高等数学期末复习
第九章 多元函数微分学
一、内容要求
1、会求简单二元函数定义域
2、会求多二元函数表达式和值
3、会求简单二元函数的极限
4、掌握二元函数偏导数定义，性质，能确识别二元函数偏导数定义形式，得出偏导数正确表达
5、会求二元函数偏导数值：求偏导函数，代入点求值
6、会求二元函数微分值：求偏导函数，代入点求微分表达式
7、会按一元函数求导法则求直接函数的偏导数
8、会由轮换对称性确定多元函数对称元导数
9、会用链式规则求抽象形式多元函数的偏导数10、会求多元函数全微分11、会求多元隐函数的偏导数
12、会求二元函数驻点，判定二元函数极值的存在性13、能观察出简单多元函数极值情况
14、能应用多元函数求极值方法解决简单应用问题15、会求空间曲面的切平面、法线方程16、会求空间曲线的切线、法平面方程17、会求多元函数的方向导数18、会求多元函数的梯度
二、例题习题
1、二元函数的定义域是( )
x
y
z arcsin
= A.
B. |}||||),{(x y y x ≤}
0|||||),{(≠≤x x y y x C. D. }0|||||),{(≠>x x y y x }
0|||||),{(≠≥x x y y x 解：使函数有意义，只要，即，所以，选B. x y z arcsin
=||1,0y
x x
≤≠||||,0y x x ≤≠（内容要求1）
2、函数的定义域为
；
22
1
(,)ln()=++
+f x y x y x y 解：使函数有意义，只要，所以填22
1(,)ln()=++
+f x y x y x y
22
0,0x y x y +>+≠（内容要求1）
22{(,)|0,0}x y x y x y +>+≠
A
l l n
g s
3、设则( ).22
(,),f x y x y x y +-=-(,)f x y =(A)
(B)
(C)
(D) 2
2
x y -22
x y +2
()x y -xy
解：令，则，于是,u x y v x y =+=-,22
u v u v
x y +-=
=22(,)f x y x y x y +-=-⇒(,)f u v uv
=即由函数与自变量记号选取无关性有。所以选D 。（内容要求2）
(,)f x y xy =4、设，则
；
22
(,)2+=x y f x y xy
(2,3)-=f 解：，所以填。（内容要求2）4913(2,3)1212f +-=
=--13
12
-5、
(
)；
(,)lim
x y →=A.
B.
C.
D. 2
1
4
1
10
解：
(,)(,)(,)1
2lim
lim lim x y x y x y →→→===所以选A 。（内容要求3）6、
；
(,)(0,0)sin lim
→=x y xy
x 解：
(,)(0,0)(,)(0,0)(,)(0,0)(,)(0,0)
sin sin sin lim
lim []lim lim 0
x y x y x y x y xy xy xy
y y x xy xy →→→→=⋅=⋅=所以填0。（内容要求3）
7、
；
(,)(2,0)sin lim
x y xy
y →=解：
，所以填2。
（内容要求3）(,)(2,0)(,)(2,0)(,)(2,0)sin sin lim
lim lim 2x y x y x y xy xy
x y xy →→→=⋅=8、函数
在点处存在偏导数，则 ( )；
) ,(y x f )0 ,0(=-→x
x f f x )
0,2()0,0(lim
0A ．
B ．
C ．
D ．)0,0(2
1'
x f )0,0(2
1'
-
x f )0,0(2'-x f )
0,0(2'
x f 解：由偏导数定义，00(0,0)(2,0)(2,0)(0,0)
lim
2lim 2(0,0)2x x x f f x f x f f x x
→→--'=-=-所以选C 。（内容要求4）
9、 函数
在点处存在偏导数，则 (
)；
) ,(y x f )0 ,0(=-→y
y f f y 2)
,0()0,0(lim
A ．
B ．
C ．
D ．)0,0(2
1'
y f )0,0(2
1'
-
y f )0,0(2'
-y f )
0,0(2'
y f 解：由偏导数定义，0
0(0,0)(0,)1(0,)(0,0)1
lim
lim (0,0)
222
y y y f f y f y f f y y →→--'=-=-所以选B 。（内容要求4）
10、 函数
在点处存在偏导数，则 (
)；
) ,(y x f ) ,(00y x =∆∆--→∆x
y x x f y x f x )
,(),(lim
00000
A ．
B ．
C ．
D ．),(00y x f x '),(00y x f x '-),(00y x f y ')
,(00y x f y '-解：由偏导数定义，
00000000000
0(,)(,)(,)(,)
lim
lim (,)x x x f x y f x x y f x x y f x y f x y x x
∆→∆→--∆-∆-'==∆-∆所以选A 。（内容要求4）11、函数
在点处偏导数存在是在点处连续的(
)；
) ,(y x f ) ,(00y x ) ,(y x f ) ,(00y x A ．充分必要条件 B ．必要条件 C ．充分条件
D ．既不充分也不必要条件
解：选D 。（内容要求4）
12、设函数(
).
2
(,)=+f x y x (1,1)'=y f (A) 1
(B)
(C)
(D) 212
3
解：，所以选C 。（内容要求5）(,)y f x y '=
1
(1,1)2
y f '=
13、设，则(
).
2y z x =2(1,1)
z
x y -∂=∂∂(A)
(B) (C)
(D) 2-1-21
解：，所以，所以选C 。
（内容要求5）22222,z y z y x x x y x ∂∂=-=-∂∂∂2(1,1)
2z
x y -∂=∂∂14、，则
22
ln(1)z x y =++1
2
d |
x y z
===解：
，所以，，故222222,11z x z y x x y y x y ∂∂==∂++∂++11
2212
|,|33
x x y y z z x y ====∂∂==∂∂
