下面的关键是求出dy=A x ∆中的A.若函数在一点0x 处可微时,则有(x)(x),y dy A x οο∆=+∆=∆+∆(x)(x),y A x A x x x xοο∆∆∆∆=+=+∆∆∆∆000(x )(x )l i m l i m l i m .x x x y A A A x x x οο∆→∆→∆→∆∆∆⎡⎤=+=+=⎢⎥∆∆∆⎣⎦ 即 '0(x ).A f =反之,若()f x 在0x 处可导,有'00l i m (x ),x y f x∆→∆=∆ 由函数极限与无穷小的关系可得：'0(x ),y f xα∆=+∆其中α是当0x ∆→时的无穷小,所以 因为(x),x αο∆=∆而(),0f x 与x ∆无关,由微分定义可知，函数在0x 处可微,且(),0.f x A = 定理 ()y f x =在0x 处可微的充分必要条件是函数()y fx =在0x 处可导,且()f x 在可 导点0x 处的微分为,(x).dy f x =∆ （2）若()y f x =在区间I 内每一点处都可微,称()y f x =在I 内可微,其微分为,(x).dy f dx = 当(x)f x =时，(x)(x),df dx x x ==∆=∆所以.dx x =∆因此,可以定义自变量x 的微分dx 为其增量x ∆,即.dx x =∆这样便有,(x)dy f dx =或,(x),dy f dx= 可见,导数就是函数的微分dy 与自变量的微分dx 之商,因此,导数也成为“微商”. 2.4.2 微分的几何意义如图2—7所示,设点00(x ,y )M 是曲线y (x)f =上一点,当自变量在0x 处有微小增量x ∆时,得到曲线上另一点00(x ,y ),N x y +∆+∆其中MQ ,x =∆QN =过点M 作曲线的切线MT,它的倾角为α,则QP='0tan (x ),MQ f x α=∆即.dy QP =所以，当自变量有改变量x ∆时,y ∆是曲线y=(x)f 上的对应点的纵坐标的增量,dy 则是曲线的切线上对应点的纵坐标的增量.当||x ∆很小的时候,0.y dy x∆-→∆因此在点M 邻近，可以用切线段来近高等数学 62似代替曲线段.2.4.3 微分公式和法则由可导与可微之间的关系'dy (x)dx,f =参照2.2.4中的公式立即可得微分公式和微分 运算法则.下面将函数和、差、商的微分法则和复合函数的微分法则列出来：1） 函数和、差、积、商的求导法则，由函数的和、差、积、商的求导法则，可推得相应的微分法则.设函数u u(x)=、v v(x)=都可导,则：①d(u v)du dv;±=± ②d(Cu)Cdu =（C 是常数）；③(uv)udv vdu;d =+ ④2d()(v 0).u vdu udv v v -=≠ 2） 复合函数的微分法则设y (u),f =u (x)ϕ=都是可导函数,则复合函数[(x)]y f ϕ=的微分应为'''dy {f[(x)]}()dx (u)(x)dx,dy du dx f du dxϕϕ=== 因为'(x)dx du ϕ=,上式可写成'dy (u)f du = (2)(3)式说明,无论函数(u)y f =中的u 是自变量还是中间变量,它的微分表达形式都是dy='(u)f du ,这称作微分形式的不变性.例1 求函数ln tan 5x y =的微分.解：方法一： ln tan 'ln tan '(5)5ln5(lntanx)x x dy dx dx ==2ln tan ln tan sec ln 55ln 55.tan sin cos x x x dx dx x x x== 方法二：由微分形式不变性,可得ln tan ln tan 15ln 5(lntanx)5ln 5(tanx)tan x x dy d d x ==ln tan 2ln tan ln 5ln 55sec 5tan sin cos x xxdx dx x x x==2. 4. 4 利用微分进行近似计算对可导函数(x),f 当自变量在x 处产生微小该变量x ∆,对应的y 有改变,y ∆由微分与倒数的关系可知,'(x)x,y dy f ∆≈=∆即'(x)x,y f ∆≈∆第2章 一元函数微分学及其应用 63或 '(x x)(x)(x)x.f f f +∆≈+∆(4)式和(5)式称为微分近似计算公式.特别地,当x=0时,在(5)式中用x 代替x,∆得当x 较小时,利用(6)式可得几个函数的近似计算公式:①sinx ;x ≈ ②tan ;x x ≈ ③arcsin ;x x ≈ ④arctan ;x x ≈⑤1;x e x ≈+ ⑥ln(x 1);x +≈ ⑦ 1.x n≈+ 下面证明⑦.证：设(x)f =则11'1(x)(1),n f x n -=+ (0)1,f ='1(0),f n = 由公式（6）得 (x)1.x f n≈+ 上面七个公式的几何意义是：在点x=0的较小邻域内,等式两边的两个函数的图像是“吻合”的.例2 计算（1）ln 0.98; （2 （3）'sin 2930;的近似值. 解:(1)设(x)ln(1x),f =+相当于求自变量x=0.02时,函数(x)f 的函数值.由前面结论④可得ln 0.98ln(10.02)0.02.=-≈-(2)设(x)f 相当于求自变量x=0.02时,函数(x)f 的函数值.由前面结论⑤可得0.021 1.0067.3=≈+= (3)设(x)sin(x),f ='(x)cosx,f =由微分近似公式(5)式,可知'sin 2930sin()sin cos ()636066360o πππππ=-≈+- 0.50000.00760.4924.≈-=习题2—41. 求下列各函数的微分:(1) 3y x 3;x =+ (2) 1y x=- (3) y =(4) 2cos ;1x y x =- (5) 1arcsin(2x);2y = (6) arctan(e ).x y =2.求函数y tanx =在x 4π=处,对应0.05x ∆=的微分值.3.利用微分近似公式,求(1) 0cos29; (2) .4.若方程1x y xe =+确定函数(x),y y =求在x 0=处函数的微分.5.设函数(x)f 可导,求函数2y (x )f =的函数的微分dy.高等数学 642. 5 中值定理在本节,我们学习一元函数微分学的三个基本定理:Rolle 定理、Lagrange 中值定理、 Cauchy 中值定理,它们是导数应用的理论基础.2.5.1 Rolle 定理定理1 如果函数(x)f 满足:(1) 在闭区间[a,b]上连续；(2) 在开区间(a,b)内可导；(3) (a)(b);f f =则至少存在点(a,b),ξ∈使'()0f ξ=(见图2—8).证:若(x)f 在[a,b]上恒为常数,显然定理成立.假设(x)f 在闭区间[a,b]上的最大值为M,最小值为m,且M>m,则M 、m 中至少有一个不等于(a)f .不妨设(a),M f ≠由于(a)(b),f f =这说明最大值M 是在区间(a,b)内取得,由介值定理知道存在(a,b)ξ∈使()M.f ξ=分析该点的导数:'0(x)()()lim 0,x f f f x ξξξξ+→+-=≤- '0(x )()()l i m 0,x f f f x ξξξξ-→--=≥- 而(x)f 在ξ可导,应有'''()()(),f f f ξξξ+-==故只有'()0.f ξ=注:(1)定理表明函数图像在开区间(a,b)内至少存在一条水平切线;(2)定理说明在定理条件下方程'(x)0f =在(a,b)内至善有一个根，因此定理也叫做导数方程根的存在定理;(3)定理的三个条件中若有一个不满足,结论就不一定成立.