一、填空题
1. 若()=[,)1,2,...n A n n +∞=，则lim n n A →∞=__________.
2. 设集合B A ⊂，则c
c B A .(),,⊂⊃=填符号 3. 若222{(,)1},E x y x y =∈+<¡则E 的边界集E ∂为_____________.
4. 离散集的Lebesgue 测度为___________.
5. 设C 为[0,1]上的Cantor 集，,,()0,[0,1],
x x C f x x C ∈⎧=⎨∈-⎩计算[0,1]()f x dx =⎰___. 二、单项选择题
1.下列说法正确的是 __________.
A ．自然数集与无理数集对等；
B ．任何无穷集都有一个可数子集；
C ．与实数集对等的集合为可数集；
D ．无理数集与有理数集对等.
2.下列关于[0,1]上狄利克雷函数D(x)的说法错误的是 __________.
A ．D(x)是黎曼可积的；
B ．D(x)的Lebesgue 积分为0；
C ．D(x)是一个可测函数；
D ．D(x)=0a.e.[0,1].
3.下列说法错误的是 __________.
A ．若A
B ⊂，则m A m B **≤；
B ．若()1,2,3,...i S i =均为Lebesgue 可测集，则1i i S ∞
= 为Lebesgue 可测集；
C ．设n E ⊂ ，若E 为Lebesgue 可测集，则E 的余集C E 也是Lebesgue 可测集；
D ．设n
E ⊂ ，如果0m E *=，则E 为Lebesgue 可数集.
4. 若(){}n f x 在E 上依测度收敛于()f x ，则下面说法正确的是（ ）。
.A 对任意0>δ，存在可测集δδδ<-⊂)(,E E m E E 满足，使得)(x f n 在δE 上一致收敛到()f x ;
.B )(x f n 在E 上逐点收敛到()f x ;
.C 存在)(x f n 的子序列)(x f k n 几乎处处收敛到()f x ;
.D 以上说法都不对.
5. 下述命题中不成立的是__________________.
A. Lebesgue 可积函数几乎处处有限；
B. 若()f x 是E 上的有界函数，则()f x 在E 上Lebesgue 可积；
C. 两个可积的可测函数几乎处处相等，则它们的Lebesgue 积分相等；
D. 设()f x 是E 上的Lebesgue 可测函数，则()f x 为E 上的Lebesgue 可积函 数当且仅当正部f +和负部f -都是E 上的Lebesgue 可积函数.
三、判断题，对的打“√”，错误的打“×”
1.可数个可数集的并还是可数集. （ ）
2. 任意一簇闭集之交仍为闭集. （ ）
3.f 是E 上的Lebesgue 可测函数，则f 是E 上的Lebesgue 可测函数.
4.零测集上的可测函数Lebesgue 积分为0. （ ）
5.有界变差函数满足牛顿—莱布尼兹公式. （ ）
四、叙述题
请写出叶戈罗夫定理，并举例说明条件mE <∞不能改为.mE =∞
五、证明题
对两个集合A 和B ，证明下列结论是等价的：
()()()123.A B A B B A B A ⊆== ；；
六、证明题
如果一个复数是一个非零整系数多项式的根，则称之为一个代数数.证明所有代数数构成的集合是可数集
七、证明题
利用Lebesgue 积分的绝对连续性证明：
设()f x 是有界可测集E 上的可积函数，1k k E E ∞
== ，其中()1,2,k E k = 为可测集
且两两不相交，则()()1.k E k E f x dx f x dx ∞==∑⎰⎰
八、计算题 计算()2222[,)lim 00.1n x a n n xe dx a x -∞→∞=>+⎰，
