中考数学 第五章《三角形》复习教案 新人教版

人教版·九年级下·三角形复习·教案考点综述：三角形是生活中最常见的图形之一，它贴近生活，联系实际，是近年中考的必考点之一。

三角形的内容包括：三角形三边的不等关系，三角形的分类，三角形内角和定理，全等三角形的性质及条件，三角形中位线的性质，等腰和直角三角形的性质，勾股定理及勾股定理逆定理等相关知识。

典型例题：例1：（2007株洲）现有2cm 、4cm 、8cm 长的四根木棒，任意选取三根组成一个三角形，那么可以组成三角形的个数为（ ）. A. 1个B. 2个C. 3个 D. 4个例2：（2007某某）已知一个三角形三个内角度数的比是1:5:6，则其最大内角的度数（ ） A ．60B ．75C ．90D ．120例3：（2008某某）如图，在△ABC 与△DEF 中，已有条件AB=DE ，还需添加两个条件才能使△ABC ≌△DEF ，不能添加的一组条件是 A ． ∠B=∠E,BC=EFB ．BC=EF ，AC=DFC ．∠A=∠D ，∠B=∠E D ．∠A=∠D ，BC=EF例4：（2008某某）如图，DE 是ABC △的中位线，2DE =cm ，12AB AC +=cm ，则BC =cm ，梯形DBCE 的周长为cm ．例5：（2007某某）如图，在ABC △中，点D 是BC 上一点，80BAD ∠=°，AB AD DC ==，则C ∠=度．A E CBaac丙︒72︒50　乙︒50甲a︒507250︒︒︒58c baC BA例6：（2007某某）如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm ），计算两圆孔中心A 和B 的距离为______mm ．实战演练：1.（2008某某）如果三角形的两边分别为3和5，那么这个三角形的周长可能是（ ） A ．15B ．16C ．8D ．72.（2007某某）如图，△ABC 中，∠A ＝50°，点D 、E 分别在AB 、AC 上，则∠1＋∠2的大小为（ ）A ．130° B.230° C.180° D.310°3.（2007某某）如图，在矩形ABCD 中，E 为CD 的中点，连接AE 并延长交BC 的延长线于点F ，则图中全等的直角三角形共有（ ） A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对4.（2007某某）如图，已知△ABC 的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC 全等的图形是（ ）A ．甲乙 B.甲丙 C.乙丙 D.乙5.（2007某某）如图，直线l 上有三个正方形a b c ，，，若a c ，的面积分别为5和11，则ACBD80A 1BCDE2FC Bb 的面积为（ ）A ．4B ．6C ．16D ．556.（2008某某）如图，将ABC △沿DE 折叠，使点A 与BC 边的中点F 重合，下列结论中：①EF AB ∥且12EF AB =；②BAF CAF ∠=∠；③12ADFE S AF DE =四边形； ④2BDF FEC BAC ∠+∠=∠，正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47.（2006某某）在下列长度的四根木棒中，能与3cm ，7cm 两根木棒围成一个三角形的（ ） A ．7cmB ．4cmC ．3cmD ．10cm8.（2008某某）一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，这个三角形一定是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形9.（2007某某）如图所示，点D 、E 分别在线段AB 、AC 上，BE 、CD要使△ABE ∽△ACD ，需添加一个条件是(只要写一个条件)。

2024年新课标人教版七年级下全册数学教案一、教学内容本节课选自2024年新课标人教版七年级下册数学教材第五章《三角形的初步认识》，具体内容包括：5.1三角形的定义及性质，5.2三角形的分类，5.3三角形的周长和面积。

