北师大版-数学-八年级下册--6.3为什么它们平行导学案

6.3为什么它们平行一、学习目标：1.知道证明的基本步骤和书写格式.2.会根据“同位角相等，两直线平行”证明“同旁内角互补，两直线平行”、“内错角相等，两直线平行”，并能简单应用这些结论. 二、自学探究：1、复习回顾：两条直线在什么情况下互相平行呢？ （1） （2） （3） （4） （5）其中， 是定义， 是公理，利用这个这个公理，可以证明平行线的判定定理 .2、证明平行线的判定定理一：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．（简记为： ）已知，如图， a ∥b,∠1和∠2是直线a 、b 被直线c截出的同旁内角，且∠1与∠2互补.求证：a ∥b.证明：注意：证明一个命题的一般步骤：(1)弄清题设和结论； (2)根据题意画出相应的图形； (3)根据题设和结论写出已知、求证； (4)分析证明思路,写出证明过程.2 证明：内错角相等,两直线平行．1）小明用下面的方法作出了平行线，你认为他的作法对吗？为什么？两条平行线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． （简记为： ） 要求：作出图形，写出已知，求证和证明.三、巩固拓展（10分钟） 1 证明对顶角相等。

已知：如图，直线AB 、CD 相交于点O ， ∠1和∠2是对顶角， 求证： ∠1＝ ∠2。

2 如图：直线AB 、CD 都和AE 相交，且∠1+∠A=180º 。

求证：AB//CD2.如图2，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，∠1+∠2=180°．求证：CD ∥EF ．四、自学释疑及小结：1、自学中遇到的问题,还有什么困惑2、证明的一般步骤五、课堂检测：1、完成下列推理，并写出证明的依据。

（1）如图甲所示∵ ∠ADE ＝ ∠DEF （已知）∴ AD ∥ （ ） 又∵ ∠EFC+ ∠C= 180 °（已知） EF ∥ （ ） ∴ ∥ 。

（ ）（2）如图乙所示∵ AC ⊥ AB ，BF ⊥ AB （ 已知 ）∴ ∠ CAB = ∠ ABF=90 ° （ ） ∵ ∠ CAD= ∠ EBF=30 ° （已知 ）∴∠ CAB －∠ CAD ＝∠ ABF －∠ EBF （ ） 即∠ =∠∴ ∥ .（ ）b 12c a 图2。

课题名称 6.3为什么它们平行班级______ 学号_______ 姓名________学习目标：（1）熟练掌握平行线的判定公理及定理；（2）能对平行线的判定进行灵活运用，并把它们应用于几何证明中．重点：平行线的判定公理及定理难点：对平行线的判定进行灵活运用一、复习1、将下列语句改为“如果。

”，“那么。

”的形式。

（1）菱形的四条边都相等（2）相等的角是对顶角2、下列命题是真命题的是（）A 任何数的平方都是正数B 相等的角是对顶角C 内错角相等D 两直线平行，同位角相等3、有关平行线的公理是：（1）（2）二、情景引入1、两条直线在什么情况下互相平行呢？1）定义：2）公理：3）定理：4）传递性：注：要证实一个命题是真命题．除公理、定义外，其他真命题都需要通过推理方法证实．三：探索平行线判定方法的证明①证明：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．数学语言：证明：②证明：内错角相等,两直线平行．1）小明用下面的方法作出了平行线，你认为他的作法对吗？为什么？2）证明：“内错角相等，两直线平行”数学语言：证明：③借助“同位角相等，两直线平行”这一公理，你还能证明“如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行”的结论吗？四：反馈练习1、蜂房的底部由三个全等的四边形围成，每个四边形的形状如图所示，其中∠α＝109°28′，∠β=70°32′，试确定这三个四边形的形状，并说理由。

五、课堂小结1、本节课学到了哪些知识，用到了哪些数学研究方法？2、你有哪些知识还存在疑问？请你整理出来！六、作业1、证明对顶角相等。

2、已知：如图，直线a ，b 被直线c 所截，且∠1+∠2=180°，求证：a 和b 平行。

2024北师大版数学八年级下册6.3《三角形的中位线》教学设计一. 教材分析《三角形的中位线》是北师大版数学八年级下册第六章第三节的内容。

本节内容主要介绍三角形的中位线的性质，包括中位线的长度等于它所对的边的一半，以及中位线平行于第三边。

这一节内容是学生学习几何的重要基础，对于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力具有重要意义。

二. 学情分析学生在学习本节内容之前，已经学习了三角形的性质，包括三角形的内角和定理，三角形的边长关系等。

学生对于几何图形的性质有一定的了解，但对于证明过程可能还不够熟练。

此外，学生对于中位线的概念可能还不够熟悉，需要通过实例和练习来加深理解。

三. 教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解三角形的中位线的概念，掌握中位线的性质，能够运用中位线的性质解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、推理等过程，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与课堂活动，克服困难，体验成功，培养对数学的兴趣和自信心。

