2014年高考函数与方程及答案

【冲击高分系列】2014年高考数学（文）难题专项训练：函数的概念与基本初等函数(指数函数、对数函数、幂函数)1.(2013年辽宁五校协作体高三第二次模拟，12,5分) 已知是定义在R上的偶函数，在区间上为增函数，且，则不等式的解集为（）A. B. C. D.2.（2013年四川成都高新区高三4月模拟，10,5分）若不等式对恒成立，则实数的取值范围是()A． B. C. D.3.(2013年山东省高三4月巩固性练习，12,5分) 已知函数若函数的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为() A．B．C．D．4.(2013年山东省高三4月巩固性练习，11,5分) 函数的图象大致为()A. B. C. D.5.(2013年东北三校高三第二次联合考试，12,5分) 当时，函数的图象大致是()6.(2013年湖北七市高三4月联合考试，8,5分) 定义：函数的定义域为D, 如果对于任意的，存在唯一的，使得(其中c为常数）成立，则称函数在D上的几何均值为c，则下列函数在其定义域上的“几何均值” 可以为2的是()A. B.C. (e为自然对数的底）D.7.（2013湖北黄冈市高三三月质量检测，10,5分）将一骰子抛掷两次，所得向上的点数分别为和，则函数在上为增函数的概率是（）A． B. C. D.8.(2013山东青岛高三三月质量检测，12,5分) 定义区间，，，的长度均为. 用表示不超过的最大整数，记，其中.设，，若用表示不等式解集区间的长度，则当时，有()A．B．C．D．9.(2013山东青岛高三三月质量检测，11,5分) 已知函数对定义域内的任意都有=，且当时其导函数满足若，则()A．B．C．D．10.(2013天津市滨海新区五所重点学校高三联考，8,5分) 已知函数，若方程在区间内有个不等实根，则实数的取值范围是()或或11.(2013吉林省普通中学一月期末，11,5分)已知是定义在上的奇函数，当时的图像如图，那么不等式的解集是()A．B．C．D．12.(2013福建厦门一月质量检测，10,5分)函数满足：（i）x∈R，，（ii）x∈[-1，1]，．给出如下四个结论：①函数在区间[1，2]单调递减；②函数在点（）处的切线方程为4x +4y－5 =0；③若数列满足，则其前n项和；④若有实根，则a的取值范围是0≤a≤1．其中正确结论的个数是A．l B．2C．3D．4 13. (2013山东省济宁市一月期末，12,5分)已知函数，，的零点分别为，则的大小关系是（）A. B. C. D.14.（2012山东省规范化学校高三11月月考，12,5分）已知函数的定义域为实数集R，满足（M是R的非空真子集），在R上有两个非空真子集A，B，且，则的值域为（）A. B.{1} C. D.15.（2012山东省规范化学校高三11月月考，11,5分）已知则下列函数的图象错误的是（）16. (2012北京市海淀区高三11月月考，8,5分)已知集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合是“好集合”．给出下列3个集合：①②③其中所有“好集合”的序号是A．①②B．②③C．③D．①②③17.(2012北京市东城区普通校高三11月联考，8,5分)某企业投入100万元购入一套设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业（）年后需要更新设备.A. 10B. 11C. 13D. 2118.(2012江西省临川一中，师大附中高三联考，10,5分)设函数是定义在R上以为周期的函数，若在区间上的值域为，则函数在上的值域为（）A． B. C. D.19.(2012浙江绍兴一中高三十月月考，10,3分)设，若对于任意，总存在，使得成立，则的取值范围是( )A． B. C. D.20. (2012广东省海珠区高三综合测试，10,5分)已知函数对任意的,都存在,使得则实数的取值范围是( )21. (2012山东日照高三第二次段考，12，5分)已知函数是定义域为的偶函数，且上是增函数，那么上是（）A.增函数B.减函数C.先增后减的函数D.先减后增的函数22. (2012山西大学附中十月月考，11,5分)已知函数在处有极值，则等于()A.11或18B.11C.18D.17或1823. （2012山东省济南市第二次模拟，12,5分）下列命题：①函数,的最小值为2；②线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点(,),(,),…,(,)中的一个点；③命题p:x R，使得，则p:x R，均有x2+x+1≥0；④若x1，x2，…，x10的平均数为a，方差为b，则x1+5，x2+5，…，x10+5的平均数为a+5,方差为b+25.其中，错误命题的个数为()A. 0B. 1C. 2D. 324. （2012山东省济南市第二次模拟，11,5分）设函数与函数的图象如图所示，则函数的图象可能是()25. （2012山东省济南市第二次模拟，9,5分）已知函数,若是的零点，且0＜t＜,则()A. 恒小于0B. 恒大于0C. 等于0D. 不大于026.（2012武汉市毕业生4月调研，8,5分）设O为△ABC所在平面内一点．若实数x、y、z满足x＋y＋z＝0（x2＋y2＋z2≠0），则“xyz＝0”是“点O在△ABC的边所在直线上”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件27. (2012北京西城区第二次模拟，7,5分)某大楼共有12层，有11人在第1层上了电梯，他们分别要去第2至第12层，每层1人．因特殊原因，电梯只允许停1次，只可使1人如愿到达，其余10人都要步行到达所去的楼层．假设乘客每向下步行1层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2，10人的“不满意度”之和记为S．则S最小时，电梯所停的楼层是（）A.7层B.8层C.9层D.10层28. (2012北京海淀区期末卷，8,5分)点是曲线上的一个动点，曲线在点处的切线与轴、轴分别交于两点，点是坐标原点. 给出三个命题：①；②的面积为定值；③曲线上存在两点，使得为等腰直角三角形．其中真命题的个数是() （A）1（B）2（C）3（D）029.（2013高考仿真卷五, 12, 5分）已知函数f(x) =g(x) =kx, 若函数h(x) =f(x) -g(x) 有3个不同的零点, 则实数k的取值范围是()A. (-∞, 0)B. [2, +∞)C. (0, +∞)D. (2, +∞)30. （2013高考仿真卷四, 12, 5分）已知函数f(x) =|log3(x-1) |-有两个零点x1, x2, 则()A. x1x2<1B. x1x2>x1+x2C. x1x2=x1+ax2D. x1x21+x231.（2013高考仿真卷三, 12, 5分）关于x的方程(x2-4) 2-4|x2-4|+k=0, 给出下列四个命题:①存在实数k, 使得方程恰有2个不同的实根;②存在实数k, 使得方程恰有4个不同的实根;③存在实数k, 使得方程恰有5个不同的实根;④存在实数k, 使得方程恰有8个不同的实根.其中假命题的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 332.（2012河南高三模拟, 12, 5分）已知函数f(x) =若互不相等的实数a, b, c满足f(a) =f(b) =f(c) , 则a+b+c的取值范围是()A. (-∞, 2+B. (-∞, 1+C. (1, 2)D. (2, +∞)33.（2012哈尔滨高三三模, 12, 5分）已知函数f(x) =则下列关于函数y=f[f(x) ]+1的零点个数的判断正确的是()A. 当k>0时, 有3个零点; 当k≤0时, 有2个零点B. 当k>0时, 有4个零点; 当k≤0时, 有1个零点C. 无论k为何值, 均有2个零点D. 无论k为何值, 均有4个零点34.（2012山西高三模拟, 12, 5分）已知定义在R上的函数f(x) 满足: f(x) =且f(x+2) =f(x) , g(x)=, 则方程f(x) =g(x) 在区间[-5, 1]上的所有实根之和为()A. -5B. -6C. -7D. -835.(2012江西, 10, 5分) 如图, |OA|=2(单位: m) , |OB|=1(单位: m) , OA与OB的夹角为, 以A为圆心, AB为半径作圆弧与线段OA延长线交于点C. 甲、乙两质点同时从点O出发, 甲先以速率1(单位: m/s) 沿线段OB行至点B, 再以速率3(单位: m/s) 沿圆弧行至点C后停止; 乙以速率2(单位: m/s) 沿线段OA行至点A后停止. 设t时刻甲、乙所到达的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S(t) (S(0) =0) , 则函数y=S(t) 的图象大致是()36.(2012山东, 12, 5分) 设函数f(x) =, g(x) =-x2+bx, 若y=f(x) 的图象与y=g(x) 的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1, y1) , B(x2, y2) , 则下列判断正确的是()A. x1+x2>0, y1+y2>0B. x1+x2>0, y1+y2<0C. x1+x2<0, y1+y2>0D. x1+x2<0, y1+y2<037. (2011山东, 10, 5分)函数y=-2sin x的图象大致是()38.(2011浙江, 10, 5分)设函数f(x)=ax2+bx+c(a, b, c∈R). 若x=-1为函数f(x)e x的一个极值点, 则下列图象不可能为y=f(x)的图象是()39. (2011课标, 12, 5分)已知函数y=f(x)的周期为2, 当x∈[-1, 1]时f(x)=x2, 那么函数y=f(x)的图象与函数y=|lg x|的图象的交点共有()A. 10个B. 9个C. 8个D. 1个40.(2009江西, 11, 5分)如图所示, 一质点P(x, y)在xOy平面上沿曲线运动, 速度大小不变, 其在x轴上的投影点Q(x, 0)的运动速度V=V(t)的图象大致为()41.(2011江西, 10, 5分)如图, 一个“凸轮”放置于直角坐标系X轴上方, 其“底端”落在原点O处, 一顶点及中心M在Y轴正半轴上, 它的外围由以正三角形的顶点为圆心, 以正三角形的边长为半径的三段等弧组成.今使“凸轮”沿X轴正向滚动前进, 在滚动过程中, “凸轮”每时每刻都有一个“最高点”, 其中心也在不断移动位置, 则在“凸轮”滚动一周的过程中, 将其“最高点”和“中心点”所形成的图形按上、下放置, 应大致为()42.(2011广东, 10, 5分)设f(x), g(x), h(x)是R上的任意实值函数. 如下定义两个函数(f。

可编辑修改精选全文完整版2014年成人高考专升本考试真题及答案解析高等数学（一）1.(单选题)(本题4分)ABCD标准答案： D2.(单选题)设则(本题4分)ABCD标准答案： A解析：【考情点拨】本题考查了一元函数的微分的知识点.【应试指导】因为3.(单选题)设函数则(本题4分)A 1/2B 1C π/2D 2π标准答案： B解析：【考情点拨】本题考查了导数的基本公式的知识点.【应试指导】因为所以4.(单选题)设函数f(x)在[a，b]连续，在(a，b）可导，则在（a，b)内(本题4分)A 不存在零点B 存在唯一零点C 存在极大值点D 存在极小值点标准答案： B解析：【考情点拨】本题考查了零点定理的知识点.【应试指导】由题意知，f(x)在（a，b）上单调递增，且f(a)·f(b)<0，则y=f(x）在(a，b)内存在唯一零点。

