第八章 多元函数微分法及其应用第一讲 多元函数的基本概念授课题目：§8.1多元函数的基本概念教学目的与要求：1、理解多元函数的概念．2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质．教学重点与难点：重点：多元函数的概念、二元函数的极限和连续的概念． 讲授内容：一、平面点集 n 维空间1、平面点集平面上一切点的集合称为二维空间, 记为R 2 即R 2=R ⨯R={(x , y )：x , y ∈R }坐标平面上具有某种性质P 的点的集合, 称为平面点集，记作E ={(x , y )：(x , y )具有性质P }.例如，平面上以原点为中心、r 为半径的圆内所有点的集合是C ={(x , y )：x 2+y 2<r 2}.如果我们以点P 表示(x , y ), 以|OP |表示点P 到原点O 的距离, 那么集合C 可表成C ={P ：|OP |<r }.回顾数轴上点的邻域。
邻域：设P 0(x 0, y 0)是xOy 平面上的一个点，δ是某一正数，与点P 0(x 0, y 0)距离小于δ的点P (x , y )的全体，称为点P 0的δ邻域，记为U (P 0, δ)，即}||{),(00δδ<=PP P P U ：或 })()(),{(),(20200 y y x x y x P U δδ<-+-=：. 点P 0的去心δ邻域, 记作) ,(0δP U ，即 }||0{),(00δδ<<=P P P P U ：.如果不需要强调邻域的半径δ, 则用U (P 0)表示点P 0的某个邻域, 点P 0的去心邻域记作)(0P U．.点与点集之间的关系：任意一点P ∈R 2与任意一个点集E ⊂R 2之间必有以下三种关系中的一种：（1）内点：如果存在点P 的某一邻域U (P ), 使得U (P )⊂E , 则称P 为E 的内点．（2）外点：如果存在点P 的某个邻域U (P ), 使得U (P )⋂E =∅, 则称P 为E 的外点．（3）边界点：如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点, 也有不属于E 的点, 则称P 点为E 的边点．E 的边界点的全体, 称为E 的边界, 记作∂E ．E 的内点必属于E ; E 的外点必定不属于E ; 而E 的边界点可能属于E , 也可能不属于E ．（4）聚点：如果对于任意给定的δ>0, 点P 的去心邻域),(δP U 内总有E 中的点, 则称P 是E 的聚点．由聚点的定义可知, 点集E 的聚点P 本身, 可以属于E , 也可能不属于E ．例如, 设平面点集E ={(x , y )|1<x 2+y 2≤2}.，则满足1<x 2+y 2<2的一切点(x , y )都是E 的内点；满足x 2+y 2=1的一切点(x , y )都是E 的边界点；它们都不属于E ；满足x 2+y 2=2的一切点(x , y )也是E 的边界点；它们都属于E ；点集E 以及它的界边∂E 上的一切点都是E 的聚点．开集：如果点集E 的点都是内点, 则称E 为开集．闭集：如果点集的余集E c 为开集, 则称E 为闭集．例如，E ={(x , y )|1<x 2+y 2<2}是开集；E ={(x , y )|1≤x 2+y 2≤2}是闭集； 集合{(x , y )|1<x 2+y 2≤2}既非开集, 也非闭集．连通性：如果点集E 内任何两点, 都可用折线连结起来, 且该折线上的点都属于E , 则称E 为连通集．区域(或开区域)：连通的开集称为区域或开区域．例如，E ={(x , y )|1<x 2+y 2<2}是区域．闭区域：开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域． 例如，E = {(x , y )|1≤x 2+y 2≤2}．有界集：对于平面点集E , 如果存在某一正数r ，使得E ⊂U (O , r ),其中O 是坐标原点, 则称E 为有界点集．无界集：一个集合如果不是有界集，就称这集合为无界集．例如，集合{(x , y )|1≤x 2+y 2≤2}是有界闭区域；集合{(x , y )| x +y >1}是无界开区域；集合{(x , y )| x +y ≥1}是无界闭区域.．2．n 维空间设n 为取定的一个自然数，我们用表示n 元有序数组(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )的全体所构成的集合记为R n ，即R n =R ⨯R ⨯⋅ ⋅ ⋅⨯R ={(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )：x i ∈R ，i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n }.这样定义了线性运算的集合R n 称为n 维空间．R n 中点x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )与点y =(y 1, y 2, ⋅ ⋅ ⋅ , y n )之间的距离，记作ρ(x , y ), 规定2222211)( )()(),(n n y x y x y x -+⋅⋅⋅+-+-=y x ρ．R n 中元素x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )与零元0之间的距离ρ(x , 0)记作||x ||(在R 1、R 2、R 3中，通常将||x ||记作|x |), 即22221 ||||nx x x ⋅⋅⋅++=x ． 采用这一记号，结合向量的线性运算, 便得),()( )()(||||2222211y x y x ρ=-+⋅⋅⋅+-+-=-n n y x y x y x ．二、多元函数概念回顾一元函数的概念。
