母函数和特征函数简介

概率论上的母函数(gen erati ng fucnction)定义：假设随机变量E取非负整数值，且相应的分布列为：(0，1, 2)(P o, P i, P2)那么P k*s k( k从0到无穷)的和为s的函数，此函数称为的母函数。

特征函数(概率论)在概率论中，任何随机变量的特征函数完全定义了它的概率分布。

在实直线上，它由以下公式给出，其中X是任何具有该分布的随机变量：®x(t) = E(e itX)其中t是一个实数，i是虚数单位，E表示期望值。

用矩母函数M x(t)来表示(如果它存在)，特征函数就是iX的矩母函数，或X在虚数轴上求得的矩母函数。

「x(t)二M ix (t)二M x(it)与矩母函数不同，特征函数总是存在。

如果F x是累积分布函数，那么特征函数由黎曼-斯蒂尔切斯积分给出：E (e itx)= ::e itx dF x(x)在概率密度函数f x存在的情况下，该公式就变为：E (e itx) = . ： e itx f x (x)dx如果X是一个向量值随机变量，我们便取自变量t为向量，tx为数量积。

R或R n上的每一个概率分布都有特征函数，因为我们是在有限测度的空间上对一个有界函数进行积分，且对于每一个特征函数都正好有一个概率分布。

一个对称概率密度函数的特征函数(也就是满足f x(x) = f x(-x))是实数，因为从x>0所获得的虚数局部与从x<0所获得的相互抵消。

连续性勒维连续定理勒维连续定理说明，假设(X n)n」"为一个随机变量序列，其中每一个X n都有特征函数-：n,那么它依分布收敛于某个随机变量X :Xn ° > X当n —如果件一巴in^is j cp 当n Too且④(t)在t=0处连续，9是X的特征函数。

莱维连续定理可以用来证明弱大数定律。

反演定理在累积概率分布函数与特征函数之间存在双射。

也就是说，两个不同的概率分布不能有相同的特征函数。

母函数（⽣成函数）介绍母函数是组合数学中相当重要的⼀个知识点，可以⽤来解决⼀些排列组合问题，还有所有的常系数线性齐次递推问题。

如果系数不是常数，需要根据具体情况进⾏处理。

具体的内容可以看组合数学相关书籍或者，由于⼤佬总是想当然地把别⼈当成⼤佬，⼀些内容对（像我这种）蒟蒻来说不是很友好，在这⾥讲⼀下母函数的基础。

（研究母函数时，钦定|x|<1）,这样，由等⽐数列求和公式有：11−x=∑∞i=0x i=1+x+ (x)11−kx=∑∞i=0k i x i=1+kx+...+k∞x∞1.普通型母函数。

假设有⼀个数列a,那么它的母函数其实就是⼀个关于x的多项式，x n的系数为a n，对于已知通项的数列，其母函数可以直接写出来。

⽽对于未知的数列，主要分为两类：递推型和组合型。

递推型就是利⽤错位相消，举个栗⼦：a n=3a n−1+10a n−2,a0=1,a1=2移项，得a n−3a n−1−10a n−2=0，设a n的母函数为G(x)G(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3...−3xG(x)=−3a0x+(−3)a1x2+(−3)a2x3...−10x2G(x)=−10a0x2+(−10)a1x3三⾏相加，可以发现等式右侧除了第⼀⾏的第1,2项和第⼆⾏的第1项外全消掉了。

所以我们可以得到(1−3x−10x2)G(x)=a0+a1x−3a0x=1−x，即G(x)=1−x1−3x−10x2，⽣成函数就求出来了，那如果我们还要求an的通项呢？对于这种东西，我们可以把他化成k1x−A+k2x−B这种形式，其中A和B由分母的因式分解唯⼀确定，然后k1,k2可由待定系数法解得。

然后对于kx−A,总可以化成k′∗11−Nx，就是k′∑∞i=0N i x i，找出x k的系数就是a n，如果母函数拆开成多个该类分式的话各部分相加就好。

具体计算就不算了。

PS:⼀部分⾮齐次线性递推其实也可以这样解，⽐如a n−3a n−1−10a n−2=f(n)，按照上述⽅法错项后会剩下⼀个等⽐数列和前⼏项余项。

特征函数、母函数、矩母函数确定随机变量的概率密度函数/分布律 方便求解独立随机变量和的分布函数一类问题可以通过微分运算求随机变量的数字特征1．特征函数：设随机变量ξ的分布函数为Ｆ(x), 概率密度函数为f(x), 称：(){}()()jt jtx jtx t E e e dF x e f x dx ξ∞∞−∞−∞Φ===∫∫ 为随机变量ξ的分布函数的特征函数，或ξ的特征函数,特征函数是概率密度函数的付氏变换。

特征函数的性质：1．特征函数与概率密度函数相互唯一地确定；2．两个相互统计独立的随机变量和的特征函数等于各个随机变量特征函数的积；3．特征函数与随机变量的数字特征的关系：()0()|{}k k k t t j E ξ=Φ=典型随机变量的特征函数1． 两点分布的特征函数：()jt t q pe Φ=+2． 二项式分布的特征函数：()()n jt t q pe Φ=+3． 几何分布：()1jtjtpe t qe Φ=− 4． 泊松分布(λ)：(1)()jt e t eλ−−Φ= 5． 正态分布2(,)N σ∂：22()exp{}2t t j t σΦ=∂−6． 均匀分布[0，1]：1()jt e t jt−Φ= 7． 负指数分布：()t jtλλΦ=−2．母函数研究分析非负整值随机变量时，可以采用母函数法：对于一个取非负整数值n=0,1,2,……，的随机变量x ，，其相应的矩生成函数定义为： 0()()n n z p x n z ∞=Φ==⋅∑(1/)z Φ是序列()p x n =的正常的z 变换母函数的性质：1． 两个相互统计独立的随机变量和的母函数等于各个随机变量的母函数的积。

2． 随机个独立同分布的非负整值随机变量和的矩生成函数是原来两个母函数的复合(见附合泊松过程的应用)3．()000(),()!1,2,k k z z z p z k p k ==Φ=Φ=="通过母函数有理分式的幂级数展开等方法，得到随机变量的概率分布表达式。

母函数详解在数学中，某个序列的母函数(Generating function，⼜称⽣成函数)是⼀种形式幂级数，其每⼀项的系数可以提供关于这个序列的信息。

使⽤母函数解决问题的⽅法称为母函数⽅法。

母函数———把组合问题的加法法则和幂级数的的乘幂的相加对应起来我们从经典的砝码的例⼦讲起题⽬：有1g 2g 3g 4g的砝码各⼀枚，能称出多少种重量？每种重量的可能组合砝码是什么穷举的话，很容易得出结果，单数时间复杂的度为n的四次⽅，较⼤，不能采取所以，我么可以采⽤⼀个类似离散数学的逻辑式⼦表⽰前两种砝码组合产⽣的情况这⾥ ||代表或 &&代表与（使⽤1g||不使⽤1g）&&（使⽤2g||不适⽤2g）=使⽤1g&&使⽤2g||不使⽤1g&&使⽤2g||使⽤1g&&不使⽤2g||不使⽤1g&&不使⽤2g思考：⼤家可以发现这个表达式和⼀种表达式很像，没错，如果把“||”看成加法，“&&”看成乘法，和多项式的乘法⼀模⼀样。

那么我们直觉的想到，有没有可能⽤多项式乘法来表⽰组合的情况呢？我们再来看题⽬，题⽬需要的是⼏种砝码组合后的重量，是⼀个加法关系，但是在上式中“&&”是⼀种类似于乘法的运算关系，这怎么办呢？有没有什么这样⼀种运算关系，以乘法的形式运算，但是结果表现出类似于加法的关系呢？正好有⼀个，那就是幂运算。

Xm 乘上Xn结果是Xm+n，他完美的符合了我们的要求。

那么以次数表⽰砝码的质量，就可以以多项式的形式表⽰砝码组合的所有⽅案。

还是以前俩个砝码为例说明。

表⽰1g砝码的两种多项式就是（x^0+x^1），表⽰2g砝码的两种多项式就是（x^0+x^2)，x的0次⽅表⽰没有使⽤该砝码，当然x的0次⽅等于1，所以写成1也是对的。

注意，砝码的重量是⽤次数表⽰的，⽽不是⽤下标表⽰的 （x^0+x^1)*(x^0+x^2) =x^0*x^0+x^1*x^1+x^0*x^1+x^1*x^2 =x^0+x^1+x^2+x^3 结果很显然，有四个⽅案；0g 1g 2g 3g 再试试四个砝码加⼀起的结果 ⼀个1g 2g 3g 4g （x^0+x^1）* （x^0+x^2） * （x^0+x^3）* （x^0+x^4） =x^0 + x^1 + x^2 + 2x^3 + 2x^4 + 2x^5 + 2x^6 + 2x^7 + x^8+ x^9 + x^10 结果就是0g 1g 2g 2个3g 2个4g 2个5g 2个6g 2个7g ⼀个8g ⼀个9g ⼀个10g ⾄此也就得出了答案。

浅析特征函数、母函数的概念教学及其应用申广君（安徽师范大学 数学计算机科学学院，安徽 芜湖 241003）[摘 要] 正确认识和理解基本概念是学好概率论的前提和基础。

本文浅析了对特征函数、母函数的概念的认识和理解，并举例说明了它们在解决问题中的应用。

［关键词 特征函数 母函数 应用［中图分类号］O174 ［文献标识码］A 概率论是研究随机现象统计规律的一门数学分科，用随机变量来描述随机现象，使得概率论从研究定性的事件及其概率扩大为研究定量的随机变量及其分布，从而扩充了研究概率论的数学工具，特别是便于使用经典分析工具，使得概率论真正成为一门数学学科。

