 a 、 b 、 c 三数中必有两个互为相反数。 恰当的转化使问题变得熟悉、简单。要证的结论，可以转化为：
【高中数学解题技巧】高中数学解题思维训练
因而，怎样解题，解题的速度 如何，取决于能否由观察到的特征， 灵活运用有关知识，作出相应的联 想，找到突破口，不断深入。
整理课件
8
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9
（3）善于进行问题转化
数学家波利亚在《怎样解题》中说过，
数学解题是命题的连续变换。可见解题过 程是通过问题的转化才能完成的。转化是 解数学题的一种十分重要的思维方法。
第二：找出已知数与未知数之间的联系。如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅 助问题，你应该最终得出一个求解的计划。 拟订计划：
你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问
题？你是否知道一个可能用得上的定理？看着未知数！试想出一个具有相同未知数或 相似未知数的熟悉的问题。这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题。你 能不能利用它？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了利用它，你是否应 该引入某些辅助元素？你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述 它？回到定义去。
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14
有些数学题，内容抽象，关系复杂，给理解题 意增添了困难，常常会由于题目的抽象性和复杂 性，使正常的思维难以进行到底。
对于这类题目，借助图表直观，利用示意图 或表格分析题意，有助于抽象内容形象化，复杂 关系条理化，使思维有相对具体的依托，便于深 入思考，发现解题线索。
如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题。你能不能想出一个更
容易着手的有关问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？你 能否解决这个问题的一部分？仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知 数能确定到什么程度？它会怎样变化？你能不能从已知数据导出某些有用的东西？你 能不能想出适于确定未知数的其它数据？如果需要的话，你能不能改变未知数或数据， 或二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近？
整理课件
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9
（3）善于进行问题转化
数学家波利亚在《怎样解题》中说过，
数学解题是命题的连续变换。可见解题过 程是通过问题的转化才能完成的。转化是 解数学题的一种十分重要的思维方法。
第二：找出已知数与未知数之间的联系。如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅 助问题，你应该最终得出一个求解的计划。 拟订计划：
你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问
题？你是否知道一个可能用得上的定理？看着未知数！试想出一个具有相同未知数或 相似未知数的熟悉的问题。这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题。你 能不能利用它？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了利用它，你是否应 该引入某些辅助元素？你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述 它？回到定义去。
整理课件
14
有些数学题，内容抽象，关系复杂，给理解题 意增添了困难，常常会由于题目的抽象性和复杂 性，使正常的思维难以进行到底。
对于这类题目，借助图表直观，利用示意图 或表格分析题意，有助于抽象内容形象化，复杂 关系条理化，使思维有相对具体的依托，便于深 入思考，发现解题线索。
