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一．假定某天文台观察到的流星流是一个泊松过程, 据以往资料统计为每小时平均观察到 3 颗流星.试求:( 1 ) 在上午 8 点到 12 点期间, 该天文台没有观察到流星的概率 .( 2 ) 下午( 12 点以后)该天文台观察到第一颗流星的时间的分布函数 .二．设电话总机在]X是具有强度,0(t内接到电话呼叫数)(tλ的泊松过程，求（每分钟）2=（1）两分钟内接到2次呼叫的概率；（2）“第二分钟内收到第2次呼叫”的概率。
维纳过程如果它满足给定实随机过程,}0),({≥t t W ;)2(是平稳的独立增量过程;0)),(,0()()( ,0 )3(2>−−≥>σσ且～增量对任意的s t N s W t W s t .0)0()1(=W 则称此过程为维纳过程.3. 维纳过程的特征).,min(),(),(2t s t s R t s B W W σ==;0),,0()( 2>σσ且～t N t W ).,min()]()()(()([(2a t a s a W s W a W s W E −−=−−σ,,0+∞<<≤∀t s a （１）（２）)]()())(()([(a W t W a W s W E −−,t s <令))]()()()())(()([(a W s W s W t W a W s W E −+−−=))]()())(()([(s W t W a W s W E −−=))]()())(()([(a W s W a W s W E −−+).(2a s −=σ五.平稳过程定义2.12,,,,,21T t t t N n n ∈∈L ))(,),(),((21n t X t X t X n L 变量维随机))(,),(),((21h t X h t X h t X n +++L 和具有相同的分布函数, 则称随机过程}),({T t t X ∈具有平稳性, 并同时称此过程为严平稳随机过程,(或狭义平稳过程).与常数若对为随机过程设τ∀∈,}),({T t t X ,,,,21时当T t t t n ∈+++τττL 严平稳过程的任意有限维概率分布不随时间的推移而改变.,}),({是严平稳过程若T t t X ∈,时间无关则它的一维概率分布与它的二维概率分布, 21的时间间隔有关只与 t .与时间起点无关{}.,),(,,,);()]()([),(,,)2( );()]([)(,)1( ,),( 简称为平稳过程平稳过程广义或弱为宽则称的取值无关而与的大小有关即其相关函数仅与对关的常数无与对如果是二阶矩过程设X t s s t s t R t X s X E t s R T t s t const m t X E t m T t T t t X X X X X X −−==∈∀===∈∀∈=.}),({,为平稳序列则称平稳过程为离散集若T t t X T ∈13.2定义试讨论它的平稳性相位周期过程为随机称定义变量上均匀分布的随机是服从区间的连续函数是一个周期为设随机相位周期过程例.)(),,(),()(.],0[,)()( t X t t s t X T T t s +∞−∞∈Φ+=Φ解φφφΦΦd )()()]([)]([)(∫∞∞−+=+==p t s t s E t X E t m X u u s T u u s T t s T T T t t T ∫∫∫==+=+00d )(1d )(1d )(1φφ,)(无关的常数是一个与t t m X[])()(),(ττ+=+t X t X E t t R X [])()(Φ++Φ+=τt s t s E φφφτd p t s t s )()()(Φ∞∞∫++Φ+=φφτφ∫+++=T t s t s T 0d )()(1u u s u s T T t t∫++=d )()(1τu u s u s T T ∫+=0d )()(1τ,有关其值仅与τ.是一平稳过程因而随机相位周期过程tc c 且对任意的给出由不同的电流符号信号是在电报信号传输中随机电报信号例,,,)( −⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−2121~)(c c t X {}的平稳性试讨论过程为为是强度内的变号次数在设的时间是随机的电流变换符号任意的持续时间而电流的发送又有一个0),(,)(],0[)(,,≥t t X Poisson t N t t X λ:解0,0)(2121)]([()(≥=−+==t c c t X E t m X:解)]()([),(ττ+=+t X t X E t t R X {}{}2222)()()()()(c t X t X P c c t X t X P c −=+−+=+=ττ{}{}为奇数为偶数)()()(22ττN P c N P c −+=0,0)(2121)]([()(≥=−+==t c c t X E t m X τλτλτλτλ−∞=+−∞=∑∑+−=e k c e k c k k k k 0122022)!12()()!2()(,),(无关与t t t R X τ+{}是平稳过程随机电报信号0),(≥∴t t X ,e !)