(完整版)高等数学-多元函数微分学教案

第五讲 隐函数的求导公式授课题目：§8.4 隐函数的求导公式教学目的与要求：会求隐函数(包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数)的偏导数。

教学重点与难点：重点：求由一个方程确定的隐函数的偏导数。

难点：求隐函数(包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数)的偏导数。

讲授内容：一、一个方程的情形隐函数存在定理1 设函数F (x , y )在点P (x 0, y 0)的某一邻域内具有连续偏导数, F (x 0, y 0)=0, F y (x 0, y 0)≠0, 则方程F (x , y )=0在点(x 0, y 0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y =f (x ), 它满足条件y 0=f (x 0), 并有yx F F dx dy -=. （2） 公式（2）的推导：将y =f (x )代入F (x , y )=0, 得恒等式F 【x , f (x )】≡0,等式两边对x 求导得0=⋅∂∂+∂∂dxdy y F x F , 由于F y 连续, 且F y (x 0, y 0)≠0, 所以存在(x 0, y 0)的一个邻域, 在这个邻域同F y ≠0, 于是得yx F F dx dy -= 例1 验证方程x 2+y 2-1=0在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x =0时y =1的隐函数y =f (x ), 并求这函数的一阶与二阶导数在x =0的值.解 设F (x , y )=x 2+y 2-1, 则F x =2x , F y =2y , F (0, 1)=0, F y (0, 1)=2≠0. 因此由定理1可知, 方程x 2+y 2-1=0在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x =0时y =1的隐函数y =f (x ).y x F F dx dy y x -=-=，00==x dx dy ; 332222221)(y y x y y y x x y y y x y dx y d -=+-=---='--=, 1022-==x dx y d . 隐函数存在定理还可以推广到多元函数，一个二元方程F (x , y )=0可以确定一个一元隐函数, 一个三元方程F (x , y , z )=0可以确定一个二元隐函数. 隐函数存在定理2 设函数F (x , y , z )在点P (x 0, y 0, z 0)的某一邻域内具有连续的偏导数, 且F (x 0, y 0, z 0)=0, F z (x 0, y 0, z 0)≠0 , 则方程F (x , y , z )=0在点(x 0, y 0, z 0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z =f (x , y ), 它满足条件z 0=f (x 0, y 0), 并有z x F F x z -=∂∂, z y F F yz -=∂∂ （4） 公式（4）的推导：将z =f (x , y )代入F (x , y , z )=0, 得F 【x , y , f (x , y )】≡0, 将它的两端分别对x 和y 求导, 得0=∂∂⋅+xz F F z x , 0=∂∂⋅+y z F F z y . 因为F z 连续且F z (x 0, y 0, z 0)≠0, 所以存在点(x 0, y 0, z 0)的一个邻域, 使F z ≠0, 于是得z x F F x z -=∂∂, z y F F yz -=∂∂. 例2. 设函数由方程3.=+-xy z e z 所确定, 求22x z ∂∂． 解 设F (x , y , z )= 3.-+-xy z e z , 则F x =y , F z =1-z e , zz z x e y e y F F x z -=--=-=∂∂11,3222222)1()1(1)1()(z z z z z z e e y e e y ye e x z e y x z -=--⋅=-∂∂--=∂∂ 二、方程组的情形 在一定条件下, 由个方程组F (x , y , u , v )=0, G (x , y , u , v )=0可以确定一对二元函数u =u (x , y ), v =v (x , y ), 例如方程xu -yv =0和yu +xv =1可以确定两个二元函数22y x y u +=, 22y x x v +=．一般地，方程组 ⎩⎨⎧==0),,,(0),,,(v u y x G v u y x F （5） 如何根据原方程组求u , v 对x 和,y 的偏导数？介绍二阶行列式、简要介绍解线性方程的克莱姆法则。

第八章 多元函数微分法及其应用第一讲 多元函数的基本概念授课题目：§8.1多元函数的基本概念教学目的与要求：1、理解多元函数的概念．2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质．教学重点与难点：重点：多元函数的概念、二元函数的极限和连续的概念． 讲授内容：一、平面点集 n 维空间1、平面点集平面上一切点的集合称为二维空间, 记为R 2 即R 2=R ⨯R={(x , y )：x , y ∈R }坐标平面上具有某种性质P 的点的集合, 称为平面点集，记作E ={(x , y )：(x , y )具有性质P }.例如，平面上以原点为中心、r 为半径的圆内所有点的集合是C ={(x , y )：x 2+y 2<r 2}.如果我们以点P 表示(x , y ), 以|OP |表示点P 到原点O 的距离, 那么集合C 可表成C ={P ：|OP |<r }.回顾数轴上点的邻域。

