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《4.21等差数列的概念（2）》教学设计（一）教学内容等差数列的性质及实际应用（二）教材分析1. 教材来源本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》2. 地位与作用数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。
一方面,数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。
而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓（三）学情分析1.认知基础：同学们已经掌握了等差数列的通项公式及递推公式。
2.认知障碍：在具体的举例下，等差数列的性质及应用比较容易。
（四）教学目标1. 知识目标：①能根据等差数列的定义推出等差数列的性质，并能运用这些性质简化运算.②能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题2.能力目标：培养学生观察与归纳能力。
3.素养目标：通过推导等差数列的性质及其应用，提升学生的数学抽象和逻辑推理素养，通过利用等差数列的相关公式解决实际应用问题，提升学生的数学建模和数学运算素养.（五）教学重难点：1. 重点：等差数列的性质及其应用2.难点：等差数列的性质的推导（六）教学思路与方法教学过程分为问题呈现阶段、探索与发现阶段、应用知识阶段（七）课前准备多媒体（八）教学过程分析：这台设备使用n年后的价值构成一个数列{a n}，由题意可知，10年之内（含10年），这台设备的价值应不小于11万元；而10年后，这台设备的价值应小于11万元，可以利用{a n}的通项公式列不等式求解。
解：设使用n年后，这台设备的价值为an万元，则可得数列{a n}．由已知条件，得a n＝a n−1－d（n≥2）．所以数列{an}是一个公差为－d的等差数列.因为a1＝220－d，所以a n＝220－d＋(n－1)(－d)＝220－nd.由题意，得a10≥11，a11＜11.即：{220－10d≥11220－11d＜11解得19<d≤20.9所以，d的求值范围为19<d≤20.9例4. 已知等差数列{an }的首项a1＝2，d=8,在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}.(1)求数列{bn}的通项公式.(2) b29是不是数列{an}的项？若是，它是{an}的第几项？若不是，请说明理由.通过上节课我们知道等差数列对应的点分布在一条直线上，那么你能从直线斜率的角度来解释这一性质吗？。
第 1 页 共 4 页第2课时 等差数列班级__________姓名____________ ______年____月____日内 容 要 求 A B C① 理解等差数列的概念. ② 掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式. ③ 了解等差数列与一次函数的关系．【教学过程】一、知识梳理：1. 等差数列的定义(1) 文字语言：如果一个数列从第二项起，每一项减去前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．(2) 符号语言：a n ＋1－a n ＝d(n ∈N )．2. 等差数列的通项公式若等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ．推广：a n ＝a m ＋(n －m)d.3. 等差中项如果三个数a ，A ，b 成等差数列，则A 叫a 和b 的等差中项，且有A ＝a ＋b 2． 4. 等差数列的前n 项和公式(1) S n ＝na 1＋n （n －1）2d ． (2) S n ＝n （a 1＋a n ）2． 5. 等差数列的性质(1) 等差数列{a n }中，对任意的m 、n 、p 、q ∈N *，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ．特殊的，若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p ．(2) 等差数列{a n }中依次每m 项的和仍成等差数列，即S m 、S 2m －S m 、S 3m －S 2m 、…仍成等差数列.二、回归教材1. (必修5P 47习题5改编)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6＝________．2. (必修5P 48习题7改编)在等差数列{a n }中，(1) 已知a 4＋a 14＝2，则S 17＝________；(2) 已知a 11＝10，则S 21＝________；(3) 已知S 11＝55，则a 6＝________；(4) 已知S 8＝100，S 16＝392，则S 24＝________．3. (必修5P 44练习6改编)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 5＝5，S 9＝27，则S 7＝________．4. (必修5P 48习题10改编)已知数列{a n }为等差数列，若a 1＝－3，11a 5＝5a 8，则使其前n 项和S n 取最小值的n ＝________．