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中考数学专题复习之十：动态几何型题
动态几何问题是近年来中考数学试题的热点题型之一，常以压轴题型出现。
这类问题主要是集中代数、几何、三角、函数知识于一体，综合性较强。
常用到的解题工具有方程的有关理论，三角函数的知识和几何的有关定理。
【范例讲析】
例：如图，长方形ABCD 中，AD=8cm,CD=4cm.
⑴假设点P 是边AD 上的一个动点,当P 在什么位置时PA=PC?
⑵在⑴中,当点P 在点P ＇时，有C P A P ''=，Q 是AB 边上的一个动点,假设4
15AQ =时, QP' 与C P '垂直吗？为什么？
D C
A
【闯关夺冠】：
如图，平面直角坐标系中，四边形OABC 为矩形，点A B ，的坐标分别为(40)43()，，，，动点M N ，分别从O B ，同时出发．以每秒1个的速度运动．其中，点M 沿OA 向终点A 运动，点N 沿BC 向终点C 运动．过点M 作MP OA ⊥，交AC 于P ，连结NP ，动点运动了x 秒．
〔1〕P 点的坐标为〔 ， 〕〔用含x 的代数式表示〕；
〔2〕试求NPC △面积S 的表达式，并求出面积S 的最大值及相应的x 值；
〔3〕当x 为何值时，NPC △是一个等腰三角形？简要说明理由．
y。
2019-2020年中考专题练习题：专题十动点型问题一、中考考点精讲考点一：成立动点问题的函数分析式（或函数图像）函数揭露了运动变化过程中量与量之间的变化规律, 是初中数学的重要内容. 动点问题反应的是一种函数思想, 因为某一个点或某图形的有条件地运动变化, 惹起未知量与已知量间的一种变化关系, 这种变化关系就是动点问题中的函数关系.例 1（2013?兰州）如图，动点P 从点 A 出发，沿线段AB 运动至点 B 后，立刻按原路返回，点 P 在运动过程中速度不变，则以点 B 为圆心，线段BP 长为半径的圆的面积S 与点P 的运动时间t 的函数图象大概为（）A．B． C ．D．思路剖析：剖析动点P 的运动过程，采纳定量剖析手段，求出S 与 t 的函数关系式，依据关系式能够得出结论．解：不如设线段AB 长度为 1 个单位，点P 的运动速度为 1 个单位，则：（1）当点 P 在 A→B段运动时， PB=1-t ， S=π（ 1-t）2（ 0≤t＜ 1 ）；（2）当点 P 在 B→A段运动时， PB=t-1 ， S=π（ t-1）2（ 1≤t ≤2）．综上，整个运动过程中，S 与 t 的函数关系式为：S=π（ t-1）2（ 0≤t ≤2），这是一个二次函数，其图象为张口向上的一段抛物线．联合题中各选项，只有 B 切合要求．应选 B ．评论：此题联合动点问题考察了二次函数的图象．解题过程中求出了函数关系式，这是定量的剖析方法，合用于此题，假如只是用定性剖析方法例难以作出正确选择．对应训练1．（ 2013? 白银）如图，⊙O 的圆心在定角∠α（0°＜α＜180°）的角均分线上运动，且⊙O 与∠α的两边相切，图中暗影部分的面积S 对于⊙ O 的半径 r（ r＞ 0）变化的函数图象大致是（）A．B．C．D．1． C考点二：动向几何型题目点动、线动、形动组成的问题称之为动向几何问题.它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题.这种题综合性强，能力要求高，它能全面的考察学生的实践操作能力，空间想象能力以及剖析问题和解决问题的能力.动向几何特色----问题背景是特别图形，考察问题也是特别图形，因此要掌握好一般与特别的关系；剖析过程中，特别要关注图形的特征（特别角、特别图形的性质、图形的特别地点。
中考总复习第二阶段专题：动态几何问题动态几何问题是一类用函数的观点来解决的新型几何问题.函数是中学数学的一个重要概念，加强对函数思想方法的考查是近年来中考试题的一个显著特点.大量涌现的动态几何型问题，即建立几何中元素的函数关系式问题是这一特点的体现.这类问题有一定的实际意义，因此，对函数解析式中自变量的取值范围必须认真考虑，一般需要有约束条件，即自变量的取值限定在一定的范围内。