邻域：设P 0(x 0, y 0)是xOy 平面上的一个点，δ是某一正数，与点P 0(x 0, y 0)距离小于δ的点P (x , y )的全体，称为点P 0的δ邻域，记为U (P 0, δ)，即}||{),(00δδ<=PP P P U ：或 })()(),{(),(20200 y y x x y x P U δδ<-+-=：. 点P 0的去心δ邻域, 记作) ,(0δP U ，即 }||0{),(00δδ<<=P P P P U ：.如果不需要强调邻域的半径δ, 则用U (P 0)表示点P 0的某个邻域, 点P 0的去心邻域记作)(0P U．.点与点集之间的关系：任意一点P ∈R 2与任意一个点集E ⊂R 2之间必有以下三种关系中的一种：（1）内点：如果存在点P 的某一邻域U (P ), 使得U (P )⊂E , 则称P 为E 的内点．（2）外点：如果存在点P 的某个邻域U (P ), 使得U (P )⋂E =∅, 则称P 为E 的外点．（3）边界点：如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点, 也有不属于E 的点, 则称P 点为E 的边点．E 的边界点的全体, 称为E 的边界, 记作∂E ．E 的内点必属于E ; E 的外点必定不属于E ; 而E 的边界点可能属于E , 也可能不属于E ．（4）聚点：如果对于任意给定的δ>0, 点P 的去心邻域),(δP U 内总有E 中的点, 则称P 是E 的聚点．由聚点的定义可知, 点集E 的聚点P 本身, 可以属于E , 也可能不属于E ．例如, 设平面点集E ={(x , y )|1<x 2+y 2≤2}.，则满足1<x 2+y 2<2的一切点(x , y )都是E 的内点；满足x 2+y 2=1的一切点(x , y )都是E 的边界点；它们都不属于E ；满足x 2+y 2=2的一切点(x , y )也是E 的边界点；它们都属于E ；点集E 以及它的界边∂E 上的一切点都是E 的聚点．开集：如果点集E 的点都是内点, 则称E 为开集．闭集：如果点集的余集E c 为开集, 则称E 为闭集．例如，E ={(x , y )|1<x 2+y 2<2}是开集；E ={(x , y )|1≤x 2+y 2≤2}是闭集； 集合{(x , y )|1<x 2+y 2≤2}既非开集, 也非闭集．连通性：如果点集E 内任何两点, 都可用折线连结起来, 且该折线上的点都属于E , 则称E 为连通集．区域(或开区域)：连通的开集称为区域或开区域．例如，E ={(x , y )|1<x 2+y 2<2}是区域．闭区域：开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域． 例如，E = {(x , y )|1≤x 2+y 2≤2}．有界集：对于平面点集E , 如果存在某一正数r ，使得E ⊂U (O , r ),其中O 是坐标原点, 则称E 为有界点集．无界集：一个集合如果不是有界集，就称这集合为无界集．例如，集合{(x , y )|1≤x 2+y 2≤2}是有界闭区域；集合{(x , y )| x +y >1}是无界开区域；集合{(x , y )| x +y ≥1}是无界闭区域.．2．n 维空间设n 为取定的一个自然数，我们用表示n 元有序数组(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )的全体所构成的集合记为R n ，即R n =R ⨯R ⨯⋅ ⋅ ⋅⨯R ={(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )：x i ∈R ，i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n }.这样定义了线性运算的集合R n 称为n 维空间．R n 中点x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )与点y =(y 1, y 2, ⋅ ⋅ ⋅ , y n )之间的距离，记作ρ(x , y ), 规定2222211)( )()(),(n n y x y x y x -+⋅⋅⋅+-+-=y x ρ．R n 中元素x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )与零元0之间的距离ρ(x , 0)记作||x ||(在R 1、R 2、R 3中，通常将||x ||记作|x |), 即22221 ||||nx x x ⋅⋅⋅++=x ． 采用这一记号，结合向量的线性运算, 便得),()( )()(||||2222211y x y x ρ=-+⋅⋅⋅+-+-=-n n y x y x y x ．二、多元函数概念回顾一元函数的概念。

第三讲 全微分授课题目：§8.3 全微分教学目的与要求：1、深刻理解全微分的概念．2、了解全微分存在的必要条件和充分条件．教学重点与难点：重点：全微分的概念难点：函数可微分的条件的证明．讲授内容：一、全微分的定义回顾一元函数的微分的概念．根据一元函数微分学中增量与微分的关系, 有偏增量与偏微分:f (x +∆x , y )-f (x , y )≈f x (x , y )∆x ,f (x +∆x , y )-f (x , y )称为函数对x 的偏增量, f x (x , y )∆x 称为函数对x 的偏微分;f (x , y +∆y )-f (x , y )≈f y (x , y )∆y ,f (x , y +∆y )-f (x , y )称为函数)对y 的偏增量, f y (x , y )∆y 称为函数对y 的偏微分.全增量: ∆z = f (x +∆x , y +∆y )-f (x , y ).计算全增量比较复杂, 我们希望用∆x 、∆y 的线性函数来近似代替之.定义 如果函数z =f (x , y )在点(x , y )的全增量∆z = f (x +∆x , y +∆y )-f (x , y )可表示为) )()(( )(22y x o y B x A z ∆+∆=+∆+∆=∆ρρ,其中A 、B 不依赖于∆x 、∆y 而仅与x 、y 有关, 则称函数z =f (x , y )在点(x , y )可微分, 而称A ∆x +B ∆y 为函数z =f (x , y )在点(x , y )的全微分, 记作dz , 即dz =A ∆x +B ∆y .如果函数在区域D 内各点处都可微分, 那么称这函数在D 内可微分.可微与连续的关系：可微必连续．这是因为, 如果z =f (x , y )在点(x , y )可微, 则∆z = f (x +∆x , y +∆y )-f (x , y )=A ∆x +B ∆y +o (ρ),于是 0lim 0=∆→z ρ, 从而 ),(]),([lim ),(lim 0)0,0(),(y x f z y x f y y x x f y x =∆+=∆+∆+→→∆∆ρ. 因此函数z =f (x , y )在点(x , y )处连续.函数可微分的条件：定理1(必要条件) 如果函数z =f (x , y )在点(x , y )可微分, 则函数在该点的偏导数x z ∂∂、yz ∂∂必定存在, 且函数z =f (x , y )在点(x , y )的全微分为 y yz x x z dz ∆∂∂+∆∂∂= 证 设函数z =f (x , y )在点P (x , y )可微分，于是, 对于点P 的某个邻域内的任意一点P '(x +∆x , y +∆y ), 有∆z =A ∆x +B ∆y +o (ρ). 特别当∆y =0时有f (x +∆x , y )-f (x , y )=A ∆x +o (|∆x |).上式两边各除以∆x , 再令∆x →0而取极限， 就得A xx o A x y x f y x x f x x =∆∆+=∆-∆+→∆→∆]|)(|[lim ),(),(lim00 从而偏导数x z ∂∂存在, 且A xz =∂∂. 同理可证偏导数y z ∂∂存在, 且B yz =∂∂，所以 y yz x x z dz ∆∂∂+∆∂∂=. 偏导数x z ∂∂、y z ∂∂存在是可微分的必要条件, 但不是充分条件. 例如, 函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000),(222222y x y x y x xy y x f 在点(0, 0)处有f x (0, 0)=0及f y (0, 0)=0，所以])0,0()0,0([y f x f z y x ∆⋅+∆⋅-∆＝,)()(22y x yx ∆+∆∆⋅∆这是因为当点P '(∆x , ∆y )沿直线y =x 趋于(0, 0)时,ρ])0 ,0()0 ,0([y f x f z y x ∆⋅+∆⋅-∆021)()()()(2222≠=∆+∆∆⋅∆=∆+∆∆⋅∆=x x x x y x y x . 即∆z -[f x (0, 0)∆x +f y (0, 0)∆y ]不是较ρ高阶的无穷小．所以但函数在点(0, 0)处全微分不存在．定理2(充分条件) 如果函数z =f (x , y )的偏导数x z ∂∂、yz ∂∂在点(x , y )连续, 则函数在该点可微分.定理２证明对一般学生比较难，可只讲一下证明思路。

