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特征函数(Characteristic Function)的性质

特征函数（Characteristic Function ）的性质 1．;1)0(|)(|=≤??t

).0(11|||||)(|??==≤≤=E e E Ee t itX itX

2. )()(t t ??=-.

)()(t Ee e E Ee t itX itX itX ??====--.

3. 若Y=aX+b, 其中a 和b 为常数，则

).()(at e t X ibt

??= 4．若X 的l 阶矩存在，则

.1,|)(0l k EX i t dt

d k

k t k k ≤≤==?

k t itX k k t itX k k t k k EX i e X E i Ee dt

d t dt d ======000|)(||)(?. 注意求导和期望可交换的条件. 可利用特征函数求随机变量的各阶矩. 5. 特征函数具有一致连续性. ?

><>?>?M

x dx x p t s M ||)(.

.,0,0εε

∞

=-=-+|)()1(||)()(|x dF e e t h t itx ihx ?? ?∞

∞--≤)(|1|x dF e ihx

->-+-=M

x i h x

i h x

x dF e

||)(|1|)(|1|

|||2

sin |2)(||1|2

/hx hx

e e ihx ihx ihx ihx

≤=-=--

x hx

ihx ihx ihx ihx ?≤=-=--,2|2

sin |2)(||1|2

?>-+≤-+M

x M

x dF x dF x h t h t ||)(2)(|||)()(|??

?-+≤+≤M

hM x dF hM εε22)(.

取,/M εδ=则对

任意

t ，和),0(δ∈h 有

.3|)()(|ε??≤-+t h t

所以，特征函数是一致连续的. 引理：狄利克雷积分

1)sin(1)(0a sign a a a dt t at a I =???

????<-=>==?∞+π 证明：

∞

sin )(1

)(dt t

a sign a I π

以下证明

+∞

sin π

du u u .

?+∞-=0

1ds e u us ?

??-+∞+∞-==T

us T

T us

ududs

e ds e u du u

u 0

00sin sin sin ?∞

+-++-+=0

22)cos sin 11(ds e T

s T T T s s s

+∞-++-=

22cos sin 2

ds e T

s T T T s s

s s T e e T

s T T T s T s T T T s --∞→<++=++|cos sin |,0cos sin lim 2222 2

sin lim 0

∞→T

T du u u 。

Th 4.1.3(逆转定理)

设F(x)和)(t ?分别为随机变量X 的分布函数和特征函数，则对F 的任意两个连续点x 1

.)(21

lim

)()(2

112?---∞→-=-T

itx itx T dt t it

e e x F x F ?π

证明：记 ?---=

-T

T itx itx T dt t it e e J )(212

1?π

’则

?----=T T itX

itx itx T dt e it

e e E J 21

21π

?------=T

T x X it x X it dt it

e e

E )

()

(2121π

?----+--=T

x X it x X it x X it x X it dt

e e

e E 0

)

()

(221121πdt t

x X t x X E T

---=

21)sin()sin(1

)]()([2

lim 21x X sign x X sign E J T T ---=∞→. 不妨设x 1

??<<==><=---212

121210)()(x

X x x X or x X x X or x X x X sign x X sign

)

0()(2)0()()()0()]()([2

lim 11221221-+--+=--+=+==→∞x F x F x F x F x F x F x X P x X P J T T 若x 1和x 2 是F(x)的连续点，则定理得证.

Th （唯一性定理）分布函数有特征函数唯一确定。

证明：将分布函数的连续点集记为)(F C ，设)(t ?是)(x F 的特征函数.当)(,1F C x x ∈时，由反演公式

.)(21

lim

)()(2

112?---→∞-=-T

T itx itx T dt t it e e x F x F ?π

令1x 在)(F C 中趋于∞-，则有对)(2F C x ∈?，)(2x F 由)(t ?唯一确定。当)(F C x ?时，可令2x 在)(F C 中单调减的趋于x ，由)(x F 的右连续性可知，)(x F 由)(t ?唯一确定。

Th. 若特征函数)(t ?绝对可积，即

∞

-∞

则其对应的分布函数)(x F 为连续型，且密度函数为

.)(21

)(?

∞

--=dt e t x p itx ?π

证明：对R a ∈?，令a b n ↓，根据反演公式有

?∞

∞--≤-+-≤dt t a b a b F n n |)(|22)0F(F(a))(0?π

由定理条件可知，2

)

0F(F(a))(-+-a b F n 单调减的趋于0，而根

据)(x F 的右连续性可知)()(a F b F n →，故有

).0()(,02

)0F(F(a))(-==-+-a F a F a a F 即

亦即)(x F 处处连续。

对0,≠?∈?x R x ，根据反演公式得

?∞

∞-?+--?-=

?-?+dt t x it e e x x F x x F x x it itx )(21

)()()

(?π

令0→?x 得到

)()()(x p x x F x x F →?-?+；

itx

x x it itx e x

it e e -?+--→?-)( 所以，

.)(21

)(?

∞

--=

dt e t x p itx

?π

二．多元特征函数

若n 维随机变量T n X X X ),...,(1=的分布函数为),...,,(21n x x x F ，则定义其特征函数为

∞

-∞

∞

-∑=

==),...,(...)(11

n x t i

it x x dF e

t n

k k

k T ?

其中，.),...,,(21T n t t t t =也称为是随机向量T n X X X ),...,(1=的联合特征函数.

