高数 多元函数微分学 知识点与例题精讲

多元函数微分学知识点梳理
第九章多元函数微分学
内容复
一、基本概念
1.多元函数的基本概念包括n维空间、n元函数、二重极限、连续等。

其中，偏导数和全微分也是重要的概念。

2.重要定理：
1）二元函数中，可导、连续、可微三者的关系为偏导数
连续→可微。

同时，偏导数存在和函数连续是可微的必要条件。

2）二元函数的极值必须满足必要条件和充分条件。

二、基本计算
一）偏导数的计算
1.偏导数值的计算有三种方法：先代后求法、先求后代法
和定义法。

2.偏导函数的计算包括简单的多元初等函数和复杂的多元
初等函数。

对于复杂的函数，可以使用链式法则，或者隐函数求导法。

3.高阶导数的计算需要注意记号表示和求导顺序。

二）全微分的计算
1.叠加原理可以用于计算全微分，即dz=∂z/∂x dx+∂z/∂y dy。

2.一阶全微分形式不变性对于自变量和中间变量均成立。

三、偏导数的应用
在优化方面，多元函数的极值和最值是常见的应用。

1.无条件极值可以用必要条件和充分条件来求解。

2.条件极值可以使用Lagrange乘数法来求解。

3.最值可以通过比较区域内部驻点处函数值和区域边界上最值的大小来确定。

多元函数微分学及其应用一.基本要求(1)理解多元函数的概念。

(2)了解二元函数的极限与连续性的概念及有界闭区域上连续函数的性质。

(3)理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件及全微分在近似计算中的应用。

(4)理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算法。

(5)掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法。

(6)会求隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的偏导数。

(7)了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它的方程。

(8)了解二元函数的二阶泰勒公式。

(9)理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会用最小二乘法求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的实际问题。

二.主要内容多元函数某些概念之间关系的比较 1. 一元函数()f x 在0x x =2. 二元函数(,)f x y 在点),(000y x P不成立重要定理定理1在有界闭区域D 上的多元连续函数，在D 上一定有最大值和最小值.定理2在有界闭区域D 上的多元连续函数，如果在D 上取得两个不同的函数值，则它在D 上必取得介于两个值之间的任何值.定理3如果),(y x f z =的两个二阶混合偏导数x y z ∂∂∂2及y x z ∂∂∂2在区域D 内连续，那么在该区域内，必有x y z ∂∂∂2=yx z∂∂∂2.定理4如果函数),(y x f z =在点),(y x 可微，则该函数在点),(y x 的偏导数必定存在，且函数),(y x f z =在点),(y x 的全微分为dy yz dx x z dz ∂∂+∂∂= 定理5如果函数),(y x f z =的偏导数x z ∂∂，yz∂∂在点),(y x 连续，则函数在该点可微.定理6设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点),(00y x 处有极值，则它在该点的偏导数必为零，即0),(00'=y x f x ，0),(00'=y x f y . 定理7设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某邻域内连续且存在二阶连续偏导数，且0),(00'=y x f x ，0),(00'=y x f y记),(00y x f A xx =，),(00y x f B xy =，),(00y x f C yy =2B AC CB BA -==∆ 则(1)当0>∆时，),(y x f 在),(00y x 处具有极值，且当0<A 时，),(00y x f 是极大值，当0>A 时，),(00y x f 是极小值； (2)当0<∆时，),(00y x f 不是极值；(3)当0=∆时，),(y x f 在),(00y x 处是否有极值不能确定. 重要公式多元复合函数求导法则空间曲面的切平面与法线方程空间曲线的切线与法平面方程多元函数极值的求法重点: 理解多元函数的基本概念定义，掌握基本概念之间的关系，会求复合函数和隐函数的偏导数。

本章目录第一节多元函数的基本概念第二节偏导数第三节全微分第四节多元复合函数的求导法则第五节隐函数的求导公式（第五节掌握的不是很好）第六节多元函数微分学的几何应用第七节方向导数与梯度第八节多元函数的极值及其解法第九节二元函数的泰勒公式几道比较好的题第一节多元函数基本概念1、基本了解∈，是在一条数轴上看定义域那么在二元中，一元函数()y f x=的定义域是x R就是在一个平面上看定义域，有(,)=（其中x，y互相没关系。

如果有关z f x y系，那么y就可以被x表示，那么就成了一元函数了），定义为二元函数2x y R∈(,)2、多元函数的邻域二元邻域三元函数邻域3、内点4、外点5、边界点边界点：点的邻域既存在外点又存在内点边界点可以看成内点，也可以看成外点，看你怎么定义了。

6、聚点邻域内存在内点则称为聚点。

可见，边界点一部分也含内点，因此内点，边界点都是聚点。

7、开集不包括边界点的内点；一元函数的开区间就是开集8包含了边界点的内点；一元函数的闭区间就是闭集9一元中有半开半闭的区间二元也是，如10、连通集连通集就是连在一起的区域。

