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[第11讲 函数与方程](时间：35分钟 分值：80分)基础热身1．[教材改编试题] 函数f (x )＝2x＋3x 的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1，0) C ．(0，1) D ．(1，2)2．函数f (x )＝－1x＋log 2x 的一个零点落在下列哪个区间( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)3．[2013·东北名校二模] 若a >2，则函数f (x )＝13x 3－ax 2＋1在(0，2)内零点的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．04．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x （x >0），3x （x ≤0），且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0，1)C ．(1，2)D ．(1，＋∞)能力提升5．[2013·海口一模] 函数f (x )＝e x＋x －2的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1，0) C ．(0，1) D ．(1，2) 6．[2013·厦门模拟] 已知函数f (x )＝1＋x －x 22＋x 33－x 44＋…＋x 2 0112 011，则下列结论正确的是( )A ．f (x )在(－1，0)上恰有一个零点B ．f (x )在(0，1)上恰有一个零点C ．f (x )在(－1，0)上恰有两个零点D ．f (x )在(0，1)上恰有两个零点7．定义在R 上的函数f (x )既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期．若将方程f (x )＝0在闭区间[－T ，T ]上的根的个数记为n ，则n 可能为( )A ．0B ．1C ．3D ．58．[2013·天津卷] 对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －x 2)，x ∈R ，若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]∪⎝⎛⎭⎪⎫－1，32B ．(－∞，－2]∪⎝⎛⎭⎪⎫－1，－34 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，14∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ 9．已知对于任意实数x ，函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )．若方程f (x )＝0有2 013个实数解，则这2 013个实数解之和为________．10．在用二分法求方程x 3－2x －1＝0的一个近似解时，已经将一根锁定在区间(1，2)内，则下一步可断定该根所在的区间为________．11．[2013·温州质检] 对于函数y ＝f (x )，若存在区间[a ，b ]，当x ∈[a ，b ]时的值域为[ka ，kb ](k >0)，则称y ＝f (x )为k 倍值函数．若f (x )＝ln x ＋x 是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是________．12．(13分)已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3－a ，如果函数y ＝f (x )在区间[－1，1]上有零点，求a 的取值范围．难点突破13．(1)(6分)已知二次函数f (x )＝x 2－(m －1)x ＋2m 在[0，1]上有且只有一个零点，则实数m 的取值范围为( )A ．(－2，0)B ．(－1，0)C ．[－2，0]D ．(－2，－1)(2)(6分)设函数f (x )＝4sin(2x ＋1)－x ，则在下列区间中函数f (x )不存在零点的是( )A ．[－4，－2]B ．[－2，0]C ．[0，2]D ．[2，4]课时作业(十一)【基础热身】1．B [解析] 因为f (－1)f (0)<0，所以区间(－1，0)是函数f (x )＝2x＋3x 的零点所在的一个区间，故选B.2．B [解析] 根据函数的零点存在定理得到f (1)f (2)＝(－1)×12<0，故函数的一个零点在区间(1，2)内．3．C [解析] f ′(x )＝x 2－2ax ，由a >2可知，f ′(x )在x ∈(0，2)恒为负，即f (x )在(0，2)内单调递减，又f (0)＝1>0，f (2)＝83－4a ＋1<0，∴f (x )在(0，2)内只有一个零点．故选C.4．D [解析] 在同一坐标系内分别作出y 1＝f (x )，y 2＝－x ＋a 的图象，其中a 表示直线在y 轴的截距，结合图形可知当a >1时，直线y 2＝－x ＋a 与y 1＝log 2x 只有一个交点，即a ∈(1，＋∞)．【能力提升】5．C [解析] ∵f (－1)＝e －1－1－2<0，f (0)＝1－2<0，f (1)＝e ＋1－2>0，∴函数的零点所在区间为(0，1)．6．A [解析] 因为f ′(x )＝1－x ＋x 2－x 3＋…＋x 2 010>0，x ∈(－1，0)，所以函数f (x )＝1＋x －x 22＋x 33－x 44＋…＋x 2 0112 011在(－1，0)单调增，f (0)＝1>0，f (－1)<0，选A.7．D [解析] 定义在R 上的函数f (x )是奇函数，f (0)＝0，又是周期函数，T 是它的一个正周期，∴f (T )＝f (－T )＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－T 2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫T 2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－T2＋T ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫T 2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－T 2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫T 2＝0，则n 可能为5.8．B [解析] f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2，x 2－2－()x －x 2≤1，x －x 2，x 2－2－()x －x 2>1＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，－1≤x ≤32，x －x 2，x <－1，或x >32，则f ()x 的图象如图．∵y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点， ∴y ＝f (x )与y ＝c 的图象恰有两个公共点，由图象知c ≤－2，或－1<c <－34.9．0 [解析] 由奇函数的性质得f (0)＝0，其余2 012个实数解互为相反数，则这2 013个实数解之和为0.10.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 [解析] 计算函数f (x )＝x 3－2x －1在x ＝1，32，2处的函数值，根据函数零点的存在定理进行判断．f (1)<0，f (2)>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝278－3－1<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32f (2)<0，故下一步断定该根在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2内． 11.