5. (必修5P 43例2改编)在等差数列{a n }中，已知d ＝12，a n ＝32，S n ＝－152，则a 1＝________．三、典型题型：题型1 数列中的基本量的计算例1 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝5，S 3＝9.(1) 求首项a 1和公差d 的值；(2) 若S n ＝100，求n 的值．变式训练在等差数列{a n }中，a 1＋a 3＝8，且a 4为a 2和a 9的等比中项，求数列{a n }的通项公式及其前n 项和．题型2 判断或证明一个数列是否是等差数列例2 已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n ＋n －4.(1) 求证：{a n }为等差数列；(2) 求{a n }的通项公式．变式训练已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2，n ∈N *)，a 1＝12，判断⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 与{a n }是否为等差数列，并说明你的理由．题型3 等差数列的性质例3 (1) 已知等差数列{a n }的公差d>0，若a 1＋a 2＋…＋a 2 017＝2 017a m (m ∈N *)，则m ＝________．(2) 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9＝________．变式训练(1) 等差数列{a n }中，S n 是{a n }前n 项和，已知S 6＝2，S 9＝5，则S 15＝________；(2) 给定81个数排成如图所示的数表，若每行9个数与每列的9个数按表中顺序构成等差数列，且表中正中间一个数a 55＝5，则表中所有数之和为________．题型4 等差数列中的最值问题例4 (1) 若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，当n 取何值时，{a n }的前n 项和最大？(2) 已知数列{a n }为等差数列，若a 7a 6<－1，且{a n }的前n 项和S n 有最大值，求使S n >0时n 的最大值； (3) 在等差数列{a n }中，a 1>0，公差d<0，a 5＝3a 7，其前n 项和为S n ，求S n 取得最大值时n 的值．变式训练已知在等差数列{a n }中，a 1＝31，S n 是它的前n 项和，S 10＝S 22.(1) 求S n ；(2) 这个数列的前多少项的和最大，并求出这个最大值．第 3 页 共 4 页四、课堂反馈：1. 已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝__________．2. (2015·苏北三市三模)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＋a 5＝26，S 4＝28，则a 10的值为________．3. (2015·苏北四市期末)在等差数列{a n }中，已知a 2＋a 8＝11，则3a 3＋a 11的值为__________．4. 已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1＝－1，S 3＝6，则S 6＝__________．5. 若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9＞0，a 7＋a 10＜0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．五、课后作业： 学生姓名：___________1. 设数列{a n }是公差d<0的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 6＝5a 1＋10d ，则S n 取最大值时，n ＝__________．2. 记等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S k －1＝8，S k ＝0，S k ＋1＝－10，则正整数k ＝__________．3. 已知数列{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它们的前n 项和S n 有最大值， 则使S n >0的n 的最大值为__________．4. 设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，已知S 3＝a 5，S 5＝25.(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 若p 、q 为互不相等的正整数，且等差数列{b n }满足b 1＝a 14，ba p ＝p ， ba q ＝q ，求数列{b n }的前n 项和T n .5. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1<0，S 2 015＝0.(1) 求S n 的最小值及此时n 的值；(2) 求n 的取值集合，使其满足a n ≥S n .6. 在等差数列{a n}中，公差d＞0，前n项和为S n，a2·a3＝45，a1＋a5＝18.(1) 求数列{a n}的通项公式；(2) 令b n＝S nn＋c(n∈N*)，是否存在一个非零常数c，使数列{b n}也为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由．小结反思：。