(e 220-2τλτλτλ−∞==−=∑c k c k k ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−2121~)(c c t X,),(无关与t t t R X τ+{}是平稳过程随机电报信号0),(≥∴t t X 关于平稳过程更详细的讨论在第六章τλτλτλτλ−∞=+−∞=∑∑+−=ek c e k c k k k k 0122022)!12()()!2()(,e !)(e 220-2τλτλτλ−∞==−=∑c k c k k ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−2121~)(c c t X第三章泊松过程§3.1 泊松过程的的定义和例子1.问题的提出下列事件随时间的推移迟早会重复出现.(1) 自电子管阴极发射的电子到达阳极;(2) 机器零件发生故障;(3) 要求服务的顾客到达服务站.2. 问题的分析与求解将电子、顾客等看作时间轴上的质点,电子到达阳极、顾客到达服务站等事件的发生相当于质点出现.因此研究的对象可以认为是随时间推移,陆续地出现在时间轴上的许多质点所构成的随机的质点流..,],0(0,)(出现的质点数时间轴上内表示在时间间隔 用t t t N ≥.,}0),({称为 续的随机过程、时间连是一个状态取非负整数 ≥t t N 计数过程计数过程的一个典型样本函数定义 3.1 称随机过程{}0),(≥t t N 为计数过程；若)(t N 表示到时刻t 为止已发生的A 事件"的总数，且)(t N 满足下列条件：（1）()0≥t N（2）()t N 取正整数（3）若则,t s <)()(t N s N ≤；（4）当t s <时，)()(s N t N −等于区间],(t s 中""A 事件发生的次数。
•独立增量计数过程对于t 1< t 2 < …< t n ，N (t 2) -N (t 1),N (t 3) -N (t 2), …, N (t n )-N (t n-1) 独立•平稳增量计数过程在(t , t+s ]内(s >0)，事件A 发生的次数N (t+s ) -N (t )仅与时间间隔s 有关，而与初始时刻t 无关定义 3.2 称计数过程{}0),(≥t t X 为具有参数0>λ的泊松过程，若它满足下列条件：（1）0)0(=X（2）)(t X 是平稳独立增量过程；（3）在任一长度为t 的区间中，事件A 发生的次数服从参数0>t λ的泊松分布，即对任意0,≥t s ，有{}L ,1,0,!)()()(===−+−n n t e n s X s t X P n t λλ Poisson 分布λλ−==e k k X P k !)(教材有误,)]([t t X E λ=,/)]([t t X E =λ☆注：(1)泊松过程是平稳增量过程(2)由E[X(t)]=λt ,知λ=E[X(t)]/ t故λ表示过程的强度例在(0, t]内接到服务台咨询电话的次数X(t)，在(0, t]内到某火车站售票处购买车票的旅客数X(t)等定义 3.3 称计数过程{}0),(≥t t X 为具有参数0>λ的泊松过程，若它满足下列条件：由定义中条件(3)，在充分小的时间间隔内，最多有一个事件发生，有两个或两个以上事件同时发生可能性极小。
（1）0)0(=X（2）)(t X 是独立、平稳增量过程；（3）)(t X 满足下列两式：{})(1)()(h o h t X h t X P +==−+λ{})(2)()(h o t X h t X P =≥−+定义3.2↔定义3.3定义 3.2 称计数过程{}0),(≥t t X 为具有参数0>λ的泊松过程，若它满足下列条件：（1）0)0(=X（2）)(t X 是平稳独立增量过程；（3）在任一长度为t 的区间中，事件A 发生的次数服从参数0>t λ的泊松分布， 定义3.3 （1）0)0(=X（2）)(t X 是独立、平稳增量过程；（3）)(t X 满足下列两式：{})(1)()(h o h t X h t X P +==−+λ {})(2)()(h o t X h t X P =≥−+定义3.2⇒定义3.3{}2X()X(0)n P h n ∞==−=∑{}{}X()X()1X()X(0)1P t h t P h +−==−={}{}X()X()2X()X(0)2P t h t P h +−≥=−≥0()1!!nhn hh e h n λλλλ∞−=−==∑[1()]h h o h