四. 教学重难点1.教学重点：三角形的中位线的性质，中位线的长度等于它所对的边的一半，中位线平行于第三边。

2.教学难点：证明三角形的中位线平行于第三边，以及证明中位线的长度等于它所对的边的一半。

五. 教学方法1.引导发现法：教师通过提出问题，引导学生观察、思考，发现中位线的性质。

2.几何画板辅助教学：利用几何画板展示几何图形，直观地演示中位线的性质。

3.小组合作学习：学生分组讨论，共同完成练习题，培养学生的合作精神和沟通能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示三角形的中位线的性质。

2.练习题：准备一些有关三角形中位线的练习题，巩固所学知识。

3.几何画板：准备几何画板软件，用于展示几何图形。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾三角形的基本性质，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）教师利用几何画板展示三角形的中位线，引导学生观察中位线的性质，并提出问题，让学生思考。

第四课时●课题§6.3 为什么它们平行●教学目标（一）教学知识点1.平行线的判定公理.2.平行线的判定定理.（二）能力训练要求1.通过经历探索平行线的判定方法的过程，发展学生的逻辑推理能力.2.理解和掌握平行线的判定公理及两个判定定理.3.掌握应用数学语言表示平行线的判定公理及定理，逐步掌握规范的推理论证格式.（三）情感与价值观要求通过学生画图、讨论、推理等活动，给学生渗透化归思想和分类思想.●教学重点平行线的判定定理、公理.●教学难点推理过程的规范化表达.●教学方法尝试指导、引导发现与讨论相结合.●教具准备投影片五张第一张：定理（记作投影片§6.3 A）第二张：议一议（记作投影片§6.3 B）第三张：定理（记作投影片§6.3 C）第四张：想一想（记作投影片§6.3 D）第五张：小结（记作投影片§6.3 E）●教学过程Ⅰ.巧设现实情境，引入新课［师］前面我们探索过直线平行的条件.大家来想一想：两条直线在什么情况下互相平行呢？［生甲］在同一平面内，不相交的两条直线就叫做平行线.［生乙］两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线互相平行.［生丙］同位角相等，两直线平行.内错角相等，两直线平行.同旁内角互补，两直线平行.［师］很好.这些判定方法都是我们经过观察、操作、推理、交流等活动得到的.上节课我们谈到了要证实一个命题是真命题.除公理、定义外，其他真命题都需要通过推理的方法证实.我们知道：“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”是定义.“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行”是公理.那其他的三个真命题如何证实呢？这节课我们就来探讨第三节：为什么它们平行.Ⅱ.讲授新课［师］看命题（出示投影片§6.3 A）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.［师］这是一个文字证明题，需要先把命题的文字语言转化成几何图形和符号语言.所以根据题意，可以把这个文字证明题转化为下列形式：图6－12如图6－12，已知，∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的同旁内角，且∠1与∠2互补，求证：a∥b.那如何证明这个题呢？我们来分析分析.［师生共析］要证明直线a与b平行，可以想到应用平行线的判定公理来证明.这时从图中可以知道：∠1与∠3是同位角，所以只需证明∠1=∠3，则a与b即平行.因为从图中可知∠2与∠3组成一个平角，即∠2+∠3=180°,所以：∠3=180°－∠2.又因为已知条件中有∠2与∠1互补，即：∠2+∠1=180°,所以∠1=180°－∠2,因此由等量代换可以知道：∠1=∠3.［师］好.下面我们来书写推理过程，大家口述，老师来书写.（在书写的同时说明：符号“∵”读作“因为”，“∴”读作“所以”）证明：∵∠1与∠2互补（已知）∴∠1+∠2=180°（互补的定义）［∵∠1+∠2=180°］∴∠1=180°－∠2（等式的性质）∵∠3+∠2=180°（1平角=180°）∴∠3=180°－∠2（等式的性质）［∵∠1=180°－∠2，∠3=180°－∠2］∴∠1=∠3（等量代换）［∵∠1=∠3］∴a∥b（同位角相等，两直线平行）这样我们经过推理的过程证明了一个命题是真命题，我们把这个真命题称为：直线平行的判定定理.