定义是，在定义域内两点可以用折线连起来连通集与非连通集，如：11、开区域：连通的开集；闭区域：连通的闭集12、有界点集这个圆的半径可以有限充分大。

无界点集：找不到一个有限大的圆包含该区域。

如平面第一象限就是无界的点集13、二元函数的定义域图像二元定义域要有x，y的范围。

解出f1(x)<y<f2(x)(很多时候是y与x复合的函数，所以最好是化成y在一边看大于还是小于)14、二元函数的图像：空间曲面即z=f(x,y)15、多元函数极限的定义注意是去心的，去边界的圆域一元需要左极限等于右极限，二元就各个方向的极限 都要相等了。

趋近的方式有时候甚至是有技巧的，一般先用y=kx 趋近，再试试y=kx^2。

16、多元函数的连续性 设在定义域内，若lim (,)(,)00(,)(,)00f x y f x y x y x y =→则称二元函数(,)f x y 在(,)00x y 点处连续。

第8章多元函数微分学§8.1 多元函数的基本概念内容概要课后习题全解习题8-1★1.设222(,)xy f x y x y =+，求(1,)y f x。

解：222222(1,)1()yy xy x f y x x y x==++★2. 已知函数(,,)w u v f u v w u w +=+，试求(,,)f x y x y xy +-。

解： 2(,,)()()xyxf x y x y xy x y xy +-=++★★3.设()z x y f x y =++-，且当0y =时，2z x =，求()f x 。

解：将0y =代入原式得： 20(0)x x f x =++- ，故 2()f x x x =-4.求下列函数的定义域： ★（1）2ln(21)zy x =-+解：要使表达式有意义，必须 2210y x -+>∴ 所求定义域为 2{(,)|210}D x y y x =-+>★（2）z=解：要使表达式有意义，必须0x ≥， ∴{(,)|D x y x =≥★★（3）u=解：要使表达式有意义，必须11-≤≤∴{(,,)|D x y z z =≤≤★★★（4）z = 解：要使表达式有意义，必须 222224010ln(1)0ln1x y x y x y ⎧-≥⎪-->⎨⎪--≠=⎩∴ 222{(,)|01,4}D x y x y y x =<+≤≤★★（5）ln()z y x =-+解：要使表达式有意义，必须220010y x x x y ⎧->⎪≥⎨⎪-->⎩∴ 22{(,)|1,0}D x y x y x y =+<≤<5.求下列极限：★（1）10y x y →→知识点：二重极限。

思路：(1,0)为函数定义域内的点，故极限值等于函数值。

解：1ln 2ln 21y x y →→== ★★（2）00x y →→知识点：二重极限。

思路： 应用有理化方法去根号。

第五章 多元函数微分学知识点拔5.1 多元函数的概念一、二元函数的概念 1、二元函数的定义设在某一变化过程中，有三个变量y x ,和z ，如果对于变量y x ,在某一范围D 内任取一对数值，按照一定的对应法则，总有一个确定的值z 与它对应，则称变量z 是变量y x ,的二元函数，记作：),(y x f z =或),(y x z z =，其中y x ,称为自变量，z 称为因变量或称为y x ,的二元函数，变量y x ,取值范围D 称为该函数的定义域.2、二元函数的几何意义 二元函数),(y x f z =在几何上一般表示空间直角坐标系中的一个曲面.二、二元函数的极限 1、二元函数极限的定义设二元函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某去心邻域内有定义，如果动点),(y x P 在该邻域内以任何方式无限地趋于点),(000y x P 时，函数),(y x f 总是无限地趋于一个常数A ，则称A 是函数),(y x f z =在),(y x P 趋于),(000y x P 时的极限（也称二重极限），记作A y x f y y X x =→→),(lim 0或A y x f y x y x =→),(lim),(),(00，若记点),(y x P 与点),(000y x P 之间的距离为20200)()(||y y x x PP -+-==ρ，则有A y x f =→),(lim 0ρ .注释：（1）极限的几何意义：当),(y x P 在),(000y x P 附近的某个范围内变化时，函数值),(y x f 与常数A 的距离恒小于任意给定的正数ε；（2）二元函数极限存在是指：动点P 必须以任意方式趋于点0P 时，),(y x f 都无限趋于常数A ，则二元函数的二重极限存在，但即使动点P 沿过0P 的无穷多条路径趋于0P 时极限都等于A ，也不能说明0P P →时，A y x f →),( .（3）二元函数极限不存在的判定方法：如果当点),(y x P 以两种不同的方式趋于点),(000y x P 时，函数),(y x f 分别趋于不同的常数，则可以断定函数),(y x f 在点),(000y x P 处的极限不存在。

暑期培训（多元函数微分学）一、多元函数的偏导数1. f(x,y)可微，f(0,0)=0,m f x =)0,0(/，n f y =)0,0(/，)),(,()(t t f t f t =ϕ，求)0(/ϕ。

知识点：抽象的复合函数求偏导 关键：理清函数结构 答案：2m mn n ++ 难度：易2. z=z(x,y)由f(y-x, yz)=0所确定，f 对各变量的二阶偏导函数连续，求x z ∂∂，22xz ∂∂。

