高等数学期末复习- 多元函数微分学

高等数学复习-多元函数微分法及其应用
一、列举二元函数的例子？
二、求多元函数的极限？
三、证明函数的连续性？
四、多元函数的性质？
五、求多元函数再某点的偏导数？
六、求多元函数的偏导数？
七、求多元函数的高阶偏导数？
八、二阶混合偏导数定理？
九、求函数的全微分？
十、全微分的应用?
十一、一元函数与多元函数复合定理?
十二、多元函数与多元函数复合定理?
十三、其它复合定理？
十四、求复合函数的偏导数？
十五、求复合函数的全导数？
十六、利用全微分形式不变形求偏导数？
十七、利用隐函数求导？
十八、利用方程组求偏导数?
十九、求函数的单位切向量？
二十、求曲线的切线及法平面方程？
二十一、求球面的切线及法平面方程？
二十二、求旋转抛物面的切线及法平面方程？
二十三、求某个方向的方向导数？
二十四、求函数在某点的梯度？
函数在某点的梯度是这样一个向量，他的方向是函数再这点方向导数取得最大值的方向，它的模就等于方向导数的最大值。

（1）求出函数在各个自变量上的偏导数
（2）带入点惊醒计算
（3）表示出该向量（记得加上i、j、k）
二十五、求函数再某个方向的变化率？
二十六、举例说明多元函数最值及极值？
二十七、有极值定理?
二十八、求多元函数的极值？
二十九、拉个朗日乘数法求极值？。

