九年级数学中考一轮复习 相似三角形复习学案

第二十七章 相似相似三角形知识点一：相似形的概念概念：具有相同形状的图形叫相似图形．谈重点：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关．⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况．⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．典例精析例1.下列两个图形一定相似的是（ ）A.两个矩形B.两个等腰三角形C.两个五边形D.两个正方形【变式1】下列判断不正确的是（） A.所有等腰直角三角形都相似B.所有直角三角形都相似C.所有正六边形都相似D.所有等边三角形都相似【变式2】在比例尺为 1:50000 的地图上量得甲、乙两地的距离为 10cm ，则甲、乙两地的实际距离是（ ）A.500kmB.50kmC.5kmD.0.5km知识点二：平行线分线段成比例定理①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3 则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EF DF ===②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例.③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.○4推论：如果一条直线平行于三角形的一条边，截其它两边(或其延长线)，那么所截得的三角形与原三角形相似．推论○4的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE.例【变式2】如图，已知直线a∥b∥c，直线m，n与a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，若AC=4，CE=6，BD=3，则DF的值是（）A．4 B．4.5 C．5 D．5.5两角对应相等，两三角形相似．拓展延伸：（1）有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似.（2）顶角或底角对应相等的两个等腰三角形相似.典例精析例1.在矩形ABCD 中，E 为BC 上一点，DF ⊥AE 于点F.（1）求证：△ABE ∽△DFA ；（2）若AB=6，AD=12,AE=10,求DF 的长.【变式】如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，CD ⊥AB 于点D ，交AE 于点G ，弦CE 交AB 于点F ，求证：AC 2=AG •AE.例2.（射影定理）已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D.求证：（1）2AB BD BC =⋅；（2）2AD BD CD =⋅；（3）CB CD AC ⋅=2.两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．典例精析例1.△ABC中，点D在AB上，如果AC2=AD•AB，那么△ACD与△ABC相似吗？说说你的理由．）A【变式3】在三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AC于点E，M为DE的中点，AM与BE相交于点N，延长AM交BC于点G，AD与BE相交于点F，求证：（1）DE AD；（2）△BCE∽△ADM；（3）AM⊥BE.=CE CD例.如图，小正方形的边长为1，则下列选项中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）基础训练1.如图，AD ⊥BC 于点D ，CE ⊥AB 于点E 交AD 于点F ，则图中与△AEF 相似的三角形的个数是（ ）E3725：A.∠ABD=∠ACBB.∠ADB=∠ABCC.AB ²=AD ·ACD.BCAB AB AD5.如图，在△ABC中，D是AB上一点，且AC²=AD·AB，则（）A.△ADC∽△ACBB.△BDC∽△BCAC.△ADC∽△CDBD.无相似三角形6.A.B.C.D.7.8.与9.10.如图，在△ABC中，D是AB边上一点，连接CD，要使△ADC与△ACB相似，应添加的条件是 .（写出一个即可）11.如图，在△ABC 中，CD ⊥AB ，垂足为D ，下列条件中：①∠A+∠B=90°；②AB ²=AC ²+BC ²；③BDCD AB AC =；④CD ²=AD ·BD.能证明△ABC 是直角三角形的有 .12.如图，已知，∠ACB=∠ABD=90°，BC=6，AC=8，当BD= 时，图中的两个直角三角形相似.13.如图，∠1=∠2，∠B=∠D ，AB=DE=5，BC=4。