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1＋1e [解析] 因为f (x )＝ln x ＋x 是k 倍值函数，且f (x )在[a ，b ]上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧ln a ＋a ＝ka ，ln b ＋b ＝kb ，则g (x )＝ln x ＋(1－k )x 在(0，＋∞)上有两个零点，即y ＝ln x 与y＝(k －1)x 相交于两点，所以k －1>0.当k ＝1＋1e 时相切，所以1<k <1＋1e.12．解：(1)若a ＝0，f (x )＝2x －3，显然在[－1，1]上没有零点，所以a ≠0.(2)若a ≠0，①令Δ＝4＋8a (3＋a )＝8a 2＋24a ＋4＝0，解得a ＝－3±72.当a ＝－3－72时，y ＝f (x )恰有一个零点在[－1，1]上；②当f (－1)·f (1)＝(a －1)(a －5)<0，即1<a <5时， y ＝f (x )在[－1，1]上也恰有一个零点．③当y ＝f (x )在[－1，1]上有两个零点时，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝8a 2＋24a ＋4>0，－1≤－12a ≤1，af （1）≥0，af （－1）≥0.解得a ≥5或a <－3－72.综上，所求实数a 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a >1或a ≤－3－72. 【难点突破】13．(1)C (2)A [解析] (1)①当方程x 2－(m －1)x ＋2m ＝0在[0，1]上有两个相等实根时，Δ＝(m －1)2－8m ＝0且0≤m －12≤1，此时无解．②当方程x 2－(m －1)x ＋2m ＝0有两个不相等的实根时，(i)有且只有一根在[0，1]上时，有f (0)f (1)<0，即2m (m ＋2)<0，解得－2<m <0；(ii)有两根在[0，1]上时有⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，0<m －12<1，f （0）>0，f （1）>0，此时无解； (iii)当f (0)＝0时，m ＝0，方程可化为x 2＋x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－1，符合题意；(iv)当f (1)＝0时，m ＝－2，方程可化为x 2＋3x －4＝0，解得x 1＝1，x 2＝－4，符合题意．综上所述，实数m 的取值范围为[－2，0]．(2)f (0)＝4sin1>0，f (2)＝4sin5－2，由于π<5<2π，所以sin5<0，故f (2)<0，故函数在[0，2]上存在零点；由于f (－1)＝4sin(－1)＋1，－π2<－1<－π6，所以sin(－1)<－12，故f (－1)<0，故函数在[－1，0]上存在零点，也在[－2，0]上存在零点；令x ＝5π－24∈[2，4]，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π－24＝4sin 5π2－5π－24＝4－5π－24＝18－5π4>0，而f (2)<0，所以函数在[2，4]上存在零点．排除法知函数在[－4，－2]上不存在零点．。
2010年高考数学一轮复习精品学案（人教版A 版）---函数与方程一．【课标要求】1．结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；2．根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。
二．【命题走向】函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点，特别是“二分法”求方程的近似解也一定会是高考的考点。
从近几年高考的形势来看，十分注重对三个“二次”（即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的考察力度，同时也研究了它的许多重要的结论，并付诸应用。
高考试题中有近一半的试题与这三个“二次”问题有关预计2010年高考对本讲的要求是：以二分法为重点、以二次函数为载体、以考察函数与方程的关系为目标来考察学生的能力（1）题型可为选择、填空和解答；（2）高考试题中可能出现复合了函数性质与函数零点的综合题，同时考察函数方程的思想。
三．【要点精讲】1．方程的根与函数的零点（1）函数零点概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。
函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。
即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点。
二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的零点：１）△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点；２）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；３）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点。
第一节函数及其表示[知识能否忆起]1．函数的概念(1)函数的定义：一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应；那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．2．函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．映射的概念设A，B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么称对应f：A→B为集合A 到集合B的一个映射．4．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．[小题能否全取]1．(教材习题改编)设g(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则f(x)等于()A．－2x＋1B．2x－1C．2x－3 D．2x＋7解析：选D f (x )＝g (x ＋2)＝2(x ＋2)＋3＝2x ＋7.2．(2012·江西高考)设函数f (x )＝{eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x 2＋1，x ≤1，,\f(2,x )，x >1，))|则f (f (3))＝( )A.15| B ．3 C.23|D.139| 解析：选D f (3)＝23|，f (f (3))＝⎝⎛⎭⎫23|2＋1＝139|. 3．已知集合A ＝[0,8]，集合B ＝[0,4]，则下列对应关系中，不能看作从A 到B 的映射的是( )A ．f ：x →y ＝18|xB ．f ：x →y ＝14|xC ．f ：x →y ＝12|xD ．f ：x →y ＝x解析：选D 按照对应关系f ：x →y ＝x ，对A 中某些元素(如x ＝8)，B 中不存在元素与之对应．4．已知f ⎝⎛⎭⎫1x |＝x 2＋5x ，则f (x )＝____________. 解析：令t ＝1x |，则x ＝1t |.所以f (t )＝1t 2|＋5t |.故f (x )＝5x ＋1x 2|(x ≠0)．答案：5x ＋1x2|(x ≠0)5．(教材习题改编)若f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0，则f (－1)＝________.解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋b ＋c ＝0，9＋3b ＋c ＝0，|得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝3.| 即f (x )＝x 2－4x ＋3.所以f (－1)＝(－1)2－4×(－1)＋3＝8. 答案：81.函数与映射的区别与联系(1)函数是特殊的映射，其特殊性在于集合A 与集合B 只能是非空数集，即函数是非空数集A 到非空数集B 的映射．