多元函数微分法和应⽤期末复习试题⾼等数学（下册）（上海电机学院）第⼋章偏导数与全微分⼀、选择题1.若u=u(x, y)是可微函数，且,1),(2==x y y x u ,2x xuxy =??=则=??=2x y y u [A ] A. 21-B. 21C. -1D. 12.函数62622++-+=y x y x z [ D ]A. 在点(-1, 3)处取极⼤值B. 在点(-1, 3)处取极⼩值C. 在点(3, -1)处取极⼤值D. 在点(3, -1)处取极⼩值3.⼆元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数()()0000,,,x y f x y f x y 存在是函数f 在该点可微的 [ B ]A. 充分⽽⾮必要条件B.必要⽽⾮充分条件C.充分必要条件D.既⾮充分也⾮必要条件4. 设u=2x +22y +32z +xy+3x-2y-6z 在点O(0, 0, 0)指向点A(1, 1, 1)⽅向的导数=??lu[ D ] A.635 B.635- C.335 D. 335- 5. 函数xy y x z 333-+= [ B ]A. 在点(0, 0)处取极⼤值B. 在点(1, 1)处取极⼩值C. 在点(0, 0), (1, 1)处都取极⼤值 D . 在点(0, 0), (1, 1)处都取极⼩值 6.⼆元函数(),f x y 在点()00,x y 处可微是(),f x y 在该点连续的[ A ] A. 充分⽽⾮必要条件 B.必要⽽⾮充分条件 C.充分必要条件D.既⾮充分也⾮必要条件 7. 已知)10(0sin <<=--εεx y y , 则dxdy= [ B ] A. y cos 1ε+ B.y cos 11ε- C. y cos 1ε- D. ycos 11ε+8. 函数yx xy z 2050++= （x>0，y>0）[ D ] A. 在点(2, 5)处取极⼤值 B. 在点(2, 5)处取极⼩值C.在点(5, 2)处取极⼤值D. 在点(5, 2)处取极⼩值9.⼆元函数(),f x y 在点()00,x y 处连续的是(),f x y 在点()00,x y 处可微的 [A ] A. 必要⽽⾮充分条件 B. 充分⽽⾮必要条件 C.充分必要条件 D.既⾮充分也⾮必要条件10. 曲线x=t, y=2t -, z=3t 所有切线中与平⾯x+2y+z=4平⾏的切线有 [ B ] A. 1 条 B.2条 C. 3条 D.不存在 11．设22(,)xy f x y y x =-，则(,)x yf y x= B A. 42xyy x - B. 2244x y y x - C. 2244x y y x +- D. 2244y x y x --12．为使⼆元函数(,)x yf x y x y+=-沿某⼀特殊路径趋向(0,0)的极限为2，这条路线应选择为 B A.4x y = B. 3x y = C. 2x y = D. 23x y = 13．设函数(,)z f x y =满⾜222zy=，且(,1)2f x x =+，(,1)1y f x x '=+，则(,)f x y =BA.2(1)2y x y +++ B. 2(1)2y x y +-+ C. 2(1)2y x y +-- D. 2(1)2y x y ++- 14．设(,)32f x y x y =+，则(,(,))f xy f x y = CA.344xy x y ++B. 2xy x y ++C. 364xy x y ++D. 346xy x y ++15．为使⼆元函数222(,)xy f x y x y=+在全平⾯连续，则它在(0,0)处应被补充定义为 B A.-1 B.0 C.1 D. 16．已知函数2 2(,)f x y x y x y +-=-，则(,)(,)f x y f x y x y+= C A.22x y - B. 22x y + C. x y + D. x y -17．若()yf x=(0)x >，则()f x =BC.x18．若xz y =，则在点 D 处有z z y x= A.(0,1) B.(,1)e C.(1,)e D. (,)e e19．设2y z x =，则下列结论正确的是 AA.220z z x y y x ??-= B. 220z zx y y x ??-> C.220z zx y y x-0(,)11sin sin ,0xy f x y x y xy y x =??=?+≠??，则极限00lim (,)x y f x y →→（ C ）. (A) 等于1 (B) 等于2 (C) 等于0 (D) 不存在 21.函数z xy =在点(0,0) ( D ).(A) 有极⼤值 (B) 有极⼩值 (C) 不是驻点 (D) ⽆极值 22.⼆元函数z =在原点(0,0)处（ A ）.(A) 连续，但偏导不存在 (B) 可微(C) 偏导存在，但不连续 (D) 偏导存在，但不可微23．设()u f r =，⽽r =，()f r 具有⼆阶连续导数，则222222u u ux y z++=（ B ）.(A) 1''()'()f r f r r +(B) 2''()'()f r f r r+ (C) 211''()'()f r f r r r + (D) 212''()'()f r f r r r+24．函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处连续是它在该点偏导存在的（ D ）. (A) 必要⽽⾮充分条件 (B) 充分⽽⾮必要条件(C) 充分必要条件 (D) 既⾮充分⼜⾮必要条件 25．函数221z x y =--的极⼤值点是（ D ）.(A) (1,1) (B) (1,0) (C) (0,1) (D) (0,0)26．设(,)f x y =(2,1)x f '=（B ）.(A) 14 (B) 14- (C) 12 (D) 12-27．极限24200lim x y x y x y →→+（ B ）.(A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于12 (D) 存在且不等于0及1228．(,)z f x y =若在点000(,)P x y 处的两个⼀阶偏导数存在，则（B ）. (A) (,)f x y 在点0P 连续 (B) 0(,)z f x y =在点0x 连续 (C) 00||P P z zdz dx dy x y ??=+ (D) A,B,C 都不对 29. 设函数y x z =，则z d =（ A ）． (A)．y x x x yxy y d ln d 1+- (B)．y x x yx y y d d 1+-(C)．y x x x x yy d ln d + (D)．y y x x yxy y d ln d 1+-30. 已知=??===y zxy v y x u v u z 则 ,,,ln 2（ C ）（A ）y x xy y x 3232ln 2+ （B ）y xxy y x 3232ln 2-（C ）y x xy y x 3232ln 2+- （D ）y x xy y x 22ln 2+31．函数z=22y x 1--的定义域是（ D ）（A.） D={(x,y)|x 2+y 2=1}（B.）D={(x,y)|x 2+y 2≥1}（C.） D={(x,y)|x 2+y 2<1}（D.）D={(x,y)|x 2+y 2≤1}32．设22),(yx xyy x f +=，则下列式中正确的是（ C ）；)A ( ),(,y x f x y x f =??； )B (),(),(y x f y x y x f =-+；)C ( ),(),(y x f x y f =； )D ( ),(),(y x f y x f =-33．设e cos xz y =，则=yx z2（ D ）；)A ( e sin x y ； )B ( e e sin x x y +；)C ( e cos xy -； )D ( e sin xy -34．已知22),(y x y x y x f -=-+，则x f ??=??+yf （ C ）； )A ( y x 22+； )B ( y x -； )C ( y x 22- )D ( y x +．35. 设y xy x z 2232-+=，则=y x z（ B ）（A ）6 （B ）3 （C ）-2 （D ）2.36.设()==?x zy x y x f z 00, ,,则（ B ）（A ）()()x y x f y y x x f x ?-?+?+→?00000,,lim（B ）()()x y x f y x x f x ?-?+→?0000,,lim（C ）()()x y x f y x x f x ?-?+→?00000,,lim （D ）()x y x x f x ??+→?000,lim37. 设由⽅程0=-xyz e z确定的隐函数()==x zy x f z 则,,（ B ）（A ）z z+1 （B ）()1-z x z （C ）()z x y +1 （D ）()z x y -138. ⼆次函数 11)4ln(2222-++--=y x y x z 的定义域是（ D ）A. 1 ＜ 22y x + ≤ 4；B. –1 ≤ 22y x + ＜ 4； C. –1 ≤ 22y x + ≤ 4； D. 1 ＜ 22y x + ＜ 4。