第五章图形与变换第34节图形的相似与位似■考点1. 图形的相似（1）相似图形我们把形状相同的图形称为相似形．（2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意：①相似图形的形状必须完全相同；②相似图形的大小不一定相同；③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．■考点2.相似多边的定义和性质（1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．（2）相似多边形对应边的比叫做相似比．（3）全等多边形的相似比为1的相似多边形是全等形．（4）相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边的比相等．■考点3.图形的位似（1）如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．21·世纪*教育网注意：①两个图形必须是相似形；但相似图形不一定是位似图形②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行．【出处：21教育名师】（2）性质：①对应角相等，对应边之比等于位似比；②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．○3位似三角形的对应边的比、周长比、对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于位似比，但面积的比等于位似比的平方．■考点1. 图形的相似◇典例：（2016秋•姜堰区期末）下列各组图形一定相似的是（）A．两个矩形B．两个等边三角形C．各有一角是80°的两个等腰三角形D．任意两个菱形【考点】相似图形．【分析】根据相似图形的概念进行判断即可．解：两个矩形对应边的比不一定相等，故不一定相似；两个等边三角形相似对应边的比相等，对应角相等，一定相似；各有一角是80°的两个等腰三角形对应角不一定相等，故不一定相似；任意两个菱形对应角不一定相等，故不一定相似；故选：B．◆变式训练（2017•普陀区一模）“相似的图形”是（）A．形状相同的图形B．大小不相同的图形C．能够重合的图形D．大小相同的图形【考点】相似图形．【分析】根据相似形的定义直接进行判断即可．解：相似图形是形状相同的图形，大小可以相同，也可以不同，故选A．■考点2.相似多边的定义和性质◇典例（2016秋•宛城区校级期末）已知两个相似多边形的面积比是9：16，其中较小多边形的周长为36cm，则较大多边形的周长为（）A．48 cm B．54 cm C．56 cm D．64 cm【考点】相似多边形的性质．【分析】设较大多边形的周长为c，再由相似多边形的性质即可得出结论．解：设较大多边形的周长为c，∵两个相似多边形的面积比是9：16，其中较小多边形的周长为36cm，∴，解得c=48cm．故选A．◆变式训练（2017春•垦利县期末）一个长方形按4：1放大后，得到的图形与原图形比较，下列说法中正确的是（）A．周长扩大16倍B．周长缩小16倍C．面积扩大16倍D．面积缩小16倍【考点】相似多边形的性质．【分析】一个长方形按4：1放大后，得到的图形与原图形相似，利用相似多边形的性质即可解决问题．解：一个长方形按4：1放大后，得到的图形与原图形相似，周长扩大4倍，面积扩大16倍，所以A、B、D错误，C正确，故选C．■考点3.图形的位似◇典例：（2016秋•河北区期末）下列说法正确的是（）A．分别在△ABC的边AB，AC的反向延长线上取点D，E，使DE∥BC，则△ADE是△ABC放大后的图形B．两位似图形的面积之比等于位似比C．位似多边形中对应对角线之比等于位似比D．位似图形的周长之比等于位似比的平方【考点】位似变换．【分析】如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行（或共线），那么这样的两个图形叫位似图形，这个点叫做位似中心，位似图形是特殊的相似形，因而满足相似形的性质，因而正确的是C．解：∵分别在△ABC的边AB，AC的反向延长线上取点D，E，使DE∥BC，则△ADE是△ABC 放大或缩小后的图形，∴A错误．∵位似图形是特殊的相似形，满足相似形的性质，∴B，D错误，正确的是C．故选C．◆变式训练（2017•河北模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-3，6）、B（-9，-3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（-1，2）B．（-9，18）C ．（-9，18）或（9，-18）D ．（-1，2）或（1，-2）【考点】位似变换；坐标与图形性质．【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k 解答． 解：∵点A （-3，6），以原点O 为位似中心，相似比为，把△ABO 缩小，∴点A 的对应点A ′的坐标是（-1，2）或（1，-2）， 故选D ．1. （2013•莆田）下列四组图形中，一定相似的是（ ） A ．正方形与矩形 B ．正方形与菱形 C ．菱形与菱形D ．正五边形与正五边形【考点】相似图形． 【专题】压轴题．【分析】根据相似图形的定义和图形的性质对每一项进行分析，即可得出一定相似的图形． 解：A 、正方形与矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意； B 、正方形与菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意； C 、菱形与菱形，对应边比值相等，但是对应角不一定相等，故不符合题意； D 、正五边形与正五边形，对应角相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故符合题意． 