例1：反比例函数xk y =)0(≠k 的图象如图所示，点M 是该函数图象上一动点，MN 垂直于x 轴，垂足是点N ，如果MON S ∆=2，则k 的值为 .分析：由待定系数法知，要求k 的值就需知道点M 的坐标， 但在此题中，M 为双曲线上的动点，其坐标不确定；因此，设M ),(y x 且M 在第二象限，则MN=y y =，NO=x x -=，由MON S ∆ =2)(2121=-⋅⋅=⋅⋅x y ON MN ，得xy =-4，由x k y =可得xy k =，故k =-4. 【双曲线中k 的几何意义是双曲线上任一点向x 轴、y 轴作垂线所围成的矩形的面积】 例2：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AB=14cm,AD=15cm ，BC=21cm ，点M 从点A 开始，沿AD 边向点D 运动，速度是1cm/s ；点N 从点C 开始，沿CB 边向点B 运动，速度是2cm/s.设运动时间为t （s ）.（1）当t 为何值时，四边形MNCD 是平行四边形？（2）当t 为何值时，四边形MNCD 是等腰梯形？分析：（1）由题意知，AD ∥BC ，即MD ∥CN ，只要当MD=NC 时，四边形MNCD 就是平行四边形；（2）从等腰梯形的判定出发，当MN=CD 且MD ≠CN 时，四边形MNCD 就是等腰梯形.如图，过D 作DF ⊥BC 于F ，过M 作ME ⊥BC 于E ，得矩形MEFD ，得MD=EF ；证△CDF ≌△NME ，得NE=CF=6cm ，进而可以通过把MD 与CF 建立等量关系，从而列出关于t 的方程求解.解：（1）由AD ∥BC ，即MD ∥CN ，当MD=CN 时，四边形MNCD 是平行四边形，即15-t=2t ，解得t=5.故当t=5时，四边形MNCD 为平行四边形.（2）当MN=CD 且MD ≠CN 时，四边形MNCD 就是等腰梯形.如图，过D 作DF ⊥BC 于F ，过M 作ME ⊥BC 于E ，得矩形MEFD ，则MD=EF ； 由△CDF ≌△NME ，得NE=CF=6cm ，当运动时间为t （s ）时，MD=EF=15-t ，NC=2t, 有NE+CF=NC-EF,即6+6=2t-(15-t)，解得t=9.故当t=9（s ）时，四边形MNCD 是等腰梯形.【在由点运动构造的动态几何问题中，要注意点运动的路线所形成的分类讨论问题，解答方法是将各个时刻的图形分解出来，各个击破；在解题过程中，应善于借助方程做桥梁，再设法分别求解.】例3：如图，已知△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 匀速运动，其中点P 运动的速度是1cm/s ，点Q 运动的速度是2cm/s ，当点Q 到达点C 时，P 、Q 两点都停止运动，设运动时间为t(s)，解答下列问题：（1）设△BPQ 的面积为S （2cm ），求S 与t 的函数关系式；（2）作QR ∥BA 交AC 于点R ，连结PR ，当t 为何值时，△APR ∽△PRQ ？分析：（1）如图，要表示△BPQ 的面积，则需过点Q 作QE ⊥AB 于E ，且含t 的代数式分别表示出△BPQ 的底（PB ）和高（QE ）即可；（2）由QR ∥BA 得△QRC 也是等边三角形，从而可以用含t 的代数式表示出QR ；再证四边形EPRQ 是矩形，又因为要满足△APR ∽△PRQ ，则必有∠QPR=∠A=60°，最后在Rt △PRQ 中运用锐角三角函数即可求出t 的值. 解：（1）过Q 作QE ⊥AB ，垂足为E ，由QB=2t ，得QE=2t ︒⋅60sin =3t.由AP=t ,得PB=6-t ， 故.33233)6(21212t t t t QE BP S BPQ +-=⋅-=⋅⋅=∆(0≤t ≤3) （2）∵QR ∥BA ， ∴∠QRC=∠A=60°，∠RQC=∠B=60°，∴△RQC 是等边三角形， ∴QR=RC=QC=6-2t.∵BE=BQ ︒⋅60cos =⨯212t=t ， ∴EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t, ∴EP ∥QR ，EP=QR, ∴四边形EPRQ 是平行四边形， ∴PR=EQ=3t.