图2—9给出了不满足其中一个条件时定理不存在的情况.例1 对函数32(x)x 4710f x x =+--在[-1,2]上验证Rolle 定理的正确性.解:(1)(2)0f f -==且(x)f 在[-1,2]上连续,在(-1,2)内可导,满足Rolle 定理的三 个条件.计算导数: '2(x)3x 87,f x =+-由于'(1)12,f -=-'(2)21,f =从而''(1)(2)0.f f -<由零点定理知存在(1,2)ξ∈-使'()0.f ξ=第2章 一元函数微分学及其应用 65例2 已知(x)(x 1)(x 2)(x 3)(x 4),f =----利用Rolle 定理讨论'(x)0f =根的 情况.解:(x)f 为多项式函数,在(,)-∞+∞内连续、可导.因为(1)(2)(3)(4)0,f f f f ====由Rolle 定理知'(x)0f =有分别位于区间(1,2)、(2,3)、(3,4)内的三个实根.又由于'(x)f 是一个三个多项式,最多有三个实根,所以它只有这三个根.2.5.2 Lagrange 中值定理Rolle 定理中(a)(b)f f =这个条件是比较特殊的,如果取消这个条件,则由下面的 Lagrange 中值定理.定理2 如果函数(x)f 满足:(1) 在闭区间[a,b]上连续;(2) 在开区间(a,b)内可导,则至少存在一点ξ∈(a,b),使'(b)(a)().f f f b aξ-=-先看一下定理2的几何含义(见图2—10),过连续曲线弧段的两端点(a,f(a)),B(b,f(b))A 作弦AB,其斜率(b)(a),f f k b a-=- 则在(a,b)内至少有一点ξ,过点(,f())ξξ的切线与弦AB 平行.证:引进辅助函数(b)(a)F(x)(x)(x),f f f kx f x b a-=-=-- 则(a)af(b)(a)(b),bf F F b a-==-且(x)F 满足Rolle 定理的另外两个条件，所以至少存在一点 ξ∈(a,b),使''(b)(a)()()0,f f F f b aξξ-=-=-即 '(b)(a)().f f f b aξ-=-注:在Lagrange 中值定理中,若(a)(b),f f =则得Rolle 定理的结论,所以Rolle 定理是Lagrange 中值定理的特殊情况.推论1 若(x)f 在区间I 上可导, '(x)0,f ≡则在I 上(x)f C ≡(C 为常数). 证:在区间I 上任取两点12,,x x 且12x x <,在区间12[,x ]x 上应用Lagrange 中值定理得： 存在12[,x ]x ξ∈使'2121(x )f(x )(),f f x x ξ-=-,但'(x)0,f ≡故12(x )(x ).f f =由12(,)x x 的任意性,可知(x)f 在区间I 上式一个常值函数.推论2 若函数(x),g(x)f 在(a,b)内可导,且对任意(a,b),x ∈有''(x)(x),f g =则。
第二章一元函数微分学110拐点判断定理:若曲线)(x f y =,0连续在点x 0)(0=′′x f 或不存在,但)(x f ′′在两侧异号,0x 则点))(,(00x f x 是曲线)(x f y =的一个拐点.曲线的渐近线(1)水平渐近线.)(),()(lim )(lim 的一条水平渐近线就是那么为常数或如果x f y b y b b x f b x f x x ====−∞→+∞→考试要求1.理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系,了解导数的几何意义与经济意义(含边际与弹性的概念),会求平面曲线的切线方程和法线方程.2.掌握基本初等函数的导数公式.导数的四则运算法则及复合函数的求导法则,会求分段函数的导数,会求反函数与隐函数的导数.3.了解高阶导数的概念,会求简单函数的高阶导数.4.了解微分的概念,导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性,会求函数的微分.5.理解罗尔(Rolle)定理.拉格朗日(Lagrange)中值定理.了解泰勒(Taylor)定理.柯西(Cauchy)中值定理,掌握这四个定理的简单应用.136.会用洛必达法则求极限.7.掌握函数单调性的判别方法,了解函数极值的概念,掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用.8.会用导数判断函数图形的凹凸性,会求函数图形的拐点和渐近线.9.会描述简单函数的图形.1419设||3)(23x x x x f +=,则)(x f 在0=x 处可求导的最高阶数为( ). (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 只要考虑||2x x 的可导性,)(x g ′′在0=x 处的左、右导数分别为6和6−,故不可导,故)(x f 在0=x 处可求导的最高阶数为2阶,本题应选C.例5解⎪⎩⎪⎨⎧<−=>=,0,,0,0,0,)(33x x x x x x g ⎪⎩⎪⎨⎧<−=>=′,0,3,0,0,0,3)(22x x x x x x g ⎪⎩⎪⎨⎧<−=>=′′.0,6,0,0,0,6)(x x x x x x g21设)(x y y =是由方程y x xy+=e 所确定的隐函数,求:)0(),0(y y ′′′.方程两边关于x 求导,得)1(,1)( y y x y xye ′+=′+,11)0(0式带入及将)(==y x .0)0(=′∴y (1)式两边再关于x 求导,得,)2()(2y y x y y x y xyxy ′′=′′+′+′+e e ,代入及将0)0(1)0(,0=′==y y x .1)0(=′′y 得例7解33。
第 2 章 一元函数微分学一、学习要点l 掌握导数的概念及其几何意义，掌握可导性和连续性的关系． l 会求曲线上一点处的切线方程和法线方程．l 熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则及复合函数的求导方法． l 掌握隐函数的求导法、对数求导法以及由参数方程确定的函数的求导方法． l 理解高阶导数的概念，会求简单函数的n 阶导数．l 理解函数微分的概念，掌握微分法则，掌握可微与可导的关系． l 理解罗尔定理、拉格朗日中值定理的条件、结论及其几何意义．l知道柯西定理的条件和结论；会用拉格朗日中值定理证明简单的不等式．l 熟练掌握用洛必达法则求未定型 0 0 、 ¥¥的极限．l 会用洛必达法则求未定型 00 0 0 1 ¥ ¥-¥×¥¥ ， ， ， ， 的极限．l 理解极值点、驻点的概念．l 了解可导函数极值存在的必要条件；知道极值点与驻点的区别和联系． l 掌握用一阶导数判断函数的单调性及单调区间；会用单调性证明简单的不等式． l 掌握用一阶导数求函数的极值的方法．l 掌握求解一些简单实际问题中的最大值和最小值的方法． l 理解曲线凹凸性和拐点的概念；会用二阶导数判别曲线的凹凸性． l 掌握用二阶导数求曲线凹凸区间及拐点的方法． l会求曲线的水平渐近线、垂直渐近线．二、相关知识总结1．导数的定义：设函数 () y f x = 在点 0 x 的邻域内有定义，则0 000 0 00 0 ()()()() lim()lim lim () x x x x f x x f x f x f x y f x x x x x D ®D ®® +D -- D ¢ $=== D D - ． 2．