函数与方程
【知识梳理】
1、函数零点的定义
（1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =的零点。
（2）方程0)(=x f 有实根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(=x f 是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程0)(=x f ，所得实数根就是()f x 的零点
（3）变号零点与不变号零点
①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()f x 的变号零点。
②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()f x 的不变号零点。
③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线，则0)()(
2、函数零点的判定
（1）零点存在性定理：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的曲线，并且有()()0f a f b ⋅<，那么，函数)(x f y =在区间(),a b 内有零点，即存在),(0b a x ∈，使得0)(0=x f ，这个0x 也就是方程0)(=x f 的根。
（2）函数)(x f y =零点个数（或方程0)(=x f 实数根的个数）确定方法
① 代数法：函数)(x f y =的零点⇔0)(=x f 的根；
②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =
的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。
（3）零点个数确定
0∆>⇔)(x f y =有
2个零点⇔0)(=x f 有两个不等实根； 0∆=⇔)(x f y =有1个零点⇔0)(=x f 有两个相等实根；
0∆<⇔)(x f y =无零点⇔0)(=x f 无实根；
对于二次函数在区间[],a b 上的零点个数，要结合图
像进行确定.
1、 二分法
（1）二分法的定义:对于在区间[,]a b 上连续不断且()()0f a f b ⋅<的函数()y f x =,通过不断地把函数()y f x =的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法;
（2）用二分法求方程的近似解的步骤:
① 确定区间[,]a b ,验证()()0f a f b ⋅<,给定精确度ε;
②求区间(,)a b 的中点c ;
③计算()f c ;
(ⅰ)若()0f c =,则c 就是函数的零点;
(ⅱ) 若()()0f a f c ⋅<,则令b c =(此时零点0(,)x a c ∈);
(ⅲ) 若()()0f c f b ⋅<,则令a c =(此时零点0(,)x c b ∈);
④判断是否达到精确度ε,即a b ε-<,则得到零点近似值为a (或b );否则重复②至④步.
【经典例题】
1．函数3()=2+2x f x x -在区间(0,1)内的零点个数是 （ ）
A 、0
B 、1
C 、2
D 、3
2．函数 f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是 ( )
A 、(－2，－1)
B 、(－1,0)
C 、(0,1)
D 、(1,2) 3．若函数=)(x f x a x a -- (0a >且1a ≠)有两个零点，则实数a 的取值范围是 .
4．设函数f (x )()x R ∈满足f (x -)=f (x )，f (x )=f (2-x )，且当[0,1]x ∈时，f (x )=x 3.又函数g (x )= |x cos ()x π|，则函数h (x )=g (x )-f (x )在13[,]22
-上的零点个数为 （ ）
A 、5
B 、6
C 、7
D 、8
5．函数2()cos f x x x =在区间[0,4]上的零点个数为 （ ）
A 、4
B 、5
C 、6
D 、7
6．函数()cos f x x =在[0,)+∞内 （ ）
A 、没有零点
B 、有且仅有一个零点
C 、有且仅有两个零点
D 、有无穷多个零
点
7．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎨⎧
a ，a －
b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －x 2)，x ∈R ，若函数y ＝f (x )－
c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是 ( )
A 、(－∞，－2]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32
B 、(－∞，－2]∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1，－34 C 、⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，14∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ D 、⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－34∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫14，＋∞ 8．已知函数f x （）=log (0a 1).a x x b a +-≠＞，且当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f x （）的零点*0(,1),,n=x n n n N ∈+∈则 .
9．求下列函数的零点：
（1）32()22f x x x x =--+； （2）4()f x x x
=-.
10．判断函数y ＝x 3－x －1在区间[1,1.5]内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确度0.1)． 【课堂练习】
1、在下列区间中，函数()43x f x e x =+-的零点所在的区间为 （ ）
A 、1(,0)4-
B 、1(0,)4
C 、11(,)42
D 、13(,)24
2、若0x 是方程lg 2x x +=的解，则0x 属于区间 （ ）
A 、(0,1)
B 、(1,1.25)
C 、(1.25,1.75)
D 、(1.75,2)
3、下列函数中能用二分法求零点的是 ( )
4、函数f ()x =2x +3x 的零点所在的一个区间是 （ ）
A ．（-2,-1）
B 、（-1，0）
C 、（0，1）
D 、（1，2）
5、设函数f ()x =4sin （2x+1）-x ，则在下列区间中函数f ()x 不存在零点的是 （ ）
A 、[-4,-2]
B 、[-2,0]
C 、[0,2]
D 、[2,4]
6、函数()x f =x -cos x 在[0，∞+﹚内 （ ）
A 、没有零点
B 、有且仅有一个零点
C 、有且仅有两个零点
D 、有无穷多个零点
7、若函数()f x 的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25，则()f x 可以是（ ）
A 、()41f x x =-
B 、2()(1)f x x =-
C 、()1x f x e =-
D 、1()ln()2f x x =-
8、下列函数零点不宜用二分法的是 ( )
A 、3()8f x x =-
B 、()ln 3f x x =+
C 、2()22f x x x =++
D 、2()41f x x x =-++