又∵∠PEQ=90°， ∴∠APR=∠PRQ=90°.∵△APR ∽△PRQ, ∴∠QPR=∠A=60°，∴tan60°=PR QR ,即3326=-tt .解得t=1.2, ∴当t=1.2时，△APR ∽△PRQ.【点评】这类题目的一般解法是抓住变化中的“不变”，以“不变”解决几何图形中的“变”的问题，在解题过程中，要善于利用相似三角形的性质定理、勾股定理、锐角三角函数、圆幂定理、面积关系，借助方程做桥梁，再设法求解.例4：如图1，在矩形ABCD 中，AB=12cm ，BC=6cm,点P 从A 点出发沿A →B →C →D 路线运动，到D 点停止；点Q 从点D 出发，沿D →C →B →A 路线运动，到A 点停止.若点P 、Q 同时出发，点P 的速度为每秒1cm ，点Q 的速度为每秒2cm.a 秒时，点P 、Q 同时改变速度，点P 的速度变为每秒b （cm ），点Q 的速度变为每秒c （cm ）.如图2是点P 出发x 秒后△APD 的面积1S (2cm )与x （秒）的函数关系图象；图3是点Q 出发x 秒后△AQD 的面积2S (2cm )与x （秒）的函数关系图象.根据图象，（1）求c b a ,,的值；（2）设点P 离开点A 的路程为1y （cm ），点Q 到点A 还需走的路程为2y （cm ），请分别写出改变速度后1y 、2y 与出发后的运动时间x 秒的函数关系式，并求出P 与Q 相遇时x 的值.分析：图2是点P 出发x 秒后△APD 的面积1S (2cm )与x （秒）的函数关系图象.由图象可知有坐标（24,a ），表示当运动时间为a 秒时，APD S ∆=⋅21AP ⋅AD=24，因此可求出AP ，即可求出a 的值；又由图2中（10,36）可知P 在AB 上运动时间共为10秒，此段1S (2cm )随x （秒）的增大而增大，当P 点运动到BC 边时（含B 、C 两点），△APD 的面积1S (2cm )保持不变；图3除反映点Q 出发x 秒后△AQD 的面积2S (2cm )与x （秒）的函数关系为，还反映了点Q 共运动了22秒.解：（1）由图1和图2知APD S ∆=⋅21AP ⋅AD=24，又AD=BC=6，所以AP=8，即=a 8秒.图1中，当运动时间为8秒时，PB=12-8=4cm ，由图2得224==b cm/秒.当Q 从D 出发a =8秒时，Q 运动了2⨯8=16cm ，而Q 沿D →C →B →A 路线运动，到A 点停止，则Q 到点A 还剩余30-16=14cm ，则图3知点Q 运动总时间为22秒，则有1)822()1630(=--=秒cm c cm/秒. （2）由题意得822)8(181-=⨯-+⨯=x x y ；22]1)8(28[302+-=⨯-+⨯-=x x y ；由图1可知点A 的路程1y （cm ）即为点Q 到点A 还需走的路程2y （cm ），故2282+-=-x x ，解得10=x ，即P 与Q 相遇时x 为10秒.【点评】（1）弄清楚题目中各个变量所表示的实际意义；（2）对于图形中各运动点所运动的距离用代数式表示；（3）能通过阅读图2和图3中函数的图象，知道图象上特殊点所表示的实际意义和每段图象所表达的实际意义.能力训练：一、选择题：1、如图，正方形ABCD 与正方形OPQR 的边长均为2，正方形OPQR的顶点O 与正方形ABCD 的中心重合，且正方形OPQR 绕点O 旋转，两正方形重叠部分的面积是（ ）A. 0.25B. 0.5C. 1D. 无法判断2、如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD=60°，AB=5，BC=3，点P从起点D 出发，沿DC 、CB 向终点B 匀速运动，设点P 所走过的路程为x ，点P 经过的线段与AD 、AP 所围成的图形的面积为y ，y 随x 的变化而变化.