第十七章 多元函数的微分学 §1 可微性教学目的 掌握多元函数偏导数，可微性与全微分的定义，可微的必要条件． 教学要求(1) 基本要求：掌握多元函数偏导数，可微性与全微分的定义，熟记可微的必要条件与充分条件．(2) 较高要求：切平面存在定理的证明．教学建议(1)本节的重点是多元函数偏导数，可微性与全微分的定义．(2) 通过讨论可微的必要条件与充分条件，弄清多元函数连续，存在偏导数与可微这三个分析性质之间的关系．教学程序一、 可微性与全微分:由一元函数可微性引入二元函数可微性.定义1（可微性） 设函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某邻域0()U P 内有定义，对于0()U P 中的点00(,)(,)P x y x x y y =+∆+∆，若函数f 在点0P 处的全增量可表示为 00(,)(,)()z f x x y y f x y A x B y ρ∆=+∆+∆-=∆+∆+,其中A ，B 是仅与点0P 有关的常数，22,()x y ρρ=∆+∆是较ρ高阶的无穷小量，则称函数f 在点0P 处可微。

全微分:当,x y ∆∆充分小时0000(,)(,)()()dz zf x y f x y A x x B y y ≈∆≈+-+-. 例1 考查函数xy y x f =),(在点) , (00y x 处的可微性 .二 、 偏导数（一）、偏导数的定义、记法),(y x f 在点),(00y x 存在偏导数定义为：000000),(),(lim ),(0x x y x f y x f y x f x x x --=→ 或 xy x f y x x f y x f x x x ∆-∆+=→∆),(),(lim ),(0000000 000000),(),(lim ),(0y y y x f y x f y x f y y y --=→ 或 y y x f y y x f y x f y y y ∆-∆+=→),(),(lim ),(0000000 偏导数的几何意义:（二）、求偏导数:例2 ),(y x f =)12sin()32(2+++y x x . 求偏导数.例3 ),(y x f = 1)1ln(2+++y x x . 求偏导数.例4 ),(y x f =22y x y x ++. 求偏导数, 并求) 1 , 2 (-x f . 三 、 可微条件（一）、必要条件定理17.1设) , (00y x 为函数),(y x f 定义域的内点 . ),(y x f 在点) , (00y x 可微的必要条件是) , (00y x f x 和) , (00y x f y 存在 , 且==),(00),(00y x df dfy x ) , (00y x f x +∆x ) , (00y x f y y ∆.证明：由于dy y dx x =∆=∆ , , 微分记为=),(00y x df ) , (00y x f x +dx ) , (00y x f y dy .定理17.1给出了计算可微函数全微分的方法. 但是两个偏导数存在只是可微的必要条件, 而不是充分条件.例5．考查函数 ⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 , 0, 0 , ),(222222y x y x y x xy y x f在原点的可微性 .这个例子说明，偏导存在不一定可微，（这一点与一元函数不同！）（二）、充分条件定理17.2（可微的充分条件）若函数),(y x f z =的偏导数在的某邻域内存在 , 且x f 和y f 在点) , (00y x 处连续 . 则函数f 在点) , (00y x 可微。

高等数学教学教案第9章多元函数微分学及其应用授课序号01),n x 的全体组成的集合称为{(R x n =),n x 称为n 维空间中的一个点，数维空间中任意两点(),,n P x 与),,n Q x 之间的距离为2222(()n n PQ y x y x +-++- 2中的一个平面点集，如果对于每个点D y x ∈),(，变量y x y x f ∈),(),(),n x 或),n x D ∈授课序号02授课序号03授课序号04授课序号05授课序号06设0M 为曲面∑上的一点，若∑上任意一条过点0M 的曲线在点0M 有切线，且这些切线均在同一平面内，则称此平面为曲面∑在点0M 的切平面，称过0M 而垂直于切平面的直线为∑在点0M 的法线. 称法线的方向向量（切平面的法向量）为∑在点0M 的法向量.1．设曲面∑的方程为(),,0=F x y z ，()0000,,M x y z 是曲面∑上的一点，曲面∑上过点()0000,,M x y z 的 切平面的方程为()()()()()()000000000000,,,,,,0x y z F x y z x x F x y z y y F x y z z z -+-+-=. 法线方程为), ,() , ,() , ,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=-.2．若曲面方程为(),z f x y =，曲面在点0M 的切平面方程为0000000(,)()(,)()()0x y f x y x x f x y y y z z -+---=， 法线方程为0000000(,)(,)1x y x x y y z z f x y f x y ---==-.三．例题讲解例1 求曲线231,2,3x t y t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩在点()2,3,4处的切线及法平面方程.例2 求曲线2226,x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩在点()1,2,1M -处的切线及法平面方程.例3 求椭球面222236x y z ++=在点()1,1,1处的切平面及法线方程.例4 求旋转抛物面221z x y =+-在点()2,1,4处的切平面及法线方程.例5 橄榄球运动是由足球运动派生出来的一项球类运动.因球形似橄榄，中国称为“橄榄球”.橄榄球运动分为英式橄榄球和美式橄榄球两大类.其中英式橄榄球相较于美式橄榄球更大、更短，如图9.22所示.（1）试建立橄榄球的空间曲面方程；（2）求上顶点处的切平面方程.图 9.22授课序号07。

第八章 多元函数微分学 §1、多元函数的基本概念多元函数的基本概念的介绍，以二元函数为主。

一．二元函数的概念1．区域（平面区域）⑴邻域：圆形邻域：222000(,){(,);()()}U P x y x x y y δδ=-+-<矩形邻域：00{(,);||,||}x y x x a y y b -<-<⑵区域：内点开集 开区域 边界点 闭集 闭区域 连通性⑶有界区域：对于平面区域D ，存在一个以R 为半径的圆完全包含了区域D ，则称平面区域D 为有界区域。