如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题。你能不能想出一个更
容易着手的有关问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？你 能否解决这个问题的一部分？仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知 数能确定到什么程度？它会怎样变化？你能不能从已知数据导出某些有用的东西？你 能不能想出适于确定未知数的其它数据？如果需要的话，你能不能改变未知数或数据， 或二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近？
高中数学解题的思维策略
四．数学 思维 的开拓性
一
对 一个 问题从多方面考虑 对
个对象从 多种角 度观 察，对 一个题 目 运 用多种不同的解法
数 学 思维开 拓性指 的是 对一 个 问题 能从 多方 面考虑 ，对
一
化呢 ？概 括地讲 ，就是把复 杂问题转化成简单 问题 ，把 抽象问
题转 化成具体 问题 ，把 未知问题 转化成 已知 问题 ．在解 题时， 观察具体特征 ，联想有 关问题之后 ，就要 寻求 转化 关系． 思维变通性 的对立 面是思维的保守性，即思维定势。思维
形式 。它是判断和判断 的联 合，任何一个论证都 是 由推理来实
（ 三 ）善于将 问题进行转化 数学 家Ｇ・波利亚在 《 怎样解题 》中说过 ：数学解题 是命 题 的连 续变 换 。可见 ，解题 过程 是通 过 问题 的转 化才 能完 成 的。转 化是解数学题 的一种 十分重要的思维方法 。那 么怎样转
（ 一 ）善 于 观 察
精细地检查思 维过程 ，不盲从 、不轻信 。在解决 问题时能不 断
地验证所拟定 的假 设，获得独特 的解 决问题 的方法 ，它和创造
性思维存在着 高度 相关 。受思维定势 或别人提示 的影 响，解 题
时盲 目附和 ，不能提出 自己的看法 ，这 不利于增强思维 的反思
性 ．因此 ，在解 决 问题时 ，应积极地独 立思考 ，敢于对题 目解
造性思维 。
心理学告诉我们：感觉和知觉是认识事物 的最初级形式 ， 而观察则是知觉 的高级状态 ，是一种有 目的、有计划、 比较持 久的知觉 ．观察 是认识 事物最基本 的途径 ，它是了解 问题 、发 现 问题和解决 问题的前提 ． 任何一道数学题 ，都包含一定的数学条件和关系 ．要想解 决它 ，就必须依据题 目的具体特征 ，对题 目进 行深入 的、细致
高中数学解题思路及技巧
《高中数学解题思维与思想》一、高中数学解题思维策略第一讲 数学思维的变通性一、概念数学问题千变万化，要想既快又准的解题，总用一套固定的方案是行不通的，必须具有思维的变通性——善于根据题设的相关知识，提出灵活的设想和解题方案。
根据数学思维变通性的主要体现，本讲将着重进行以下几个方面的训练： （1）善于观察心理学告诉我们：感觉和知觉是认识事物的最初级形式，而观察则是知觉的高级状态，是一种有目的、有计划、比较持久的知觉。
观察是认识事物最基本的途径，它是了解问题、发现问题和解决问题的前提。
任何一道数学题，都包含一定的数学条件和关系。
要想解决它，就必须依据题目的具体特征，对题目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，透过表面现象看其本质，这样才能确定解题思路，找到解题方法。
例如，求和)1(1431321211+++⋅+⋅+⋅n n . 这些分数相加，通分很困难，但每项都是两相邻自然数的积的倒数，且111)1(1+-=+n n n n ，因此，原式等于1111113121211+-=+-++-+-n n n 问题很快就解决了。
（2）善于联想联想是问题转化的桥梁。
稍具难度的问题和基础知识的联系，都是不明显的、间接的、复杂的。
因此，解题的方法怎样、速度如何，取决于能否由观察到的特征，灵活运用有关知识，做出相应的联想，将问题打开缺口，不断深入。
例如，解方程组⎩⎨⎧-==+32xy y x .这个方程指明两个数的和为2，这两个数的积为3-。
由此联想到韦达定理，x 、y 是一元二次方程0322=--t t 的两个根，所以⎩⎨⎧=-=31y x 或⎩⎨⎧-==13y x .可见，联想可使问题变得简单。
（3）善于将问题进行转化数学家G . 波利亚在《怎样解题》中说过：数学解题是命题的连续变换。
可见，解题过程是通过问题的转化才能完成的。
转化是解数学题的一种十分重要的思维方法。
那么怎样转化呢？概括地讲，就是把复杂问题转化成简单问题，把抽象问题转化成具体问题，把未知问题转化成已知问题。