导数的几何意义及其应用：函数 () y f x = 在 0 x 处的导数 0() f x ¢ 等于曲线 () y f x = 在点 00 (,()) x f x 处的切线的斜率．3．可导与连续的关系：如果函数 () y f x = 在 0 x 处可导，则 () y f x = 在 0 x 处连续（可导是连续 的充分条件，但不是必要条件）．第2章 一元函数微分学214．复合函数求导法则：设 ()() y f u u g x == 、 都关于自变量可导，则[(())]()() f g x f u g x ¢¢¢ = ． 5．牢记基本导数公式： （1） 0 c ¢ = （2） 1 () x x a a a - ¢= （3）()ln x x a a a¢= （4）(e )e x x¢= （5） 1 (log ||)ln a x x a¢= （6） 1(ln ||)x x¢= （7）(sin )cos x x ¢= （8）(cos )sin x x ¢=- （9） 2 (tan )sec x x ¢= （10） 2 (cot )csc x x ¢=- （11）(sec )sec tan x x x¢= （12）(csc )csc cot x x x¢=- （13） 21(arcsin )1 x x ¢= - （14） 21(arccos )1 x x ¢ =- - （15） 21 (arctan ) 1 x x¢= + （16） 21 (arc cot ) 1 x x ¢=- + ．6．理解高阶导数的概念，会求简单函数的n 阶导数．7．微分的概念：（1）若函数 () y f x = 在 0 x 处可导，称 00 d ()()d y f x x f x x ¢¢ =D = 为函数 () f x 在 0 x 处关于 x D 的 微分．（2） 若函数 () y f x = 在点 0 x 处的改变量 00 ()() y f x x f x D =+D - 可表示为 () y A x x o D =D + D （A 与 x D 无关），则称函数 () y f x = 在点 0 x 处可微．8．罗尔定理、拉格朗日中值定理的条件、结论及其几何意义；知道柯西定理的条件和结论； 会用拉格朗日中值定理证明简单的不等式．9．洛必达法则的说明： （1）在定理中将 0 x x ® 改为x ®±¥，洛必达法则仍然成立．（2）将定理条件lim ()lim ()0 f x g x == 改为lim ()lim () f x g x ==¥ 结论仍然成立．（3）每次使用洛必达法则时必须检查所求的极限是否为 0 0 或 ¥¥型．（4）如果 0 () lim () x x f x g x ® ¢ ¢ 仍是 0 0 或 ¥¥型，则可以继续使用洛必达法则．（5）如果 0 () lim() x x f x g x ® ¢ ¢ 不存在且不是¥，并不表明 0 ()lim ()x x f x g x ® 不存在，只表明洛必达法则失效，这时应该用其他方法来求极限． （6）除了 0 0 或 ¥ ¥型外，还有另外5种未定型极限：¥-¥、0×¥ 、 0 ¥ 、 00 、1 ¥ ．10．单调性的判断定理： 设函数 () y f x = 在[,] a b 上连续，在(,) a b 内可导．应用高等数学教程（能力提升篇）22在(,) a b 内 ()0()[,]. ()0()[,]. f x f x a b f x f x a b ¢ >Þ ì í¢ <Þ î如果 在 上单调增加 如果 在 上单调减少 11．极值点的充分条件，最值的求解.12．凹凸的判断定理：如果 () f x 在[,] a b 上连续，在(,) a b 内具有一阶和二阶导数，若在(,) a b 上 （1） ()0 f x ¢¢ > ，则 () f x 在[,] a b 上的图形是凹的． （2） ()0 f x ¢¢ < ，则 () f x 在[,] a b 上的图形是凸的． 13．拐点的求解步骤： （1）求出 () f x 的定义域和 () f x ¢ .（2）求出 () f x ¢¢ ，解出 ()0 f x ¢¢ = 的点以及二阶导数不存在的点.（3）由凹凸判定定理分区间讨论它的凹凸性． 14．检查上面两类点左右两侧的 () f x ¢¢ 是否异号，若异号且有定义的点即为拐点． 15．会求曲线的水平渐近线和垂直渐近线． 三、重点例题剖析（一）基础题 1．如果 () f x 为偶函数，且 (0) f ¢ 存在，证明 (0)0 f ¢ = ． 证 因为 ()() f x f x -= ，且000 (0)(0)()(0)()(0)(0)limlim limh x x f h f f x f f x f f h x x ®®® +---- ¢ === 0 ()(0)lim (0) x f x f f x® -- ¢ =-=- - ，所以 (0)0 f ¢ = ．2．求曲线 cos y x = 上点 π 1,32 æöç÷ èø 处的切线方程和法线方程．解 因为切线 sin y x ¢=- ，切线斜率 1 k = π 3 sin 32 =- ，法线斜率 2 k = 0x x = ，所以切线为： 13 π 223 y x æö -=-- ç÷ èø ，即 332 π 1 3x y +=+ ． 法线为： 12 π 23 3 y x æö -=- ç÷èø ，即 4423 π 3 3 x y -=- ． 3．讨论下列函数在 0 x = 处的连续性与可导性： （1） |sin | y x = ；（2） 21 sin00x x y xx ì ¹ ï = í ï = î．解 用连续性的定义判断连续性；用左、右导数是否存在并相等判断函数在该点的可导性：（1）（2）第2章 一元函数微分学23（1）因为 0lim sin lim sin 0 x x x x ++ ®® == ，00lim sin lim (sin )0x x x x -- ®® =-= 所以 0lim sin (00)(00)0. x x f f ® =+=-= 故 |sin | y x = 在 0 x = 处连续，又00 |sin(0)||sin 0|sin (00)lim lim 1 x x x xf x x-- D ®D ® +D -- D ¢ -===- D D ，00 |sin(0)||sin 0|sin (00)lim lim 1 x x x xf x x+- D ®D ® +D - D ¢ +=== D D ，所以 |sin | y x = 在 0 x = 处不可导．（2）由无穷小与有界量之积仍为无穷小知2 0 1lim sin 0(0) x x f x® == 故 21 sin y x x æö = ç÷ èø在 0 x = 处连续，又2 00 1sin 01 (0)lim lim sin 0 x x x x f x x xD ®® D - D ¢ === D ，所以 21 sin y x x æö = ç÷ èø在 0 x = 处亦可导．4．已知 sin 0 () 0 xx f x x x < ì = í î≥ ，求 () f x ¢ ．解 （需要讨论几种情形并分别求导，特别要注意在求这类分段函数衔接点处的导数时，不便 套用公式，还应采用定义去求导）．易知 0 x > 时， ()1 f x x¢¢ == ．当 0 x < 时， ()(sin )cos f x x x ¢¢ == ，当 0 x = 时，因为 00 ()(0)sin 0(0)lim lim 1 0 x x f x f x f x x-- - ®® -- ¢ === - ，又 00 ()(0)0(0)lim lim 1 00x x f x f x f x x +++ ®® -- ¢ === -- ， 由 (0)(0)1f f -+ ¢¢ == ，知 (1)1 f ¢ = ，综上所述，得 cos 0 '() 1 0 x x f x x < ì= í î≥ ．