例１ 圆柱体的体积V 和它的底半径r 、高h 之间具有关系V =πr 2h .这里, 当r 、h 在集合{(r , h )：r >0，h >0}内取定一对值(r ，h )时，V 对应的值就随之确定.．例2 一定量的理想气体的压强p 、体积V 和绝对温度T 之间具有关系 VRT p =, 其中R 为常数．这里，当V 、T 在集合{(V ,T )：V >0, T >0}内取定一对值(V , T )时，p 的对应值就随之确定.．例3 设R 是电阻R 1、R 2并联后的总电阻, 由电学知道, 它们之间具有关系2121R R R R R +=. 这里，当R 1、R 2在集合{( R 1, R 2)：R 1>0, R 2>0}内取定一对值(R 1，R 2)时, R 的对应值就随之确定.．定义1 设D 是R 2的一个非空子集，称映射f ：D →R 为定义在D 上的二元函数，通常记为z =f (x , y )，(x , y )∈D或 z =f (P )，P ∈D其中点集D 称为该函数的定义域．x 、y 称为自变量，z 称为因变量． 上述定义中，与自变量x 、y 的一对值(x ，y )相对应的因变量z 的值，也称为f 在点(x , y )处的函数值，记作f (x , y ), 即z =f (x , y )．值域：f (D )={z | z =f (x , y ), (x , y )∈D }．类似地可定义三元函数u =f (x , y , z )，(x , y , z )∈D 以及三元以上的函数． 一般地，D 是n 维空间R n 内的点集，映射f ：D →R 就称为定义在D 上的n 元函数，通常记为u =f (x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )，(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )∈D ,可简记为u =f (x )，x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )∈D ,或记为u =f (P )，P (x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )∈D ．自然定义域：约定在一般地讨论用算式表达的多元函数u =f (x )时，就以使这个算式有意义的变元x 的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域．例如，函数z =ln(x +y )的定义域为{(x , y )|x +y >0}(无界开区域)；函数z =arcsin(x 2+y 2)的定义域为{(x , y )：x 2+y 2≤1}(有界闭区域).二元函数的图形：点集{(x , y , z )：z =f (x , y ), (x , y )∈D }称为二元函数z =f (x , y )的图形．二元函数的图形是一张曲面．例如，z =ax +by +c 是一张平面，而函数z =x 2+y 2的图形是旋转抛物面． 课堂练习：习题8－1：1，2，3，4，5三、多元函数的极限回顾一元函数的极限概念定义2 设二元函数f (P )=f (x , y )的定义域为D , P 0(x 0, y 0)是D 的聚点. 如果存在常数A , 对于任意给定的正数ε，总存在正数δ, 使得当),(),(0δP U D y x P ⋂∈时, 都有|f (P )-A |=|f (x , y )-A |<ε成立, 则称常数A 为函数f (x , y )当(x , y )→(x 0, y 0)时的极限, 记为A y x f y x y x =→),(lim ),(),(00 或 f (x , y )→A ((x , y )→(x 0, y 0)),也记作A P f P P =→)(lim 0 或 f (P )→A (P →P 0).上述定义的极限也称为二重极限.例4. 证明0lim 22)0,0(),(=+→y x xy y x .证 因为 )(21)(|0|2222222122y x y x y x y x xy+=++≤-+, 可见，对∀ε >0, 取εδ2=, 则当δ<-+-<22)0()0(0y x ,即),(),(δO U D y x P ⋂∈时, 总有 |22y x xy+-0|<ε,因此. 0lim 22)0,0(),(=+→y x xy y x注意：(1)二重极限存在, 是指P 以任何方式趋于P 0时, 函数都无限接近于A .(2)如果当P 以两种不同方式趋于P 0时, 函数趋于不同的值, 则函数的极限不存在.例5 证明极限 242)0,0(),(lim y x y x y x +→不存在． 证：当点P (x , y )沿y 轴趋于点(0, 0)时,00lim lim 20242)0,0(),(==+→→y y x y x y y x ; 当点P (x , y )沿y 轴趋于点(0, 0)时,00lim ) ,0(lim ),(lim 00)0,0(),(===→→→y y y x y f y x f . 当点P (x , y )沿曲线y =2x 趋于点(0, 0)时21lim lim 44220242)0,0(),(=+=+→=→x x x x y x y x x kxy y x . 