数学][高中数学解题思维与思想]
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数学][高中数学解题思维与思想](总150页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除2《高中数学解题思维与思想》导 读数学家G . 波利亚在《怎样解题》中说过：数学教学的目的在于培养学生的思维能力，培养良好思维品质的途径，是进行有效的训练，本策略结合数学教学的实际情况，从以下四个方面进行讲解：一、数学思维的变通性根据题设的相关知识，提出灵活设想和解题方案二、数学思维的反思性提出独特见解，检查思维过程，不盲从、不轻信。
三、数学思维的严密性考察问题严格、准确，运算和推理精确无误。
四、数学思维的开拓性 对一个问题从多方面考虑、对一个对象从多种角度观察、对一个题目运用多种不同的解法。
什么”转变，从而培养他们的思维能力。
《思维与思想》的即时性、针对性、实用性，已在教学实践中得到了全面验证。
一、高中数学解题思维策略第一讲 数学思维的变通性一、概念数学问题千变万化，要想既快又准的解题，总用一套固定的方案是行不通的，必须具有思维的变通性——善于根据题设的相关知识，提出灵活的设想和解题方案。
根据数学思维变通性的主要体现，本讲将着重进行以下几个方面的训练：（1）善于观察心理学告诉我们：感觉和知觉是认识事物的最初级形式，而观察则是知觉的高级状态，是一种有目的、有计划、比较持久的知觉。
观察是认识事物最基本的途径，它是了解问题、发现问题和解决问题的前提。
任何一道数学题，都包含一定的数学条件和关系。
要想解决它，就必须依据题目的具体特征，对题目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，透过表面现象看其本质，这样才能确定解题思路，找到解题方法。
例如，求和)1(1431321211+++⋅+⋅+⋅n n .3 这些分数相加，通分很困难，但每项都是两相邻自然数的积的倒数，且111)1(1+-=+n n n n ，因此，原式等于1111113121211+-=+-++-+-n n n 问题很快就解决了。
高中数学解题思维策略
《咼中数学解题思维与思想》70 =© W =沁=田■£■' =■ 知=田 W =沁=：W ■£■'=田 W =沁=' W =：WW =：WW =g —■' .导读数学家G.波利亚在《怎样解题》中说过：数学教学的目的在于培养学生的思维能力，培养良好思维品质的途径，是进行有效的训练，本策略结合数学教学的实际情况，从以下四个方面进行讲解：一、数学思维的变通性根据题设的相关知识，提出灵活设想和解题方案二、数学思维的反思性提出独特见解，检查思维过程，不盲从、不轻信。
三、数学思维的严密性考察问题严格、准确，运算和推理精确无误。
四、数学思维的开拓性对一个问题从多方面考虑、对一个对象从多种角度观察、对一个题目运用多种不同的解法。
什么”转变，从而培养他们的思维能力。
《思维与思想》的即时性、针对性、实用性，已在教学实践中得到了全面验证。
、高中数学解题思维策略第一讲数学思维的变通性、概念数学问题千变万化，要想既快又准的解题，总用一套固定的方案是行不通 的，必须具有思维的变通性一一善于根据题设的相关知识，提出灵活的设想和 解题方案。
根据数学思维变通性的主要体现，本讲将着重进行以下几个方面的训 练：(1 )善于观察心理学告诉我们：感觉和知觉是认识事物的最初级形式，而观察则是知觉 的高级状态，是一种有目的、有计划、比较持久的知觉。
观察是认识事物最基本 的途径，它是了解问题、发现问题和解决问题的前提。
任何一道数学题，都包含一定的数学条件和关系。
要想解决它，就必须依据 题目的具体特征，对题目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，透过表面现象看其本质，这样才能确定解题思路，找到解题方法。
1 n(n 1)这些分数相加，通分很困难，但每项都是两相邻自然数的积的倒数，且11 —问题很 n 1快就解决了(2 )善于联想联想是问题转化的桥梁。
稍具难度的问题和基础知识的联系，都是不明显 的、间接的、复杂的。
数学解题思维
例1
已知 a, b, c, d 都是实数， 求证 a b c d (a c) (b d ) .
2 2 2 2 2 2
已知 a, b, c, d 都是实数，
思路分析
求证 a 2 b 2 c 2 d 2 (a c) 2 (b d ) 2 .