(2)映射不一定是函数，从A 到B 的一个映射，A 、B 若不是数集，则这个映射便不是函数．2．定义域与值域相同的函数，不一定是相同函数如函数y ＝x 与y ＝x ＋1，其定义域与值域完全相同，但不是相同函数；再如函数y ＝sin x 与y ＝cos x ，其定义域与值域完全相同，但不是相同函数．因此判断两个函数是否相同，关键是看定义域和对应关系是否相同．3．求分段函数应注意的问题在求分段函数的值f (x 0)时，一定要首先判断x 0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集．典题导入[例1] 有以下判断：(1)f (x )＝|x |x |与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0|表示同一函数；(2)函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个； (3)f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；(4)若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12|＝0. 其中正确判断的序号是________．[自主解答] 对于(1)，由于函数f (x )＝|x |x|的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0|的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于(2)，若x ＝1不是y ＝f (x )定义域的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图象没有交点，如果x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值，由函数定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图象只有一个交点，即y ＝f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点；对于(3)，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )和g (t )表示同一函数；对于(4)，由于f ⎝⎛⎭⎫12|＝⎪⎪⎪⎪12－1|－⎪⎪⎪⎪12|＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12|＝f (0)＝1. 综上可知，正确的判断是(2)(3)． [答案] (2)(3)由题悟法两个函数是否是同一个函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示同一函数．另外，函数的自变量习惯上用x 表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x－1，g(t)＝2t－1，h(m)＝2m－1均表示同一函数．以题试法1．试判断以下各组函数是否表示同一函数．(1)y＝1，y＝x0；(2)y＝x－2|·x＋2|，y＝x2－4|；(3)y＝x，y＝3t3|；(4)y＝|x|，y＝(x|)2.解：(1)y＝1的定义域为R，y＝x0的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，故它们不是同一函数．(2)y＝x－2|·x＋2|的定义域为{x|x≥2}．y＝x2－4|的定义域为{x|x≥2，或x≤－2}，故它们不是同一函数．(3)y＝x，y＝3t3|＝t，它们的定义域和对应关系都相同，故它们是同一函数．(4)y＝|x|的定义域为R，y＝(x|)2的定义域为{x|x≥0}，故它们不是同一函数．典题导入[例2] (1)已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x |＝x 2＋1x 2|，求f (x )的解析式； (2)已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1|＝lg x ，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )． [自主解答] (1)由于f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x |＝x 2＋1x 2|＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x |2－2， 所以f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2，故f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2(x ≥2或x ≤－2)． (2)令2x |＋1＝t 得x ＝2t －1|，代入得f (t )＝lg 2t －1|，又x >0，所以t >1，故f (x )的解析式是f (x )＝lg 2x －1|(x >1)．(3)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx ， 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，|解得a ＝b ＝12|.所以f (x )＝12|x 2＋12|x (x ∈R)．由题悟法函数解析式的求法(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式(如例(1))；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法(如例(3))； (3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围(如例(2))；(4)方程思想：已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x |或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )(如A 级T6)．以题试法2．(1)已知f (x |＋1)＝x ＋2x |，求f (x )的解析式；(2)设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，求f (x )的解析式．解：(1)法一：设t ＝x |＋1，则x ＝(t －1)2(t ≥1)； 代入原式有f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1. 故f (x )＝x 2－1(x ≥1)．法二：∵x ＋2x |＝(x |)2＋2x |＋1－1＝(x |＋1)2－1， ∴f (x |＋1)＝(x |＋1)2－1(x |＋1≥1)， 即f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b ＝2x ＋2， ∴a ＝1，b ＝2，f (x )＝x 2＋2x ＋c . 又∵方程f (x )＝0有两个相等实根， ∴Δ＝4－4c ＝0，c ＝1，故f (x )＝x 2＋2x ＋1.典题导入[例3] (2012·广州调研考试)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ∈(－∞，1)，x 2，x ∈[1，＋∞)，|若f (x )>4，则x 的取值范围是______．[自主解答] 当x <1时，由f (x )>4，得2－x >4，即x <－2；当x ≥1时，由f (x )>4得x 2>4，所以x >2或x <－2， 由于x ≥1，所以x >2. 综上可得x <－2或x >2. [答案] (－∞，－2)∪(2，＋∞)若本例条件不变，试求f (f (－2))的值． 解：∵f (－2)＝22＝4， ∴f (f (－2))＝f (4)＝16.由题悟法求分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用求值．若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．以题试法3.