5．证明：双曲线 2 xy a = 上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于 22a ．证 设双曲线 2xy a = 上任一点 2 0 0(,) a x x ，因为 2ay x = 的导数为 22 a yx¢=-应用高等数学教程（能力提升篇）24 所以20 2()ay xx¢ =-切线方程：2220 0()a ay x xx x-=--分别令 0y = 与 0x = ，得它在两坐标轴上的截距依次为2x x= 与22ayx=于是所构成三角形的面积为22112||2222as xy x ax==××= ．6．以初速度v 竖直上抛的物体，其上升高度s与时间t的关系是 212s v t gt=- ，求： （1）该物体的速度；（2）该物体达到最高点的时刻．解（求速度v，即为求导数 ()s t¢ ，求达到最高点的时刻，只须令 0tv s¢== ，再解出t ）（1）()()v t s t v gt¢==- ．（2）令v gt-= ，得 0vtg= ，即达到最高点时间为 0vtg= （秒）．7．设函数 ()f x 和 ()g x 可导，且 22()()0f xg x+¹ ，试求函数 22()()y f x g x=+ 的导数．解22222()()2()()()()()()2()()()()f x f xg x g x f x f x g x g xyf xg x f x g x¢¢¢¢++¢==++．8．设 ()f x 可导，求下列函数 y 的导数ddyx：（1） 2()y f x= ； （2） 22(sin)(cos)y f x f x=+ ．解（1） 22()y xf x¢¢= ．（2） 222sin cos(sin)2cos sin(cos)y x xf x x xf x¢¢¢=-22sin2[(sin)(cos)]x f x f x¢¢=- ．9．若 ()f x¢¢ 存在，求下列函数 y 的二阶导数22ddyx：（1） 2()y f x= ； （2） ln[()]y f x= ．解（1） 22()y xf x¢¢= ， 2222()4()y f x x f x¢¢¢¢¢=+ ．（2）()()f xyf x¢¢ = ，22()()[()]()f x f x f xyf x¢¢¢-¢¢ = ．10．求由下列方程所确定的隐函数的导数ddyx：第2章 一元函数微分学25（1） 33 30 x y axy +-= ； （2） 1e y y x =- ．解 （1）在方程两端分别对x 求导，得22 33330 x y y ay axy¢¢ +--= 从而 22 ay x y y ax- ¢ = - ． （2）在方程两端分别对x 求导，得e e y y y x y¢¢ =-- 从而 e 1e yyy x ¢=- + ．11．求下列参数方程所确定的函数的导数：（1） 23x at y bt ì = í = î； （2） 222 313 1at x t at t ì= ï + ï í ï ï + î ． 解 （1） 2 d d 33 d d d 22 d yy bt b t t x x at a t=== ．（2） 2 22 2 22 2222 2 3 3[2(1)2] d 1 d 2 (1) d d d 3[(1)2]1 3d (1) 1 at a t t t t y t y t t t x x a t t t t at t t t ¢æö +-× ç÷ + + èø ==== +-×- ¢ æö ç÷ + + èø． 12．求下列参数方程所确定的函数的二阶导数 22 d dyx ：（1） cos sin x a ty b t = ì í = î ； （2） 3e 2ettx y - ì = í = î ． 解 （1） d cos cot d sin y b t b t x a t a - == - ， 2 2223 d d (csc ) d d d d sin dx sin d y bt y bt x a x a t a t tæö -- ç÷ - èø === - ．（2） 2 223 2 4 e d 2e 2d 4 3 e e d 39 3e d 3et t t t t t y y x x -- - ==-== -- ， ． 13．求下列函数的微分： （1） sin 2 y x x = ；（2） 2 ln (1) y x =- ．解 （1）d d (sin 2cos 22)d (sin 22cos 2)d y y x x x x x x x x x ¢ ==+×=+ ．应用高等数学教程（能力提升篇）26（2） (1)2d d 2ln(1)d ln(1)d 11y y x x x x x x x - ¢ ==-×=- -- ． 14．计算下列反三角函数值的近似值（1）arcsin 0.5002； （2）arccos 0.4995．解 （ 1 ） 由 0 00 arcsin arcsin (arcsin )|() x x x x x x x = ¢ »+×- 即取 0 0.5 x = 得 arcsin(0.5002)» 0 2 0.5 1 arcsin 0.50.000230471 x x=¢¢ +×»° - ． （2）由 0 00 arcsin arccos (arccos )|() x x x x x x x = ¢ »+×- 即取 00.5 x = 得arccos(0.4995)arcsin 0.5 »- 0 2 0.51 (0.50.0005)6021 x x= ¢ ×-»° - . 15．验证罗尔定理对函数 ln sin y x = 在区间 π 5π ,66 éùêú ëû上的正确性．证 函数 ()ln sin f x x = 在 π 5π ,66 éù êú ëû 上连续，在 π 5π ,66 æö ç÷ èø 内可导，又 π π 1 ln sin ln 662 f æö== ç÷ èø，5π 5π 1 ln sin ln 662 f æö == ç÷ èø 即 π 5π 66 f f æöæö = ç÷ç÷ èøèø ，故 () f x 在 π 5π ,66 éùêú ëû上满足罗尔定理条件，由罗尔定理知至少存在一点 π 5π ,66 x æöÎ ç÷ èø，使 ()0 f x ¢ = ．又 cos ()cot sin x f x x x ¢ == ，令 ()0 f x ¢ = 得 π π 2 x n =+（ 0 1 2 n =±± L ， ， ， ）． 取 0 n = ，得 π π 5π , 266 x æö =Î ç÷ èø ．因此罗尔定理对函数 ln sin y x = 在区间 π 5π ,66 éùêú ëû上是正确的．16． 试证明对函数 2 y px qx r =++ 应用拉格朗日中值定理时所求得的点x 总是位于区间的正中 间．证 任取数值 a ，b ，不妨设a b < ，函数 2 () f x px qx r =++ 在区间[,] a b 上连续，在(,) a b 内可 导，故由拉格朗日中值定理知至少存在一点 (,) a b x Î ，使 ()()()() f b f a f b a x ¢-=- ，即 22 (2)().pb qb r pa qa r p q b a x ++---=+- 经整理得 2a bx + =．