知识点：抽象的复合函数、隐函数求偏导关键：理清函数结构答案：/////11122/2,(,),(,);f zf f y x yz f f y x yz x yf ∂==-=-∂()()()22//////////2122211121232/22.f f f f f f f zxy f--+∂=∂难度：易 3.(,)z f x y z xyz =++，求,,.z x yx y z∂∂∂∂∂∂知识点：抽象的复合函数求偏导关键：3个变量，1个方程在一定条件下可确定一个2元函数，该2元函数的因变量可以是z ，也可以是x 或者.y答案：//////121212//////1212121;;.1f yzf f xzf f xyf zx y x f xyf y f yzf z f xzf ++--∂∂∂==-=∂--∂+∂+ 难度：易4. z=f(x,y)在（0,1）的某邻域内可微，且22),(321)1,(y x O y x y x f +=+++=+ρρ，一元函数y(x)由f(x,y)=1所确定，求)0(/y知识点：多元函数全微分的定义关键：找到两个已知条件：“z=f(x,y)在（0,1）的某邻域内可微”与“(,1)123(),f x y x y O ρρ+=+++=之间的联系，从而从已知条件中发现求)0(/y 所需要的东西。

答案：23- 难度：中 5.3(),(),,uu f xyz F t t xyz x y z∂===∂∂∂求().F t知识点：3元的抽象的复合函数求偏导 关键：理清函数结构+耐心 答案：///2(3)()3()().f t tf t t f t ++难度：易6. 2(1,1)(,),.u uu e xy u u x y x y ∂+==∂∂确定了求知识点：隐函数求偏导关键：求出2u x y∂∂∂的表达式，明确(,)(1,1)x y =时?u =答案：///2(3)()3()().f t tf t t f t ++难度：易7. ,ln )1()(x y x x y xf z -+=f 二阶可微，求-∂∂222x z x 222yz y ∂∂. 知识点：抽象的复合函数求偏导关键：处理好()y f x答案：(1).x y + 难度：易 8.2222(),x y z xyf z f++=可微，求.z z xy x y∂∂+∂∂ 知识点：抽象的复合函数求偏导 关键：理清函数结构、处理好2()f z答案：/2.1()zxyf z - 难度：易 9.(,,)u v w ϕ有二阶连续偏导数，(,)z z x y =由(,,)0bz cy cx az ay bx ϕ---=所确定，求.z za b x y∂∂+∂∂知识点：抽象的复合函数求偏导 关键：等号左边的ϕ有3个中间变量；(,)z z x y =。