(2012·衡水模拟)已知f (x )的图象如图，则f (x )的解析式为________． 解析：由图象知每段为线段．设f (x )＝ax ＋b ，把(0,0)，⎝⎛⎭⎫1，32|和⎝⎛⎭⎫1，32|，(2,0)分别代入， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝32，b ＝0，|⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝3.|答案：f (x )＝⎩⎨⎧32x ，0≤x ≤1，3－32x ，1≤x ≤2|1．下列四组函数中，表示同一函数的是( ) A ．y ＝x －1与y ＝(x －1)2| B ．y ＝x －1|与y ＝x －1x －1| C ．y ＝4lg x 与y ＝2lg x 2 D ．y ＝lg x －2与y ＝lg x100|答案：D2．下列函数中，与函数y ＝13x|定义域相同的函数为( )A ．y ＝1sin x |B ．y ＝ln xx |C ．y ＝x e xD ．y ＝sin xx|解析：选D 函数y ＝13x|的定义域为{x |x ≠0}，选项A 中由sin x ≠0⇒x ≠k π，k ∈Z ，故A 不对；选项B 中x >0，故B 不对；选项C 中x ∈R ，故C 不对；选项D 中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为{x |x ≠0}．3．(2012·安徽高考)下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x |B ．f (x )＝x －|x |C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x解析：选C 对于选项A ，f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )；对于选项B ，f (x )＝x －|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≥0，2x ，x ＜0，|当x ≥0时，f (2x )＝0＝2f (x )，当x ＜0时，f (2x )＝4x ＝2·2x ＝2f (x )，恒有f (2x )＝2f (x )；对于选项D ，f (2x )＝－2x ＝2(－x )＝2f (x )；对于选项C ，f (2x )＝2x ＋1＝2f (x )－1.4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－cos (πx )，x >0，f (x ＋1)＋1，x ≤0，|则f ⎝⎛⎭⎫43|＋f ⎝⎛⎭⎫－43|的值等于( ) A ．－2 B ．1 C ．2D ．3解析：选D f ⎝⎛⎭⎫43|＝12|，f ⎝⎛⎭⎫－43|＝f ⎝⎛⎭⎫－13|＋1＝f ⎝⎛⎭⎫23|＋2＝52|，f ⎝⎛⎭⎫43|＋f ⎝⎛⎭⎫－43|＝3. 5．现向一个半径为R 的球形容器内匀速注入某种液体，下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度h 随时间t 变化的函数关系的是( )解析：选C 从球的形状可知，水的高度开始时增加的速度越来越慢，当超过半球时，增加的速度又越来越快．6．若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (x )＝( ) A ．x －1B ．x ＋1C ．2x ＋1D ．3x ＋3解析：选B 由题意知2f (x )－f (－x )＝3x ＋1.① 将①中x 换为－x ，则有2f (－x )－f (x )＝－3x ＋1.② ①×2＋②得3f (x )＝3x ＋3， 即f (x )＝x ＋1.7．已知f (x )＝x 2＋px ＋q 满足f (1)＝f (2)＝0，则f (－1)＝________. 解析：由f (1)＝f (2)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ 12＋p ＋q ＝0，22＋2p ＋q ＝0，|所以⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－3，q ＝2.| 故f (x )＝x 2－3x ＋2.所以f(－1)＝(－1)2＋3＋2＝6.答案：68．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＋2ax，x≥2，,2x＋1，x＜2，))若f(f(1))>3a2，则a的取值范围是________．解析：由题知，f(1)＝2＋1＝3，f(f(1))＝f(3)＝32＋6a，若f(f(1))>3a2，则9＋6a>3a2，即a2－2a－3<0，解得－1<a<3.答案：(－1,3)9．设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N的函数关系的是________．解析：由函数的定义，对定义域内的每一个x对应着唯一一个y，据此排除①④，③中值域为{y|0≤y≤3}不合题意．答案：②10．若函数f(x)＝eq \f(x,ax＋b)(a≠0)，f(2)＝1，又方程f(x)＝x有唯一解，求f(x)解：由f(2)＝1得eq \f(2,2a＋b)＝1，即2a＋b＝2；由f(x)＝x得eq \f(x,ax＋b)＝x，变形得x eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,ax＋b)解此方程得x＝0或x＝eq \f(1－b,a)，又因方程有唯一解，故eq \f(1－b,a)＝0，解得b＝1，代入2a＋b＝2得a＝eq \f(1,2)，所以f(x)＝eq \f(2x,x＋2).11.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2 km，甲10时出发前往乙家．如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y(km)与时间x(min)的关系．试写出y＝f(x)的函数解析式．解：当x∈[0,30]时，设y＝k1x＋b1，由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b1＝0，,30k1＋b1＝2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k1＝\f(1,15)，,b1＝0.))即y＝eq \f(1,15)x.当x∈(30,40)时，y＝2；当x∈[40,60]时，设y＝k2x＋b2，由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(40k2＋b2＝2，,60k2＋b2＝4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k2＝\f(1,10)，,b2＝－2.))即y＝eq \f(1,10)x－2.综上，f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(1,15)x，x∈[0，30]，,2，x∈(30，40)，,\f(1,10)x －2，x∈[40，60].))12．如图1是某公共汽车线路收支差额y元与乘客量x的图象．(1)试说明图1上点A、点B以及射线AB上的点的实际意义；(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图2、3所示．你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？(4)图1、图2、图3中的票价分别是多少元？解：(1)点A表示无人乘车时收支差额为－20元，点B表示有10人乘车时收支差额为0元，线段AB上的点表示亏损，AB延长线上的点表示赢利．(2)图2的建议是降低成本，票价不变，图3的建议是提高票价．(3)斜率表示票价．(4)图1、2中的票价是2元．图3中的票价是4元．1．(2011·北京高考)根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(c,\r(x))，x<A，,\f(c,\r(A))，x≥A))(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是() A．