即所求得的x 总是位于区间的正中间． 17．不用求出函数 ()(1)(2)(3)(4) f x x x x x =---- 的导数，说明方程 ()0 f x ¢ = 有几个实根，并指出它们所在的区间．解 函数 () f x 分别在 [1,2] [2,3] [3,4] ， ， 上连续，分别在 (1,2) (2,3) (3,4) ， ， 内可导，且 (1)(2)(3)(4)0 f f f f ==== ． 由罗尔定理知至少存在 123 (1,2) (2,3) (3,4) x x x ÎÎÎ ， ， ， 使 123 ()()()0 f f f x x x ¢¢¢ === ．即方程 ()0 f x ¢ = 至少有三个实根，又因为方程 ()0 f x ¢ = 为三次方程，故 它至多有三个实根，因此方程 ()0 f x ¢ = 有且仅有三个实根，它们分别位于区间(1,2) (2,3) (3,4) ， ， 内．第2章 一元函数微分学2718．证明恒等式： π arcsin arccos 11 2x x x +=- （ ≤ ≤ ） ． 证取函数 ()arcsin arccos (1,1) f x x x x =+Î- ， ． 因 2211() 11 f x xx ¢ =--- 0 º ， 故() f x C º ．取 0 x = ，得 π(0) 2 f C == ．从而当 (1,1) x Î- 时，有arcsin x + arccos x π 2 = ．又 1 x = 或 1 - 时，也有 π arcsin arccos 2 x x += ，因此 πarcsin arccos 2x x += ， [1,1] x Î- ．19 ． 若方程 1 011 0 n n n a x a x a x - - +++= L 有一个正根 0 x x = ， 证明方程 12 011 (1)0 n n n a nx a n x a x -- - +-++= L 必有一个小于 0 x 的正根．证 取函数 1 011 () n n n f x a x a x a x - - =+++ L ． () f x 在 0 [0,] x 上连续，在 0 (0,) x 内可导，且 0 (0)()0 f f x == ， 由罗尔定理知至少存在一点 0 (0,) x x Î ， 使 ()0 f x ¢ = ， 即方程12 011 (1)0 n n n a nx a n x a x -- - +-++= L 必有一个小于 0 x 的正根．20． 若函数 () f x 在( , a b )内具有二阶导数， 且 123 ()()() f x f x f x == ， 其中 123 a x x x b <<<< ． 证 明：在( 13 , x x )内至少有一点x ，使得 ()0 f x ¢¢ = ．证根据题意知函数 () f x 在 1223 [,] [,] x x x x ， 上连续 ， 在 1223 (,) (,) x x x x ， 内可导且 123 ()()() f x f x f x == ，故由罗尔定理知至少存在点 11222,3 (,) () x x x x x x ÎÎ ， ，使 12 ()()0 f f x x ¢¢ == . 又 () f x ¢ 在 12 [,] x x 上连续， 在 12 (,) x x 内可导， 故由罗尔定理知至少存在点 1212 (,)(,) x x x x x ÎÌ 使 ()0 f x ¢¢ = ．21．设 0 a b >> ， 1 n > ，证明：11 ()() n n n n nb a b a b na a b -- -<-<- ．证 取函数 () n f x x = ， () f x 在[,] b a 上连续，在(,) b a 内可导，由拉格朗日中值定理知，至少 存在一点 (,) b a x Î ，使 ()()()() f a f b f a b x ¢ -=- ，即1 () n n n a b n a b x - -=- ．又01 b a n x <<<> ， ，故 1110 n n n b ax --- <<< ． 因此 111 ()()() n n n nb a b n a b na a b x --- -<-<- ，即11 ()() n n n n nb a b a b na a b -- -<-<- ．22．设 0 a b >> ，证明：ln a b a a ba b b-- << ． 证 取 ()ln f x x = ， () f x 在[,] b a 上连续，在[,] b a 内可导，由拉格朗日中值定理知，至少存在一点 (,) b a x Î ，使 ()()()() f a f b f a b x ¢ -=- ，即1ln ln () a b a b x-=- ．应用高等数学教程（能力提升篇）28又0 b a x <<< ，故 111 0 a b x <<< ，因此 a b a b a b a bx --- << ，即 ln a b a a ba b b-- << ． 23．证明：当 1 x > 时，e e x x >× ．证 取函数 ()e tf t = ， () f t 在[1,] x 上连续，在(1,) x 内可导．由拉格朗日中值定理知，至少存在一点 (1,) x x Î ，使()(1)()(1) f x f f x x ¢ -=- ，即e e e (1) x x x -=- ．又1 x x << ，故e e x > ，因此e e e(1) x x -=- ， 即 e e x x >× ．24．设 () f x 、 () g x 在[,] a b 上连续，在(,) a b 内可导，证明在(,) a b 内有一点x ，使()() ()()f a f bg a g b =()()()()()f a f b ag a g x x ¢ - ¢ ． 证 取 ()() () ()()f a f x F xg a g x = ，由 () f x 、 () g x 在[,] a b 上连续，在(,) a b 内可导知 () F x 在[,] a b上 连续，在 (,) a b 内可导，由拉格朗日中值定理知至少存在一点 (,) a b x Î ，使 ()() F b F a -= ()() F b a x ¢ - ．而()() () ()()f a f b F bg a g b = ， ()() ()0 ()()f a f a F ag a g a == 0() () 0()f x F xg x ¢ =＋()() ()() f a f g a g x x ¢ ¢ ＝ ()()()()f a fg a g x x ¢ ¢ 故()()()()() ()()()() f a f b f a f b a g a g b g a g x x ¢ =- ¢ 25．证明：若函数 () f x 在(,) -¥+¥ 内满足关系式 ()() f x f x ¢= ，且 (0)1 f = ，则 ()e x f x = ． 证 取 () () e x f x G x = ，则由 2 ()e e ()()()()0 e e x x x xf x f x f x f x G x ¢¢ -- ¢ === ，得 () G x C = ．又(0)()1 G C f x === ，因此 ()1 G x = ．即 ()1 ex f x = ．26．设函数 () y f x = 在 0 x = 的某邻域内具有n 阶导数，且 (0) f = (0) f ¢ == L (1) (0)0 n f - = ，试 用柯西中值定理证明： () ()() 01 ! n n f x f x n xq q =<< （ ） ．