二、教学目标1. 知识目标：使学生掌握三角形的定义，理解三角形的性质，掌握三角形的分类，掌握三角形周长和面积的计算方法。

2. 能力目标：培养学生运用三角形知识解决实际问题的能力，提高学生的空间想象力和逻辑思维能力。

3. 情感目标：激发学生对数学学习的兴趣，培养学生的合作意识和探究精神。

三、教学难点与重点重点：三角形的定义及性质，三角形的分类，三角形周长和面积的计算方法。

难点：三角形性质的理解，三角形面积公式的推导。

四、教具与学具准备教具：三角板、直尺、圆规、多媒体设备。

学具：三角板、直尺、圆规、练习本。

五、教学过程1. 导入：通过展示生活中的三角形实物，引导学生发现三角形的特征，从而引出本节课的主题。

2. 新课导入：（2）三角形的性质：引导学生通过画图、观察、思考，发现三角形的性质，如内角和等于180°等。

（3）三角形的分类：根据三角形的边长和角度，将三角形分为不等边三角形、等腰三角形、等边三角形、直角三角形等。

（4）三角形周长和面积的计算：通过实例讲解，引导学生掌握三角形周长和面积的计算方法。

3. 例题讲解：讲解典型例题，巩固所学知识，引导学生运用所学知识解决实际问题。

4. 随堂练习：设计有针对性的练习题，让学生当堂巩固所学知识。

六、板书设计1. 三角形的定义：由三条线段首尾顺次连接所围成的图形。

2. 三角形的性质：内角和等于180°，两边之和大于第三边等。

3. 三角形的分类：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形、直角三角形等。

4. 三角形周长和面积的计算方法。

七、作业设计1. 作业题目：（3）应用题：运用三角形的周长和面积知识，解决实际问题。

2. 答案：见附页。

第五单元三角形第19课时几何初步及相交线、平行线教学目标【考试目标】（1）会比较线段的大小，理解线段的和、差，以及线段中点的意义.理解两点间距离的意义，会度量两点之间的距离；（2）理解角的概念，能比较角的大小，能估计一个角的大小，会计算角度的和与差，认识度、分、秒，会进行角度的简单换算；（3）理解角平分线及其性质；（4）理解补角、余角、对顶角等概念及有关性质；（5）理解垂线、垂线段等概念及有关性质；（6）知道过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线；（7）理解线段垂直平分线及其性质；（8）掌握两直线平行的判定定理和有关性质；（9）知道过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线，会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线；（10）理解点到直线距离的意义、两条平行线之间距离的意义，会度量点到直线的距离，两条平行线之间的距离.【教学重点】1.掌握线段、射线、直线的相关概念；2.掌握角的基本概念及应用；3.掌握平行的性质及判定；4.掌握垂直的性质及判定.教学过程一、体系图引入，引发思考二、引入真题、归纳考点【例1】（2016年宜昌）如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（D）A．垂线段最短 B．经过一点有无数条直线C．经过两点，有且仅有一条直线 D．两点之间，线段最短【解析】此题考查了线段的性质，两点之间线段最短.【例2】（2015年河北）已知：岛P位于岛Q的正西方，由岛P，Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45°方向上，符合条件的示意图是（ D ）【解析】选项A中船R位于岛P的南偏东60°方向上；选项B中船R位于岛P的北偏东60°方向上，位于岛Q的北偏西45°方向上；选项C中船R位于岛P的南偏东45°方向上，位于岛Q的南偏西30°方向上；选项D中船R位于岛P的南偏东30°方向上，位于岛Q的南偏西方向上.故选择D选项.【例3】（2016年长沙）下列各图中，∠1与∠2互为余角的是（ B ）A. B. C. D.【解析】根据余角的概念，如果两个角之和为90°，则这两个角互为余角，由B选项可知∠1+∠2=90°，故选择B选项.【例4】（2016年威海）如图，AB∥CD，DA⊥AC，垂足为A，若∠ADC=35°，则∠1的度数为（ B ）A．65° B．55°C．45° D．35°【解析】∵AB∥CD，∴∠1=∠ACD.又∵DA⊥AC,∴∠CAD=90°.∵∠ADC=35°,∴∠ACD=65°,∴∠1=∠ACD=55°.三、师生互动，总结知识先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业：同步导练教学反思学生对几何初步的掌握情况很好，望多加复习巩固，做到熟练会用.。

