chapter 3泊松过程

3.1 泊松过程的定义
3.1 泊松过程的定义
3.1 泊松过程的定义
Poisson 过程的常见例子
• • • • • • 排队论：到达的顾客数 一个地区的降雨量 撞击光电探测器的光子数 (自动)电话交换机的接入电话数， 长时间内川大网络服务器的网页请求 服务台接到咨询电话的次数
3.1 泊松过程的定义
j=0
= Pn ( t ) P0 ( h ) + Pn −1 ( t ) P1 ( h ) + ∑ Pn − j ( t ) P j ( h )
j=2
n
= Pn ( t ) P0 ( h ) + Pn −1 ( t ) P1 ( h ) + o ( h ) = (1 − λ h ) Pn ( t ) + λ hPn −1 ( t ) + o ( h ) n ⎛ n ⎞ ⎜ ∑ Pn − j (t ) Pj (h) ≤ ∑ Pj (h) ≤ ⎟ j =2 ⎜ j =2 ⎟ ⎜ ∞ ⎟ ⎜ ∑ Pj (h) = P ( N (h) − N (0) ≥ 2) = o(h) ⎟ ⎝ j =2 ⎠
(参数λ>0)
3.1 泊松过程的定义
定理：泊松过程两种定义等价。 证明：定义A⇒定义B 。由定义A(3)知平稳 性，下证定义B(3)。当h充分小有 P { N (t + h) − N (t ) = 1} = P { N ( h) − N (0) = 1}
( −λ h) n =e = λ h∑ 1! n! n =0 = λ h[1 − λ h + o(h)] = λ h + o(h)
N(t) 第三个信号到达 … … … … 第二个信号到达 第一个信号到达
0
W1
W2
t W3 W4 W5 W6
3.1 泊松过程的定义
定义B：计数过程{N(t)，t ≥0 }是泊松过程 ，如果N(t)满足 (1) N(0)=0； (2) N(t)是平稳、独立增量过程； (3) N(t)满足下列两式
P { N (t + h) − N (t ) = 1} = λ h + o(h) P { N (t + h) − N (t ) ≥ 2} = o(h)
d λt e Pn (t ) = λe λt Pn −1 (t ) dt
∞ −λh λ h
P { N (t + h) − N (t ) ≥ 2} = P { N ( h) − N (0) ≥ 2} = ∑ P { N (h) − N (0) = n} = ∑ e
n=2 n=2 ∞ ∞ −λh
(λ h ) = o( h) n!
n
3.1 泊松过程的定义
定义B⇒定义A
令Pn (t ) = P { N (t ) = n} = P { N (t ) − N (0) = n} , 则 （ ）当n = 0时 1 P0 (t + h) = P { N (t + h) = 0} = P { N (t + h) − N (0) = 0} = P { N (t ) − N (0) = 0, N (t + h) − N (t ) = 0} = P { N (t ) − N (0) = 0} P { N (t + h) − N (t ) = 0} = P0 (t )(1− P { N (t + h) − N (t ) ≥ 1}) = P0 (t )[1− λh + o(h)]
ห้องสมุดไป่ตู้
3.1 泊松过程的定义
独立增量计数过程 对于t1< t2 < … < tn，N(t2) - N(t1), N(t3) -N(t2), …, N(tn)-N(tn-1) 独立 平稳增量计数过程 在(t, t+s]内(s > 0)，事件A发生的次数 N(t+s) -N(t)仅与时间间隔s有关，而 与初始时刻t无关
3.1 泊松过程的定义
Pn (t + h) − Pn (t ) o(h) = −λPn (t ) + λPn −1 (t ) + h h 当h → 0时， Pn′ (t ) = −λPn (t ) + λPn −1 (t )
λt ′ e [Pn (t ) + λPn (t )] = λe Pn −1 (t ) λt
∑ P {[ N ( t + h ) − N ( t )] + [ N ( t ) − N (0)]
j=0
n
= n | N ( t + h ) − N ( t ) = j} P { N ( t + h ) − N ( t ) = j} =
∑ P {[ N ( t ) − N (0)] = n −
j=0
n
j | N ( t + h ) − N ( t ) = j}
⋅ P { N ( t + h ) − N ( t ) = j}
3.1 泊松过程的定义
= ∑ P {[ N ( t ) − N (0)] = n − j} P { N ( t + h ) − N ( t ) = j}
j=0 n
n
= ∑ Pn − j ( t ) P j ( h )
第三章 泊松(Poisson)过程
3.1 泊松过程的定义
定义：随机过程{N(t)，t ≥0 }是计数过程， 如果 N(t) 表示到时刻 t为止已发生的事件 A的总数，且N(t)满足下列条件 (1) N(t) ≥0 ; (2) N(t)取整数; (3)若s < t ，则N(s) ≤ N(t); (4)当s < t 时，N(t) - N(s)等于区间(s, t]中发生事件A的次数。
− λt
从而P0 (t ) = ke
− λt
3.1 泊松过程的定义
Pn ( t + h ) = P { N ( t + h ) = n} = P { N ( t + h ) − N (0) = n}
(2)对n ≥ 1，建立递推公式
= P {[ N ( t + h ) − N ( t )] + [ N ( t ) − N (0)] = n} =
3.1 泊松过程的定义
P0 (t + h) − P0 (t ) o(h) 故 = −λ P0 (t ) + , h h P0′(t ) 当h → 0时有P0′(t ) = −λ P0 (t )或 = −λ P0 (t ) 由于P0 (0) = P {N（0） = 0} = 1 于是有P0 (t ) = e