第九讲 多元函数的微分一、主要知识点1．主要概念（以二元函数为主）（1）函数的极限与连续定义极限定义（εδ-定义）A y x f y y x x =→→),(lim 00：如果对于任意给定0ε>，总存在0δ>，使得对于适合不等式00pp δ<=的一切点(,)p x y ，都有ε<-A y x f ),(成立．连续函数定义 设函数),(y x f z =在区域D 内有定义，且000(,)p x y D ∈，若),(),(lim 0000y x f y x f y y x x =→→则称函数),(y x f 在点000(,)p x y 处连续． 注意：二元函数与一元函数的差异． （2）偏导数的定义设函数),(y x f z =在点),(y x p 的某邻域内有定义，函数的偏导数为0(,)(,)lim x z f x x y f x y x x ∆→∂+∆-=∂∆，0(,)(,)lim y z f x y y f x y y y∆→∂+∆-=∂∆． 注意：分段函数在分段点的偏导数用偏导数定义计算． （3）全微分定义设函数),(y x f z =在点),(y x p 的某邻域内有定义，若()z A x B y o ρ∆=∆+∆+，其中22)()(y x ∆+∆=ρ，全微分dy yzdx x z y B x A dz ∂∂+∂∂=∆+∆=． 2． 主要理论（1）定理1（求偏导数与次序无关的定理）若函数),(y x f z =的两个混合偏导数x y z y x z ∂∂∂∂∂∂22,在区域D 内连续，则xy zy x z ∂∂∂=∂∂∂22．（2）定理2（可微与偏导数存在关系定理）若函数),(y x f z =在点),(y x p 可微，则在该点处yzx z ∂∂∂∂,存在，且 dy yzdx x z dz ∂∂+∂∂=． （3）定理3（偏导连续与可微的关系定理）若函数),(y x f z =偏导数yzx z ∂∂∂∂,在点),(y x p 的某邻域内存在且连续，则),(y x f 在点),(y x p 可微．3．主要公式（1） 全导数公式设函数),(v u f z =偏导数连续，而)(),(t v t u ψϕ==导数连续，则)](),([t t f z ψϕ=的全导公式为dtdvv f dt du u f dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=． （2）显函数 ),,(z y x f u =的偏导数求u 对x 的偏导数xu∂∂时，将z y ,视作常数，利用一元函数求导公式及法则求之． 求u 对y 的偏导数yu∂∂时，将z x ,视作常数，利用一元函数求导公式及法则求之． 求u 对z 的偏导数zu∂∂时，将y x ,视作常数，利用一元函数求导公式及法则求之． （3）复合函数的偏导数1）设),(),,(),,(y x v y x u v u f z ψϕ===的偏导数连续，则)],(),,([y x y x f z ψϕ=偏导数为xv v x x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂， yv v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂． 2）设),,,(v u y x f z =，),(),,(y x v y x u ψϕ==的偏导数连续，则函数)],(),,(,,[y x y x y x f z ψϕ=的偏导数为x v v f x u u f x f x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂=∂∂，yv v f y u u f y f y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂=∂∂．注意：1）偏导函数yzx z ∂∂∂∂,的复合关系同原函数一样，求二阶偏导数方法同一阶方法类似．2）抽象函数的二阶偏导数的求法及其重要． （4）隐函数的偏导数1） 由方程0),(=y x F 确定的隐函数)(x y y =的导数公式为),(),(y x F y x F dx dyy x''-= ， (0),(≠y x F y )． 2）由方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x z z =的偏导数公式为),(),(,),(),(y x F y x F y z y x F y x F x zz y z x ''-=∂∂''-=∂∂ ， (0),(≠'y x F z )． 3）由三个变量两个方程所构成的方程组⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 确定的隐函数),(x y y =)(x z z =，求导数dx dz dx dy ,可通过解关于dxdzdx dy ,的线性方程组来完成，即解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'-=+'-='+'x z y x z y G dx dz G dxdy G F dxdz F dx dy F ''． 4）由四个变量两个方程所构成的方程组⎩⎨⎧==0),,,(0),,,(v u y x G v u y x F ， 确定的隐函数(,),(,)u u x y v v x y ==，求偏导数yvx v y u x u ∂∂∂∂∂∂∂∂,,,，可通过解关于x v x u ∂∂∂∂,),(yvy u ∂∂∂∂的线性方程组来完成，即解方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'-=∂∂+∂∂''-=∂∂'+∂∂'x v u x v u G x v G xu G F xv F x u F ' ， ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'-=∂∂'+∂∂''-=∂∂'+∂∂'y v u y v u G y v G y u G F y vF y u F ． 4．主要计算方法（1）显函数求偏导数的方法（包含二阶偏导数，抽象函数）； （2）隐函数求偏导数的方法（包含二阶偏导数，抽象函数，方程组）；二、例题分析1．二元函数极限、连续、偏导数与全微分之间的联系例1．设223222(,)()0x y f x y x y ⎧⎪=⎨+⎪⎩2222,0,0x y x y +≠+=，证明函数),(y x f 在点)0,0(连续且偏导数存在，但不可微分． 证明：（1）证明连续性因为32240cos sin 232222)0,0(),()0,0(),(cos sin lim )(lim),(lim rr y x yx y x f r r x r y y x y x θθθθ→==→→====+=2220lim sin cos 0r r θθ→==)0,0(f =． 所以),(y x f 在点)0,0(连续．（2）证明偏导数存在．因为 232200()0(0,0)(0,0)(()0)(0,0)limlim 0x x x x f x f x f x x∆→∆→∆⋅-+∆-∆+'===∆∆22200()0(0,0)(0,0)(0())(0,0)limlim 0y y y y f y f y f y y∆→∆→⋅∆-+∆-+∆'===∆∆所以函数(,)(0,0)f x y 在处偏导数存在且为0． （3）证明(,)f x y 在点(0,0)不可微．