从题目的外表形式观察到，要证的结论 的右端与平面上两点间的距离公式很相 似，而左端可看作是点到原点的距离公 式。根据其特点，可采用下面巧妙而简 捷的证法，这正是思维变通的体现。
2.善于联想
联想是问题转化的桥梁。稍具难度的问 题和基础知识的联系，都是不明显的、 间接的、复杂的。因此，解题的方法怎 样、速度如何，取决于能否由观察到的 特征，灵活运用有关知识，做出相应的 联想，将问题打开缺口，不断深入。
x y 2 例如，解方程组 . xy 3
这个方程指明两个数的和为 2 ，这两个数的积为 3 。
已知 a, b, c, d 都是实数，求证 a 2 b 2 c 2 d 2 (a c) 2Hale Waihona Puke (b d ) 2 .证明
不妨设 A(a, b), B(c, d ) 如图 1－2－1 所示，
则 AB (a c) 2 (b d ) 2 .
OA a 2 b 2 , OB c 2 d 2 ,
1 1 1 1 例如，求和 . 1 2 2 3 3 4 n(n 1)
这些分数相加，通分很困难，
但每项都是两相邻自然数的积的倒数， 1 1 1 且 ， n(n 1) n n 1
1 1 1 1 1 1 因此，原式等于1 1 2 2 3 n n 1 n 1 问题很快就解决了。
最新数学高分秘诀：训练数学思维变通性
数学高分秘诀：训练数学思维变通性数学高分秘诀：训练数学思维变通性【】;良好的学习方法是通往成功的秘诀，各科的学习方法你都知道哪些呢?请看下面查字典数学网小编为您整理的数学高分秘诀：训练数学思维变通性，希望对你有所帮助。
一、变通性的概念数学问题千变万化，要想既快又准的解题，总用一套固定的方案是行不通的，必须具有思维的变通性善于根据题设的相关知识，提出灵活的设想和解题方案。
数学高分秘诀数学思维变通性训练如下：(1)从题目角度出发，善于观察心理学告诉我们：感觉和知觉是认识事物的最初级形式，而观察则是知觉的高级状态，是一种有目的、有计划、比较持久的知觉。
观察是认识事物最基本的途径，它是了解问题、发现问题和解决问题的前提。
任何一道数学题，都包含一定的数学条件和关系。
要想解决它，就必须依据题目的具体特征，对题目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，透过表面现象看其本质，这样才能确定解题思路，找到解题方法。
从做题角度上看，就是一切从题目角度出发，题目让干什么，我们做什么。
题目没有提到的，一概先不思考。
只有从解题角度上，需要的知识点，题目没有提到的，我们才思考。
由此，我们可以看出，并不是题目难解，而是我们没有观察出题目的关联性。
(2)从条件入手，善于联想联想是问题转化的桥梁。
稍具难度的问题和基础知识的联系，都是不明显的、间接的、复杂的。
因此，解题的方法怎样、速度如何，取决于能否由观察到的特征，灵活运用有关知识，做出相应的联想，将问题打开缺口，不断深入。
(3)善于将问题进行转化数学家G . 波利亚在《怎样解题》中说过：数学解题是命题的连续变换。
可见，解题过程是通过问题的转化才能完成的。
转化是解数学题的一种十分重要的思维方法。
那么怎样转化呢?概括地讲，就是把复杂问题转化成简单问题，把抽象问题转化成具体问题，把未知问题转化成已知问题。
在解题时，观察具体特征，联想有关问题之后，就要寻求转化关系。
思维变通性的对立面是思维的保守性，即思维定势。
数学高分秘诀：训练数学思维变通性
数学高分秘诀：训练数学思维变通性【】;良好的学习方法是通往成功的秘诀，各科的学习方法你都知道哪些呢?请看下面查字典数学网小编为您整理的数学高分秘诀：训练数学思维变通性，希望对你有所帮助。
一、变通性的概念数学问题千变万化，要想既快又准的解题，总用一套固定的方案是行不通的，必须具有思维的变通性善于根据题设的相关知识，提出灵活的设想和解题方案。
数学高分秘诀数学思维变通性训练如下：(1)从题目角度出发，善于观察心理学告诉我们：感觉和知觉是认识事物的最初级形式，而观察则是知觉的高级状态，是一种有目的、有计划、比较持久的知觉。
观察是认识事物最基本的途径，它是了解问题、发现问题和解决问题的前提。