考点15 三角形利川铜锣坝中学王明利知识概要1.三角形概念和分类(1)概念:在同一平面内,由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形,叫做三角形.(2)分类:三角形按边分为不等边三角形和等腰三角形,等腰三角形包括底和腰不等的三角形和等边三角形;按角分为斜三角形和直角三角形,斜三角形包括锐角三角形和钝角三角形.2.三角形的三线(高线、角平分线、中线)(1)概念三角形的高线:从三角形的一顶点向其对边作垂线,顶点与垂足间的线段叫做三角形的高线.三角形的角平分线:三角形中一个角的平分线与对边相交,交点与顶点间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的中线:连结三角形一个顶点与对边中点的线段叫做三角形的中线.(2)三角形三线的比较相同点:①都是线段;②都有三条;③三线或延长线都会交于一点.不同点:锐角三角形三条高都在三角形内部,直角三角形三条高有两条是直角边,钝角三角形三条高有两条高在三角形外部.三角形的三条角平分线、三条中线都在三角形内部. 3.三角形的性质(1)边与边的关系:任意两边这和大于第三边,任意两边之差小于第三边.(2)角与角的关系:①内角和定理:三角形的三个内角之和等于180º;②三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和;③三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.(3)三角形具有稳定性.4.全等三角形(1)概念:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.(2)判定:①三边对应相等的两个三角形全等(简称为“边边边”或“SSS”);②两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(简称为“角边角”或“ASA”);③两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(简称为“角角边”或“AAS”);④两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(简称为“边角边”或“SAS”);⑤斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等(简称为“斜边和直角边”或“HL”).(3)性质:①全等三角形的对应角相等,对应线段(边、高线、角平分线、中线)相等;②全等三角形的周长相等,面积相等.5.等腰三角形(1)概念:有两条边相等的三角形叫等腰三角形.(2)性质:①等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”);②等腰三角形的顶角平分线平分并且垂直于底边(三线合一).(3)判定:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角对的边也相等(简称为“等角对等边”). 6.等边三角形(1)概念:三边相等的三角形叫做等边三角形.(2)性质:等边三角形的三边相等,三个角都等于60º. (3)判定:①三个角都相等的三角形是等边三角形;②有一个角等于60º的等腰三角形是等边三角形. 7.直角三角形(1)勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. (2)直角三角形的两锐角互余.(3)直角三角形中,如果有一锐角等于30º,那么它所对的直角边等于斜边的一半. (4)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.范例解释例1 （2008山东威海）若三角形的三边长分别为3，4，x -1，则x 的取值范围是 A ．0＜x ＜8 B ．2＜x ＜8 C ．0＜x ＜6 D ．2＜x ＜6解 由三角形任意两边之和大于第三边和三角形任意两边之差小于第三边有⎩⎨⎧-<-->+134143x x 解这个不等式得2<x<8,故选B.点评 这里运用不等式组表示出三边之间的关系，通过解不等式组得到x 的取值范围.正确理解运用三角形三边的关系是解答本题的关键.例2 （2008陕西省）一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，这个三角形一定是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形解 设这个三角形的三个内角度数分别为2x,3x,7x.根据三角形的内角和定理有 2x ＋3x ＋7x=180º 解得x=15º则2x=30º, 3x=45º, 7x=105ºx.所以这个三角形是钝角三角形,故选D.点评 三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形、和钝角三角形,然而三角形中角的计算一般都与三角形的内角和有关.本题还利用了方程求解,这是解答数学题的一种重要思想方法.例3 （2008山东荷泽）如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CDE ，AD 与BE 交于一点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ ．以下五个结论：① AD =BE ； ② PQ ∥AE ； ③ AP =BQ ； ④ DE =DP ； ⑤ ∠AOB =60°．恒成立的有______________（把你认为正确的序号都填上）． 解 ∵正三角形ABC 和正三角形CDEABCE DO PQ∴AC =BC ,∠ACD =∠BCE =120º,CD =CE∴ΔACD ≌ΔBCE , ∴AD =BE ,∠CAD =∠CBE又∠ACP =∠BCQ ∴ΔACP ≌ΔACQ ∴AP =BQ ,CP =CQ又∠PCQ =60º ∴ΔCPQ 是等边三角形 ∴∠PQC =∠QCE =60º ∴PQ ∥AE ∵∠AOB =∠OEA ＋∠OAE =∠OEA ＋∠CBE =∠ACB ∴∠AOB =60º ∵∠DPC >∠QPC ∴∠DPC >∠QCP ∴DP ≠DC 即DP ≠DE 故恒成立的有①②③⑤点评 本题中的各种关系较为复杂,渗透了很多知识,比如等边三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,平行线的判定,等腰三角形的判定,三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和等知识.这在一定程度上给学生造成思维上的障碍,易造成推理上的错误.要对5个结论作出正确的判断,必须熟悉相关知识并会灵活运用.例4 (2008湖北恩施）如图,C 为线段BD 上一动点,分别过点B 、D 作AB ⊥BD ,ED ⊥BD ,连接AC 、EC .已知AB =5,DE =1,BD =8,设CD =x.(1)用含x 的代数式表示AC ＋CE 的长；(2)请问点C 满足什么条件时,AC ＋CE 的值最小?(3)根据(2)中的规律和结论,请构图求出代数式9)12(422+-++x x 的最小值. 解: (1)125)8(22+++-x x(2)当A 、C 、E 三点共线时,AC +CE(3)如下图所示,作BD =12,过点B 作 AB ⊥BD ,过点D 作ED ⊥BD ,使AB =2,ED =3, 连结AE 交BD 于点C .AE 的长即为代数式9)12(422+-++x x 的最小值.过点A 作AF ∥BD 交ED 的延长线于点F , 得矩形ABDF ,则AB =DF =2,AF =BD =8. 所以AE=22)23(12++=13即9)12(422+-++x x 的最小值为13.点评 本道试题新颖,别具匠心.运用与推广于其中,主要考查了直角三形的有关知识,同时也考查了数形结合的重要数学思想,是一道代数与几何的综合试题,但试题难度不是很大,三个问题由浅入深,循序渐进,由特殊到一般,从归纳发现到推广运用环环相扣,引导学生一步一步地去完成.是值得参加升学考试的学生关注的题型.例5 （2008湖北荆门）将两块全等的含30°角的三角尺如图(1)摆放在一起，它们的较短直角边长为3．D (1)(2)CB E D E AC B ED l (3) l D ’ FA CB E D (4) AC B ED lE ’ C ’(1) 将△ECD 沿直线l 向左平移到图(2)的位置，使E 点落在AB 上，则CC ′=______； (2) 将△ECD 绕点C 逆时针旋转到图(3)的位置，使点E 落在AB 上，则△ECD 绕点 C 旋转的度数=______；(3) 将△ECD 沿直线AC 翻折到图(4)的位置，ED ′与AB 相交于点F ，求证AF =FD ′． 解 (1) 3-3；(2)30°； (3)证明：在△AEF 和△D ′BF 中， ∵AE =AC -EC , D’ B =D’ C -BC ， 又AC =D’ C ,EC =BC ，∴AE =D’ B．又 ∠AEF =∠D’ BF =180°-60°=120°，∠A =∠CD’E =30°， ∴△AEF ≌△D’ BF．∴AF =FD’．点评 这是一道以两块全等的含30º的三角尺为工具的操作题,涉及到旋转和翻折,解决动态几何题要善于从“动”中求“静”,从变中探索不变.解决此题时要注意的是，在旋转和翻折的过程中,三角尺只是位置的变化，其形状大小没有改变.动态几何题也是近年来中考命题的热点.例6 （2008浙江杭州）如图，在等腰ΔABC 中，CH 是底边上的高线，点P 是线段CH 上不与端点重合的任意一点，连结AP 交BC 于点E ，连结BP 交AC 于点F . （1）证明：∠CAE =∠CBF ； （2）证明：AE =BF ；（3）以线段AE ，BF 和AB 为边构成一个新的三角形ABG （点E 与点F 重合于点G ），记ΔABC 和ΔABG 的面积分别 为S ΔABC 和S ΔABG ，如果存在点P ，能使S ΔABC =S ΔABG ，求∠C 的 取值范围.解 (1) ∵△ABC 是等腰△，CH 是底边上的高线，∴BCP ACP BC AC ∠=∠=,， 又∵CP CP =, ∴△ACP ≌△BCP ，∴CBP CAP ∠=∠, 即CBF CAE ∠=∠; (2) ∵BCF ACE ∠=∠, CBF CAE ∠=∠，BC AC =, ∴△ACE ≌△BCF ，∴BF AE =;(3) 由(2)知△ABG 是以AB 为底边的等腰△，∴ABG ABC S S ∆∆= 等价于AC AE =， 1）当∠C 为直角或钝角时，在△ACE 中，不论点P 在CH 何处，均有AC AE >，所以结论不成立;2）当∠C 为锐角时， =∠A -9021∠C ，而A CAE ∠<∠，要使AC AE =，只需使∠C =∠CEA ，此时，∠=CAE 180°–2∠C ，只须180°–2∠C <-9021∠C ，解得 60°<∠C < 90°. (也可在CEA ∆中通过比较C ∠和CEA ∠的大小而得到结论)点评 本题是一道几何存在性探究题,还重视了分类讨论等数学方法的考查.第(1)题并不难,只需证明△ACP ≌△BCP 即可.第(2)题运用第(1)题的结论证明△ACE ≌△BCF 得证.第(3)题要分两种情况讨论: 1）当∠C 为直角或钝角时; 2）当∠C 为锐角时.从而得到不同的结果.巩固训练一、选择题1. （2008浙江丽水）如图，在三角形ABC 中，AB ＞AC ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，△ADE 沿线段DE 翻折，使点A 落在边BC 上，记为A '．若四边形ADA E '是菱形，则下列说法正确的是( )A . DE 是△ABC 的中位线B . AA '是BC 边上的中线 C . AA '是BC 边上的高D . AA '是△ABC 的角平分线 2. (2008湖南邵阳)如图，点P 是AB 上任意一点， ABC ABD ∠=∠，还应补充一个条件，才能推出APC APD △≌△．从下列条件中补充一个条件，不一定能．．．．推出APC APD △≌△的是（ ） A ．BC BD =B ．AC AD =C ．ACB ADB ∠=∠D ．CAB DAB ∠=∠3.（2008黑龙江大庆）如图，在ABC △中，AC BC AB =>，点P 为ABC △所在平面内一点，且点P 与ABC △的 任意两个顶点构成PAB PBC PAC △，△，△均是．．等腰 三角形，则满足上述条件的所有点P 的个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．6 D ．74.（2008湖北十堰）下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )A ．1cm ，2 cm ，3cmB ．2cm ，3 cm ，6 cmC ．4cm ，6 cm ，8cmD ．5cm ，6 cm ，12cm 5. （2008湖北十堰）如图，将ΔPQR 向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度， 则顶点P 平移后的坐标是( )A ． (-2,-4)B ． (-2,4)C ．(2,-3)D ．(-1,-3)6. （2008山东烟台）如图，在Rt △ABC 内有边 长分别为,,a b c 的三个正方形，则,,a b c 满足 的关系式是（ ）A 、b a c =+B 、b ac =C 、222b ac =+ D 、22b a c ==AB C DEA 'CAD P BC BA7. (2008浙江杭州)如图，记抛物线12+-=x y 的图象与x 正半轴的交点为A ，将线段OA分成n 等份，设分点分别为P 1，P 2，…，P n-1，过每个分点作x 轴的垂线，分别与抛物线交于点Q 1，Q 2，…，Q n-1，再记直角三角形 OP 1Q 1，P 1P 2Q 2，…的面积分别为S 1，S 2，…，这样就有32121n n S -=，32224nn S -=，…； 记W=S 1+S 2+…+S n-1，当n 越来越大时，你猜 想W 最接近的常数是( ) A.32 B. 21 C. 31 D. 41二、填空题8. （2008浙江湖州）已知等腰三角形的一个底角为70，则它的顶角为 度 9.（2008四川资阳）如图4，□ABC D 中， 对角线AC 、BD 交于点O ，请你写出其中的一对全等三角形_________________． 10.(2008湖北天门）如图，已知AE ＝CF ，∠A ＝∠C ，要使△ADF ≌△CBE ，还需添加一个条件______________________ (只需写一个)． 11.（2008湖北黄冈）如图，ABC △和DCE △都是边长为2的等边三角形， 点B C E ，，在同一条直线上，连接 BD ，则BD 的长为 ．12.（2008广东肇庆）如图3，P 是∠AOB 的角平分线上的一点，PC ⊥OA 于点C ， PD ⊥OB 于点D ，写出图中一对相等 的线段（只需写出一对即可） .13.（2008湖北鄂州）如图，在ABC △中，45BAC ∠=，AD BC ⊥于D 点，已知64BD CD ==，，则高 AD 的长为 ．14.（2008山东荷泽）将一个正三角形纸片剪成四个全等的小 正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的 正三角形，……如此继续下去，结果如下表．所剪次数12 34… n正三角形个数 4710 13 … a n则a n ＝ （用含n 的代数式表示）ADB C DB CFEDA CABD三、解答题15. (2008广东肇庆)如图4， E 、F 、G 分别是等边△ABC 的边AB 、BC 、AC 的中点.（1） 图中有多少个三角形？（2） 指出图中一对全等三角形，并给出证明.16. （2008湖北宜昌）如图，在△ABC 与△ABD 中，BC ＝BD ．设点E 是BC 的中点，点F 是BD 的中点．（1）请你在图中作出点E 和点F ；(要求用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法与证明） （2）连接AE ，AF ．若∠AB C ＝∠ABD ，请你证明△ABE ≌△ABF ．17. (2008河南省)复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图①，已知在△ABC 中，AB =AC ，P 是△ABC 内部任意一点，将AP 绕A 顺时针旋转至AQ ，使∠QAP =∠BAC ，连接BQ 、CP ，则BQ =CP ．”小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了△ABQ ≌△ACP ，从而证得BQ =CP 之后，将点P 移到等腰三角形ABC 之外，原题中的条件不变，发现“BQ =CP ”仍然成立，请你就图②给出证明．图①QPCBAAQBPC图②DABC18. (2008北京市)已知等边三角形纸片ABC 的边长为8，D 为AB 边上的点，过点D 作DG BC ∥交AC 于点G ．DE BC ⊥于点E ，过点G 作GF BC ⊥于点F ，把三角形纸片ABC 分别沿DG DE GF ，，按图1所示方式折叠，点A B C ，，分别落在点A '，B '，C '处．若点A '，B '，C '在矩形DEFG 内或其边上，且互不重合，此时我们称A B C '''△（1）若把三角形纸片ABC 放在等边三角形网格中（图中每个小三角形都是边长为1的等边三角形），点A B C D ，，，恰好落在网格图中的格点上．如图2所示，请直接写出此时重叠三角形A B C '''的面积；（2）实验探究：设AD 的长为m ，若重叠三角形A B C '''存在．试用含m 的代数式表示重叠三角形A B C '''的面积，并写出m 的取值范围（直接写出结果，备用图供实验，探究使用）．图1图2A B备用图AB备用图CBA 单元测试一、选择题(每小题3分,共24分)1. （2008新疆乌鲁木齐）某等腰三角形的两条边长分别为3cm和 6cm ，则它的周长为（ ）A ．9cmB ．12cmC ．15cmD ．12cm 或15cm 2. （2008湖北鄂州）如图，已知ABC △中，45ABC ∠=，4AC =，H 是高AD 和BE 的交点，则线段BH 的长度为（ ） A ．6 B ．4C ．23D ．53. 2008湖北宜昌）如图，已知△ABC 的顶点B 的坐标是(2，1)，将 △ABC 向左平移两个单位后，点B 平移到B 1，则B 1的坐标是（ ）． A ．(4， 1) B ．(0，1) C ．(－1，1) D ．(1，0)4. （2008四川成都）如图，在△ABC 与△DEF 中，已有条件AB=DE ， 还需添加两个条件才能使△ABC ≌△DEF ，不能 添加的一组条件是( )A.∠B=∠E,BC=EFB.BC=EF ，AC=DFC.∠A=∠D ，∠B=∠ED.∠A=∠D ，BC=EF 5. （2008山西太原）如图，在ABC △中，D E ，分别是边AB AC ，的中点，已知 10BC =，则DE 的长为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．66. （山东淄博）如图，由4个小正方形组成的田字格中， △ABC 的顶点都是小正方形的顶点。