75,25 B．75,16C．60,25 D．60,16解析：选D因为组装第A件产品用时15分钟，所以eq \f(c,\r(A))＝15，①所以必有4<A，且eq \f(c,\r(4))＝eq \f(c,2)＝30.②联立①②解得c＝60，A＝16.2．(2012·江西红色六校联考)具有性质：f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y＝x－eq \f(1,x)；②y＝x＋eq \f(1,x)；③y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x，0<x<1，,0，x＝1，,－\f(1,x)，x>1.))其中满足“倒负”变换的函数是() A．①②B．①③C．②③D．①解析：选B对于①，f(x)＝x－eq \f(1,x)，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq \f(1,x)－x＝－f(x)，满足；对于②，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq \f(1,x)＋x＝f(x)，不满足；对于③，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(1,x)，0<\f(1,x)<1，,0，\f(1,x)＝1，,－x，\f(1,x)>1，))即f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(1,x)，x>1，,0，x＝1，,－x，0<x<1，))故f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝－f(x)，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.3．二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)解不等式f(x)>2x＋5.解：(1)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．∵f(0)＝1，∴c＝1.把f(x)的表达式代入f(x＋1)－f(x)＝2x，有a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x.∴2ax＋a＋b＝2x.∴a＝1，b＝－1.∴f(x)＝x2－x＋1.(2)由x2－x＋1>2x＋5，即x2－3x－4>0，解得x>4或x<－1.故原不等式解集为{x|x>4，或x<－1}．1．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3x＋2，x<1，,x2＋ax，x≥1，))若f(f(0))＝4a，则实数a＝________.解析：∵f(0)＝3×0＋2＝2，f(f(0))＝f(2)＝4＋2a＝4a，∴a＝2.答案：22．若函数的定义域为{x|－3≤x≤6，且x≠4}，值域为{y|－2≤y≤4，且y≠0}，试在下图中画出满足条件的一个函数的图象．解：本题答案不唯一，函数图象可画为如图所示．3．已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x.(1)若f(2)＝3，求f(1)；又若f(0)＝a，求f(a)；(2)设有且仅有一个实数x0，使得f(x0)＝x0，求函数f(x)的解析式．解：(1)因为对任意x∈R有f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x，所以f(f(2)－22＋2)＝f(2)－22＋2，又f(2)＝3，从而f(1)＝1.若f(0)＝a，则f(a－02＋0)＝a－02＋0，即f(a)＝a.(2)因为对任意x∈R，有f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x，又有且仅有一个实数x0，使得f(x0)＝x0，故对任意x∈R，有f(x)－x2＋x＝x0.在上式中令x＝x0，有f(x0)－x eq \o\al(2,0)＋x0＝x0.又因为f(x0)＝x0，所以x0－x eq \o\al(2,0)＝0，故x0＝0或x0＝1.若x0＝0，则f(x)＝x2－x，但方程x2－x＝x有两个不相同实根，与题设条件矛盾，故x0≠0.若x0＝1，则有f(x)＝x2－x＋1，易证该函数满足题设条件．综上，所求函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋1.。
第九节函数与方程[知识能否忆起]1．函数的零点(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．[小题能否全取]1．(教材习题改编)下列图象表示的函数中能用二分法求零点的是()答案：C2．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是()A ．0,2B ．0，12C ．0，－12D ．2，－12解析：选C ∵2a ＋b ＝0，∴g (x )＝－2ax 2－ax ＝－ax (2x ＋1)． ∴零点为0和－12.3．(教材习题改编)根据表格中的数据，可以判定方程e x －x －2＝0的一个根所在的区间为( )A.(－1,0) C ．(1,2)D ．(2,3)解析：选C 设函数f (x )＝e x －x －2，从表中可以看出f (1)·f (2)<0，因此方程e x －x －2＝0的一个根所在的区间为(1,2)．4．用二分法求函数y ＝f (x )在区间(2,4)上的近似解，验证f (2)·f (4)<0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2,4)的中点x 1＝2＋42＝3，计算得f (2)·f (x 1)<0，则此时零点x 0∈________(填区间)．解析：由f (2)·f (3)<0可知x 0∈(2,3)． 答案：(2,3)5．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋a 在区间(0,1)上有零点，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵函数f (x )＝x 2＋x ＋a 在(0,1)上有零点． ∴f (0)f (1)<0.即a (a ＋2)<0，解得－2<a <0. 答案：(－2,0)1.函数的零点不是点：函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的实数根，也就是函数y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点．在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标．2．对函数零点存在的判断中，必须强调： (1)f (x )在[a ，b ]上连续； (2)f (a )·f (b )<0；(3)在(a ，b )内存在零点．这是零点存在的一个充分条件，但不必要．3．对于定义域内连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．典题导入[例1] (2012·唐山统考)设f (x )＝e x ＋x －4，则函数f (x )的零点位于区间( ) A ．(－1,0) B ．(0,1) C ．(1,2)D ．(2,3)[自主解答] ∵f (x )＝e x ＋x －4，∴f ′(x )＝e x ＋1>0.∴函数f (x )在R 上单调递增．f (－1)＝e －1＋(－1)－4＝－5＋e －1<0，f (0)＝－3<0，f (1)＝e ＋1－4＝e －3<0，f (2)＝e 2＋2－4＝e 2－2>0，f (1)f (2)<0，故零点x 0∈(1,2)．[答案] C由题悟法利用函数零点的存在性定理判断零点所在的区间时，首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续不断，再看是否有f (a )·f (b )<0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．以题试法1．