2．二元函数的定义定义、设有变量,,x y z ，平面点集D ；当(,)x y D ∈时，按照一定的法则f ，总有唯一确定的z值与之对应，称z 为变量,x y 的函数，即二元函数，记作：(,)z f x y =，(,)x y D ∈；称,x y 为函数的自变量，z 为函数的因变量，D 为函数的定义域，而{;(,),(,)z z f x y x y D =∈为函数的值域。

如函数z =，定义域为：{(,);1}D x y x y =+>~~无界的开区域；z =定义域则为222{(,);}D x y x y a =+≤~~有界的闭区域；函数z =则为：222{(,);,D x y x y a =+≤2}y x >。

∙∙∙∙注：①二元函数的定义域是平面上的区域，而二元函数的图像是空间的曲面。

如二元函数z =D ：222x y a +≤；②同理可知，三元函数(,,)u f x y z =的定义域是空间的区域，如函数：u = 的定义域：2222{(,,);}x y z x y z R Ω=++≤，Ω是空间的球体；一般自变量为两个或两个以 上的函数统称为多元函数。

二．多元函数的极限1．极限的定义定义、设二元函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某邻域内有定义（0P 可以除外），A 是一确定的常数。

第十七章多元函数微分学教学目的：1.理解多元函数微分学的概念，特别应掌握偏导数、全微分、连续及偏导存在、偏导连续等之间的关系；2.掌握多元函数特别是二元函数可微性及其应用。

教学重点难点：本章的重点是全微分的概念、偏导数的计算以及应用；难点是复合函数偏导数的计算及二元函数的泰勒公式。

教学时数：18学时§1 可微性一．可微性与全微分：1．可微性：由一元函数引入. 亦可写为, 时.2．全微分:例1 考查函数在点处的可微性 . P107例1二.偏导数:1.偏导数的定义、记法:2.偏导数的几何意义: P109 图案17—1.3.求偏导数:例2 , 3 , 4 . P109—110例2 , 3 , 4 .例5. 求偏导数.例6. 求偏导数.例7. 求偏导数, 并求.例8. 求和.解=,=.例9证明函数在点连续, 并求和.证. 在点连续 .,不存在 .三.可微条件:1.必要条件:Th 1 设为函数定义域的内点.在点可微, 和存在, 且. ( 证) 由于, 微分记为.定理1给出了计算可微函数全微分的方法.两个偏导数存在是可微的必要条件, 但不充分.例10考查函数在原点的可微性 . [1]P110 例5 .2.充分条件:Th 2 若函数的偏导数在的某邻域内存在, 且和在点处连续 . 则函数在点可微 . ( 证) P111 Th 3 若在点处连续, 点存在,则函数在点可微 .证.即在点可微 .要求至少有一个偏导数连续并不是可微的必要条件 .例11验证函数在点可微, 但和在点处不连续 . (简证,留为作业)证因此, 即,在点可微, . 但时, 有,沿方向不存在, 沿方向极限不存在; 又时,,因此, 不存在, 在点处不连续. 由关于和对称,也在点处不连续 .四.中值定理:Th 4 设函数在点的某邻域内存在偏导数 . 若属于该邻域, 则存在和, , 使得. ( 证) 例12设在区域D内. 证明在D内.五.连续、偏导数存在及可微之间的关系：六.可微性的几何意义与应用：1．可微性的几何意义：切平面的定义. P113.Th 5 曲面在点存在不平行于轴的切平面的充要条件是函数在点可微 . ( 证略)2. 切平面的求法: 设函数在点可微，则曲面在点处的切平面方程为（其中），法线方向数为，法线方程为.例13试求抛物面在点处的切平面方程和法线方程 . P115例63. 作近似计算和误差估计: 与一元函数对照, 原理 .例14 求的近似值. P115例7例15 应用公式计算某三角形面积 . 现测得,. 若测量的误差为的误差为. 求用此公式计算该三角形面积时的绝对误差限与相对误差限. P116.§2 复合函数微分法简介二元复合函数: .以下列三种情况介绍复合线路图;, ;.一.链导法则: 以“外二内二”型复合函数为例.Th 设函数在点D可微, 函数在点可微, 则复合函数在点可微, 且,. ( 证) P118称这一公式为链导公式 . 该公式的形式可在复合线路图中用所谓“分线加，沿线乘”或“并联加，串联乘”）来概括 .对所谓“外三内二”、“外二内三”、“外一内二”等复合情况，用“并联加，串联乘”的原则可写出相应的链导公式.链导公式中内函数的可微性可减弱为存在偏导数 . 但对外函数的可微性假设不能减弱.对外元, 内元, 有，.外元内一元的复合函数为一元函数 . 