第九章 多元函数微分学§9.1 多元函数的概念、极限与连续性一、多元函数的概念1．二元函数的定义及其几何意义设D 是平面上的一个点集，如果对每个点()D y x P ∈,，按照某一对应规则f ，变量z 都有一个值与之对应，则称z 是变量x ，y 的二元函数，记以()y x f z ,=，D 称为定义域。

二元函数()y x f z ,=的图形为空间一卦曲面，它在xy 平面上的投影区域就是定义域D 。

例如 221y x z --=，1:22≤+y x D ， 此二元函数的图形为以原点为球心，半径为1的上半球面，其定义域D 就是 xy 平面上以原点为圆心，半径为1的闭圆。

2．三元函数与n 元函数()z y x f u ,,= ()Ω∈z y x ,,空间一个点集称为三元函数()n x x x f u ,,21 = 称为n 元函数它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。

条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。

二、二元函数的极限设函数),(y x f 在区域D 内有定义，),(000y x P 是D 的聚点，如果存在常数A ，对于任意给定的0>ε，总存在0>δ，当),(y x P 满足δ<-+-=<20200)()(0y y x x PP 时，恒有ε<-A y x f ),(成立。

则记以()A y x f y y x x =→→,lim 0或()()()A y x f y x y x =→,lim00,,。

称当()y x ,趋于()00,y x 时，()y x f ,的极限存在，极限值A ，否则称为极限不存在。

值得注意：这里()y x ,趋于()00,y x 是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线趋于()00,y x ，所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂；但考试大纲只要求知道基本概念和简单的讨论极限存在性和计算极限值，不像一元函数求极限要求掌握各种方法和技巧。