5.(单选题)(本题4分)ABCD标准答案： C解析：【考情点拨】本题考查了第一类换元积分法的知识点.【应试指导】6.(单选题)(本题4分)A -2B -1C 1D 2标准答案： D解析：【考情点拨】本题考查了定积分的奇偶性的知识点.【应试指导】7.(单选题)(本题4分)A -eBCD e标准答案： C解析：【考情点拨】本题考查了无穷区间的反常积分的知识点.【应试指导】8.(单选题)设二元函数(本题4分)ABCD标准答案： A解析：【考情点拨】本题考查了二元函数的偏导数的知识点.【应试指导】因为9.(单选题)设二元函数(本题4分)A 1B 2CD标准答案： A解析：【考情点拨】本题考查了二元函数的偏导数的应用的知识点.【应试指导】因为10.(单选题)，则该球的球心坐标与半径分别为(本题4分)A （-1，2，-3）；2B （-1，2，-3）；4C （1，-2，3）；2D （1，-2，3）；4解析：【考情点拨】本题考查了球的球心坐标与半径的知识点.【应试指导】所以，该球的球心坐标与半径分别为（1，-2，3)，2.11.(填空题)设，则a=______(本题4分)标准答案： 2/3解析：【考情点拨】本题考查了特殊极限的知识点.【应试指导】12.(填空题)曲线的铅直渐近线方程为_________ .(本题4分)标准答案： x=-1/2解析：【考情点拨】本题考查了曲线的铅直渐近线的知识点.【应试指导】当的铅直渐近线13.(填空题)设则y'=________(本题4分)标准答案：解析：【考情点拨】本题考查了一元函数的一阶导数的知识点.【应试指导】因为14.(填空题)设函数在X=0处连续，则a=_______(本题4分)解析：【考情点拨】本题考查了函数在一点处连续的知识点.【应试指导】因为函数f(x)在x=0处连续，则15.(填空题)曲线在点（0，1)处的切线的斜率k=____(本题4分)标准答案： 1解析：【考情点拨】本题考查了导数的几何意义的知识点.【应试指导】因为即所求的斜率k=116.(填空题)_______(本题4分)标准答案： 1/2解析：【考情点拨】本题考查了第一类换元积分法的知识点.【应试指导】17.(填空题)设函数则____(本题4分)标准答案： 1解析：【考情点拨】本题考查了变上限的定积分的知识点.【应试指导】因为18.(填空题)设二次函数则dz=______(本题4分)标准答案：解析：【考情点拨】本题考查了二元函数的全微分的知识点.【应试指导】因为19.(填空题)过原点（0，0，0)且垂直于向量（1，1，1)的平面方程为_________ (本题4分)标准答案： x+y+z=0解析：【考情点拨】本题考查了平面方程的知识点.【应试指导】由题意知，平面的法向量为（1，1，1)，则平面方程可设为x+y+z+D=0因该平面过(0，0，0)点，所以D=0，即x+y+z=020.(填空题)微分方程的通解为y=__________(本题4分)标准答案：解析：【考情点拨】本题考查了一阶微分方程的通解的知识点.【应试指导】21.(问答题)计算(本题8分)标准答案：22.(问答题)设y=y(x)满足2y+sin(x+y)=0，求y'.(本题8分)标准答案：将2y+sin（x+y)=0两边对x求导，得23.(问答题)求函数f（x）=x3-3x的极大值.(本题8分)标准答案：所以x1=-1为f（x）的极大值点，f（x）的极大值为f(-1)=2. (8分）24.(问答题)计算(本题8分)标准答案：25.(问答题)设函数(本题8分)标准答案：因为所以26.(问答题)计算其中D是由直线x=0,y=0及x+y=1围成的平面有界区域.(本题10分)标准答案：27.(问答题)判定级数(本题10分)标准答案：所以原级数收敛(10分)28.(问答题)求微分方程的通解(本题10分)标准答案：对应的齐次方程为特征方程为（2分）特征根为（4分）所以齐次方程的通解为（6分）设为原方程的一个特解，代入原方程可得（8分），所以原方程的通解为（10分）。