Th1. 由随机向量T n X X X ),...,(1=的联合特征函数可求出任意个子向量的边缘特征函数.例如

).0,...,,(),();0,...,0,()(2121,112

t t t t t t X X X ????==

性质：

;),...,(),...,(;1)0(|),...,(|111n n n t t t t f t t ???=--=≤

0,...,011...1`1

1|),...,(......==+-

???∑==n n n

j j

n t t n n

k k k k k k n

k t t t t i

X EX ? 反演公式

n c c n

j j

b it a it

c c c c n n dt dt t t it e e

b X a b X a P j

j j

j n n

n ...),...,(...)2(1

...),...,(111

n 1111

1lim lim ?π?∏

?-=---∞

→∞

→-=

≤<≤<

Th2. 随机变量X 和Y 相互独立的充要条件为

)()(),(2121,t t t t Y X Y X ???=

三．n 元正态分布

随机向量,),...,(1T n X X =X 定义

,),...,(1T

n EX EX EX =

T EX X EX X E X ))(()cov(--=

1. 设),1,0(~,,...,1N iid X X n 则其联合密度为

n n n R x x x x x x x f ∈??????++-=),...,(,)...(21exp )2(1),...,(1222212/1πEX=0,cov(X)=I n 密度函数又可写成

}21exp{)

2(1)(2

/Ix x x f T

n -=π

称之为标准n 元正态分布。

Def 如果A 是n 阶非奇异阵，μ是n 维实向量，而随机变量X 服从n 元标准正态分布，则将随机变量

μ+=AX Y

所服从的分布成为n 元正态分布.

易证：0)cov(,>==T

AA Y EY μ.记

,T AA =∑用记号 ),(~∑μN Y 表示Y 服从参数是∑,μ的正态分布.

TH, n

元正态分布),(∑μN 的概率密度为

)}()(2

1exp{||)2(1

)(1

/12/μμπ-∑--∑=-x x x f T n . Th. n 元正态分布),(∑μN 的特征函数为

n T

R t t t t i t ∈?∑-=},2

1exp{)(μ?

证明：首先，对服从标准多元正态分布的随机向量X,其特征函数为

};

21exp{}21exp{)(}exp{)(121

t t t t X it E t T n j j n

j j X T

i -=-===∑∏==??根据多元正态分布的定义，存在矩阵A ，使得T AA =∑，故所求特征函数为

1exp{}

1exp{)()

(t t it t AA t e

t T

T T it AX

it it AX it T T T ∑-=-===T +μ?μ

Th. n 元正态分布 ),(∑μN 的任一k 维的边缘分布都是k 元正态分

布，其中n k <≤1. 证明：,),...,,(),,(~21T

i i i k n k X X X X N X

=∑μ k

的特征

函数可以通过在X 的特征函数中令},...,,{,021k j j i i i t t ??=得到.有令},...,{,0;),...,(11k j X

it n X i i j t Ee

t t T ??==?

),...,(,),

()0,...,,...,0,,0(11

i i X X is i X k k k

T k

i t t s s Ee

t t ===其中??

又根据}21exp{)(t t it t T

X ∑-=μ?，得到

,...,,...,,),...,(},2

1exp{)(11***

1列形成的矩阵行和第的第是其中

k k T i i T T

X i i i i s s is s k k ∑∑=∑-=μμμμ?另外，还可以证明多元正态分布的各种形式的条件分布还是正态分布.

Th 设),(~,...,,21∑μn n N X X X ，则它们相互独立的充要条件是它们两两互不相关.

证明：必要性是显然的.下证充分性.

若n X X X ,...,,21两两互不相关，则,,0),cov(j i X X j i ≠?=即

},...,,{2211nn diag σσσ=∑，所以

∏∏∑=-=-==n

k X n

kk k k k k k kk k T

n t t t i t t i t t k ).

(}

21exp{}21exp{),...,(2

121?σμσμ?

由多元特征函数的性质可知n X X X ,...,,21相互独立.

Th 对于n 维正态随机向量),(~),(21∑=μN X X X T T T ，对∑和μ作相应的分块

???

? ??∑∑

∑∑=∑???? ??=2221121121，

μμμ 则),,(~),,(~22211111∑∑μμN X N X 且.01221=∑相互独立的充要条件是

和X X

Th 多元正态分布经过任意的线性变换后依然服从多元正态分

布.X C Y N X n m m n ?=∑),,(~μ即若,则

).,(~T m n C C C N Y ∑μ

推论：

,I),N(~X Y ,0),,(~.12/-12/-1分量相互独立的即则Y N X μμ∑∑=>∑∑

).,(~),,(~.222I A N AX Y A I N X σμσμ=是正交阵，则

Th ).,(~,),(~1

a a a N X a R a N X T

T T n n ∑∈??∑?μμ

(完整版)六大基本初等函数图像及其性质

六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数）y =C（其中C 为常数）； α

1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称； 2）当α为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数 n m 时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）； 4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果ma ，1≠a )，定义域是R ； [无界函数] 1.指数函数的图象： 2. 1）当1>a 时函数为单调增,当10<

3.（选，补充）指数函数值的大小比较* N ∈a ； a.底数互为倒数的两个指数函数 x a x f =)(， x a x f ? ? ? ??=1)( 的函数图像关于y 轴对称。 b.1.当1>a 时，a 值越大，x a y = 的图像越靠近y 轴； b.2.当10<∈>=n Z n m a a a n m n m (2)) 1,,,0(1 1*>∈>= =- n Z n m a a a a n m n m n m y x f x x x x g ? ? ?=1)(