证 取 () n g t t = ，则由假设 () f t 及 () g t 的表达式知， () f t 及 () g t 在由0与x 组成的区间上满足第2章 一元函数微分学29柯西中值定理的条件，因此有1 11() ()()(0) 0 n n n n f f x f x f x x n x x - ¢ - == - ，其中 1 x 在0与1之间． 又 112 1112112()()(0)()0(1) n n n n f f f f n n n n n x x x x x x ---- ¢¢¢¢¢ - == -- ，其中 2 x 在0与 1 x 之间． 依此类推，得( ) 1)(1)(1) 11 11() ()()(0) !!!0! n n n n n n n f f f f n n n n x x x x x - -- -- - == - ，其中 n x 在0与 1 n x - 之间． 因此 () ()()01 ! n nf x f x n xq q =<< （ ） ． 27．设 ()() f x g x ， 在[,] a b 上连续，在(,) a b 内可导，且对(,) a b 内的一切 x 有 ()() f x g x ¢ -()()0 f x g x ¢ ¹ ．证明：若 () f x 在(,) a b 内有两个相邻的零点，则介于这两个零点之间 () g x 至少有一 个零点．证 采用反证法．若 () g x 在 12 (,) x x 之间没有零点，其中 1212 ,() x x x x < 为 () f x 在(,) a b 内有两个 相邻的零点．显然 12 ()0()0 g x g x ¹¹ ， ，否则由 11 ()()0 g x f x == 或 22 ()()0 g x f x == ，得 1111 ()()()()0 f x g x f x g x ¢¢ -¹ 或 2222 ()()()()0 f x g x f x g x ¢¢ -¹ ，这与假设矛盾．取 ()() ()f x F xg x = ，则 () F x 在 12 [,] x x 上连续，在 12 (,) x x 内可导，又1 1 1 () ()0 () f x F x g x == ， 2 22 () ()0 () f x F x g x == ． 即 12 ()() F x F x = ，从而 () F x 在 12 [,]x x 上满足罗尔定理条件，于是存在 12 (,)(,) x x a b x ÎÌ ，使得 2 ()()()()()0 ()f g f g F g x x x x x x ¢¢ - ¢ == ．即()()()()0 f g f g x x x x ¢¢ -= ．这与假设矛盾，故结论成立．28．用洛必达法则求下则极限：（1） 1 ln 1 lim arc cot x x x®+¥ æö + ç÷èø；（2） 212lim e x x x ® ；（3） sin 0 e elim sin x xx x x® - - ；（4） e 2arctan lim e π x x x x x x®¥ + - ；（5）lim 1 xx a x ®¥ æö + ç÷ èø ；（6） sin 0lim x x x + ® ；（7） tan 0 1 lim xx x + ® æö ç÷èø．应用高等数学教程（能力提升篇）30解 （1） 2 2 2 2 211 1 1 1 ln 1 1 1 1 lim lim lim lim 1 11 arc cot 1 1 x x x x x x x x x x x x x x ®+¥®+¥®+¥®+¥ æö - ç÷ æö èø + + + ç÷ + èø ==== + -+ + ． （2） 2 222 11112 2 0000 22 1 e e lim e lim lim lim e 1 1 xx xx x x x x x x x x ®®®® æö × ç÷ èø ====+¥ ¢ æöç÷ èø． （3） sin sin sin sin sin 0000 e e e 1e 1 lim lim e lim e limsin sin sin x x x xx x x xx x x x x x x x x x -- ®®®® --- ==× --- sin sin 00 e (1cos )lim lim e 1 1cos x x x x x x x x- - ®® - === - ． （4）因为当x ®+¥时，e x®+¥， π arctan 2 x ® ．当x ®-¥时，e 0 x ® ， π arctan 2x ®- ，所以碰到当x ®¥， 被求极限函数含有e x或arctan x 时， 应分别求x ®+¥及x ®-¥时的函数极限，并以此判断当x ®¥时函数是否有极限．2 2 e 2arctan e 2arctan 1 lim lime π e πx xx x x x xx x x x x ®+¥®+¥ ++ + + = -- 22e12arctan 1 lim 1 1 πe x x x x x x - - ®+¥ ++ + == - ． 2 2 e 2arctan e 2arctan 1 lim lim 1 e π e πx x x x x x xx x x x x ®-¥®-¥ ++ + + == -- ．故 e 2arctan lim 1 e π x x x x x x®¥ + = - ． （5） 2 21 1 ln 1ln 1 limlim lim lim1 11 lim ln 1 1 lim 1ee e e ee x x x x x a aa a x x a x x a xa x ax xxx x x a x ®¥®¥®¥®¥ ®¥ æö ×- ç÷æöæö èø + ++ ç÷ç÷èøèøæö- + +ç÷ èø®¥ æö+====== ç÷ èø ．（6） sin 0lim x x x + ® 0 0 21 sin ln lim lim 1 1lim sin ln lim 0 e eee e 1 x x x x x x x x x xxxx + + ® ® ++®® - - ====== ．（7） 0 02001 tan ln lim lim 11 tan 1 lim tan lnlim 0 0 1 lim eeee e 1 x x x x x xx xx x xxxx x x + + ® ® ++®® + - -× - ® æö====== ç÷èø．第2章 一元函数微分学3129．验证极限 20 1 sinlimsin x x x x® 存在，但不能用洛必达法则得出． 解 因为 2 1 11 sin 2sin cos lim lim(sin )cos x x x x x x x x x ®¥®¥ ¢ æö - ç÷èø = ¢ 不存在，所以只能说不能用洛必达法则来求极限 cos limx x xx®¥ + ，但不能说该极限不存在．事实上，此极限可用下面的方法来求：2 0000 1 sin11 lim lim sin lim lim sin 100 sin sin sin x x x x x x x x x x x x x x x ®®®® æö =×=×=×= ç÷ èø ． 30．讨论函数11 12(1) 0 () e ex x xx f x x - ì éù ï+ êú ï > = êú í ëûï ï î ≤ 在点 0 x = 处的连续性．