人教新课标版2009年中考第一轮同步复习第五章几何的基本概念与三角形（三角形与多边形）教案考点导航1．由三条不在__________的线段__________连接组成的平面图形，叫做三角形．2．在三角形中__________的角叫做三角形的内角．3．三角形内角的__________与另一边的__________组成的角，叫做三角形的外角．4．三角形的内角和等于__________．5．三角形的外角和是指从与三角形每个内角相邻的外角中，分别__________相加得到的和．6．三角形的一个外角大于__________．7．三角形的任意两边的和__________第三边．8．三角形的任意两边的差__________第三边．9．一般地，由n条不在__________的线段__________连接组成的平面图形称为n边形，又称为多边形．10．如果多边形的__________相等，各__________也相等，则称为正多边形．11．从与多边形每个内角相邻的两个__________中，分别取相加，得到的和称为多边形的外角和．12．n边形的内角和为__________．13．任意多边形的外角和为__________．14．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加一起恰好组成一个__________角时就拼成一个平面图案，能用一种正多边形拼或一个平面图案的有__________、__________．15．能够__________的两个图形叫做全等形，两个全等三角形重台时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角，“全等”用符号“__________”来表示，读作“__________”．16．全等三角形的__________相等，全等三角形的__________相等．17．两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“__________”或“__________”．18．两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“__________”或“__________”．19．三边对应相等的两个三角形全等，简写成“__________”或“__________”．20．两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“__________”或“AAS”．21．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“__________”或“HL”．22．我们学习了五种基本作图，它们是(1)____________________________________________________________；(2)____________________________________________________________；(3)____________________________________________________________；(4)____________________________________________________________；(5)____________________________________________________________．名师点拨中考考点考点1 多边形内角和与外角和公式的应用例 1 用边长相等的两种正多边形地砖铺满地面，若一种是正六边形，则另一种是__________．解析根据平面镶嵌的定义，两种正多边形密铺，各内角的整数倍等于360°，只能选1个正六边形和4个等边三角形或2个正六边形和2个正三角形．答案正三角形点评：镶嵌(密铺的性质是360°=若干内角和)，记不住易失误，120°+4×60°=360°，2×120°+2×60°=360°．变式训练已知多边形的每个内角都等于144°，那么这个多边形的边数为( )A．8 B．9 C．10 D．11考点2 三角形的三边关系及应用例2 如图1-5-38所示，已知等腰△ABC的腰AB=AC=10cm，底边BC=12 cm，则∠A的平分线的长是__________cm．解析∵AB=AC，AD是∠A的平分线，∴AD⊥BC，BD=CD．在Rt△ABD中，AB=10，BD=12BC=6，∴AD=8．答案8点评：勾股定理是解直角三角形问题的常用方法．变式训练下列长度的各组线段中，能组成三角形的是( )A．1，1，2 B．3，7，11C．6，8，9 D．3，3，6考点 3 三角形内角和与外角性质的应用例3 (2008·吉林)如图1-5-39所示，点D、B、C在同一直线上，∠A=60°，∠C=50°，∠D=25°，则∠1=__________．解析∵∠ABC+∠A十∠C=180°，∴∠ABC=70°．又∵∠ABC=∠1+∠D，∴∠D=25°，∴∠1=45°．答案45°点评：在三角形中计算角度或寻求角之间的关系用到内角和定理及推论时，把已知和未知的角归到一个三角形中或构成内外角关系．注意解题后的反思及规律总结．变式训练一个等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三角形的三个角应该为__________．考点4 全等三角形例4 如图1-5-40所示，点B在AE上，∠CAB=∠DAB，要使△ABC≌△ABD，可补充的一个条件是：__________(写一个即可)．解析题目中已知一对对应角和一条公共边．可补充：①AC=AD，根据SAS得全等．②∠C=∠D，根据AAS得全等．③∠CBA=∠DBA或∠CBE=∠DBE，根据ASA得全等，写出其中一个即可．答案见“解析”．点评：解决此类问题，必须牢固掌握三角形全等的识别方法．变式训练如图1-5-41所示，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM=CN；③AC=DN．其中，正确结论的个数是( )A．3个B．2个C．1个D．0个参考答案变式训练[考点1]C [考点2]C[考点3]70°，70°，40°或70°，55°，55°．[考点4]B。