第八章 偏导数与全微分一、选择题1.若u=u(x, y)是可微函数，且,1),(2==x y y x u ,2x xuxy =∂∂=则=∂∂=2x y y u [A ] A. 21-B. 21C. -1D. 12.函数62622++-+=y x y x z [ D ]A. 在点(-1, 3)处取极大值B. 在点(-1, 3)处取极小值C. 在点(3, -1)处取极大值D. 在点(3, -1)处取极小值3.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数()()0000,,,x y f x y f x y 存在是函数f 在该点可微的 [ B ]A. 充分而非必要条件B.必要而非充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件4. 设u=2x +22y +32z +xy+3x-2y-6z 在点O(0, 0, 0)指向点A(1, 1, 1)方向的导数=∂∂lu[ D ] A.635 B.635- C.335 D. 335- 5. 函数xy y x z 333-+= [ B ]A. 在点(0, 0)处取极大值B. 在点(1, 1)处取极小值C. 在点(0, 0), (1, 1)处都取极大值 D . 在点(0, 0), (1, 1)处都取极小值 6.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处可微是(),f x y 在该点连续的[ A ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件 7. 已知)10(0sin <<=--εεx y y , 则dxdy= [ B ] A. y cos 1ε+ B.y cos 11ε- C. y cos 1ε- D. ycos 11ε+8. 函数yx xy z 2050++= （x>0，y>0）[ D ] A. 在点(2, 5)处取极大值 B. 在点(2, 5)处取极小值C.在点(5, 2)处取极大值D. 在点(5, 2)处取极小值9.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处连续的是(),f x y 在点()00,x y 处可微的 [A ] A. 必要而非充分条件 B. 充分而非必要条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 10. 曲线x=t, y=2t -, z=3t 所有切线中与平面x+2y+z=4平行的切线有 [ B ] A. 1 条 B.2条 C. 3条 D.不存在 11．设22(,)xy f x y y x =-，则(,)x yf y x= B A. 42xyy x - B. 2244x y y x - C. 2244x y y x +- D. 2244y x y x --12．为使二元函数(,)x yf x y x y+=-沿某一特殊路径趋向(0,0)的极限为2，这条路线应选择为 B A.4x y = B. 3x y = C. 2x y = D. 23x y = 13．设函数(,)z f x y =满足222zy∂=∂，且(,1)2f x x =+，(,1)1y f x x '=+，则(,)f x y =BA.2(1)2y x y +++ B. 2(1)2y x y +-+ C. 2(1)2y x y +-- D. 2(1)2y x y ++- 14．设(,)32f x y x y =+，则(,(,))f xy f x y = CA.344xy x y ++B. 2xy x y ++C. 364xy x y ++D. 346xy x y ++15．为使二元函数222(,)xy f x y x y=+在全平面连续，则它在(0,0)处应被补充定义为 B A.-1 B.0 C.1 D. 16．已知函数22(,)f x y x y x y +-=-，则(,)(,)f x y f x y x y∂∂+=∂∂ C A.22x y - B. 22x y + C. x y + D. x y -17．若()yf x=(0)x >，则()f x =BB. C.xD.18．若xz y =，则在点 D 处有z z y x∂∂=∂∂ A.(0,1) B.(,1)e C.(1,)e D. (,)e e19．设2y z x =，则下列结论正确的是 AA.220z z x y y x ∂∂-=∂∂∂∂ B. 220z zx y y x ∂∂->∂∂∂∂ C.220z zx y y x∂∂-<∂∂∂∂ D.两者大小无法确定 20.函数0,0(,)11sin sin ,0xy f x y x y xy y x =⎧⎪=⎨+≠⎪⎩，则极限00lim (,)x y f x y →→ （ C ）. (A) 等于1 (B) 等于2 (C) 等于0 (D) 不存在 21.函数z xy =在点(0,0) ( D ).(A) 有极大值 (B) 有极小值 (C) 不是驻点 (D) 无极值 22.二元函数z =在原点(0,0)处（ A ）.(A) 连续，但偏导不存在 (B) 可微(C) 偏导存在，但不连续 (D) 偏导存在，但不可微23．设()u f r =，而r =()f r 具有二阶连续导数，则222222u u ux y z∂∂∂++=∂∂∂（ B ）.(A) 1''()'()f r f r r +(B) 2''()'()f r f r r+ (C) 211''()'()f r f r r r + (D) 212''()'()f r f r r r+24．函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处连续是它在该点偏导存在的（ D ）. (A) 必要而非充分条件 (B) 充分而非必要条件(C) 充分必要条件 (D) 既非充分又非必要条件 25．函数221z x y =--的极大值点是 （ D ）.(A) (1,1) (B) (1,0) (C) (0,1) (D) (0,0)26．设(,)f x y =(2,1)x f '=（B ）.(A)14 (B) 14- (C) 12 (D) 12-27．极限24200lim x y x yx y →→+（ B ）.(A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于12 (D) 存在且不等于0及1228．(,)z f x y =若在点000(,)P x y 处的两个一阶偏导数存在，则（B ）. (A) (,)f x y 在点0P 连续 (B) 0(,)z f x y =在点0x 连续 (C) 00||P P z zdz dx dy x y ∂∂=⋅+⋅∂∂ (D) A,B,C 都不对 29. 设函数y x z =，则z d =（ A ）． (A)．y x x x yxy y d ln d 1+- (B)．y x x yx y y d d 1+-(C)．y x x x x yy d ln d + (D)．y y x x yxy y d ln d 1+-30. 已知=∂∂===y zxy v y x u v u z 则 ,,,ln 2（ C ）（A ）y x xy y x 3232ln 2+ （B ）y xxy y x 3232ln 2-（C ）y x xy y x 3232ln 2+- （D ）y x xy y x 22ln 2+31．函数z=22y x 1--的定义域是（ D ） （A.） D={(x,y)|x 2+y 2=1}（B.）D={(x,y)|x 2+y 2≥1}（C.） D={(x,y)|x 2+y 2<1}（D.）D={(x,y)|x 2+y 2≤1}32．设22),(yx xyy x f +=，则下列式中正确的是（ C ）；)A ( ),(,y x f x y x f =⎪⎭⎫⎝⎛； )B (),(),(y x f y x y x f =-+；)C ( ),(),(y x f x y f =； )D ( ),(),(y x f y x f =-33．设e cos xz y =，则=∂∂∂yx z2（ D ）；)A ( e sin x y ； )B ( e e sin x x y +；)C ( e cos xy -； )D ( e sin xy -34．已知22),(y x y x y x f -=-+，则x f ∂∂=∂∂+yf （ C ）； )A ( y x 22+； )B ( y x -； )C ( y x 22- )D ( y x +．35. 设y xy x z 2232-+=，则=∂∂∂y x z（ B ）（A ）6 （B ）3 （C ）-2 （D ）2.36.设()=∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛x zy x y x f z 00, ,,则（ B ）（A ）()()x y x f y y x x f x ∆-∆+∆+→∆00000,,lim（B ）()()x y x f y x x f x ∆-∆+→∆0000,,lim（C ）()()x y x f y x x f x ∆-∆+→∆00000,,lim（D ）()x y x x f x ∆∆+→∆000,lim37. 设由方程0=-xyz e z确定的隐函数()=∂∂=x z y x f z 则,,（ B ）（A ）z z+1 （B ）()1-z x z （C ）()z x y +1 （D ）()z x y -138. 二次函数 11)4ln(2222-++--=y x y x z 的定义域是（ D ）A. 1 ＜ 22y x + ≤ 4；B. –1 ≤ 22y x + ＜ 4； C. –1 ≤ 22y x + ≤ 4； D. 1 ＜ 22y x + ＜ 4。