任何一道数学题，都包含一定的数学条件和关系。
要想解决它，就必须依据题目的具体特征，对题目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，透过表面现象看其本质，这样才能确定解题思路，找到解题方法。
从做题角度上看，就是一切从题目角度出发，题目让干什么，我们做什么。
题目没有提到的，一概先不思考。
只有从解题角度上，需要的知识点，题目没有提到的，我们才思考。
由此，我们可以看出，并不是题目难解，而是我们没有观察出题目的关联性。
(2)从条件入手，善于联想联想是问题转化的桥梁。
稍具难度的问题和基础知识的联系，都是不明显的、间接的、复杂的。
因此，解题的方法怎样、速度如何，取决于能否由观察到的特征，灵活运用有关知识，做出相应的联想，将问题打开缺口，不断深入。
(3)善于将问题进行转化数学家G . 波利亚在《怎样解题》中说过：数学解题是命题的连续变换。
可见，解题过程是通过问题的转化才能完成的。
转化是解数学题的一种十分重要的思维方法。
那么怎样转化呢?概括地讲，就是把复杂问题转化成简单问题，把抽象问题转化成具体问题，把未知问题转化成已知问题。
在解题时，观察具体特征，联想有关问题之后，就要寻求转化关系。
思维变通性的对立面是思维的保守性，即思维定势。
思维定势是指一个人用同一种思维方法解决若干问题以后，往往会用同样的思维方法解决以后的问题。
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高中数学解题思维策略第一讲数学思维的变通性一、概念数学问题千变万化，要想既快又准的解题，总用一套固定的方案是行不通的，必须具有思维的变通性——善于根据题设的相关知识，提出灵活的设想和解题方案。
根据数学思维变通性的主要体现，本讲将着重进行以下几个方面的训练：（1）善于观察心理学告诉我们：感觉和知觉是认识事物的最初级形式，而观察则是知觉的高级状态，是一种有目的、有计划、比较持久的知觉。
观察是认识事物最基本的途径，它是了解问题、发现问题和解决问题的前提。
任何一道数学题，都包含一定的数学条件和关系。
要想解决它，就必须依据题目的具体特征，对题目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，透过表面现象看其本质，这样才能确定解题思路，找到解题方法。
例如，求和)1(1431321211+++⋅+⋅+⋅n n . 这些分数相加，通分很困难，但每项都是两相邻自然数的积的倒数，且111)1(1+-=+n n n n ，因此，原式等于1111113121211+-=+-++-+-n n n 问题很快就解决了。
（2）善于联想联想是问题转化的桥梁。
稍具难度的问题和基础知识的联系，都是不明显的、间接的、复杂的。
因此，解题的方法怎样、速度如何，取决于能否由观察到的特征，灵活运用有关知识，做出相应的联想，将问题打开缺口，不断深入。
例如，解方程组⎩⎨⎧-==+32xy y x . 这个方程指明两个数的和为2，这两个数的积为3-。
由此联想到韦达定理，x 、y 是一元二次方程 0322=--t t 的两个根，所以⎩⎨⎧=-=31y x 或⎩⎨⎧-==13y x .可见，联想可使问题变得简单。
（3）善于将问题进行转化数学家G . 波利亚在《怎样解题》中说过：数学解题是命题的连续变换。
可见，解题过程是通过问题的转化才能完成的。
转化是解数学题的一种十分重要的思维方法。
那么怎样转化呢？概括地讲，就是把复杂问题转化成简单问题，把抽象问题转化成具体问题，把未知问题转化成已知问题。
在解题时，观察具体特征，联想有关问题之后，就要寻求转化关系。
例如，已知cb ac b a ++=++1111,)0,0(≠++≠c b a abc , 求证a 、b 、c 三数中必有两个互为相反数。
恰当的转化使问题变得熟悉、简单。
要证的结论，可以转化为：0))()((=+++a c c b b a思维变通性的对立面是思维的保守性，即思维定势。
思维定势是指一个人用同一种思维方法解决若干问题以后，往往会用同样的思维方法解决以后的问题。