故选：D ．2. （2016十堰）如图，以点O 为位似中心，将△ABC 缩小后得到△A ’B ’C ’，已知OB= 30B ’， 则△A'B'C ’与△ABC 的面积比为 （ ）A ．1：3B ．1：4C ．1：5D ．1：9 答案：D解题点拨：先求出位似比，根据位似比等于相似比，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可．3. （2016·山东东营）如图，在平面直角坐标系中，已知点A （―3，6）、B （―9，一3）， 以原点O 为位似中心，相似比为13，把△ABO 缩小，则点A 的对应点A′的坐标是( )A ．（―1，2）B ．（―9，18）C ．（―9，18）或（9，―18）D ．（―1，2）或（1，―2）【考点】相似三角形——位似图形、位似变换 【答案】D.【解析】方法一：∵△ABO 和△A′B′O 关于原点位似，∴△ ABO ∽△A′B′O 且OA′OA13.∴A′E AD ＝OE OD ＝13.∴A′E＝13AD ＝2，OE ＝13OD ＝1.∴A′（－1,2） 同理可得A′′（1,―2）.方法二：∵点A （―3，6）且相似比为13，∴点A 的对应点A′的坐标是（―3×13，6×13），∴A′（－1,2）.∵点A′′和点A′（－1,2）关于原点O 对称， ∴A′′（1,―2）. 故选择D.4. （2016•烟台）如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为 1:3，点A ，B ，E 在x 轴上，若正方形BEFG 的边长为6，则C 点坐标为（ ） A ．（3，2）B ．（3，1）C ．（2，2）D ．（4，2）【考点】位似变换；坐标与图形性质；正方形的性质．【分析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出AD的长，进而得出△OAD∽△OBG，进而得出AO的长，即可得出答案．解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1:3，∴，∵BG=6，∴AD=BC=2，∵AD∥BG，∴△OAD∽△OBG，∴，∴解得：OA=1，∴OB=3，∴C点坐标为：（3，2），故选：A．5.（2008•西宁）如图，用放大镜将图形放大，应属于哪一种变换：_______________ （请选填：对称变换、平移变换、旋转变换、相似变换）．【考点】相似图形．【分析】本题考查轴对称变换、平移变换、旋转变换、相似变换，根据概念结合图形，得出正确结果．解：由一个图形到另一个图形，在改变的过程中形状不变，大小产生变化，属于相似变化．6.（2017•长沙）如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（6，0），O（0，0），以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到△A′B′O，已知点B′的坐标是（3，0），则点A′的坐标是___________【考点】位似变换；坐标与图形性质．【分析】根据位似变换的性质进行计算即可．解：∵点A的坐标为（2，4），以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，∴点A′的坐标是（2×，4×），即（1，2），故答案为：（1，2）．7.（2017校级模拟）已知△ABC在坐标平面内三顶点的坐标分别为A（0，2）、B（3，3）、C（2，1）．以B为位似中心，画出与△ABC相似（与图形同向），且相似比是3的三角形，它的三个对应顶点的坐标分别是．【分析】根据把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形，在改变的过程中保持形状不变（大小可变）即可得出答案．解：把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形．所画图形如下所示：它的三个对应顶点的坐标分别是：（-6，0）、（3，3）、（0，-3）．8.（2016•柳州）如图，以原点O为位似中心，把△OAB放大后得到△OCD，求△OAB与△OCD的相似比．【考点】位似变换．【分析】根据点B 的坐标和点D 的坐标，求出OB=4，OD=6，得出 ，再根据△OAB 与△OCD 关于点O 位似，从而求出△OAB 与△OCD 的相似比． 解：∵点B 的坐标是（4，0），点D 的坐标是（6，0）， ∴OB=4，OD=6， ∴，∵△OAB 与△OCD 关于点O 位似， ∴△OAB 与△OCD 的相似比32． 9. （2016•眉山）已知：如图△ABC 三个顶点的坐标分别为A （0，﹣3）、B （3，﹣2、C（2，﹣4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度． （1）画出△ABC 向上平移6个单位得到的△A 1B 1C 1；（2）以点C 为位似中心，在网格中画出△A 2B 2C 2，使△A 2B 2C 2与△ABC 位似，且△A 2B 2C 2ABC 的位似比为2：1，并直接写出点A 2的坐标．【考点】SD ：作图﹣位似变换；Q4：作图﹣平移变换．【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出．解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，A2坐标（﹣2，﹣2）．10.(2017校级模拟)如图，分别按下列要求画出变换后的图形．（1）把△ABC向右平移3个单位得△A1B1C1（A与A1对应，B与B1对应）；（2）以A1为旋转中心，将△A1B1C1逆时针旋转90°得△A1B2C2（B1与B2对应）；（3）把A1B2C2的每一条边都扩大到原来的2倍得△DEF．