分布函数是用来完整地描述随机变量分布规律（取值及取值规律）的最基本的方法，特征函数是概率论中的一个重要分析工具，它和分布函数之间存在一一对应的关系，可以使用特征函数来分析研究随机变量，并且可以大大简化有关随机变量的一些计算和证明，然而在研究仅取非负整数值的随机变量时，以母函数代替特征函数比较方便。

可是在教学过程中发现，不少学生对特征函数和母函数的概念没有正确认识，甚至出现一些错误的认识和理解，从而导致计算的盲目性。

本文主要探讨了对特征函数与母函数的概念的认识和理解，并通过实例介绍了它们的一些应用，以期对学习概率论能起到一定的指导作用。

一、特征函数（一）特征函数的定义及性质设X 是一个实值随机变量，其分布函数为)(x F ，则称itXe的数学期望itXEe为随机变量X 或其分布函数)(x F 的特征函数，记为)(t X ϕ，即)()(x dF e Eet itX itXX ⎰+∞∞-==ϕ，其中1-=i ， R t ∈。

分析 按照定义，特征函数是一个实变量的复值函数。

由于对任意实数R t ∈，都有1)(sin )(cos ||22=+=tX tX e itX ，所以任何随机变量的特征函数总是存在的。

并且它能把寻求独立随机变量和的分布的卷积运算（积分运算）转换成乘法运算，还能把求分布的各阶原点矩（积分运算）转换成微分运算，特别地它能把寻求随机变量序列的极限分布转换成一般的函数极限问题。

多项分布的数学期望、协方差阵、特征函数及母函数多项分布的数学期望、协方差阵、特征函数及母函数 1一、定义与性质设 X 为随机变量， I 是一个包含 0 的 ( 有限或无限的 ) 开区间，对任意t ∈ I ，期望 E e t x 存在设X为随机变量，I是一个包含0的(有限或无限的)开区间，对任意t∈I，期望Ee^{tx}存在设X为随机变量，I是一个包含0的(有限或无限的)开区间，对任意t∈I，期望Eetx存在则称函数M X ( t ) = E ( e t X ) = ∫ − ∞ + ∞ e t x d F ( x ) , t ∈ I 为 X 的矩母函数则称函数M_{X}(t)=E(e^{tX})=\int_{-\infin}^{+\infin}e^{tx}dF(x),t∈I为X的矩母函数则称函数MX(t)=E(etX)=∫−∞+∞etxdF(x),t∈I为X的矩母函数设 X 为任意随机变量，称函数φ X ( t ) = E ( e i t X ) = ∫ − ∞ + ∞ e i t x d F ( x ) 为 X 的特征函数设X为任意随机变量，称函数\varphi_{X}(t)=E(e^{itX})=\int_{-\infin}^{+\infin}e^{itx}dF(x)为X的特征函数设X为任意随机变量，称函数φX(t)=E(eitX)=∫−∞+∞eitxdF(x)为X 的特征函数一个随机变量的矩母函数不一定存在，但是特征函数一定存在。