第68课时课题：第五章《三角形》回顾与思考（1）学习目标：1、阅读教材进行知识梳理。

2、简单运用本章知识解决问题。

学习重点：知识梳理学习难点：运用知识解决问题。

学习过程：一、知识梳理1、三角形的定义是：；2、三角形的三边关系是：（1）三角形任意两边的和第三边；（2）三角形任意两边的差第三边；（3）三角形任意一边大于，小于。

3、三角形三个内角的和等于0；外角和等于0；4、三角形外角性质：三角形的一个外角等于，大于；5、三角形的分类：按按角分类有三角形、三角形和三角形；三角形和三角形统称斜三角形。

6、三角形的三条重要线段：（1）叫做三角形的角平分线；一个三角形有条角平分线，并且在相交于一点。

（2）叫做三角形的中线；一个三角形有条中线，并且在相交于一点。

（3）叫做三角形的高线；一个三角形有条高线，并且在相交于一点。

三角形的角平分线、中线和高都是（填写“直线”或“射线”或“线段”）7、叫做全等形。

全等图形和都相等。

8、的两个三角形叫做全等三角形，全等三角形的相等，相等。

9、要判定一个三角形全等必须个条件，其中至少有一个条件是；三角形全等的判断方法有（1）SSS：语言叙述是；（2）SAS：语言叙述是；（3）ASA：语言叙述是；（4）AAS：语言叙述是；(5)HL：语言叙述是；其中（填写序号）是判定任意三角形用的，而只能判定三角形全等。

二、作图1、画出三角形的所有角平分线：2、画出三角形的所有角平分线：3、画出三角形的所有高线：4、作三角形：（1）根据“SSS”作出：（2）根据“SAS”作出：（3）根据“ASA”作出：（4）根据“AAS”作出：（5）根据“HL”作出：三、练习：1、三角形具有性；2、一个三角形的一边为3，一边为5，则第三边m的取值范围是；3、一个等腰三角形的一边是3，一边是8，则它的周长是；4、一个等腰三角形的一边是5，一边是8，则它的周长是；5、三角形的一个外角等于820，于这个角不相邻的一个内角是400，则这个三角形其余各角的度数分别是。