它表现就是记类型、记方法、套公式，使思维受到限制，它是提高思维变通性的极大的障碍，必须加以克服。
综上所述，善于观察、善于联想、善于进行问题转化，是数学思维变通性的具体体现。
要想提高思维变通性，必须作相应的思维训练。
二、思维训练实例（1） 观察能力的训练虽然观察看起来是一种表面现象，但它是认识事物内部规律的基础。
所以，必须重视观察能力的训练，使学生不但能用常规方法解题，而且能根据题目的具体特征，采用特殊方法来解题。
例 1 已知d c b a ,,,都是实数，求证.)()(222222d b c a d c b a -+-≥+++思路分析 从题目的外表形式观察到，要证的结论的右端与平面上两点间的距离公式很相似，而左端可看作是点到原点的距离公式。
根据其特点，证明 不妨设),(),,(d c B b a A 如图1－2－1所示，则.)()(22d b c a AB -+-=,,2222d c OB b a OA +=+=在OAB ∆中，由三角形三边之间的关系知：AB OB OA ≥+ 当且仅当O 在AB 上时，等号成立。
因此，.)()(222222d b c a d c b a -+-≥+++思维障碍 很多学生看到这个不等式证明题，马上想到采用分析法、综合法等，而此题利用这些方法证明很繁。
学生没能从外表形式上观察到它与平面上两点间距离公式相似的原因，是对这个公式不熟，进一步讲是对基础知识的掌握不牢固。
因此，平时应多注意数学公式、定理的运用练习。
例2 已知x y x 62322=+，试求22y x +的最大值。
解 由 x y x 62322=+得 .20,0323,0.3232222≤≤∴≥+-∴≥+-=x x x y x x y 又,29)3(2132322222+--=+-=+x x x x y x ∴当2=x 时，22y x +有最大值，最大值为.429)32(212=+-- 思路分析 要求22y x +的最大值，由已知条件很快将22y x +变为一元二次函数,29)3(21)(2+--=x x f 然后求极值点的x 值，联系到02≥y ，这一条件，既快又准地求出最大值。
上述解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的变通性。
思维障碍 大部分学生的作法如下：由 x y x 62322=+得 ,32322x x y +-= ,29)3(2132322222+--=+-=+∴x x x x y x ∴当3=x 时，22y x +取最大值，最大值为29这种解法由于忽略了02≥y 这一条件，致使计算结果出现错误。
因此，要注意审题，不仅能从表面形式上发现特点，而且还能从已知条件中发现其隐蔽条件，既要注意主要的已知条件，又要注意次要条件，这样，才能正确地解题，提高思维的变通性。
有些问题的观察要从相应的图像着手。
例3 已知二次函数),0(0)(2>=++=a c bx ax x f 满足关系)2()2(x f x f -=+，试比较)5.0(f 与)(πf 的大小。
思路分析 由已知条件)2()2(x f x f -=+可知，在与2=x 左右等距离的点的函数值相等，说明该函数的图像关于直线2=x已知条件知它的开口向上，所以，可根据该函数的大致图像简捷地解出此题。
解 （如图1－2－2）由)2()2(x f x f -=+，知)(x f 是以直线2=x 为对称轴，开口向上的抛物线它与2=x 距离越近的点，函数值越小。
)()5.0(25.02ππf f >∴->-思维障碍 有些同学对比较)5.0(f 与)(πf 的大小，只想到求出它们的值。
而此题函数)(x f 的表达式不确定无法代值，所以无法比较。
出现这种情况的原因，是没有充分挖掘已知条件的含义，因而思维受到阻碍，做题时要全面看问题，对每一个已知条件都要仔细推敲，找出它的真正含义，这样才能顺利解题。
提高思维的变通性。
（2） 联想能力的训练例4 在ABC ∆中，若C ∠为钝角，则tgB tgA ⋅的值(A) 等于1 (B)小于1 (C) 大于1 (D) 不能确定思路分析 此题是在ABC ∆中确定三角函数tgB tgA ⋅的值。