第六章 多元函数微分学及其应用6.1 多元函数的基本概念一、二元函数的极限定义 f (P )= f (x ，y )的定义域为D , 0P ),(00y x 是D 的聚点. 对常数A ，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当点P (x ，y )∈D ),(0δP U o⋂，即δ<-+-<<20200)()(||0y y x x P P时，都有|f (P )–A |=|f (x ，y )–A |<ε成立，那么就称常数A 为函数f (x ，y )当(x ，y )→),(00y x 时的极限，记作A y x f y x y x =→),(lim),(),(00或f (x ，y )→A ((x ，y )→),(00y x ),也记作A P f P P =→)(lim 0或 f (P ) →A (P →0P )为了区别于一元函数的极限，上述二元函数的极限也称做二重极限. 二、二元函数的连续性=→),(lim),(),(00y x f y x y x f ),(00y x ,0lim )0,0(),(=∆→∆∆z y x如果函数f (x , y )在D 的每一点都连续，那么就称函数f (x , y )在D 上连续，或者称f (x , y )是D 上的连续函数.如果函数f (x , y )在点0P ),(00y x 不连续，则称0P ),(00y x 为函数f (x , y )的间断点. 多元连续函数的和、差、积仍为连续函数；连续函数的商在分母不为零处仍连续；多元连续函数的复合函数也是连续函数。

一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.多元初等函数的极限值就是函数在该点的函数值，即)()(lim00P f P f p p =→.有界性与最大值最小值定理 在有界闭区域D 上的多元连续函数，必定在D 上有界，且能取得它的最大值和最小值. 介值定理 在有界闭区域D 上的多元连续函数必取复介于最大值和最小值之间的任何值。

空间解析几何已知过点0000(,,)P x y z ，且与方向{,,}n A B C =垂直的平面方程为 . 000()()()0A x x B y y C z z -+-+-=多元函数微分学1. 求极限例 0020()()lim lim 122x x y y sin xy sin xy y x xy →→→→=⋅=⨯=例 0001limlim 1x x y y kxx y x kx kx y x kx k →→→=+++==---，不存在 2. 求偏导(1)（复合求偏导）例 设),(y x x f z =，),(v u f z =关于v u ,具有连续二阶偏导数，求22222,,yzy x z x z ∂∂∂∂∂∂∂。