这一定理可简单地写成：同旁内角互补，两直线平行.注意：（1）已给的公理，定义和已经证明的定理以后都可以作为依据.用来证明新定理.（2）方括号内的“∵∠1+∠2=180°”等，就是上面刚刚得到的“∴∠1+∠2=180°”，在这种情况下，方括号内的这一步可以省略.（3）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、公理，已经学过的定理.在初学证明时，要求把根据写在每一步推理后面的括号内.小明用下面的方法作出了平行线，你认为他的作法对吗？为什么？图6－13图6－14［生］我认为他的作法对.他的作法可用图6－14来表示：∠CFE=45°,∠BEF=45°.因为∠BEF与∠FEA组成一个平角，所以∠FEA=180°－∠BEF=180°－45°=135°.而∠CFE与∠FEA是同旁内角.且这两个角的和为180°，因此可知：CD∥A B.［师］很好.从图中可知：∠CFE与∠FEB是内错角.因此可知：“内错角相等，两直线平行”是真命题.下面我们来用规范的语言书写这个真命题的证明过程.图6－15［师生共析］已知，如图6－15，∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的内错角，且∠1=∠2.求证：a∥b证明：∵∠1=∠2（已知）∠1+∠3=180°（1平角=180°）∴∠2+∠3=180°（等量代换）∴∠2与∠3互补（互补的定义）∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）.两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.这一定理可以简单说成：内错角相等，两直线平行.［师］刚才我们是应用判定定理“同旁内角互补，两直线平行”来证明这一定理的.下借助“同位角相等，两直线平行”这一公理，你还能证明哪些熟悉的结论呢？［生甲］已知，如图6－16，直线a⊥c,b⊥c.求证：a∥b.图6－16证明：∵a⊥c,b⊥c（已知）∴∠1=90°∠2=90°（垂直的定义）∴∠1=∠2（等量代换）∴b∥a（同位角相等，两直线平行）［生乙］由此可以得到：“如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行”的结论.［师］同学们讨论得真棒.下面我们通过练习来熟悉掌握直线平行的判定定理.Ⅲ.课堂练习（一）课本P190随堂练习1.蜂房的底部由三个全等的四边形围成，每个四边形的形状如图6－17所示，其中∠α=109°28′,∠β=70°32′,试确定这三个四边形的形状，并说明你的理由.图6－17解：这三个四边形的形状是平行四边形.理由是：∵∠α=109°28′∠β=70°32′（已知）∴∠α+∠β=180°（等式的性质）∴AB∥CD，AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）∴四边形ABCD是平行四边形（平行四边形的定义）（二）看课本P188~190，然后小结.Ⅳ.课时小结这节课我们主要探讨了平行线的判定定理的证明.同学们来归纳一下完成下表（出示投影片§6.3 E）由角的大小关系来证两直线平行的方法，再一次体现了“数”与“形”的关系；而应用这些公理、定理时，必须能在图形中准确地识别出有关的角.注意：1.证明语言的规范化.2.推理过程要有依据.3.“两条直线都和第三条直线平行，这两条直线互相平行”这个真命题以后证.Ⅴ.课后作业（一）课本P191习题6.4 1、2（二）1.预习内容P192~1942.预习提纲（1）直线平行的性质如何证明？（2）总结归纳证明的一般步骤.Ⅵ.活动与探究1.你能用圆规和直尺作出两条平行线吗？能证明你的作法吗？［过程］通过这个活动，一来复习用尺规作图，二来熟悉掌握证明的步骤.图6－18［结果］如图6－18所示.用圆规和直尺能作出两条平行线.因为在作图中，作∠β=∠α.而∠α与∠β是同位角.由“同位角相等，两直线平行”可知：a∥b.还可以作内错角，即：作一个角等于已知角α，使所作的角与∠α是内错角即可.§6.3 为什么它们平行一、平行线的判定方法1.公理：同位角相等，两直线平行.2.定理：同旁内角互补，两直线平行.图6－20已知，如图6－20，∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的内错角.且∠1=∠2. 求证a∥b.二、课堂练习三、课时小结四、课后作业。