特称该复合函数的导数为全导数.例1. 求和. P120例1例2, . 求和.例3, 求和.例4设函数可微 ..求、和.例5用链导公式计算下列一元函数的导数:ⅰ> ; ⅱ> . P121例4例6设函数可微. 在极坐标变换下, 证明. P120例2 例7设函数可微, . 求证.二.复合函数的全微分: 全微分和全微分形式不变性 .例8. 利用全微分形式不变性求, 并由此导出和.P122 例5§3 方向导数和梯度一．方向导数：1．方向导数的定义：定义设三元函数在点的某邻域内有定义 .为从点出发的射线 . 为上且含于内的任一点, 以表示与两点间的距离 . 若极限存在, 则称此极限为函数在点沿方向的方向导数, 记为或、.对二元函数在点, 可仿此定义方向导数 .易见, 、和是三元函数在点分别沿轴正向、轴正向和轴正向的方向导数 .例1=. 求在点处沿方向的方向导数,其中ⅰ>为方向; ⅱ>为从点到点的方向.解ⅰ>为方向的射线为. 即. ,.因此,ⅱ>从点到点的方向的方向数为方向的射线为., ;.因此,2. 方向导数的计算:Th 若函数在点可微, 则在点处沿任一方向的方向导数都存在, 且++,其中、和为的方向余弦. ( 证) P125 对二元函数, +, 其中和是的方向角.註由++==, , , , , 可见, 为向量, , 在方向上的投影.例2 ( 上述例1 )解ⅰ>的方向余弦为=, =, =.=1 , =, =.因此, =++=.ⅱ>的方向余弦为=, =, =. 因此, =.可微是方向导数存在的充分条件, 但不必要 .例3 P126 .二. 梯度( 陡度):1. 梯度的定义: , , .|= .易见, 对可微函数, 方向导数是梯度在该方向上的投影.2. 梯度的几何意义: 对可微函数, 梯度方向是函数变化最快的方向 . 这是因为|.其中是与夹角. 可见时取最大值, 在的反方向取最小值 .3. 梯度的运算:ⅰ> .ⅱ>(+) = +.ⅲ> () = +.ⅳ> .ⅴ> () = .证ⅳ> , ..§4 Taylor公式和极值问题一、高阶偏导数:1.高阶偏导数的定义、记法：例9 求二阶偏导数和. P128例1 例10 . 求二阶偏导数. P128例2 2.关于混合偏导数: P129—131.3.求含有抽象函数的二元函数的高阶偏导数: 公式, P131-132例11 . 求和. P132例34. 验证或化简偏微分方程:例12 . 证明+ . ( Laplace方程) 例13 将方程变为极坐标形式.解., , , ., ;因此, .方程化简为.例14试确定和, 利用线性变换将方程化为.解, .=+++==+2+.=+++==++.=++.因此,+ (+ . 令, 或或……, 此时方程化简为.二．中值定理和泰肋公式：凸区域 .Th 1 设二元函数在凸区域D 上连续, 在D的所有内点处可微 . 则对D内任意两点 D , 存在, 使.证令.系若函数在区域D上存在偏导数, 且, 则是D上的常值函数.二. Taylor公式:Th 2 (Taylor公式) 若函数在点的某邻域内有直到阶连续偏导数, 则对内任一点,存在相应的, 使证P134例1 求函数在点的Taylor公式( 到二阶为止) . 并用它计算P135—136例4 .三. 极值问题:1. 极值的定义: 注意只在内点定义极值.例2 P136例52．极值的必要条件：与一元函数比较 .Th 3 设为函数的极值点 . 则当和存在时, 有=. ( 证)函数的驻点、不可导点，函数的可疑点 .3. 极值的充分条件:代数准备: 给出二元( 实)二次型. 其矩阵为.ⅰ> 是正定的,顺序主子式全,是半正定的,顺序主子式全;ⅱ> 是负定的,, 其中为阶顺序主子式.是半负定的, .ⅲ> < 0时, 是不定的.充分条件的讨论: 设函数在点某邻域有二阶连续偏导数 . 由Taylor公式, 有++ .令, , , 则当为驻点时, 有.其中.可见式的符号由二次型完全决定.称该二次型的矩阵为函数的Hesse矩阵. 于是由上述代数准备, 有ⅰ> , 为( 严格) 极小值点;ⅱ> , 为( 严格) 极大值点;ⅲ> 时, 不是极值点;ⅳ> 时, 可能是极值点, 也可能不是极值点 .综上, 有以下定理 .Th 4 设函数在点的某邻域内有连续的二阶偏导数, 是驻点 . 则ⅰ> 时, 为极小值点;ⅱ> 时, 为极大值点;ⅲ> 时, 不是极值点;ⅳ> 时, 可能是极值点, 也可能不是极值点 .例3—7 P138—140 例6—10 .四．函数的最值：例8 求函数在域D = 上的最值 .解令解得驻点为. .在边界上, , 驻点为, ;在边界上, , 没有驻点;在边界上, , 驻点为, .又.于是,..[]。