中考数学复习课《三角形基本概念和性质》教学设计(1)三角形的：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段．(2)三角形的：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段．(3)三角形的：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段．(4)三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段．三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的．4．三角形的稳定性：三条线段组成三角形后，形状无法改变是稳定性的体现.基础训练：1．已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a－7|＋(b－1)2＝0，c为奇数，则c＝.2．已知等腰三角形的一个角是800，则它的底角度数为()A．20° B．50° C．80° D．50°或8003.如图，点D在△ABC边AB的延长线上，DE∥BC.若∠A＝35°，∠C＝24°，则∠D的度数是()A．24° B．59° C．60° D．69°4．如图，在△ABC中，∠BAC＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，则∠BAD＝() A．145° B．150° C．155° D．160°5.将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是()A．45° B．60° C．75° D．85°6.如图，在△ABC中，∠B＝44°，三角形的外角∠DAC与∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝.二、难点突破：考点精讲三角形的角平分线、中线、边的计算例1．(2020青海)如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于D，若∠A＝50°，则∠BDC＝度．例2、如图，点D、E、F分别是△ABC各边的中点，连接DE、EF、DF.若△ABC的周长为10，△DEF的周长为_____．例3．(2018·广东) 如图，△ABC三边的中线AD、BE、CF的公共点为G，若S △ABC＝12，则图中阴影部分的面积是__________．三、能力提升：走近中考：1．(广东)一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为( ) A．17 B．15 C．13 D．13或172.如图，AB是池塘两端，设计一方法测量AB的距离，取点C，连接AC、BC，再取它们的中点D、E，测得DE＝15米，则AB＝( )米．A．7.5 B．15 C．22.5 D．303．(2019遵义)如图，△ABC的面积是12，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则△AFG的面积是( )A．4.5 B．5 C．5.5 D．6课堂演练4．如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AD⊥BC于D，AD＝5，BE⊥AC于E，求BE的长．5．如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E.(1)求∠CBE的度数；(2)过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．四、小结：①通过本节课的学习，你学会了哪些知识；②通过本节课的学习，你最大的体验是什么；③通过本节课的学习，你掌握了哪些学习数学的方法？五、布置作业：备选题1．如果一个三角形的三个外角之比为2：3：4，则与之对应的三个内角度数之比为（）A．4：3：2 B．5：3：1 C．3：2：42．如图，C在AB的延长线上，CE⊥AF于E，交FB于D，若∠F=40°，∠C= 20°，则∠FBA的度数为（）A．50° B．60° C．70° D．80°3．三条线段a=5，b=3，c的值为整数，由a、b、c为边可组成三角形（）A．1个B．3个C．5个D．无数个4.已知△ABC中，AD⊥BC于D，AE为∠A的平分线，且∠B=35°，∠C=65°，则∠DAE的度数为．5.．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B=70°，∠FAE=19°，则∠C= 度．D．y＝2x2板书设计三角形基本概念和性质三角形概念例题讲解作业三角形性质学生练习。