☆注：请用Microsoft Word2016以上版本打开文件进行编辑，.第二章 函数2.3 函数与方程、不等式高考对函数应用的考查主要是函数零点个数的判断、零点所在的区间．近几年全国卷考查函数模型及其应用较少，但也要引起重视.题型一.函数零点的个数1．（2015•安徽）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）A ．y ＝cos xB ．y ＝sin xC ．y ＝lnxD ．y ＝x 2+1【解答】解：对于A ，定义域为R ，并且cos （﹣x ）＝cos x ，是偶函数并且有无数个零点；对于B ，sin （﹣x ）＝﹣sin x ，是奇函数，由无数个零点；对于C ，定义域为（0，+∞），所以是非奇非偶的函数，有一个零点；对于D ，定义域为R ，为偶函数，都是没有零点；故选：A ．2．（2013•天津）函数f （x ）＝2x |log 0.5x |﹣1的零点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：函数f （x ）＝2x |log 0.5x |﹣1，令f （x ）＝0，在同一坐标系中作出y ＝（12）x ．与y ＝|log 0.5x |，如图，由图可得零点的个数为2．故选：B ．3．（2019•新课标Ⅲ）函数f （x ）＝2sin x ﹣sin2x 在[0，2π]的零点个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【解答】解：函数 f （x ）＝2sin x ﹣sin2x 在[0，2π]的零点个数，即方程2sin x ﹣sin2x ＝0 在区间[0，2π]的根个数，即2sin x ＝sin2x ＝2sin x cos x 在区间[0，2π]的根个数，即sin x ＝0 或 cos x ＝1 在区间[0，2π]的根个数，解得x ＝0或 x =π 或 x ＝2π．所以函数f （x ）＝2sin x ﹣sin2x 在[0，2π]的零点个数为3个．故选：B ．4．（2016•新课标Ⅱ）已知函数f （x ）（x ∈R ）满足f （x ）＝f （2﹣x ），若函数y ＝|x 2﹣2x ﹣3|与y ＝f （x ）图象的交点为（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x m ，y m ），则∑ m i=1x i ＝（ ）A ．0B ．mC ．2mD ．4m【解答】解：∵函数f （x ）（x ∈R ）满足f （x ）＝f （2﹣x ），故函数f （x ）的图象关于直线x ＝1对称，函数y ＝|x 2﹣2x ﹣3|的图象也关于直线x ＝1对称，故函数y ＝|x 2﹣2x ﹣3|与 y ＝f （x ） 图象的交点也关于直线x ＝1对称，不妨设x 1＜x 2＜…＜x m ，则点（x 1，y 1）与点（x m ，y m ），点（x 2，y 2）与点（x m ﹣1，y m ﹣1），…都关于直线x ＝1对称，所以x 1+x m ＝x 2+x m ﹣1＝…＝x m +x 1＝2，由倒序相加法可得∑ m i=1x i =12×2m ＝m ， 故选：B ．5．（2012•辽宁）设函数f （x ）（x ∈R ）满足f （﹣x ）＝f （x ），f （x ）＝f （2﹣x ），且当x ∈[0，1]时，f （x ）＝x 3．又函数g （x ）＝|x cos （πx ）|，则函数h （x ）＝g （x ）﹣f （x ）在[−12，32]上的零点个数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 【解答】解：因为当x ∈[0，1]时，f （x ）＝x 3．所以当x ∈[1，2]时2﹣x ∈[0，1]，f （x ）＝f （2﹣x ）＝（2﹣x ）3，当x ∈[0，12]时，g （x ）＝x cos （πx ），g ′（x ）＝cos （πx ）﹣πx sin （πx ）； 当x ∈[12，32]时，g （x ）＝﹣x cos πx ，g ′（x ）＝πx sin （πx ）﹣cos （πx ）． 注意到函数f （x ）、g （x ）都是偶函数，且f（0）＝g（0），f（1）＝g（1）＝1，f（−12）＝f（12）=18，f（32）＝（2−32）3=18，g（−12）＝g（12）＝g（32）＝0，g（1）＝1，g′（1）＝1＞0，根据上述特征作出函数f（x）、g（x）的草图，函数h（x）除了0、1这两个零点之外，分别在区间[−12，0]，[0，12]，[12，1]，[1，32]上各有一个零点．共有6个零点，故选：B．题型二.已知函数零点求参1．（2018•新课标Ⅲ）已知函数f（x）={e x，x≤0lnx，x＞0，g（x）＝f（x）+x+a．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0）B．[0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：由g（x）＝0得f（x）＝﹣x﹣a，作出函数f（x）和y＝﹣x﹣a的图象如图：当直线y＝﹣x﹣a的截距﹣a≤1，即a≥﹣1时，两个函数的图象都有2个交点，即函数g（x）存在2个零点，故实数a的取值范围是[﹣1，+∞），故选：C．2．（2019•天津）已知函数f （x ）={2√x ，0≤x ≤1，1x，x ＞1．若关于x 的方程f （x ）=−14x +a （a ∈R ）恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为（ ）A ．[54，94]B ．（54，94]C ．（54，94]∪{1}D ．[54，94]∪{1} 【解答】解：作出函数f （x ）={2√x ，0≤x ≤1，1x，x ＞1．的图象，以及直线y =−14x 的图象，关于x 的方程f （x ）=−14x +a （a ∈R ）恰有两个互异的实数解，即为y ＝f （x ）和y =−14x +a 的图象有两个交点，平移直线y =−14x ，考虑直线经过点（1，2）和（1，1）时，有两个交点，可得a =94或a =54，考虑直线与y =1x 在x ＞1相切，可得ax −14x 2＝1，由△＝a 2﹣1＝0，解得a ＝1（﹣1舍去），综上可得a 的范围是[54，94]∪{1}． 故选：D ．3．（2016•天津）已知函数f （x ）={x 2+(4a −3)x +3a ，x ＜0log a (x +1)+1，x ≥0（a ＞0，且a ≠1）在R 上单调递减，且关于x 的方程|f （x ）|＝2﹣x 恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ）A ．（0，23]B ．[23，34]C ．[13，23]∪{34}D ．[13，23）∪{34} 【解答】解：y ＝log a （x +1）+1在[0，+∞）递减，则0＜a ＜1，函数f（x）在R上单调递减，则：{3−4a 2≥00＜a ＜102+(4a −3)⋅0+3a ≥log a (0+1)+1；解得，13≤a ≤34； 由图象可知，在[0，+∞）上，|f （x ）|＝2﹣x 有且仅有一个解，故在（﹣∞，0）上，|f （x ）|＝2﹣x 同样有且仅有一个解，当3a ＞2即a ＞23时，联立|x 2+（4a ﹣3）x +3a |＝2﹣x ，则△＝（4a ﹣2）2﹣4（3a ﹣2）＝0，解得a =34或1（舍去），当1≤3a ≤2时，由图象可知，符合条件，综上：a 的取值范围为[13，23]∪{34}， 故选：C ．4．（2016•山东）已知函数f （x ）={|x|，x ≤m x 2−2mx +4m ，x ＞m，其中m ＞0，若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是 （3，+∞） ．【解答】当m ＞0时，函数f （x ）={|x|，x ≤mx 2−2mx +4m ，x ＞m的图象如下：∵x ＞m 时，f （x ）＝x 2﹣2mx +4m ＝（x ﹣m ）2+4m ﹣m 2＞4m ﹣m 2，∴y 要使得关于x 的方程f （x ）＝b 有三个不同的根，必须4m ﹣m 2＜m （m ＞0），即m2＞3m（m＞0），解得m＞3，∴m的取值范围是（3，+∞），故答案为：（3，+∞）．5．（2021•濂溪区校级开学）已知f （x ）={−sin π2x ，−2≤x ≤0，|lnx|，x ＞0，若关于x 的方程f （x ）＝k 有四个实根x 1，x 2，x 3，x 4.（其中x 1＜x 2＜x 3＜x 4）则x 1+x 2+x 3+2x 4的取值范围是（ ）A ．（0，2e +1e −2）B ．（0，e +1e −2）C ．（1，e +1e −2）D ．（1，2e +1e −2） 【解答】解：关于x 的方程f （x ）k 有四个实根，则y ＝f （x ）与y ＝k 有四个交点，横坐标为x 1，x 2，x 3，x 4．则x 1+x 2＝﹣2，1e ＜x 3＜1＜x 4＜e ，且ln |x 3|＝ln |x 4|，即x 3x 4＝1， ∴x 1+x 2+x 3+2x 4=−2+x 3+2x 4=x 3+2x 3−2， 令g(x)=x +2x −2，x ∈(1e ，1)，则g′(x)=1−2x 2＜0，所以g （x ）在(1e ，1)上单调递减， ∴1＜g(x)＜2e +1e −2，即x 1+x 2+x 3+2x 4的取值范围为(1，2e +1e −2)．故选：D ．6．（2017•新课标Ⅲ）已知函数f （x ）＝x 2﹣2x +a （e x ﹣1+e ﹣x +1）有唯一零点，则a ＝（ ）A ．−12B ．13C ．12D ．1【解答】解：f （x ）＝x 2﹣2x +a （e x ﹣1+e﹣x +1）＝（x ﹣1）2+a （e x ﹣1+e ﹣x +1）﹣1， 令t ＝x ﹣1，则y ＝t 2+a （e t +e ﹣t ）﹣1为偶函数，图象关于t ＝0对称，若y ＝0有唯一零点，则根据偶函数的性质可知当t ＝0时，y ＝﹣1+2a ＝0，所以a =12．故选：C ．题型三.函数与不等式1．（2014•新课标Ⅲ）设函数f （x ）={e x−1，x ＜1x 13，x ≥1，则使得f （x ）≤2成立的x 的取值范围是 x ≤8 ． 【解答】解：x ＜1时，e x ﹣1≤2，∴x≤ln2+1，∴x＜1；x ≥1时，x 13≤2，∴x ≤8，∴1≤x ≤8，综上，使得f （x ）≤2成立的x 的取值范围是x ≤8．故答案为：x ≤8．2．（2018•新课标Ⅲ）设函数f （x ）={2−x ，x ≤01，x ＞0，则满足f （x +1）＜f （2x ）的x 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣1] B ．（0，+∞）C ．（﹣1，0）D ．（﹣∞，0） 【解答】解：函数f （x ）={2−x ，x ≤01，x ＞0，的图象如图： 满足f （x +1）＜f （2x ），可得：2x ＜0＜x +1或2x ＜x +1≤0，解得x ∈（﹣∞，0）．故选：D ．3．（2013•新课标Ⅲ）已知函数f （x ）={−x 2+2x ，x ≤0ln(x +1)，x ＞0，若|f （x ）|≥ax ，则a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，0] B ．（﹣∞，1] C ．[﹣2，1] D ．[﹣2，0]【解答】解：由题意可作出函数y ＝|f （x ）|的图象，和函数y ＝ax 的图象，由图象可知：函数y ＝ax 的图象为过原点的直线，当直线介于l 和x 轴之间符合题意，直线l 为曲线的切线，且此时函数y ＝|f （x ）|在第二象限的部分解析式为y ＝x 2﹣2x ，求其导数可得y′＝2x﹣2，因为x≤0，故y′≤﹣2，故直线l的斜率为﹣2，故只需直线y＝ax的斜率a介于﹣2与0之间即可，即a∈[﹣2，0]故选：D ．4．（2014•辽宁）已知f （x ）为偶函数，当x ≥0时，f （x ）={cosπx ，x ∈[0，12]2x −1，x ∈(12，+∞)，则不等式f （x ﹣1）≤12的解集为（ ） A ．[14，23]∪[43，74]B ．[−34，−13]∪[14，23]C ．[13，34]∪[43，74]D ．[−34，−13]∪[13，34]【解答】解：当x ∈[0，12]，由f （x ）=12，即cosπx =12， 则πx =π3，即x =13，当x ＞12时，由f （x ）=12，得2x ﹣1=12，解得x =34， 则当x ≥0时，不等式f （x ）≤12的解为13≤x ≤34，（如图）则由f （x ）为偶函数，∴当x ＜0时，不等式f （x ）≤12的解为−34≤x ≤−13， 即不等式f （x ）≤12的解为13≤x ≤34或−34≤x ≤−13，则由13≤x ﹣1≤34或−34≤x ﹣1≤−13，解得43≤x ≤74或14≤x ≤23，即不等式f （x ﹣1）≤12的解集为{x |14≤x ≤23或43≤x ≤74}，故选：A ．1．已知函数f(x)={|lnx|，x ＞0−2x(x +2)，x ≤0，则函数y ＝f （x ）﹣3的零点个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：因为函数f(x)={|lnx|，x ＞0−2x(x +2)，x ≤0，且x ≤0时f （x ＝﹣2x （x +2）＝﹣2（x +1）2+2； 所以f （x ）的图象如图，由图可得：y ＝f （x ）与y ＝3只有两个交点； 即函数y ＝f （x ）﹣3的零点个数是2； 故选：B ．2．已知函数f （x ）＝log 2（x +1）+3x +m 的零点在区间（0，1]上，则m 的取值范围为（ ） A ．（﹣4，0）B ．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）C ．（﹣∞，﹣4]∪（0，+∞）D ．[﹣4，0）【解答】解：因为f （x ）＝log 2（x +1）+3x +m 在区间（0，1]上是单调递增， 函数f （x ）＝log 2（x +1）+3x +m 的零点在区间（0，1]上， 所以{f(0)＜0f(1)≥0，即{m ＜0log 22+3+m ≥0，解得﹣4≤m ＜0．故选：D ．3．设偶函数f （x ）（x ∈R ）满足f （x ）＝f （2﹣x ），且当x ∈[0，1]时，f （x ）＝x 2．又函数g （x ）＝|cos （πx ）|，则函数h （x ）＝g （x ）﹣f （x ）在区间[−12，32]上的零点个数为（ ） A ．5B ．6C ．7D ．8【解答】解：∵f （x ）＝f （2﹣x ），故f （x ）的图象关于x ＝1对称， 又函数f （x ）是R 上的偶函数，∴f （x +2）＝f （﹣x ）＝f （x ），∴f（x）是周期函数，T＝2，当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝f（﹣x）＝x2．令h（x）＝0，则f（x）＝g（x），在同一坐标系中作y＝f（x）和y＝g（x）在区间[−12，32]上的图象，由图象可得y＝f（x）和y＝g（x）有5个交点，故函数h（x）＝f（x）﹣g（x）的零点个数为5．故选：A．4．已知函数f（x）={ax+1，x＜0lnx，x＞0若函数f（x）的图象上存在关于坐标原点对称的点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[−12，0]D．(12，1]【解答】解：函数f（x）={ax+1，x＜0lnx，x＞0若函数f（x）的图象上存在关于坐标原点对称的点，可得x＞0时，ax﹣1＝lnx，有解；可得a=lnx+1x，令g（x）=lnx+1x，g′（x）=−lnxx2，所以x∈（0，1）时，g′（x）＞0，函数是增函数，x＞1时，g′（x）＜0，函数g（x）是减函数，所以g（x）的最大值为：g（1）＝1，所以a≤1．故选：B．5．已知函数f(x)=lnxx，g（x）＝xe﹣x，若存在x1∈（0，+∞），x2∈R，使得f（x1）＝g（x2）＝k（k＜0）成立，则x1x2的最小值为（）A．﹣1B．−2e C．−2e2D．−1e【解答】解：g（x）＝xe﹣x=xe x=lnexe x=f（e x），函数f（x）定义域{x|x＞0}，f′（x）=1−lnx x2，当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x＝1时，f（1）＝0，所以x∈（0，1）时，f（x）＜0；x∈（1，e）时，f（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，此时f（x）＞0，所以若存在x 1∈（0，+∞），x 2∈R ，使得f （x 1）＝g （x 2）＝k （k ＜0）成立， 则0＜x 1＜1且f （x 1）＝g （x 2）＝f （e x 2），所以x 1＝ex 2，即x 2＝lnx 1，所以x 1x 2＝x 1 lnx 1，x 1∈（0，1）， 令h （x ）＝xlnx ，x ∈（0，1）， h ′（x ）＝lnx +1，当x ∈（1e ，1）时，h ′（x ）＞0，h （x ）单调递增，当x ∈（0，1e）时，h ′（x ）＜0，h （x ）单调递减，所以当x =1e时，h （x ）min ＝h （1e）=1e ln 1e =−1e．故选：D ．6．（多选）已知函数f （x ）＝e x +x ﹣2的零点为a ，函数g （x ）＝lnx +x ﹣2的零点为b ，则下列不等式中成立的是（ ） A ．e a +lnb ＞2B ．e a +lnb ＜2C ．a 2+b 2＜3D ．ab ＜1【解答】解：由f （x ）＝0，g （x ）＝0得e x ＝2﹣x ，lnx ＝2﹣x ，函数y ＝e x 与y ＝lnx 互为反函数， 在同一坐标系中分别作出函数y ＝e x ，y ＝lnx ，y ＝2﹣x 的图象， 如图所示，则A （a ，e a ），B （b ，lnb ），由反函数性质知A ，B 关于（1，1）对称，则a +b ＝2，e a+lnb ＝2，ab ＜(a+b)24=1，∴A 、B 错误，D 正确．∵f '（x ）＝e x +1＞0．∴f （x ）在R 上单调递增，且f （0）＝﹣1＜0，f(12)=√e −32＞0， ∴0＜a ＜12．∵点A （a ，e a ）在直线y ＝2﹣x 上，即e a ＝2﹣a ＝b ， ∴a 2+b 2=a 2+e 2a ＜14+e ＜3．C 正确．故选：CD ．。