(2013·衡水模拟)设函数y ＝x 3与y ＝⎝⎛⎭⎫12x －2的图象交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)解析：选B 设函数f (x )＝x 3－⎝⎛⎭⎫12x －2，f (1)·f (2)<0，且f (x )为单调函数，则x 0∈(1,2)．典题导入[例2] (1)(2012·北京高考)函数f (x )＝x 12－⎝⎛⎭⎫12x 的零点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)(2012·北京东城区模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))＋1的零点个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1[自主解答] (1)在同一平面直角坐标系内作出y1＝x 12与y 2＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象如图所示，易知，两函数图象只有一个交点，因此函数f (x )＝x 12－⎝⎛⎭⎫12x只有1个零点．(2)由f (f (x ))＋1＝0可得f (f (x ))＝－1， 又由f (－2)＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－1. 可得f (x )＝－2或f (x )＝12.若f (x )＝－2，则x ＝－3或x ＝14；若f (x )＝12，则x ＝－12或x ＝2，综上可得函数y ＝f (f (x ))＋1有4个零点． [答案] (1)B (2)A由题悟法判断函数零点个数的常用方法(1)解方程法：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要判断函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．以题试法2．(2012·湖北高考)函数f (x )＝x cos x 2在区间[0,4]上的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析：选C 令x cos x 2＝0，则x ＝0，或x 2＝k π＋π2，又x ∈[0,4]，因此x k ＝k π＋π2(k＝0,1,2,3,4)，共有6个零点．典题导入[例3] (2011·辽宁高考改编)已知函数f (x )＝e x －x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________．[自主解答] ∵f (x )＝e x －x ＋a ， ∴f ′(x )＝e x －1.令f ′(x )＝0，得x ＝0.当x <0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－∞，0)上是减函数； 当x >0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数． 故f (x )min ＝f (0)＝1＋a .若函数f (x )有零点，则f (x )min ≤0， 即1＋a ≤0，得a ≤－1. [答案] (－∞，－1]若函数变为f (x )＝ln x －2x ＋a ，其他条件不变，求a 的取值范围． 解：∵f (x )＝ln x －2x ＋a ，∴f ′(x )＝1x －2.令f ′(x )＝0，得x ＝12.当0<x ≤12时f ′(x )≥0，∴f (x )为增函数；当x >12时，f ′(x )<0，∴f (x )为减函数．∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝ln 12－1＋a . 若f (x )有零点，则f (x )max ≥0，即ln 12－1＋a ≥0.解得a ≥1－ln 12，a 的取值范围为[)1＋ln 2，＋∞.由题悟法已知函数有零点(方程有根)求参数取值常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．以题试法3．已知函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (x －1)，且f (x )是偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，若在区间[－1,3]上函数g (x )＝f (x )－kx －k 有4个零点，则实数k 的取值范围是______．解析：由f (x ＋1)＝f (x －1)得，f (x ＋2)＝f (x )，则f (x )是周期为2的函数．∵f (x )是偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，∴当x ∈[－1,0]时，f (x )＝－x ，易得当x ∈[1,2]时，f (x )＝－x ＋2，当x ∈[2,3]时，f (x )＝x －2.在区间[－1,3]上函数g (x )＝f (x )－kx －k 有4个零点，即函数y ＝f (x )与y ＝kx ＋k 的图象在区间[－1,3]上有4个不同的交点．作出函数y ＝f (x )与y ＝kx ＋k 的图象如图所示，结合图形易知，k ∈⎝⎛⎦⎤0，14. 答案：⎝⎛⎦⎤0，141．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )A.12，0 B ．－2,0 C.12D ．0解析：选D 当x ≤1时，由f (x )＝2x －1＝0，解得x ＝0；当x >1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12，又因为x >1，所以此时方程无解．综上函数f (x )的零点只有0.2．设f (x )＝x 3＋bx ＋c 是[－1,1]上的增函数，且f ⎝⎛⎭⎫－12·f ⎝⎛⎭⎫12<0，则方程f (x )＝0在[－1,1]内( )A ．可能有3个实数根B ．可能有2个实数根C ．有唯一的实数根D ．没有实数根解析：选C 由f (x )在[－1,1]上是增函数，且f ⎝⎛⎭⎫－12·f ⎝⎛⎭⎫12<0，知f (x )在⎣⎡⎦⎤－12，12上有唯一零点，所以方程f (x )＝0在[－1,1]上有唯一实数根．3．(2012·长沙模拟)已知函数f (x )的图象是连续不断的，x 、f (x )的对应关系如下表：A ．区间[1,2]和[2,3]B ．区间[2,3]和[3,4]C ．区间[2,3]、[3,4]和[4,5]D ．区间[3,4]、[4,5]和[5,6]解析：选C 因为f (2)>0，f (3)<0，f (4)>0，f (5)<0，所以在区间[2,3]，[3,4]，[4,5]内有零点．4．(2013·北京西城二模)执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数： ①y ＝2x ； ②y ＝－2x ； ③f (x )＝x ＋x －1；④f (x )＝x －x －1.则输出函数的序号为( )A ．①B ．②C ．③D ．④解析：选D 由图可知输出结果为存在零点的函数，因2x >0，所以y ＝2x 没有零点，同样y ＝－2x 也没有零点；f (x )＝x ＋x －1，当x >0时，f (x )≥2，当x <0时，f (x )≤－2，故f (x )没有零点；令f (x )＝x －x －1＝0得x ＝±1，故选D.5．(2012·北京朝阳统考)函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)解析：选C 由条件可知f (1)f (2)<0，即(2－2－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0，解之得0<a <3.6．(2013·哈师大模拟)若定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈[－1,1]时，f (x )＝1－x 2，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，0，x ＝0，－1x ，x <0，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]内的零点个数是( )A ．5B ．7C ．8D ．