在下列图象中，最能正确反映y 与x 的函数关系式的是（ ）A. B. C. D.3、在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD=BC=5，DC=7，AB=13，点P 从点A 出发，以3个单位/s 的速度沿AD →DC 向终点C 运动，同时点Q 从点B 出发，以1个单位/s 的速度沿BA 向终点A 运动，在运动期间，当四边形PQBC 为平行四边形时，运动时间为（ ）A. 3sB. 4sC. 5sD. 6s二、填空题：1、如图，小明在操场上从A 点出发，沿直线前进10米后向左转40°，再沿直线前进10米后，又向左转40°，……，照这样走下去，他第一次回到出发地A 点时，一共走了 米.2、如图，菱形ABCD 中，∠BAD=60°，M 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，若PM+PB 的最小值是3，则AB 长为 .三、解答题：1、已知如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数343+=x y 的图象与x 轴和y 轴分别交于A 、B 两点，将△AOB 绕点O 顺时针旋转90°后得到△A ´OB ´.（1）求直线A ´B ´的解析式；（2）若直线A ´B ´与直线AB 相交于点C ，求AOB BCA S S ∆∆:'的值.2、如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，将△BOC绕点C顺时针方向旋转60°得△ADC，连结OD.（1）求证：△COD是等边三角形；（2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形.3、李老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬行最近”的课题研究时设计了以下三个问题，请你根据下列所给的重要条件分别求出蚂蚁爬行的最短路程的长.（1）如图①，正方体的棱长为5cm，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿着正方体的表面爬到点C’处；（2）如图②，正四棱柱的底面边长为5cm，侧棱长为6cm，一只蚂蚁欲从正四棱柱底面上的点A沿着棱柱的表面爬到点C’处；（3）如图③，圆锥的母线长为4cm，圆锥的侧面展开图如图④所示，且∠AOA’=120°，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A.4、已知如图，△ABC 是边长3cm 的等边三角形，动点P 、Q 分别从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 方向匀速运动，它们的速度都是1cm/s ，当点P 到达点B 时，P 、Q 两点都停止运动.设点P 的运动时间为t(s)，解答下列问题：（1）当t 为何值时，△PBQ 是直角三角形？（2）设四边形APQC 的面积为)(2cm y ，求y 与t 的关系式.是否存在某一时刻t ，使四边形APQC 的面积是△ABC 面积的三分之二？如果存在，求出相应的t 值，如果不存在，说明理由；（3）设PQ 的长为)(cm x ，试确定y 与x 的关系式.5、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=50，AC=30,D 、E 、F 分别是AC 、AB 、BC 的中点，点P 从点D 出发沿折线DE →EF →FC →CD 以每秒7个单位长的速度匀速运动，点Q 从点B 出发沿BA 方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点Q 作射线QK ⊥AB ，交折线BC →CA 于点G.点P 、Q 同时出发，当点P 绕行一周回到点D 时停止运动，点Q 也随之停止.设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）.（1）D 、F 两点间的距离是 .（2）射线QK 能否把四边形CDEF 分成面积相等的两部分？若能，求出t 的值；若不能，说明理由.（3）当点P 运动到折线EF →FC 上，且点P 又恰好落在射线QK 上时，求t 的值.。