因为 223222()()[(0,0)(0,0)][()()]x y x y z f x f y z x y ∆∆''∆-∆-∆=∆=∆+∆，所以41])(2[)(lim ])()[()()(lim ])()[()()(lim224,0222220,02322220,0=∆∆=∆+∆∆∆=∆+∆∆∆∆=∆→∆→∆→∆→∆→∆x x y x y x y x y x x y x y x y x ρ于是函数)0,0(),(o y x f 在点不可微．说明：通常判断函数(,)f x y 在点00(,)x y 是否可微，可以按以下步骤考虑：（1）考察函数(,)f x y 在点00(,)x y 是否连续．若不连续，则函数(,)f x y 在点00(,)x y 不可微；（2）若函数(,)f x y 在点00(,)x y 连续，再考察偏导数0000(,),(,)x y f x y f x y 是否存在．若两个偏导数有一个不存在，则函数(,)f x y 在点00(,)x y 不可微；（3）若函数(,)f x y 在点00(,)x y 连续，偏导数0000(,),(,)x y f x y f x y 存在，再考察偏导数0000(,),(,)x y f x y f x y 是否连续，若偏导数0000(,),(,)x y f x y f x y 连续，则函数(,)f x y 在点00(,)x y 可微；（4）若偏导数0000(,),(,)x y f x y f x y 不连续，则利用全微分定义判别，如例1．练习题：设222222(0(,)00x y x y f x y x y ⎧++≠⎪=⎨⎪+=⎩，证明函数),(y x f 在点)0,0(连续且偏导数存在，但是偏导数在点)0,0(不连续，而函数点)0,0(可微分．二元函数),(y x f z =连续，偏导存在与可微三者关系函数连续 偏导数存在2．多元复合显函数求导问题例2．设函数(,,)f x y z 是k 次齐次函数，即(,,)(,,)kf tx ty tz t f x y z =，k 为某一常数，求证：(,,)f f f xy z kf x y z x y z∂∂∂++=∂∂∂． 证明：令,,u tx v ty w tz ===，则(,,)(,,)k f tx ty tz t f x y z =化为(,,)(,,)k f u v w t f x y z =，上式两边对t 求导得1(,,)k f u f v f wkt f x y z u t v t w t -∂∂∂∂∂∂++=∂∂∂∂∂∂， 又 ,u v w x y z t t t ∂∂∂===∂∂∂ 有 1(,,)k f f f x y z k t f x y z u v w-∂∂∂++=∂∂∂上式两边同乘以t ，得(,,)k f f f txty tz kt f x y z u v w ∂∂∂++=∂∂∂ 即有 (,,)f f f u v w kf u v w u v w∂∂∂++=∂∂∂ 于是得 (,,)f f fxy z kf x y z x y z∂∂∂++=∂∂∂． 例3．已知函数(,)u u x y =，满足方程2222()0u u u u a x y x y∂∂∂∂-++=∂∂∂∂ （1）试选择参数α，β，利用变量(,)(,)x y u x y v x y e αβ+=，将原方程变形使得新方程中不含一阶偏导数项；（2）再令x y ξ=+，x y η=-，使新方程变换形式 解：（1）()x y x y x y u v v e v e v e x x xαβαβαβαα+++∂∂∂=+=+∂∂∂ 2222()()x y x y u v v ve v e x x x xαβαβααα++∂∂∂∂=+++∂∂∂∂ 222(2)x y v vv e x xαβαα+∂∂=++∂∂， ()x y u vv e y yαββ+∂∂=+∂∂， 22222(2)x yu v v v e y y yαβββ+∂∂∂=++∂∂∂ 将上述式子代入已知方程中，消去x yeαβ+变得到222222(2)(2)()0u u v va a a a v x y x yαβαβαβ∂∂∂∂-+++-++-++=∂∂∂∂， 由题意，令2020a a αβ+=⎧⎨-+=⎩，解出22a a αβ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故原方程为 22220u ux y∂∂-=∂∂．（2）令x y ξ=+，x y η=-，则v v v v vx x x ξηξηξη∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂， v v v v vy y y ξηξηξη∂∂∂∂∂∂∂=+=-∂∂∂∂∂∂∂ 22222222v v v v v x x x x xξηξηξξηξηη∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 222222v v vξξηη∂∂∂=++∂∂∂∂ 同理 2222222v v v v y ξξηη∂∂∂∂=-+∂∂∂∂∂ 将上面式子代入22220u ux y∂∂-=∂∂中得到20vξη∂=∂∂． 例4．证明：若u =20d u ≥．（二阶全微分）记号：222222(),(),()dx dx dy dy dz dz ===，()0,()0,()0d dx d dy d dz ===． 证明：因为一阶全微分为xdx ydy zdzdu u++=则 22222()()u dx dy dz xdx ydy zdz dud u u++-++= 2222()()xdx ydy zdzu dx dy dz xdx ydy zdz u u ++++-++=222223()()u dx dy dz xdx ydy zdz u ++-++=22222223()()()x y z dx dy dz xdx ydy zdz u++++-++= 2223()()()0xdy ydx ydz zdy zdx xdz u -+-+-=≥于是有20d u ≥．练习题：1．设函数(,,),(,,),(,),(,)u f x y z x z s t y x t z s t ϕψω====偏导数存在，求,u u s t∂∂∂∂． 2．设函数(,)()z f x y x y g x ky =-+++，其中,f g 具有二阶连续偏导数，且"0g ≠，如果222"222224z z z f x x y y∂∂∂++=∂∂∂∂，求常数k 的值．（2120k k ++=，故1k =-） 3．设z =，求二阶全微分20d z ≥．（222223222()()()()x y dx dy xdx ydy x y ++-++）3．隐函数的求导问题例5．设),(t x f y =，而t 是由方程0),,(=t y x G 所确定的y x ,的隐函数，求dxdy（其中),,(),,(t y x G t x f 为可微函数）．