高考数学必考点专项第6练函数与方程习题精选一、单选题1. 函数2()=2+log ||x f x x 的零点个数为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 32. 已知函数若()g x 存在2个零点，则a的取值范围是( )A. [1,)-+∞B. [0,)+∞C. [1,0)-D. [1,)+∞3. 若过点(,)a b 可以作曲线x y e =的两条切线，则( ) A. b e a <B. a e b <C. 0b a e <<D. 0a b e <<4. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足，当时，，则函数在区间上所有零点个数为( )A. 0B. 2C. 4D. 65. 已知函数2()()x f x e ax x R =-∈有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A.B.C.D.6. 设a ，b R ∈，函数若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则( )[6,6]-A. 1a <-，0b <B. 1a <-，0b >C. 1a >-，0b <D. 1a >-，0b > 7. 已知函数的零点为，函数()f x 的最小值为0y ，且则函数的零点个数是( )A. 3B. 4C. 3或4D. 2或38. 已知函数，若函数()()g x x f x a =⋅-的零点个数恰为2个，则( )A.2837a <<或1a =- B. 7382a <<C.7382a <<或1a =- D. 7382a <<或54a =-9. 已知函数2,0()ln ,0kx x f x x x +⎧=⎨->⎩，则下列关于[()]2y f f x =-的零点个数判别正确的是( )A. 当0k =时，有无数个零点B. 当0k <时，有3个零点C. 当0k >时，有3个零点D. 无论k 取何值，都有4个零点二、多选题10. 若关于x 的方程23--=02x x k 在(1,1)-上有实根，则( )A. k 的最大值为52B. k 的最小值为916-C. 95[-,)162k ∈D. 95(,]162k ∈-11. 已知函数，().g x kx =若方程()()f x g x =有实根，则实数k的取值可以是( )012[,),y x x ∈A.12B. 1-C. 1D. (2,+)∞上的任意一个数12. 已知定义域为R 的奇函数()f x ，当0x >时，21,01()1,121x x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨>⎪-⎩，下列说法中正确的是( )A. 当121122x x -<<<时，恒有12()()f x f x >B. 若当(0,]x m ∈时，()f x 的最小值为34，则m 的取值范围为17[,]26C. 不存在实数k ，使函数()()F x f x kx =-有5个不相等的零点D. 若关于x 的方程3[()][()]04f x f x a --=所有实数根之和为0，则34a =-13. 已知函数，若方程()0f x a -=有两个不相等的实根，则实数a 的取值范围可以是( )A.B.C.D.14. 已知函数，则方程22()2()10f x f x a -+-=的根的个数可能为( )A. 2B. 6C. 5D. 4三、填空题15. 用二分法求函数()=34x f x x --的一个零点，其参考数据如下：(2,)+∞根据此数据，可得方程34=0x --的一个近似解(精确度0.01)为__________.16. 方程103x e x =-的解(,1),x k k k Z ∈+∈，则k =__________. 17. 已知()|lg |2f x x kx =--，给出下列四个结论：(1)若0k =，则()f x 有两个零点； (2)0k ∃<，使得()f x 有一个零点；(3)0k ∃<，使得()f x 有三个零点；(4)0k ∃>，使得()f x 有三个零点；以上正确结论的序号是__________. 四、解答题18. 已知二次函数2()2(,).f x x bx c b c R =++∈(1)若函数()y f x =的零点为1-和1，求实数b ，c 的值；(2)若()f x 满足(1)0f =，且关于x 的方程()0f x x b ++=的两个实数根分别在区间(3,2)--，(0,1)内，求实数b 的取值范围．19. 已知函数2()22(0)f x ax ax b a=-++>在区间[2,0]-上有最小值1，最大值9.(1)求a b+的值；(2)设()()f xg xx=，若不等式在区间[2,4]上恒成立，求实数k的取值范围；(3)设，若函数()F x有三个零点，求实数λ的取值范围.答案和解析1.【答案】C .【解答】解：函数2()2log ||xf x x =+的零点个数，即为函数2xy =-的图象和函数2log ||y x =的图象的交点个数，作出函数的图象如下：数形结合可得，函数2xy =-的图象和函数2log ||y x =的图象的交点个数为2. 故选.C2.【答案】A解：函数()()g x f x x a =++存在2个零点， 即关于x 的方程()f x x a =--有2个不同的实根， 即函数()f x 的图象与直线y x a =--有2个交点. 作出直线y x a =--与函数()f x 的图象，如图所示，由图可知，1a -，解得1a -， 故选.A3.【答案】D解：函数xy e =是增函数，0xy e '=>恒成立， 函数的图象如图，0y >，即取得坐标在x 轴上方，如果(,)a b 在x 轴下方，连线的斜率小于0，不成立．点(,)a b 在x 轴或下方时，只有一条切线． 如果(,)a b 在曲线上，只有一条切线；(,)a b 在曲线上侧，没有切线；由图象可知(,)a b 在图象的下方，并且在x 轴上方时，有两条切线，可知0.a b e <<故选：.D4.【答案】D解：由，得，故，故函数是周期为4的周期函数.又因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以，所以，故1x =是函数()f x 的对称轴.当时，，由此画出()f x 的大致图象如下图所示，令()()10g x xf x =-=，注意到(0)0g ≠，故上述方程可化为，画出1y x=的图象， 由图可知与1y x=图象都关于点(0,0)对称，它们两个函数图象的6个交点A 与F ，B 与E ，C 与D ， 所以函数在区间[6,6]-上所有零点个数为6.故选.D5.【答案】C解：0x =时，(0)10f =≠，令2()0xf x e ax =-=，得2xe a x=，令2()x e g x x =，则问题转化为y a =与2()xe g x x=有三个交点，3(2)()xx e g x x -'=，令()0g x '=，解得2x =，()f x∴当0x <或2x >时，()0g x '>，()g x 在(,0)-∞，(2,)+∞单调递增，当02x <<时，()0g x '<，()g x 在(0,2)单调递减，()g x 在2x =处取极小值，2(2)4e g =，作出()g x 的图象如下：要使直线y a =与曲线2()x e g x x =有三个交点，则24e a >，故实数a 的取值范围是2e (,).4+∞故选.C6.【答案】C解：当0x <时，()(1)0y f x ax b x ax b a x b =--=--=--=，()y f x ax b =--最多一个零点；当0x 时，3211()(1)32y f x ax b x a x ax ax b =--=-++-- 3211(1)32x a x b =-+-， 2(1)y x a x '=-+，当10a +，即1a -时，0y '，()y f x ax b =--在[0,)+∞上递增，()y f x ax b=--最多一个零点，不合题意； 当10a +>，即1a >-时，令0y '>得[1,),x a ∈++∞函数递增，令0y '<得[0,1),x a ∈+函数递减，函数最多有2个零点； 根据题意函数()y f x ax b =--恰有3个零点，所以函数()y f x ax b =--在(,0)-∞上有一个零点，在[0,)+∞上有2个零点， 如右图：01ba∴<-且，解得0b <，10a ->，31(1)6b a >-+，31(1)06a b ∴-+<<，11a -<<，故选：.C7.【答案】D解：如图所示，函数2()(0)f x ax bx c a =++>的零点为1x ，212()x x x <，令2()0f x ax bx c =++=， 240.b ac ∴∆=->由2(())()()0f f x af x bf x c =++=，0∆>，1()f x x ∴=或2().f x x =函数()f x 的最小值为0y ，且012[,),y x x ∈画出直线2y x =，1.y x =则直线2.y x =与()y f x =必有两个交点，此时2().f x x =有2个实数根，即函数(())y f f x =有两个零点．直线1y x =与()y f x =可能有一个交点或无交点，此时1()f x x =有一个实数根2b x a=-或无实数根． 综上可知：函数(())y f f x =的零点有2个或3个．故选.D8.【答案】D解：如图，可得()f x 的图象.令()0g x =，当0x =时，不符合题意;当0x ≠时，令()0g x =，得()a f x x =， ()g x 零点个数为2个，则函数()f x 与a y x =有两个交点. 易知0a =不符合题意.若0a >，则满足，可得73;82a << 若0a <，因左支已交于一点，则右支必然只能交于一点，故，此时无解；或，解得54a =- 综上，a 的取值范围内为7382a <<或5.4a =- 故选.D9.【答案】A解：设()f x t =，对于A ，当0k =时，函数()f x 对应的图象如下图：当0t 时，由()2f t =得22=此时方程恒成立了，即[()]2y f f x =-有无数个零点，故A 正确，D 错误．对于B ，当0k <时，对应的图象如下图：当0t >时，由()2f t =，此时ln 2t -=，得2(0,1)t e -=∈，当0t 时，由()2f t =得0t =，由2()(0,1)t f x e -==∈，此时x 有一个解，由()0t f x ==，此时x 有一个解，综上[()]2y f f x =-的零点个数为2个，故B 错误， C .当0k >时，对应的图象如下图：当0t >时，由()2f t =，此时ln 2t -=，得2(0,1)t e -=∈，当0t 时，由()2f t =得0t =，由2()(0,1)t f x e -==∈，此时x 有2个解，由()0t f x ==，此时x 有2个解，综上[()]2y f f x =-的零点个数为4个，故C 错误，故选.A10.【答案】BC 解：22339()2416k x x x =-=--，(1,1)x ∈-， 函数239()416y x =--的图象开口向上，对称轴为34x =， 当34x =时，min 916y =-，当1x =-时，max 52y =， (1,1)x ∈-，95[,).162k ∴∈- 故选.BC11.【答案】ACD解：由题意，可得函数()f x 的图象和函数()g x 的图象有交点，如图所示：(2,1)A ，12OA k =， ∴函数()f x 的图象和函数()g x 的图象有交点，数形结合可得12k或1k <-， 故选.ACD12.【答案】BC解：根据定义域为R 的奇函数()f x ，当0x >时，21,01()1,121x x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨>⎪-⎩， 如图所示：对于A ：当121122x x -<<<时，根据函数的图象12()()f x f x >不一定成立，故A 错误； 对于B ：当(0,]x m ∈时，要使()f x 的最小值为34，令13214x =-，解得76x =，故m 的取值范围为17[,]26，故B 正确；对于C ：令()f x kx =，故21x x kx -+=，整理得2(1)10x k x -++=，由于2(1)40k =+->，解得1k >，或3(k <-舍)若0k <，则当(0,1]x ∈时，0()()0y kx f x F x =<<⇒>，故3k <-舍去.又当1k >时，设1x 是方程()0F x =的较大根11x =>= 故1k >也不合题意.考虑y kx =与21y x x =-+有一个交点与121y x =-也有一个交点的情况， 因为y kx =与21y x x =-+有一个交点，故22(1)4230k k k ∆=+-=+-=，解得1k =或3(k =-舍)又当(0,)x ∈+∞时，y x =与121y x =-只有一个交点(1,1)，与y x =和21y x x =-+的交点重合综上所述不存在实数k ，使得()F x 有5个不相等的零点， C 正确;对于D ：3()04f x -=，解得112x =，276x =，所以1253x x +=， 令53x =-，则553()()337f f -=-=- 由于当23133[1,0),()()4247x f x x ∈-=---<-<-故37a =-也满足题意，D 不正确。

2014高考试题及答案一、语文试题及答案1. 选择题A. 正确读音B. 正确字形C. 正确词语D. 正确成语2. 古诗词填空A. 填空题B. 翻译题3. 阅读理解A. 文章阅读B. 文言文阅读4. 作文A. 材料作文B. 话题作文答案：1. 选择题A. 正确读音：BB. 正确字形：CC. 正确词语：AD. 正确成语：D2. 古诗词填空A. 填空题：根据题目要求填写正确的诗句。

B. 翻译题：根据题目要求将文言文翻译成现代汉语。

3. 阅读理解A. 文章阅读：根据文章内容回答相关问题。

B. 文言文阅读：根据文言文内容回答相关问题。

4. 作文A. 材料作文：根据给定材料，自选角度，自拟题目，写一篇不少于800字的文章。

B. 话题作文：根据给定话题，自选角度，自拟题目，写一篇不少于800字的文章。

二、数学试题及答案1. 选择题A. 函数与方程B. 几何与代数C. 概率与统计2. 填空题A. 函数与方程B. 几何与代数C. 概率与统计3. 解答题A. 函数与方程B. 几何与代数C. 概率与统计答案：1. 选择题A. 函数与方程：BB. 几何与代数：CC. 概率与统计：A2. 填空题A. 函数与方程：根据题目要求填写正确的答案。

B. 几何与代数：根据题目要求填写正确的答案。

C. 概率与统计：根据题目要求填写正确的答案。

3. 解答题A. 函数与方程：根据题目要求，列出方程并求解。

B. 几何与代数：根据题目要求，列出方程并求解。

C. 概率与统计：根据题目要求，列出方程并求解。

三、英语试题及答案1. 听力A. 对话理解B. 短文理解2. 阅读理解A. 选择题B. 填空题3. 完形填空A. 选择题B. 填空题4. 写作A. 应用文写作B. 议论文写作答案：1. 听力A. 对话理解：根据听力材料，选择正确的答案。

B. 短文理解：根据听力材料，选择正确的答案。

2. 阅读理解A. 选择题：根据文章内容，选择正确的答案。

B. 填空题：根据文章内容，填写正确的答案。

1. 设（x ）是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x1,x2∈[0，]都有（Ⅰ）设);41(),21(,2)1(f f f 求=（Ⅱ）证明)(x f 是周期函数。