一个随机变量的矩母函数不一定存在，但是特征函数一定存在。

一个随机变量的矩母函数不一定存在，但是特征函数一定存在。

随机变量与特征函数存在一一对应的关系随机变量与特征函数存在一一对应的关系随机变量与特征函数存在一一对应的关系二、离散型随机变量的分布0、退化分布(Degenerate distribution)若 X 服从参数为 a 的退化分布，那么 f ( k ;a ) = { 1 , k = a 0 , k ≠ a 若X服从参数为a的退化分布，那么f(k;a)=\left\{\begin{matrix} 1,k=a \\ 0,k\neq a \end{matrix}\right. 若X服从参数为a的退化分布，那么f(k;a)={1,k=a0,k=a M ( t ) = e t a M(t)=e^{ta}M(t)=eta φ ( t ) = e i t a \varphi(t)=e^{ita}φ(t)=eita M ′ ( t ) = a e t a M'(t)=ae^{ta}M′(t)=aeta E X = M ′ ( 0 ) = a EX=M'(0)=aEX=M′(0)=a M ′ ′ ( t ) = a 2 e t a M''(t)=a^2e^{ta} M′′(t)=a2eta E X 2 = M ′ ′ ( 0 ) = a 2EX^2=M''(0)=a^2 EX2=M′′(0)=a2 D X = E X 2 − ( E X ) 2 = 0 DX=EX^2-(EX)^2=0 DX=EX2−(EX)2=01、离散型均匀分布(Discrete uniform distribution)若 X 服从离散型均匀分布 D U ( a , b ) , 则 X 分布函数为 F ( k ; a , b ) = ⌊ k ⌋− a + 1 b −a + 1 若X服从离散型均匀分布DU(a,b) ,则X分布函数为F(k;a,b)=\frac{\lfloor k\rfloor -a+1}{b-a+1} 若X服从离散型均匀分布DU(a,b),则X分布函数为F(k;a,b)=b−a+1⌊k⌋−a+1 则矩母函数M ( t ) = ∑ k = a b e t k P ( x = k ) 则矩母函数M(t)=\sum_{k=a}^{b} e^{tk}P(x=k) 则矩母函数M(t)=k=a∑betkP(x=k) = ( ∑ k = a b e t k ) 1 b − a + 1 =(\sum_{k=a}^{b} e^{tk})\frac{1}{b-a+1} =(k=a∑b etk)b−a+11 = e a t − e ( b + 1 ) t ( 1 − e t ) ( b − a + 1 ) =\frac{e^{at}-e^{(b+1)t}}{(1-e^{t})(b-a+1)} =(1−et)(b−a+1)eat−e(b+1)t 特征函数φ ( t ) = ∑k = a b e i t k P ( x = k ) 特征函数\varphi(t)=\sum_{k=a}^{b} e^{itk}P(x=k) 特征函数φ(t)=k=a∑beitkP(x=k) = ( ∑ k = a b e i t k ) 1 b −a + 1 =(\sum_{k=a}^{b} e^{itk})\frac{1}{b-a+1}=(k=a∑beitk)b−a+11 = e a i t − e ( b + 1 ) i t ( 1 − e i t ) ( b − a + 1 ) =\frac{e^{ait}-e^{(b+1)it}}{(1-e^{it})(b-a+1)}=(1−eit)(b−a+1)eait−e(b+1)it M ′ ( t ) = 1 b − a + 1 ( a e a t − ( b + 1 ) e ( b + 1 ) t ) ( 1 − e t ) + ( e a t − e ( b + 1 ) t ) e t ( e t − 1 ) 2M'(t)=\frac{1}{b-a+1}\frac{(ae^{at}-(b+1)e^{(b+1)t})(1-e^t)+(e^{at}-e^{(b+1)t})e^t}{(e^{t}-1)^{2}} M′(t)=b−a+11(et−1)2(aeat−(b+1)e(b+1)t)(1−et)+(eat−e(b+1)t)et t = 0 为M ′ ( t ) 的可去间断点，补充定义M ′ ( 0 ) = lim ⁡ t → 0 M ′ ( t ) t=0为M'(t)的可去间断点，补充定义M'(0)=\lim_{t\rightarrow0}M'(t) t=0为M′(t)的可去间断点，补充定义M′(0)=t→0limM′(t) E X = M ′ ( 0 ) = lim ⁡ t → 0 1 b − a + 1 ( a 2 e at − ( b + 1 ) 2 e ( b + 1 ) t ) ( 1 − e t ) + ( e at − e ( b + 1 ) t ) e t 2 ( e t − 1 ) e tEX=M'(0)=\lim_{t\rightarrow0}\frac{1}{b-a+1}\frac{(a^2e^{at}-(b+1)^2e^{(b+1)t})(1-e^t)+(e^{at}-e^{(b+1)t})e^t}{2(e^{t}-1)e^t}EX=M′(0)=t→0limb−a+112(et−1)et(a2eat−(b+1)2e(b+1)t)(1−et)+(eat−e(b+1)t) et = lim ⁡ t → 0 1 b − a + 1 ( a 2 e a t − ( b +1 )2 e ( b + 1 ) t ) ( e − t − 1 ) + ( e a t − e ( b + 1 ) t ) 2 ( e t − 1 )=\lim_{t\rightarrow0}\frac{1}{b-a+1}\frac{(a^2e^{at}-(b+1)^2e^{(b+1)t})(e^{-t}-1)+(e^{at}-e^{(b+1)t})}{2(e^{t}-1)} =t→0limb−a+112(et−1)(a2eat−(b+1)2e(b+1)t)(e−t−1)+(eat−e(b+1)t) = lim ⁡ t → 0 1 b − a + 1 ( a 3 e a t − ( b + 1 ) 3 e ( b + 1 ) t ) ( e − t − 1 ) − ( a 2 e a t −( b + 1 ) 2 e ( b + 1 ) t ) e − t + ( a e a t − ( b + 1 ) e ( b + 1 ) t ) 2 e t=\lim_{t\rightarrow0}\frac{1}{b-a+1}\frac{(a^3e^{at}-(b+1)^3e^{(b+1)t})(e^{-t}-1)-(a^2e^{at}-(b+1)^2e^{(b+1)t})e^{-t}+(ae^{at}-(b+1)e^{(b+1)t})}{2e^{t}} =t→0limb−a+112et(a3eat−(b+1)3e(b+1)t)(e−t−1)−(a2eat−(b+1)2e(b+1)t)e−t+(aeat−(b+1)e(b+1)t) = − a 2 + ( b + 1 ) 2 +a − (b + 1 ) 2 ( b − a + 1 ) =\frac{-a^2+(b+1)^2+a-(b+1)}{2(b-a+1)} =2(b−a+1)−a2+(b+1)2+a−(b+1) = − a 2 + ( b + 1 ) 2 2 ( b − a + 1 ) − 1 2 =\frac{-a^2+(b+1)^2}{2(b-a+1)}-\frac{1}{2}=2(b−a+1)−a2+(b+1)2−21 = ( b + 1 − a ) ( b + 1 +a ) 2 (b − a + 1 ) − 1 2 =\frac{(b+1-a)(b+1+a)}{2(b-a+1)}-\frac{1}{2}=2(b−a+1)(b+1−a)(b+1+a)−21 = b + 1 + a 2 − 1 2=\frac{b+1+a}{2}-\frac{1}{2} =2b+1+a−21 = b + a 2=\frac{b+a}{2} =2b+a 由于对M ′ ( t ) 求导得到M ′ ′ ( t ) ，再求M ′ ′ ( 0 ) 的方法比较繁琐，而我们只需要 t = 0 时 M 的二阶导数值，由于对M'(t)求导得到M''(t)，再求M''(0)的方法比较繁琐，而我们只需要t=0时M的二阶导数值，由于对M′(t)求导得到M′′(t)，再求M′′(0)的方法比较繁琐，而我们只需要t=0时M的二阶导数值，因此可以考虑使用 T a y l o r 公式计算M ′ ′ ( 0 ) 因此可以考虑使用Taylor公式计算M''(0) 因此可以考虑使用Taylor公式计算M′′(0) 令 1 − e t = u , t = 0 时 , u = 0 令1-e^t=u,t=0时,u=0 令1−et=u,t=0时,u=0 M ( t ) = e a t − e ( b + 1 ) t ( 1 − e t ) ( b − a + 1 )M(t)=\frac{e^{at}-e^{(b+1)t}}{(1-e^{t})(b-a+1)}M(t)=(1−et)(b−a+1)eat−e(b+1)t = 1 b − a + 1 u a −u b + 1 u =\frac{1}{b-a+1}\frac{u^a-u^{b+1}}{u}=b−a+11uua−ub+1 = 1 b − a + 1 1 + a 1 ! ( − u ) + a ( a − 1 ) 2 ! u 2 + a ( a − 1 ) ( a − 2 ) 3 ! ( − u 3 ) + o ( u 3 ) − 1 − b + 1 1 ! ( − u ) −( b + 1 ) b 2 ! u 2 − ( b + 1 ) b ( b − 1 ) 3 ! ( −u 3 ) − o ( u 3 ) u =\frac{1}{b-a+1}\frac{1+\frac{a}{1!}(-u)+\frac{a(a-1)}{2!}u^2+\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}(-u^3)+o(u^3)-1-\frac{b+1}{1!}(-u)-\frac{(b+1)b}{2!}u^2-\frac{(b+1)b(b-1)}{3!}(-u^3)-o(u^3)}{u} =b−a+11u1+1!a (−u)+2!a(a−1)u2+3!a(a−1)(a−2)(−u3)+o(u3)−1−1!b+1(−u)−2!(b+1)bu2−3!(b+1)b(b−1) (−u3)−o(u3) = 1 b − a + 1 a 1 ! ( − u ) + a ( a −1 ) 2 ! u 2 + a ( a − 1 ) ( a − 2 ) 3 ! ( − u 3 ) + o ( u 3 ) − b + 1 1 ! ( − u ) − ( b + 1 ) b 2 ! u 2 − ( b + 1 ) b ( b − 1 ) 3 ! ( − u 3 ) u=\frac{1}{b-a+1}\frac{\frac{a}{1!}(-u)+\frac{a(a-1)}{2!}u^2+\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}(-u^3)+o(u^3)-\frac{b+1}{1!}(-u)-\frac{(b+1)b}{2!}u^2-\frac{(b+1)b(b-1)}{3!}(-u^3)}{u} =b−a+11u1!a(−u)+2!a(a−1)u2+3!a(a−1)(a−2)(−u3)+o(u3)−1!b+1 (−u)−2!(b+1)bu2−3!(b+1)b(b−1)(−u3) = 1 b − a + 1 ( ( b + 1 − a ) + a ( a − 1 ) 2 ! u + a ( a − 1 ) ( a − 2 ) 3 ! ( − u 2 ) + o ( u 2 ) − ( b + 1 ) b2 ! u − ( b + 1 ) b ( b − 1 )3 ! ( − u 2 ) )=\frac{1}{b-a+1}((b+1-a)+\frac{a(a-1)}{2!}u+\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}(-u^2)+o(u^2)-\frac{(b+1)b}{2!}u-\frac{(b+1)b(b-1)}{3!}(-u^2)) =b−a+11((b+1−a)+2!a(a−1)u+3!a(a−1)(a−2)(−u2)+o(u2)−2!(b+1)bu−3!(b+1)b(b−1)(−u2)) = 1 + a ( a − 1 ) − ( b + 1 ) b 2 ! ( b − a + 1 ) u + ( b +1 ) b ( b − 1 ) − a ( a − 1 ) ( a −2 )3 ! ( b −a + 1 ) u 2 + o ( u 2 ) =1+\frac{a(a-1)-(b+1)b}{2!(b-a+1)}u+\frac{(b+1)b(b-1)-a(a-1)(a-2)}{3!(b-a+1)}u^2+o(u^2) =1+2!(b−a+1)a(a−1)−(b+1)bu+3!(b−a+1)(b+1)b(b−1)−a(a−1)(a−2)u2+o(u2) 而 u = 1 − e t = − t − t 2 2 ! + o ( t 2 ) 而u=1-e^t=-t-\frac{t^2}{2!}+o(t^2) 而u=1−et=−t−2!t2+o(t2) 因此M ( t ) = 1 − a ( a − 1 ) − ( b + 1 ) b 2 ! ( b −a + 1 ) t − a ( a − 1 ) − (b + 1 ) b 2 ! ( b − a + 1 ) t 2 2 ! + ( b + 1 ) b ( b − 1 ) − a ( a − 1 ) ( a − 2 ) 3 ! ( b − a + 1 ) t 2 + o ( t 2 ) 因此M(t)=1-\frac{a(a-1)-(b+1)b}{2!(b-a+1)}t-\frac{a(a-1)-(b+1)b}{2!(b-a+1)}\frac{t^2}{2!}+\frac{(b+1)b(b-1)-a(a-1)(a-2)}{3!(b-a+1)}t^2+o(t^2) 因此M(t)=1−2!(b−a+1)a(a−1)−(b+1)bt−2!(b−a+1)a(a−1)−(b+1)b2!t2+3!(b−a+1)(b+1)b(b−1)−a(a−1)(a−2)t2+o(t2) 又因为M ( t ) = M ( 0 ) + M ′ ( 0 ) t + M ′ ′ ( 0 ) 2 ! t 2 + o ( t 2 ) 又因为M(t)=M(0)+M'(0)t+\frac{M''(0)}{2!}t^2+o(t^2) 又因为M(t)=M(0)+M′(0)t+2!M′′(0)t2+o(t2) 因此M ′ ( 0 ) = − a ( a − 1 ) − ( b + 1 ) b 2 ! ( b − a + 1 ) = a + b 2 因此M'(0)=-\frac{a(a-1)-(b+1)b}{2!(b-a+1)}=\frac{a+b}{2} 因此M′(0)=−2!