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实变函数测试题1参考答案

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实变函数测试题1
本试题参考答案由08统计班15号 李维提供 有问题联系
1、设 212(0,1/),(0,),0,1,2...,nnAnAnnn求出集列{A}的上限集和下限集合。

2、证明:()fx为[,]ab上连续函数的充分必要条件就是对任意实数c,集()Exfxc与

1
()Exfxc
都就是闭集。

3、设nRE就是任意可测集,则一定存在可测集G型集G,使得EG,且

0EGm

4、设,nABR,AB可测,且mAB,若**mABmAmB,则,AB皆
可测。
5、写出鲁津定理及其逆定理。并证明鲁津定理的逆定理。

6、设)(xf就是E上的可测函数,G为开集,F为闭集,试问])(|[GxfxE与

])(|[FxfxE
就是否就是可测集,为什么？

7、设在Cantor集0P上定义函数()fx=0,而在0P的余集中长为13n的构成区间上定义为
n
(1,2,3,n),试证()fx可积分,并求出积分值。

8、设nf为E上非负可积函数列,若lim()0,nEnfxdx则()0nfx。
9、设)(xf就是E上a、e、 有限的可测函数,mE。试证明对0,存在E上a、e、
有界的可测函数)(xg,使得 ]0|[|gfmE。
10、求证
1
2
0

111ln1()pn

x
dx
xxpn
, (1)p。

解答:
1. 解:,0limnnA;设,0x,则存在N,使xN,因此nN时,0xn,即

nAx2

,所以x属于下标比N大的一切偶指标集,从而x属于无限多nA,得nnAxlim又显
然,0limnnA,所以,0limnnA。

nnAlim;若有nnAxlim

,则存在A,使任意nN,有nAx。因此若
21nN

时,12nAx,即10xn、令n得00x,此不可能,所以nnAlim。
2.证明:必要性:若()fx就是,ab上连续函数,由第二章习题8可知1E与E就是闭集。
充分性:若1E与E都就是闭集。若有0,xab,()fx在0x点不连续。则存在

00000,,nn
xxfxfx
,或00xfxfn,不妨设出现第一种情况。令


00xfc,则cxfxExn,而Ex0(因为cxfxf000
)()(

),此与

E
就是闭集相矛盾。所以()fx在,ab上就是连续的。证毕。

3.由外侧度定义,对任意正整数n,存在开集EGn,使nEGmn1)(,令1nnGG,则
G
为G型集,EG且 2,1,1)()(nnEGmEGmn 故0)(EGm。证毕。
4.证明:先证A可测:存在G型集BG使得BmmG*。令AGBAQ。
GGBABA])[(
、mGmQmGGBAmBAm])[(。因为

*
(),()mABmGmBmAB

,

AmmG-BmAmmG-B)(A***mmQ,即AmmQ*
,又AQ,所以

AmmQ*,所以AmmQ*、*A(AB)mm,所以.0)(*QAm
QQAA)(,因为Q可测,AQ
可测,所以A可测。同理可证B可测。证毕。

5.鲁津定理:设()fx就是E上a、e、有限的可测函数,则对任意0,存在闭子集EF,
使()fx在F上就是连续函数,且(\)mEF、
逆定理:设()fx就是E上的函数,对0,总存在闭子集EE,使得()fx在E上就是
连续函数,且()mEE,则,()fx就是E上a、e、有限的可测函数。
证明:对任意1n,存在闭子集EEn,使()fx在nE上连续且nEEmn1)(,令


10n
n
EEE
,则对任意n,有011nnnmEmEEmEEn。令n,

得001000)()(.0nnnnEEEEEEEmE。对任意实数a,

01n
nEfaEfaEfa







,由()fx在nE上连续,可知[]nEfa可测,而



**

00
0mEfamE
,所以afE0也可测,从而afE就是可测的。因此
()fx

就是可测的。因为()fx在nE上有限,故在1nnE上有限,所以()fxa、e、有限。证毕。
6、由已知 则开集G可写成直线上可列个开集的并集,即

i
ii
baG),(
,



()iiiiiiExfxGExafxbExfaExfb



,则可知


GxfxE)(
就是可测集。

由CCFxfxEFxfxE)(,则可知FxfxE也就是可测集。证毕。
7.f(x)就是非负可测函数,因而积分确定,只要证明积分有限即可。设nE就是0P的余集中长为

n
3

1
的构成区间之并,则nnnmE321,因此




10,11112()33nnnnEnnnfxdxfxdxnmEn







,所以()fx可积,且积分值为3。证

毕。
8.对任意0,由于nf非负可知:




nfEE
nnn
dxfdxxffmE.)(

1

().nnEmEffxdx因此

1
lim lim()0nnEnnmEffxdx


,即.0)(xfn证毕。

9.因为()fx就是E上的a、e、有限的可测函数,设fED,0mD,令

k
EEfk
故有321EEE1limkkkkEED
所以0limlimmDEmmEkkkk,故0,0k,使得0KmE
令g(x)=000)()(KKExEExxfxg 故00KmEfgmE。证毕。
10、由于当






12020101011)(1)1(11ln1ln1x,0lnx)1,0(,1ln1ln1x,10,x111nnn
pn
p

npnpnpnn

npnp
dxxxdx
xx

xxxxxxx所以时，而当）上，故在（时，

证毕。
08统计班15号 李维

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最新《实变函数》试卷一与参考答案

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21考生答题不得超此4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) （A ）若()()n f x f x ⇒, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n nf x 是可测函数（C ）{}inf ()n nf x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ⇒,则()f x 可测5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ） (A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数 （C ）)('x f 在],[b a 上L 可积 (D) ⎰-=b aa fb f dx x f )()()('二. 填空题(3分×5=15分)1、()(())s s C A C B A A B ⋃⋂--=_________2、设E 是[]0,1上有理点全体，则'E =______,oE =______,E =______.3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都有_________________________________，则称E 是L 可测的4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数. （填“充分”，“必要”，“充要”）5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使_____________________________________________________,则称()f x 为[],a b 上的有界变差函数。