《三角形》复习教案从容说课本章的内容是三角形，学生在小学已学过一些三角形的知识，对三角形的许多重要性质有所了解．又学过线段、角以及相交线、平行线等知识，初步了解了几何研究的对象和方法，掌握了一些几何中最基本的概念，并了解了一些推理论证的初步知识．本章在这个基础上，即对三角形有了一些感性认识，掌握了一些几何最基本的概念和方法的基础上，比较系统地研究三角形，研究它的概念、性质及应用等．本章的内容可分为三部分．第一部分主要研究了三角形的定义，以及与三角形有关的线段，边与边之间的关系，三角形的特点；第二部分主要探究了三角形的内角和与外角和的证明过程，这也是本章的难点，因为这时要要求学生进行简单的思路分析，明确目标后要正确引出辅助线，还要条理清晰地写出证明过程．因此对学生的要求比较高，所以对学生来说比较困难；第三部分是在三角形的基础上，研究多边形的有关概念，探索多边形的内角和与外角和，并利用多边形的知识进行平面镶嵌．这三部分内容中，第一部分是后面学习各种特殊三角形的基础，也是研究其他图形的基础知识；第二部分是“重头戏”，因为从这里已经涉及到几何题的推理证明；第三部分中研究的内角和与外角和是在三角形有关知识的基础上进行的，同时用多边形平面镶嵌，是把数学运用于实际，这三部分之间是循序渐进的．在教学中，首先让学生理清本章知识框架，然后各个击破，要让学生人人积极参与活动中，人人动手，个个畅所欲言，给他们提供充分的学习空间，使他们能通过“回顾与思考”对本章的内容又有一个新认识，再上一个新台阶．三维目标1．掌握本章知识结构图．2．理解三角形的顶点、内角以及三角形的边等有关概念．3．掌握一个三角形的中线、角平分线、高线及其定义，•对于任意一个三角形，会画出它的中线、角平分线和高线．4．掌握三角形内角和定理及三角形的外角与它不相邻的两个内角之间的关系．5．在学习的过程中，进一步发展学生的推理能力和有条理的表达能力．教学重点:三角形知识的概括与总结．教学难点:三角形知识的应用．导入新课我们本章学习的内容是三角形．三角形是最基本、最常见的图形，它是所有直线图形的基础，以后学习复杂的几何图形往往通过三角形来研究．同时，三角形的知识还将广泛应用到其他学科，因此我们应牢固掌握这部分内容．我们分两节课的时间复习这一章．推进新课动手试一试，你会有收获活动1．回顾本章所学知识．设计意图：检查学生对本章知识点的掌握情况，同时让学生对本章知识的框架有所了解．师生活动：下面我们把本章知识大致作一回顾．生：我们先学习了三角形的定义、顶点、内角、边等有关概念，以及三角形的表示方法；之后学习了三角形的中线、高、角平分线的定义；三角形三边之间的关系；三角形的稳定性；三角形的内角和；多边形的定义及内角和；平面镶嵌．师：这位同学总结得非常细．把上面这些内容概括起来，大致可分为三大部分：一、与三角形有关的线段；二、三角形的内角和与外角和；三、多边形的定义及内角和与外角和．请看本章知识结构图．本章知识结构图：活动2．问题：三角形的定义及表示方法．设计意图：检查学生对三角形的有关概念的理解．师生活动：师：你能用自己的语言描述三角形的定义吗？生：三角形是由不在同一直线上的三点首尾顺次相接所构成的．师：下面根据定义找三角形．图1中共有多少个三角形？生甲：图中共有四个三角形，它们分别是△ABE，△ADE，△BCE，△DCE．生乙：不对．还有△DAB，△DCB，△ADC，△ABC．师：在图中共有八个三角形．在明确三角形的定义后，要注意不重复，不遗漏．在上面的三角形中任选一个，指出它的顶点、边、角．生：在△ABC中，有三个顶点A，B，C；有三个角为∠ABC，∠CAB，•∠ACB；•三条边为AB，AC，BC．尝试反馈巩固练习1．分别找出图中共有几个三角形？再分别把它们表示出来．生：（1）中共有六个三角形，分别是△ABD，△ADE，△AEC，△ABE，△ADC，△ABC；（2）中共有八个三角形，分别是△ADC，△ABE，△BDC，△CEB，△ABC，△DBF，△FBC，△EFC；（3）中共有十二个三角形，分别是△ADE，△DBF，△DEF，△EFC，△FBC，•△ADC，•△ABE，△DBE，△DEC，△DBC，△EBC，△ABC．活动3．三角形的角平分线，中线，高的定义．设计意图：考查学生对三角形中重要线段的理解．师生活动：请大家用语言叙述这三种重要的线段．生：三角形的角平分线是一条线段而不是射线，它与一个角的平分线不同．三角形一共有三条角平分线，都在三角形的内部．如图3，线段AD是△ABC的角平分线．根据定义，则有∠BAD=∠CAD，∠BAC=2∠BAD=2∠CAD，∠BAD=∠CAD=12∠BAC．生：三角形的中线是连接它的一个顶点和对边中点的线段．一个三角形的中线共有三条．它们存在于三角形的内部．如图4，AD是△ABC的中线，则有BD=•DC，•BC=•2BD=2DC，BD=DC=12 BC．生：三角形的高是它的一个顶点到这个顶点对边所作的垂线段．它与三角形的角平分线和中线不尽相同，角平分线和中线都在三角形内部，而高要根据三角形的形状而定．其中，锐角三角形的三条高在三角形的内部，如图5（1）；直角三角形的两条高恰是它的两条直角边，另一条高在三角形的内部，如图5（2）；•钝角三角形有一条高在三角形的内部，而另外两条高在三角形的外部，如图5（3）．尝试反馈巩固练习如图6，△ABC中，AD是角平分线，BE是中线，CF是高，指出图中相等的线段和角．生：相等的线段有AE=EC，相等的角有∠BAD=∠CAD，∠BFC=∠AFC．师：三角形的角平分线、中线和高是三角形中三条重要的线段，•既要掌握它们的定义，又要进一步掌握它们在实际中的灵活运用．活动4．三角形三条边的关系设计意图：理解三角形任意两边之和大于第三边的性质，会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形．师生活动：师：三角形的三边之间的关系如何呢？生：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，如图7，在△ABC中，AB+BC>AC，AB+AC>BC，BC+AC>AB，AB-BC<AC，BC-AC<AB，AB-AC<BC．师：由“两点之间，线段最短”，我们可以得到三角形任何两边之和大于第三边的性质，而由这一性质又可以得出“三角形任何两边之差都小于第三边”的性质．构成三角形的条件是任何两边之和大于第三边，但是在实际中，我们并不一定把上面的式子都验证．当三条线段的长都是已知数时，取其中较小的两边，看看它们的和是否大于第三边，一次运算即可得到结论．当三条线段的长度都是用字母表示时，必须满足任何两边之和都大于第三边，可用不等式简记为：│a-b│<c<a+b．尝试反馈巩固练习有木条4根，长度分别为12cm，10cm，8cm，4cm，选其中三根组成三角形，•则选择的种数有几种？分析：首先要看在四根中选三根共有几种选法，再判断每种选法中是否符合“较小的两边之和大于第三边”．生：在这四根木条中任选三根，共有12cm，10cm，8cm；12cm，10cm，4cm；12cm，•8cm，4cm；10cm，8cm，4cm四种，其中满足条件的有三种，只有12cm，8cm，4cm•这一组不能构成三角形．因此，选择的种数有三种．师：三角形的三边关系的第二个应用是：已知三角形两边的长，•求第三边的取值范围．三角形一边长为11，另一边长为5，已知第三边长是整数，求第三边的长．分析：解这类题时，既要考虑两边之和大于第三边，•又要考虑两边之差小于第三边，所以第三边长应小于另两边长的和，大于另两边长的差，即│a-b│<c<a+b．生：解：设第三边长为x．则11-5<x<11+5．∴6<x<16，∵x是整数，∴x的取值为7，8，9，10，11，12，13，14，15．活动5．问题：三角形内角和定理及其应用．设计意图：巩固三角形的内角和定理．师生活动：师：三角形内角和定理在几何学习中有着极其重要的作用，我们应该熟练地掌握．对于三角形内角和定理的证明方法，对我们将来的解题也有很大的帮助，因此，我们也要掌握．我们先回忆三角形内角和定理的证明方法．生：因为一个平角是180°，所以在证明三角形内角和定理时．•基本思路是：把三角形的三个内角拼到一起成为一个平角，可以把三个角拼到一个顶点处，拼到一边上；拼到三角形内任意一点；拼到三角形外任意一点都可以证明．师：很好．下面我们看三角形内角和定理的应用．已知△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=2：3：4．求∠A ，∠B ，∠C 的度数．分析：我们知道三角形的三个内角之和为180°，而∠A ：∠B ：∠C=2：3：4，•可以设∠A 的度数为2x ，则∠B 为3x ，∠C 为4x ，代入∠A+∠B+∠C=180°中即可．解：设∠A=2x ，则∠B=3x ，∠C=4x ．根据三角形的内角和定理，得2x+3x+4x=180°．∴9x=180°，x=20°．∴∠A=40°，∠B=60°，∠C=80°．活动6．问题：本章知识综合运用．设计意图：把所学知识联系起来，培养学生的综合运用能力．师生活动：师：学习的目的就是为了应用，而且要把知识综合运用，这可不是一件很容易的事，下面我们就来试一试．如图8，△ABC 中，∠B 的外角平分线与∠C 的外角平分线交于点E ．求证：∠BEC=90°-12∠A ． 分析：因为∠BEC 在三角形BCE 中，所以需要求∠2与∠3，而∠2，∠3•分别是△ABC 中两外角的一半，可以把∠2，∠3与△ABC 中的∠ABC ，∠ACB•联系起来，•而∠ABC ，•∠ACB 与∠A 的和是180°．证明：由三角形内角和定理，得∠BEC=180°-（∠2+∠3）．∵BE 、CE 分别为∠B 、∠C 的外角平分线，∴∠1=∠2，∠3=∠4．∴∠2=12（180°-∠ABC ）；∠3=12（180°-∠ACB ）． ∴∠2+∠3=180°-12（∠ABC+∠ACB ）． ∴∠BEC=180°-（∠2+∠3）=180°-[180°-12（∠ABC+∠ACB ）] =12（∠ABC+∠ACB ）=12（180°-∠A ）=90°-12∠A ． 课堂小结本节课我们复习了三角形的有关知识，以及知识的进一步巩固和运用．布置作业:复习题7 1～3．活动与探究1．利用四条直线能否围成四个三角形，如果能围成，请画出图形．解：可以构成，如图9共有4个三角形，它们是△ABC，△BFE，△CDE，△AFD．2．如图10，在△ABC中，AD、BE、CF是三条中线，它们相交于同一点G，问△AGF•的面积和△AGE的面积是否相等？为什么？解：∵AD是中线，∴BD=CD．∴△ABD的面积等于△ACD的面积，△BGD的面积等于△CDG的面积．∴△ABG的面积等于△ACG的面积．∵BE、CF是中线，∴△AFG的面积等于△ABG的面积的一半．△AEG的面积等于△ACD的面积的一半．∴△AFG的面积等于△AEG的面积．备课资料1．下列各组数据中，能组成三角形的是（）A．11，25，43 B．22，67，69 C．91，25，46 D．73，2，682．在△ABC中，∠A=12∠B=13∠C，则△ABC是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定3．若一个正多边形的每一个外角为20°，则这个多边形的边数为（）A．9 B．10 C．11 D．184．四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比为2：3：4：3，则∠D等于（）A．60° B．75° C．90° D．120°5．一个多边形的内角和是它外角和的3倍，求这个多边形的边数．6．锐角△ABC中，BD和CE是两条高，相交于点M，BF、CG是两条角平分线，相交于点N，如果∠BMC=100°，求∠BNC的度数．答案：1．B 2．B 3．D 4．C 5．8 6．∠BNC=130°．。