(b−a+1)a(a−1)−(b+1)b=2a+b E X = M ′( 0 ) = a + b 2 EX=M'(0)=\frac{a+b}{2} EX=M′(0)=2a+b 而M ′ ′ ( 0 ) = 2 ! ∗ ( − a ( a − 1 ) − ( b +1 ) b 4 ( b − a + 1 ) + ( b + 1 ) b ( b − 1 ) − a ( a − 1 ) ( a −2 )3 ! ( b − a + 1 ) ) 而M''(0)=2!*(-\frac{a(a-1)-(b+1)b}{4(b-a+1)}+\frac{(b+1)b(b-1)-a(a-1)(a-2)}{3!(b-a+1)}) 而M′′(0)=2!∗(−4(b−a+1)a(a−1)−(b+1)b+3!(b−a+1)(b+1)b(b−1)−a(a−1)(a−2)) = a + b 2 + ( b + 1 − a ) ( b 2 + a b − b + a 2 − 2 a ) 3 ( b − a + 1 ) =\frac{a+b}{2}+\frac{(b+1-a)(b^2+ab-b+a^2-2a)}{3(b-a+1)} =2a+b+3(b−a+1)(b+1−a)(b2+ab−b+a2−2a) = a + b 2 + b 2 + a b − b + a 2 − 2 a 3=\frac{a+b}{2}+\frac{b^2+ab-b+a^2-2a}{3} =2a+b+3b2+ab−b+a2−2a = 2 a 2 + 2 b 2 + 2 a b + b − a 6 =\frac{2a^2+2b^2+2ab+b-a}{6} =62a2+2b2+2ab+b−a D X = E X 2 − ( E X ) 2 = M ′ ′ ( 0 ) − ( E X ) 2DX=EX^2-(EX)^2=M''(0)-(EX)^2DX=EX2−(EX)2=M′′(0)−(EX)2 = 2 a 2 + 2 b 2 + 2 a b + b − a 6 − a 2 + 2 a b + b 2 4=\frac{2a^2+2b^2+2ab+b-a}{6}-\frac{a^2+2ab+b^2}{4}=62a2+2b2+2ab+b−a−4a2+2ab+b2 = ( b − a + 1 ) 2 − 1 12 =\frac{(b-a+1)^2-1}{12} =12(b−a+1)2−12、伯努利分布/两点分布(Bernoulli distribution)若 X 服从伯努利分布 B ( 1 , p ) , 则 X 满足 P ( x = 1 ) = p , P ( x = 0 ) = 1 − p = q 若X服从伯努利分布B(1,p) ,则X满足P(x=1)=p, P(x=0)=1-p=q 若X服从伯努利分布B(1,p),则X满足P(x=1)=p,P(x=0)=1−p=q M ( t ) = p e t + 1 − p M(t)=pe^{t}+1-p M(t)=pet+1−p φ ( t ) = p e i t + 1 − p \varphi(t)=pe^{it}+1-pφ(t)=peit+1−p M ′ ( t ) = p e t M'(t)=pe^{t}M′(t)=pet E X = M ′ ( 0 ) = p EX=M'(0)=p EX=M′(0)=pM ′ ′ ( t ) = p e t M''(t)=pe^{t} M′′(t)=pet E X 2 = M ′ ′ ( 0 ) = p EX^{2}=M''(0)=p EX2=M′′(0)=p D X = E X 2 − ( E X ) 2 = p ( 1 − p ) DX=EX^{2}-(EX)^{2}=p(1-p) DX=EX2−(EX)2=p(1−p)3、二项分布(Binomial distribution)若 X 服从二项分布 B ( n , p ) , 则 X 满足 f ( k ; n , p ) = P ( x = k ) = C n k p k ( 1 − p ) n − k ( n 为整数 ) 若X服从二项分布B(n,p) ,则X满足f(k;n,p)=P(x=k)=C_{n}^{k}p^k(1-p)^{n-k} (n为整数) 若X 服从二项分布B(n,p),则X满足f(k;n,p)=P(x=k)=Cnkpk(1−p)n−k(n为整数) 因为服从二项分布的变量可以看作 n 个独立相同的服从伯努利分布的变量之和因为服从二项分布的变量可以看作n个独立相同的服从伯努利分布的变量之和因为服从二项分布的变量可以看作n个独立相同的服从伯努利分布的变量之和因此M ( t ) = ( p e t + 1 − p ) n 因此M(t)=(pe^{t}+1-p)^{n} 因此M(t)=(pet+1−p)n φ ( t ) = ( p e i t + 1 − p ) n \varphi(t)=(pe^{it}+1-p)^{n}φ(t)=(peit+1−p)n M ′ ( t ) = n p ( p e t + 1 − p ) n − 1 e t M'(t)=np(pe^{t}+1-p)^{n-1}e^{t}M′(t)=np(pet+1−p)n−1et E X = M ′ ( 0 ) = n pEX=M'(0)=np EX=M′(0)=np M ′ ′ ( t ) = n ( n − 1 )p 2 ( p e t + 1 − p ) n − 2 e 2 t + n p ( p e t + 1 − p ) n − 1 e t M''(t)=n(n-1)p^{2}(pe^{t}+1-p)^{n-2}e^{2t}+np(pe^{t}+1-p)^{n-1}e^{t}M′′(t)=n(n−1)p2(pet+1−p)n−2e2t+np(pet+1−p)n−1et E X 2 = M ′ ′ ( 0 ) = n ( n − 1 ) p 2 + n pEX^{2}=M''(0)=n(n-1)p^{2}+np EX2=M′′(0)=n(n−1)p2+npD X =E X 2 − ( E X ) 2 = n p ( 1 − p ) DX=EX^{2}-(EX)^{2}=np(1-p) DX=EX2−(EX)2=np(1−p)4、几何分布(Geometric distribution)若 X 服从几何分布 G e ( p ) , 则 X 满足 f ( k ; p ) = P ( x = k ) = ( 1 − p ) k − 1 p ( k = 1 , 2 , 3...... ) 若X服从几何分布Ge(p), 则X满足f(k;p)=P(x=k)=(1-p)^{k-1}p (k=1,2,3......) 若X服从几何分布Ge(p),则X满足f(k;p)=P(x=k)=(1−p)k−1p(k=1,2,3......) M ( t ) = ∑ k = 1 ∞ ( 1 − p ) k − 1 p e t kM(t)=\sum_{k=1}^{\infin}(1-p)^{k-1}pe^{tk}M(t)=k=1∑∞(1−p)k−1petk = p e t ∑ k = 1 ∞ ( ( 1 − p ) e t ) k − 1 =pe^{t}\sum_{k=1}^{\infin}((1-p)e^t)^{k-1} =petk=1∑∞((1−p)et)k−1 = p e t 1 −( 1 − p ) e t =\frac{pe^{t}}{1-(1-p)e^{t}}=1−(1−p)etpet φ ( t ) = ∑ k = 1 ∞ ( 1 − p ) k −1 p e i t k \varphi(t)=\sum_{k=1}^{\infin}(1-p)^{k-1}pe^{itk} φ(t)=k=1∑∞(1−p)k−1peitk = p e i t ∑ k = 1 ∞ ( ( 1 − p ) e i t ) k − 1=pe^{it}\sum_{k=1}^{\infin}((1-p)e^{it})^{k-1}=peitk=1∑∞((1−p)eit)k−1 = p e i t 1 − ( 1 − p ) e i t =\frac{pe^{it}}{1-(1-p)e^{it}} =1−(1−p)eitpeit M ′ ( t ) = p e t ( 1 − ( 1 − p ) e t ) 2M'(t)=\frac{pe^t}{(1-(1-p)e^t)^2}M′(t)=(1−(1−p)et)2pet E X = M ′ ( 0 ) = 1 pEX=M'(0)=\frac{1}{p} EX=M′(0)=p1 M ′ ′ ( t ) = p e t ( e t − p e t + 1 ) ( 1 − ( 1 − p ) e t ) 3M''(t)=\frac{pe^t(e^t-pe^t+1)}{(1-(1-p)e^t)^3}M′′(t)=(1−(1−p)et)3pet(et−pet+1) E X 2 = M ′ ′( 0 ) = 2 − p p 2 EX^{2}=M''(0)=\frac{2-p}{p^2}EX2=M′′(0)=p22−p D X = E X 2 − ( E X ) 2 = 1 − p p 2 DX=EX^{2}-(EX)^{2}=\frac{1-p}{p^2}DX=EX2−(EX)2=p21−p5、负二项分布(Negative binomial distribution)若 X 服从负二项分布 N B ( r , p ) , 则 X 满足 f ( k ; r , p ) = ( k + r − 1 k ) p k ( 1 − p ) r , k = 0 , 1 , 2 , 3...... 若X服从负二项分布NB(r,p), 则X满足f(k;r,p)=\binom{k+r-1}{k}p^{k}(1-p)^{r} ,k=0,1,2,3...... 若X服从负二项分布NB(r,p),则X满足f(k;r,p)=(kk+r−1)pk(1−p)r,k=0,1,2,3...... ( r 可以为实数，此时的分布称为波利亚分布 ) (r可以为实数，此时的分布称为波利亚分布) (r可以为实数，此时的分布称为波利亚分布) M ( t ) = ∑ k = 0 ∞ ( k +r − 1 k ) p k ( 1 − p ) r e t kM(t)=\sum_{k=0}^{\infin}\binom{k+r-1}{k}p^k(1-p)^re^{tk} M(t)=k=0∑∞(kk+r−1)pk(1−p)retk = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( − r k ) p k ( 1 − p ) r e t k=\sum_{k=0}^{\infin}(-1)^k\binom{-r}{k}p^k(1-p)^re^{tk} =k=0∑∞(−1)k(k−r)pk(1−p)retk = ∑ k = 0 ∞ ( − p e t ) k ( − r k ) ( 1 − p ) r =\sum_{k=0}^{\infin}(-pe^t)^k\binom{-r}{k}(1-p)^r =k=0∑∞(−pet)k(k−r)(1−p)r = ( 1 − p ) r ∑ k = 0 ∞ ( − p e t ) k( − r k ) 1 − r − k =(1-p)^r\sum_{k=0}^{\infin}(-pe^t)^k\binom{-r}{k}1^{-r-k} =(1−p)rk=0∑∞(−pet)k(k−r)1−r−k = ( 1 − p ) r ( 1 − p e t ) −r =(1-p)^r(1-pe^t)^{-r} =(1−p)r(1−pet)−r φ ( t ) = ∑ k = 0 ∞ ( k + r − 1 k ) p k ( 1 − p ) r e i t k \varphi(t)=\sum_{k=0}^{\infin}\binom{k+r-1}{k}p^k(1-p)^re^{itk} φ(t)=k=0∑∞(kk+r−1)pk(1−p)reitk = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( − r k ) p k ( 1 − p ) r e i t k =\sum_{k=0}^{\infin}(-1)^k\binom{-r}{k}p^k(1-p)^re^{itk} =k=0∑∞(−1)k(k−r)pk(1−p)reitk = ∑ k = 0 ∞ ( − p e i t ) k ( − r k ) ( 1 − p ) r=\sum_{k=0}^{\infin}(-pe^{it})^k\binom{-r}{k}(1-p)^r=k=0∑∞(−peit)k(k−r)(1−p)r = ( 1 − p ) r ∑ k = 0 ∞ ( − p e i t ) k ( − r k ) 1 − r − k =(1-p)^r\sum_{k=0}^{\infin}(-pe^{it})^k\binom{-r}{k}1^{-r-k} =(1−p)rk=0∑∞(−peit)k(k−r)1−r−k = ( 1 − p ) r ( 1 − p e i t ) − r =(1-p)^r(1-pe^{it})^{-r}=(1−p)r(1−peit)−r M ′ ( t ) = ( 1 − p ) r ( − r ) ( 1 − p e t ) − r − 1 ( − p e t ) M'(t)=(1-p)^r(-r)(1-pe^{t})^{-r-1}(-pe^t)M′(t)=(1−p)r(−r)(1−pet)−r−1(−pet) = r p ( 1 −p ) r e t ( 1 − p e t ) − r − 1 =rp(1-p)^re^t(1-pe^t)^{-r-1} =rp(1−p)ret(1−pet)−r−1 E X = M ′( 0 ) = r p 1 − p EX=M'(0)=\frac{rp}{1-p}EX=M′(0)=1−prp M ′ ′ ( t ) = r p ( 1 − p ) r e t ( 1 − p e t ) − r − 1 + r p ( 1 − p ) r e t ( − r − 1 ) ( 1 − p e t ) − r − 2 ( − p e t )M''(t)=rp(1-p)^re^t(1-pe^t)^{-r-1}+rp(1-p)^re^t(-r-1)(1-pe^t)^{-r-2}(-pe^t)M′′(t)=rp(1−p)ret(1−pet)−r−1+rp(1−p)ret(−r−1) (1−pet)−r−2(−pet) E X 2 = r p ( 1 − p ) − 1 + r ( r + 1 ) p 2 ( 1 − p ) − 2 EX^2=rp(1-p)^{-1}+r(r+1)p^2(1-p)^{-2}EX2=rp(1−p)−1+r(r+1)p2(1−p)−2 = r p ( 1 − p ) + r ( r + 1 ) p 2 ( 1 − p ) 2 =\frac{rp(1-p)+r(r+1)p^2}{(1-p)^2} =(1−p)2rp(1−p)+r(r+1)p2 = r p + r 2 p 2 ( 1 − p ) 2 =\frac{rp+r^2p^2}{(1-p)^2}=(1−p)2rp+r2p2 D X = E X 2 − ( E X ) 2 = p r ( 1 −p ) 2 DX=EX^2-(EX)^2=\frac{pr}{(1-p)^2}DX=EX2−(EX)2=(1−p)2pr6、泊松分布(Poisson distribution)若 X 服从泊松分布P ( λ ) , 则 P ( X = k ) = e− λ λ k k ! , k = 0 , 1 , 2...... 