word一、【温故】二、【知新】探究一：求证：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行定理可简单地写成探究二：求证：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行这一定理可以简单说成：刚才我们是应用判定定理“同旁内角互补，两直线平行”借助“同位角相等，两直线平行”这一公理，你还能证明哪些熟悉的结论呢？已知，如图，直线a⊥c,b⊥c.求证：a∥b.证明：∵a⊥c,b⊥c（已知）∴∠1=90°∠2=90°（）∴∠1=∠2（等量代换）∴b∥a（）由此可以得到：“如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行”的结1 / 3word论.【三】达标：1，下列说法错误的是（）A、同位角不一定相等B、内错角都相等C、同旁内角可能相等D、同旁内角互补则两直线平行2，在同一平面内，直线l与两条平行线a，b的位置关系是（）A.l一定与a，b都平行B.l可能与a平行，与b相交C.l一定与a，b都相交D.l与a，b都平行或都相交3，四边形ABCD中，若∠B+∠C=180º，则AB与CD的关系是（）4，同一平面内，下列说法：①过两点有且只有一条直线；②两直线不平行，则一定相交；③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④过一点有且仅有一条直线与已知直线平行，其中正确的个数是（）5，如图，下列条件能证明AD∥BC的是（）A. ∠A=∠CB. ∠B=∠DC. ∠B=∠CD. ∠A+∠B=180º6，如图，直线AB，CD与EF相交于G，H，下列条件：①∠1=∠2；②∠3=∠6；③∠2=∠8；④∠5+∠8=180º，其中能判定AB∥CD的是（）A. ①③B. ①②④C. ①③④D. ②③④7（1）∵∠1=∠A（已知）∴∥，（）；（2）∵∠3=∠4（已知），∴∥，（）；2 / 3word（3）∵∠2=∠5（已知），∴∥，（）；（4）∵∠ADC+∠C=180（已知），∴∥，（）. 8，如图，（1）∵∠ABD=∠BDC（已知），∴∥，（）；（2）∵∠DBC=∠ADB（已知），∴∥，（）；（3）∵∠CBE=∠DCB（已知），∴∥，（）；（4）∵∠CBE=∠A，（已知），∴∥，（）；（5）∵∠A+∠ADC=180º（已知），∴∥，（）；（6）∵∠A+∠ABC=180º（已知），∴∥，（）. 9，如图，∠1=∠2，AC平分∠DAB，求证DC∥AB.1 0，如图，∠ABC=∠ADC，BF和DE分别平分∠ABC和∠ADC，∠1=∠2，求证：DE∥F B.3 / 3。

金塔县第三中学八年级数学学教练案 持案人： 第 节 课题：6.3 为什么它们平行主备教师：康学红 审核人：勾设军 责任人：裴吉光 课时：1 课型：新授课 学习目标：1.理解和掌握平行线的判定公理及两个判定定理.2.掌握应用数学语言表示平行线判定公理及定理，逐步掌握规范的推理论证格式. 学习重点：平行线的判定定理、公理及推理过程的规范化表达.一、学前准备：1、在同一平面内，两条直线的位置关系有 和 两种.2、在同一平面内， 的两条直线是平行线3、如右图，∵∠1＝∠2 ∴ ∥ ，（ ）∵∠2＝ ∴ ∥ ，（同位角相等，两直线平行） ∵∠3＋∠4＝180°∴ ∥ ，（ ） ∴AC ∥FG ，（ ）4、如右图，∵∠2=∴DE ∥BC ，（ ） ∵∠B ＋∠5＝180°∴ ∥ ，（ ） ∵∠B ＝∠4∴ ∥ ，（ ）二、探究活动：（一）师生探究，合作交流利用相关公理证明“两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行”（1）这是一个文字证明题，需要先把命题的文字语言转化成几何图形和符号语言。

所以根据题意，可以把这个文字证明题转化为下列形式：已知：如图，∠1和∠2是直线a 、b 被直线c 截出的同旁内角，且∠1与∠2互补.求证：a ∥b.（2）师生共析，完成证明：（写在空白处）（二）独立思考，解决问题利用相关公理和所得定理，证明“两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行”。

（1）图形： （4）证明：（2）已知：（3）求证：三、学习体会：本节课你有哪些收获？你还有哪些疑惑。

.CB1A D FE C B 四、自我检测 （A 级：基础检测）1、如图：（1）如果∠1＝∠B ，那么_______∥_______，根据是________________。

（2）如果∠3＝∠D ，那么_______∥_______，根据是___________________________。

6.3它们为什么平行
学习指导：
公理：同位角相等两直线平行。

利用公理证明下面的定理
文字语言我们无法直接证明，所以要将文字语言先画图，再转换成符号语言，再进行证明
文字语言：
定理：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。

第一步：根据需要证明的命题画图：
第二步：写出符号语言（即根据图形将命题的条件作为已知，将结论作为求证，写出符号语言）第三步：证明
定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。

第一步：根据需要证明的命题画图：
第二步：写出符号语言（即即根据图形将命题的条件作为已知，将结论作为求证，写出符号语言）第三步：证明
1练习，证明：对顶角相等
第一步：
第二步：
第三步：
6.4如果两条直线平行
学习指导：
公理：两直线平行，同位角相等。

利用公理证明下面的定理
文字语言我们无法直接证明，所以要将文字语言先画图，再转换成符号语言，再进行证明文字语言：
定理：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。

第一步：画图：
第二步：写出符号语言
第三步：证明
定理：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。

第一步：画图：
第二步：写出符号语言
第三步：证明
1练习，证明：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行
第一步：
第二步：
第三步：。