10解析：选C 依题意得，函数f (x )是以2为周期的函数，在同一坐标系下画出函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图象，结合图象得，当x ∈[－5,5]时，它们的图象的公共点共有8个，即函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]内的零点个数是8.7．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算f (0)<0，f (0.5)>0可得其中一个零点x 0∈______，第二次应计算________．解析：因为f (x )＝x 3＋3x －1是R 上的连续函数，且f (0)<0，f (0.5)>0，则f (x )在x ∈(0,0.5)上存在零点，且第二次验证时需验证f (0.25)的符号．答案：(0,0.5) f (0.25)8．若函数f (x )＝a x －x －a (a >0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________． 解析：函数f (x )的零点个数就是函数y ＝a x 与函数y ＝x ＋a 的图象交点的个数，易知当a >1时，两图象有两个交点；当0<a <1时，两图象有一个交点．答案：(1，＋∞)9．(2013·南通质检)已知函数f (x )＝x 2＋(1－k )x －k 的一个零点在(2,3)内，则实数k 的取值范围是________．解析：因为Δ＝(1－k )2＋4k ＝(1＋k )2≥0对一切k ∈R 恒成立，又k ＝－1时，f (x )的零点x ＝－1∉(2,3)，故要使函数f (x )＝x 2＋(1－k )x －k 的一个零点在(2,3)内，则必有f (2)·f (3)<0，即2<k <3.答案：(2,3)10．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14.证明：存在x 0∈⎝⎛⎭⎫0，12，使f (x 0)＝x 0. 证明：令g (x )＝f (x )－x .∵g (0)＝14，g ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫12－12＝－18，∴g (0)·g ⎝⎛⎭⎫12<0.又函数g (x )在⎣⎡⎦⎤0，12上连续， ∴存在x 0∈⎝⎛⎭⎫0，12，使g (x 0)＝0，即f (x 0)＝x 0.11．关于x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m 的取值范围． 解：设f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋1，x ∈[0,2]， ①若f (x )＝0在区间[0,2]上有一解， ∵f (0)＝1>0，则应有f (2)<0，又∵f (2)＝22＋(m －1)×2＋1，∴m <－32.②若f (x )＝0在区间[0,2]上有两解，则 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，0<－m －12<2，f (2)≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧(m －1)2－4≥0，－3<m <1，4＋(m －1)×2＋1≥0.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≥3或m ≤－1，－3<m <1，m ≥－32.∴－32≤m ≤－1.由①②可知m 的取值范围(－∞，－1]．12．若函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝0时，函数f (x )＝－x －1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点．(2)当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2－x －1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax 2－x －1＝0有两个相等实根．则Δ＝1＋4a ＝0，解得a ＝－14.综上，当a ＝0或a ＝－14时，函数仅有一个零点．1．(2012·“江南十校”联考)已知关于x 的方程|x 2－6x |＝a (a >0)的解集为P ，则P 中所有元素的和可能是( )A ．3,6,9B ．6,9,12C ．9,12,15D ．6,12,15解析：选B 如图，函数y ＝|x 2－6x |的图象关于直线x ＝3对称，将直线y ＝a 从下往上移动可知：P 中所有元素的和可能是6,9,12.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x >0，－x 2＋bx ＋c ，x ≤0满足f (0)＝1，且f (0)＋2f (－1)＝0，那么函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为________．解析：∵f (0)＝1，∴c ＝1.又∵f (0)＋2f (－1)＝0，∴f (－1)＝－1－b ＋1＝－12，得b ＝12.∴当x >0时，g (x )＝2x －2＝0有唯一解x ＝1；当x ≤0时，g (x )＝－x 2＋32x ＋1，令g (x )＝0，得x ＝2(舍去)或x ＝－12，即g (x )＝0有唯一解．综上可知，g (x )＝f (x )＋x 有2个零点．答案：23．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .(1)若a >b >c ，且f (1)＝0，试证明f (x )必有两个零点；(2)若对x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，f (x 1)≠f (x 2)，方程f (x )＝12[f (x 1)＋f (x 2)]有两个不等实根，证明必有一个实根属于(x 1，x 2)．证明：(1)∵f (1)＝0，∴a ＋b ＋c ＝0，又∵a >b >c ，∴a >0，c <0，即ac <0.又∵Δ＝b 2－4ac ≥－4ac >0，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不等实根，∴函数f (x )有两个零点．(2)令g (x )＝f (x )－12[f (x 1)＋f (x 2)]，则g (x 1)＝f (x 1)－12[f (x 1)＋f (x 2)]＝f (x 1)－f (x 2)2，g (x 2)＝f (x 2)－12[f (x 1)＋f (x 2)]＝f (x 2)－f (x 1)2，∴g (x 1)·g (x 2)＝f (x 1)－f (x 2)2·f (x 2)－f (x 1)2＝－14[f (x 1)－f (x 2)]2. ∵f (x 1)≠f (x 2)，∴g (x 1)·g (x 2)<0. ∴g (x )＝0在(x 1，x 2)内必有一实根．即f (x )＝12[f (x 1)＋f (x 2)]在(x 1，x 2)内必有一实根．1．对于定义域为D 的函数f (x )，若存在区间M ＝[a ，b ]⊆D (a <b )，使得{y |y ＝f (x )，x ∈M }＝M ，则称区间M 为函数f (x )的“等值区间”．给出下列四个函数：①f (x )＝2x ；②f (x )＝x 3；③f (x )＝sin x ；④f (x )＝log 2x ＋1. 则存在“等值区间”的函数是________．(把正确的序号都填上)解析：问题等价于方程f (x )＝x 在函数的定义域内是否存在至少两个不相等的实根，由于2x >x ，故函数f (x )＝2x 不存在等值区间；由于x 3＝x 有三个不相等的实根x 1＝－1，x 2＝0，x 3＝1，故函数f (x )＝x 3存在三个等值区间[－1,0]，[0,1]，[－1,1]；由于sin x ＝x 只有唯一的实根x ＝0，结合函数图象，可知函数f (x )＝sin x 不存在等值区间；由于log 2x ＋1＝x 有实根x 1＝1，x 2＝2，故函数f (x )＝log 2x ＋1存在等值区间[1,2]．答案：②④2．m 为何值时，f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4.