若X服从泊松分布P(\lambda),则P(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!},k=0,1,2...... 若X服从泊松分布P(λ),则P(X=k)=k!e−λλk,k=0,1,2...... M ( t ) = ∑k = 0 ∞ e − λ λ k k ! e t kM(t)=\sum_{k=0}^{\infin}\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}e^{tk} M(t)=k=0∑∞k!e−λλketk = e − λ ∑ k = 0 ∞ ( λ e t ) k k ! =e^{-\lambda}\sum_{k=0}^{\infin}\frac{(\lambda e^t)^k}{k!} =e−λk=0∑∞k!(λe t)k = e − λ e λ e t =e^{-\lambda}e^{\lambda e^t} =e−λeλet= e λ ( e t − 1 ) =e^{\lambda (e^t-1)} =eλ(et−1) φ ( t ) = ∑ k = 0∞ e − λ λ k k ! e i t k\varphi(t)=\sum_{k=0}^{\infin}\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}e^{itk} φ(t)=k=0∑∞k!e−λλk eitk = e − λ ∑ k = 0 ∞ ( λ e i t ) k k ! =e^{-\lambda}\sum_{k=0}^{\infin}\frac{(\lambdae^{it})^k}{k!} =e−λk=0∑∞k!(λe it)k = e − λ e λ e i t =e^{-\lambda}e^{\lambda e^{it}} =e−λeλeit = e λ ( e i t − 1 ) =e^{\lambda (e^{it}-1)} =eλ(eit−1) M ′ ( t ) = e λ ( e t − 1 ) λ e t M'(t)=e^{\lambda (e^t-1)}\lambda e^t M′(t)=eλ(et−1)λe t E X = M ′ ( 0 ) = λ EX=M'(0)=\lambda EX=M′(0)=λM ′ ′ ( t ) = e λ ( e t − 1 ) λ e t + e λ ( e t − 1 ) λ e tλ e t M''(t)=e^{\lambda (e^t-1)}\lambdae^t+e^{\lambda (e^t-1)}\lambda e^t\lambda e^tM′′(t)=eλ(et−1)λe t+eλ(et−1)λe tλe t E X 2 =M ′ ′ ( 0 ) = λ + λ 2EX^2=M''(0)=\lambda+\lambda^2 EX2=M′′(0)=λ+λ2 D X = E X 2 − ( E X ) 2 = λ DX=EX^2-(EX)^2=\lambdaDX=EX2−(EX)2=λ三、连续型随机变量的分布1、连续型均匀分布(Uniform distribution (continuous))若 X 服从连续型均匀分布 U ( a , b ) , 则 f( x ) = 1 b − a I [ a , b ] ( x ) 若X服从连续型均匀分布U(a,b),则f(x)=\frac{1}{b-a}I_{[a,b]}(x) 若X服从连续型均匀分布U(a,b),则f(x)=b−a1I[a,b](x) M ( t ) = ∫ a b 1 b − a e t x d x M(t)=\int_{a}^{b}\frac{1}{b-a}e^{tx}dx M(t)=∫abb−a1etxdx = 1 b − a ∫ a b e t x d x =\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}e^{tx}dx =b−a1∫abetxdx = 1 b − a ( 1 t e t x ∣ a b ) =\frac{1}{b-a}(\frac{1}{t}e^{tx}\mid_{a}^{b}) =b−a1(t1etx∣ab) = e t b − e t a t ( b − a ) =\frac{e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)} =t(b−a)etb−eta φ ( t ) = ∫ a b 1 b − a e i t x d x \varphi(t)=\int_{a}^{b}\frac{1}{b-a}e^{itx}dxφ(t)=∫abb−a1eitxdx = 1 b − a ∫ a b e i t x d x=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}e^{itx}dx =b−a1∫abeitxdx = 1 b − a ( 1 i t e i t x ∣ a b ) =\frac{1}{b-a}(\frac{1}{it}e^{itx}\mid_{a}^{b}) =b−a1(it1eitx∣ab) = e i t b − e i t a i t ( b − a ) =\frac{e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)} =it(b−a)eitb−eita M ′ ( t ) = 1 b − a ( b e t b − a e t a ) t − ( e t b − e t a ) t 2 M'(t)=\frac{1}{b-a}\frac{(be^{tb}-ae^{ta})t-(e^{tb}-e^{ta})}{t^2} M′(t)=b−a1t2(betb−aeta)t−(etb−eta) t = 0 为M ′ ( t ) 的可去间断点，补充定义M ′ ( 0 ) = lim ⁡ t → 0 M ′ ( t ) t=0为M'(t)的可去间断点，补充定义M'(0)=\lim_{t\rightarrow0}M'(t) t=0为M′(t)的可去间断点，补充定义M′(0)=t→0limM′(t) E X = M ′ ( 0 ) = lim ⁡ t → 0 ( b e t b − a e t a ) + ( b 2 e t b − a 2 e t a ) t − ( b e t b − a e ta ) 2 t (b − a )EX=M'(0)=\lim_{t\rightarrow0}\frac{(be^{tb}-ae^{ta})+(b^2e^{tb}-a^2e^{ta})t-(be^{tb}-ae^{ta})}{2t(b-a)} EX=M′(0)=t→0lim2t(b−a)(betb−aeta)+(b2etb−a2eta)t−(betb−aeta) = lim ⁡ t → 0 ( b 2 e t b − a 2 e t a ) 2 ( b − a ) =\lim_{t\rightarrow0}\frac{(b^2e^{tb}-a^2e^{ta})}{2(b-a)} =t→0lim2(b−a)(b2etb−a2eta) = b 2 − a 2 2 ( b − a ) =\frac{b^2-a^2}{2(b-a)} =2(b−a)b2−a2 = a + b 2 =\frac{a+b}{2} =2a+b M ′ ′ ( t ) = 1 b − a ( ( b 2 e t b − a 2 e t a ) t + ( b e t b − a e t a ) −( b e t b − a e t a ) ) t − 2 ( ( b e t b − a e ta ) t − ( e tb − e t a ) ) t 3 M''(t)=\frac{1}{b-a}\frac{((b^2e^{tb}-a^2e^{ta})t+(be^{tb}-ae^{ta})-(be^{tb}-ae^{ta}))t-2((be^{tb}-ae^{ta})t-(e^{tb}-e^{ta}))}{t^3} M′′(t)=b−a1t3((b2etb−a2eta)t+(betb−aeta)−(betb−aeta))t−2((be tb−aeta)t−(etb−eta)) = 1 b − a t 2 ( b 2 e t b −a 2 e t a ) − 2 t (b e t b − a e t a ) + 2 ( e t b − e t a ) t 3 =\frac{1}{b-a}\frac{t^2(b^2e^{tb}-a^2e^{ta})-2t(be^{tb}-ae^{ta})+2(e^{tb}-e^{ta})}{t^3} =b−a1t3t2(b2etb−a2eta)−2t(betb−aeta)+2(etb−eta) t = 0 为M ′ ′ ( t ) 的可去间断点，补充定义M ′ ′ ( 0 ) = lim ⁡ t → 0 M ′ ′ ( t ) t=0为M''(t)的可去间断点，补充定义M''(0)=\lim_{t\rightarrow0}M''(t) t=0为M′′(t)的可去间断点，补充定义M′′(0)=t→0limM′′(t) E X 2 =M ′ ′ ( 0 ) = lim ⁡ t → 0 1 b − a t 2 ( b 3 e t b − a 3 e t a ) + 2 t ( b 2 e t b − a 2 e t a ) − 2 t ( b 2 e t b − a 2 e t a ) − 2 ( b e t b − a e t a ) + 2 ( b e t b − a e t a ) 3 t 2EX^2=M''(0)=\lim_{t\rightarrow0}\frac{1}{b-a}\frac{t^2(b^3e^{tb}-a^3e^{ta})+2t(b^2e^{tb}-a^2e^{ta})-2t(b^2e^{tb}-a^2e^{ta})-2(be^{tb}-ae^{ta})+2(be^{tb}-ae^{ta})}{3t^2}EX2=M′′(0)=t→0limb−a13t2t2(b3etb−a3eta)+2t(b2etb−a2eta)−2t(b2etb−a2eta)−2(betb−aeta)+2(betb−aeta) = 1 b − a lim ⁡ t → 0 t 2 ( b 3 e t b − a 3 e t a ) 3 t 2 =\frac{1}{b-a}\lim_{t\rightarrow0}\frac{t^2(b^3e^{tb}-a^3e^{ta})}{3t^2} =b−a1t→0lim3t2t2(b3etb−a3eta) = 1 b − a lim ⁡ t → 0 ( b 3 e t b − a 3 e t a ) 3=\frac{1}{b-a}\lim_{t\rightarrow0}\frac{(b^3e^{tb}-a^3e^{ta})}{3} =b−a1t→0lim3(b3etb−a3eta) = 1 b − a ( b 3 − a 3 ) 3 =\frac{1}{b-a}\frac{(b^3-a^3)}{3}=b−a13(b3−a3) = b 2 + a b + a 2 3=\frac{b^2+ab+a^2}{3} =3b2+ab+a2 D X = E X 2 − ( E X ) 2 = ( b − a ) 2 12 DX=EX^2-(EX)^2=\frac{(b-a)^2}{12} DX=EX2−(EX)2=12(b−a)22、指数分布(Exponential distribution)若 X 服从指数分布 E ( λ ) ，则 f ( x ) = λ e− λ x I [ 0 , + ∞ ) ( x ) 若X服从指数分布E(\lambda)，则f(x)=\lambda e^{-\lambdax}I_{[0,+\infin)}(x) 若X服从指数分布E(λ)，则f(x)=λe−λx I[0,+∞)(x) M ( t ) = ∫ 0 + ∞ λ e −λ x e t x d x M(t)=\int_{0}^{+\infin} \lambda e^{-\lambda x}e^{tx}dx M(t)=∫0+∞λe−λx etxdx = λ ∫ 0 + ∞ e ( t − λ ) x d x =\lambda \int_{0}^{+\infin} e^{(t-\lambda)x}dx =λ∫0+∞e(t−λ)xdx = λ t − λ ( e ( t − λ ) x ∣ 0 + ∞ ) =\frac{\lambda}{t-\lambda}(e^{(t-\lambda)x}\mid_{0}^{+\infin}) =t−λλ(e(t−λ)x∣0+∞) t < λ 时，M ( t ) = λ t − λ ( 0 − 1 ) t<\lambda时，M(t)=\frac{\lambda}{t-\lambda}(0-1) t<λ时，M(t)=t−λλ(0−1) = λ λ − t =\frac{\lambda}{\lambda-t} =λ−tλφ ( t ) = λ λ − i t \varphi(t)=\frac{\lambda}{\lambda-it}φ(t)=λ−itλM ′ ( t ) = λ ( λ − t ) 2M'(t)=\frac{\lambda}{(\lambda-t)^2} M′(t)=(λ−t)2λE X = M ′ ( 0 ) = 1 λ EX=M'(0)=\frac{1}{\lambda}EX=M′(0)=λ1 M ′ ′ ( t ) = 2 λ ( λ − t ) 3M''(t)=\frac{2\lambda}{(\lambda-t)^3}M′′(t)=(λ−t)32λ E X 2 = M ′ ′ ( 0 ) = 2 λ 2 EX^2=M''(0)=\frac{2}{\lambda^2} EX2=M′′(0)=λ22 D X = E X 2 − ( E X ) 2 = 1 λ 2 DX=EX^2-(EX)^2=\frac{1}{\lambda^2} DX=EX2−(EX)2=λ213、正态分布(Normal distribution)若 X 服从正态分布N ( μ , σ 2 ) , 则 f ( x ) = 1 2 π σ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 若X服从正态分布N(\mu,\sigma^2),则f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} 若X服从正态分布N(μ,σ2),则f(x)=2πσ1e−2σ2(x−μ)2 引理 1 ：∫ − ∞ + ∞ e − t 2 2 d t = 2 π 引理1：\int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{t^2}{2}}dt=\sqrt{2\pi} 引理1：∫−∞+∞e−2t2dt=2π证明：( ∫ − ∞ + ∞ e − t 2 2 d t ) 2 = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ e − x 2 + y 2 2 d x d y 