解：令(),,,xz f u v u x v y===z z u z v x u x v x ∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂121f f y ''=+，z z u z v y u y v y ∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂22x f y'=- 22z x ∂=∂111221*********2211121f f f f f f f y y y y y ''''''''''''''+++=++ 2z x y ∂=∂∂122222231x x f f f y y y '''''--- ， 22z y ∂=∂232x f y '=2224x f y''+ (2)（隐函数求偏导）例 设3e 0zz xy -+=，求22z x∂∂．解 在方程3e 0z z xy -+=两边分别对x 求偏导数，并注意z 是x ,y 的函数，得3e 0z z zy x x ∂∂⋅-+=∂∂，于是 31ezz y x ∂=∂-．再两边对x 求偏导数，并注意z 是x ,y 的函数，得22222e e 0zz z z z x x x ∂∂∂⎛⎫⋅+⋅-= ⎪∂∂∂⎝⎭， 于是 222e 1e zz z z x x ∂∂⎛⎫=⋅ ⎪∂-∂⎝⎭． 将zx∂∂的表达式代入上式得2623e (1e )z z z y x ∂=∂-．(3)（求全微分）例 设sin xxu e y-=,求2u x y ∂∂∂.解：sin cos x xu x e x e x y y y--∂=-+∂2222cos ()cos (sin )(x x xu x x e x e x x e x y y y y y y y y ---∂=-⋅--+-⋅-∂∂223cos cos sinx x x xe x e x xe x y y y y y y---=-+ （4）可偏导和连续的关系（无关系）3. 拉格朗日乘数法求最值例 在半径为R 的球体内，作一内接长方体，问长方体的边长各为多少时其体积最大？解:设问长方体的边长各为z y x ,,时,体积为V ,则xyz V =,且042222=-++R z y x构造)4(),,,(2222R z y xxyz z y x L -+++=λλ令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++==+==+==+=)4(04),,,()3(02),,,()2(02),,,()1(02),,,(2222R z y x z y x L z xy z y x L y xz z y x L x yz z y x L z y x λλλλλλλλ 由(1)(2)(3)得z y x ==,代入(4)得32R z y x ===例. 求函数22(,)3232f x y xy x y =-++的极值．第5章 无 穷 级 数 ·3·解: 定义域为x -∞<<+∞，y -∞<<+∞．62x f x y =-，24y f x y =-+，令00x yf f =⎧⎪⎨=⎪⎩，得驻点为(0,0)．6xx A f ==，2xy B f ==-，4yy C f ==-，220B AC ∆=-=-因在(0,0)点处，200∆=-<，60A =-<，故函数极大值为(0,0)0f =，无极小值． （8分）多元函数积分学1. 交换积分秩序例 设(,)f x y 连续，改变下列累次积分的积分次序：1001d (,)d (,)d I x f x y y x f x y y =+⎰⎰⎰⎰．解首先将所给的累次积分看成函数(,)f x y 在区域D 上的二重积分，积分区域12D D D = (见上图)，其中{}1(,)0D x y y x =≤≤≤≤1，2D {(,)0x y y x =≤≤， 然后视D 为Y型区域，即2(,)39y D x y x y ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭≤≤≤，则293d (,)d y I y f x y x =⎰⎰．2.利用直角坐标计算二重积分例 计算积分22d d D x x y y⎰⎰, 其中D 是由曲线1xy =及,2y x x ==围成的区域.解 作出区域D . 将D 投影到x 轴上, 得投影区间为[1,2]. 任给(1,2)x ∈, 作平行于y 轴的直线x x =, 与D 的下边界和上边界分别相交于点1M 和点2M , 它们所在的曲线方程分别为1,(12)y y x x x==≤≤.从而所给的二重积分可化成先y 后x 的二次积分, 即22222122111231d d d d d 9()d .4xxxDxxxx x y x y x yy y x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰如果将二重积分化成先对x 后对y 的二次积分, 这时平行于x 轴的直线与D 的左边界的交点所在曲线方程的形式不同, 所以要把D 分成1D 和2D 两部分（图8.2）. 由于122121122217d d d d 12y D x x x y y x y y ==⎰⎰⎰⎰, 222222215d d d d 6y D x x x y y x y y ==⎰⎰⎰⎰. 所以122222221759d d d d d d 1264D D D x x x x y x y x y y y y =+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 2.利用直角坐标或柱坐标计算三重积分设给定空间直角坐标系Oxyz , 若在坐标平面xOy 上取以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系, 则空间中一点M 的位置可由M 在平面xOy 上的投影M '与它的竖坐标所确定（如图）. 设点M '的极坐标为(,)ρϕ, 于是点M 与三元有序数组(,,)z ρϕ成一一对应（z 轴上的点除外）. 称三元有序数组(,,)z ρϕ为点M 的柱面坐标, 其取值范围为0,02π,z ρϕ<+∞<-∞<<+∞≤≤.在柱面坐标系中, 每个点0000(,,)M z ρϕ 可以看做是三张坐标曲面000,,z z ρρϕϕ=== 的交点. 这些坐标曲面分别是半径为0ρ且以z 轴为中心轴的圆柱面; 以z 轴为边并与坐标平面xOz 构成角0ϕ的半平面; 及过点0(0,0,)z 且平行于坐标平面xOy 的平面.不难看出, 空间一点M 的直角坐标和柱面坐标的关系为cos ,sin ,.x y z z ρϕρϕ=⎧⎪=⎨⎪=⎩于是, 以原点为球心、半径为R 的球面在柱面坐标系下的方程是222z R ρ+=. 然后, 再介绍用柱面坐标计算三重积分.为了用柱面坐标计算三重积分(,,)d f x y z V Ω⎰⎰⎰, 先要把直角坐标系下的变量,,x y z 利用关系式cos ,sin ,x y z z ρϕρϕ=⎧⎪=⎨⎪=⎩代换成柱面坐标系下的,,z ρϕ ; 然后再将d V 变换成柱面坐标系下的体积微元.考虑到柱面坐标系可以看做是“极坐标系再添上高度”构成的, 在极坐标系下的面积微元为d d ρρϕ, 所以在柱面坐标系下的体积微元为d d d dV z ρρϕ=,图2第5章 无 穷 级 数 ·5·如图所示．因此, 将直角坐标系下的三重积分变换为柱面坐标系下的三重积分的公式为(,,)d d d (cos ,sin ,)d d d f x y z x y z f z z ΩΩρϕρϕρρϕ'=⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中上式右端的积分域Ω'是用柱面坐标表示的Ω.在计算式右端的三重积分时, 通常也是化为三次积分来进行的.当三重积分的积分区域为圆柱形区域或投影区域为圆域、环形域或被积函数为(,,))f x y z g z =的形式时, 利用柱面坐标进行计算往往比较方便. 例1 利用柱面坐标计算三重积分dz dxdy y x ⎰⎰⎰Ω+)(22，其中Ω由2,222=+=z y x z 所围成的区域。