λλ=−+()o h =(1)hheeh λλλ−=−−2()!nhn h en λλ∞−==∑()h o h λ=+由（2）知平稳性，又当h 充分小的，有定义3.3⇒定义3.2{}{}()X()X()X(0),n P t P t n P t n ===−=令{}0()X()0P t h P t h +=+={}X()X(0)0P t h =+−={}X()X(0)0,X()X()0P t t h t =−=+−={}{}X()X(0)0X()X()0P t P t h t =−=+−=0()[1()]P t h o h λ=−+,0)1(时当=n 000()()()(),P t h P t o h P t h h λ+−=−+00()()P t P t λ′=−0(),t P t ke λ−=1}0)0({)0(0===X P P Q 0()tP t eλ−∴=(2)对n ≥1，建立递推公式{}()X()n P t h P t h n +=+={}X()X(0)P t h n =+−={}[X()X()][X()X(0)]P t h t t n =+−+−={}{}0[X()X(0)]X()X()n j P t n j P t h t j ==−=−+−=∑{}0[X()X(0)],X()X()nj P t n j t h t j ==−=−+−=∑{}{}[X()X(0)]X()X(0)nj P t n j P h j ==−=−−=∑{}{}0[X()X(0)]X()X(0)nj P t n j P h j ==−=−−=∑0()()nn j j j P t P h −==∑0112()()()()()()nn n n j j j P t P h P t P h P t P h −−==++∑011()()()()()n n P t P h P t P h o h −=++1(1())()[()]()()n n h o h P t h o h P t o h λλ−=−++++222()()()()(()(0)2)()nnn j j j j j j j P t P h P h P h P N h N o h −==∞=⎛⎞≤≤⎜⎟⎜⎟⎜⎟=−≥=⎜⎟⎝⎠∑∑∑1(1)()()()n n h P t hP t o h λλ−=−++)(h t P n +=hh o t P t P h t P h t P n n n n )()()()()(1++−=−+−λλ)()()(01t P t P t P h n n n−+−=′→λλ时，当[])()()(1t P e t P t P en tn nt−=+′λλλλ[])()(1t P e t P e dtd n tn t −=λλλ10()()tt t t d e P t e P t e e dtλλλλλλλ−⎡⎤===⎣⎦1()(),tP t t C e λλ−=+{}10X(0)10P P ===由于（）10()tC P t teλλ−==所以，,1)3(时当=n 1(1)()()()n n h P t hP t o h λλ−=−++)(h t P n +(4)用数学归纳法证明!)()(n t et P nt n λλ−=n =0,n =1时，结论已成立假设n -1时(n ≥1)，结论成立，由递推公式[])!1()()!1()()()(111−=−==−−−−n t n t e e t P e t P e dt d n n t t n t n t λλλλλλλλλ()()ntn t e P t Cn λλ=+积分得！{}(0)X(0)0n P P n ===由于()()nt n t P t en λλ−=从而！()nt t e n λλ−=！{}X()X()P t s s n +−=所以(0,1,2)n =L§3.2 泊松过程的基本性质一.数字特征{}L,1,0,!)()()(===−+−n n t e n s X s t X P ntλλ,0)0(=X {}L,1,0,!)()(===−n n t e n t X P nt λλ,)]([)(t t X E t m X λ==tt X D t X λσ==)]([)(2∑∞=−=0!)()]([n nt n t ne t X E λλ∑∞=−−−=11)!1()(n n t n t te λλλt λ=,!)