2. 设函数.,1|2|)(2R x x x x f ∈--+=（Ⅰ）判断函数)(x f 的奇偶性；（Ⅱ）求函数)(x f 的最小值.3． 已知函数()2sin (sin cos f x x x x =+（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和最大值；（Ⅱ）在给出的直角坐标系中，画出函数()y f x =在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象4．（本小题满分12分）求函数xx x x x x f 2sin 2cos sin cos sin )(2244-++=的最小正周期、最大值和最小值.5．（本小题满分12分）已知13)(23+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围.6.△ABC 的三个内角为A 、B 、C ，求当A 为何值时，2cos 2cos C B A ++取得最大值，并求出这个最大值7.设a 为实数，函数x a ax x x f )1()(223-+-=在)0,(-∞和),1(+∞都是增函数， 求a 的取值范围.8. 设函数f (x )=2x 3+3ax 2+3bx+8c 在x =1及x =2时取得极值.(Ⅰ)求a 、b 的值;(Ⅱ)若对于任意的x ,3,0〕〔∈都有f (x )＜c 2成立，求c 的取值范围. 9.已知函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ．x（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设函数()f x 在区间2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭，内是减函数，求a 的取值范围． 10.在ABC ∆中，内角A 、b 、c 的对边长分别为a 、b 、c.已知222a c b -=，且sin 4cos sin B A C =，求b.11. 已知函数42()36f x x x =-+.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设点P 在曲线()y f x =上，若该曲线在点P 处的切线l 通过坐标原点，求l 的方程12. 设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线8=x（Ⅰ）求ϕ； （Ⅱ）求函数)(x f y =的单调增区间； （Ⅲ）画出函数)(x f y =在区间],0[π上的图像13. 已知二次函数)(x f 的二次项系数为a ，且不等式x x f 2)(->的解集为3,1(（Ⅰ）若方程06)(=+a x f 有两个相等的根，求)(x f 的解析式；（Ⅱ）若)(x f 的最大值为正数，求a 的取值范围解答： 2. 解：（Ⅰ）.7)2(,3)2(=-=f f由于),2()2(),2()2(f f f f -≠-≠-故)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数.由于),2[)(+∞在x f 上的最小值为)2,(,3)2(-∞=在f 内的最小值为.43)21(=f故函数),()(+∞-∞在x f 内的最小值为.433. 解x x x x x x f 2sin 2cos 1cos sin 2sin 2)(2+-=+=所以函数)(x f 的最小正周期为π，最大值为21+.（Ⅱ）由（Ⅰ）知x83π-8π-8π 83π 85π y121-121+1故函数)(x f y =在区间]2,2[ππ-上的图象是 4.解：xx x x x x x f cos sin 22cos sin )cos (sin )(22222--+=所以函数)(x f 的最小正周期是π，最大值是,43最小值是.41 5. 解：函数f (x )的导数：.163)(2-+='x ax x f（Ⅰ）当0)(<'x f （R x ∈）时，)(x f 是减函数.所以，当))((,0)(,3R x x f x f a ∈<'-<知由时是减函数；（II ）当3-=a时，133)(23+-+-=x x x x f =,98)31(33+--x由函数3x y =在R 上的单调性，可知当3-=a 时，R x x f ∈)((）是减函数；（Ⅲ）当3->a时，在R 上存在一个区间，其上有,0)(>'x f所以，当3->a时，函数))((R x x f ∈不是减函数.综上，所求a 的取值范围是 6. 解： 由,222,AC B C B A -=+=++ππ得所以有 .2sin 2cos A C B =+当.232cos 2cos ,3,212sin取得最大值时即C B A A A ++==π7. 解：其判别试.81212124222a a a -=+-=∆（ⅰ）若,26,08122±==-=∆a a 即 当.),()(,0)(',),3()32,(为增函数在时或+∞-∞>+∞∈-∞∈x f x f ax x 所以.26±=a (ⅱ) 若,08122<-=∆a .),()(,0)('为增函数在恒有+∞-∞>x f x f所以 ,232>a 即 ).,26()26,(+∞--∞∈ a （ⅲ）若,08122>-=∆a 即,0)(',2626=<<-x f a 令 解得 .323,3232221a a x a a x -+=--=当;)(,0)(',)(),(21为增函数时或x f x f x x x x >∞+∈-∞∈当.)(,0)(',),(21为减函数时x f x f x x x <∈依题意1x ≥0得2x ≤1. 由1x ≥0得a ≥,232a -解得 1≤.26<a由2x ≤1得,232a -≤3,a -解得 .2626<<-a 从而 .)26,1[∈a综上，a 的取值范围为),26,1[),26[]26, +∞-∞- 即 ∈a ).,1[]26,(+∞--∞ 9. 解：（1）32()1f x x ax x =+++求导：2()321f x x ax '=++当23a≤时，0∆≤，()0f x '≥，()f x 在R 上递增； 当23a>，由()0f x '=求得两根为3a x -=即()f x在3a ⎛⎫--∞ ⎪ ⎪⎝⎭，递增，33a a ⎛---+ ⎪⎝⎭，递减，3a ⎛⎫-++∞⎪ ⎪⎝⎭递增； （2）（法一）∵函数()f x 在区间2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭，内是减函数，⎝⎭递减，∴23313a ⎧---⎪⎪-，且23a>，解得：2a ≥。

高中数学高考总复习----函数与方程知识讲解及巩固练习题（含答案解析）【考纲要求】1.了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2.根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解．3.理解函数与方程之间的关系，并能解决一些简单的数学问题。

【知识网络】【考点梳理】1．函数零点的理解（1）函数的零点、方程的根、函数图象与x 轴的交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式，方程根的个数就是函数零点的个数，亦即函数图象与x 轴交点的个数．（2）变号零点与不变号零点①若函数在零点x 0左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数的变号零点．②若函数在零点x 0左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数的不变号零点．③若函数在区间[a ，b]上的图象是一条连续的曲线，则是在区间（a ，b ）内有零点的充分不必要条件．要点诠释：如果函数最值为0，则不能用此方法求零点所在区间。

2．用二分法求曲线交点的坐标应注意的问题（1）曲线交点坐标即为方程组的解，从而转化为求方程的根．（2）求曲线与的交点的横坐标，实际上就是求函数的零点，即求的根．要点诠释：如果函数的图象不能画出，应通过适当的变形转换成另外的函数。

3．关于用二分法求函数零点近似值的步骤需注意的问题函数与方程函数的零点二分法函数与方程的关系（1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②、的值比较容易计算且．（2）根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与求相应方程的根是等价的．对于求方程的根，可以构造函数），函数的零点即为方程的根．【典型例题】类型一、判断函数零点的位置例1.函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是()A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1,2)解析：∵f(0)＝1>0，f(－1)＝<0，∴选B.答案：B点评：求函数的零点就是求相应方程的实数根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法，求出方程的根，从而得到函数的零点.举一反三：【变式】已知函数，当时，函数的零点,则．.解：用数形结合法作出及的图象，作出及由图象可知，当内变动，内变动时，显然对数函数图象与直线的公共点皆在区间内，即函数的零点，故．类型二、确定函数零点的个数例2.二次函数中，，则函数的零点的个数是()A.1B.2C.0D.无法确定解法1：∴方程有两个不相等的实数根∴函数有两个零点，选B.解法2：，不论哪种情况，二次函数图象与x轴都有两个交点，所以函数有两个零点.选B.点评：可以利用函数图象或方程的判别式.举一反三：【变式】设函数f(x)＝4sin(2x＋1)－x，则在下列区间中函数f(x)不存在零点的是()A．[－4，－2]B．[－2,0]C．[0,2]D．[2,4]解析：本题判断f(x)＝0在区间内是否成立，即4sin(2x＋1)＝x是否有解．如图：显然在[2,4]内曲线y＝4sin(2x＋1)，当x＝54π－12时，y＝4，而曲线y＝x，当x＝54π－12<4，有交点，故选A.答案：A例3.（2015安徽三模）定义在上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点之和为（）A．B．C．D．答案：D【解析】当时，，当时，，为奇函数时，画出和的图像如图所示：共有5个交点，设其横坐标从左到右分别为，，，，，则，，而即即所以，故选D.举一反三：【变式1】（2015河东区一模）函数在定义域内零点的个数为（）A.0B.1C.2D.3答案：C【解析】由题意，函数的定义域为；求函数在定义域内零点的个数等价于求函数和函数的图像在上的交点个数，在同一个坐标系下画出两个函数的图像如下：由图得，两个函数图像有两个交点，故对应函数有两个零点.故选C.【变式2】已知函数，.若方程有两个不相等的实根，求实数的取值范围。