4．2.1 第二课时 等差数列的性质[A 级 基础巩固]1．已知等差数列{a n }:1,0,－1,－2,…;等差数列{b n }:0,20,40,60,…,则数列{a n ＋b n }是( ) A ．公差为－1的等差数列 B ．公差为20的等差数列 C ．公差为－20的等差数列D ．公差为19的等差数列详细解析:选D (a 2＋b 2)－(a 1＋b 1)＝(a 2－a 1)＋(b 2－b 1)＝－1＋20＝19. 2．在等差数列{a n }中,a 1＝2,a 3＋a 5＝10,则a 7＝( ) A ．5 B ．8 C ．10D ．14详细解析:选B 由等差数列的性质可得a 1＋a 7＝a 3＋a 5＝10,又因为a 1＝2,所以a 7＝8. 3．已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0),且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32,若a m ＝8,则m 等于( ) A ．8 B ．4 C ．6D ．12详细解析:选A 因为a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝4a 8＝32,所以a 8＝8,即m ＝8. 4．已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0,则有( ) A ．a 1＋a 101＞0 B ．a 2＋a 101＜0 C ．a 3＋a 99＝0D ．a 51＝51详细解析:选C 根据性质得:a 1＋a 101＝a 2＋a 100＝…＝a 50＋a 52＝2a 51,由于a 1＋a 2＋…＋a 101＝0,所以a 51＝0,又因为a 3＋a 99＝2a 51＝0,故选C.5．《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为( ) A ．1升 D ．6766升 C.4744升 D ．3733升详细解析:选B 设所构成的等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4.解得⎩⎨⎧a 1＝1322，d ＝766，则a 5＝a 1＋4d ＝6766,故第5节的容积为6766升．6．若三个数成等差数列,它们的和为9,平方和为59,则这三个数的积为________． 详细解析:设这三个数为a －d ,a ,a ＋d ,则⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋a ＋d ＝9，(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＝59. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，d ＝－4.∴这三个数为－1,3,7或7,3,－1.∴它们的积为－21. 答案:－217．若a ,b ,c 成等差数列,则二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点的个数为________． 详细解析:∵a ,b ,c 成等差数列,∴2b ＝a ＋c , ∴Δ＝4b 2－4ac ＝(a ＋c )2－4ac ＝(a －c )2≥0.∴二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点个数为1或2. 答案:1或28．已知数列{a n }满足a 1＝1,若点⎝⎛⎭⎪⎫a n n ，a n ＋1n ＋1在直线x －y ＋1＝0上,则a n＝________. 详细解析:由题设可得a n n －a n ＋1n ＋1＋1＝0,即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1,所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以1为公差的等差数列,且首项为1,故通项公式a nn ＝n ,所以a n ＝n 2. 答案:n 29．在等差数列{a n}中,若a1＋a2＋…＋a5＝30,a6＋a7＋…＋a10＝80,求a11＋a12＋…＋a15.解:法一:由等差数列的性质得a1＋a11＝2a6,a2＋a12＝2a7,…,a5＋a15＝2a10.∴(a1＋a2＋…＋a5)＋(a11＋a12＋…＋a15)＝2(a6＋a7＋…＋a10)．∴a11＋a12＋…＋a15＝2(a6＋a7＋…＋a10)－(a1＋a2＋…＋a5)＝2×80－30＝130.法二:∵数列{a n}是等差数列,∴a1＋a2＋…＋a5,a6＋a7＋…＋a10,a11＋a12＋…＋a15也成等差数列,即30,80,a11＋a12＋…＋a15成等差数列．∴30＋(a11＋a12＋…＋a15)＝2×80,∴a11＋a12＋…＋a15＝130.10．有一批豆浆机原销售价为每台800元,在甲、乙两家家电商场均有销售．甲商场用如下的方法促销:买一台单价为780元,买两台单价都为760元,依次类推,每多买一台则所买各台单价均再减少20元,但每台最低价不能低于440元;乙商场一律都按原价的75%销售．