人教新课标版2009年中考第一轮同步复习第五章几何的基本概念与三角形（等腰三角形和直角三角形）教案考点导航1．三角形的分类(1)按角分类：________________________________________________⎧⎪⎨⎪⎩三角形(2)按边分类：_____________________⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形2．线段垂直平分线上的点到这条线段__________的__________相等．3．角平分线上的点到角的_________ 的_________ 相等．4．两条边_________的三角形叫做等腰三角形．5．等腰三角形的两个_________相等(简写成“_________”)．6．等腰三角形的顶角_________，底边上的_________和底边上的_________互相重合，简称“_________”．7．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角也相等(简写成“_________”)．8．等边三角形的各个内角相等，并且每一个内角都等于_________．9．勾股定理直角三角形两直角边的_________等于斜边的_________． 10．勾股定理的逆定理如果三角形的两条边的_________等于第三条边的_________，则这个三角形是直角三角形．名师点拨1．勾股定理的运用(1)基础题，在直角三角形中已知两边求第三边，分情况讨论：⎧⎨⎩要求的是直角要救的是斜(2)将直角三角形三边用含有同一字母的代数式表示，利用勾股定理列方程求解．2．三角形中证明线段相等或角相等的几种常用方法(1)证明线段相等①证明两条线段所在的三角形全等；②利用等角对等边；③利用线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；④利用角平分线上的点到角的两边的距离相等；⑤利用等腰三角形的“三线合一”性质；⑥利用三角形的中位线定理和“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质； ⑦利用等量代换．(2)证明两角相等①证明两角所在的三角形全等；②利用等边对等角；③利用平行线的性质；边 边 边 边④利用等腰三角形的“三线合一”性质；⑤利用互为余角、补角的性质及对顶角的性质；⑥利用等量代换．中考考点考点1 等腰三角形的性质和判定例1 (2008·嘉兴)已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为( )A．50°B．80°C．50°或80°D．40°或65°解析分两种情况：(1)顶角为50°；(2)底角为50°时，顶角是180°－2×50°=80°．答案C点评：解决等腰三角形的边与边，角与角之间的关系时，要注意分类．变式训练已知等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为( )A．12或9 B．12 C．9 D．7考点2 等边三角形性质及应用例2 (2008·大连)如图1-5-55所示，P是正△ABC内的一点，若将△PAC绕点A逆时针旋转到△P＇AB，则∠PAP＇的度数为．解析∵△ABC是正三角形，∴∠BAC=60°，AB=AC．又∵AB和AC是对应边，∴旋转角∠P AP＇=∠BAC=60°．答案60°点评：等边三角形除了三边相等外，还有三角相等且都等于60°．变式训练如图1-5-56所示，在等边三角形ABC中，D、F分别在边BC、AC上，DC=AE，AD、BE交于点F．请你量一量∠BFD的度数，并证明你的结论．考点3 直角三角形性质例3 (2008·苏州)如图1-5-57所示，将一个边长为1的正八边形补成正方形．这个正方形的边长等于__________．(结果保留根号)解析∵正方形的顶角是90°，边长都相等，∴由正八边形补成正方形，可补上四个以八边形边长为斜边的等腰直角三角形．若设小等腰直角三角形的腰为x，则有x2＋x2＝1，解得x，222答案点评：勾股定理是解决直角三角形的边与边之间关系的重要方法，注意灵活应用．变式训练△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，若∠C＝90°，如图1-5-58(1)，根据勾股定理，则a2十b2＝c2，△ABC不是直角三角形，如图1-5-58(2)和图1-5-58(3)，请你类比勾股定理，试猜想a2+b2与c2的关系，并证明你的结论．考点4 线段的垂直平分线的性质例4 如图1-5-59所示，在△ABC中，BC＝8 cm．AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长l＝18 cm，则AC的长等于( )A．6 cm B．8 cm C．10 cm D．12 cm解析：由线段的垂直平分线性质知AE＝BE，∴△BCE的周长l＝BC+BE+CE＝BC+AE+CE＝BC+AC=18 cm．∵BC=8 cm，∴AC=10 cm．答案 C点评遇到线段的垂直平分线时，常连接线段的端点和垂直平分线上的点，构造等腰三角形得线段相等或角相等．变式训练如图1-5-60所示，△ABC中，∠BAC＝106°，EF、MN分别是AB、AC的垂直平分线，点E、M在BC上，则∠EAM等于__________．参考答案变式训练[考点1]B [考点2]∠BFD=60°[考点3]解：若△ABC为锐角三角形，则a2+b2＞c2，若△ABC为钝角三角形，则a2+b2＜c2．证明：当△ABC是锐角三角形时，如右图，过点A作AD⊥CB，垂足为D．设CD为x，则有DB=a-x．根据勾股定理，得：b2-x2=c2-(a-x)2，即b2-x2=c2-a2+2ax-x2，∴a2+b2=c2+2ax．∵a＞0，x＞0，∴2ax＞0．∴a2+b2＞c2．当△ABC是钝角三角形时，如右图，过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D．设CD为x，则BD2=a2-x2．根据勾股定理，得：(b+x)2+a2-x2=c2．即b2+2bx+x2+a2-x2=c2．∴a2+b2+2bx=c2，∵b＞0，x＞0，∴2bx＞0，∴a2+b2＜c2．[考点4]32°。