证明：(\int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{t^2}{2}}dt)^2=\int_{-\infin}^{+\infin}\int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}dxdy 证明：(∫−∞+∞e−2t2dt)2=∫−∞+∞∫−∞+∞e−2x2+y2dxdy = ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 + ∞ e − r 2 2 r d r=\int_{0}^{2\pi}d\theta \int_{0}^{+\infin}e^{-\frac{r^2}{2}}rdr =∫02πdθ∫0+∞e−2r2rdr = 2 π ∫ 0 + ∞ e − r 2 2 r d r =2\pi \int_{0}^{+\infin}e^{-\frac{r^2}{2}}rdr =2π∫0+∞e−2r2rdr = 2 π ( − e −r 2 2 ∣0 + ∞ ) =2\pi (-e^{-\frac{r^2}{2}}\mid_{0}^{+\infin}) =2π(−e−2r2∣0+∞) = 2 π =2\pi =2π因此∫ − ∞ + ∞ e − t 2 2 d t = 2 π 因此\int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{t^2}{2}}dt=\sqrt{2\pi} 因此∫−∞+∞e−2t2dt=2πM ( t ) = ∫ − ∞ + ∞ 1 2 π σ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 e t x d x M(t)=\int_{-\infin}^{+\infin}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}e^{tx}dx M(t)=∫−∞+∞2πσ1e−2σ2(x−μ)2etxdx = 1 2 π σ ∫ − ∞ + ∞ e −( x − μ ) 2 2 σ 2 + t x d x=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}+tx}dx =2πσ1∫−∞+∞e−2σ2(x−μ)2+txdx 令 w = x − μ σ 令w=\frac{x-\mu}{\sigma} 令w=σx−μ原式= 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ e − w 2 2 + t ( w σ + μ ) d w 原式=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{w^2}{2}+t(w\sigma+\mu)}dw 原式=2π1∫−∞+∞e−2w2+t(wσ+μ)dw = e μ t 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ e − w 2 2 + t σ w d w =e^{\mut}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{w^2}{2}+t\sigma w}dw=eμt2π1∫−∞+∞e−2w2+tσw dw = e μ t 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ e − ( w − t σ ) 2 − t 2 σ 2 2 d w =e^{\mut}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{(w-t\sigma)^2-t^2\sigma^2}{2}}dw=eμt2π1∫−∞+∞e−2(w−tσ)2−t2σ2dw = e μ t + t 2 σ 2 2 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ e − ( w − t σ ) 2 2 d w=e^{\mut+\frac{t^2\sigma^2}{2}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{(w-t\sigma)^2}{2}}dw=eμt+2t2σ22π1∫−∞+∞e−2(w−tσ)2dw = e μ t + t 2 σ 2 2 1 2 π 2 π =e^{\mut+\frac{t^2\sigma^2}{2}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sqrt{2\p i} =eμt+2t2σ22π12π= e μ t + t 2 σ 2 2 =e^{\mu t+\frac{t^2\sigma^2}{2}} =eμt+2t2σ2 φ ( t ) = ∫ − ∞ + ∞ 1 2 π σ e −( x − μ ) 2 2 σ 2 e i t x d x \varphi(t)=\int_{-\infin}^{+\infin}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}e^{itx}dx φ(t)=∫−∞+∞2πσ1e−2σ2(x−μ)2eitxdx = 1 2 π σ ∫ − ∞ + ∞ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 + i t x d x=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}+itx}dx=2πσ1∫−∞+∞e−2σ2(x−μ)2+itxdx 令 w = x − μ σ 令w=\frac{x-\mu}{\sigma} 令w=σx−μ原式= 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ e − w 2 2 + i t ( w σ + μ ) d w 原式=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{w^2}{2}+it(w\sigma+\mu)}dw 原式=2π1∫−∞+∞e−2w2+it(wσ+μ)dw = e i μ t 1 2 π ∫ −∞ + ∞ e − w 2 2 + i t σ w d w =e^{i\mut}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{w^2}{2}+it\sigma w}dw=e iμt2π1∫−∞+∞e−2w2+itσw dw = e i μ t 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ e − ( w − i t σ ) 2 + t 2 σ 2 2 d w =e^{i\mut}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{(w-it\sigma)^2+t^2\sigma^2}{2}}dw=e iμt2π1∫−∞+∞e−2(w−itσ)2+t2σ2dw = e i μ t − t 2 σ 2 2 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ e − ( w − i t σ ) 2 2 d w =e^{i\mu t-\frac{t^2\sigma^2}{2}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{(w-it\sigma)^2}{2}}dw=e iμt−2t2σ22π1∫−∞+∞e−2(w−itσ)2dw = e i μ t − t 2 σ 2 2 12 π 2 π =e^{i\mu t-\frac{t^2\sigma^2}{2}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sqrt{2\pi} =e iμt−2t2σ22π12π= e i μ t − t 2 σ 2 2 =e^{i\mu t-\frac{t^2\sigma^2}{2}} =e iμt−2t2σ2 M ′ ( t ) = eμ t + t 2 σ 2 2 ( μ + σ 2 t ) M'(t)=e^{\mut+\frac{t^2\sigma^2}{2}}(\mu+\sigma^2t)M′(t)=eμt+2t2σ2(μ+σ2t) E X = M ′ ( 0 ) = μEX=M'(0)=\mu EX=M′(0)=μM ′ ′ ( t ) = e μ t + t 2 σ 2 2 ( μ + σ 2 t ) 2 + e μ t + t 2 σ 2 2 σ 2M''(t)=e^{\mut+\frac{t^2\sigma^2}{2}}(\mu+\sigma^2t)^2+e^{\mut+\frac{t^2\sigma^2}{2}}\sigma^2 M′′(t)=eμt+2t2σ2 (μ+σ2t)2+eμt+2t2σ2σ2 E X 2 = M ′ ′ ( 0 ) = μ 2 + σ 2 EX^2=M''(0)=\mu^2+\sigma^2 EX2=M′′(0)=μ2+σ2 D X = E X 2 − ( E X ) 2 = σ 2 DX=EX^2-(EX)^2=\sigma^2 DX=EX2−(EX)2=σ2 特别地 , X 服从标准正态分布 N ( 0 , 1 ) 时特别地,X服从标准正态分布N(0,1)时特别地,X服从标准正态分布N(0,1)时 M ( t )= e t 2 2 M(t)=e^{\frac{t^2}{2}} M(t)=e2t2 φ ( t ) = e − t 2 2 \varphi(t)=e^{-\frac{t^2}{2}} φ(t)=e−2t2 E X = 0 , D X = 1 EX=0,DX=1 EX=0,DX=14、伽马分布(Gamma distribution)若 X 服从伽马分布Γ ( α , β ) ( α , β > 0 ) , 则 f ( x ) = β α Γ ( α ) x α − 1 e − β x I( 0 , + ∞ ) ( x ) 若X服从伽马分布\Gamma(\alpha,\beta)(\alpha,\beta>0),则f(x)=\frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\beta x}I_{(0,+\infin)}(x) 若X服从伽马分布Γ(α,β)(α,β>0),则f(x)=Γ(α)βαxα−1e−βx I(0,+∞)(x) 其中，Γ ( α ) = ∫ 0 + ∞ t α − 1 e − t d t , α > 0 其中，\Gamma(\alpha)=\int_{0}^{+\infin}t^{\alpha-1}e^{-t}dt,\alpha>0 其中，Γ(α)=∫0+∞tα−1e−tdt,α>0 指数分布 E ( λ ) 是伽马分布Γ ( 1 , λ ) , χ 2 分布χ n 2 是伽马分布Γ ( n 2 , 1 2 ) 指数分布E(\lambda)是伽马分布\Gamma(1,\lambda),\chi^2分布\chi^2_n是伽马分布\Gamma(\frac{n}{2},\frac{1}{2}) 指数分布E(λ)是伽马分布Γ(1,λ),χ2分布χn2是伽马分布Γ(2n,21) M ( t ) = ∫ 0 + ∞ β α Γ ( α ) x α −1 e − β x e t x d xM(t)=\int_{0}^{+\infin}\frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alp ha)}x^{\alpha-1}e^{-\beta x}e^{tx}dx M(t)=∫0+∞Γ(α)βαxα−1e−βx etxdx = ∫ 0 + ∞ β α Γ ( α ) x α − 1 e ( t − β ) x d x=\int_{0}^{+\infin}\frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1}e^{(t-\beta) x}dx =∫0+∞Γ(α)βαxα−1e(t−β)xdx = β α ∫ 0 + ∞ 1 Γ ( α ) x α− 1 e ( t − β ) x d x=\beta^\alpha\int_{0}^{+\infin}\frac{1}{\Gamma(\alpha) }x^{\alpha-1}e^{(t-\beta) x}dx =βα∫0+∞Γ(α)1xα−1e(t−β)xdx t < β 时，令v = ( β − t ) x ，原式= β α β − t ∫ 0 + ∞ 1 Γ ( α ) ( v β −t ) α − 1 e − v d v t<\beta时，令v=(\beta-t)x，原式=\frac{\beta^\alpha}{\beta-t}\int_{0}^{+\infin}\frac{1}{\Gamma(\alpha)}(\frac{v}{ \beta-t})^{\alpha-1}e^{-v}dv t<β时，令v=(β−t)x，原式=β−tβα∫0+∞Γ(α)1(β−tv)α−1e−vdv = ( β β − t ) α 1 Γ ( α ) ∫ 0 + ∞ v α − 1 e − v d v =(\frac{\beta}{\beta-t})^\alpha\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_{0}^{+\infin}v^ {\alpha-1}e^{-v}dv =(β−tβ)αΓ(α)1∫0+∞vα−1e−vdv = ( β β − t ) α 1 Γ ( α ) Γ ( α ) =(\frac{\beta}{\beta-t})^\alpha\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\Gamma(\alpha)=(β−tβ)αΓ(α)1Γ(α) = ( β β − t ) α=(\frac{\beta}{\beta-t})^\alpha =(β−tβ)αφ ( t ) = ( β β − i t ) α \varphi(t)=(\frac{\beta}{\beta-it})^\alpha φ(t)=(β−itβ)αM ′ ( t ) = β α ( β − t ) − α − 1 α M'(t)=\beta^\alpha(\beta-t)^{-\alpha-1}\alpha M′(t)=βα(β−t)−α−1α E X = M ′ ( 0 ) = α β EX=M'(0)=\frac{\alpha}{\beta}EX=M′(0)=βαM ′ ′ ( t ) = β α ( β − t ) − α − 2 α ( α + 1 ) M''(t)=\beta^\alpha(\beta-t)^{-\alpha-2}\alpha(\alpha+1)M′′(t)=βα(β−t)−α−2α(α+1) E X 2 = α ( α + 1 ) β 2 EX^2=\frac{\alpha(\alpha+1)}{\beta^2}EX2=β2α(α+1) D X = E X 2 − ( E X ) 2 = α β 2。