第八章 多元函数微分法及应用教学内容多元函数的概念，二元函数的极限和连续的概念，有界闭区域上连续函数的性质，偏导数、全微分的概念, 全微分存在的必要条件和充分条件，复合函数、隐函数的微分法，方向导数和梯度的概念及其计算，空间曲线的切线和法平面，曲面的切平面和法线，二元函数的极值和条件极值的概念，取得极值的必要条件与充分条件, 极值的求法，拉格朗日乘数法，多元函数最值的简单应用。

教学目的、要求1.理解多元函数的概念，了解二元函数的极限与连续以及有界闭区域上连续函数的性质。

2.理解偏导数和全微分的概念, 了解全微分存在的必要条件和充分条件。

3.理解方向导数和梯度的概念，并掌握其计算方法。

4.掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法。

5.会求隐函数的偏导数和全导数。

6.了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，掌握它们的方程的求法。

7.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握二元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单函数的最大值和最小值，会解一些简单应用题。

重点与难点1、重点：多元函数的概念，偏导数与全微分的概念，多元复合函数的求导法则，用拉格朗日条件极值求最大值应用问题，方向导数与梯度。

2、难点：全微分的概念，多元复合函数的求导法则。

第一节 多元函数的基本概念一、多元函数的概念（1） 邻域设),(000y x P 是xoy 平面上的一个点，δ是某一正数，与点),(000y x P 距离小于δ的点),(y x P 的全体，称为点0P 的δ邻域，记为),(0δP U ，),(0δP U {}δ<=||0PP P {}.)()(|),(2020δ<-+-=y y x x y x （2）区域..)(E E E P E P U P P E 的内点属于的内点为，则称的某一邻域果存在点是平面上的一个点．如是平面上的一个点集，设⊂.为开集的点都是内点，则称如果点集E E例如，}41),{(221<+<=y x y x E 即为开集．的边界点．为），则称可以不属于，也本身可以属于的点（点的点，也有不属于于的任一个邻域内既有属如果点E P E E P E E P 的边界．的边界点的全体称为E E 是连通的．，则称开集且该折线上的点都属于线连结起来，内任何两点，都可用折是开集．如果对于设D D D D连通的开集称为区域或开区域．例如，}.41|),{(22<+<y x y x 开区域连同它的边界一起称为闭区域. 例如，}.41|),{(22≤+≤y x y x无界点集．为有界点集，否则称为则称成立，对一切即不超过间的距离与某一定点，使一切点如果存在正数对于点集E E P K AP K AP A E P K E ∈≤∈ 例如, }.41|),{(22≤+≤y x y x 有界闭区域}0|),{(>+y x y x , 无界开区域.(3) 聚点设E 是平面上的一个点集，P 是平面上的一个点，如果点P 的任何一个邻域内总有无限多个点属于点集E ，则称P 为E 的聚点. 说明：内点一定是聚点；点集E 的聚点可以属于E ，也可以不属于E ．例如,}10|),{(22≤+<y x y x ,(0,0) 是聚点但不属于集合．例如,}1|),{(22=+y x y x ,边界上的点都是聚点也都属于集合． （4）n 维空间设n 为取定的一个自然数，我们称n 元数组),,,(21n x x x 的全体为n 维空间，而每个n 元数组),,,(21n x x x 称为n 维空间中的一个点，数i x 称为该点的第i 个坐标. 说明：n 维空间的记号为;nR n 维空间中两点间距离公式 设两点为),,,,(21n x x x P ),,,,(21n y y y Q.)()()(||2222211n n x y x y x y PQ -++-+-=特殊地当3,2,1=n 时，便为数轴、平面、空间两点间的距离．n 维空间中邻域、区域等概念邻域：{}nR P PP P P U ∈<=,||),(00δδ 内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．（5）二元函数的定义设D 是平面上的一个点集，如果对于每个点D y x P ∈),(，变量z 按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称z 是变量y x ,的二元函数，记为),(y x f z =（或记为)(P f z =）.类似地可定义三元及三元以上函数． 当2≥n 时，n 元函数统称为多元函数.多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念. 例1：求222)3arcsin(),(yx y x y x f ---=的定义域.解:⎪⎩⎪⎨⎧>-≤--013222y x y x ⇒⎪⎩⎪⎨⎧>≤+≤22242y x y x 所求定义域为 }.,42|),{(222y x y x y x D >≤+≤= （6）多元函数)y ,x (f z =的图形设函数)y ,x (f z =的定义域为D ，对于任意取定的D )y ,x (P ∈，对应的函数值为)y ,x (f z =，这样，以x 为横坐标、y 为纵坐标、z 为竖坐标在空间就确定一点)z ,y ,x (M ，当x 取遍D 上一切点时，得一个空间点集}D )y ,x (),y ,x (f z |)z ,y ,x {(∈=，这个点集称为二元函数的图形.二、多元函数的极限定义1 设函数)y ,x (f z =的定义域为)y ,x (P ,D 000是其聚点，如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得对于适合不等式δ<-+-=<202000)y y ()x x (|PP |的一切点，都有ε<-|A )y ,x (f |成立，则称A 为函数)y ,x (f z =当0x x →，0y y →时的极限， 记为 A )y ,x (f lim y y x x =→→0（或)(A )y ,x (f 0→→ρ这里|PP |0=ρ说明：（1）定义中0P P →的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限);,(lim 0y x f y y x x →→ （3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．例2 求证 01sin)(lim 222200=++→→yx y x y x证明: 01sin)(2222-++y x y x 22221sin yx y x +⋅+=22y x +≤ ,0>∀ε,εδ=∃ 当δ<-+-<22)0()0(0y x 时,ε<-++01sin )(2222y x y x 证毕..)sin(lim 22200y x y x y x +→→ 解: 22200)sin(lim y x y x y x +→→,)sin(lim 2222200y x y x y x y x y x +⋅=→→其中y x y x y x 2200)sin(lim →→=1 222y x y x +x 21≤,00−−→−→x .0)sin(lim 22200=+∴→→y x y x y x 例4 证明26300lim y x yx y x +→→不存在．证:3kx y = 26300l i m y x y x y x +→→ 6263303lim x k x kx x kxy x +⋅==→ ,12k k += 其值随k 的不同而变化，故极限不存在．确定极限不存在的方法：(1) 令),(y x P 沿kx y =趋向于),(000y x P ，若极限值与k 有关，则可断言极限不存在；(2) 找两种不同趋近方式，使),(lim 0y x f y y x x →→存在，但两者不相等，此时也可断言),(y x f 在点),(000y x P 处极限不存在．利用点函数的形式有n 元函数的极限定义2 设n 元函数)(P f 的定义域为点集0,P D 是其聚点，如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得对于适合不等式δ<<||00PP 的一切点D P ∈，都有ε<-|)(|A P f 成立，则称A 为n 元函数)(P f 当0P P →时的极限，记为A P f P P =→)(lim 0.三、多元函数的连续性定义: 设n 元函数)(P f 的定义域为点集0,P D 是其聚点且D P ∈0，如果)()(lim 00P f P f P P =→则称n 元函数)(P f 在点0P 处连续.设0P 是函数)(P f 的定义域的聚点，如果)(P f 在点0P 处不连续，则称0P 是函数)(P f 的间断点.例5 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠++=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(2233y x y x y x y x y x f 在(0,0)处的连续性．