【分析】直接根据平移和旋转的作图方法作图即可得△A1B1C1和△A1B2C2；把对应的边长放大为原来的2倍即可得到△DEF．解：（1）如图，△A1B1C1就是所要画的三角形．（3分）（不写结论不扣分，以下同）（2）如图，△A1B2C2就是所要画的三角形．（6分）（3）如图，△DEF就是所要画的三角形．（9分）（位置无关）1.（2017•河北）若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角∠B的度数相比（）A．增加了10% B．减少了10%C．增加了（1+10%）D．没有改变【考点】相似图形．【分析】根据两个三角形三边对应成比例，这两个三角形相似判断出两个三角形相似，再根据相似三角形对应角相等解答．解：∵△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，∴△ABC与△A′B′C′的三边对应成比例，∴△ABC∽△A′B′C′，∴∠B′=∠B．故选D．2.（2012•柳州）小张用手机拍摄得到甲图，经放大后得到乙图，甲图中的线段AB在乙图中的对应线段是（）A．FG B．FH C．EH D．EF【考点】相似图形．【分析】观察图形，先找出对应顶点，再根据对应顶点的连线即为对应线段解答．解：由图可知，点A、E是对应顶点，点B、F是对应顶点，点D、H是对应顶点，所以，甲图中的线段AB在乙图中的对应线段是EF．故选D．3.（2017校级模拟）如图所示的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（）A.点OB.点PC.点MD.点N解：根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上．点P在对应点M和点N所在直线上，故选B．4.（2017•绥化）如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4：9，则OB′：OB为（）A．2：3 B．3：2 C．4：5 D．4：9【考点】位似变换．【分析】先求出位似比，根据位似比等于相似比，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可．解：由位似变换的性质可知，A′B′∥AB，A′C′∥AC，∴△A′B′C′∽△ABC．∵△A'B'C'与△ABC的面积的比4：9，∴△A'B'C'与△ABC的相似比为2：3，∴故选：A．5.（2017校级模拟）如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是（）A．B．C．D．【分析】根据位似变换的性质得出△ABC的边长放大到原来的2倍，FO=a，CF=a+1，CE=（a+1），进而得出点B的横坐标．解：∵点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．点B的对应点B′的横坐标是a，∴FO=a，CF=a+1，∴CE=（a+1），∴点B的横坐标是：﹣（a+1）﹣1=﹣（a+3）．故选D．6.（2004•海淀区）某课外活动小组的同学在研究某种植物标本（如图所示）时，测得叶片①最大宽度是8cm，最大长度是16cm；叶片②最大宽度是7cm，最大长度是14cm；叶片③最大宽度约为6.5cm，请你用所学数学知识估算叶片③的完整叶片的最大长度，结果约为_______________【考点】相似图形．【分析】根据这三种叶片都是同一种植物的叶片，那么这三个叶片应该相似．依据相似形的性质即可解决．解：根据叶片①②的最大长度和宽度，可得出这种植物的叶片的最大宽度：最大长度=1：2．由此可得出完整的叶片③的最大长度应是6.5×2=13cm．故答案为：13．7.（2017•阿坝州）如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心．若AB=1.5，则DE=____________________【考点】位似变换；坐标与图形性质．【分析】根据位似图形的性质得出AO，DO的长，进而得出，求出DE的长即可．解：∵△ABC与DEF是位似图形，它们的位似中心恰好为原点，已知A点坐标为（1，0），D点坐标为（3，0），∴AO=1，DO=3，∴，∵AB=1.5，∴DE=4.5．故答案为：4.5．8.（2017•兰州）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心点是O，，则=___________．【考点】位似变换．【分析】直接利用位似图形的性质得出△OEF∽△OAB，△OFG∽△OBC，进而得出答案．解：如图所示：∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，∴△OEF∽△OAB，△OFG∽△OBC，∴，∴．故答案为：．9.（2017•滨州）在平面直角坐标系中，点C、D的坐标分别为C（2，3）、D（1，0），现以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB．若点D的对应点B在x轴上且OB=2，则点C的对应点A的坐标为 _______【考点】位似变换；坐标与图形性质．【分析】根据位似变换的定义，画出图形即可解决问题，注意有两解．解：如图，由题意，位似中心是O ，位似比为2， ∴OC=AC ， ∵C （2，3），∴A （4，6）或（-4，-6）， 故答案为（4，6）或（-4，-6）． 10.（2017•遂宁）如图，直线y=与x 轴，y 轴分别交于A 、B 两点，△BOC 与△B ′O ′C ′是以点A 为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，则点B ′的坐标为 __________【考点】位似变换；一次函数图象上点的坐标特征． 