因此，联想到三角函数正切的两角和公式tgBtgA tgB tgA B A tg ⋅-+=+1)(可得下面解法。
解 C ∠ 为钝角，0<∴tgC .在ABC ∆中)(B A C C B A +-=∴=++ππ 且均为锐角，、B A[].1.01,0,0.01)()(<⋅>⋅-∴>><⋅-+-=+-=+-=∴tgB tgA tgB tgA tgB tgA tgB tgA tgB tgA B A tg B A tg tgC 即 π故应选择（B ）思维障碍 有的学生可能觉得此题条件太少，难以下手，原因是对三角函数的基本公式掌握得不牢固，不能准确把握公式的特征，因而不能很快联想到运用基本公式。
例5 若.2,0))((4)(2z x y z y y x x z +==----证明：思路分析 此题一般是通过因式分解来证。
但是，如果注意观察已知条件的特点，不难发现它与一元二次方程的判别式相似。
于是，我们联想到借助一元二次方程的知识来证题。
证明 当0≠-y x 时，等式 0))((4)(2=----z y y x x z可看作是关于t 的一元二次方程0)()()(2=-+-+-z y t x z t y x 有等根的条件，在进一步观察这个方程，它的两个相等实根是1 ，根据韦达定理就有： 1=--yx z y 即 z x y +=2 若0=-y x ，由已知条件易得 ,0=-x z 即z y x ==,显然也有z x y +=2. 例6 已知c b a 、、均为正实数,满足关系式222c b a =+,又n 为不小于3的自然数，求证:.n n n c b a <+思路分析 由条件222c b a =+联想到勾股定理,c b a 、、可构成直角三角形的三边，进一步联想到三角函数的定义可得如下证法。
证明 设c b a 、、所对的角分别为A 、B 、.C 则C 是直角，A 为锐角，于是 ,cos ,sin cb Ac a A ==且,1cos 0,1sin 0<<<<A A 当3≥n 时，有A A A A n n 22cos cos ,sin sin <<于是有1cos sin cos sin 22=+<+A A A A n n即 ,1)()(<+n n cb c a 从而就有 .n n n c b a <+思维阻碍 由于这是一个关于自然数n 的命题，一些学生都会想到用数学归纳法来证明，难以进行数与形的联想，原因是平时不注意代数与几何之间的联系，单纯学代数，学几何，因而不能将题目条件的数字或式子特征与直观图形联想起来。
（3） 问题转化的训练我们所遇见的数学题大都是生疏的、复杂的。
在解题时，不仅要先观察具体特征，联想有关知识，而且要将其转化成我们比较熟悉的，简单的问题来解。
恰当的转化，往往使问题很快得到解决，所以，进行问题转化的训练是很必要的。
○1 转化成容易解决的明显题目例11 已知,1111=++=++cb ac b a 求证a 、b 、c 中至少有一个等于1。
思路分析 结论没有用数学式子表示，很难直接证明。
首先将结论用数学式子表示，转化成我们熟悉的形式。
a 、b 、c 中至少有一个为1，也就是说111---c b a 、、中至少有一个为零，这样，问题就容易解决了。
证明 .,1111abc ab ac bc c b a =++∴=++于是 .0)()1()1)(1)(1(=+++-++-=---c b a bc ac ab abc c b a∴ 111---c b a 、、中至少有一个为零，即a 、b 、c 中至少有一个为1。
思维障碍 很多学生只在已知条件上下功夫，左变右变，还是不知如何证明三者中至少有一个为1，其原因是不能把要证的结论“翻译”成数学式子，把陌生问题变为熟悉问题。
因此，多练习这种“翻译”，是提高转化能力的一种有效手段。
例12 直线L 的方程为2p x -=，其中0>p ；椭圆E 的中心为)0,22(p O +'，焦点在X 轴上，长半轴为2，短半轴为1，它的一个顶点为)0,2(p A ，问p 在什么范围内取值时，椭圆上有四个不同的点，它们中的每一点到点A 的距离等于该点到直线L 的距离。