解:取,cos θρ=x θρsin =y )0,0(),(f y x f -= )cos (sin 33θθρ+=ρ2<,0>∀ε ,2εδ=∃当δ<+<220y x 时, ερ<<-2)0,0(),(f y x f),0,0(),(lim )0,0(),(f y x f y x =→ 故函数在(0,0)处连续.例6 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(222222y x y x y x xy y x f 在(0,0)处的连续性．解:取kx y = 2200lim y x xyy x +→→ 22220lim x k x kx kx y x +==→ 21k k += 其值随k 的不同而变化，极限不存在．故函数在(0,0)处不连续．闭区域上连续函数的性质（1）最大值和最小值定理在有界闭区域D 上的多元连续函数，在D 上至少取得它的最大值和最小值各一次． （2）介值定理在有界闭区域D 上的多元连续函数，如果在D 上取得两个不同的函数值，则它在D 上取得介于这两值之间的任何值至少一次．多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．)(lim 0P f P P →时，如果)(P f 是初等函数，且0P 是)(P f 定义域的内点，则)(P f 在点0P 处连续，于是).()(lim 00P f P f P P =→例7 求极限 .11limxyxy y x -+→→解:原式= )11(11lim00++-+→→xy xy xy y x 111lim0++=→→xy y x .21=四、小结多元函数的定义多元函数极限的概念（注意趋近方式的任意性）多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质思考题：若点),(y x 沿着无数多条平面曲线趋向于点),(00y x 时，函数),(y x f 都趋向于A ，能否断定A y x f y x y x =→),(lim ),(),(00？思考题解答:不能,例,)(),(24223y x y x y x f += )0,0(),(→y x取,kx y = 2442223)(),(x k x x k x kx x f +⋅= 00−−→−→x ,但),(lim )0,0(),(y x f y x →不存在原因为若取,2y x = 244262)(),(y y y y y y f += .41→P11 2；5(1)(2)(4)(5)；6(2)(3)(6)；7；8.第二节 偏导数一、偏导数的定义及其计算方法1、定义 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义，当y 固定在0y 而x 在0x 处有增量x ∆时，相应地函数有增量),(),(0000y x f y x x f -∆+， 如果xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim00000存在，则称此极限为函数),(y x f z =在点),(00y x 处对x 的偏导数，记为0y y x x xz ==∂∂，0y y x x xf ==∂∂，00y y x x xz ==或),(00y x f x .同理可定义函数),(y x f z =在点),(00y x 处对y 的偏导数， 为yy x f y y x f y ∆-∆+→∆),(),(lim00000记为0y y x x yz ==∂∂，0y y x x yf ==∂∂，00y y x x yz ==或),(00y x f y .如果函数),(y x f z =在区域D 内任一点),(y x 处对x 的偏导数都存在，那么这个偏导数就是x 、y 的函数，它就称为函数),(y x f z =对自变量x 的偏导数， 记作x z ∂∂，xf ∂∂，x z 或),(y x f x . 同理可以定义函数),(y x f z =对自变量y 的偏导数，记作y z ∂∂，yf ∂∂，y z 或),(y x f y . 偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如),,(z y x f u =在),,(z y x 处,),,(),,(lim),,(0xz y x f z y x x f z y x f x x ∆-∆+=→∆,),,(),,(lim ),,(0y z y x f z y y x f z y x f y y ∆-∆+=→∆.),,(),,(lim),,(0zz y x f z z y x f z y x f z z ∆-∆+=→∆例1求 223y xy x z ++=在点)2,1(处的偏导数．解：=∂∂x z ;32y x + =∂∂yz .23y x + =∂∂∴==21y x xz ,82312=⨯+⨯=∂∂==21y x yz 72213=⨯+⨯例2 设yx z =)1,0(≠>x x ，求证z yzx x z y x 2ln 1=∂∂+∂∂ 证明：=∂∂x z ,1-y yx =∂∂yz ,ln x x y y z x x z y x ∂∂+∂∂ln 1 x x xyx y x yy ln ln 11+=- .2z = 原结论成立. 例2设22arcsiny x x z +=，求x z ∂∂，yz∂∂. 解：=∂∂xz xy x x y x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅+-2222211322222)(||y x y y y x +⋅+=|)|(2y y = .||22y x y +==∂∂yz yy x x y x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅+-222221132222)()(||y x xy y y x +-⋅+= yy x x 1sgn 22+-=)0(≠y=≠∂∂y x y z 不存在.例4 已知理想气体的状态方程RT pV =（R 为常数），求证：1-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂pTT V V p .证明：⇒=V RT p ;2V RT V p -=∂∂ ⇒=p RT V ;p R T V =∂∂ ⇒=R pV T ;R Vp T =∂∂ =∂∂⋅∂∂⋅∂∂p T T V V p 2V RT -p R ⋅ R V ⋅ pVRT-==-1 有关偏导数的几点说明： 1、 偏导数xu∂∂是一个整体记号，不能拆分; 2、求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；).0,0(),0,0(,),(,y x f f xy y x f z 求设例如==解：xx f x x 0|0|lim)0,0(0-⋅=→=0 ).0,0(y f = 例5：.),(,)0,0(),(0)0,0(),(),(22的偏导数求设y x f y x y x yx xy y x f ⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=解：,)0,0(),(时当≠y x 22222)(2)(),(y x xy x y x y y x f x +⋅-+= ,)()(22222y x x y y +-=22222)(2)(),(y x xy y y x x y x f y +⋅-+= ,)()(22222y x y x x +-= ,)0,0(),(时当=y x 按定义可知xf x f f x x ∆-∆=→∆)0,0()0,(lim)0,0(0,00lim0=∆=→∆x x yf y f f y y ∆-∆=→∆)0,0(),0(lim)0,0(0,00lim0=∆=→∆y y ,)0,0(),(0)0,0(),()()(),(22222⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-=y x y x y x x y y y x f x .)0,0(),(0)0,0(),()()(),(22222⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-=y x y x y x y x x y x f y３、偏导数存在与连续的关系一元函数中在某点可导，函数在该点一定连续，但多元函数中在某点偏导数存在，函数未必连续例如,函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(222222y x y x y x xy y x f ,依定义知在)0,0(处，0)0,0()0,0(==y x f f .但函数在该点处并不连续.4、偏导数的几何意义设)),(,,(00000y x f y x M 是曲面),(y x f z =上一点，则偏导数),(00y x f x 就是曲面被平面0y y =所截得的曲线在点0M 处的切线x T M 0对x 轴的斜率；偏导数),(00y x f y 就是曲面被平面0x x =所截得的曲线在点0M 处的切线y T M 0对y 轴的斜率.