高考数学热点必会题型第3讲 函数与方程和零点问题与嵌套函数 ——每天30分钟7天轻松掌握一、重点题型目录【题型】一、零点存在定理法判断函数零点所在区间 【题型】二、方程法判断函数零点个数 【题型】三、数形结合法判断函数零点个数 【题型】四、转化法判断函数零点个数 【题型】五、利用函数的零点或方程有根求参数 【题型】六、利用函数的交点或交点个数求参数 【题型】七、一元二次不等式恒成立问题 【题型】八、一元二次不等式能成立问题 二、题型讲解总结第一天学习及训练【题型】一、零点存在定理法判断函数零点所在区间 例1．（2023·全国·高三专题练习）函数()2ln 1f x x x =--的零点所在的区间是（ ） A ．()1,2 B ．()2,3C ．()3,4D ．()4,5【答案】B【分析】利用零点存在性定理求解即可【详解】函数()2ln 1f x x x =--在()1,+∞ 上单调递增，且在()1,+∞上连续. 因为()22ln 2ln 22021f =-=-<-，()23ln 3ln 31031f =-=->-， 所以()()230f f <，所以函数的零点所在的区间是()2,3. 故选：B例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，对任意,()0x ∈+∞，都有()2()log 20f f x x -=．现已知()()17f a f a +'=，那么（ ） A ．(1,1.5)a ∈ B ．(1.5,2)a ∈C ．(2,2.5)a ∈D ．(2.5,3)a ∈【答案】D【分析】先由()2()log 20f f x x -=求出2()16log f x x =+，再由()()17f a f a +'=得到21log 10ln 2a a --=，结合单调性和零点存在定理进行判断即可. 【详解】不妨设2()log f x x m -=，则()20f m =，所以2log 2016m m m +=⇒=，得2()16log f x x =+，1()ln 2f x x '=， 因为()()17f a f a +'=，所以21log 10ln 2a a --=．令21()log 1ln 2g a a a =--，易得()g a 在(0,)+∞上单调递增，因为227ln118(3)log 3103ln 23ln 2g -=--=>，52531255ln 2ln 25ln 21ln 42410244(2.5)log 2.5102.5ln 25ln 25ln 25ln 25ln 2g ⎛⎫--- ⎪-⎝⎭=--===<<， 由零点存在定理知：(2.5,3)a ∈. 故选：D ．例3．（2023·全国·高三专题练习）已知()=ln f x x ，()e xg x =，若()()f s g t =，则当s t-取得最小值时，()g t 所在区间是（ ） A ．11,3e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,e 2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()ln 2,1D ．1,ln 22⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】由已知条件构造函数()e ln ah a a =-，利用导数求出最值，由零点存在性定理验证001e 0a a -=的根的范围即可. 【详解】令()()f s g t a ==，即e ln 0t s a ==>， ∴ln t a =，e a s =， ∴e ln (0)a s t a a -=->，令()e ln ah a a =-，则()1e a h a a'=-，令()1e a m a a =-，则()21e a m a a '=+，∴()m a 在()0,∞+上单调递增，且()1e 10m =->，1202m ⎛⎫=< ⎪⎝⎭∴存在唯一0a a =使得()0h a '=，当00a a <<时，1e a a <， ()0h a '<，当0a a >时，1e aa>， ()0h a '>，∴()0()min h h a a =，即s t -取得最小值时，0()f s a a ==，由零点的存在定理验证01e 0aa -=的根的范围，当012a =时，001e 0a a -<，当0ln2a =时，001e 0aa ->，故01(,ln 2)2a ∈， 故选：D ．例4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()2e 0-=->x af x x a 有两个极值点1x 和2x ，且12x x <，则下列结论正确的是（ ） A ．101x << B ．2101xx e << C ．()101f x << D ．()1ln 2,a ∈-+∞【答案】ACD 【分析】函数()()2e0-=->x af x x a 有两个极值点1x 和2x ，令()0f x '=，则e2e =xa x判断函数()e x g x x =的单调性，由题知()e xg x x=与2e =a y 有两个交点，借助图像求出a 的取值范围，判断D ；再根据零点存在性定理判断A ；又根据11e 2-=x ax ，求出()1f x 的取值范围，判断C ；由()()1200f x f x ⎧'=='⎪⎨⎪⎩，得2112e e x xx x =，由于101x <<，21x >，所以12e 1>x x ，从而判断B.【详解】已知()2e -=-x a f x x ，则()e 2-'=-x af x x ，令()0f x '=，则e2e =xa x考虑函数()e xg x x =，则()()2e 1x x g x x-'=， 当(),0x ∈-∞时，()0g x '<，即()g x 在(),0∞-上单调递减； 当()0,1x ∈时，()0g x '<，即()g x 在()0,1上单调递减； 当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，即()g x 在()1,+∞上单调递增； 故()g x 的图象大致如图：依题意，若()f x 有两个极值点，则2e e >a ，即1ln 2a >-，因此选项D 正确； 由图易知，101x <<，21x >，故选项A 正确； 又11e 2-=x ax ，故()()122211111e 211-=-=-=--x a f x x x x x ，因为101x <<，所以()101f x <<，故选项C 正确； 因为()()1200f x f x ⎧'=='⎪⎨⎪⎩，即1212e 2e 2x a x a x x --⎧=⎨=⎩，故1212e e =x x x x ，即2112e e x xx x =. 由于101x <<，21x >，所以12e 1>x x ，从而21e 1>xx ，故选项B 错误.故答案为：ACD.【题型】二、方程法判断函数零点个数例5．（2023·全国·高三专题练习）关于函数()ln ||ln |2|f x x x =+-有下述四个结论： ①()f x 的图象关于直线1x =对称 ②()f x 在区间(2,)+∞单调递减 ③()f x 的极大值为0 ④()f x 有3个零点 其中所有正确结论的编号为（ ） A ．①③ B ．①④C ．②③④D ．①③④【答案】D【分析】根据给定函数，计算(2)-f x 判断①；探讨()f x 在(2,)+∞上单调性判断②；探讨()f x在(0,1)和(1,2)上单调性判断③；求出()f x 的零点判断④作答.【详解】函数()ln ||ln |2|f x x x =+-的定义域为(,0)(0,2)(2,)-∞⋃⋃+∞， 对于①，(,0)(0,2)(2,)x ∈-∞⋃⋃+∞，则2(,0)(0,2)(2,)x -∈-∞⋃⋃+∞， (2)ln |2|ln ||()f x x x f x -=-+=，()f x 的图象关于直线1x =对称，①正确；对于②，当2x >时，()ln ln(2)f x x x =+-，()f x 在(2,)+∞单调递增，②不正确； 对于③，当0x <时，()ln()ln(2)f x x x =-+-，()f x 在(,0)-∞单调递减，当02x <<时，2()ln ln(2)ln[(1)1]f x x x x =+-=--+，()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，又()f x 在(2,)+∞单调递增，因此()f x 在1x =处取极大值(1)0f =，③正确；对于④，由()0f x =得：2|2|1x x -=，即2210x x --=或2210x x -+=，解得1x =1x =，于是得()f x 有3个零点，④正确， 所以所有正确结论的编号为①③④. 故选：D【点睛】结论点睛：函数()y f x =的定义域为D ，x D ∀∈，存在常数a 使得()(2)()()f x f a x f a x f a x =-⇔+=-，则函数()y f x =图象关于直线x a =对称.例6．（2023·全国·高三专题练习）若()f x 为奇函数，且0x 是()2e x y f x =-的一个零点，则0x -一定是下列哪个函数的零点（ ） A ．()e 2x y f x -=-- B ．()e 2x y f x =+ C ．()e 2x y f x =- D ．()e 2x y f x =-+【答案】B【分析】根据()f x 是奇函数可得()()f x f x -=-，因为0x 是()2e =-xy f x 的一个零点，代入得()002e xf x =，利用这个等式对A 、B 、C 、D 四个选项进行一一判断可得答案.【详解】()f x 是奇函数，()()f x f x ∴-=-且0x 是()2e =-xy f x 的一个零点，所以()002e xf x =，把0x -分别代入下面四个选项，对于A ，()()0020e e 222-=-x x f x ，不一定为0，故A 错误；对于B ，()()0000e 2e x xf x f x ---+=-0012e e 20x x -+=-⋅⋅+=，所以0x -是函数()e 2x y f x =+的零点，故B 正确；对于C ，()000224e 2e ---=--=-x f x ，故C 不正确；对于D ，()0000e22e e +24--+==x x x f x ，故D 不正确；故选：B.例7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()cos 2cos f x x x =+，且[]0,2πx ∈，则()f x 的零点个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】C【分析】解三角方程求得()f x 的零点即可解决【详解】由()()2cos 2cos 2cos cos 1cos 12cos 10x x x x x x +=+-=+-=可得cos 1x =-或1cos 2x =，又[]0,2πx ∈，则πx =，或π3x =，或5π3x =则()f x 的零点个数为3 故选：C例8．（2023·全国·高三专题练习）()f x 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且()20f =，则方程()0f x =在区间[]6,6-内解的个数的最小值是_______. 【答案】13【分析】根据函数周期性和奇偶性的性质，进行递推即可． 【详解】()f x 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，()()3f x f x ∴+=，且()()f x f x -=-，则()00f =，则()()()()()()36600330f f f f f f ==-==-=-=，，()20f =，()()()()514050f f f f ∴=-=-=-=，， ()10f =，()40f =，()20f -=，方程的解至少有0，3，6，6-，3-，2，5，5-，2-，1-，1，4，4-，共13个． 故答案为：13第二天学习及训练【题型】三、数形结合法判断函数零点个数例9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()33f x x x =-，则函数()()h x f f x c =-⎡⎤⎣⎦，[]2,2c ∈-的零点个数（ ）A ．5或6个B ．3或9个C ．9或10个D ．5或9个【答案】D【分析】设()t f x =，求导分析()33f x x x =-的最值与极值，画出图形，再分析()f t c =与()t f x =的根的范围与个数即可【详解】设()t f x =，则由()()0h x f f x c =-=⎡⎤⎣⎦， 得()f f x c =⎡⎤⎣⎦，即()f t c =，()t f x = 又()()()233311f x x x x '=-=-+， 由0fx得1x <-或1x >，此时函数单调递增，由()0f x '<得11x -<<，此时函数单调递减，即函数在=1x -处取得极大值()()()311312f -=--⨯-=，函数在1x =处取得极小值()311312f =-⨯=-，又由()()()322322f -=--⨯-=-，()322322f =-⨯=可得图象：若()f t c =，()2,2c ∈-，则方程有三个解， 满足121t -<<-，211t -<<，312t <<， 则当121t -<<-时，方程()t f x =，有3个根， 当211t -<<时，方程()t f x =，有3个根， 当312t <<时，方程()t f x =，有3个根， 此时共有9个根，若()f t c =，2c =，则方程有两个解， 满足11t =-，22t =，则当11t =-时，方程()t f x =，有3个根， 当22t =，有2个根， 此时共有5个根，同理()f t c =，2c =-，也共有5个根 故选：D ．例10．（2023·全国·高三专题练习）若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】由题意知，f (x )是周期为2的偶函数，将函数零点转化为求两个函数图象交点的个数即可，作出图象观察得出结论.【详解】由题意知，f (x )是周期为2的偶函数．在同一坐标系内作出函数y ＝f (x )及y ＝log 3|x |的图象，如下：观察图象可以发现它们有4个交点， 即函数y ＝f (x )－log 3|x |有4个零点． 故选：D.例11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()e 2,1ln 1,1x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则函数()()()21g x f f x f x =-+⎡⎤⎣⎦的零点个数是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【分析】令()t f x =，()0g x =，则()21f t t =-，分别作出函数()y f t =和直线21y t =-的图象，得到10t =，212t <<，再分别作出函数()y f x =和直线y t =的图象，得到方程()0f x =和方程()2t f x =的根的个数，进而得到函数()()()21g x f f x f x =-+⎡⎤⎣⎦的零点个数. 【详解】令()t f x =，()0g x =，则()210f t t -+=，即()21f t t =-， 分别作出函数()y f t =和直线21y t =-的图象，如图所示，由图象可得有两个交点，横坐标设为1t ，2t ， 则10t =，212t <<，对于()t f x =，分别作出函数()y f x =和直线2y t =的图象，如图所示，由图象可得，当()10f x t ==时，即方程()0f x =有两个不相等的根， 当()2t f x =时，函数()y f x =和直线2y t =有三个交点， 即方程()2t f x =有三个不相等的根， 综上可得()0g x =的实根个数为5，即函数()()()21g x f f x f x =-+⎡⎤⎣⎦的零点个数是5. 故选：B.例12．（2023·上海·高三专题练习）对于给定的正整数n （n ≥2），定义在区间[0，n ]上的函数y ＝f （x ）满足：当01x ≤≤时，2()2f x x x =-+，且对任意的x ∈[1，n ]，都成立f （x ）＝f （x ﹣1）+1．若与n 有关的实数kn 使得方程f （x ）＝knx 在区间[n ﹣1，n ]上有且仅有一个实数解，则关于x 的方程f （x ）＝knx 的实数解的个数为____． 【答案】2n ﹣1##12-+n【分析】数形结合，画出y ＝f （x ）在区间[0，n ]上的图象，根据y ＝knx 与y ＝f （x ）的图象交点分析即可．【详解】由题意，画出y ＝f （x ）在区间[0，1]上的图象， 又对任意的[1，n ]，都成立f （x ）＝f （x ﹣1）+1．可理解为区间[n ﹣1，n ]的图象由区间[n ﹣2，n ﹣1]的图象向右平移一个单位所得， 即可画出y ＝f （x ）在区间[0，n ]上的图象，如图所示，故若与n 有关的实数kn 使得方程f （x ）＝knx 在区间[n ﹣1，n ]上有且仅有一个实数解， 则y ＝knx 与y ＝f （x ）在区间[n ﹣1，n ]上的图象相切，且易得y ＝f （x ）的图象在y ＝x 与区间[0，1]，[1，2]，[2，3]，⋯[n ﹣1，n ]上的公切线之间，故y ＝knx 与y ＝f （x ）在区间[0，1]，[1，2]，[2，3]，⋯[n ﹣1，n ]上均有2个交点， 故关于x 的方程f （x ）＝knx 的实数解的个数为2（n ﹣1）+1＝2n ﹣1个．故答案为：2n ﹣1．