京翰教育高考辅导——专业对高中学生开设高三数学辅导补习班京翰教育北京家教辅导-开设全国中小学一对一课外辅导班 (1)有且仅有一个零点；(2)有两个零点且均比－1大．解：(1)若函数f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4有且仅有一个零点， 则等价于Δ＝4m 2－4(3m ＋4)＝0，即m 2－3m －4＝0，解得m ＝4或m ＝－1.(2)设两零点分别为x 1，x 2，且x 1>－1，x 2>－1，x 1≠x 2.则x 1＋x 2＝－2m ，x 1·x 2＝3m ＋4，故只需⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4m 2－4(3m ＋4)>0，(x 1＋1)＋(x 2＋1)>0，(x 1＋1)(x 2＋1)>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－3m －4>0，－2m ＋2>0，3m ＋4＋(－2m )＋1>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ m <－1或m >4，m <1，m >－5.故m 的取值范围是{m |－5<m <－1}．。
§2.8函数与方程考纲解读分析解读 1.了解函数的零点、方程的根、函数的图象与x轴交点的横坐标之间的关系.2.掌握用二分法求方程的近似解.3.在高考中,本节主要是研究函数零点个数以及判断函数零点的范围,分值为5分左右,属中等难度题.五年高考考点函数的零点与方程的根1.(2017课标全国Ⅲ,11,5分)已知函数f(x)=x2-2x+a(e x-1+e-x+1)有唯一零点,则a=()A.-B.C. D.1答案C2.(2017山东,10,5分)已知当x∈[0,1]时,函数y=(mx-1)2的图象与y=+m的图象有且只有一个交点,则正实数m的取值范围是()A.(0,1]∪[2,+∞)B.(0,1]∪[3,+∞)C.(0,]∪[2,+∞)D.(0,]∪[3,+∞)答案B3.(2015安徽,2,5分)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是()A.y=cos xB.y=sin xC.y=ln xD.y=x2+1答案A4.(2015天津,8,5分)已知函数f(x)=-函数g(x)=b-f(2-x),其中b∈R.若函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点,则b的-取值范围是()A. B.-C. D.答案D5.(2014山东,8,5分)已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是()A. B. C.(1,2)D.(2,+∞)答案B6.(2015湖南,15,5分)已知函数f(x)=若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则a的取值范围是. 答案(-∞,0)∪(1,+∞)教师用书专用(7—10)7.(2013天津,7,5分)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为()A.1B.2C.3D.4答案B8.(2013重庆,6,5分)若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间()A.(a,b)和(b,c)内B.(-∞,a)和(a,b)内C.(b,c)和(c,+∞)内D.(-∞,a)和(c,+∞)内答案A9.(2017江苏,14,5分)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数,在区间[0,1)上,f(x)=∈其中集合D=-∈,则方程f(x)-lg x=0的解的个数是.答案810.(2014江苏,13,5分)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数,当x∈[0,3)时,f(x)=-.若函数y=f(x)-a在区间[-3,4]上有10个零点(互不相同),则实数a的取值范围是.答案三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点函数的零点与方程的根1.(2018湖北荆州一模,6)函数f(x)=-log2x的零点所在区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(3,4)D.(4,+∞)答案C2.(2017湖南衡阳八中、长郡中学等十三校一模,4)已知[x]表示不超过实数x的最大整数,g(x)=[x]为取整函数,x0是函数f(x)=ln x-的零点,则g(x0)等于()A.1B.2C.3D.4答案B3.(2017山东烟台期中,4)已知a是函数f(x)=2x-lo x的零点,若0<x0<a,则f(x0)的值满足()A.f(x0)=0B.f(x0)>0C.f(x0)<0D.f(x0)的符号不确定答案C4.(人教A必1,三,3-1A,2,变式):则函数y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有()A.2个B.3个C.4个D.5个答案B5.(2018黑龙江大庆实验中学月考,15)若方程cos2x-sin x+a=0在内有解,则a的取值范围是.答案{a|-1<a≤1}6.(2017江西九江地区高三七校联考,13)若方程x2-mx+m-1=0有两根,则其中一根大于2,另一根小于2的充要条件是.答案m>3B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:30分时间:20分钟)一、选择题(每小题5分,共15分)1.(2018广东化州二模,10)已知函数f(x)=--则“函数f(x)有两个零点”成立的充分不必要条件是a∈()A.[1,2]B.(1,2]C.(1,2)D.(0,1]答案C2.(2018安徽十大名校联考,12)若函数f(x)=--有4个零点,则实数m的取值范围是()A.(16,20)B.(-20,-16)C.(-∞,-20)∪(-16,+∞)D.(-∞,16)∪(20,+∞)答案B3.(2017安徽示范高中二模,12)已知函数f(x)=e-x-|ln x|的两个零点分别为x1,x2,则()A.0<x1x2<1B.x1x2=1C.1<x1x2<eD.x1x2>e答案A二、填空题(每小题5分,共15分)4.(2018皖江名校联考,15)已知函数f(x)=-其中a>0且a≠1,若函数f(x)的图象上有且只有一对点关于y轴对称,则a的取值范围是.答案(0,1)∪(1,4)5.(2017河北衡水中学第三次调研,16)已知函数f(x)=--若关于x的方程f2(x)-bf(x)+1=0有8个不同的实数根,则实数b的取值范围是.答案2<b≤6.(2016中原名校四月联考,16)定义在R上的奇函数f(x),当x≥0时,f(x)=∈--∈则关于x的函数F(x)=f(x)-a(0<a<1)的所有零点之和为. 答案1-3aC组2016—2018年模拟·方法题组方法1判断函数零点所在区间和零点的个数1.(2017福建宁德一模,12)已知函数f(x)=若方程f(f(x))-2=0恰有三个实数根,则实数k的取值范围是()A.[0,+∞)B.[1,3]C.--D.--答案C2.(2018江西上高二中月考,15)已知f(x)=则函数y=2f2(x)-3f(x)的零点个数为.-答案5方法2零点性质的应用3.(2018山西45校第一次联考,6)函数f(x)=ax2-2x+1在区间(-1,1)和区间(1,2)上分别存在一个零点,则实数a的取值范围是()A.-3<a<1B.<a<1C.-3<a<D.a<-3或a>答案B4.(2017湖南益阳调研,12)设函数f(x)=-其中[x]表示不超过x的最大整数,如[-1.2]=-2,[1.2]=1,[1]=1.若直线y=kx+k(k>0)与函数y=f(x)的图象恰有三个不同的交点,则k的取值范围是()A. B. C. D.答案D5.(2016江西南昌十所省重点中学二模,12)若函数f(x)满足f(x)+1=,当x∈[0,1]时,f(x)=x.若在区间(-1,1]内,g(x)=f(x)-mx-2m有两个零点,则实数m的取值范围是()A.0<m<B.0<m≤C.<m<1D.<m≤1答案B。