二、高阶偏导数函数),(y x f z =的二阶偏导数为),,(22y x f x z x z x xx =∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂ ),(22y x f y zy z y yy =∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂ 纯偏导 ),,(2y x f y x z x z y xy =∂∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂ ),(2y x f xy z y z x yx =∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂ 混合偏导 定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.例6 设13323+--=xy xy y x z ，求22x z ∂∂、x y z∂∂∂2、y x z ∂∂∂2、22y z ∂∂及33x z ∂∂.解：x z ∂∂,33322y y y x --=yz ∂∂;9223x xy y x --=22x z ∂∂,62xy =33x z ∂∂,62y = 22y z ∂∂;1823xy x -=y x z ∂∂∂2,19622--=y y x xy z ∂∂∂2.19622--=y y x 例7 设by e u axcos =，求二阶偏导数.解：,cos by ae x u ax =∂∂;sin by be y u ax -=∂∂,cos 222by e a x u ax=∂∂,cos 222by e b yu ax -=∂∂ ,s i n 2by abe y x u ax-=∂∂∂.s i n 2by abe xy u ax -=∂∂∂问题：混合偏导数都相等吗？例8 设⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(0)0,0(),(),(223y x y x y x yx y x f ，求),(y x f 的二阶混合偏导数.解：,)0,0(),(时当≠y x2223222)(2)(3),(y x y x x y x y x y x f x +⋅-+= ,)(232224222y x yx y x y x +-+=,)(2),(22223223y x y x y x x y x f y +-+=当)0,0(),(=y x 时，按定义可知：xf x f f x x ∆-∆=→∆)0,0()0,(lim)0,0(0,00lim0=∆=→∆x x y f y f f y y ∆-∆=→∆)0,0(),0(lim)0,0(0,00lim 0=∆=→∆y yy f y f f x x y xy ∆-∆=→∆)0,0(),0(lim)0,0(0=0xf x f f y y x yx ∆-∆=→∆)0,0()0,(lim)0,0(0=1显然 ).0,0()0,0(yx xy f f ≠问题：具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？定理 如果函数),(y x f z =的两个二阶混合偏导数x y z ∂∂∂2及yx z∂∂∂2在区域 D 内连续，那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等．例9 验证函数22ln ),(y x y x u +=满足拉普拉斯方程.02222=∂∂+∂∂yux u证明：),ln(21ln 2222y x y x +=+ ,22y x x x u +=∂∂∴,22yx yy u +=∂∂ ,)()(2)(222222222222y x x y y x x x y x x u +-=+⋅-+=∂∂∴.)()(2)(222222222222y x y x y x y y y x y u +-=+⋅-+=∂∂ =∂∂+∂∂∴2222y u x u 2222222222)()(y x y x y x x y +-++-=0 证毕. 三、小结偏导数的定义（偏增量比的极限） 偏导数的计算、偏导数的几何意义高阶偏导数：纯偏导，混合偏导及其相等的条件.思考题：若函数),(y x f 在点),(000y x P 连续，能否断定),(y x f 在点),(000y x P 的偏导数必定存在？作业：P18 1(5)(6)(7)(8)；3；4；5；6(2)；8；9.第三节 全微分及其应用一、 全微分的定义由一元函数微分学中增量与微分的关系得),(),(y x f y x x f -∆+ x y x f x ∆≈),(),(),(y x f y y x f -∆+ y y x f y ∆≈),(二元函数对x 和对y 的偏增量； 二元函数对x 和对y 的偏微分 全增量的概念如果函数),(y x f z =在点),(y x 的某邻域内有定义，并设),(y y x x P ∆+∆+'为这邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差),(),(y x f y y x x f -∆+∆+为函数在点P 对应于自变量增量y x ∆∆,的全增量，记为z ∆，即z ∆=),(),(y x f y y x x f -∆+∆+全微分的定义如果函数),(y x f z =在点),(y x 的全增量),(),(y x f y y x x f z -∆+∆+=∆可以表示为)(ρo y B x A z +∆+∆=∆，其中B A ,不依赖于y x ∆∆,而仅与y x ,有关，22)()(y x ∆+∆=ρ，则称函数),(y x f z =在点),(y x 可微分，y B x A ∆+∆称为函数),(y x f z =在点),(y x 的全微分，记为dz ，即 dz =y B x A ∆+∆.函数若在某区域D 内各点处处可微分，则称这函数在D 内可微分. 如果函数),(y x f z =在点),(y x 可微分, 则函数在该点连续. 事实上 ),(ρo y B x A z +∆+∆=∆ ),(ρo y B x A z +∆+∆=∆),(lim 00y y x x f y x ∆+∆+→∆→∆ ]),([lim 0z y x f ∆+=→ρ ),(y x f =故函数),(y x f z =在点),(y x 处连续.二、 可微的条件定理1（必要条件） 如果函数),(y x f z =在点),(y x 可微分，则该函数在点),(y x 的偏导数x z ∂∂、yz ∂∂必存在，且函数),(y x f z =在点),(y x 的全微分为y yzx x z dz ∆∂∂+∆∂∂=． 一元函数在某点的导数存在则微分存在；若多元函数的各偏导数存在，全微分一定存在吗？.0),(222222⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=y x y x yx xyy x f 在点)0,0(处有 0)0,0()0,0(==y x f f ；])0,0()0,0([y f x f z y x ∆⋅+∆⋅-∆ ,)()(22y x y x ∆+∆∆⋅∆=如果考虑点),(y x P ∆∆'沿着直线x y =趋近于)0,0(，则ρ22)()(y x yx ∆+∆∆⋅∆ 22)()(x x xx ∆+∆∆⋅∆=,21= 说明它不能随着0→ρ而趋于0,故函数在点)0,0(处不可微. 说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在， 定理２（充分条件） 如果函数),(y x f z =的偏导数x z ∂∂、yz∂∂在点),(y x 连续，则该函数在点),(y x 可微分．习惯上，记全微分为.dy yzdx x z dz ∂∂+∂∂=通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理．叠加原理也适用于二元以上函数的情况．.dz zu dy y u dx x u du ∂∂+∂∂+∂∂=例1 计算函数xye z =在点)1,2(处的全微分. 解：,xy ye x z =∂∂ ,xy xe y z =∂∂ ,2)1,2(e x z=∂∂,22)1,2(e y z =∂∂ 所求全微分 .222dy e dx e dz += 例2 求函数)2cos(y x y z -=，当4π=x ，π=y ，4π=dx ，π=dy 时的全微分.解：),2sin(y x y x z --=∂∂ ),2sin(2)2cos(y x y y x yz -+-=∂∂ dy y z dx x z dz ),4(),4(),4(ππππππ∂∂+∂∂=).74(82ππ-= 例3 计算函数yz e yx u ++=2sin的全微分. 解：,1=∂∂x u ,2cos 21yz ze y y u +=∂∂ ,yz ye z u =∂∂ 所求全微分 .)2cos21(dz ye dy ze ydx du yz yz +++= 例4 试证函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x xy y x f 在点)0,0(连续且偏导数存在，但偏导数在点)0,0(不连续，而f 在点)0,0(可微.思路：按有关定义讨论；对于偏导数需分)0,0(),(≠y x ，)0,0(),(=y x 讨论. 多元函数连续、可导、可微的关系偏导数连续函数一定可微；可微一定可导；可微一定连续；其它则未必。