三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例说明.(5分×4=20分)1、设1E R ⊂，若E 是稠密集，则CE 是无处稠密集。

2、若0=mE ，则E 一定是可数集.3、若|()|f x 是可测函数，则()f x 必是可测函数。

(完整版)实变函数(复习资料_带答案)

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《实变函数》试卷一一、单项选择题（3分×5=15分） 1、下列各式正确的是（ ）（A ）1lim n k n n k n A A ∞∞→∞===⋃⋂; （B ）1lim n k n k n n A A ∞∞==→∞=⋂⋃;（C ）1lim n k n n k nA A ∞∞→∞===⋂⋃; （D ）1lim n k n k nn A A ∞∞==→∞=⋂⋂;2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ）（A ）=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P =ο3、下列说法不正确的是（ ）(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( )（A ）若()()n f x f x ⇒, 则()()n f x f x → (B){}sup ()n nf x 是可测函数（C ）{}inf ()n nf x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ⇒,则()f x 可测5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ）(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数（C ）)('x f 在],[b a 上L 可积 (D)⎰-=b aa fb f dx x f )()()('二. 填空题(3分×5=15分)1、()(())s s C A C B A A B ⋃⋂--=_________2、设E 是[]0,1上有理点全体，则'E =______,oE =______,E =______.3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都_________________________________，则称E 是L 可测的4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”）5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使_____________________________________,则称()f x 为[],a b 上的有界变差函数。

《实变函数》试卷一与参考答案

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21考生答题不得超此（A ）若()()n f x f x ⇒, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n nf x 是可测函数（C ）{}inf ()n nf x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ⇒,则()f x 可测5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ） (A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数 （C ）)('x f 在],[b a 上L 可积 (D) ⎰-=b aa fb f dx x f )()()('二. 填空题(3分×5=15分)1、()(())s s C A C B A A B ⋃⋂--=_________2、设E 是[]0,1上有理点全体，则'E =______,oE =______,E =______.3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都有_________________________________，则称E 是L 可测的4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数. （填“充分”，“必要”，“充要”）5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使_____________________________________________________,则称()f x 为[],a b 上的有界变差函数。

三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例说明.(5分×4=20分)1、设1E R ⊂，若E 是稠密集，则CE 是无处稠密集。

2、若0=mE ，则E 一定是可数集.3、若|()|f x 是可测函数，则()f x 必是可测函数。

4．设()f x 在可测集E 上可积分，若,()0x E f x ∀∈>，则()0Ef x >⎰四、解答题（8分×2=16分）.1、（8分）设2,()1,x x f x x ⎧=⎨⎩为无理数为有理数 ，则()f x 在[]0,1上是否R -可积，是否L -可积，若可积，求出积分值。

《实变函数》综合训练题（一）及解答

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《实变函数》综合训练题（一）及解答《实变函数》综合训练题（一）（含解答）一、选择题（单选题）1、下列集合关系成立的是（ A ）（A ）(\)A B B A B ?=? （B ）(\)A B B A ?= （C ）(\)B A A A ?? （D ）(\)B A A ? 2、若nE R ?是开集，则（ B ）（A ）E E '? （B ）E 的内部E = （C ）E E = （D ）E E '= 3、设P 是康托集，则（ C ）（A ）P 是可数集（B ）P 是开集（C ）0mP = （D ）1mP = 4、设E 是1R 中的可测集，()x ?是E 上的简单函数，则（ D ）（A ）()x ?是E 上的连续函数（B ）()x ?是E 上的单调函数（C ）()x ?在E 上一定不L 可积（D ）()x ?是E 上的可测函数5、设E 是nR 中的可测集，()f x 为E 上的可测函数，若()d 0Ef x x =?，则（ A ）（A ）在E 上，()f z 不一定恒为零（B ）在E 上，()0f z ≥ （C ）在E 上，()0f z ≡ （D ）在E 上，()0f z ≠ 二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案）1、设E 是[0,1]中的无理点全体，则（C 、D ）（A ）E 是可数集（B ）E 是闭集（C ）E 中的每一点都是聚点（D ）0mE > 2、若1E R ?至少有一个内点，则（ B 、D ）（A ）*m E 可以等于零（B ）*0m E > （C ）E 可能是可数集（D ）E 是不可数集3、设[,]E a b ?是可测集，则E 的特征函数()E X x 是（A 、B 、C ）（A ）[,]a b 上的简单函数（B ）[,]a b 上的可测函数（C ）E 上的连续函数（D ）[,]a b 上的连续函数4、设()f x 在可测集E 上L 可积，则（ B 、D ）（A ）()f z +和()f z -有且仅有一个在E 上L 可积（B ）()f z +和()f z -都在E 上L 可积（C ）()f z 在E 上不一定L 可积（D ）()f z 在E 上一定L 可积5、设()f z 是[,]a b 的单调函数，则（ A 、C 、D ）（A ）()f z 是[,]a b 的有界变差函数（B ）()f z 是[,]a b 的绝对连续函数（C ）()f z 在[,]a b 上几乎处处连续（D ）()f z 在[,]a b 上几乎处处可导三、填空题（将正确的答案填在横线上）1、设X 为全集，A ，B 为X 的两个子集，则\A B=C A B ? 。