【题型】四、转化法判断函数零点个数例13．（2022·全国·高三专题练习）已知()f x 的定义域为[)0,∞+，且满足()[)()[)1,0,121,1,xe xf x f x x ⎧-∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，若()()g x f x π=-，则()g x 在[]0,10内的零点个数为（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11【答案】B【分析】求出函数()f x 在区间[)(),109,n n n n N +≤≤∈值域及单调性，由此可得出结论.【详解】当[)0,1x ∈时，()[)10,1xf x e e =-∈-，当[)1,2x ∈时，[)10,1x -∈，则()()[)210,22f x f x e =-∈-，当[)2,3x ∈时，[)20,1x -∈，则()()()[)21420,44f x f x f x e =-=-∈-，以此类推，当[)(),109,x n n n n N ∈+≤≤∈时，()()())20,21n nf x f x n e ⎡=-=-⎣，且函数()f x 在区间[)(),109,n n n n N +≤≤∈上为增函数，122e e π-<<-，所以，函数()g x 在区间[)(),119,n n n n N +≤≤∈上有且只有一个零点，且()()()101010200g f f ππ=-=-<，因此，()g x 在[]0,10内的零点个数为9. 故选：B.【点睛】方法点睛：判定函数()f x 的零点个数的常用方法：（1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果；（2）数形结合法：先令()0f x =，将函数()f x 的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果.例14．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()()3log 911x f x x+=-，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 既不是奇函数也不是偶函数B ．()f x 的图象与sin y x =有无数个交点C ．()f x 的图象与2y =只有一个交点D ．()()21f f -<- 【答案】C【分析】A 根据函数奇偶性的定义即可判断()f x 的奇偶性；B 利用放缩法，当0x >易证()1f x >，由奇函数的对称性知0x <时()1f x <-，即可知()f x 与sin y x =的交点情况；C ：由()2f x =变形可得112713xx⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，设()11327xxg x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭只需判断()1g x =解得个数即可；D 根据函数解析式求出()()2,1f f --比较大小即可. 【详解】A ：()f x 定义域为{|0}x x ≠且()()()()()()333391log log 91log 91log 9191120x x x x x f x f x x x x x -⎛⎫+ ⎪+++⎝⎭-+=-+-=--=-，故()f x 为奇函数，错误；B ：当0x >时有()3log 91211xf x x>-=-=，又()f x 为奇函数，则当0x <时，()1f x <-，即在R 上()f x ∈()(),11,-∞-⋃+∞，则()f x 的图象与sin y x =没有交点，错误， C ：若()2f x =，则有()3log 9112x x+-=，即()3log 913x x +=，变形得9127x x+=，即112713x x⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设()11327x xg x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()g x 为减函数且其值域为0,，则()1g x =有且只有一个解，即()f x 的图象与2y =只有一个交点，正确，D ：()()2333182log 1log 2log 918181211222f -⎛⎫⎛⎫++ ⎪+ ⎪⎝⎭-=-=--=- ⎪- ⎪⎝⎭3182log 29=-⨯3log =-，而()333110101log 11log 1log 993f ⎛⎫⎛⎫-=-+-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则有()()21f f ->-，错误.故选：C.【点睛】关键点点睛：A 利用奇偶性定义判断函数的奇偶性，B 放缩法及奇函数的对称性，结合正弦函数的性质判断交点情况，C 将交点问题，通过恒等变形转化为方程是否有解的问题，D 通过函数解析式求函数值，进而比较大小.例15．（2022·全国·高三专题练习）高斯被人认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.有这样一个函数就是以他名字命名的：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则()[]f x x =称为高斯函数，又称为取整函数.如：(2.3)2f =，( 3.3)4f -=-.则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 是R 上的单调递增函数 B ．函数2()()3g x f x x =-有2个零点 C ．()f x 是R 上的奇函数D ．对于任意实数,a b ，都有()()()f a f b f a b +≤+ 【答案】BD【分析】对于AC ，举例判断，对于B ，利用取整函数和零点的定义判断即可，对于D ，定义{}[]a a a -=这样一个函数，就会有{}10a >≥，然后结合高斯函数的定义判断即可【详解】对于A ，(1.1)1f =，(1.2)1f =，(1.1)(1.2)f f =，()f x ∴在R 上不是单调增函数，所以A 错.对于B ，由()[]f x x =，可得1()x f x x -<≤，所以1()33x xg x -<≤，若函数()g x 要有零点，则1033x x -<≤，得[0,3)x ∈，因为()g x 要想为0，必须23x 也为整数，在这个范围内，只有30,2x x ==两个点，所以B 正确， 对于C ，(1.1)1f =，( 1.1)2(1.1)f f -=-≠-，()f x ∴不是奇函数，所以C 错， 对于D ，如果我们定义{}[]a a a -=这样一个函数，就会有{}10a >≥，同时有{}{}{}{}()([][])[[][]]f a b f a b a b a b a b +=+++=+++，当{}{}1a b +≥时，会有()[][]()()f a b a b f a f b +=+=+，当{}{}01a b <+<时，()[][]()()f a b a b f a f b +>+=+，所以D 正确，故选：BD.第三天学习及训练【题型】五、利用函数的零点或方程有根求参数例16．（2023·全国·高三专题练习）函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，则实数a 的值为（ ）A ．－14B ．0C ．14D ．0或－14【答案】D【分析】通过a 是否为0，然后求解函数的零点即可．【详解】解：当0a =时，函数()1f x x =--仅有一个零点，满足题意；当0a ≠时，函数2()1f x ax x =--仅有一个零点，可得140a ∆=+=，解得14a =-．故选：D例17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数1,1()1()1,12x a x f x x -=⎧⎪=⎨+≠⎪⎩，若方程22()(23)()30-++=f x a f x a 有5个不同的实数解，则a 的范围是（ ）A ．33(1,)(,2)22⋃B ．(1,2)(2,3)C ．(1,)+∞D ．(1,3)【答案】A【分析】解方程22()(23)()30-++=f x a f x a 得()f x a =或3()2f x =，根据a 的取值分类讨论即可.【详解】方程22()(23)()30-++=f x a f x a ，解得()f x a =或3()2f x =， 若32a =，13,132()12()1,12x x f x x -⎧=⎪⎪==⎨⎪+≠⎪⎩， 解得1x =或0或2，不符合题意，所以32a ≠， 由3()2f x =，可得原方程有3个不等实根1x =或0或2； 所以只要|1|1()12x a -+=有2个不等实根即可．由|1|0x ->可得|1|10()12x -<<，即有12a <<，综上可得33(1,)(,2)22a ⋃∈．故选：A ．例18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2ln ,043,0x x f x x x x >⎧=⎨---≤⎩，若函数()()21y f x mf x =++⎡⎤⎣⎦有6个零点，则m 的取值范围是（ ） A ．102,3⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．102,3⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．102,3⎛⎫⎪⎝⎭D ．102,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【分析】画出()f x 的图像，结合函数()()21y f x mf x =++⎡⎤⎣⎦有6个零点，结合图像列不等式来求得m 的取值范围.【详解】当0x ≤时，()f x 是开口向下的二次函数，对称轴为2x =-，()()24831,03f f -=-+-==-.由243=0x x ---解得=1x -或3x =-. 由此画出()f x 的图像如下图所示，依题意，函数()()21y f x mf x =++⎡⎤⎣⎦有6个零点， 令()t f x =，则21y t mt =++，根据图像可知，函数21y t mt =++在区间[)3,1-上有两个不相等的实数根，则()222Δ403310110312m m m m ⎧=->⎪--+≥⎪⎪⎨++>⎪⎪-<-<⎪⎩，解得1023m <≤，所以m 的取值范围是102,3⎛⎤ ⎥⎝⎦.故选：D例19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2221,0log ,0x x f x x x +⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的方程2[()]()40f x mf x ++=有6个不同的实数根，则m 的取值范围是（ ）A ．13(,5),43⎡⎫-∞-⋃--⎪⎢⎣⎭B ．13,43⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ C ．134,(5,)3⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦ D ．134,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】A【分析】画出()f x 的图象，令()t f x =，则先讨论240t mt ++=的零点，根据二次函数判别式与韦达定理，结合()f x 的图象可得240t mt ++=的较小根的范围，进而根据m 与较小根的关系式结合函数的单调性求解即可.【详解】画出()f x 的图象如图，令()t f x =，则先讨论240t mt ++=的零点. 当2440m ∆=-⨯<，即44m -<<时，不合题意；当2440m ∆=-⨯=，即4m =±时，易得2t =或2t =-，此时当()2f x =或()2f x =-时均不满足有6个零点，不合题意；故2440m ∆=-⨯>，4m >或4m <-，设240t mt ++=的两根为12,t t ，不妨设12t t <，由韦达定理124t t =，且12,2t t ≠.①当12,0t t <时，()1f x t =与()2f x t =均无零点，不合题意； ②当12,0t t >时：1. 若101t <<，则24t >，此时()1f x t =有4个零点，()2f x t =有2个零点，合题意；2. 若112t ≤<，此时()1f x t =有3个零点，则()2f x t =有且仅有3个零点，此时223t <≤，故1423t ≤<； 综上可得101t <<或1423t ≤<. 又12t t m +=-，故()12114m t t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，结合4y t t =+在()0,2上为减函数可得114m t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在()0,1，4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭上为增函数.故13(,5),43m ⎡⎫∈-∞-⋃--⎪⎢⎣⎭故选：A【点睛】本题主要考查了数形结合解决复合函数零点的问题，需要换元先分析二次函数的零点情况，数形结合判断零点所在的区间，进而得出()f x 零点所在的区间，并结合二次函数的性质与韦达定理求解.属于难题.例20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()23,0,3,0,x x x f x f x x ⎧--<⎪=⎨-≥⎪⎩以下结论正确的是（ ）A ．()f x 在区间[7,9]上是增函数B ．()()220222f f -+=C ．若函数()y f x b =-在(),6-∞上有6个零点()1,2,3,4,5,6i x i =，则619i i x ==∑D ．若方程()1f x kx =+恰有3个实根，则11,3k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭【答案】BC【分析】A 根据()f x 的周期性判断区间单调性；B 利用周期性求得()() 202230f f =-=即可判断；C 转化为y b =与()y f x =的交点问题，应用数形结合法及对称性求零点的和；D 根据函数图象求得1y kx =+与()y f x =交点个数为2或3时的临界值，即可得范围. 【详解】A ：由题意,当3x ≥-时()f x 以3为周期的函数，故()f x 在[7,9]上的单调性与()f x 在[-2,0]上的单调性相同，而当0x <时()23924x x f ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，∴()f x 在[-2,0]上不单调，错误；B ：()22f -=，()() 202230f f =-=，故()()2 20222f f -+=，正确；C ：作出()y f x =的函数图象如图所示：由于()y f x b =-在(),6-∞上有6个零点，故直线y b =与()y f x =在(),6-∞上有6个交点，不妨设1i i x x +<，i ＝1，2，3，4，5，由图象知:1x ，2x 关于直线32x =-对称，3x ，4x 关于直线32x =对称，5x ，6x 关于直线92x =对称，∴513392229222i i x ==-⨯+⨯+⨯=∑，正确；D ：若直线1y kx =+经过(3,0)，则13k =-，若直线1y kx =+与()230y x x x =--<相切，则消元可得：()2103x k x ++=+，令Δ0=可得()2340k +-=，解得k ＝-1或k ＝-5（舍），若直线1y kx =+与()y f x =在(0,3)上的图象相切，由对称性得:k ＝1． 因为()1f x kx =+恰有3个实根，故直线1y kx =+与()y f x =有3个交点， ∴113k -<<-或k ＝1，错误，故选：BC ．例21．（2023·全国·高三专题练习）若函数()()2e 2xf x x x a =-++在区间(),1a a +上存在最大值，则实数a 的取值范围为_______【答案】2⎫⎪⎪⎝⎭【分析】根据开区间上连续函数的最值点必为导函数的零点，然后求导，数形结合，根据零点存在性定理建立不等式即可求解【详解】因为()()()22e 222e 2x xf x x x a x x a '=-++-+=-++，且函数()f x 在区间(),1a a +上存在最大值， 故只需()22h x x a =-++满足()()>0+1<0h a h a ⎧⎪⎨⎪⎩，所以()22++2>0+1++2<0a a a a --⎧⎪⎨⎪⎩，2a <<．故答案为：2⎫⎪⎪⎝⎭【题型】六、利用函数的交点或交点个数求参数例22．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的奇函数，满足()()20f x f x -+=，当(]0,1x ∈时，()2log f x x =-，若函数()()sin()F x f x x π=-，在区间[]1,m -上有10个零点，则m 的取值范围是（ ） A ．[)3.5,4 B ．(]3.5,4 C ．(]3,4 D ．[)3,4【答案】A【分析】由已知得出函数()f x 是周期函数，周期为2，函数()F x 的零点个数转化为函数()f x 的图象与sin()y x π=的图象的交点个数，作出函数的图象（其中()f x 的图象由奇偶性与周期性结合作出），然后分析交点个数得出参数范围． 