解 因为 1 00 1 11(1)11 lim ln lim ln(1)1 e 00 (1) lim ()lim e e ex x x xx x xx x x x x xf x ++ ®® ++ éùêú + éùêú +- êú ëû ëû®® éù + êú === êú ëû 200011 ln(1)11 1limlimlim22(1) 2eeee x x x x xx xx x+++ ®®® - +-- + - + ==== ．11 2200lim ()lim ee x xf x -- -- ®® == ．所以 1 2lim ()lim ()e x x f x f x -+ - ®® == ，故函数 () f x 在点 0 x = 处连续．31．按所给条件解答下列各题：（1）求函数 ()ln f x x = 按(2) x - 的幂展开的带有佩亚诺型余项的n 阶泰勒公式； （2）求函数 ()tan f x x = 的带有拉格朗日型余项的三阶麦克劳林公式；（3）验证当 1 0 2 x < ≤ 时，按公式 23e 1 26x x x x »+++ 计算e x的近似值时，所产生的误差小于0.01，并求 e 的近似值，使误差小于0.01；（4）应用三阶泰勒公式求sin18°的近似值，并估计误差．解 （1） 2131 231112! ()(ln )()(1)()(1) f x x f x f x x x x x -- ¢¢ æö ¢¢¢¢¢¢¢ ====-=- ç÷ èø， ，应用高等数学教程（能力提升篇）32(4)4143!()(1)f x x - =- ，一般地有 ()1(1)!()(1)k k kk f x x - - =- 1 2 ) k n = L （ ，， ， ． 于是 ()1 (1)! (2)(1) 2k k k k f - - =- 1 2 k n = L （ ，， ，） ． 故 () 2(2)(2) ln (2)(2)(2)(2)(2)[(2)]2!!n n n f f x f f x x x x n o ¢¢ ¢ =+-+-++-+- L 2333 1111 ln 2(2)(2)(2)(2)[(2)] 2 2322n nx x x x x n o =+---+-++-+- ×× L ． （2）因为 22 ()(tan )sec ()2sec tan f x x x f x x x ¢¢¢¢ === ， ，224(4)234 ()4sec tan 2sec ,()8sec tan 16sec tan , f x x x x f x x x x x ¢¢¢ =+=+ ， 224(4)234()4sec tan 2sec ,()8sec tan 16sec tan ,f x x x x f x x x x x =+=+ ， 所以 (0)0(0)1(0)0(0)2 f f f f ¢¢¢¢¢¢ ==== ， ， ， ， 从而(4)2 234345(0)(0)()1(sin 2)sin tan (0)(0) 2!3!4!3 3cos f f f x f f x x x x x x x x x x x¢¢¢¢¢ + ¢ =++++=++ 其中x 介于0和x 之间．（3）设 ()e x f x = ，则 ()() ()e (0)1 n x n f x f == ， ，故数 () f x 的三阶麦克劳林公式为23 4e e 1 2!3!4! xx x x x x=++++ ，其中x 介于 0 和x 之间．按 23 e 1 26 xx x x »+++ 计算e x的近似值，其误差为 3 () R x = 4 e 4!x x．当1 02 x < ≤ 时， 1 0 2 x << ， 14 23 31 ()0.00450.01 4!2 R x æö »< ç÷ èø ≤ ， 2311111 e 1 1.645 22262 æöæö»+++» ç÷ç÷ èøèø．（4）sin x 的三阶泰勒公式为 35 5 sin π 2 sin 3!5! x x x x x æö + ç÷ èø =-+ ，其中x 介于 0 和 π 10 之间．故 3554 π π 1 π 1 π sin18sin 0.3090 2.5510 10103!105!10 R - æöæö °==-=»´ ç÷ç÷ èøèø， ≤ ．32．利用泰勒公式求下列极限： （1） ( )34 3243lim32 x x xx x ®+¥+-- ；（2） [ ]222 0 cos elimln(1) x x x x x x - ® - +- ；第2章 一元函数微分学33解 （1） ()34 3243 3 4 32 lim32lim 11 x x x x x x x x x ®+¥®+¥ æö+--=+-- ç÷ç÷ èø131121 lim 11 34 x x x x x x o o ®+¥ éù æöæö=+×+-+×+ ç÷ç÷ êú èøèø ëû1 33 lim 1 22x x x o ®+¥ éùæö ç÷ êú èø êú =+= êú êú ëû． （2） [ ] 22422424 22 2 00 22 1 1()1()()()cos e 24!222 lim limln(1) () 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x o o o - ®® -++-----+ - = +- éù æö +--+ êú ç÷ èø ëû 44 0 4411 () 4!8 lim 1 () 2x x x x x o o ® æö -+ ç÷ èø = -+ 44 4 0 41() 1 1 1212 lim 1 61() 2 2 x x x x xo o ® -+ -=== - -+ ． 33．确定下列函数的单调区间：（1） 32 10496 y x x x= -+ ；（2） 3 (2)() 0 y x a a x a =--> （ ） ；（3） sin 2 y x x =+ ．解 （1）所给函数除 0 x = 外在(,) -¥+¥ 内处处可导，且2222222 1120()(1) 10(12186) 2 (496)(496) x x x x y x x x x x x--- --+ ¢ == -+-+ ． 令 0 y ¢= ，得驻点 12 112x x == ， ． 由驻点 12 112x x == ， 及 0 x = 划分区间(,) -¥+¥ 列表如下： x (,0)-¥ 1 0, 2 æöç÷ èø1 ,12 æö ç÷ èø(1,)+¥ y ¢ – – + – y]]Z]应用高等数学教程（能力提升篇）34由上表可知该函数在 1 (,0) 0, [1,) 2 æù -¥+¥ ç ú èû ， ， 内单调减少，在 1 ,1 2 éùêú ëû 上单调增加．（2）所给函数在 , , 22 a a a æöæö -¥ ç÷ç÷ èøèø ， ， (,) a +¥ 内可导，当 12 2 a x x a == ， 时，函数不可导，2 3 2 6 3 3(2)()a x yx a a x æö -- ç÷èø ¢= -- ．令 0 y ¢= ，得驻点 3 2 3ax =． 由点 12 2 a x x a == ， ， 3 2 3ax = 划分区间(,) -¥+¥ 列表如下：x , 2 a æö -¥ ç÷ èø 2,23 a a æöç÷ èø2 ,3 a a æö ç÷ èø(,)a +¥ y ¢ + + – + yZZ]Z由上表可知该函数在 2, [,) 3 a a æö -¥+¥ ç÷ èø ， 内单调增加，在 2 , 3 a a éùêú ëû上单调减少．