解：设方程组⎩⎨⎧==0),,(),(t y x G t x f y 确定t y ,皆为x 的函数，将方程组对x 求导数，得0x t dy t f f dx x G G dy G tx y dx t x∂⎧''=+⎪∂⎪⎨∂∂∂∂⎪++=∂∂∂∂⎪⎩或 t x dy tf f dx xG dy G t G ydx t x x∂⎧''-=⎪∂⎪⎨∂∂∂∂⎪+=-∂∂∂∂⎪⎩解方程组，得1x t x t t t f f G G G G f f dy x t t x G G f dx f t y G Gy t''-∂∂∂∂-''-∂∂∂∂==∂∂'-'+∂∂∂∂∂∂． 例6．设(,,)u f x y z =，2(,,)0yx e z ϕ=，sin y x =，其中,f ϕ具有一阶连续偏导数，且0x ϕ∂≠∂，求dudx． 解：这是有显函数，隐函数构成的复合函数的求导问题，x yzxyxu从复合关系图看出复合关系后求导，有x y z du u u dy u dz dy dz f f f dx x y dx z dx dx dx∂∂∂'''=++=++∂∂∂ 由2(,,)0y x e z ϕ=两边对x 求导，得12320ydy dzx e dx dxϕϕϕ'''++= ， 又cos dyx dx=，代入上式得 1231(2cos )y dz x e x dx ϕϕϕ''=-+'于是123cos (2cos )y z x y f duf f x x e x dx ϕϕϕ'''''=+-+'． 例7．设(,)z z x y =是由方程(,)z z f xy e =确定的隐函数，求偏导数,z zx y∂∂∂∂． 解法1：设(,,)(,)z F x y z f xy e z =-，求偏导数1x F f y''=⋅，1y F f x ''=⋅，21z z F f e '=⋅-， 应用公式得112211x z zz F yf yf zx F f e e f '''∂=-=-='''∂--，112211y z zz F xf xf zy F f e e f '''∂=-=-='''∂--． 方法2：直接应用复合函数求导法则，方程两边关于x 求偏导数，此时z 是,x y 得函数，于是12(,)(,)z z z z zf xy e y f xy e e x x∂∂''=⋅+⋅∂∂， 从上述方程中解出z x ∂∂，即得121z yf zx e f '∂='∂-．方程两边关于y 求偏导数，此时z 是,x y 得函数， 于是12(,)(,)z z z z z f xy e x f xy e e y y∂∂''=⋅+⋅∂∂，从上述方程中解出z y ∂∂，即得121zxf zy e f '∂='∂-． 方法3：应用一阶全微分形式不变性12(,)()z z dz df xy e f d xy f de ''==⋅+⋅ 112z f ydx f xdy f e dz '''=⋅+⋅+⋅，移项得 211(1)zf e d z y f d x x f d y '''-⋅=⋅+⋅， 解出112211z zyf yf dz dx dy e f e f ''=+''--， 因此121z yf z x e f '∂='∂-，121z xf zy e f '∂='∂-． 例8．设sin ,sin u xu v x y v y+=+=，求22,,,du dv d u d v ． 解：方程组sin sin u v x yy u x v+=+⎧⎨=⎩对x 求微分，得sin cos sin cos du dv dx dy udy y udu vdx x vdv +=+⎧⎨+=+⎩（1）解方程组的1[(sin cos )(sin cos )]cos cos du v x v dx u x v dy x v y u=+--+1[(sin cos )(sin cos )]cos cos dv u y u dy v y u dx x v y u=+--+（1） 式方程组再微分一次，得222222cos 2cos sin cos 2cos sin d u d v y ud u udydu y udu x vd v vdxdv x vdv⎧+=⎨+-=+-⎩ （2） 解方程组（2），得221[(2cos sin )(2cos sin )]cos cos d u d v vdx x vdv dv udy y udu du x v y u=-=---+．例9．设函数(,)z f x y =有连续的一阶偏导数，(,)w w u v =是由方程组2211w x y u x y v x y z e++⎧=+⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎩所确定的隐函数，试将方程()()z z y x y x z x y x y∂∂-=-≠∂∂化为,w w u v ∂∂∂∂所满足的关系式． 解：由方程组可以看出(,,),(,)w x y z f x y w e w w u v ++===，则1321()(2)w x y w x y z w u w v w w z z e e x x u x v x u x v++++∂∂∂∂∂∂∂=++=+-∂∂∂∂∂∂∂ 2321()(2)w x y w x y z w u w v w w z z e e y y u y v y u y v++++∂∂∂∂∂∂∂=++=+-∂∂∂∂∂∂∂ 因此 左边22()()w x y y x z z v y x∂=-+-∂，右边()y x z =-， 于是方程()()z z y x y x z x y x y∂∂-=-≠∂∂化为 22()0w x y z v y x∂-=∂， 又由于3322220x y x y y x x y--=≠，故0w v ∂=∂． 例10．设)(u f 有连续的二阶导数，且)sin (y e f z x=满足方程z e y z x z x 22222=∂∂+∂∂，求)(u f ．解：设sin xu e y =，则 '()'()sin '()x z u f u f u e y uf u x x∂∂===∂∂， '()'()cos x z u f u f u e y y y∂∂==∂∂， 222"()'()z f u u f u u x∂=+∂，（u u x ∂=∂）， 2222'()sin cos "()'()"()cos x x x z u f u e y e yf u uf u f u e y y y∂∂=-+=-+∂∂，所以 22222"()x z z e f u x y∂∂+=∂∂． 由已知条件，得22"()()x x e f u e f u =，即"()()0f u f u -=，这是二阶常系数线性微分方程，其特征方程为210r -=，特征根为1r =±，则12()u u f u c e c e -=+为所求．练习题：1．已知ty y e x =+，而t 是由方程2221y t x +-=所确定的,x y 的函数，求dy dx． （22()tytydy t xye dx t y t e +=+-） 2．设2222221x y z a b c++=，求全微分2,dz d z ． 3．设函数222),(z y x r r f u ++==，在0>r 内满足0222222=∂∂+∂∂+∂∂zu y u x u ， 其中)(r f 为二阶可导函数，且1)1()1(='=f f ，试将方程化为以y 为自变量的常微分方程，并求)(r f ．（1()2f r r=-+）。