某单位购买一批此类豆浆机,问去哪家商场买花费较少．解:设单位需购买豆浆机n台,在甲商场购买每台售价不低于440元,售价依台数n成等差数列．设该数列为{a n}．a n＝780＋(n－1)(－20)＝800－20n,解不等式a n≥440,即800－20n≥440,得n≤18.当购买台数小于等于18台时,每台售价为(800－20n)元,当台数大于18台时,每台售价为440元．到乙商场购买,每台售价为800×75%＝600元．作差:(800－20n)n－600n＝20n(10－n),当n<10时,600n<(800－20n)n,当n＝10时,600n＝(800－20n)n,当10<n≤18时,(800－20n)n<600n,当n>18时,440n<600n.即当购买少于10台时到乙商场花费较少,当购买10台时到两商场购买花费相同,当购买多于10台时到甲商场购买花费较少．[B级综合运用]11．(多选)下面是关于公差d ＞0的等差数列{a n }的四个命题,正确的是( )A ．数列{a n }是递增数列B ．数列{na n }是递增数列C ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列D ．数列{a n ＋3nd }是递增数列详细解析:选AD a n ＝a 1＋(n －1)d ,d ＞0,∴a n －a n －1＝d ＞0,A 正确; na n ＝na 1＋n (n －1)d ,∴na n －(n －1)a n －1＝a 1＋2(n －1)d 与0的大小关系和a 1的取值情况有关． 故数列{na n }不一定递增,B 不正确; 对于C:a n n ＝a 1n ＋n －1n d , ∴a n n －a n －1n －1＝－a 1＋d n (n －1),当d －a 1＞0,即d ＞a 1时,数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 递增,但d ＞a 1不一定成立,C 不正确; 对于D:设b n ＝a n ＋3nd ,则b n ＋1－b n ＝a n ＋1－a n ＋3d ＝4d ＞0. ∴数列{a n ＋3nd }是递增数列,D 正确．12．若方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列,则|m －n |＝( )A ．1 D ．34C.12D ．38详细解析:选C 设方程的四个根a 1,a 2,a 3,a 4依次成等差数列,则a 1＋a 4＝a 2＋a 3＝2,再设此等差数列的公差为d ,则2a 1＋3d ＝2, ∵a 1＝14,∴d ＝12,∴a 2＝14＋12＝34,a 3＝14＋1＝54,a 4＝14＋32＝74,∴|m －n |＝|a 1a 4－a 2a 3| ＝⎪⎪⎪⎪14×74－34×54＝12.13．已知数列{a n }是等差数列,若a 4＋a 7＋a 10＝17,a 4＋a 5＋a 6＋…＋a 12＋a 13＋a 14＝77,则a 7＋a 9＝________,若a k ＝13,则k ＝________.详细解析:∵a 4＋a 7＋a 10＝3a 7,∴a 7＝173. ∵a 4＋a 5＋…＋a 14＝11a 9,∴a 9＝7, ∴a 7＋a 9＝383,d ＝23.∴a k －a 9＝(k －9)d ,即13－7＝(k －9)×23,解得k ＝18.答案:3831814．数列{a n }为等差数列,b n ＝⎝⎛⎭⎫12a n ,又已知b 1＋b 2＋b 3＝218,b 1b 2b 3＝18,求数列{a n }的通项公式． 解:∵b 1＋b 2＋b 3＝⎝⎛⎭⎫12a 1＋⎝⎛⎭⎫12a 2＋⎝⎛⎭⎫12a 3＝218,b 1b 2b 3＝⎝⎛⎭⎫12a 1＋a 2＋a 3＝18,∴a 1＋a 2＋a 3＝3. ∵a 1,a 2,a 3成等差数列,∴a 2＝1,故可设a 1＝1－d ,a 3＝1＋d , 由⎝⎛⎭⎫121－d ＋12＋⎝⎛⎭⎫121＋d ＝218, 得2d ＋2－d ＝174,解得d ＝2或d ＝－2. 当d ＝2时,a 1＝1－d ＝－1,a n ＝－1＋2(n －1)＝2n －3;当d＝－2时,a1＝1－d＝3,a n＝3－2(n－1)＝－2n＋5.[C级拓展探究]15．下表是一个“等差数阵”:ij(1)写出a45的值;(2)写出a ij的计算公式,以及2 020这个数在“等差数阵”中所在的一个位置．解:通过每行、每列都是等差数列求解．(1)a45表示数阵中第4行第5列的数．先看第1行,由题意4,7,…,a15,…成等差数列,公差d＝7－4＝3,则a15＝4＋(5－1)×3＝16.再看第2行,同理可得a25＝27.最后看第5列,由题意a15,a25,…,a45成等差数列,所以a45＝a15＋3d＝16＋3×(27－16)＝49.(2)该“等差数阵“的第1行是首项为4,公差为3的等差数列a1j＝4＋3(j－1); 第2行是首项为7,公差为5的等差数列a2j＝7＋5(j－1);…第i 行是首项为4＋3(i －1),公差为2i ＋1的等差数列, ∴a ij ＝4＋3(i －1)＋(2i ＋1)(j －1) ＝2ij ＋i ＋j ＝i (2j ＋1)＋j .要求2 020在该“等差数阵”中的位置,也就是要找正整数i ,j ,使得i (2j ＋1)＋j ＝2 020,∴j ＝2 020－i2i ＋1.又∵j ∈N *,∴当i ＝1时,得j ＝673. ∴2 020在“等差数阵”中的一个位置是第1行第673列．。