（3）所给函数的定义域为(,) -¥+¥ ，且π sin 2 π π 2 0 1 2 π sin 2 π (1)π2x x n x n y n x x n x n ì++ ï ï ==±± í ï -+<+ ï î L ≤ ≤ （ ， ， ， ）≤ π 12cos 2 π π 2 0 1 2 π 12cos 2 π (1)π2x n x n y n x n x n ì+<<+ ï ï ¢ ==±± í ï -+<<+ ï î L （ ， ， ， ）令 0 y ¢= ，得驻点 π π 3 x n =+ 及 5ππ 6x n =+ 0 1 2 n =±± L （ ， ， ， ），按照这些驻点划分区间(,) -¥+¥ 为π π π π 5π 5π π, π π , π π , π π ,(1)π 332266 n n n n n n n n æöæöæöæö+++++++ ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø， ， ， 其中 0 1 2 n =±± L ， ， ， ． 当 π π 5π π π π π 326 n x n n x n <<++<<+ ， 时， 0 y ¢> ，因此函数在 π π π , 223 k kéù + êú ëû上单调增加0 1 2 k =±± L （ ， ， ， ） ；当 π π 5π π π π (1)π 326 n x n n x n +<<++<<+ ， 时， 0 y ¢< ，因此函数在 π π π π , 2322 k kéù ++ êú ëû上单调减 少 0 1 2 k =±± L （ ， ， ， ） ．第2章 一元函数微分学3534．证明下列不等式：（1）当 π0 2 x << 时，sin tan 2 x x x +> ；（2）当 π 0 2 x << 时， 3 1tan 3x x x >+ ；（3）当 4 x > 时， 22 x x > ；（4）当01 x << 时， 22 (1)ln (1) x x x ++< ；（5）当 π 0 2 x << 时， 2sin πx x x << ．证 （1）当 π0 2x << 时，令 () f x = sin tan 2 x x x +- ，则2 22111()cos sec 2cos 22cos 2220 cos cos cos f x x x x x x x x¢ =+-=+-×-=-> ≥ ． 因此当 π 0 2 x << 时 ， () f x 单调增加 ， 从而 ()(0)0 f x f >= ， 即当 π0 2x << 时 ，sin tan 2 x x x +- 0 > ，也就是sin tan 2 x x x +> ．（2）当 π 0 2 x << 时，令 () f x = 3 1tan 3x x x -- ，则2222 ()sec 1tan f x x x x x ¢ =--=- ． 取 ()tan g x x x =- ．当 π0 2 x << 时，由 22 ()sec 1tan 0 g x x x ¢ =-=> 知 () g x 单调增加，因此()tan 0 g x x x =-> ，即当 π 0 2 x << 时，tan x x > ，从而 22tan x x > ．于是 ()0 f x ¢ > ，故当 π 0 2x <<时， () f x 单调增加，从而 ()(0)0 f x f >= ，即当 π 0 2 x << 时， 3 1tan 0 3x x x --> ，也就是31 tan 3x x x >+ ．（3）当 4 x > 时，令 () f x = 22 x x - ，则()2ln 22 x f x x ¢ =- ， 222 ()2ln 222(ln 4)2 x x f x - ¢¢ =-=- ．当 4 x > 时， ()0 f x ¢¢ > ， () f x ¢ 单调增加， 从而 3 ()(4)2ln 480 f x f ¢¢ >=-> ， 故当 4 x > 时， ()f x 单调增加，从而 ()(4)0 f x f >= ．即当 4 x > 时，即 22 x x > ．（4）当01 x << 时，令 () f x = 22 (1)ln(1) x x x ++- ，则 (0)0 f = ．2 ()ln (1)2ln(1)2(0)0 f x x x x f ¢¢ =+++-= ， ， 1()[ln(1)]0 ln(1)f x x x x ¢¢ =+-< + ．所以当01 x << 时， () f x ¢ 单调减少，从而 ()(0)0 f x f ¢¢ <= ，故当01 x << 时， () f x 单调减少， 从而 ()(0)0 f x f <= ．即当01 x << 时，即 22 (1)ln (1) x x x ++< ．应用高等数学教程（能力提升篇）36（5）先证当 π0 2x << 时，sin x x < ．令 () f x = sin x x - ，则当 π 0 2 x << 时，有 ()1cos 0 f x x ¢ =-> ．因此当 π0 2x << 时， () f x 单调增加，从而 ()(0)0 f x f >= ，即当 π0 2x << 时，sin x x > 0 > ．再证当 π 0 2 x << 时， 2 sin π x x < ，即证 sin 2π x x > ．令 sin 2 () π x g x x =- ，则当 π0 2x << 时，有22 cos sin cos ()(tan )0 x x x xg x x x x x- ¢ ==-< ．因此当 π 0 2 x << 时， () g x 单调减少，从而 π ()0 2 g x g æö<= ç÷ èø，即当 π 0 2 x << 时， sin 2 π x x > ，亦2sin πx x < ． 35．讨论方程ln x ax = （ 0 a > ）有几个实根．解 取 ()ln (0,) f x x ax x =-Î+¥ ， ，则 1 () f x a x ¢ =- ．令 ()0 f x ¢ = ，得驻点 1x a= ．当 1 0 x a << 时， ()0 f x ¢ > ，因此函数 () f x 在 1 0, a æöç÷ èø 内单调增加，当 1 x a <<+¥时， ()0 f x ¢ < ，因此函数 () f x 在 1 ,a æö +¥ ç÷ èø 内单调减少．从而 1 f a æöç÷ èø为最大值，由 0 lim () lim () x x f x f x + ®+¥ ® =-¥=-¥ ， ，知①在 11 ln 10 f a a æö=-= ç÷ èø即 1 e a = 时，曲线 ()ln f x x ax =- 与 x 轴仅有一个交点，这时方程ln x ax = 有唯一实根． ②在 11 ln 10 f a a æö=-> ç÷ èø 即 1 0 e a << 时，曲线 ()ln f x x ax =- 与 x 轴有两个交点，这时方程ln x ax = 有两个实根． ③在 11 ln 10 f a a æö=-< ç÷ èø即 1 e a > 时， 曲线 ()ln f x x ax =- 与x 轴没有交点， 这时方程ln x ax = 没有实根．36．求下列函数图形的拐点及凹或凸区间．（1） 2 ln(1) y x =+ ； （2） arctan e x y = ． 解 由 22222(1)(1)1(1)x x x y y x x -+ ¢¢¢ == ++ ， ，令 0 y ¢¢= 得 12 11 x x =-= ， ． 当 1 x -¥<<- 时， 0 y ¢¢< ，因此曲线在(,1] -¥-内是凸的；。