()]([022∑∞=−=n ntn t en t X E λλ22)])([()]([)]([t X E t X E t X D −=)( ),1()]()([),(t s t s t X s X E t s R X <+==λλ)()(),(),(t m s m t s R t s B X X X X ⋅−=)]1(exp[][)()(−==iut iuX X e t eE u g λ特征函数t s <设),(t s R X )]}()()()[({s X s X t X s X E +−=})]({[)]}()()][0()({[2s X E s X t X X s X E +−−=2)]}([{)]([)]}()()][0()({[s X E s X D s X t X X s X E ++−−=证2)()(s s s t s λλλλ++−=)1(+=t s λλ),,min(),(t s t s B X λ=)1(+=t s λλt s λλ⋅−s λ=对照维纳过程的特征).,min(),(),(2t s t s R t s B W W σ==;0),,0()( 2>σσ且～t N t W ).,min()]()()(()([(2a t a s a W s W a W s W E −−=−−σ,,0+∞<<≤∀t s a （１）（２）,)]([)(t t X E t m X λ==tt X D t X λσ==)]([)(2)]1(exp[][)()(−==iut iuX X e t eE u g λ),,min(),(t s t s B X λ=)( ),1()]()([),(t s t s t X s X E t s R X <+==λλ二.时间间隔与等待时间的分布L,2,1,1=−=−n W W T n n n 记,),0[)(内到达服务点的顾客数为时间区间设t t X .}0),({过程的为强度且Poisson t t X λ≥i W ,个顾客到达的时间为第i 为时间序列},2,1,{L =i W i .},2,1,{点间间距序列为到达时间间隔序列或称L =n T n nn T T T W +++=∴L 211T 2T n T O1W 1−n W nW 2W定理3.2.,},2,1,{,}0),({ 的同一个指数分布且服从参数是相互独立的随机变量则其时间间隔的泊松过程为强度设λλL =≥n T t t X n .,2,10. ,0,0 ,e )(L =⎩⎨⎧≤>=−i t t t f tT i λλ{}L ,1,0,!)()()(===−+−n n t e n s X s t X P ntλλ{}L ,1,0,!)()(===−n n t en t X P ntλλL ,2,1 ,1=−=−i W W T i i i 1T 2T n T O1W 1−n W nW 2W ,程过程是独立平稳增量过Poisson Q 相互独立 L ,2,1 ,1=−=∴−i W W T i i i ,),0[}{1事件无出现内表示在Poisson t t T >)(1)()(111t T P t T P t F T >−=≤=()0)(1=−=t X P teλ−−=1{}!)()(n t en t X P ntλλ−==∑==nk kn T W 1}|{12s T t T P =>}|],({1s T t s s P =+=内无事件发生在}|],({1s T t s s P =+=内无事件发生在}1 )(0)()({2==−+=s X s X t s X P }0)()({2=−+=s X t s X P }0)0()({=−=X t X P }0)({==t X P te λ−=)0(X −}{1}{)(222t T P t T P t F T >−=≤=teλ−−=1.2的指数分布服从参数λT,3≥∀n },,,|{112211−−===>n n n s T s T s T t T P L } )()({1111=++−++−−n n s s t X s s t X P L L 0}0)0()({=−=X t X P }0)({==t X P te λ−=}{1}{)(t T P t T P t F n n T n >−=≤=te λ−−=1.的指数分布服从参数λn T 定理3.2.,},2,1,{,}0),({ 的同一个指数分布参数且服从是相互独立的随机变量间隔则其时间的泊松过程为强度设λλL =≥n T t t X n ⎩⎨⎧≤>=−.0 ,0,0 ,e )(t t t f t T n λλ⎪⎩⎪⎨⎧≤>−=−−.0 ,0,0 ,e )!1()()(1t t n t t f t n W nλλλ.分布的和服从参数为则其到达时间Γλn W n 定理3.3 ,}0),({过程的为强度设Poisson t t X λ≥概率密度函数证:)()(t W P t F n W n ≤=))((n t X P ≥=tn k k e k t λλ−∞=∑=!)()()(t F t f nn W W ′=t n k kt n k k e k t e k t λλλλλλ−∞=−∞=−∑∑−−=!)()!1()(1t n e n t λλ−−−=)!1()(1)0(>t例设{X 1(t ), t ≥0}和{X 2(t ), t ≥0}是两个相互独立的泊松过程，它们在单位时间内平均出现的事件数分别为λ1和λ2。