六大母函数母函数是数学中一个常见的概念，其定义是指，给定一类函数，任一个函数都可以表示成由母函数和一个或多个参数组成的函数。

母函数实际上是一类函数的共性，它们把不同的函数分类了起来，也就是说，母函数可以把不同的函数映射到一个共同的函数。

其中，六大母函数是比较常用的数学函数，它们分别是指数函数、对数函数、幂函数、正弦函数、余弦函数和正切函数。

下面我们就分别来讨论它们的特征和用途。

首先，指数函数，它的公式为y = a^x，其中a是一个大于零的常数，x表示指数函数的指数项；指数函数的图像是一条以原点为拐点的曲线，它的导数为y = a^x *ln(a)，指数函数主要用于求解定积分和求解某些不定积分。

其次，对数函数，它的公式为y = ln(x)，其中x表示底数，表示元函数的自变量；对数函数的图像是一条折线，折线上的点根据自变量变化而变化；对数函数的导数为y = 1/x，对数函数主要用于求解对数函数的积分、求解某些不定积分，还可以用于求解重极值点、及求解极限。

第三，幂函数，它的公式为y = c^x，其中c是任意的实数，x 表示幂函数的指数；幂函数的图像也是一条以原点为拐点的曲线，它的导数为y = c^x * ln(c)，幂函数主要用于求解定积分和求解某些不定积分。

接下来，正弦函数，它的公式为y = sin(x)，其中x表示正弦函数的自变量；正弦函数的图像是一条周期性的曲线，它的导数为y = cos(x)，正弦函数主要用于求解定积分和求解某些不定积分。

再次，余弦函数，它的公式为y =cos(x)，其中x表示余弦函数的自变量；余弦函数的图像也是一条周期性的曲线，它的导数为y = -sin(x)，余弦函数主要用于求解定积分和求解某些不定积分。

最后，正切函数，它的公式为y = tanx，其中x表示正切函数的自变量；正切函数的图像是一条周期性的折线，它的导数为y = sec2x，正切函数主要用于求解定积分和求解某些不定积分。

母函数和特征函数简介§1 母函数（生成函数）简介对于取值非负整数的随机变量，其母函数有极其良好的性质且又便于计算和分析，因此引入母函数是非常必要的。

母函数又称生成函数(Generating function)。

母函数的定义● 定义：对于数列}0,{≥n a n ，称幂级数)1(0≤∑∞=s sa n nn 为}0,{≥n a n 的母函数。

● 定义：设X 为取值于非负整数随机变量，分布率为 ,2,1,0,}{===k p x X P k k ，则称1)(?)(0≤==∑∞=s s p s E s g k kk X为随机变量X 的概率母函数，简称母函数。

一些常用分布的母函数（1）若).(~p n B X ，则n sp q s g )()(+=（2）若)(~λPo X ，则)1()(-=s e s g λ （3）若)(~p G X ，则qs pss g -=1)(母函数的基本性质（1）X 的母函数与其分布率是一一对应的，且有!)0()(k g p k k =（2）设非负整值随机变量n X X X ,,,21 相互独立，而n g g g ,,,21 分别是它们的母函数，则∑==nk kXY 1的母函数为：)()()()(21s g s g s g s g n Y =（3）设随机变量X 的母函数为)(s g ，则有：（a ）)1()(g X E '=（b ）2)]1([)1()1()()(g g g X Var X D '-'+''==母函数的应用（4）设n X X X ,,,21 独立同分布，且).1(~p B X i ，求∑==nk kXY 1的分布。