【分析】首先根据直线y=与x 轴，y 轴分别交于A 、B 两点，解得点A 和点B 的坐标，再利用位似图形的性质可得点B ′的坐标． 解：∵y=与x 轴，y 轴分别交于A 、B 两点，令x=0可得y=1；令y=0可得x=-3， ∴点A 和点B 的坐标分别为（-3，0）；（0，1），∵△BOC 与△B ′O ′C ′是以点A 为位似中心的位似图形，且相似比为1：2， ∴∴O ′B ′=2，AO ′=6，∴当点B'在第一象限时，B ′的坐标为（3，2）； 当点B'在第三象限时，B ′的坐标为（-9，-2）． ∴B ′的坐标为（-9，-2）或（3，2）． 故答案为：（-9，-2）或（3，2）．11.（2017•烟台）如图，在直角坐标系中，每个小方格的边长均为1，△AOB 与△A ′OB ′ 是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为3：2，点A ，B 都在格点上，则点B ′的坐标是 _________________【考点】位似变换；坐标与图形性质． 【分析】把B 的横纵坐标分别乘以-32得到B ′的坐标． 解：由题意得：△A ′OB ′与△AOB 的相似比为2：3，又∵B （3，-2） ∴B ′的坐标是[3×(−32)，-2×(−32)]，即B ′的坐标是（-2，34）； 故答案为：（-2，34）． 12.（2016•营口）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ ABC 的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点O 为位似中心，画△A 1B 1C 1，使它与△ABC 的相似比为2，则点B 的对应点B 1的坐标是 ___________【考点】作图-位似变换．【分析】直接利用位似图形的性质得出符合题意的图形进而得出答案． 解：如图所示：△A 1B 1C 1和△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比为2， 点B 的对应点B 1的坐标是：（4，2）或（-4，-2）． 故答案为：（4，2）或（-4，-2）．13.（2017•凉山州）如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系， 已知△ABC 三个顶点分别为A （﹣1，2）、B （2，1）、C （4，5）． （1）画出△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1；（2）以原点O 为位似中心，在x 轴的上方画出△A 2B 2C 2，使△A 2B 2C 2与△ABC 位似，且位似比为2，并求出△A 2B 2C 2的面积．【考点】SD：作图﹣位似变换；P7：作图﹣轴对称变换．【分析】（1）画出A、B、C关于x轴的对称点A1、B1、C1即可解决问题；（2）连接OB延长OB到B2，使得OB=BB2，同法可得A2、C2，△A2B2C2就是所求三角形；解：（1）如图所示，△A1B1C1就是所求三角形（2）如图所示，△A2B2C2就是所求三角形如图，分别过点A2、C2作y轴的平行线，过点B2作x轴的平行线，交点分别为E、F，∵A（﹣1，2），B（2，1），C（4，5），△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2，∴A2（﹣2，4），B2（4，2），C2（8，10），∴=8×10﹣×6×2﹣×4×8﹣×6×10=28．14.（2017•雅安）如图，△ABC中，A（﹣4，4），B（﹣4，﹣2），C（﹣2，2）．（1）请画出将△ABC向右平移8个单位长度后的△A1B l C1；（2）求出∠A1B l C1的余弦值；（3）以O为位似中心，将△A1B l C1缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在y轴右侧画出△A2B2C2．【考点】SD：作图﹣位似变换；Q4：作图﹣平移变换；T7：解直角三角形．【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用余弦的定义结合勾股定理得出答案；（3）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案．解：（1）如图所示：△A1B l C1，即为所求；（2）∠A1B l C1的余弦值为：==；（3）如图所示：△A2B2C2，即为所求．15.（2017•枣庄）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）．（1）请在图中，画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1；（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在图中y轴右侧，画出△A2B2C2，并求出∠A2C2B2的正弦值．【考点】SD：作图﹣位似变换；Q4：作图﹣平移变换；T7：解直角三角形．【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）利用位似图形的性质得出对应点位置，再利用锐角三角三角函数关系得出答案．解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，由图形可知，∠A2C2B2=∠ACB，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，由A（2，2），C（4，﹣4），B（4，0），易得D（4，2），故AD=2，CD=6，AC==2，∴sin∠ACB===，即sin∠A2C2B2=．。