《数学分析》第四章多元函数微分学第四章多元函数微分学一、本章知识脉络框图极限连续重极限与累次极限基本概念有界性极限存在的判别方法极值和最值基本性质极限与连续介值性偏导数可微性概念可微和连续可微的必要条件可微的充分条件复合函数微分隐函数微分计算参数方程微分多元函数微分学全微分（三元为例）df=f x dx+f y dy+f z dz 条件极值应用高阶导数与微分多元极值切线、法线、法平面、切平面泰勒公式二、本章重点及难点本章需要重点掌握以下几个方面内容：● 偏导数、全微分及其几何意义，可微与偏导存在、连续之间的关系，复合函数的偏导数与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，高阶偏导数，混合偏导数与顺序无关性，二元函数中值定理与Taylor 公式.● 隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数（组）求导方法、反函数组与坐标变换. ● 几何应用（平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线. ● 极值问题（必要条件与充分条件），条件极值与Lagrange 乘数法.三、本章的基本知识要点(一)平面点集与多元函数1.任意一点A 与任意点集E 的关系.1) 内点. 若存在点A 的某邻域()U A ，使得()U A E ?，则称点A 是点集E 的内点。

2) 外点. 若存在点A 的某邻域()U A ，使得()U A E ?=?，则称点A 是点集E 的外点。

3) 界点（边界点）. 若在点A 的任何邻域内既含有属于E 得的点，又含有不属于E 的点，则称点A 是点集E 的界点。

4) 聚点. 若在点A 的任何空心邻域()oUA 内部都含有E 中的点，则称点A 是点集E的聚点。

5) 孤立点. 若点A E ∈，但不是E 的聚点，则称点A 是点集E 的孤立点。

2. 几种特殊的平面点集.1) 开集. 若平面点集E 所属的每一点都是E 的内点，则称E 为开集。

2）闭集. 若平面点集E 的所有聚点都属于E ，则称E 为闭集。

第四章 多元函数微分学一、本章知识脉络框图极 限 连 续重极限与累次极限 基本概念有 界 性极限存在的判别方法极值和最值 基本性质极限与连续介 值 性偏 导 数可 微 性概念可微和连续可微的必要条件可微的充分条件 复合函数微分隐函数微分计 算参数方程微分多元函数微分学全微分（三元为例）df=f x dx+f y dy+f z dz 条件极值应 用高阶导数与微分多元极值切线、法线、法平面、切平面泰勒公式二、本章重点及难点本章需要重点掌握以下几个方面内容：● 偏导数、全微分及其几何意义，可微与偏导存在、连续之间的关系，复合函数的偏导数与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，高阶偏导数，混合偏导数与顺序无关性，二元函数中值定理与Taylor 公式.● 隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数（组）求导方法、反函数组与坐标变换. ● 几何应用（平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线. ● 极值问题（必要条件与充分条件），条件极值与Lagrange 乘数法.三、本章的基本知识要点(一)平面点集与多元函数1.任意一点A 与任意点集E 的关系.1) 内点. 若存在点A 的某邻域()U A ，使得()U A E ⊂，则称点A 是点集E 的内点。

2) 外点. 若存在点A 的某邻域()U A ，使得()U A E ⋂=∅，则称点A 是点集E 的外点。

3) 界点（边界点）. 若在点A 的任何邻域内既含有属于E 得的点，又含有不属于E 的点，则称点A 是点集E 的界点。

4) 聚点. 若在点A 的任何空心邻域()oUA 内部都含有E 中的点，则称点A 是点集E的聚点。

5) 孤立点. 若点A E ∈，但不是E 的聚点，则称点A 是点集E 的孤立点。

2. 几种特殊的平面点集.1) 开集. 若平面点集E 所属的每一点都是E 的内点，则称E 为开集。

2）闭集. 若平面点集E 的所有聚点都属于E ，则称E 为闭集。

多元函数微分学1、极限与连续性平面上的点列的极限：设{}n M 为平面点列，20M R ∈，若()0lim ,0n M M ρ=，则称{}n M 是收敛点列，0M 是点列的极限，记做0lim n n M M→∞=（00lim ,lim n n x x y y ⇔==）。

极限：设n 元函数()f P ，n P D R ∈⊂，0P 是D 的聚点，若存在常数A ，对0ε∀>，0,δ∃>对一切0(,δ)oP D U P ∈ ，有()f P A ε-<，则称常数A 为函数()f x 当0P P →时的极限，记做()0lim P P f P A →=（也叫n 重极限）。

二元函数的极限可写作：()()000,lim (,)lim (,)lim (,)x x x y x y y y f x y f x y f x y A ρ→→→→→===。

连续性：0M 为D 的聚点时，0lim ()()M M f M f M →=；或0M 为D 的孤立点时，也是连续点。

2、微分和偏导数微分：0000(,)(,)()f x x y y f x y A x B y o ρ+∆+∆-=∆+∆+⇒00(,)dz df x y A x B y ==∆+∆。