（5）设21,X X 独立，且2,1,).(~=i p n B X i i ，证明),(~2121p n n B X X ++。

（6）设21,X X 独立，且2,1,)(~=i Po X i i λ，证明)(~2121λλ++Po X X 。

六大母函数函数是数学中重要的概念，它可以将一个输入变量映射到另一个输出变量，通常我们把输入变量称作自变量，把输出变量称作因变量。

有时候，函数可以用曲线或公式来表示，所以它也被称为曲线函数或公式函数。

六大母函数是指六种常见的曲线函数，分别是线性函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。

线性函数是最简单的函数，形式为y=ax+b。

它属于一元一次函数，只有一个自变量，因变量的值和自变量的值之间的关系是线性的。

在一元一次函数中，a叫做斜率，b叫做y轴截距，两者有各自的性质和特点。

幂函数是一类二元函数，它们以幂函数的形式来表现，通常可以写成y=axn，其中a和n都是常数，n是幂函数的指数，它们决定了函数的形状。

当n>1时，函数图象是一条开口向上的抛物线；当n<0时，函数图象是一条开口向下的抛物线；当n=1时，函数图象是一条直线；当n=0时，函数图象是一条水平的直线。

此外，幂函数的斜率与指数n的正负值有关，当n>1时，斜率增加；当n<1时，斜率减小；当n=1时，斜率为常数。

指数函数是一类二元函数，可以写成y=aem，其中a和m都是常数，m是指数函数的指数，它决定了函数的形状及斜率。

指数函数的图像是一条开口向上的曲线，其斜率不断增加，m的正负值不影响指数函数的图像形状，但影响函数的上下移动及其斜率的大小。

对数函数也是一类二元函数，可以写成y=alnx，其中a和m都是常数，m是对数函数的底数，它决定了函数的形状及斜率。

对数函数的图像是一条开口向上的曲线，其斜率不断增加，底数m的正负值不影响该函数的图像形状，但影响函数的上下移动及其斜率的大小。

三角函数是一种函数，它以三角函数的形式来表现，用符号表示可以为y=sinθ、y=cosθ、y=tanθ、y=cotθ。

在三角函数的图像中，x表示角度，而y表示每一个角度对应的三角函数值。

反三角函数也是一种函数，用符号表示可以为y=sin-1θ、y=cos-1θ、y=tan-1θ、y=cot-1θ。

1绪论母函数又可译为发生函数或生成函数.母函数方法是现代离散数学领域中的重要方法.它是联结离散数学与连续数学的桥梁.它是解决组合计数问题的一个重要工具之一.母函数方法是一种既简单又有用的数学方法，是一个古老方法.他源于De Moivre 在1720前后的工作，1748年欧拉在研究关于划分的问题中发展了这一方法.拉普拉期于18世纪末及19世纪初期对其进行了广泛的论述.其探究主要与概率论相关.尽管这一方法有其悠久的历史，但是正如我们将要看到的那样，这一方法有着广泛的应用.当代计算机科学家克努特（D.E.Knuth）在其名著《The art of computer programming,voll》中作了这样的论述：“…当运用母函数时，通常无需担心级数的收敛性，因为我们只是在探求得到某个问题的解的可能途径，一旦当我们用任何手段发现了解，尽管这些手段也许不严格，就有可能独立的验证这个解…例如有时很容易用数学归纳法来证明，我们甚至不必提到它是利用母函数发现的.此外，可以证明我们对母函数所做的绝大多数——如果不是所有的话——运算都能严格论证其可行而无须顾及级数的收敛性.”这段引文最后的断言是通过把母函数作为形式幂级数而得以实现的.一般情况下，母函数中的x只是一个抽象符号，并不需要对它赋予具体数值.因而不需要考虑它的收敛性.此时的变量x只是一种形式变元.对这种级数可以把它看成形式幂级数，可以按通常方式定义其加法、乘法、形式微分等运算，从而构成一个代数体系.母函数有多种类型，这里仅讨论最常见的两种：普通母函数和指数母函数.下面分别进行讨论.2母函数基本概念定义2.1. 对于数列{}0n n a ≥，称函数 120120()k k k f x a x a a x a x ≥==+++∑为数列{}0n n a ≥的普通型母函数（简称普母函数）．定义2.2. 对于数列{}0n n a ≥，称函数120120()!1!2!k kk x x x f x a a a a k ≥==+++∑为数列{}0n n a ≥的指数型母函数（简称指母函数）．数列与母函数可以互求.已知母函数，可求出其对应的数列；已知数列，可求出其对应的母函数.R 上的母函数的全体记为[]R x ⎡⎤⎣⎦.在集合[]R x ⎡⎤⎣⎦中适当定义加法和乘法运算，可使它成为一个整环，任何一个母函数都是这个环中的元素.定义2.3. 设0()kk k A x a x ∞==∑与0()k k k B x b x ∞==∑是R 上的两个母函数.若对任意0k ≥，有k k a b =.则称()A x 与()B x 相等.记作()()A x B x =.定义 2.4. 设α为任意实数. []0()kk k A x a x R x ∞=⎡⎤=∈⎣⎦∑,则()0()kk k A x a x αα∞==∑称作α与()A x 的数乘积.定义2.5. 设0()kk k A x a x ∞==∑与0()k k k B x b x ∞==∑是R 上的两个母函数.（1）将()A x 与()B x 相加定义为0()()()k k k k A x B x a b x ∞=+=+∑，并称()()A x B x +为()A x 与()B x 的和，把运算“+”称作加法.（2）将()A x 与()B x 相乘定义为01100()()()k k k k k A x B x a b a b a b x ∞-=⋅=+++∑，并称()()A x B x ⋅为()A x 与()B x 的积，把运算“⋅”称作乘法.3母函数的性质母函数与数列之间是一一对应的，因此，若两个母函数之间存在某种关系，那么相应的两个数列之间也必然存在一定的关系；反过来说当然也能成立．设数列{}0n n a ≥的母函数为()A x ，数列{}0n n b ≥的母函数为()B x ，我们可以得到下面的一些性质：性质3.1. 若0n n kn k b a n k-<⎧=⎨≥⎩ , 则 ()()k B x x A x =．证明： 由假设条件，有 21101211()k k k k k k B x b b x b x b x b x b x -+-+=+++++++11k k k k b x b x ++=++ 101k k a x a x +=++()01k x a a x =++()k x A x =.例3.1. 2()11!2!xx x A x e =+++= 且()B x 满足0n n kn k b a n k-<⎧=⎨≥⎩，则求()B x .解：利用性质1，()()k B x x A x =k x x e =⋅性质3.2. 若n n k b a +=，10()()k n k n n B x A x a x x -=⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦∑.证明： 又假设条件，有2012()B x b b x b x =+++212k k k a a x a x ++=+++()12121k k k k k k k a x a x a x x ++++=+++ ()10111()k k k A x a a x a x x--=----10()k n k n n A x a x x -=⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦∑.例3.2. 35()sin 3!5!x x A x x x ==+++,且6k k b a +=，求()B x .解： 6160()()n n n B x A x a x x -=⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦∑356()3!5!x x A x x x ⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦.性质3.3. 若0nn k k b a ==∑，则()()1A x B x x=-． 证明： 有假设条件，有 00b a =， 101b x a x a x =+， 22222012b x a x a x a x =++， …，012n n n n n n n b x a x a x a x a x =++++…， 把以上两边分别相加，得2222012()(1)(1)(1)B x a x x a x x x a x x x =++++++++++++22012()(1)a a x a x x x =++++++()1A x x=-. 例3.3. 21()11A x x x x =+++=- ，且0nn k k b a ==∑，则 ()2()1()11A x B x x x ==-- . 性质3.4. 若n k k nb a ∞==∑，则(1)()()1A xA x B x x -=-．这里0k n a ≥∑是收敛的．证明： 因为0k n a ≥∑是收敛的，所以n k k nb a ∞==∑是存在的．于是有0012(1)b a a a A =+++= 1120[(1)]b x a x a x A a x =++=-， 222222301[(1)]b x a x a x A a a x =++=--，…， 1011[(1)]k k k k k k k k b x a x a x A a a a x +-=++=----，…．把以上各式的两边分别相加，得0()(1)[(1)]B x A A a x =+-201[(1)]A a a x +--+01[(1)]k k A a a x -+--+2(1)(1)A x x =+++20(1)a x x x -+++221(1)a x x x -+++- 21(1)k k a x x x --+++-2012[(1)()]A x a a x a x =-+++2(1)x x +++(1)()1A xA x x-=-.性质3.5. 若n n na b =, 则'()()B x xA x =．证明： 由'()A x 的定义知'11()n n n na xxA x x ∞-==∑0n n n na x ∞==∑n n n b x ∞==∑()B x =．例3.4. 已知21()11A x x x x =+++=- ，n n na b =，则()21()11x B x x x x '⎛⎫== ⎪-⎝⎭-. 性质3.6. 若1nn a b n =+， 则1()()xB x A t dt x =⎰．证明： 由假设条件，有0()xxn n n A t dt a t dt ∞==∑⎰⎰(1)xn n n b n t dt ∞==+∑⎰1n n n b x ∞+==∑＝()xB x ．性质3.7. 若0112200nn n n n n k n k k c a b a b a b a b a b ---==++++=∑.则2012()()()C x c c x c x A x B x =+++=证： 000c a b =()10110c x a b a b x =+ ()222021120c x a b a b a b x =++ …()()()2222001210122012()c x a b b x b x a x bb x b x a x bb x b x =++++++++++++()()22012012a a x a x bb x b x =++++++()()A x B x =.例3.5. 已知21()11n A x x x x x=+++++=- ()22()21n xB x x x nx x =++++=-()11232n n n c n +=++++=则 ()3()1xG x x =-.性质3.8. 若k k k c a b αβ=+ ，则()()()0k k k c x c x A x B x αβ∞===+∑.证明：有假设条件，有()()00kkk k k k k c x c x a b x αβ∞∞====+∑∑0kk k k k k a x b x αβ∞∞===+∑∑kk k k k k a x b x αβ∞∞===+∑∑()()A x B x αβ=+.4性质的应用利用这些性质，可以求某些数列的母函数，也可以计算数列的和.下面列出几个常见的简单数列的母函数.(1) {}111G x=- (2) {}11k G a ak=-(3) {}()21xG k x =-(4) (){}()3211xG k k x +=-(5) {}()()2311x x G k x +=-(6) ()(){}()46121xG k k k x ++=-(7) 1!x G e k ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭(8) ()1aa G x k ⎧⎫⎛⎫=+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭(9) ()111n n k G k x +⎧+⎫⎛⎫=⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭ 例4.1.求序列{}5,6,7,,5,n +的母函数.解：()()25675n A x x x n x =++++++()()2235123x x x xx =+++++++(){}51G G k =+ ()()221545111x xx x x -=⋅+=---. 母函数的应用很多.求解递推关系,排列组合中,计数问题中的应用等等.利用母函数的性质,可以求某些数列的母函数,也可以计算数列的和.结束语母函数又称生成函数，是一种即简单又有用的数学方法，求解递推关系和组合计数问题中母函数是一种重要的数学方法.用母函数可以求解常系数线性齐次、非齐次递推关系、求解非线性递推关系、非常系数递推关系等等递推关系.这篇文章给出了母函数的基本知识,从最基本点开始讨论了母函数的性质.利用母函数的性质,可以求某些数列的母函数,也可以计算数列的和.参考文献【1】卢开澄,卢华明. 组合数学（第四版）.北京：清华大学出版社,2006,12．【2】田秋成等编著. 组合数学. 电子工业出版社,2006,11.【3】李凡长,康宇,董海峰,段爱华编著.组合理论及其应用. 北京：清华大学出版社,2005,9.【4】冯速译. 应用组合学. 拉特格大学狄克森学院：机械工业出版社,2007,5.【5】李乔.组合学讲义（第二版）.北京：高等教育出版社,2008,1.【6】孙淑玲许胤龙编著.组合数学引论.中国科学技术大学出版社,2004,1.【7】孙世新张先迪编著.组合原理及其应用.北京：国防工业出版社,2006,3.。