因此, 函数f (x , y )在(0, 0)处无极限.课堂练习：习题8－1：7（1）二元函数的极限概念，可相应地推广到n 元函数．多元函数的极限运算，有与一元函数类似的类似的运算法则．例6 求极限11lim )0,0(),(-+→xy xy y x解： xy xy xy xy xyy x y x )11(lim 11lim )0,0(),()0,0(),(++=-+→→. 2)11(lim )0,0(),(=++=→xy y x课堂练习：习题8－1：6（6）四 多元函数的连续性回顾一元函数的连续性概念定义3 设二元函数f (P )=f (x , y ) 的定义域为D ，P 0(x 0, y 0)为D 的聚点, 且P 0∈D ，如果),(),(lim 00),(),(00y x f y x f y x y x =→,则称函数f (x , y )在点P 0(x 0, y 0)连续.如果函数f (x , y )在D 的每一点都连续, 那么就称函数f (x , y )在D 上连续, 或者称f (x , y )是D 上的连续函数.二元函数的连续性概念可相应地推广到n 元函数f (P )上去. 例7 设f (x ,y )=sin x , 证明f (x , y )是R 2上的连续函数.证 设P 0(x 0, y 0)∈ R 2.，由于sin x 在x 0处连续, 故对∀ε>0，∃δ>0, 当|x -x 0|<δ时, 有|sin x -sin x 0|<ε.以上述δ作P 0的δ邻域U (P 0, δ), 则当P (x , y )∈U (P 0, δ)时, 显然|0x x -|≤δρ<),(0P P即f (x , y )=sin x 在点P 0(x 0, y 0) 连续. 由P 0的任意性知, sin x 作为x , y 的二元函数在R 2上连续.类似的讨论可知, 一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时, 它们在各自的定义域内都是连续的.定义4 设函数f (x , y )的定义域为D , P 0(x 0, y 0)是D 的聚点. 如果函数f (x , y )在点P 0(x 0, y 0)不连续, 则称P 0(x 0, y 0)为函数f (x , y )的间断点.例如, 函数242),(y x y x y x f += 其定义域D =R 2, O (0, 0)是D 的聚点. f (x , y )当(x , y )→(0, 0)时的极限不存在, 所以点O (0, 0)是该函数的一个间断点.又如, 函数11sin 22-+=y x z , 其定义域为D ={(x , y )|x 2+y 2≠1}, 圆周C ={(x , y )|x 2+y 2=1}上的点都是D 的聚点, 而f (x , y )在C 上没有定义, 当然f (x , y )在C 上各点都不连续, 所以圆周C 上各点都是该函数的间断点. 注: 间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点.可以证明, 多元连续函数的和、差、积仍为连续函数; 连续函数的商在分母不为零处仍连续; 多元连续函数的复合函数也是连续函数.多元初等函数: 与一元初等函数类似, 多元初等函数是指可用一个式子所表示的多元函数, 这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的.例如，2221y y x x +-+, sin(x +y ), 222z y x e ++都是多元初等函数. 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的. 所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域.由多元连续函数的连续性, 如果要求多元连续函数f (P )在点P 0处的极限, 而该点又在此函数的定义区域内, 则)()(lim 00P f P f p p =→.例8 求22)0,1(),()ln(lim y x e x y y x ++→. 解: 函数22)ln(),(y x e x y x f y ++=是初等函数, 它的定义域为D ={(x , y )：x ≠0, y ≠0}.P 0(1，0)为D 的内点, 故存在P 0的某一邻域U (P 0)⊂D , 而任何邻域都是区域, 所以U (P 0)是f (x , y )的一个定义区域, 因此. 2ln 01)1ln()ln(lim 22022)0,1(),(=++=++→e y x e x y y x一般地, 求)(lim 0P f P P →时, 如果f (P )是初等函数, 且P 0是f (P )的定义域的内点, 则f (P )在点P 0处连续, 于是)()(lim 00P f P f P P =→.多元连续函数的性质：性质1 (有界性与最大值最小值定理)在有界闭区域D 上的多元连续函数, 必定在D 上有界, 且能取得它的最大值和最小值.性质1就是说, 若f (P )在有界闭区域D 上连续, 则必定存在常数M >0, 使得对一切P ∈D , 有|f (P )|≤M ; 且存在P 1、P 2∈D , 使得f (P 1)=max{f (P )|P ∈D }, f (P 2)=min{f (P )|P ∈D },性质2 (介值定理) 在有界闭区域D 上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值.课外作业： 习题P 12-6（3）；P 18-1（2）（3）。