1 习题8.7
1. 求下列曲线在指定点的切线与法平面方程：
(1) 22sin ,sin cos ,cos x a t y b t t z c t ⎧=⎪=⎨⎪=⎩在对应于参数π4t =的点处; (2) 222210,10
x z y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩在)3,1,1(处； (3) 22230,23540x y z x x y z ⎧++-=⎨-+-=⎩
在)1,1,1(处. 2. 证明曲线e cos ,e sin ,e t t t x t y t z ⎧=⎪=⎨⎪=⎩
与圆錐面222z y x =+的所有母线相交成等角.
3. 求下列曲面在指定点处的切平面和法线方程:
(1) x y z arctan
=在点π1,1,4⎛⎫ ⎪⎝⎭处； (2) 1222=++cz by ax 在点(000,,z y x )处;
(3) e e 4x y z z +=在点)1,2ln ,2(ln 处.
4. 过直线430,0
x y z x y z +--=⎧⎨+-=⎩作曲面 33222=-+z y x 的切平面, 求该切平面的方程. 5. 两曲面在交点处的切平面的交角称为曲面在该点的交角, 根据此定义 (1) 求球面14222=++z y x 与椭球面 163222=++z y x 在点)3,2,1(--处的交角;
(2) 证明曲面222x y z ax ++=与222x y z by ++=相互正交.
6. 证明:
(1) 曲面3a xyz =的切平面与坐标平面所围的四面体的体积为常数;
(2) 曲面 32323232a z
y x =++上任意点处的切平面在各坐标轴截距的平方和等于2a ; (3) 曲面y z xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
的所有切平面都相交于一点.。