偏导数：设(),z f x y =在点()000,M x y 的某邻域中有极限00000(,)(,)lim x f x x y f x y x∆→+∆-∆（将y 当作常数）存在，则称此极限高 数多元函数微分学知识点速记为函数(),z f x y =在点()000,M x y 对x 的偏导数，即0000000(,)(,)(,)limx x f x x y f x y f x y x∆→+∆-'=∆；同理，函数(),z f x y =在点()000,M x y 对y 的偏导数0000000(,)(,)(,)limy y f x y y f x y f x y y∆→+∆-'=∆。

第9章多元函数微分学知识点总结1.多元函数的偏导数：-定义：对于多元函数来说，当变量除了要考虑沿着自变量方向变化外，还要考虑其他自变量是否保持不变，用偏导数来表示。

-计算方法：求各个偏微分时，将其他自变量视为常数，只对需要求的变量求导即可。

2.全微分：-定义：全微分是多元函数在其中一点上沿各个偏导数方向的和所对应的微分形式。

-计算方法：使用偏导数对各个自变量求导数，并乘以相应的变化量，再相加得到全微分。

3.方向导数：-定义：方向导数是函数在其中一点上沿着指定方向的变化率，表征了函数沿着该方向上变化的快慢程度。

-计算方法：先对多元函数求偏导数，然后将其与方向向量进行点积运算，再乘以方向向量的模长。

4.梯度：-定义：梯度是一个向量，其方向是函数在其中一点增大最快的方向，大小表示函数在该点变化率的大小。

-计算方法：求多元函数在其中一点的各个偏导数，并写成一个向量，即为该点的梯度。

5.方向导数与梯度的关系：-定理：函数在其中一点上的方向导数等于该点的梯度向量与方向向量的点积。

6.极值点：-定义：多元函数的极值点是指函数取得极大值或极小值的点。

-判定方法：通过求偏导数等于零的点，再利用二阶导数进行判定。

7.拉格朗日乘数法：-定义：拉格朗日乘数法是求解给定条件下多元函数的极值问题的一种方法。

-使用方法：通过构造拉格朗日函数，利用偏导数为零和给定条件进行求解。

8.海森矩阵：-定义：海森矩阵是多元函数的二次导数在其中一点上的矩阵形式。

-计算方法：对多元函数的各个偏导数再次求偏导数，并按照顺序组成矩阵。

9.二次型：-定义：二次型是多元函数二阶偏导数在其中一点上的二次齐次多项式。

-判定方法：通过海森矩阵的特征值进行判别，判断其正负来决定函数在该点上的行为。

以上是第9章多元函数微分学的主要知识点总结。

掌握了这些知识点，我们可以更好地理解多元函数的变化规律，求解问题时也能够更有效地运用微分学的方法进行分析和计算。

大一高数下册知识点及题目大一高数下册是学习高等数学的重要阶段，本文将针对该学期的知识点和相关题目进行介绍和讨论。

下面将按照章节的顺序，逐一介绍相关知识点，并附带一些相关题目供学习参考。

第一章：多元函数微分学1.1 偏导数偏导数是多元函数微分学的基本概念，表示函数对某个自变量的变化率。

求解偏导数的方法主要有几何法和代数法。

举例如下：题目1：求函数z=3x^2+2xy-4y的关于x的偏导数。

题目2：求函数z=sinx+cosy的关于y的偏导数。

1.2 隐函数与参数方程隐函数和参数方程是描述二维曲线的常见方法，掌握它们可以帮助我们研究曲线的性质。

下面是两个相关题目：题目1：已知曲线的方程为x^2+y^2=4，求曲线上某点处的切线方程。

题目2：已知参数方程x=t^2，y=t+1，求该曲线上的切线方程。

第二章：多元函数微分学的应用2.1 总微分和偏导数的应用通过总微分和偏导数的应用，可以求解相关函数在某个点处的线性逼近值以及误差估计。

以下是两个典型问题：题目1：给定函数f(x,y)=xy+sinx，求函数在(0,0)处的线性逼近值。

题目2：已知函数z=f(x,y)由方程x^2+y^2+z^2=9确定，求z在点(2,1,2√2)处的线性逼近值。

2.2 多元函数的极值与最值对于多元函数，求解其极值和最值是重要的研究方向。

常用方法有条件极值和非条件极值的求解。

下列为两个实例：题目1：求解函数f(x,y)=x^2+y^2-2x-6y的极值点。

题目2：在条件x^2+y^2=1下，求解函数f(x,y)=x^2+4y^2-2x的最大值和最小值。

第三章：重积分3.1 二重积分二重积分是计算平面区域上某个函数的平均值、面积等相关问题的数学工具。

以下是两个相关题目：题目1：计算函数f(x,y)=xy在区域D={(x,y)|0≤x≤1，0≤y≤2}上的二重积分值。

题目2：计算函数f(x,y)=x^2+y^2在极坐标下区域D={(r,θ)|0≤θ≤π/2，0≤r≤1}上的二重积分值。