相似三角形1. 认识图形的相似，进一步积累认识图形性质的经验。

2. 探索三角形相似的条件，了解相似三角形的性质，进一步发展推理能力。

3. 能够利用三角形的相似解决一些测量问题。

4. 了解图形的位似，能利用位似将一个图形放大或者缩小。

利用相似三角形测高一、利用阳光下的影子测量旗杆的高度1. 测量方法：让一名同学恰好站在旗杆影子的顶端，然后一部分同学测量该同学的影长，另一部分同学测量同一时刻旗杆的影长，如图所示。

2. 测量原理：如图所示，因为太阳光是平行光线，所以AB//CD ，所以∠ABC=∠DCE 。

因为∠DEC=∠ACB=90°，所以△ACB ∽△DEC.所以EC BC DE AC =,即可求得BCEC AC DE •=3. 测量结论：同一时刻，已知物体的影长已知物体的高度被测物体影子的长度被测物体的实际高度= 【提示】太阳光是平行光线，同一时刻物体的物高和影长成正比。

二．利用标杆测量旗杆的高度1. 测量工具：标杆，卷尺2. 测量步骤：（1）测量出标杆CD 的长度，测出观测者眼部以下高度EF 。

（2）让标杆垂直于地面，调整观测者EF 的位置，当旗杆顶部、标杆顶部、眼睛三者在同一直线上时，测出观测者距离标杆底端的距离FD 和距离旗杆底部的距离FB 。

（3）根据EHEG AH CG =求得AH 的长，再加上EF 的长即为旗杆AB 的高度。

3. 测量原理：如图所示，过点E 做EH ⊥AB ，交AB 于点H ，交CD 于点G 。

因为CD//AB,所以△ECG ∽△EAH,所以EHEG AH CG = 因为EG=FD,EH=FB,CG=CD-GD=CD-EF,且FD,FB,CD,EF 可测，所以可求得AH 的长度,则AB=AH+HB=AH+EF 可求。

【提示】利用标杆时，要注意观测者眼睛，标杆的顶端和旗杆的顶部“三点共线”，且标杆与地面垂直。

三．利用镜子的反射测量旗杆的高度1. 测量工具：镜子，卷尺2. 测量步骤：在观测者与旗杆之间放一面镜子，在镜子上做一个标记；（1）测出观测者的高度CD ；（2）观测者看着镜子来回移动，直至看到旗杆的顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合，此时测出镜子O 到人脚底D 的距离OD 及镜子在旗杆底部距离OB 。

初三第一轮数学复习教案一、教学内容本节课我们将复习人教版初中数学九年级上册第十五章《图形的相似》，具体内容包括：相似图形的定义、性质、判定方法及其在实际问题中的应用。

二、教学目标1. 理解并掌握相似图形的基本概念和性质，能够运用判定方法识别相似图形。

2. 学会运用相似图形的相关知识解决实际问题，提高解决问题的能力。

3. 培养学生的观察能力、逻辑思维能力和空间想象力。

三、教学难点与重点重点：相似图形的定义、性质、判定方法。

难点：相似图形在实际问题中的应用。

四、教具与学具准备教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔。

学具：直尺、圆规、量角器、练习本。

五、教学过程1. 导入：通过展示实际生活中的相似图形，引导学生发现相似图形的美，激发学生学习兴趣。

实践情景引入：展示一组相似图形（如建筑、家具等），让学生观察并说出它们之间的相似关系。

例题讲解：讲解一组相似图形的例题，让学生通过观察、分析，找出相似图形的关键特征。

3. 判定方法学习：讲解相似图形的判定方法，通过例题让学生学会运用判定方法识别相似图形。

随堂练习：让学生完成一组相似图形的判定练习，巩固所学知识。

4. 实际应用：展示相似图形在实际问题中的应用，引导学生运用所学知识解决问题。

例题讲解：讲解相似图形在实际问题中的应用，如建筑设计、图形放大与缩小等。

六、板书设计1. 相似图形的定义与性质2. 相似图形的判定方法3. 相似图形在实际问题中的应用4. 例题与解答5. 课后作业七、作业设计1. 作业题目：（1）已知两个相似三角形的边长比是3：5，求它们的面积比。

（2）一个正方形与一个矩形相似，正方形的边长是8cm，矩形的边长分别是12cm和18cm，求矩形的面积。

2. 答案：（1）面积比为9：25。

（2）矩形的面积为216cm²。

八、课后反思及拓展延伸1. 反思：通过本节课的学习，学生对相似图形的概念、性质和判定方法有了更深入的理解，能够运用所学知识解决实际问题。