【详解】由(2)()0f x f x -+=得(2)()f x f x +=--，又()f x 是奇函数，所以(2)()()f x f x f x +=--=，即()f x 是周期函数，周期为2，sin()y x π=也是周期函数，且最小正周期是22ππ=，由奇偶性和周期性作出函数()f x 的图象，再作出sin()y x π=的图象，如图，函数()()sin()F x f x x π=-的零点个数即为函数()y f x =的图象与函数sin()y x π=的图象交点个数，()f x 是R 上的奇函数，所以(0)0f =，从而20()f k =，Z k ∈，易知它们在[1,1)-上有4个交点，从而在[1,3)上也有4个交点，而4x =时，点(4,0)是一个交点，所以4m <，在(0,1)上，2()log f x x =-，11()1sin 22f π==，即1(,1)2是(0,1)上交点，从而在(1,0)-上交点上交点为1(,1)2--，由周期性在(3,4)上两函数图象交点为7(,1)2-，所以72m ≥． 综上，724m ≤<．故选：A ．例23．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2cos()1(0,0π)f x x ωϕωϕ=+-><<经过(0,0)点，且()f x 在(0,π)上只有一个零点0x ，则ω的最大值为（ ）A ．43B ．12C ．2D ．136【答案】C【分析】运用代入法，结合余弦型函数的性质、函数零点的定义进行求解即可. 【详解】因为()2cos()1f x x ωϕ=+-经过(0,0)点， 所以12cos 10cos 2ϕϕ-=⇒=，因为0πϕ<<，所以π3ϕ=，即π()2cos()13f x x ω=+-，令ππ1()2cos()10cos()332f x x x ωω=+-=⇒+=，因为π()0,x ∈，所以πππ(,π)333x ωω+∈+，因为()f x 在(0,π)上只有一个零点0x ，所以有5πππ43327ππ3π33ωωω⎧<+⎪⎪⇒<≤⎨⎪≤+⎪⎩，所以ω的最大值为2， 故选：C例24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数π()2cos()1(0,0)2f x x ωϕωϕ=+-><<，在0x =处的切线斜率为，若()f x 在(0,π)上只有一个零点0x ，则ω的最大值为（ ）A ．43B ．12C ．2D ．136【答案】C【分析】求出函数()f x 的导数，利用导数的几何意义求出ϕ，再由零点信息列出不等式，求解作答.【详解】依题意，()2sin()f x x ωωϕ'=-+，则(0)2sin f ωϕ'=-=，即sin ϕ=，而π02ϕ<<，解得π3ϕ=， 因此，π()2cos()13f x x ω=+-，由()0f x =得：π1cos()32x ω+=，又π()0,x ∈，有πππ(,π)333x ωω+∈+，因()f x 在(0,π)上只有一个零点0x ，于是得5ππ7ππ333ω<+≤，解得423ω<≤， 所以ω的最大值为2. 故选：C例25．（2023·全国·高三专题练习）定义在R 上的偶函数()f x 满足()22)(f x f x -+=，当[0,2]x ∈时，()xf x =，若在区间[0,10]x ∈内，函数()()(1)mg x f x x =-+有个5零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()110,log e B ．(]11710,log e ,log e 2⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭C ．111log e,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11711log e,,log e 22⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B【分析】根据函数的奇偶性求出函数在[2,0]-上的解析式，将问题转化为函数图象()y f x =与(1)m y x =+在[0,10]上有5个不同的交点，结合图形即可得出结果.【详解】由题意知，函数()f x 为偶函数，且(2)(2)f x f x -=+，令2x x →+，则(22)()(4)()f x f x f x f x --=-=+=， 所以函数()f x 是以4为周期的函数. 当[2,0]x ∈-时，[0,2]x -∈，所以()x f x --=，即当[2,0]x ∈-时()x f x -=， 因为函数()()(1)m g x f x x =-+在[0,10]上有5个零点， 所以方程()(1)0m f x x -+=在[0,10]上有5个根，即函数图象()y f x =与(1)m y x =+在[0,10]上有5个不同的交点，如图，当[0,2]x ∈时，()xf x =，()121e 2x f x '=，()102f '=，设()(1)mp x x =+，则()1(1)m p x m x -'=+，()0p m '=，当12m ≤，()()00p f '≤'， 所以在[0,2]x ∈时，函数()()(1)m g x f x x =-+只有一个零点，此时，若要使图象()y f x =与(1)m y x =+在[0,10]上有5个不同的交点， 则()()11010mf +≤，11log e m ≤，所以110log e m <≤； 当12m >时，()()00p f '>'， 所以在[0,2]x ∈时，函数()()(1)m g x f x x =-+有两个零点，所以()()166m f +<且()()11010mf +>，即7e11e m m ⎧<⎨>⎩，解得71log e 2m <<，故m 的取值范围为(]11710,log e ,log e 2⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭.故选：B.例26．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()31,21()1,2x x f x x x ⎧≥⎪-=⎨⎪-<⎩，若函数()()g x f x kx k =-+恰好有两个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．[)1,+∞B ．0,1C ．()1,+∞D ．()(),00,1-∞⋃【答案】C【分析】根据已知条件画出函数()f x 的图象，将函数()()g x f x kx k =-+恰好有两个零点转化为函数()f x 与直线()1y k x =-图象恰有两个交点即可求解.【详解】由题意知，画出函数()31,21()1,2x x f x x x ⎧≥⎪-=⎨⎪-<⎩的简图，如图所示由()()g x f x kx k =-+恰好有两个零点转化为()f x 与直线()1y k x =-有两个不同的交点， 由图知，当直线经过点()()1,0,0,1-两点的斜率为10101k --==-，则1k >. 所以实数k 的取值范围为()1,+∞.故选： C.例27．（2023·全国·高三专题练习）已知()e xx f x =．则下列说法正确的有（ ）A ．函数()y f x =有唯一零点0x =B ．函数()y f x =的单调递减区间为()(),01,-∞⋃+∞C ．函数()y f x =有极大值1eD ．若关于x 的方程()f x a =有三个不同的根．则实数a 的取值范围是10,e ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】ACD【分析】根据零点的定义判断A ，利用导数分析函数的单调性，作出函数()f x 的图象，根据图象判断其余选项.【详解】由()0f x =得：0x =，即0x =，故函数()f x 有唯一零点0x = 由题可知：(),0e e ,0e xx xxx x f x x x ⎧≥⎪⎪==⎨⎪-<⎪⎩设()e ex x xg x x -==⋅，x ∈R ，则()()1x g x x e -'=-⋅， 由()()1e 0x g x x -⋅'=-≥得：1x ≤；由()()1e 0xg x x -⋅'=-≤得；1x ≥；故()g x 在(],1-∞上单调递增﹐在[)1,+∞上单调递减，作出()y g x =图象，并将0x <的部分图象关于x 轴对称可得()y f x =的图象如下：观察图象可得函数()y f x =的单调递减区间为(),0∞-，()1,+∞，B 错， 函数()y f x =在1x =时有极大值1e，C 对，方程()f x a =有三个不同的根，则实数a 的取值范围是10,e ⎛⎫⎪⎝⎭，D 对，故选：ACD.第四天学习及训练【题型】七、一元二次不等式恒成立问题例28．（2023·全国·高三专题练习）已知m 是区间[]0,4内任取的一个数，那么函数3221()233f x x x m x =-++在x ∈R 上是增函数的概率是（ ）A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】C【分析】首先得到220()4f x x x m '=-≥+恒成立，则解出m 的范围，再根据其在[0,4]内取数，利用几何概型公式得到答案. 【详解】22()4f x x x m '=-+，3221()233f x x x m x =-++在x ∈R 上是增函数22()40f x x x m '∴=-+≥恒成立21640m ∴∆=-≤解得2m ≥或2m ≤- 又m 是区间[0,4]内任取的一个数24m ∴≤≤由几何概型概率公式得函数3221()233f x x x m x =-++在x ∈R 上是增函数的概率42142P -== 故选：C ．例29．（2023·全国·高三专题练习）当13x ≤≤时，关于x 的不等式210ax x -<+恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．,⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭14C ．,1,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】分离参变量得211a x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭恒成立，只用2min11a x x ⎡⎤⎛⎫<-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦可求解. 【详解】当13x ≤≤时，由210ax x -<+恒成立可得，211a x x⎛⎫<- ⎪⎝⎭恒成立， 令2211111()()24f x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，1113,,13x x ⎡⎤≤≤∴∈⎢⎥⎣⎦，∴当111,123x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，即当2x =时， ()f x 取得最小值为()()min124f x f ==-， 因为211a x x⎛⎫<- ⎪⎝⎭恒成立，所以()min a f x <，即14a <-.故选:B ．例30．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()312x f x x +=+，()()42e xg x x =-，若[)120,x x ∀∈+∞，，不等式()()()()2221e e t g x t f x +≤+恒成立，则正数t 的取值可以是（ ） A ．6eB．(2eC．(2eD ．2e【答案】AB【分析】本题的含义是不等式左边的最大值小于等于右边的最小值，t 是常数， 因此先要算出左边的最大值和右边的最小值，再计算不等式即可.【详解】因为()()3253153222x x f x x x x +-+===-+++，所以()f x 在[)0,∞+上单调递增， 所以对[0,)x ∀∈+∞，()()102f x f ≥=； ()()42e xg x x =-，所以()()()'2e 42e 21e x x x g x x x =-+-=- ，当1x >时，()'0g x < ；当01x <<时，()'0g x > ，函数()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，∴()max ()12e g x g ==；因为0t >，任意[)12,0,x x ∈+∞，不等式()()()()2221e e t g x t f x +≤+恒成立，即()()221e 2e e 2t t +⋅≤+，整理得224e 3e 0t t --≥，解得(2e t ≤或(2e t ≥，所以正数t 的取值范围为()2e,⎡+∞⎣；6e 与(2e 均在区间()2e,⎡+∞⎣内， (2e +与2e 均不在区间()2e,⎡+∞⎣内； 故选：AB ．【题型】八、一元二次不等式能成立问题31．（2023·全国·高三专题练习）已知命题:R p x ∀∈，20x x a -+>，若p ⌝是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,)4-∞（C ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【分析】由题意得到20x x a -+≤有解，进而由根的判别式列出不等式，求出实数a 的取值范围.【详解】若p ⌝是真命题，由题意知不等式20x x a -+≤有解，140a ∴∆=-≥，解得:14a ≤. 因此，实数a 的取值范围是1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 故选：A例32．（2023·全国·高三专题练习）若1,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使2210x x λ-+<成立，则实数λ的取值范围是______________．【答案】)+∞【分析】利用不等式的基本性质分离参数，利用函数的单调性求相应最值即可得到结论.【详解】由2210x x λ-+<可得，221x x λ>+， 因为1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以12x x λ>+，根据题意，min 12x x λ⎛⎫+ ⎪⎝⎭>即可， 设()12f x x x =+，易知()f x在12⎛ ⎝⎭单调递减，在2⎫⎪⎪⎝⎭单调递增， 所以()min f x f ==⎝⎭所以λ>故答案为：)+∞。

极坐标参数方程训练题1、(2014·福建高考理科·Ｔ21)已知直线l 的参数方程为2()4x a tt y t =-⎧⎨=-⎩为参数，圆C 的参数方程为4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)． (1)求直线l 和圆C 的普通方程； (2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围． 2..（2014·辽宁高考）将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.（Ⅰ）写出C 的参数方程； （Ⅱ）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段12P P 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.3..(2014·新课标全国卷Ⅱ高考·T23) (2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T23)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴为极轴建立极坐标系,半圆C 的极坐标方程为ρ=2cos θ,θ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦. (1)求C 的参数方程. (2)设点D 在C 上,C 在D 处的切线与直线l:y=3x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D 的坐标.4.（15年新课标1）在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()222:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（I ）求12,C C 的极坐标方程.（II ）若直线3C 的极坐标方程为()πR 4θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ∆ 的面积.5.（2015新课标（II ））直角坐标系xoy 中，曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤<，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sin C ρθ=，曲线3:23cos C ρθ=．（Ⅰ）.求2C 与1C 交点的直角坐标；（Ⅱ）.若2C 与1C 相交于点A ，3C 与1C 相交于点B ，求AB的最大值．6.（2013·辽宁高考）在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系。